Het Lee-Cartermodel voor sterfteprognose: een toepassing op de Nederlandse bevolking

Transcriptie

1 He Lee-Carermodel voor serfeprognose: een oepassing op de Nederlandse bevolking En een vergelijking me he model van Cairns, Blake en Dowd Bachelorscripie Acuariaa Peer Seur Universiei van Amserdam

2 Daum volooiing: Docen: Prof. Dr. A.A.J. Pelsser Sudiejaar: 2007/2008 He Lee-Carermodel voor serfeprognose: een oepassing op de Nederlandse bevolking Bachelorscripie Acuariaa Peer Seur Collegekaarnummer:

3 Inhoud 1. Inleiding He Lee-Carermodel Opze van he model Fase 1: schaing basisparameers Fase 2: herschaing serfe-inde Fase 3: ijdreeksmodel Fase 4: prognose Toepassing Lee-Carer op Nederland Gebruike daa Fase 1: schaing basisparameers Fase 2: herschaing serfe-inde Fase 3: ijdreeksmodel Fase 4: prognose Analyse en vergelijking Analyse resulaen Lee-Carer Analyse resulaen Cairnsmodel en vergelijking Levensverwaching Conclusie...32 Bibliografie...33 Appendi...34

4 1. Inleiding Bij de waardering en he risicobeheer van verzekeringen en pensioenen spelen serfekansen van de bereffende populaie en de prognose ervan een belangrijke rol. In Nederland publiceer he Cenraal Bureau voor de Saisiek (CBS) jaarlijks serfeafels gebaseerd op de waargenomen serfe in de bevolking. Voor oepassing in de acuariële wereld worden deze serfeafels aangepas door he Acuarieel Genooschap (AG), de beroepsvereniging van acuarissen. Hierbij word he verloop van de serfekansen gladgesreken en worden bepaalde afrondingsmechanismen oegepas. Tussen opeenvolgende serfeafels is een dalende rend in de serfekansen zichbaar, mede veroorzaak door de medische zorg die seeds beer word. Zo is bijvoorbeeld de levensverwaching van de Nederlandse man in de periode gesegen van 47 jaar naar ruim 75 jaar. De daling van de serfekansen is een belangrijke oorzaak voor de vergrijzing in Nederland en de bijkomende economische gevolgen. Hierdoor word he voorspellen van serfekansen seeds belangrijker. Om di soor rends in serfeafels e verwerken en de serfekansen voor de oekoms e voorspellen kunnen verschillende prognosemodellen oegepas worden. Lee en Carer hebben in 1992 een ijdreeksmodel onwikkeld voor serfeprognose op de lange ermijn, gebaseerd op serfecijfers ui he verleden (Lee-Carer, 1992). In deze scripie word he Lee-Carermodel onderzoch, om een beeld e vormen van de prognose van een dergelijk serfemodel en opziche van de werkelijke serfecijfers. Op basis van hisorische daa van Nederland (periode ) word he Lee- Carermodel gescha en word er een prognose van 30 jaar uigevoerd naar he jaar Vervolgens worden de modeluikomsen vergeleken me de gerealiseerde serfecijfers van Nederland in de periode (ou-of-sample procedure). Daarnaas word in deze scripie de performance van he Lee-Carermodel vergeleken me een ander model voor serfeprognose, namelijk da van Cairns, Blake en Dowd (Tol, 2008, nog e verschijnen), hierna genoemd he Cairnsmodel. De vraag die we

5 2 graag willen beanwoorden is de vraag welke van de wee modellen he bese is om de Nederlandse serfekansen e voorspellen. Deze scripie zal deze vraag echer nie kunnen beanwoorden, vanwege de vereenvoudigde modellen. In deze scripie word alleen gekeken hoe succesvol de gesimplificeerde modellen acheraf zijn gewees bij oepassing op de Nederlandse populaie, waardoor we och een beeld krijgen van hoe di soor serfemodellen in Nederland voorspellen. In hoofdsuk 2 worden de onderliggende heorieën van he Lee-Carermodel beschreven en oegelich. Hoofdsuk 3 beva een overzich van de resulaen die verkregen zijn ui he onderzoek, oegepas op de Nederlandse populaie. De analyse van de resulaen van he Lee-Carermodel vind plaas in hoofdsuk 4. In di hoofdsuk worden de resulaen van he Lee-Carermodel ook vergeleken me he Cairnsmodel, waarui vervolgens zal blijken hoe de wee modellen zich hebben gedragen in de Nederlandse siuaie. In hoofdsuk 5 word ensloe kor samengeva wa er geconcludeerd kan worden naar aanleiding van di onderzoek.

6 3 2. He Lee-Carermodel Bij een sochasisch serfemodel zijn een aanal facoren van belang. In de eerse plaas moe he model een realisische projecie van de oekomsige serfe geven. Daarnaas zijn facoren als ransparanie, bruikbaarheid, inzichelijkheid en objeciviei ook van belang. Verder is he belangrijk da er gebruik word gemaak van algemeen geaccepeerde echnieken. Bij de meese beschikbare serfemodellen word de informaie voor de projecie ui hisorische serfecijfers gehaald. In hun originele arikel (Lee-Carer, 1992) beschrijven Lee en Carer hun mehode waarmee ze de serfe in de Verenigde Saen hebben gemodelleerd en geprognosiceerd. Di ijdreeksmodel van Lee en Carer, da in di hoofdsuk word uigediep, maak gebruik van lineaire regressieechnieken om een fi e krijgen van de hisorische daa. Vervolgens kunnen er dan serfeprognoses gemaak worden. In di hoofdsuk kom de onderliggende heorie van he Lee-Carermodel aan de orde en word he model uigebreid beschreven. In paragraaf 2.1. word kor de modelopze beschreven en in de paragrafen 2.2. o en me 2.5. worden de vier fasen van he model doorlopen. Di hoofdsuk vorm de basis voor he onderzoek da in hoofdsuk 3 word beschreven Opze van he model De oepassing van he model kan worden opgedeeld in vier fasen. In de eerse fase worden de basisparameers van he model gescha. Vervolgens vind in de weede fase een herschaing plaas van één van de basisparameers, zodanig da de verkregen schaingen ui he model machen me de geobserveerde daa. In de derde fase van he model worden de schaingen van de basisparameers samen me de herschae parameer gebruik om een ijdreeksmodel e consrueren. Tensloe word in de laase fase op basis van di ijdreeksmodel een projecie naar de oekoms gemaak van de

