Beschrijving van het experiment november-december 2000

Transcriptie

1 Beschrijving van het experiment november-december 2000 Betrokkenen Scholen: - KSG De Breul te Zeist, wiskundedocent Jeroen Zijlstra; - Kindergemeenschap de Werkplaats, wiskundedocent Gerard Huls. Klas: V4 (N-profielen). Vak: Wiskunde. Observator/onderzoeker: Michiel Doorman. Voorbereiding De voorbereiding van het experiment met de twee betrokken docenten start op 13 september Tijdens een bijeenkomst op die datum bespreken we (Gerard, Jeroen, Koeno en ik) een eerste versie van het lesmateriaal, de planning, de achtergronden van het materiaal, de rol van ICT en de verwachtingen ten aanzien van hun rol als docent. Over het materiaal zelf komen niet zoveel opmerkingen. Des te maar praten we over de achtergronden. In de eerste plaats over hun rol en het belang van de klassegesprekken om verschillende aanpakken te inventariseren en te vergelijken en om te reflecteren op de grote lijn. Bij die reflectie spelen vragen een rol als: hoe ver zijn we nu met het beschrijven van veranderingen? Kunnen we problemen uit het begin nu beter of sneller aanpakken? Zo n gesprek heeft dan de rol van een samenvatting van een paragraaf. Jeroen suggereert om daarbij een notulist aan te wijzen die een verslag maakt voor de hele klas. Een andere mogelijkheid die naar voren komt is om de samenvatting achter de hand te houden (in ieder geval niet kant en klaar in het pakketje). Gerard merkt op dat de leerlingen zullen moeten wennen aan opgaven waarbij ze zelf wat moeten proberen. Koeno: precies, we proberen hiermee te doorbreken dat leerlingen verwachten dat het vroeg of laat wel wordt uitgelegd. Dit kan natuurlijk een probleem zijn voor leerlingen die deze werkwijze niet ligt. Met dit onderzoek proberen we dus ook grip te krijgen op dergelijke spanningen tussen het ideaal en wat mogelijk is in de klas. Voor het experiment moeten de docenten nog wat schuiven met hun planning. Ik had gedacht aan minstens 10 lessen, terwijl Gerard hooguit 7 lessen voor dit onderwerp heeft gereserveerd. We spreken af dat op beide scholen 10 lessen aan het experiment worden besteed (excl. toets). Verder spreken we af om tijdens het experiment iedere maandagmiddag bij elkaar te komen om de ervaringen te bespreken. De software zelf kunnen we nog niet bespreken, omdat die nog in ontwikkeling is. Kort komen de ideeen achter de rol van de software in het lesmateriaal aan de orde. Op 5 oktober hebben we de tweede en laatste voorbespreking (Gerard, Jeroen en ik). Deze keer bespreken we vooral de organisatie. Les 2 en les 8 worden een computerles en daarvoor moet een computerlokaal worden gereserveerd. Verder bekijken we de manier waarop ik zal observeren en in welke gegevens ik met name geinteresseerd ben (video-opnamen van klassegesprekken, leerlinguitwerkingen van de opgaven, geluidsopnamen van groepjes die met de opgaven bezig zijn). Kortom, ik ben vooral geinteresseerd in het leerproces van de leerlingen. Op verzoek van Gerard zal ik beschrijven wat de overeenkomsten en de verschillen zijn van het onderwerp kinematica bij natuurkunde. Het blijkt namelijk dat zijn leerlingen dit onderwerp bij natuurkunde al gehad hebben (methode Scoop). Op de Breul komt dit onderwerp pas aan het eind van het jaar aan de orde (methode Newton). Verder bespreken we tijdens deze bijeenkomst het belang van de docentenhandleiding. Hoe directief zijn de aanwijzingen? We spreken af dat de docenten in grote lijnen de handleiding zullen volgen, en van tevoren zullen aangeven als ze hiervan gaan afwijken. Achteraf blijkt dit geen praktische afspraak. Gerard is benieuwd naar de aansluiting op de intuïtie en Page 1

2 ervaringswereld van de leerlingen. Hun ervaring is toch ook wat 50 km/u betekent en dat je dan 150 km in 3 uur aflegt. Waarom begint het materiaal niet daarmee? Ik licht de opbouw van het materiaal toe aan de hand van het schema met de opeenvolgende, op elkaar voortbouwende schematiseringen. Gerard begrijpt de aanpak, en is benieuwd naar hoe het werkt. Jeroen kan helaas niet een toets direct na het experiment over dit onderwerp afnemen. De toets moet namelijk passen in het vastgestelde Programma van Toetsing en Afronding (PTA). Er is weer een toets gepland op 14 december, Jeroen zal regelen dat die toets dan voornamelijk over dit onderwerp gaat. Ik deel schijfjes uit met voorlopige versies van de computerprogramma s met de vraag of ze die alvast op school kunnen testen. Maandag begint het experiment. We spreken af elkaar weer te zien op maandagmiddag 6-11 op de Werkplaats. Uitvoering De Breul Jeroen begint de eerste les met een korte uitleg over het experiment. Buiten stormt het. Dan vertelt hij dat we opgave 1 met z n allen zullen doen en geeft iedereen de tijd om het begin van het pakketje te lezen. In de handleiding zitten een aantal sheets van de weer-foto s die Jeroen bij de bespreking gebruikt. Leerlingen komen naar aanleiding van de weersituaties met nieuwe vragen: "je kunt wel zien hoe hard hij in die 3 uur gaat, maar je weet niet of hij dan (na die 3 uur) sneller of langzamer gaat." Zo ontstaat een discussie over wat je wel en wat je niet weet. Jeroen vat samen met het gebruik van tijdopnamen om beweging te beschrijven en te onderzoeken. Stukjes afgelegde weg noemen we verplaatsingen. Uitvoerig wordt gediscussieerd over de voorspelling die weerkundigen doen over de track van een orkaan. Wat baseren ze op grond van metingen en wat op grond van andere kennis? 22-8 om 23:00 uur Bij het voorspellen van wat er de volgende dag met een orkaan gebeurt die sinds drie dagen telkens meer aflegt, extrapoleert een leerling alleen de laatste verplaatsing. Een andere leerling geeft commentaar: "maar hij gaat steeds sneller." Na de les bespreken Jeroen en ik de goede participatie van de leerlingen en bekijken we Flits in de docentenkamer. Jeroen is enthousiast over de software en begrijpt de bedoeling. Hij heeft het computerlokaal gereserveerd, dus we zijn klaar voor de volgende les. De tweede les begint Jeroen met het nabespreken van het huiswerk. Leerlingen hebben thuis onder andere de opgave van het vallende balletje gemaakt. De verwachting is dat de bespreking van hun grafieken een goede instap geeft voor het werken met Flits. Drie dingen gaan vervolgens niet naar wens. Bij de bespreking van de grafieken schetst Jeroen de suggesties van de leerlingen direct als continue grafieken op het bord. Ik zie een leerling die een Page 2

