2 Oplossingen van kinderen

Transcriptie

1 Kladwerk als reflectieve wiskundige productie H. ter Heege SLO, Enschede Het is in het onderwijs niet ongebruikelijk dat kinderen bij het oplossen van rekenprobleempjes kladjes maken. Deze kladjes hebben over het algemeen een lage status. Ze worden meestal genegeerd door leerling en leraar. Ten onrechte, zo wordt in dit artikel betoogd: kladjes leggen immers het denkwerk vast. Dit gegeven kan als bron voor reflectie worden gebruikt. De kladblaadjes verdienen positieve aandacht en zouden daarvoor met enige regelmaat in het onderwijs aan de orde moeten worden gesteld. Hiermee wordt werk gemaakt van de ontwikkeling van reflectieve vaardigheden. 1 Inleiding 2 Oplossingen van kinderen Op een conferentie voor reken-wiskundedidactiek werd aan de aanwezigen een groot aantal voorbeelden van kladwerk van leerlingen voorgelegd. Deze voorbeelden kwamen uit het derde PPON-onderzoek van het Cito. Het ging steeds om uitwerkingen van de volgende ingeklede rekenopgave die in groep 5 werd afgenomen. De opgave bevatte zowel illustratie als tekst (fig.1). Vier kinderen willen hun moeder voor haar verjaardag een horloge geven. Ze dragen allen evenveel bij. Men kan zich indenken dat kinderen van groep 5 het antwoord op verschillende manieren hebben proberen te berekenen. Sommige van hen hanteerden een cijferprocedure, anderen gebruikten een of andere hoofdrekenstrategie om het antwoord te vinden, een enkeling meende dat tellen de beste oplossing was, enzovoort. De verschillen in de uitwerkingen die de kinderen kozen, zijn soms in hun kladwerk te traceren, soms ook niet. Lang niet alle kinderen hebben overigens kladwerk gemaakt. Dit kladwerk laat in enige mate het denkwerk van de kinderen voor de oplossing zien. Zo ziet men bijvoorbeeld aan de kladjes of er gecijferd is of dat er voor een hoofdrekenstrategie is gekozen. Soms ziet men in de kladjes of de gekozen oplossing tot succes leidde of niet, en in een enkel geval zelfs waarom een oplossing niet succesvol was. Het kladwerk lijkt daarom geschikt om oplossingen van kinderen te analyseren. Zo werd dit dan ook op de eerdergenoemde conferentie gepresenteerd. Vaak biedt het kladwerk van kinderen echter niet meer en niet minder dan een puzzel voor iemand die de oplossingsweg zou willen analyseren die het kind heeft gevolgd. We geven enkele voorbeelden en voorzien ze van commentaar. figuur 1 Dan volgt de vraag: Hoeveel moet ieder betalen? Het zal duidelijk zijn dat het in dit ingeklede vraagstuk om de opgave 124 : 4 handelt. figuur 2 De analyse van dit kladwerk (fig.2) lijkt hier niet moeilijk: deze leerling heeft een correcte staartdeling ge- jaargang 20 nummer 1 15

2 maakt, volgens de traditionele aanpak. Het schema dat de leerling op het kladblaadje heeft gemaakt heeft hij dus niet zelf verzonnen, maar leidde hij af uit het onderwijs in het cijferen dat genoten werd. De leerling van de oplossing in figuur 6 heeft de vier kinderen die meebetalen aan het cadeau kennelijk een naam gegeven (hij noemt ze H, J, P en L) en koos vervolgens voor een soort uitdeelprocedure: eerst doet H 4 gulden in de pot, dan J, enzovoort. Onduidelijk blijft echter of deze procedure tot een (correct) antwoord heeft geleid. In ieder geval komt dit laatste gedeelte van het denkproces niet in de totale omvang tot uitdrukking op het kladje. figuur 3 Deze oplossing in figuur 3 is uiteraard ook correct. Hier is de procedure van herhaald optellen gevolgd. Daarbij komt een probleem voor de analyse om de hoek kijken: waarom koos de leerling direct het getal 31 om herhaald op te tellen? Wist hij de uitkomst al en