7 4 cenrale serfecijfers, waarui vervolgens de éénjarige serfekansen en levensverwachingen afgeleid kunnen worden Fase 1: schaing basisparameers In deze eerse fase van he model worden de parameers gedefinieerd en gescha, e beginnen me he cenrale serfecijfer. Laa m, he waargenomen cenrale serfecijfer voorsellen voor leefijdsgroep in jaar die als volg word bepaald: m D,, = (2.1) P, Hierbij sel D, he aanal serfegevallen van leefijdsgroep in jaar voor en is P, de populaie ui leefijdsgroep bloogeseld aan risico in jaar. He waargenomen cenrale serfecijfer m, is dus gelijk aan he quoiën van deze wee grooheden en word gemodelleerd door de volgende vergelijking: ln(, ), m = a + b k + e (2.2) De logarime van m, word in vergelijking (2.2) gedefinieerd als de som van een leefijdsspecifieke, ijdsonafhankelijke componen a en he produc van een ijdsafhankelijke parameer k me een weede leefijdsspecifieke componen De eerse coëfficiën a geef he algemene serfeparoon weer over de bereffende periode. De b -coëfficiën laa zien hoe snel of hoe raag de serfe verander bij b. veranderingen van de algemene serfe-inde k (rendparameer). Di wil zeggen da hoe hoger de waarde van b voor een bepaalde leefijdsgroep, hoe gevoeliger he cenrale serfecijfer van die leefijdsgroep is voor veranderingen in de serfe-inde. Di is bijvoorbeeld voor de hele lage leefijden he geval (zuigelingenserfe).

8 5 De parameer k is dus gedefinieerd als de algemene serfe-inde en beva de rend over de ijd. Als de verandering van k lineair is, verander m, eponenieel. Tensloe is er nog een soringserm e, die de leefijdsspecifieke invloeden beva die nie in he model zijn opgenomen. Deze e, zijn onafhankelijk en ideniek normaal 2 verdeeld me gemiddelde 0 en varianie σ e. De reden da de logarime van m, gemodelleerd word en nie de m, zelf, is da door he nemen van de logarime he serfecijfer nooi negaief zal zijn. Hierdoor liggen de serfekansen alijd ussen 0 en 1, wa ook de bedoeling is. Omda de variabelen in he recherlid van vergelijking (2.2) nie waarneembaar zijn, is he onmogelijk om di model e fien me de gewone kleinsekwadraenmehode. Deze mehode minimaliseer he oaal van de gekwadraeerde afwijkingen ussen de waarnemingen en de modelwaarden. Om och een kleinsekwadraenoplossing e vinden, word er gebruik gemaak van de zogenaamde Singular Value Decomposiion (SVD), oegepas op de genormaliseerde mari van cenrale serfecijfers r,. Me behulp van deze echniek ui de lineaire algebra kan een mari M als volg worden gefacoriseerd (Good, 1969): T M = U V (2.3) De mari beva de zogenaamde singuliere waarden op de diagonaal. Als de SVD word oegepas op de mari r, kunnen ui de eerse kolom van de mari U de -, k parameers afgeleid worden. Ui de eerse kolom van de mari V, de geransponeerde van T V, worden de b -parameers afgeleid. Bij he oepassen van de SVD op de mari r, worden echer wel als resricies gebruik da de som van de b -coëfficiënen gelijk is aan 1 en da de som van de k -parameers gelijk is aan 0. Er zijn ook andere resricies mogelijk; deze worden uieindelijk egen elkaar weggedeeld. Ui deze resricies volg da a gelijk is aan he

9 6 rekenkundig gemiddelde van ln( ) over de ijd. De mari en de resricies worden in formulevorm als volg gedefinieerd: m, r, r, ln( m, ) a = (2.4) 1 a = ln( m ), b = 1, k 0 =, T Hierbij is T he oaal aanal jaren van de basisperiode. Me behulp van he bovensaande model kunnen voor een gegeven inpu van serfedaa de parameers a, b en k gescha worden. Voor de parameer k vind in de volgende paragraaf een herschaing plaas Fase 2: herschaing serfe-inde In de eerse fase van he model zijn de schaingen gebaseerd op de logarimen van de serfecijfers in plaas van op de serfecijfers zelf. Hierdoor genereren de schaingen van de parameers a, b en k nie eac de serfe-aanallen die ook daadwerkelijk geobserveerd zijn in de daa. De volgende sap in he model beref dan ook een herschaing van de serfe-inde k, zodanig da de oale serfe-aanallen van he model in een bepaald jaar overeenkomen me de geobserveerde serfe-aanallen in he bereffende jaar. De eerder geschae coëfficiënen voor a en b blijven ongewijzigd. Er moe dus een gevonden zodanig da ondersaande vergelijking geld: k worden { ep( ) P, } D = a + b k (2.5)