3 stippengrafiek had ook direct een lijn door de stippen zetten (hieronder bijv. Inge verderop in het pakketje). Het volgende probleem is echter groter. Het blijkt dat in het computerlokaal een ander netwerk is ingericht dan in de docentenkamer. We kunnen niet bij de schijfeenheid A:\ en we kunnen het java-programma niet via internet draaien, omdat de benodigde optie van het internet-bladerprogramma is uitgezet. Jeroen gaat op zoek naar de systeembeheerder. Ik probeer klassikaal met de klas de opgave van de cheetah en de zebra te bespreken. Als Jeroen terug is met de systeembeheerder, probeert hij het euvel te verhelpen. Na de vertragingen is het bijna tijd en geeft Jeroen het huiswerk: t/m opgave 21 proberen zelf te doen. Computergebruik overslaan als het niet lukt om met het programmaatje thuis te werken. Achteraf blijkt ook nog dat ik de minidisc niet goed heb aangezet en dat geluisopnamen van de klassikale delen mislukt zijn. Na afloop nemen we een kopje koffie. We besluiten om de volgende les te beginnen met een bespreking van opgave 16 om vervolgens de leerlingen snel weer aan het werk te zetten. Ik hoop dat een aantal leerlingen thuis met het programmaatje kan werken en verder zal ik twee laptops meenemen waaraan afwisselend leerlingen dan toch nog met Flits kunnen werken. Als de leerlingen de derde les binnenkomen blijkt al snel dat slechts enkelen thuis met het programma hebben gewerkt. Jeroen begint met de bespreking van opgave 16. Bij een beweging met een constante snelheid staan in het verplaatsingsdiagram constant dezelfde verplaatsingen voor ieder tijdsinterval. verplaatsing (m) t (s) a. Als er sprake is van een constante snelheid, wat betekent dat voor het diagram met de afgelegde weg? b. Berekenen de constante snelheid met dit verplaatsingsdiagram. c. Het berekenen van de snelheid kan ook met het diagram van de afgelegde weg. Welke berekening krijg je dan? Dan blijkt dat toch wel veel leerlingen het huiswerk hebben bekeken. In ieder geval verloopt het klassegesprek over de betekenis en het gebruik van verplaatsingsdiagrammen en diagrammen van de afgelegde weg soepel. Het nut van deze diagrammen ten aanzien van het centrale probleem (hoe kun je bewegingen beschrijven, zodat...? waarom is dit handig? wat kunnen we nu precieser/sneller?) krijgt echter weinig aandacht. Page 3

4 Twee meisjes die met Flits-stok werken interpreteren in eerste instantie de verplaatsingsgrafieken als een grafiek van de hoogte van de stok. Ze ontdekken dat dit niet klopt, en uiteindelijk (na 15 minuten) gebruiken ze de grafieken op een goede manier bij de vragen naast het programma. Doordat we deze leerlingen die ruimte geven voor het zelf uitvinden van het gebruik van dit gereedschap bij de gestelde problemen hebben ze tijd nodig. Het lukt derhalve niet om meer dan de eerste twee koppels aan de computer te zetten. Sophia heeft problemen met opgave 21. Zij heeft niet met de computer gewerkt. Met haar ga ik stapsgewijs terug naar stippengrafieken en stroboscopische foto s. Zo lukt het om haar verder te helpen (i.p.v. s betekenis geven als vertikaal stukje in de grafiek van de afgelegde weg). Tijdens de nabespreking hebben Jeroen en ik het over het centrale probleem. De volgende les zal Jeroen dat ophalen aan de hand van het probleem rond de orkaan. Jeroen stelt voor om tijdens die bespreking iemand aan te wijzen die dan een verslag maakt, dat als samenvatting kan worden uitgedeeld. Jeroen heeft de vierde les grondig voorbereid. De leerlingen zijn in eerste instantie echter nogal opstandig, omdat ze deze les liever aan een proefwerk over H2 willen werken. Dat proefwerk krijgen ze over 2 lessen. Jeroen stelt hun gerust met de mededelingen dat hij het proefwerk maakt en dat de volgende les aan H2 zal worden besteed. Vervolgens stelt hij jet probleem van de orkaan weer aan de orde: we hebben enkele metingen en mistten toen onder andere wiskundig gereedschap om een goede voorspelling te doen over het moment dat de orkaan de kust zal raken. Leerlingen doe suggesties en op het bord verschijnen twee grafieken: verplaatsingen en afgelegde weg. De eerste laat zich eenvoudiger extrapoleren (constante toenamen), bij de tweede is het makkelijker om de plek van de kustlijn te markeren. Aan de hand van opgave 21 verplaatst Jeroen de discussie van verplaatsingen naar snelheid. In de discussie en de volgende opgave waar de leerlingen aan werken komt het onderscheid tussen gemiddelde en momentane snelheid naar voren. Na afloop is Jeroen tevreden. Volgens hem hebben de leerlingen de rode draad weer opgepakt. Hieraan voegt hij toe dat de stappen tijdens deze les precies op het goede moment kwamen. Tussen de vierde en de vijfde les zitten een aantal dagen vanwege het proefwerk van H2. Aan het begin van deze les deelt Jeroen de resultaten van Page 4