was dit kladje slechts als controle achteraf bedoeld? Je zou het kunnen denken, maar zeker weet je het niet. Het blijft met andere woorden gissen: de analyse geeft op dit punt geen uitsluitsel. Vergelijkbare gedachten als bij het voorgaande voorbeeld dringen zich bij de oplossing in figuur 4 op. figuur 6 Ook de leerling van het werk in figuur 7 heeft ter begeleiding van zijn of haar oplossing een schema gemaakt. En ook hier wordt gekozen voor een eerste inleg in de pot van 24 gulden. Waarom? Waarom geen 25 gulden? Dat blijft onduidelijk. Dan volgen er in de gekozen procedure twee rondes, waarin ieder van de meebetalende kinderen 4 gulden in de pot doet. Maar dan zit er al 138 gulden in de pot, dus krijgt iedereen 3 gulden terug: 126 gulden. Dat het niet goed uitkomt is het gevolg van een aftrekfout onderweg. Twee kinderen krijgen daarom elk nog een gulden terug. En dan klopt het, zij het dat de uitkomst niet juist wordt berekend. figuur 4 Zag de leerling direct dat de uitkomst 31 moest zijn en is de functie van de cijferende vermenigvuldiging slechts die van controle geweest? Wellicht was de leerling van mening dat van hem werd verwacht iets op het kladblaadje te schrijven en was hij vervolgens zo bereidwillig dit te doen. Als dit het geval is, dan heeft het kladje weinig te maken met zijn denkproces dat tot de (overigens correcte) oplossing leidde. De uitwerking in figuur 5 is onduidelijk en biedt nauwelijks aanknopingspunten voor een analyse. Als er iets over te zeggen valt hoort dat in de categorie gissen en missen thuis. figuur 7 Wat zeggen we van de volgende twee kladjes? Er lijkt weinig of niets over te zeggen en als we dat toch willen doen, lijkt het meer gissen dan weten (fig.8 en 9). figuur 5 figuur 8 figuur 9 16 tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs

3 3 De betekenis van kladblaadjes Waarom zijn die kladblaadjes in het algemeen genomen zo weinig zeggend? Of, zo men wil, waarom blijven er zoveel vragen staan die zelfs door een nauwgezette analyse niet kunnen worden beantwoord? Bij het oplossen van een ingeklede opgave als de voorgaande, zet een leerling alle kennis en vaardigheden in die hij bezit: dus feitenkennis, zoals 4 3 = 12, kennis van rekenprocedures, bijvoorbeeld uitdeelprocedures, zoals uit enkele van de hiervoor gegeven voorbeelden blijkt. Daarnaast is er ook iets aan de orde dat voor de leerling nieuw is: hij heeft deze opgave nog nooit eerder opgelost, kent deze opgave in ieder geval niet van buiten en moet dientengevolge z n weg vinden in de gegevens. De leerling is, met andere woorden, voor een nieuw probleem geplaatst en moet voor de oplossing een selectie maken uit eerder verworven kennis en vaardigheden. Hij moet bijvoorbeeld de juiste bewerking kiezen en de bij die bewerking passende procedure. De leerling is mentaal actief en zet wiskundige zaken in gang. Je kunt dit met recht een wiskundige productie noemen. Natuurlijk zijn er ook leerlingen die met de opgave totaal geen raad weten en naar het antwoord raden. Misschien zijn er zelfs ook kinderen die een antwoord in het wilde weg gaven, omdat ze er geen zin in hadden mentaal productief te zijn. Dit duidt dan op een motivatieprobleem. Dit soort zaken komt in de kladjes niet tot uitdrukking. Veel zaken zijn en blijven het geheim van tussen de oren. Toch zouden we het geheim graag weten, omdat inzicht in dit geheim ons in staat stelt het denken van kinderen te begrijpen en daardoor beter hulp te bieden als er zich problemen voordoen. Hebben we dan iets aan het kladje? Dat zou het geval kunnen zijn als het kladje de structuur van het denkproces van kinderen