10 7 Hierbij is he oaal aanal waargenomen serfegevallen in jaar en is de D populaie in leefijdsgroep (bloogeseld aan risico) in jaar. De oplossing voor de herschae k -parameer kan gevonden worden door middel van ieraie. P, De reden voor de herschaing van k is da door de log-ransformaie van m, de lagere serfecijfers van jongeren hezelfde gewich krijgen als de hogere serfecijfers van ouderen. Alle leefijdscaegorieën worden dus gelijkwaardig behandeld. He gedeele jongeren van he oale aanal serfgevallen in he bereffende jaar is echer veel kleiner dan he gedeele ouderen. Bij de herschaing word hier dus rekening mee gehouden. Na deze herschaing zijn de parameers bekend die als basis dienen voor he ijdreeksmodel da in de volgende paragraaf word beschreven Fase 3: ijdreeksmodel In de laase wee fasen van he model kom de modellering en de prognose van de ijdreeks aan de orde. De herschaing van de serfe-inde word als een ijdreeks gemodelleerd me behulp van een Auo-Regressive Inegraed Moving Average (ARIMA) ijdreeksmodel. Me een ARIMA-model kan een ijdreeks worden gemodelleerd en geprognosiceerd. Er zijn vele varianen van he ARIMA-model, waarbij de bese gekozen kan worden me behulp van de zogenaamde Bo- Jenkinsmehodiek (Carer, 1996; Bell, 1997). Hierbij word de bereffende ijdreeks geanalyseerd en geïdenificeerd, wa leid o de bese varian van he ARIMA-model. Vanwege de ijdspanne van he in deze scripie beschreven onderzoek word deze procedure hier nie oegepas, maar word de k -parameer gegenereerd als een random walk me drif ; een speciaal geval van he ARIMA-model 1. Deze varian werd ook door Lee en Carer zelf gebruik. Een random walk is een sochasisch proces waarvan de waarde op een bepaald ijdsip word bepaald door de waarde op he vorige ijdsip k 1 Di model kom overeen me he ARIMA(0,1,0)-model.

11 8 en een random variabele. De drif zorg ervoor da de serferend over de ijd word opgenomen in de prognose. Di leid o de volgende definiie van k : k = k + c+ u (2.6) 1 Hierbij is c de consane drif-erm en is u de random variabele. Op deze manier word iedere waarde van van k. m, gemodelleerd als een proces op basis van he ijdreeksmodel 2.5. Fase 4: prognose In de slofase van he model word he ijdreeksmodel van k ui de vorige paragraaf gebruik om de serfe-inde naar de oekoms e projeceren voor een bepaalde periode. Di gebeur door middel van erapolaie van. Om boven- en ondergrenzen e krijgen van de voorspelling, worden er 95% berouwbaarheidsinervallen geconsrueerd. Me behulp van de voorspelde k k -waarden en de eerder geschae waarden voor b kunnen vervolgens de geprognosiceerde serfecijfers, a en m afgeleid worden. In di hoofdsuk is he Lee-Carermodel sapsgewijs beschreven en oegelich. Door he gebruiken van een (volledige) daase me cenrale serfecijfers kunnen er nu serfeprognoses gedaan worden. In he volgende hoofdsuk word di gedaan op basis van hisorische serfecijfers van de Nederlandse bevolking.

12 9 3. Toepassing Lee-Carer op Nederland In di hoofdsuk word he Lee-Carermodel oegepas op daa die berekking hebben op Nederland. He model word gescha op de wijze die in he vorige hoofdsuk is beschreven. Dezelfde vier fasen ui he vorige hoofdsuk worden ook in di hoofdsuk doorlopen, nu gebruikmakend van een daase me Nederlandse serfecijfers. In de eerse paragraaf van di hoofdsuk worden de in he onderzoek gebruike daa beschreven en oegelich. In paragraaf 3.2. o en me 3.5. volg de presenaie van he Lee-Carermodel oegepas op de daa van Nederland Gebruike daa De daases die worden gebruik in di onderzoek zijn onleend aan de Human Moraliy Daabase (HMD). Deze daabase beva gedeailleerde serfe- en populaiedaa van ruim 30 landen. De daases die in di onderzoek worden gebruik zijn de volgende: Neherlands, Deah raes male/female (period), , 51. Neherlands, Deahs male/female, , 51. Neherlands, Eposure o risk male/female (period), , 51. Deze drie daases hebben berekking op de periode en zijn opgedeeld in vijfjarige leefijdsgroepen (0, 1-4, 5-9,, , 110+). De daases bevaen respecievelijk de Nederlandse cenrale serfecijfers, serfe-aanallen en de populaie bloogeseld aan risico. Voor he onderzoek worden de daa ui de periode ui de leefijdsgroepen 0, 1-4, 5-9,, 85-89, gebruik. Om een beeld e krijgen bij deze daases, worden de serfecijfers voor leefijdsgroep in figuur 1 grafisch weergegeven.

13 10 Figuur 1 Nederlandse serfecijfers (periode , leefijdsgroep 65-69) Nederlandse serfecijfers (leefijdsgroep 65-69) 0,06 0,05 0,04 0,03 Mannen Vrouwen 0,02 0, Jaar We zien wee groe pieken in de jaren 1918 en In 1918 sierven veel Nederlanders als gevolg van de Spaanse griep en in 1945 onsonden er veel overlijdensgevallen door de gevolgen van de Tweede Wereldoorlog. Hoe me deze wee gebeurenissen word omgegaan, volg in een laere paragraaf. Eers zal weer - ne als in he vorige hoofdsuk - sapsgewijs he model worden doorlopen Fase 1: schaing basisparameers Me de in de vorige paragraaf beschreven daa kunnen nu de basisparameers van ondersaande modelvergelijking gescha worden. ln( m ) = a + b k + e = 1,..., 20 = 1900,...,1975 (2.2),,

