Rekenen: vroeger en nu! Karin Lukassen Suzanne Sjoers

Transcriptie

1 Rekenen: vroeger en nu! Karin Lukassen Suzanne Sjoers

2 Rekenen: vroeger en nu!

3 Colofon Titel Rekenen: vroeger en nu! Auteurs Karin Lukassen, Suzanne Sjoers Vormgeving APS, Marije Koopmans Foto s Shutterstock Druk Drukkerij Ten Brink, Meppel Bestelnummer Bestellen Deze brochure is te bestellen bij BDC Meppel, Bestellen kan ook via Prijs 4,95 APS Utrecht, 2011

4 Inhoud 1. Inleiding 5 2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? 7 Wat is er met de jaren veranderd? 3. De ijsbergmetafoor Visies op rekenen Een goede aansluiting van groot belang 24 Bronnen 25 inhoud 3

5 1. Inleiding Voor u ligt het boekje Rekenen: vroeger en nu!. Dat leerlingen en studenten goed moeten kunnen rekenen, daar is iedereen het eigenlijk wel over eens. Hoe u leerlingen nu effectief, zinvol en motiverend een repertoire aan bruikbare rekenvaardigheden bijbrengt, is een zoektocht die velen ondernemen. Deze zoektocht zou moeten beginnen bij de basis. Hoe leren de leerlingen rekenen op de basisschool? Welke visie en methodiek liggen daaraan ten grondslag? Zijn die anders dan vroeger toen u rekenles had op de lagere school? Hoe kan daarbij binnen het voortgezet onderwijs en het middelbaar beroepsonderwijs aangesloten worden? Dit boekje geeft u, als docent in het voortgezet of middelbaar beroepsonderwijs, in een notendop inzicht in de huidige rekenmethodiek en didactiek in het basisonderwijs. Deze worden afgezet tegen de situatie van een eerdere tijd: de tijd waarin u mogelijk zelf, op de lagere school, rekenonderwijs genoten heeft. 1. Inleiding 5

6 Het boekje is niet bedoeld om uitputtend te zijn, maar om met sprekende voorbeelden een beeld te geven. Zo: krijgt u met behulp van de ijsbergmetafoor 1 uitgelegd dat het huidige rekenonderwijs meer is dan het oefenen van formele bewerkingen en dat er flink geïnvesteerd moet worden in het drijfvermogen, het rekenkundig en wiskundig denken en begrip; worden er voorbeelden gegeven van hoe aan vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken in de ijsberg gewerkt kan worden; krijgt u inzicht in wat er veranderd is in het rekenonderwijs op de basisscholen door de jaren heen; kunt u dezelfde rekentaal spreken als uw leerlingen en studenten. Laat het een inspiratie zijn in uw zoektocht! 1 Ontleend aan het artikel Een topje van de IJsberg (Boswinkel & Moerlands, 2003) rekenen: vroeger en nu! 6

7 2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? Wat is er met de jaren veranderd? Onderwijs is onderdeel van de maatschappij en binnen het onderwijs zijn docenten voortdurend op zoek naar wegen om leerlingen adequaat voor te bereiden op het functioneren in de huidige en toekomstige maatschappij. Zo ook binnen het rekenonderwijs. 2.1 Veranderende visie Onderstaande tabel geeft op hoofdlijnen aan wat de verschillen zijn tussen het rekenonderwijs op de basisschool van vroeger (25 jaar en langer geleden) en het rekenonderwijs nu. Het is bedoeld om enig inzicht te geven in de veranderde visie van waaruit het huidige rekenonderwijs wordt vormgegeven. 2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? Wat is er met de jaren veranderd? 7

8 Rekenen vroeger! Nadruk op cijferen Gericht op product Eén oplossingsstrategie is de juiste Eerst oefenen, dan begrijpen Weinig contexten, kale sommen Mechanistisch Rekenen als doel rekenen: vroeger en nu! 8

9 Rekenen nu! Nadruk op realistisch rekenen (opkomst: gecijferdheid) Gericht op proces Meerdere oplossingsstrategieën van leerlingen waarderen en gebruiken Eerst begrijpen, dan oefenen Contextrijk, passend bij leeftijd en leefwereld Realistisch Rekenen als middel 2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? Wat is er met de jaren veranderd? 9