zou weerspiegelen. Dit blijkt echter vaak niet het geval te zijn, zoals de hiervoor gegeven voorbeelden laten zien. We worden niet of nauwelijks wijzer van het antwoord op papier, ook niet als we het kladje ernaast bekijken. Misschien krijgen we zelfs geen inzicht als we met de leerling over zijn oplossing praten. Het laatste helpt natuurlijk wel het meest om zijn oplossing te begrijpen, omdat we de leerling iets dat we niet begrijpen, altijd nog kunnen vragen. Deze vragen gaan echter over de betekenis die kladblaadjes kunnen hebben ten behoeve van de analyse van een oplossing. We zouden echter het accent ook kunnen leggen op de betekenis die het kladblaadje voor het kind zelf heeft: onder welke voorwaarden heeft het kind iets aan zijn kladwerk voor het eigen oplossingsproces? Sommige deskundigen zijn van mening dat kladblaadjes niet bedoeld zijn voor de analyse van de oplossing door anderen, maar slechts steun bieden aan het eigen denkproces van de leerling. Dat kan waar zijn, maar dan zou men mogen verwachten dat de kwaliteit van het kladje van dien aard is, dat het daadwerkelijk steun voor het eigen denken betekent. Dat het dus reflectie op het eigen oplossingsproces mogelijk maakt of dat het model staat voor het eigen denken op hoger niveau. Daarom stellen we de vraag of het mogelijk is de leerlingen kladblaadjes te laten maken die hen in staat stellen op de eigen oplossing te reflecteren. 4 Het ontwikkelen van reflectieve vaardigheden Kladjes zijn niet voor analisten bedoeld, zeggen sommige deskundigen. Kinderen hebben baat bij het maken van kladblaadjes, omdat het hun eigen denkwerk tijdens het oplossen mede kan structureren. Indien dit het geval is zouden we kinderen echter moeten leren dit hulpmiddel ten volle uit te buiten (Nelissen, 1987, pag.179). Dit betekent dat we in het reken-wiskundeonderwijs veel meer aandacht dan gebruikelijk is moeten besteden aan het gebruik van kladblaadjes als hulp bij het denken. Dit zou betekenen dat we het reflectieve karakter van deze kladjes versterken. Als gevolg van dit oogmerk moeten we kinderen op gezette tijden in het onderwijs aanmoedigen kladjes te maken. Niet bij elke som die gemaakt wordt, maar af en toe en met zekere regelmaat. Vervolgens zouden we de kladjes tijdens individuele hulp of tijdens groepslessen in de klas ter sprake moeten brengen. Vaak wordt in modern reken-wiskundeonderwijs aan kinderen gevraagd hoe ze iets hebben uitgerekend. Kinderen vertellen dan hoe ze hebben gedacht. De vraag is of hun verslag achteraf het juiste beeld geeft van het oplossingsproces dat plaats heeft gevonden. Er zal in veel gevallen een gestroomlijnd denkproces worden weergegeven. Daar is op zich niets tegen. De leerling reflecteert op z n oplossing en selecteert daaruit wat hem in tweede instantie relevant en irrelevant lijkt. Het zoekproces naar de juiste oplossing en de missers in het oplossingsproces worden dus lang niet altijd voor het voetlicht gebracht. Als we de oplossing van kinderen door observaties en interviews zouden willen achterhalen, moeten we ons hiervan steeds bewust zijn: reflecties op het eigen oplossingsproces van kinderen zijn sterk gestroomlijnd en geven slechts in beperkte mate het reële oplossingsproces weer. In de realiteit verloopt dit veel chaotischer. jaargang 20 nummer 1 17