5 het proefwerk uit. Dat houdt even op. De meeste leerlingen hebben vrede met hun resultaat. Deze les laat Jeroen weer iemand notuleren. De notulist van de vorige keer mag een nieuwe aanwijzen. Jeroen geeft nog een paar aanwijzingen bij het verslag van de vorige les. Die zal zij verwerken zodat Jeroen voor de volgende les het kan kopieren en uitdelen. Het blijkt dat veel leerlingen moeite hadden met het huiswerk voor deze les. Jeroen bespreekt opgave 30 (terugblik op de orkaan) uitvoerig en gaat dan naar de nieuwe paragraaf over Galilei. Het idee is dat de leerlingen nu goed in de vingers hebben hoe ze kunnen redeneren over bewegingen met constante en constant-toenemende verplaatsingen. Vervolgens wordt bij de tekst en opgaven rond Galilei het volgende probleem aan de orde gesteld: Stel dat de verplaatsingen lineair toenemen bij iedere keuze van het tijdsinterval t. Moet dan ook gelden dat v = constante * t? Hier blijken leerlingen veel moeite mee te hebben. Jeroen heeft bij zijn bespreking van het huiswerk geen aandacht besteed aan de overgang van een verplaatsingsgrafiek naar een snelheidsgrafiek (opgave 29). Dit met het feit dat weinig leerlingen die opgave voor het huiswerk hadden gemaakt, is hiervoor m.i. een belangrijke oorzaak. Leerlingen moeten nu (te)veel stappen zelf maken. Jeroen komt bij de bespreking hier niet helemaal uit en geeft als huiswerk de opgaven 33 en 34 op waar ze nu tijdens de les mee kunnen beginnen. Veel leerlingen vinden het moeilijk. Tijdens de nabespreking is Jeroen bang dat hun zelfvertrouwen wegzakt. Eigenlijk hadden we niet lastige opgaven als huiswerk mee moeten geven, maar meer het type verwerkingsopgaven. Die kunnen helemaal oplossen en de volgende les komen ze dan positiever, met zelfvertrouwen de les in. Voor de volgende les maken we een planning zodat we hieraan tegemoet komen. Les 6 begint inderdaad wat stroef. Jeroen begint met het geruststellen van de leerlingen: "De opgaven waren lastig, de lastigste uit het hoofdstuk. Het is niet erg als je er niet kwam. We gaan opgave 33 met z n allen doen." Het bepalen van de constante in de snelheidsformule van de valbeweging van Galilei wordt nu uitvoerig behandeld. Circa vijf leerlingen participeren in de discussie. De rest volgt aandachtig. Uiteindelijk is voor de meeste leerlingen het verband tussen een diagram van verplaatsingen en een snelheidsgrafiek wel duidelijk. Suzanne s aantekeningen: Maar dit probleem was wellicht een te omslachtige weg. Volgens mij hebben niet veel leerlingen in de gaten welk probleem in de rode draad vandaag is opgelost. Volgens mij waren veel leerlingen wel tevreden over het feit dat "met de klas" een lastig probleem is opgelost. Helaas is te weinig tijd om ook alvast klassikaal in te gaan op de volgende opgaven. Het volgende probleem is: stel je neemt aan dat snelheid lineair toeneemt, kun je dan de afgelegde weg voorspellen? Kun je de hypothese over de valbeweging controleren door voor verschillende hoogten de valtijd te berekenen? Dit wordt wel in de opgaven aan de orde gesteld die ze nu als huiswerk meekrijgen: weer iets nieuws en dus geen verwerking. Page 5

6 De zevende les begint Sophia met protesteren. Ze snapt wat er staat, maar kan het niet in de opgaven toepassen. Het probleem dat zo ontstaat is dat jeroen weer veel tijd neemt voor het bespreken van de huiswerkopgaven. Nu participeren de meeste leerlingen in het klassegesprek. Aan de hand van opgave 35 krijgt de oppervlakte onder een v-t-grafiek betekenis. Weer komen we deze les tijd te kort. De volgende les staat gepland in het computerlokaal voor het programma Helling. Dat practicum moet echter inhoudelijk worden voorbereid met de opgave over Bommel en het verband met de rode draad. Jeroen en ik spreken af dat hij de volgende les begint in zijn eigen lokaal met een klassegesprek, terwijl ik in het computerlokaal alles op zal starten. Van les 8 heb ik helaas geen verslag van het klassikale gedeelte waarin Jeroen het practicum voorbereidt. Het practicum start met een benadering van een stukje van de grafiek van Bommel met een kwadratische formule. De vraag is: kun je de grootte van de snelheidsovertreding van Bommel achterhalen? Het programma werkt en ik installeer twee meisjes achter een computer waarop ik de camera richt. Alles doet het. Jeroen en ik lopen rond en begeleiden hier en daar koppels. Af en toe kijk ik van een afstandje naar de twee meisjes en heb het idee dat ze goed bezig zijn. De meeste leerlingen zijn goed bezig en veel ontdekken uit zichzelf het nut en het gebruik van het blauwe driehoekje (van een differentiequotient) voor het vinden van de snelheid op een moment. Voor les 9 spreken we af dat jeroen de overgang van het natuurkundige probleem van het bepalen van momentane snelheid naar het wiskundige probleem van de helling in een punt van een grafiek zal benadrukken. Als hij dit doet blijkt dat veel leerlingen vinden dat momentane snelheid hetzelfde is als helling. Jeroen gaat dan in op de andere letters en dat bij wiskunde de x en de y voor van alles kunnen staan. Het gaat niet per definitie over tijd en afgelegde weg. Tijdens de discussie wordt enkele keren verwezen naar het blauwe driehoekje uit het programma. Vervolgens gaat Jeroen in op het gebruik van de grafische rekenmachine. De overstap van naar het formele diff. quot. loopt nu veel soepeler dan vorig Page 6

7 jaar. Volgens mij hebben de meeste leerlingen nu snel in de gaten waarom je met f(6.001) - f(6) / de helling van f voor x = 6 benadert. Voor het huiswerk heb ik enkele verwerkingssommen samengesteld. Er zit wel iets nieuws in: de laatste opgave gaat over het berekenen van snelheden uit een worp waarvan de baan parabolisch verloopt. Ze zullen negatieve waarden krijgen. Kunnen ze dat plaatsen? Tijdens les 10 is de discussie over de worp heel aardig. Sommige leerlingen hebben positieve en andere negatieve snelheden. In ieder geval is duidelijk dat het teken bepaald wordt door een keuze of je aan de richting van de verplaatsing een teken toekent. Als leerlingen vragen waarom je daarvoor zou kiezen is Jeroen helaas even kwijt dat dat handig kan zijn als je afgelegde weg zou willen vergelijken met positieverandering (je kunt een heleboel afleggen en toch uiteindelijk op dezelfde positie staan). Tegen het eind van de les geeft hij de leerlingen de opdracht om het hele hoofdstuk nog eens door te bladeren en de belangrijkste punten op een rijtje te zetten. Na afloop nemen we de papieren in waarop de leerlingen dit hebben gedaan. De extra opgaven achterin bewaart Jeroen voor de voorbereiding op het proefwerk over 2 weken. Uitvoering De Werkplaats De eerste les is maandag het eerste uur. Leerlingen druppelen binnen, ook nadat de bel al gegaan is. Ondertussen is Gerard begonnen met een uitvoerige beschrijving van het experiment: een betere afstemming tussen natuur- en wiskunde en de computer zijn twee belangrijke elementen. Vervolgens laat hij iedereen zelf aan de eerste opgaven beginnen. De sfeer is rustig. Af en toe komt er nog iemand binnen. Al snel blijkt dat deze leerlingen de beginselen van de kinematica al achter de rug hebben. Bij de opgave over Olivia wordt de beweging gekarakteriseerd met eenparig versneld. Desondanks blijkt tijdens het klassegesprek achteraf dat veel leerlingen moeite hebben met het extrapoleren van een patroon. Ze zijn geneigd om alleen de laatste verplaatsing te kopieren. Een aantal leerlingen hebben het gevoel dat ze het bij nk al hebben gehad. het lijkt er op dat ze daardoor sneller door de vragen heen gaan en er minder diepgang is dan bij de Breul. De tweede les in het computerlokaal blijkt dat weinig leelringen hun huiswerk hebben gemaakt. Ze willen snel en direct beginnen, maar begrijpen niet precies wat er van hun wordt verwacht. Na een kwartier is bijna iedereen wel goed bezig. Hoewel enkele leerlingen de hele les zich af en toe laten afleiden door de mogelijkheden van internet. De twee achter de computer worstelen een tijd met de opgave over de stok: wat betekenen de staafjes op het scherm? wat was de vraag? Tegen het eind van de les, bij de cheetah, loopt het gesmeerd: Page 7

