BEREKENDE EVENWICHTEN

Transcriptie

1 BEREKENDE EVENWICHTEN P. Jean-Jacques Herings Vakgroep Algemene Economie, Universiteit Maastricht VAET-dag, Tilburg, 21 September 2018.

2 BEREKENDE EVENWICHTEN De titel "Berekende Evenwichten" heeft vier betekenissen. 1 Evenwichten die berekend worden. 2 Een bevel, zij het fout geschreven. 3 Slimme evenwichten.

3 BEREKENDE EVENWICHTEN 4. Rede uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van bijzonder hoogleraar in de Speltheorie en Evenwichtsprogrammeren bij de Faculteit der Economische Wetenschappen van de Katholieke Universiteit Brabant op vrijdag 4 oktober 1991 door Dr. Dolf Talman.

4 EVENWICHTEN DIE BEREKEND WORDEN De rede van Dolf betrof het berekenen van Nash evenwichten en verfijningen van dat concept. Soortgelijke methodes zijn ook geschikt voor het berekenen van economische evenwichten. Ik zal beginnen met een wiskundige puzzel die alles met dit vraagstuk te maken heeft.

5 TRIANGULATIE, FACET, FACE

6 LABELING

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37 HUIS MET EINDIG AANTAL KAMERS De grote driehoek correspondeert met een huis. De kleine driehoeken met kamers in het huis. De lijnstukken met zowel een geel als een rood hoekpunt zijn deuren. Iedere kamer heeft nul, één, of twee deuren. Een kamer met geen deuren heeft geen gele of geen rode hoekpunten. Een kamer met één deur heeft één geel, één rood, en één blauw hoekpunt. Een kamer met twee deuren heeft zowel gele als rode hoekpunten, maar geen blauwe. Er is één deur aan de buitenkant van het huis. Ga door de buitendeur naar binnen. Doe voor iedere kamer het volgende: verlaat de kamer door de andere deur als die er is.

38 ECONOMISCH EVENWICHT Beschouw een economie met drie goederen: goed 1 is consumptie nu (blauw), goed 2 is consumptie in de toekomst (geel), en goed 3 is arbeid (rood). De prijzen van de goederen zijn p 1, p 2, p 3. Door een geschikte munteenheid te kiezen mogen we zonder verlies van algemeenheid aannemen dat p 1 + p 2 + p 3 = 1. De totale vraag minus het totale aanbod in de economie bij prijzen (p 1, p 2, p 3 ) voor de drie goederen is (z 1 (p 1, p 2, p 3 ), z 2 (p 1, p 2, p 3 ), z 3 (p 1, p 2, p 3 )). Een economisch evenwicht bestaat uit prijzen (p1, p 2, p 3 ) waarvoor geldt z 1 (p1, p 2, p 3 ) = z 2(p1, p 2, p 3 ) = z 3(p1, p 2, p 3 )) = 0. Bestaat een economisch evenwicht altijd?

39 PRIJSSIMPLEX

40 ECONOMISCH EVENWICHT Kies een triangulatie van de prijssimplex. Voor elke vertex (p 1, p 2, p 3 ) in de triangulatie: 1 Als z 1 (p 1, p 2, p 3 ) z 2 (p 1, p 2, p 3 ) en z 1 (p 1, p 2, p 3 ) z 3 (p 1, p 2, p 3 ), dan kleur de vertex blauw. 2 Als z 2 (p 1, p 2, p 3 ) > z 1 (p 1, p 2, p 3 ) en z 2 (p 1, p 2, p 3 ) z 3 (p 1, p 2, p 3 ), dan kleur de vertex geel. 3 Als z 3 (p 1, p 2, p 3 ) > z 1 (p 1, p 2, p 3 ) en z 3 (p 1, p 2, p 3 ) > z 2 (p 1, p 2, p 3 ), dan kleur de vertex rood. Neem een vertex (p 1, p 2, p 3 ) in de triangulatie met één prijs gelijk aan nul en de andere twee prijzen positief. Als p 1 = 0, dan is de vertex blauw gekleurd, als p 2 = 0 dan geel, en als p 3 = 0 dan rood. Er bestaat een simplex met een rood, geel, en blauw hoekpunt.