14 11 De mari m, zie er als volg ui: Figuur 2 - Mari cenrale serfecijfers ( m, ) De mari m, heef n rijen en m kolommen. De waarde m2,1901 beref he cenrale serfecijfer in he jaar 1901 voor leefijdsgroep 2 en kom overeen me elemen m 22 van de mari m,. In de daa worden de jaren 1900 o en me 1975 gebruik, waardoor er dus 76 ijdsippen zijn ( n = 76). De gebruike daa besaan verder ui 20 vijfjarige leefijdsgroepen. Di beeken da m = 20. Hierbij kom leefijdsgroep 3 bijvoorbeeld overeen me de leefijdsgroep 5-9. Op deze manier onsaa er voor he onderzoek wee 76 X 20-marices (mannen en vrouwen) me cenrale serfecijfers. Deze marices vormen de basis voor he schaen van de basisparameers a, b en k. De parameer a kan direc afgeleid worden ui da onder de resricies m,. In vergelijking (2.4) zien we 1 b = 1en k = 0geld da a = ln( m, ). Door he 76 nemen van de logarime van de cenrale serfecijfers en vervolgens voor iedere leefijdsgroep he gemiddelde over de ijd e nemen kunnen we de vecor a bepalen. De waarden van a zijn in figuur 3 grafisch weergegeven. De eace waarden van a zijn opgenomen in abel 1 van de Appendi. De parameer a geef per leefijdsgroep he algemene serfeparoon weer.

15 12 Figuur 3 - Schaingen van de basisparameer Basisparameer A a Mannen Vrouwen Leefijd Voor de lage leefijdsgroepen is e zien da er een hogere serfe is bij pasgeboren kinderen als gevolg van zuigelingenserfe. Verder is er een bul rond leefijd 20 van de mannen, vooral veroorzaak door verkeersongelukken. Daarna is he verloop geleidelijk sijgend naarmae de leefijd hoger word. In vergelijking (2.4) word de mari r, gedefinieerd als r, = ln( m, ) a. Deze mari is van belang om de parameers b en k e kunnen schaen. Op deze mari word de SVD oegepas. Deze echniek ui de lineaire algebra is beschreven in he vorige hoofdsuk. Hierbij word de mari vervolgens b en k r, afgeleid kunnen worden. gefacoriseerd in drie marices, waarui Ui de eerse kolom van de 20 X 20-mari V, waarvan de geransponeerde volg ui de SVD, leiden we de parameer b af. Hierbij moeen de b -waarden nog wel genormaliseerd worden, als gevolg van de resricie b = 1. We krijgen de volgende vergelijking voor de vecor b : b,1 = i = i v v i,1, 1,...,20 (3.1)

16 13 De b -coëfficiën laa zien hoe snel of hoe raag de serfe verander bij veranderingen van de algemene serfe-inde grafisch weergegeven. Figuur 4 - Schaingen van de basisparameer b k. De b -waarden worden in figuur 4 Basisparameer B Mannen Vrouwen Leefijd We zien in figuur 4 voor lage leefijden een hoge b -waarde. Di wil zeggen da voor deze leefijden he cenrale serfecijfer relaief serker reageer op veranderingen van k en opziche van hogere leefijden. Voor de hoge leefijden zien we lage waarden voor b. Di beeken da voor hoge leefijden de verandering van de algemene serfe-inde slechs een kleine invloed heef op he cenrale serfecijfer van deze leefijdsgroepen. Di is ook e verwachen, wan bijvoorbeeld de verbeering van de medische zorg zal voor de hoogse leefijdsgroepen minder kunnen beekenen dan voor de lagere leefijdsgroepen. De schaingen voor de parameer k volgen ne als de b -waarden ui de SVD. Deze parameer word afgeleid ui de eerse kolom van de 76 X 20-mari U en ui he eerse elemen van de 20 X 20-mari S, die beide ui de SVD volgen. He eerse S 1,1 elemen van de mari, de eerse singuliere waarde, is gedefinieerd als s. He

17 14 produc van deze s me de eerse kolom van de mari U gebruiken we nu om k af 1,1 e leiden. Deze waarden moeen nog wel vermenigvuldigd worden me v i i,1, omda bij de b -parameer door deze uidrukking gedeeld is. We krijgen nu de volgende vergelijking voor k : k, = 1,..., 20 = s1,1 u,1 vi,1 i (3.2) i De k -parameer sel de serfe-inde voor en is in figuur 5 en 6 grafisch weergegeven. In de volgende fase van he model zal een herschaing plaasvinden van deze parameer. De eace waarden van b en zijn opgenomen in respecievelijk abel 1 en 2 van de Appendi. k 3.3. Fase 2: herschaing serfe-inde Zoals in he vorige hoofdsuk is oegelich, zijn me de geschae parameers ui paragraaf 3.2. de waargenomen serfe-aanallen nie gelijk aan de door he model gefie serfe-aanallen. Om di probleem op e lossen, vind er door middel van ieraie een herschaing plaas van de serfe-inde k. Di word ook wel de second sage esimaion genoemd. We zoeken dus naar k -waarden zodanig da vergelijking (2.5) geld. Deze zag er als volg ui: { ep( ) P, } D = a + b k (2.5) De waarden van D en P, komen ui de laase wee daases die in paragraaf 3.1. zijn beschreven. Voor de waarden van a en b gebruiken we de eerder geschae waarden ui de eerse fase van he model. Hiermee blijf in vergelijking (2.5) alleen de - parameer nog als onbekende over. Voor iedere krijgen we op deze manier dus een herschaing van de De waarden zijn in figuur 5 en 6 grafisch weergegeven. k k -parameer.

18 15 Figuur 5 - Eerse en weede fase schaing k (mannen) Herschaing van K (mannen) Jaar Firs sage Second sage Figuur 6 - Eerse en weede fase schaing k (vrouwen) Herschaing van K (vrouwen) Jaar Firs sage Second sage Bij de vrouwen zien we over de periode een serkere daling van de algemene serfe-inde dan bij de mannen. De eace waarden van de herschaing van k zijn opgenomen in abel 3 van de Appendi. Me he herschaen van de k -parameer is de basis gelegd voor he ijdreeksmodel. Di model kom in de derde fase van he model aan he orde, da in de volgende paragraaf word beschreven.