10 2.2 Veranderende hulpmiddelen en technieken De rekenliniaal/rekenschijf is eeuwenlang een zeer gewaardeerd rekeninstrument geweest, dat in allerlei uitvoeringen zijn nut heeft bewezen. Rekenen met een rekenliniaal: het komt niet meer voor in een rekenles anno Daarvoor is de rekenmachine in de plaats gekomen, waardoor leerlingen sneller lastige berekeningen kunnen uitvoeren. rekenen: vroeger en nu! 10

11 De komst van deze rekenmachine heeft meer veranderd in de rekenles. Bijvoorbeeld de uitkomst van deze som: 24 : 4 x 3 50 jaar geleden was de uitkomst van deze som: 24 : 4 x 3 = 24 : 12 = 2 Tegenwoordig wordt de uitkomst 2 fout gerekend, want anno 2011 is de uitkomst: 24 : 4 x 3 = 6 x 3 = 18 De volgorde van de bewerkingen was tot in de vorige eeuw vastgelegd in het bekende ezelsbruggetje: Meneer ( 2 ) Van ( x ) Dalen ( : ) Wacht ( ) Op ( + ) Antwoord ( - ) Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord geldt niet meer. Tegenwoordig wordt de onderstaande, internationale bewerkingsvolgorde gebruikt: 1. bewerkingen tussen haakjes 2. machtsverheffen of worteltrekken (gelijkwaardig) 3. vermenigvuldigen of delen (gelijkwaardig) 4. optellen of aftrekken (gelijkwaardig) 2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? Wat is er met de jaren veranderd? 11

12 Deze bewerkingsvolgorde zegt: de rekenbewerkingen worden toegepast in de volgorde waarin ze staan. Komen echter optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in dezelfde bewerking voor, dan gaan vermenigvuldigen en delen voor optellen en aftrekken, echter ook in de volgorde waarin ze staan. De tegengestelde bewerkingen werden in de programmering dus gelijk aan elkaar gesteld en de volgorde van die bewerkingen bepaalde wat er als eerste moest worden gedaan. 24 : 4 x 3 is nu dus Tenzij je haakjes zet om de 4 x 3, want de haakjes hebben Meneer Van Dalen... wel overleefd. Ander voorbeeld: Oud: = 16-6 = 10 Nieuw: = = 18 De komst van de rekenmachine heeft onder andere deze veranderende techniek in bewerkingen teweeggebracht. 2.3 Veranderende aanpak hoofdbewerkingen Niet alleen de volgorde van de rekenbewerkingen is veranderd, ook worden er tegenwoordig andere aanpakken gebruikt om de basisstrategieën uit te leggen. rekenen: vroeger en nu! 12

13 Optellen Bij het optellen wordt het kolomsgewijs optellen aangeleerd voordat het cijferend uitgerekend kan worden. In essentie komt het er bij het kolomsgewijs rekenen op neer dat de leerling altijd snapt wat de grootte van de cijfers en getallen is waarmee hij werkt. De 3 in 534 staat voor 30. De 3 in 345 staat voor 300: ) 70 ( ) 9 + (4 + 5) 879 Of van rechts naar links: Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? Wat is er met de jaren veranderd? 13

14 Aftrekken Ook bij het aftrekken wordt het kolomsgewijs aftrekken aangeleerd. Dat ziet er als volgt uit: ( ) 20 (60-40) 2 (7-5) Of over het tiental/honderdtal heen: ( ) -20 (60-80 ) 1 (2-1) 181 ( ) rekenen: vroeger en nu! 14

15 Vermenigvuldigen Bij het vermenigvuldigen wordt het kolomsgewijs vermenigvuldigen aangeleerd, voordat het cijferend uitgerekend kan worden: 39 7 x 210 (7 x 30) 63 (7 x 9) Delen Bij het delen wordt de hapjesmethode aangeleerd. Uit het te verdelen getal worden steeds hapjes genomen, tot er niets meer over is, of een rest: 20 / 520 \ x x x + 26 x 2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? Wat is er met de jaren veranderd? 15