8 Ah, de cheetah. (M schrijft e.e.a. op) Na iedere 5 seconden. Moet je nou gaan kijken wanneer de cheetah iemand anders inhaalt ofzo? (is aan het klikken met muis) ( ) J: Kijk, de cheetah haalt hem hier in, he? Zie je dat? (kijken samen) M: Ja. ( ) Zielig voor de zebra (schrijft) Ja, nou moet je het eerste dingetje moet je weghalen en dan daar beginnen en dan kijken of ie hem nog inhaalt. J: Ja, dat kan dus niet, he M: Jawel. (...) J: Ja. Hee, maar ho, volgens mij klopt dit niet. M: O nee, want je moet hier twee keer J: Ja, je moet hier twee keer klikken. M: Ja, hij haalt hem nog wel in. J: Het is gelijk, maar hij haalt hem niet in. Nou, hij haalt hem wel in, maar Nou, gewoon ja. M: Kan de cheetah dus een voorsprong op een zebra van 100 m. overbruggen? Allebei: ja. (...) Michiel: Bij welke vraag zijn jullie nu? J + M: 15. Michiel: En lukt dat? J+M: Ja, hoor. Michiel: O ja, dat was de vraag of ie als ie later zou starten, of ie dan ook nog M: Ja, dan haalt ie hem ook nog in. Michiel: Ja? Waaruit hebben jullie dat geconcludeerd? M: Ehh, dan zet je er hier twee op elkaar en dan zie je hier dat ze allebei gelijk zijn. Michiel: Ja. En welke van de twee grafieken is dat? J+M: Dat is de afgelegde weg. Michiel: O ja. Waarom heb je die van de afgelegde weg gekozen? J: Ja, omdat het de weg is die ze afleggen en dan kan je M: Dan kan je zien of ze elkaar inhalen. Michiel: En bij die andere kun je dat daar niet zien dan? Daar kan je toch ook zien dat de rode de blauwe inhaalt? J: Ja maar M: Ja maar dat is dan op 1 moment. Dat betekent alleen dat hij op dat moment harder gaat, maar niet dat ie ook de zebra inhaalt. Michiel: Ja, precies. (M schrijft antwoorden op, J helpt daarbij) Page 8

9 Na afloop bespreek ik de les met Gerard. Hij adviseert om leerlingen op de werkbladen de antwoorden te laten schrijven. Dan worden ze meer gedwongen om na te denken en daarover iets op te schrijven. De volgende les blijken de leerlingen niet op te komen dagen. Ze hebben kunstendag. Met Gerard benut ik de tijd om het vervolg te bespreken. Eerst vertel ik hoe Jeroen een aantal keer lijnen trok door toppen van diagrammen en dat leerlingen dat zo massaal overnamen. En dat terwijl je juist nog niet iets over het continue verloop weet. Bij opgave 25 (over momentane snelheid na 25 s., hoe loopt grafiek verder?) gingen leerlingen ook snel over tot het vervolgen van de laatste verplaatsing (met t = 5 s.). Jeroen pakte dat echter mooi op met verschillende manieren van heen en weer lopen voor de klas. Gerard geeft toe dat hij ook dacht dat je gewoon de laatste verplaatsing moest voortzetten. De vraag roept niet op om dit te nuanceren. We hebben het even over het onderscheid tussen discreet en continu. Eigenlijk weet je op grond van metingen nooit de momentane snelheid. Dat lukt alleen met een formule. Maar dan vraag je je af waar die formule vandaan komt. Hier bekijken we alleen nog maar verplaatsingen over een interval. Ik denk nog aan de mogelijkheid waarbij je een lineair toenemend verplaatsingsdiagram geeft met t = 5 s. en vraagt naar twee verschillende mogelijke verplaatsingsdiagrammen met t = 1 s.dit lijkt ook op het voorstel van Jeroen n.a.v. opgave 25. We spreken af dat Gerard deze opgave 25 klassikaal zal bespreken. Waarbij leerlingen wellicht de verplaatsing van de laatste 5 s. zullen voortzetten en Gerard vervolgens zal vragen wat je zou denken als je de laatste 10 s. bekijkt. Naar aanleiding van die discussie zal Gerard dan ook de leerlingen wijzen op het zandlopertje naast de opgave: het is een denksom. Hoewel in dit geval het denken niet direct van de leerlingen verwacht had mogen worden, de docent speelt hier een belangrijk rol bij het denken van de leerlingen. De derde les is het weer maandagochtend. Bij het begin van de les zijn er maar 12 leerlingen (van de 18). Gerard begint met het uitdelen van een nagekeken toets van het vorige hoofdstuk. Vervolgens behandelt hij enkele vragen. Tot slot leest hij rapportcijfers voor en dan gaat de bel. De vierde les, inmiddels een week na het computerpraktikum, begint Gerard met het nabespreken van dit praktikum. Hij vraagt enkele leerlingen waar het over ging en naar het verschil tussen verplaatsingen en afgelegde weg. Het gesprek loopt snel en Gerard concludeert dat de leerlingen het goed hebben opgepakt. Hij deelt de antwoorden van de opgaven uit en vraagt de leerlingen om hun sommen na te kijken en daarna verder te werken. Gerard bereidt op het bord een nabespreking van opgave 25 voor. Als hij vervolgens rond loopt, dan vindt hij dat te weinig leerlingen er aan toe zijn. Het tempo loopt erg uiteen. Ik heb een groepje met opgave 33 geholpen. De klassikale bespreking stelt hij uit tot de volgende les. Bijna een week later is de vijfde les. Gerard vindt dat de leerlingen teveel afgeleid zijn tijdens het zelfstandig werken. Meer eenvoudige oefenopgaven zijn volgens hem nodig. Maar het rommelige lessenschema is hier volgens mij ook debet aan. De bespreking van opgave 25 gaat vervolgens heel aardig. Page 9