19 Fase 3: ijdreeksmodel Me de geschae basisparameers kan nu he ARIMA-ijdreeksmodel worden gescha, zoals beschreven in paragraaf 2.4. In de grafiek van he serfecijfer voor leefijdsgroep (zie figuur 1) zijn wee groe pieken e zien in 1918 en Bij he ijdreeksmodel kan overwegen worden om voor deze wee jaren dummyvariabelen e gebruiken, zoda deze wee pieken nie meegenomen worden in de schaing van he model. In di onderzoek word di echer nie gedaan, wan de onzekerheid da een epidemie (bijvoorbeeld de vogelgriep) in de oekoms voor een hoger serfecijfer gaa zorgen word ook in he model meegenomen. He ARIMA-model kan gescha worden me behulp van saisische sofware. In di onderzoek word he sofwarepakke EViews gebruik, waarvan de oupu is opgenomen in abel 5 van de Appendi. Hieronder volg een overzich van de belangrijkse elemenen van de oupu: Tabel 1 - EViews oupu Geslach Variabele Coëfficiën Sandaard - p- SEE fou saisic waarde Man C -0, , , , , Vrouw C -0, , , , , Voor mannen zien we aan de hoge p-waarde da de simpele varian van he ARIMA model een sleche fi geef van de k -waarden. Bij de vrouwen is de fi een suk minder slech, wa ook is e verwachen door he meer lineaire verloop van de -waarden (figuur 6). De SEE sel de Sandard Error of Esimaion voor, ofewel de sandaardfou van de regressie. Deze word in de volgende paragraaf gebruik bij de consrucie van de berouwbaarheidsinervallen. k

20 Fase 4: prognose Op basis van he in de vorige paragraaf beschreven ijdreeksmodel kan nu de prognose worden gemaak. Me behulp van de sandaardfou van de regressie (SEE), die volg ui de EViewsoupu van de vorige paragraaf, kunnen 95%-berouwbaarheidsinervallen geconsrueerd worden. De verzameling waarden binnen he 95%- berouwbaarheidsinerval zal in 95% van de gevallen de werkelijke waarde van de parameer bevaen. De SEE s zijn voor zowel mannen en vrouwen aan de hoge kan, wa leid o een groe onzekerheid in de prognose. De sandaardfou van de geprognosiceerde volg gedefinieerd: Hierbij is s k is als se = s SEE s = 1,2,...,30 (3.3) gelijk aan he aan he aanal jaren da voorui is geprognosiceerd. In di onderzoek word geprognosiceerd voor de periode , dus is bijvoorbeeld voor de prognosewaarde in he jaar 1990 de waarde voor se 1990 gelijk aan: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa SEE = 15 SEE De ondergrens en bovengrens van he 95%-berouwbaarheidsinerval zijn nu als volg gedefinieerd: Ondergrens( k) = k 1,96 se Bovengrens( k) = k + 1,96 se (3.4) Hierbij is 1,96 gelijk aan die waarde van een sandaardnormale sochas waarbij de kans da je boven deze waarde uikom gelijk is aan 0,025 (= (1-0,95)/2 ). De waarden van de geprognosiceerde zijn samen me de bovengrens en de ondergrens van he berouwbaarheidsinerval grafisch weergegeven in figuur 7 (mannen) en figuur 8 (vrouwen). k

21 18 Figuur 7 Tijdreeksmodel en prognose k (mannen) Tijdreeksmodel K (mannen) Jaar Herschaing Model Ondergrens Bovengrens Figuur 8 - Tijdreeksmodel en prognose k (vrouwen) Tijdreeksmodel K (vrouwen) Jaar Herschaing Model Ondergrens Bovengrens We zien da door de hogere se voor mannen he berouwbaarheidsinerval een suk breder is dan bij de vrouwen. Om de uieindelijke prognose van de cenrale serfecijfers e krijgen, moeen de geprognosiceerde k -waarden worden gesubsiueerd in vergelijking (3.5).

22 19 { } { m } { b k + s k m = ep ln( m ) + b ( k k ), s, s 1975 = ep ln( ) ep ( )} (3.5), { } = m ep b ( k k ), s 1975 He laase geobserveerde cenrale serfecijfer m,1975 word dus als iniiële waarde genomen voor de prognose. In Figuur 9 is e zien hoe volgens he model de verdeling van de serfecijfers over de leefijden erui zie in he jaar 1975 en in he jaar Figuur 9 Verdeling serfecijfers over leefijden (mannen) Verdeling serfecijfer over leefijden m(,1975) m(,2005) Leefijd Ui deze grafiek kunnen we concluderen da er volgens de prognose van he model ussen he jaar 1975 en 2005 relaief weinig gebeur me de cenrale serfecijfers die berekking hebben op de leefijden 1 o en me 30. Deze grafiek is voor vrouwen soorgelijk, en word hier dan ook nie weergegeven. He 95%-berouwbaarheidsinerval voor he serfecijfer word berekend me behulp van ondersaande formules: { + )} { m,1975+ s b se1975 s} Ondergrens( m ) = ep ln( m ) + b Ondergrens( k, s,1975+ s 1975 s = ep ln( ) + 1,96 { } = m ep 1,96 b se,1975+ s s + (3.6)

23 20 { + )} { m,1975+ s b se1975 s} Bovengrens( m ) = ep ln( m ) + b Bovengrens( k, s,1975+ s 1975 s = ep ln( ) + + 1,96 { } = m ep + 1,96 b se,1975+ s s + (3.7) Subsiuie van de geprognosiceerde k -waarden leid o de uieindelijke prognoses van de cenrale serfecijfers voor de periode Deze worden in he volgende hoofdsuk nader bekeken en vergeleken me de resulaen van he Cairnsmodel.