4 5 Reflectieve aspecten in het wiskundig denken Veel reken-wiskundedidactici benadrukken in hun geschriften de betekenis van reflectie in het leren van wiskunde. Er is sprake van een constructieve activiteit, die steeds gecontroleerd en beoordeeld moet worden. Dit wil zeggen dat op het eigen handelen gereflecteerd wordt, waarmee de leerling zich bewust wordt van het eigen mathematisch handelen. Freudenthal (Nelissen, 1987, pag.166) ziet het reflecteren uit de dialoog ontstaan, wat over het algemeen de dialoog met anderen zal zijn, maar mogelijk ook de dialoog met zichzelf. Nelissen zegt daar zelf het volgende over: de dialoog met de ander wordt geïnterioriseerd tot dialoog met jezelf. Ik zou in dit verband over reflectie willen spreken als geïnterioriseerde dialoog. (pag.160) In een achttal punten beschrijft hij vervolgens zijn standpunt ten aanzien van de vraag wat reflectie is. Enkele van deze punten zijn hiervoor reeds genoemd, maar voor de verhandeling in dit artikel is met name ook het vijfde punt van belang. Deze luidt: Reflectie is onder bepaalde voorwaarden, en in het onderwijs vooral op langere termijn, ontwikkelbaar en beïnvloedbaar. Ik neem deze stelling graag van Nelissen over en ga daarom in op de vraag hoe die beïnvloeding dan zou kunnen plaatsvinden. kwaliteit van het kladje sterk kunnen toenemen en krijgt het kladblaadje meer betekenis voor de reflectie van de leerling op zijn oplossing. Het kladje wordt hierdoor middel tot reflectie voor het kind zelf. Het kladblaadje krijgt deze functie als het oplossingsproces van het probleem ermee te traceren is. Soms ontwikkelt het kind een eigen oplossingsstructuur. In de eerdergenoemde voorbeelden lijkt dit vooral het geval met de oplossing in figuur 7. De eerste drie voorbeelden geven een externe oplossingsstructuur weer, zoals de leraar die wellicht op het bord heeft geschreven en die door deze kinderen waarschijnlijk goed begrepen is en daarom op het kladblaadje herhaald wordt. De kladblaadjes weerspiegelen het denkwerk van de kinderen onvoldoende en vormen daarom geen element in de reflectie op de oplossing van het probleem. In de overige kladblaadjes in figuur 5, 6, 8 en 9 lijkt de oplossingsstructuur evenmin adequaat, hoewel er wel aanzetten toe zijn. 7 Gebruik van tekeningetjes Als we kinderen vrij laten in het zoeken van mogelijkheden om hun denken te ondersteunen, kunnen we interessante wiskundige producties zien ontstaan. Zo vertelt Steinvoorte (1996) van een leerling, Thijs, die de volgende opgave maakt. Zes mannen van de plantsoenendienst laden ieder veertien jonge kastanjebomen op een vrachtauto. Reken uit hoeveel boompjes er naar de Kastanjelaan worden gebracht. De leerling maakt daarbij een tekening van de situatie zoals hij die voor de geest heeft (fig.10). 6 Aandacht voor het kladblaadje in de les De aanpak om kinderen aan te moedigen een kladblaadje te gebruiken, en om er vervolgens in de les aandacht aan te besteden, kan een belangrijke houdingsverandering bewerkstelligen. Opeens krijgt het kladje positieve aandacht. Je hoeft als kind niet meer in het geheim met een kladje te werken, het wordt aangemoedigd en er wordt zelfs in de les aandacht aan besteed. Daarmee heeft het kladblaadje een mate van legitimiteit gekregen die het voorheen niet had. Het gaat op het kladblaadje, kort gezegd, niet zozeer om het antwoord, maar om hoe de oplossing tot stand kwam. We mogen vervolgens verwachten dat kinderen na enige tijd hun kladblaadje naar eigen goeddunken gaan gebruiken, ook in gevallen waarin dit niet expliciet gevraagd is. Als ze niet direct uit een probleem komen, kunnen leerlingen hun kladblaadje raadplegen. Ze beheren zelf hun oplossingsproces en leggen hun denkstappen in het kladje vast. Na verloop van tijd zou door deze didactische aanpak de figuur 10 Steinvoorte kwalificeert de leerling als beelddenker. Dit wil zeggen dat de jongen, die eerst niet weet hoe hij de opgave aan zal pakken, een tekening maakt om steun te geven aan zijn denken. Je ziet in de tekening ook ontwikkeling: aanvankelijk tekent de leerling vrij precies vrachtauto s met duidelijk herkenbare bomen, later worden zowel de auto als de bomen schematischer. Het 18 tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs

5 gaat de leerling er dan zelfs niet meer om of het aantal bomen op de vrachtauto s elke keer veertien is. Ten leste is er een tot de essentie gereduceerde vrachtwagen met in de laadbak enkele streepjes, om precies te zijn acht, die de stammen van de bomen moeten voorstellen. Dat is dan voldoende en weerspiegelt zijn denkproces op adequate wijze. Er zijn dus kennelijk kinderen die een visueel beeld van een opgave produceren. Thijs is daar een voorbeeld van. Hij kan zich de oplossing voorstellen met behulp van een tekening. Veel kinderen werken echter schematischer, hoewel ook in beelden. In reken-wiskundeonderwijs, waar van meet af aan wordt toegewerkt naar snelheid in het oplossen en het maken van veel, vooral veel sommen, komen beelddenkers als Thijs tijd te kort. De tijd ontbreekt veelal om een tekening of een schema te maken die steun biedt bij het oplossen van een ingeklede opgave. Onder kladjes die van belang zijn voor het reflectief en productief oplossen van ingeklede opgaven, zouden tekeningen en schema s echter ook moeten worden gerekend en gewaardeerd. 8 Verbeteren van kladjes voor reflectie op het eigen denken Indien leerlingen wordt gevraagd kale opgaven als uit te rekenen, is het te verwachten dat ze de oplossingsstructuur die hen in het onderwijs is gegeven, op het kladblaadje zullen kopiëren en niet hun eigen denktrant. Het is belangrijk dat hetgeen je als leerling aan de leraar meedeelt in overeenstemming is met wat de leraar wenst te horen. Hierin staat het legitieme karakter van de reflectie centraal. De structuur van de oplossing is in de opgave in zekere zin al gegeven. Het is de meeste leerlingen duidelijk: er moet vermenigvuldigd worden, wat de leerling wordt meegedeeld door het -teken. In een ingeklede opgave als de gepresenteerde - het horloge als cadeautje voor moeder - is dit echter anders. Hoewel het hier om een deling gaat, staat er geen opdracht als zodanig en wordt het aan de kinderen overgelaten om de conclusie te trekken of delen of een andere bewerking de meest effectieve is. Er zullen dan ook leerlingen zijn die de oplossing vinden via andere bewerkingen, zoals vermenigvuldigen ( op-vermenigvuldigen ). Uit de selectie van het leerlingenwerk zijn hiervan bevestigingen te zien. 9 Conclusie We trekken uit het voorgaande de conclusie dat het kladblaadje dat leerlingen maken reflectie op het eigen denkproces mogelijk maakt. Deze rol van het kladblaadje vinden we echter niet of nauwelijks in het reken-wiskundeonderwijs terug. Indien we de betekenis daarvan inzien, zou het kladblaadje onderdeel moeten zijn van het onderwijsleerproces en zou in de les over de reflectieve kwaliteit van een kladblaadje moeten worden gediscussieerd. Indien dit reeds vanaf groep 4 of 5 met enige regelmaat wordt gedaan, zal die kwaliteit van het kladblaadje als reflectieve productie sterk vooruit kunnen gaan. Daarom wordt er in dit artikel voor gepleit dat kladblaadjes die leerlingen maken bij het oplossen van rekenopgaven, in alle leerjaren vanaf groep 5 in de klas aan de orde worden gesteld. Literatuur Nelissen, J.M.C. (1987). Kinderen leren wiskunde; Een studie over constructie en reflectie in het basisonderwijs. Gorinchem (proefschrift). Steinvoorte, S. (1996). Denkers en doeners. Willem Bartjens, 16(1), jaargang 20 nummer 1 19