10 Hieronder zie je een diagram van de afgelegde weg van een dier dat begint met rennen. Stel dat na 25 seconden de snelheid van het dier niet meer verandert. Teken hoe dan het verplaatsingsdiagram en het vervolg van het diagram van de afgelegde weg eruit zouden zien. Als je niet helemaal zeker bent over je tekening, geef dan aan waarom niet. afgelegde weg 8 (m) tijd (s) Er ontstaat een discussie tussen de leerlingen wat je nu wel en wat je niet kan concluderen met de gegeven grafiek. De mogelijkheden varieren van stil staan tot de laatste verplaatsing voortzetten (trek een schuine lijn). Sommige leerlingen worden zenuwachtig: "moet je dit op een proefwerk ook kunnen?" (Kennelijk ligt dat wat tijdens de les gebeurt dicht bij wat van hun op het proefwerk wordt verwacht.) Na een tijdje blijken veel leerlingen af te haken. Gerard zet ze aan het werk. Bij opgave 33 over de vallende steen zijn enkele leerlingen op zoek hoe ze nk-formules x(t) en v(t) van de wrijvingloze valbeweging kunnen toepassen. Gerard zat bij twee jongens en liep tegen het volgende probleem. Als je de gesuggereerde redenering volgt bij opgave 31 e.v. (berekende gemiddelde verplaatsing m, dat is de middelste die wordt in x stappen bereikt, dus verplaatsingen nemen vanaf 0 lineair met m/x toe), vervolgens een grafiek van gemiddelde snelheden maakt en op zoek gaat naar de v-t-grafiek van de eenparig versnelde beweging, dan krijg je iets dat niet door de oorsprong gaat: v (m/s) Waar zit het probleem? Kennelijk is het voor eenparig versneld vanaf 0 niet voldoende om te suggereren dat de verplaatsingen lineair toenemen. Essentieel is dat de verplaatsingen zich verhouden als 1:3:5:7:... Dat had ik me niet gerealiseerd. Gelukkig is wel duidelijk dat het hier een benadering betreft. En hoe kleiner je de tijdsintervallen kiest, hoe beter je de gevraagde v-t-grafiek benadert. t (s) Page 10

11 De zesde les begint Gerard met een uitvoerige bespreking van opgave 31: het balletje en de belletjes van Galilei. Het gesprek loopt, maar er komen weinig reacties uit de klas. Hij geeft als huiswerk t/m opgave 35. Tijdens het werken van de leerlingen blijkt dat ze het allemaal lastig vinden. Gerard vindt het rumoerig in de klas: "ze kunnen met deze sommen niet lekker doorwerken, en dan gaan ze iets anders doen." De uitwerking hiernaast door Mette van opgave 33 laat zien hoe het gebruik van formules kan mislopen. Het begin is goed, maar als ze met de gemiddelde snelheid probeert de versnelling (de gezochte constante) te berekenen vergeet ze dat die gemiddelde snelheid halverwege al bereikt wordt. Met Gerard spreek ik af om een uitgebreide uitwerking van opgave 33 te maken. Er zijn nog 4 lessen voor het experiment. Gerard deelt de zevende les een studiewijzer uit voor de periode tot de kerst. Vervolgens vraagt hij of leerlingen moeite hadden met opgave 34. Het blijkt dat weinig leerlingen deze opgave hebben gemaakt. Een leerling maakt een opmerking over het antwoord in het antwoordenboekje. Nu pakken meer leerlingen het antwoordenboekje erbij tijdens het werken. Gerard geeft ze daarvoor veel tijd deze les. In de achtste les blikt Gerard nog een keer terug op het voorgaande met de uitwerking van opgave 33. Hij laat zien dat je met verplaatsingen die zich verhouden als 1:3:5:7 wel goed uitkomt met de v-t-grafiek. Even ontstaat dan toch weer verwarring over de betekenis van de vertikale as: verplaatsingen of snelheden? Gerard onderbreekt op een gegeven moment de discussie om voortgang te maken: de volgende les is een computerpraktikum en de leerlingen moeten daarvoor wel de opgaven over Bommel en het probleem van de snelheidsovertreding en momentane snelheid bekeken hebben (t/m 46). Tijdens de negende les werken twee leerlingen voor de camera met Helling. Ze zijn een tijd op zoek naar de betekenis van het programma (inhoudelijk slecht voorbereid, en in het computerlokaal neemt Gerard geen tijd voor een klassikale introductie omdat dat volgens hem niet werkt). Na een tijdje komt Gerard langs en zij vragen hem naar de connectie tussen het differentiequotient en de lineaire voortzetting. Gerard laat zien hoe je de helling van de lin. voort. benadert door de twee blauwe punten van het diff.quot. daar dicht bij elkaar te zetten. Dan blijken ze het ineens makkelijk te vinden en gaan snel door de opgaven heen. Het tweede uur van dit blokuur is de tiende en laatste volledige les. Gerard bespreekt klassikaal opgave 46 waarbij een momentane snelheid moet worden benaderd. Chris (een zittenblijver) vertelt hoe hij het gedaan heeft met de GR: y(x+0.001)-y(x) / Heleen reageert: "Kun je niet beter een punt net ervoor kiezen? y(x+0.001)-y(x-0.001). Een punt erboven en er beneden en dan Page 11

12 bereken je de helling. Eigenlijk net zoals met de computer." Als Gerard enkele leerlingen vraagt of ze dit kunnen volgen lijkt het voor iedereen duidelijk. Verbazend is echter de grafiek die Quen maakt van het balletje dat omhoog geschoten wordt. Voor het berekenen van de snelheden gebruikt ze de grafische rekenmachine (trace en vervolgens calc dy/dx), maar als dan de v-t-grafiek wordt gevraagd, tekent ze: De volgende week gebruikt Gerard een deel van het blokuur op donderdag om het geheel nog eens samen te vatten. Gerard deelt een samenvatting die hij gemaakt heeft uit. Klassikaal volgt hij de samenvatting die hij op papier heeft gezet. Af en toe vraagt hij inbreng van de leerlingen, maar het valt hun niet mee om te bedenken wat Gerard horen wil. <<Opmerkingen>> Pas achteraf signaleer ik bepaalde patronen in de klas die erop wijzen dat er meer aan attidude aspecten gedaan had kunnen worden, de "vis-attitude" vermoedelijk als gevolg van: nk al gehad (wanneer komt nu die formule s=1/2 at 2, daar gaat het toch om), zwakke groep (in de derde ook al), klimaat op school (veel verantwoordelijkheid bij de leerling, minder bij het met z n allen een probleem oplossen), er is weninig tijd om de klas te begeleiden bij het oplossen van een probleem, er kwam weinig uit de klas en vanwege korte lessen (45 minuten rooster met leerlingen die regelmatig te laat komen). Nabespreking met Jeroen en Gerard De opbouw weer - stroboscopische foto s - verplaatsingen en afgelegde weg - Galileï - Bommel - differentiequotiënt. Heeft dit geleid tot een beter begrip van grafieken en diff.quot.? Jeroen: volgens mij heeft het wel goed gewerkt. De parallelklas had uiteindelijk ook 10 lessen nodig. Dus het is in ieder geval niet teveel. Sommige opgaven, bijvoorbeeld rond Galileï bouwen (te)veel voort op het voorgaande. Daardoor is het voor hun moeilijk om huiswerk te maken. Ze kunnen Page 12