24 21 4. Analyse en vergelijking In he vorige hoofdsuk is beschreven hoe he Lee-Carer model is oegepas op de Nederlandse bevolking. In di hoofdsuk worden de uieindelijke door he Lee-Carermodel voorspelde cenrale serfekansen geanalyseerd (paragraaf 4.1). In paragraaf 4.2. worden de resulaen van he Cairnsmodel (Cairns e.a., 2005) gepreseneerd en geanalyseerd. Hier volg ook een vergelijking van de resulaen van he Cairnsmodel me die van he Lee-Carermodel. In de aanvullende paragraaf 4.3. word beschreven hoe serfecijfers omgerekend kunnen worden naar levensverwachingen Analyse resulaen Lee-Carer In de figuren 10 o en me 15 zijn de prognoses van de Nederlandse serfecijfers weergegeven op basis van he Lee-Carermodel, samen geplo me de werkelijke serfekansen ui de periode en de berouwbaarheidsinervallen. In de volgende paragraaf worden de uikomsen van he Cairnsmodel gepreseneerd. We bekijken de leefijdsgroepen 25-29, en De grafieken zijn weergegeven op logarimische schaal.

25 22 Figuur 10 Prognose Lee-Carer, mannen, leefijdsgroep ,10000 Serfecijfer mannen (leefijdsgroep 25-29) , ,00100 Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens 0, ,00001 Jaar Figuur 11 - Prognose Lee-Carer, vrouwen, leefijdsgroep ,10000 Serfecijfer vrouwen (leefijdsgroep 25-29) , ,00100 Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens 0, ,00001 Jaar Voor de leefijdsgroep zien we da de prognose van he model een overschaing is gewees van de werkelijkheid, zowel voor mannen als voor vrouwen. De daling van he serfecijfer voor deze leefijdsgroep is nie zo serk gewees als he model voorspelde door de rend e erapoleren. Bij vrouwen is de overschaing nog serker dan bij mannen.

26 23 Figuur 12 Prognose Lee-Carer, mannen, leefijdsgroep ,10000 Serfecijfer mannen (leefijdsgroep 45-49) , ,00100 Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens 0, ,00001 Jaar Figuur 13 - Prognose Lee-Carer, vrouwen, leefijdsgroep ,10000 Serfecijfer vrouwen (leefijdsgroep 45-49) , ,00100 Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens 0, ,00001 Jaar Bij de hogere leefijdsgroepen zien we duidelijke verschillen ussen mannen en vrouwen. Bij leefijdsgroep is bij de mannen he werkelijke serfecijfer serker gedaald dan he model voorspelde, he model heef hier de serfedaling dus onderscha. Bij de vrouwen zien we echer hezelfde verschijnsel als in leefijdsgroep Ook hier zijn de werkelijke serfekansen in de periode hoger gewees dan he model heef geprojeceerd.

27 24 Figuur 14 - Prognose Lee-Carer, mannen, leefijdsgroep ,10000 Serfecijfer mannen (leefijdsgroep 65-69) , ,00100 Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens 0, ,00001 Jaar Figuur 15 - Prognose Lee-Carer, vrouwen, leefijdsgroep ,10000 Serfecijfer vrouwen (leefijdsgroep 65-69) , ,00100 Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens 0, ,00001 Jaar Tensloe zien we in leefijdsgroep bij de mannen da de serfekansen een suk serker zijn gedaald dan volgens he model. In he jaar 2005 loop de werkelijke serfecurve zelfs ui he och al brede 95%-berouwbaarheidsinerval. Hier is dus sprake van een serke onderschaing van de werkelijkheid. Bij de vrouwen is voor deze leefijdsgroep de afwijking van de prognosecurve en opziche van de werkelijke curve veel kleiner.

28 25 Bij bovensaande prognoses is de onzekerheid seeds groo, waardoor brede berouwbaarheidsinervallen onsaan. Door een andere varian van he ARIMAijdreeksmodel e kiezen, die volg ui idenificaie van de ijdreeks, kan een beere fi worden verkregen van he model, waardoor de onzekerheid, en daarmee de breede van he berouwbaarheidsinerval, afneem (Lee, 2000; Booh e.a., 2006). Verder zou er in plaas van de periode voor een andere, korere basisperiode gekozen kunnen worden (bijvoorbeeld ). Deze basisperiode is bepalend voor de rend die ui he model kom en dus ook voor de uieindelijke prognose. Door de groe onzekerheid die me de prognose gepaard gaa geef he Lee- Carermodel dus een heel breed berouwbaarheidsinerval. Daardoor kunnen er weinig krachige conclusies gerokken worden me berekking o oekomsige voorspellingen. De wijfel da de oekomsige serfekansen nie of weinig afhankelijk zijn van de hisorische serfekansen kan hierdoor oenemen. He is ook helemaal nie zo vanzelfsprekend da de oekomsige serfekansen afhankelijk zijn van de serferend van een hisorische periode. In de volgende paragraaf worden de resulaen van he Cairnsmodel geanalyseerd en vergeleken me de resulaen van he Lee-Carermodel. k 4.2. Analyse resulaen Cairnsmodel en vergelijking In de figuren 16 o en me 21 zijn de resulaen van he Cairnsmodel (Tol, 2008, nog e verschijnen) weergegeven. Bij di model worden in de daa geen leefijdsgroepen gebruik, maar worden de serfekansen per leefijd voorspeld (Cairns e.a., 2005). De grafieken zijn daarom weergegeven voor de leefijden 25, 45 en 65. Ook nu worden deze weergegeven op logarimische schaal. Bij di model worden de prognose en he berouwbaarheidsinerval geconsrueerd door middel van simulaies.