41 ARROW EN DEBREU (1954) Neem een simplex met een rood, geel, en blauw hoekpunt. Voor prijzen (p 1, p 2, p 3 ) in zo n simplex geldt dat z 1 (p 1, p 2, p 3 ), z 2 (p 1, p 2, p 3 ), en z 3 (p 1, p 2, p 3 ) bij benadering maximaal zijn. De wet van Walras: p 1 z 1 (p 1, p 2, p 3 ) + p 2 z 2 (p 1, p 2, p 3 ) + p 3 z 3 (p 1, p 2, p 3 ) = 0. Uit de wet van Walras volgt dat z 1 (p 1, p 2, p 3 ), z 2 (p 1, p 2, p 3 ), en z 3 (p 1, p 2, p 3 ) bij benadering gelijk aan nul zijn. Een economisch evenwicht bestaat!

42 VAN DER LAAN EN TALMAN (1979)

43 VAN DER LAAN EN TALMAN (1979)

44 VAN DER LAAN EN TALMAN (1979)

45 VAN DER LAAN EN TALMAN (1979)

46 ECONOMISCH EVENWICHT BIJ VASTE PRIJZEN Beschouw een economie met twee goederen: goed 1 is consumptie (blauw) en goed 2 is arbeid (rood). De prijzen van de goederen liggen op de korte termijn vast en zijn gelijk aan p 1 en p 2. Markten komen tot evenwicht door hoeveelheidsaanpassingen: rantsoeneringen. q 1 [0, 1] en q 2 [0, 1] representeren verwachtingen met betrekking tot de mogelijkheden goederen aan te bieden en te vragen.

47 ECONOMISCH EVENWICHT BIJ VASTE PRIJZEN q 1, q 2 = 0: extreme aanbod rantsoenering, bijvoorbeeld extreme werkloosheid. q 1, q 2 = 1: extreme vraag rantsoenering, bijvoorbeeld extreem gebrek aan orgaan donaties. De totale vraag minus het totale aanbod in de economie bij rantsoeneringen (q 1, q 2 ) voor de twee goederen is z 1 (q 1, q 2 ) en z 2 (q 1, q 2 ). De wet van Walras: p 1 z 1 (q 1, q 2 ) + p 2 z 2 (q 1, q 2 ) = 0. Een economisch evenwicht bij vaste prijzen bestaat uit rantsoeneringen (q1, q 2 ) waarvoor geldt z 1 (q1, q 2 ) = z 2(q1, q 2 ) = 0. Bestaat een economisch evenwicht bij vaste prijzen altijd?

48 RANTSOENERINGSVIERKANT ( 0 1 ) ( 1 1 ) ( 0 0 ) ( 1 0 )

49 ECONOMISCH EVENWICHT BIJ VASTE PRIJZEN Kies een triangulatie van het rantsoeneringsvierkant. Voor elke vertex (q 1, q 2 ) in de triangulatie: 1 Als z 1 (q 1, q 2 ) z 2 (q 1, q 2 ), dan kleur de vertex blauw. 2 Als z 2 (q 1, q 2 ) > z 1 (q 1, q 2 ), dan kleur de vertex rood.

50 RANTSOENERINGSVIERKANT

51 HERINGS, TALMAN EN YANG (1996), HERINGS EN TALMAN (1998)

52 HERINGS, TALMAN EN YANG (1996), HERINGS EN TALMAN (1998)

53 HERINGS, TALMAN EN YANG (1996), HERINGS EN TALMAN (1998)

54 HERINGS, TALMAN EN YANG (1996), HERINGS EN TALMAN (1998)

55 HERINGS, TALMAN EN YANG (1996), HERINGS EN TALMAN (1998)

56 HERINGS, TALMAN EN YANG (1996), HERINGS EN TALMAN (1998)

57 HERINGS, TALMAN EN YANG (1996), HERINGS EN TALMAN (1998)

58 ECONOMISCH EVENWICHT BIJ VASTE PRIJZEN Er bestaan oneindig veel rantsoeneringsevenwichten. Eén evenwicht waarbij huishoudens en bedrijven verwachten dat er geen enkele vraag naar producten is. Keynesiaanse werkloosheid. Eén evenwicht waarbij huishoudens en bedrijven verwachten dat er geen enkel aanbod van producten is. Klassieke werkloosheid. Deze resultaten rechtvaardigen actief overheidsbeleid in tijden van crises, bijvoorbeeld door het doen van investeringen in onderwijs, infrastructuur, en schone energie.

59 CONCLUSIES Bereken de evenwichten. Gebruik de methode van der Laan en Talman (1979). Sla een brug tussen de Besliskunde en de Wiskundige Economie.