16 Sommige leerlingen nemen grotere hapjes, zij zien direct dat je een grotere hap van 20 keer 20 kunt nemen. De deling zal bij hen dan ook korter zijn, maar leidt tot dezelfde uitkomst. Bij het cijferend rekenen valt het begrip van hapjes nemen weg. Je moet de voorgeschreven stappen precies uitvoeren en dan zal het wel goed gaan. Het is meer mechanistisch. De aanpak om basisstrategieën uit te leggen is dus vaak heel anders dan wat docenten zelf hebben geleerd. rekenen: vroeger en nu! 16

17

18 3. De ijsbergmetafoor Na het basisonderwijs richten veel rekenmethoden zich vooral op formele bewerkingen (het topje van de ijsberg). Maar ook in het voortgezet en het middelbaar beroepsonderwijs loont het de moeite te blijven investeren in getalbegrip, verbindingen leggen, modelleren, herkennen in de praktijk, interpreteren en toepassen in de praktijk (het drijfvermogen en het verbinden van het rekenen met modellen en de werkelijkheid om ons heen). Veel leerlingen hebben immers nog niet voldoende tijd gehad om dit goed te ontwikkelen op de basisschool. Het drijfvermogen is bij hen (nog) niet voldoende ontwikkeld, al gaan de reken- en wiskundemethoden in het voortgezet en middelbaar beroepsonderwijs daar wel van uit. Het drijfvermogen van de ijsberg is het rekenkundig en wiskundig denken en dat is veel omvangrijker en fundamenteler dan het topje. Hoe meer in onderwijs wordt geïnvesteerd in het drijfvermogen, hoe stabieler de top wordt. Zonder drijfvermogen is er geen zichtbare top. In het basisonderwijs wordt geïnvesteerd in het drijfvermogen. De modellen en de praktische situaties moeten uiteraard aansluiten bij de leeftijd en de leefwereld van de leerlingen in het voortgezet onderwijs en de studenten in het mbo. Als leerlingen hun eigen werkelijkheid herkennen in de context, kan informele kennis hiermee bewust gemaakt worden. Bij alle aspecten van het rekenonderwijs zijn verkenningen van verschijningsvormen en functionaliteit van getallen en bewerkingen rekenen: vroeger en nu! 18

19 een noodzakelijk vertrekpunt. Vandaar dat dit in verschillende ijsbergen kan worden weergegeven. Het is niet zo dat alle leerlingen bovenstaande aanpakken gebruiken. Er is namelijk een bepaalde opbouw te vinden in de verschillende aanpakken. Leerlingen beginnen onder in de ijsberg wanneer ze in aanraking komen met een strategie als optellen, aftrekken of vermenigvuldigen. Helemaal onder in de ijsberg worden aanpakken aangeleerd waarin concreet gehandeld wordt. Wanneer een leerling deze aanpak beheerst, kan de stap naar een aanpak hoger in de ijsberg gemaakt worden: het symboliseren van deze concrete handeling. Nog steeds is dit niet de meest verkorte aanpak, die is te vinden in het topje van de ijsberg: het formele rekenen. Niet alle leerlingen zullen ooit het topje van de ijsberg bereiken, ofwel in staat zijn de kortste strategie te gebruiken. Het doel is vooral dat leerlingen de voor hen meest efficiënte strategie gaan gebruiken, dus zo hoog mogelijk in de ijsberg rekenen. Voor een docent is het van belang dat hij op elk niveau in de ijsberg leerlingen kan begeleiden bij het gebruiken van de betreffende strategie. Tegelijkertijd kan hij zo proberen de leerlingen hoger in de ijsberg te krijgen. Via enkele rekenopgaven lichten we deze opbouw toe. 3. de ijsbergmetafoor 19

20 Bij de opgave 25 x 16 zijn de volgende aanpakken te zien: 1. Cijferen: onder elkaar zetten 2. Handig rekenen: 25 x 16 = 50 x 8 3. Splitsen: 10 x x x Roostermodel 5. Rechthoekje tekenen (een zijde van 25 en een zijde van 16) 6. Herhaald optellen: (Dit wordt 16 keer herhaald. Deze methode kost veel tijd en rekenfouten worden makkelijk gemaakt. Toch wordt hiermee het concept vermenigvuldigen aangeleerd.) rekenen: vroeger en nu! 20