29 26 Figuur 16 Prognose Cairns, mannen, leefijd Serfecijfer mannen (leefijd 25) Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens Jaar Figuur 17 - Prognose Cairns, vrouwen, leefijd Serfecijfer vrouwen (leefijd 25) Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens Jaar Ne als he Lee-Carermodel, geef ook he Cairnsmodel voor leefijd 25 een overschaing van de werkelijkheid en is deze overschaing bij vrouwen groer dan bij mannen. Opmerkelijk is echer da bij he Cairnsmodel de werkelijke serfecurve bijna helemaal buien he 95%-berouwbaarheidsinerval loop. He Lee-Carermodel geef door middel van he brede berouwbaarheidsinerval aan da er een groe onzekerheid gepaard gaa me de prognose.

30 27 Figuur 18 - Prognose Cairns, mannen, leefijd Serfecijfer mannen (leefijd 45) Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens Jaar Figuur 19 - Prognose Cairns, vrouwen, leefijd Serfecijfer vrouwen (leefijd 45) Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens Jaar Bij de mannen van leefijd 45 zien we da he Cairnsmodel acheraf een beere prognose heef gemaak dan he Lee-Carermodel. Me een smaller berouwbaarheidsinerval dan he Lee-Carermodel zi he Cairnsmodel bij deze leefijd aardig in de buur. Bij de vrouwen zien we daarenegen weer ne als bij leefijd 25 een serke overschaing van he model. Ook hier loop de werkelijke serfecurve voor he groose gedeele buien he berouwbaarheidsinerval.

31 28 Figuur 20 - Prognose Cairns, mannen, leefijd Serfecijfer mannen (leefijd 65) Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens Jaar Figuur 21 - Prognose Cairns, vrouwen, leefijd Serfecijfer vrouwen (leefijd 65) Werkelijk Prognose Ondergrens Bovengrens Jaar Bij de mannen van leefijd 65 zien we hezelfde verschijnsel als bij he Lee- Carermodel. Beide modellen onderschaen de serfedaling en de werkelijke serfecurve loop aan he einde van de prognoseperiode he berouwbaarheidsinerval ui. Bij de vrouwen is bij he Cairnsmodel de afwijking van de werkelijke serfecurve en opziche van de prognosecurve ies groer dan bij he Lee-Carermodel, echer he Cairnsmodel heef een smaller berouwbaarheidsinerval, waardoor er meer zekerheid me de prognose gepaard gaa. Beide modellen zijn acheraf dus nie ech succesvol gewees bij oepassing op Nederland. Bij he Lee-Carermodel lig in de meese gevallen de werkelijke serfecurve nog wel binnen he geschae berouwbaarheidsinerval, maar di is ook wel

32 29 e verwachen bij een dusdanige breede van deze inervallen. He Cairnsmodel denk me meer zekerheid e ween welke riching de serfekansen op gaan, maar heef he in sommige gevallen helemaal mis. Hierui zou geconcludeerd kunnen worden da he Lee- Carermodel acheraf he mins slech gewees is, omda di model - door middel van de brede berouwbaarheidsinervallen - enminse oegeef da er een sleche fi is en da er een hoge onzekerheid meespeel in de prognose. Om een beeld e krijgen van wa deze prognoses beekenen voor de levensverwaching bij geboore, volg in de volgende paragraaf een beschrijving van hoe de waarden voor m, kunnen worden geconvereerd in levensverwachingen Levensverwaching Omda een levensverwaching meer o de verbeelding spreek dan een serfekans, word in deze afsluiende paragraaf beschreven hoe de levensverwaching in een bepaald jaar kan worden benaderd gegeven een se serfecijfers. Om de serfecijfers e convereren naar levensverwachingen, moeen de cenrale serfecijfers q en m eers omgeze worden naar serfekansen q. De eace relaie ussen m is als volg: q = m 1 e (4.1) Vanwege de verschillende leefijdsgroepen in de daa, gebruiken we voor deze conversie ondersaande benadering (Renshaw, 2003): wm q 1 + (1 f ) wm (4.2) De kans q sel dan de kans voor da een individu overlijd in he bereffende leefijdsinerval. Hierbij sel w he aanal leefijden in leefijdsgroep voor en is f gelijk aan he gemiddelde aanal jaren da in he bereffende leefijdsinerval geleefd is

33 30 bij overlijden in leefijdsgroep. In deze berekening word voor he eerse leefijdsinerval (0-1) als benadering de waarde voor f gelijkgeseld aan 0,15, voor de overige leefijdsinervallen nemen we f = 0,5. De overlevingskans p is nu gelijk aan 1 q. Me deze gegevens kan voor ieder jaar een overlevingsafel geconsrueerd worden me behulp van ondersaande formules: l = l p + w d = l l = l q + w (4.3) Hierbij sel l he aanal overlevenden in jaar voor (me l 0 = ) en is d de verdeling van aan he aanal serfegevallen van leefijd van de ficieve overlevingsafelpopulaie van personen. Vervolgens is he aanal levensjaren in he leefijdsinerval beginnend me leefijd gelijk aan: L = w ( l (1 f ) d ) (4.4) De reserende levensduur en de levensverwaching van een individu me leefijd zijn nu gelijk aan: T ma (4.5) = = L e T = (4.6) l De levensverwaching bij geboore is gedefinieerd als: L e 0 = (4.7) Als we bovensaande procedure oepassen op de uikomsen van he Lee-Carermodel oegepas op Nederland krijgen we de ondersaande levensverwachingen:

34 31 Tabel 2 - Levensverwachingen bij geboore Geslach e0 (1976) e0 (1976) e0 (2005) e0 (2005) werkelijk prognose werkelijk prognose Man 71,48 71,54 77,08 74,37 Vrouw 77,72 77,72 81,12 81,53 Voor de mannen zien we een onderschaing van de levensverwaching, bij de vrouwen een liche overschaing. In deze sloparagraaf is beschreven op welke wijze een se cenrale serfecijfers omgeze kan worden in levensverwachingen. He volgende afsluiende hoofdsuk beva de conclusies die ui he onderzoek zijn gekomen.