13 bijna niet het huiswerk zelf af krijgen. Daardoor komen ze ontevredener binnen. Het is voor hun prettiger als je als huiswerk meer verwerkings-, oefenopgaven kunt geven. Het kan natuurlijk wel eens op deze manier, maar dan benadrukken en aangeven dat het om hun pogingen gaat. Gerard: Als dat dan een paar keer gedaan wordt, dan weten ze dat ook beter. Nu raken ze ontmoedigd. Michiel: die zelf-probeer-opgaven vooral voor tijdens de les reserveren. Gerard: De intenties snap ik. Maar hoe het bij leerlingen overkomt daarvan krijg ik heel moeilijk een beeld. Van alles gezien. Maar ik durf ik niet te zeggen dat het het beter gaat. Ik vraag me af of leerlingen het beter begrijpen. Een aantal hebben het als heel omslachtig ervaren. Ze hadden al het een en ander bij natuurkunde gehad. Of je die stokjes nodig hebt, of dat tot een beter begrip leidt? Dat weet ik niet. We vergelijken het even met het profi-materiaal. Dat is meer algebraïsch, terwijl hier meer de nadruk ligt op een grafische inleiding. Jeroen: leerlingen worstelden met de lange lijn. Dit zijn ze niet gewend. In het boek zijn de stukjes behapbaarder. Jeroen: Uiteindelijk gaat het om hellingsfuncties. Je wil de helling in punt (2,...), dan vul je 2 in in de afgeleide. Gerard: Dat perspectief... Jeroen: Dat hebben ze nog niet. Gerard: Ze hebben die vraag ook niet. Je doet je best om daar naar toe te bouwen. Ik zie dat wel. Heb met veel plezier gewerkt. Maar zij zien het niet. Ik denk dat zij nog niet ervaren dat het geheel een mooi stuk wiskunde is. Het onderwerp leent zich er niet goed voor. Michiel: Komt dat doordat het perspectief te ver af ligt van de vraagstelling waarmee het materiaal begint? Gerard: Om een momentane snelheid te berekenen is voor hun nauwelijks een reden. Hoe verzin je het? Ik kan het ook niet verzonnen krijgen. Als je in de auto op de kilometerteller kijkt dan kun je het zo af lezen. Om daar nou met differentiequotienten te gaan werken, en dan met limieten en met mooie formules... Voor de leerling kan dat bijna geen vraag zijn waar die antwoord op wil weten. Daar zit een kloof, die je eigenlijk pas kan overbruggen als je het probleem hebt opgelost. Michiel: Dan kan de vraag zijn of je het hiermee zo hebt voorbereid, dat zij als het probleem is opgelost, goed begrijpen welk probleem ze met dit differentiequotiënt hebben opgelost. Gerard: Daar ben ik dus nog niet helemaal uit. Graag zou ik deze leerlingen in 5vwo met het profi materiaal zien werken. De formules waren daar een breekpunt, ze raakten de draad kwijt. Deze groep zou dan misschien beter moeten gaan. Dan zou je kunnen kijken of deze groep meer heeft vastgehouden van dit traject. Die vorige groep had zelfs in 6vwo nog problemen met de samenhang tussen differentieren en integreren. Terwijl eigenlijk hier de kiem al wordt gelegd. Als ze dit goed begrijpen, dan hebben ze het gesnapt. Ze hebben nu langer kunnen werken zonder die formule ballast. Page 13

14 Michiel: Dat is een goede suggestie. De rol van ICT m.b.t. zelf ontdekken en betekenis geven - Flits: foto s - afstanden afpassen - nut en betekenis van verplaatsingsdiagram en diagram van de afgelegde weg. - Helling: verloop van de s-t-grafiek als v niet meer verandert - blauwe driehoekje, momentane snelheid en diff. quot. Jeroen: Flits, laat maar. Wat helling betreft, meer een algemene opmerking: het is sowieso goed als afwisseling. Ik vond het een mooi programmaatje. Het verhoogde het begrip wel. Ik weet niet of als we de les op een andere manier hadden ingericht niet hetzelfde resultaat zou worden bereikt. Ze kregen nu wel een idee als die lijn steiler wordt, dan wordt die vervolg lijn steiler en dat kun je aanpassen (Jeroen gebaart in de lucht). Maar de rol van ICT is ontzettend afhankelijk van externe omstandigheden. Michiel: Dat beeld van het blauwe driehoekje waarmee ze hebben gewerkt zit misschien visueel sterk verankerd. Daar kun je later naar verwijzen. Dat is dat driehoekje dat je klein kunt maken en waarmee je dan de helling in een punt kun benaderen. Gerard: (In eerder gesprek hierover m.b.t. vormgeving van het lesmateriaal: duidelijker aangeven dat je verwacht dat ze een antwoord opschrijven. Anders snel te vluchtig. Dus graag werkbladen met invulruimte.) Bij helling had niet iedereen het huiswerk van tevoren gemaakt. Dat kan ik dan ook niet meer in het computerlokaal bespreken. Dat was een hinder. Ze gaan het huiswerk dan ook niet meer doen voordat ze met de computer beginnen. Degene die het gedaan hadden, hadden ook zo een weg gevonden binnen die computeropdrachten. Dat had ook wel het gewenste effect. Bij een aantal was wel duidelijk dat het de lijn was van een constante snelheid die je in beeld kreeg. Maar als je hier vraagt wat heeft deze activiteit te maken met al het voorgaande? Behalve dat die lijn een constante snelheid weergeeft. Of je daarvoor het hele verhaal met die stokjes nodig had en die vondst van Galileï met die oppervlaktes? Ik weet dat het ermee te maken heeft, of dat voor die kinderen een bijdrage heeft geleverd? Je hoeft toch niet zo diep om te zien dat een rechte lijn in een s- t-grafiek voor een constante snelheid staat. Michiel: Vorig jaar hebben we een meer uitgekleede versie uitgeprobeerd. Daar bleek dat leerlingen uiteindelijk bij het differentiequotient niet goed die Dy en Dx in de grafiek konden benoemen. Door dit voorwerk hoop ik dat ze makkelijker die Dy en die Dx koppelen aan toenamen in de grafiek. Ik hoop in de protocollen indicaties te vinden die aangeven dat er nu een meer natuurlijk verloop in zit. Gerard: Ik vond het heel leuk. Ik wil donderdag tijdens de samenvatting daar nog wel op terug komen. Probleemstellend Het kernprobleem: hoe bewegingen beschrijven om te kunnen voorspellen? Het wiskundige modelleren van natuurkundige problemen, wisselwerking wi en nk? Jeroen: Het kernprobleem was lastig. Die wisselwerking tussen natuurkunde en wiskunde gebeurde heel aardig. Zelfs ook bij die ca. 9 leerlingen uit het profiel E&M die dus geen natuurkunde, maar wel wiskunde B1 hebben gekozen Page 14

15 i.p.v. wiskunde A1,2. De context was geen probleem. Hun natuurkundige intuïtie was hiervoor voldoende. Wel leuk dat die orkaan zo af en toe weer terug kwam. Michiel: De vraag is ook of ze in de gaten hebben wat het onderscheid is tussen de natuurkundige en wiskundige ontwikkeling? Dat uiteindelijk het differentiequotient wiskundig gereedschap is, los van snelheid en afgelegde weg. Jeroen: Ja, dat kwam aan het eind wel op het goede moment. Michiel: Misschien te weinig goede andere toepassingen. Die kon ik niet vinden. Jeroen: Misschien economisch... Gerard: Dat model kan continu, maar dan klopt het niet meer. De werkelijkheid is discreet. Tijd is continu, maar (kennis over) hoeveelheden zijn bijna altijd discreet. Jeroen: Ja maar economen maken zich daar niet zo druk over. Dan moet de werkelijkheid zich maar aan het model aanpassen. Rol van klassegesprekken Leerlingen in eerste instantie gelegenheid geven om zelf een oplossing te vinden, vervolgens kristalliseert in klassegesprekken het beoogde. Heeft dit gewerkt? Jeroen: Ik vind dat ik de afgelopen lessen teveel aan het woord ben geweest. Na het huiswerk kwam de helft van de klas bij me dat ze de helft niet begrepen hadden. Dat was teveel. Als je dat als leerling drie keer overkomt, dan gaat de moed je in de schoenen zakken. De motivatie is dan klein om het nog een keer te proberen. Daardoor was ik soms de halve les bezig om het huiswerk te behandelen en kon daarna pas verder met wat eigenlijk de bedoeling was. En dat geeft bij hun weer een houding van "het wordt toch wel behandeld". Gerard: Het moet bij een aantal opgaven duidelijk zijn dat ze wat kunnen proberen en dat we daar dan samen over gaan praten en dat ik en zij dan tevreden zijn. Dat kan ook moeilijk anders. Tenzij het allemaal kleine Galileï-tjes zijn. Jeroen: Dat was ook een mooie opmerking van Björn een keer. Die zei: als ze de hele 17e eeuw erover gedaan hebben, waarom moeten wij het dan in 10 lessen? Jeroen: Wat ik van de klassegesprekken zelf vond is dat ik te weinig uit de leerlingen vond komen. Ik had dat niet allemaal zelf willen vertellen. Gerard beaamt dit, maar vindt dat geen groot probleem. Het is nu eenmaal een lastig onderwerp. Ik heb alleen de ambitie dat ze iets snappen van het probleem waar je mee bezig bent. Ik verwacht ook niet dat ze het ooit anders kunnen. Michiel: Misschien kun je wel meer bereiken door het huiswerk-probleem op te lossen. Daardoor hebben ze het nu op een gegeven moment meer laten zitten. Gerard: Maar dan moet je in de sommen meer voorzeggen. Michiel: nee, het gaat ook om een werkhouding. Nu raakten ze ontmoedigt en werden passief. Als je ze tijdens het huiswerk een goed vertrouwen kunt geven, Page 15

16 dan kan het zijn dat ze bij de denk-opgaven zich meer inspannen dan ze nu hebben gedaan en dat ze daardoor bij de klassegesprekken misschien een grotere inbreng zouden hebben. (Bij Jeroen in het begin trouwens erg veel inbreng.) Gerard: Ja afwisseling moet er meer in zitten. En dan bij enkele sommen waarschuwen: daar kom je toch niet uit, maar daar moet je een kwartier aan werken. Dan kennen ze in ieder geval het probleem. Het vervolg of hoe beklijft het? Bijv. hfst A5 opg 15 of 25, hfst A9 en/of kijken bij nk? Jeroen slaat nu even deze opgaven van A5 over. Maandag a.s. zal hij ze waarschijnlijk klassikaal behandelen. (Ga ik dan langs?) Vervolg: - wiskundehoofdstuk A9; - nk op de Breul; - profipakketje op de werkplaats. Overige opmerkingen t.a.v. lesmateriaal en het experiment. Sterke / zwakke punten. Jeroen: Er zaten sterke sommen in en zwakke sommen. Bij sommige opgaven werd te snel gebruik gemaakt van het voorgaande (wat ze gemist konden hebben). Jeroen: Ik had het idee dat mijn klas er halverwege genoeg van had. Niet alleen vanwege de moeilijkheid van de opgaven maar ook vanwege het (moeilijke, slecht gemaakte) proefwerk dat het experiment doorkruiste. het was wel wennen door de andere stijl in vergelijking met het boek. Gerard: Bij ons komen ze niet gauw met kritiek op een experiment. Dat is meer een cultuur bij ons op school. De aandacht verslapte wel. Dat heb je ook wel eens met het boek. Dan moet je ingrijpen. We hebben eigenlijk al aangewezen waar dat aan ligt. Nabespreking met drie Breul- leerlingen M: Michiel B: Bjorn S: Suzanne I: Inge M: Zullen we de vragen van dit papier maar langs lopen? I: Ok, dit zijn dus de vragen. M: Eerst vertel ik waar het experiment over ging: alternatief voor H3 uit het boek. H3 gaat naar diff. quot. toe. Dat is vroeger in nk-context ontwikkeld. Ik kijk of die historische weg ook in leerlingenmateriaal is uit te werken. Daarvoor is dit pakketje tot stand gekomen. Een aantal dingen gingen goed en een aantal niet goed. Daar wil ik ook met jullie op in gaan. Wellicht hebben jullie zelf nog opmerkingen. We beginnen met deze vragen en dan kunnen jullie daarna zelf nog aanvullen. Ok? Zij: Ok. M: Wat was volgens jullie het centrale probleem? S: Afstand en snelheid. M: Dat is nog geen probleem. S: Hoe je de snelheid kunt berekenen. M: Ja. S: Toch? Page 16

17 M: Kun je nog wat voorbeelden geven waar dat uit blijkt in het pakketje. S: Afstand delen door de tijd en dan kun je de snelheid berekenen. Het begon met diagrammen van verplaatsing en afgelegde weg. M: Inge, wat heet jij? I: Ik had centraal verplaatsing. Snelheid wordt een beetje uitgelegd. M: die diagrammen in het begin, wat hadden die ermee te maken? I: Die orkanen en dat weer? Dat was dat je eerst leert schatten en later precieser berekenen. Een lijntje doortrekken op een logische manier. M: Bjorn, wat had jij. B: Ik ben het met hun eens. M: De afwisseling tussen nk en wi? B: Soms werd het daardoor duidelijker, soms was het juist verwarrend. Dan heb je de ene keer dy dx en de andere keer s-t en v. Al die lettertjes betekenen steeds weer andere dingen. Dat vond ik wel lastig. M: Wanneer was het duidelijker? B: Om het uit te leggen. Omdat het daar vandaan komt. I: Ik heb geen nk. Ja vorig jaar een beetje nk en sk, maar ik weet dus niet echt meer wat nk inhoudt. Er was op een gegeven moment een vraag over het verschil tussen nk en wi, of de overgang of zo, toen wist ik ook niet wat ik daar moest invullen. M: was het daardoor lastiger voor jou? I: Ik weet het niet. M: Suzanne? S: Ik heb het ook niet echt gemerkt. Ik denk dat het wel iets makkelijker voor mij werd. M: en die verschillende soorten letters. S: daar had ik geen problemen mee. I: ik dacht gewoon dat is het verschil tussen de rekenmachine en wat in het boekje staat. Ik let niet op allemaal van die kleine dingetjes. M: Je neemt het gemakkelijk over? I: Ja. M: Het verschil tussen dit pakketje en een hoofdstuk uit het boek? I: Ik vond het onduidelijker, want alles staat door elkaar. In het wiskudne boek heb je van die roze blokjes en dan weet je dat is belangrijk, dat moet ik weten. Hier is dat niet echt duidelijk. Het boek vind ik makkelijker, maar dat ben ik ook gewend, dat heb ik al vier jaar. Ook het doorwerken voor het proefwerk was lastiger. M: En het type sommen? I: Even denken hoor. Dat weet ik niet echt. Dat kan ik niet zo zeggen. S: Ik vond het niet zo n heel groot verschil. Je had hier wel meer tekeningen, meer uitleg. Het boek is meer gewoon sommen achter elkaar en dan ineens een blokje. Ik denk dat ik daardoor dit wel beter begreep. Voor de rest was het gewoon sommen maken. De vragen in dit boekje vond ik makkelijker gesteld. Minder rekenen. Ik begreep de vragen meestal in een keer, dat heb ik bij het boek niet altijd. M: Anders dan bij nk? S: Ja, daar heb je ook meer theorie. B: Ik sluit me aan bij Inge. Ik vond het onduidelijker wat je moest weten in dit boekje. M: Dus niet de opgaven, maar de structuur. B: Ja. Maar de vragen waren wel goed verder. Er wordt niet veel uitgelegd in het boekje, daar moet je zelf achter komen. S: Dat vond ik niet. I: Er staat volgens mij wel genoeg uitleg in, maar de roze blokjes kun je niet goed zien. S: Eigenlijk het enige belangrijke was dat van snelheid en dy dx, daar ging het hele boekje over. Dat bouwde je op, daardoor was het volgens mij wel makkelijker. Page 17

18 I: Ja, door die lange aanloop denk je: dat is makkelijk. Ook doordat we dat met die computer hebben gedaan. Dat je dat zelf moest instellen op hoe klein je wil. Ik denk dat het daardoor veel duidelijker is geworden. M: Daarkomen we dadelijk nog op terug. De volgende vraag: Wat is snelheid? B: Ik had hoe snel je je verplaatst. Dat lijkt me logisch. M: Maar dan gebruik je in je definitie van snelheid weer snel? B: hoe hard? I: Ik had hoe hard iets gaat. B: het is hoeveel afstand je aflegt in een bepaalde tijdseenheid. S: ja, dat had ik. M: De verwijzing naar de geschiedenis, kwam dat naar voren? S: Nou, ik heb het niet echt gelezen, ik vond het niet interessant. B: het was misschien wel interessant, maar het had niet zo veel nut denk ik. I: het had er voor mij niet bij gehoeven. S: Nee. M: waarom had het niet zoveel nut? B: ja gaat er toch niet wiskunde beter door snappen als je weet wie het verzonnen heeft? S: Ik vind de wiskunde interessant. Het is nu eenmaal zo. Of je nu weet wie het verzonnen heeft maakt voor mij niet zoveel uit. M: het gaat er ook niet om dat je alleen weet wie het verzonnen heeft, maar ook hoe het gegaan is. I: Als het toch verkeerd blijkt te zijn, dan heb je er toch weinig aan. Als je meteen de goede manier zegt, dan neem ik het ook gewoon aan. M: Maar gaat het erom dat je alleen maar uitgelegd krijgt hoe het zit? I: Ja. M: Soms kan het handig zijn om te weten wat de mogelijkheden zijn om verkeerd te denken. Mensen denken vaak dat het zit zoals anderen zeggen dat het zit. Terwijl je dan in nieuwe situaties niet zo goed weet waarom en hoe je je daar moet redden. I: Dat is waar. Matthijs zal die geschiedenis wel interessant vinden. Ik interesseer me daar verder niet zo voor, wat die Galilei allemaal heeft gedaan. M: De helling in een punt van de grafiek. Jullie zijn nu bezing met y = sin(x), hebben jullie daar ook al opgaven gedaan waarbij je de helling in een punt moest benaderen? B: Dat kun je gewoon uitrekenen. I: dat ging gewoon met dy/dx. B: gewoon met de rekenmachine. I; Ik weet hoe ik het op die andere manier zou kunnen doen met en zo. Maar waarom zou je moeilijk doen als het makkelijk kan. De andere twee beamen. M: Dat lukt ook altijd. I: Als je het functievoorschrift hebt, dan kun je de grafiek daarbij maken. Ik weet niet hoe dat in het andere hoofdstuk staat beschreven. Maar dat was gewoon makkelijk. Dat wist je meteen. M: Die twee computerprogrammaatjes. Die eerste ging mis. Die tweede? Inge, je zei al dat je dat handiger vond? I: Ja want dan krijg je meteen het beeld erbij. Dat zie je bewegen. In plaats van dat je een tekeningetje hebt. S: Ik vond het een beetje lastig. Ik ben niet zo n held met computers en hij luisterde niet naar mij. M: Het bedienen of het begrijpen? S: Het bedienen, ik begreep het niet zo goed. B: Ik heb het niet gedaan. M: wat wilden jullie nog zeggen? S: Ik denk dat het iets te lang duurde. B: Nu snappen we het wel meteen. Page 18

19 Einde. Page 19