21 Voor een deelsom als 132 : 6 is een andere opbouw te maken: 1. Staartdeling 2. Hapjesmethode zonder schema 3. Schema maken en vervolgens hapjesmethode (verdubbelen) 12 4 (verdubbelen) (halveren) Tafel van 6 opzeggen 5. Groepjes van 6 maken 3. de ijsbergmetafoor 21

22 4. Visies op rekenen Er zijn grofweg drie visies op rekenen: cijferen, realistisch rekenen en gecijferdheid. cijferen 0,8 x 10 = realistisch rekenen Kevin en Melissa gaan samen knikkeren, want Kevin heeft 10 knikkers voor zijn verjaardag gekregen. Melissa heeft 20% minder knikkers dan Kevin. Hoeveel knikkers heeft zij? gecijferdheid Hoeveel kost de plant nu? 10,- 20% korting rekenen: vroeger en nu! 22

23 Er zit een volgordelijkheid in de ontwikkeling van deze visies. Vroeger was in ons land dat dreef op handel, scheepvaart en industrie de ambachtelijke vaardigheid van het uitvoeren van algoritmische bewerkingen op kale getallen (cijferen) van belang. De noodzaak om snel en goed uit het hoofd te kunnen rekenen was groot; er was immers ook nog geen rekenmachine voorhanden. Vanaf het midden van de jaren 90 is het realistisch rekenen geïntroduceerd; een sterke nadruk op contextrijk rekenen. Op dit moment is het realistisch rekenen de meest gangbare manier waarop reken- en wiskundeonderwijs in Nederland is ingericht. Gecijferdheid is een meer recente benadering. Meer nog dan bij het realistisch rekenen is de kwantitatieve kant van de wereld (rijk, gevarieerd en complex) om ons heen het uitgangspunt. Rekenen is geïntegreerd in het culturele, maatschappelijke, persoonlijke en emotionele handelen. Bij elke visie zitten, in meer of mindere mate, elementen uit de voorgaande visies. De ene visie is per definitie niet beter dan de andere, maar is vaak anders, passend bij de ontwikkelingen en vraagstukken van de dan geldende maatschappij. Op dit moment is er bijvoorbeeld veel discussie over het hedendaagse rekenonderwijs: kwaliteiten en vervormingen van realistisch rekenen worden tussen voor- en tegenstanders besproken. In die discussie gaat het over resultaten, over de inhoud van rekenonderwijs (wat) en over de manier waarop dat in de klas of groep wordt uitgevoerd. Uit het onderzoek Rekenonderwijs op de basisschool van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW) blijkt dat de docent in de klas of groep het verschil maakt. Dus aandacht voor de kwaliteit van de docenten is van belang. 4. Visies op rekenen 23

24 5. Een goede aansluiting van groot belang Het voorgaande laat zien dat we in onze zoektocht naar hoe we leerlingen en studenten op effectieve, zinvolle en motiverende wijze een repertoire aan bruikbare rekenvaardigheden kunnen bijbrengen, moeten focussen op een goede doorlopende lijn in het rekenonderwijs in de gehele schoolloopbaan van de leerling of student. Een goede aansluiting tussen scholen is een aansluiting op niveau en doelgroep, een aansluiting in methodiek en didactiek én een aansluiting bij de visie op rekenonderwijs, passend bij de ontwikkelingen en vraagstukken van de maatschappij. Het is van groot belang dat we met elkaar die aansluiting realiseren. En dat kan alleen als we dezelfde rekentaal spreken! rekenen: vroeger en nu! 24

25 Bronnen - Boswinkel, N. & F. Moerlands (2003). Het topje van de ijsberg. In: K. Goenewegen (red.), Nationale rekendagen 2002, een praktische terugblik. Utrecht: Freudenthal Instituut - Groenestein, M. van (2009). Van informeel handelen naar formeel rekenen. In: Volgens Bartjens, jaargang /2010 nr. 1 - Hoogland, K. e.a. (2009). Rekenen in het voortgezet onderwijs. Waarom? Wat? Hoe? Utrecht: APS - Tal-team. Kinderen leren rekenen bronnen 25

26 leren inspireren