35 32 5. Conclusie Me de mehode van Lee en Carer kan een serfemodel geconsrueerd worden voor Nederland. In di onderzoek is di gedaan op basis van Nederlandse daa van he jaar 1900 o en me he jaar Vervolgens is er een prognose gemaak van de serfecijfers naar he jaar 2005 (30 jaar voorui). Bij he modelleren van een simpele varian van een ARIMA-ijdreeksmodel blijk echer da he model een sleche fi geef van de daa. He model voor vrouwen heef wel een ies minder sleche fi dan he model voor mannen. De fi zou verbeerd kunnen worden door een meer comple ijdreeksmodel e gebruiken. Ook kan worden overwogen om een andere hisorische periode e kiezen, die als basis dien voor de rendbepaling van he model. Di kan effec hebben op de uieindelijke voorspelde serfekansen. Door de sleche fi van he model onsaa er een groe onzekerheid in de prognose, waardoor brede berouwbaarheidsinervallen onsaan. Hierdoor zijn beweringen naar aanleiding van de prognose een suk minder krachig. Als we naar een ander serfemodel kijken (Cairns, Blake en Dowd) op basis van dezelfde daa zien we da di model smallere berouwbaarheidsinervallen heef, maar acheraf sleche prognoses. He Cairnsmodel geef dus me meer zekerheid bepaalde prognoses, erwijl de werkelijke serfecurves in veel gevallen he berouwbaarheidsinerval uilopen. We kunnen dus concluderen da zowel he Lee-Carer model als he Cairnsmodel acheraf nie succesvol is gewees bij oepassing op Nederlandse daa, wa voor een groo deel e wijen is aan de simplificaies in de modellen. He doorrekken van een rend ui he verleden naar de oekoms leid slechs in enkele gevallen o een redelijke voorspelling. He is ook helemaal geen raar idee om e verondersellen da resulaen ui he verleden geen garanie bieden voor de oekoms. Toch passen egenwoordig veel verzekeraars di soor erapolaie oe bij de waardering van verzekeringsconracen. Serfeprognose blijf daarom een comple probleem en zal de acuariële wereld de komende ijd nog lang bezighouden.

36 33 Bibliografie Bell, W.R. (1997). Comparing and assessing ime series mehods for forecasing agespecific feriliy and moraliy raes. Journal of Official Saisics 13, Booh, H. e.a. (2006). Lee-Carer moraliy forecasing: a muli-counry comparison of varians and eensions. Demographic Research 15, Cairns, A.J.G., D. Blake en K. Dowd (2005). A wo-facor model for sochasic moraliy wih parameer uncerainy. Working paper. Carer, L.R. (1996). A comparison of Bo-Jenkins ARIMA and srucural ime series models. The Sociological Quarerly 37, Carer, L.R. en R.D. Lee (1992). Modelling and forecasing US se differenials in moraliy. Inernaional Journal of Forecasing 8, Good, I.J. (1969). Some applicaions of he Singular Decomposiion of a Mari. Technomerics 11, Haberman, S. en M. Russolillo (2005). Lee-Carer moraliy forecasing: Applicaion o he Ialian populaion. Acuarial Research Paper 167. Human Moraliy Daabase (HMD). Homepage ( 25 april Lee, R.D. (2000). The Lee-Carer mehod for forecasing moraliy, wih various eensions and applicaions. Norh American Acuarial Journal 4, Lee, R.D. en L.R. Carer (1992). Modeling and forecasing he ime series of U.S. moraliy. Journal of he American Saisical Associaion 87, Lee, R.D. en T. Miller (2001). Evaluaing he performance of he Lee-Carer mehod for forecasing moraliy. Demography 38, Li, N., R.D. Lee, en S. Tuljapurkar (2004). Using he Lee-Carer mehod o forecas moraliy for populaions wih limied daa. Inernaional Saisic Review 72, Renshaw, A.en S. Haberman (2003). Lee Carer moraliy forecasing: a parallel generalized linear modelling approach for England and Wales moraliy projecions. Journal of he Royal Saisical Sociey 52, Tol, J.H. (2008). Forecasing duch moraliy wih he sochasic model inroduced by Cairns, Blake en Dowd. Bachelorscripie Acuariaa, Universiei van Amserdam.

37 34 Appendi Tabel 1 Parameerschaingen Schaing a a en b Schaing b Leefijds groep Mannen Vrouwen Mannen Vrouwen 0-3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00912

38 35 Tabel 2 Eerse fase schaing k (SVD) Eerse fase schaing Eerse fase schaing k (SVD) k (SVD) Jaar Mannen Vrouwen Jaar Mannen Vrouwen , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,34241

39 36 Tabel 3 - Tweede fase schaing k (herschaing) Tweede fase schaing Tweede fase schaing k (herschaing) k (herschaing) Jaar Mannen Vrouwen Jaar Mannen Vrouwen , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,74092

40 37 Tabel 4 - Prognose k Prognose Sandaardfou k prognose ( se ) Jaar Mannen Vrouwen Mannen Vrouwen , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,39668

41 38 Tabel 5 Eviews oupu ARIMA ijdreeksmodel Dependen Variable: D(KAPPAMAN) Mehod: Leas Squares Dae: 05/13/08 Time: 13:06 Sample(adjused): Included observaions: 75 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Dependen Variable: D(KAPPAVROUW) Mehod: Leas Squares Dae: 05/13/08 Time: 13:06 Sample(adjused): Included observaions: 75 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa