Exact competentiegericht

Transcriptie

1 Exact competentiegericht Gecijferdheid met basisrekenen, eenheden, isoleren, afronden en per gedachte. Didactisch concept : Vervoort Boeken Grafisch ontwerp: uwontwerp.nl Eindhoven Versie augustus-2014 ISBN Vervoort Boeken Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 B Auteurswet 1912 j o het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.

2 Verantwoording Dit deel gecijferdheid is bijzonder geschikt als basis voor een technische opleiding op MBOniveau. Het eerste hoofdstuk over basisrekenen is bedoeld als opfriscursus. Door middel van toetsen, beschikbaar op internet, kan iedereen zijn voortgang testen. In hoofdstuk 2 en 3 wordt gewerkt met eenvoudige formules. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de basisvormen uit de meetkunde zoals de cirkel, rechthoek, blok, cilinder en bol en fysische begrippen als dichtheid, vochtigheid, toerental, omtreksnelheid, energie-omzetting. Veel aandacht wordt besteed aan het gebruik van de juiste eenheden en het omzetten van eenheden. Ook de nauwkeurigheid van het antwoord van een berekening is belangrijk. Gebruik van het juiste voorvoegsel is hierbij een goed instrument. Belangrijk is dat de cursist een goed beeld heeft van de grootte en de betekenis van getallen. Een van de kenmerken van competent gedrag is het op eigen initiatief reageren op de onjuistheid van een antwoord. 1 ml is ongelijk aan 1000 L en een rode bloedcel kan nooit kg ijzer bevatten. Ook het kunnen aangeven hoe nauwkeurig iets is berekend hoort bij competent gedrag. Een formule invullen zonder dat je kunt vertellen hoe deze is opgebouwd leidt altijd tot oncontroleerbaar rekenwerk en geeft dus een gevoel van onzekerheid en onveiligheid. In de cursus zijn daarom reflectievragen opgenomen waarmee je geholpen wordt om door middel van een schetsje of een stukje tekst te laten zien op welke manier jij de dingen aanpakt. Het zelf maken van een toolboek met samenvattingen, voorbeelden en tools, dat gebruikt mag worden bij diagnostische toetsen en beroepsopdrachten is ook een bijzonder leerzame bezigheid. Toolboek en reflectievragen zij ook bijzonder geschikt voor remediëring en samenwerkend leren. En als het toolboek dan ingezet kan worden bij een beroepsopdracht is de cirkel rond. De site is een belangrijke ondersteuning. Hier zijn diverse tools te vinden, zoals diagnostische toetsen, verwijzingen naar internetsites, stukjes uitleg die opgenomen zijn met behulp van een smartpen en of tekentablet. De links naar internet verwijzen door naar sites met simulaties, oefen- en toetsmogelijkheden. Oefenen kan heel belangrijk zijn, maar mag nooit doel op zich zijn. De diagnostische toetsen zijn dan ook zo gemaakt dat je er niet op kunt trainen. Je traint op vaardigheden, maar je past het toe op praktische situaties. Je hebt leren rekenen aan cirkels, maar je komt ze tegen in allerlei apparaten en machines. Hoeveel originele vragen kun je al niet stellen over een fiets met twee wielen en een versnellingsmechaniek? De afbeeldingen achterin het boek kun je gebruiken voor het toolboek. Sommige schema s of didactische tips hoef je niet zelf te bedenken. Heel veel succes! 5 verantwoording 2014 Vervoort Boeken

3 Gebruikte iconen : 1.1 Oefenen en toetsen op internet 1.2 Reflectievragen 3.2 Samenvatting voor toolboek Zonder zakrekenmachine 1.1 Internetverwijzing op Leergesprek op 6 verantwoording 2014 Vervoort Boeken

4 Inhoudsopgave 1 Basisrekenen en eenvoudige wiskunde Onderwerpen Contexten opgave 1.1 Opbouw decimale getallen. 1.1 t/m Basisbewerking optellen. 1.4 t/m Basisbewerking vermenigvuldigen. 1.6 t/m Basisbewerking aftrekken en negatieve getallen. 1.7 t/m Notatie van veranderingen. Temperatuurverschil noteren Basisbewerking delen t/m Basisbewerking machten. Wetenschappelijke notatie t/m Basisbewerking worteltrekken t/m Volgorde van bewerken Basisbewerkingen met kommagetallen t/m Getallen kleiner dan 1, breuken, procenten. Tandwieloverbrenging, schaalvergroting en 1.24 t/m 1.35 rendement. BTW-berekening, groei spaarrekening Alcholpromillage, massafractie, massapercentage. 2 Eenheden, isoleren en afronden. Onderwerpen Contexten opgave 2.1 Grootheden, eenheden en voorvoegsels. Grootheden, eenheden en voorvoegsels. 2.1 t/m Afgeleide eenheden oppervlakte. Meetkundige figuren 2D 2.10 t/m Afgeleide eenheden volume. Meetkundige figuren 3D 2.13 t/m Herleiden formule en isoleren variabele t/m Afronden, significantie 2.18 t/m Inhoudsopgave 2014 Vervoort Boeken

5 3 Per gedachte Onderwerpen Contexten opgave 1 Dichtheid van een metaal. 3.2 Dichtheid water bij verschillende fasen. 3.3 Oppervlaktedichtheid. Bouw van materie met atomen en moleculen. Dichtheid van verschillende stoffen. Massa en volumepercentage. Dichtheid bij verschillende 3.1 t/m t/m t/m Concentratie is ook een dichtheid. 3.5 Luchtvochtigheid. fasen. Pyknometer. Oppervlakte bepalen door weging t/m MAC-waarde. 3.7 Energiedichtheid en soortelijke warmte. 3.8 Energie-eenheid kwh. Concentratie en verdunnen. Energiedichtheid, soortelijke warmt. Eigenschappen van watermoleculen. Absolute en 3.13 t/m Grootheden per tijdseenheid Volume- massa- en warmtedebiet Letterrekenen en herleiden formules. relatieve vochtigheid. Bepalen vochtigheid met dauwpunt en natte boltemperatuur. MAC-waarde 3.18 t/m 3.20 Energiedichtheid, soortelijke warmte. Kwh, kcal en voedingswaarde t/m 3.24 Omtreksnelheid en toerental t/m 3.28 Volumedebiet, massadebiet en warmtestroom. Letterrekenen en formules herleiden t/m t/m 3.33 Afbeeldingen toolboek blz Inhoudsopgave 2014 Vervoort Boeken

6 1 Basisrekenen en letterrekenen. 1.1 Opbouw decimale getallen Decimale getallen zijn opgebouwd uit de cijfers 0 t/m 9. De plaats van een cijfer in een getal is belangrijk. Het getal 408 duizend, 915 De punt wordt gebruikt om de leesbaarheid te verbeteren. In de USA wordt hiervoor de komma gebruikt. Je kunt dit instellen op je rekenmachine. Je kunt een geheel getal 10 zo groot maakt door rechts een 0 achter het getal te plaatsen. Je kunt een geheel getal 10 zo klein maken door rechts de komma een cijfer op te schuiven. Je krijgt dan een kommagetal. In de USA is dit een punt is dus 100 zo groot en 408,915 is 1000 zo klein Opgave 1.1 Opbouw van getallen. Schrijf de volgende getallen als een som van eenheden, tientallen, honderdtallen, enz. a 605 = b = c = d = e = f = g = 9 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

7 Opgave 1.2 Noteren van een geheel getal. Noteer het getal: a 23 miljoen, 407 duizend, 301. b 8 miljard, 7 miljoen, 321 duizend, 201 c vier en twintig duizend, vijf en twintig d dat 100 zo groot is als 23 e dat 1000 zo klein is als Opgave R1 Welke waarde heeft het cijfer 7 in het getal ? R2 Wat is de waarde van het cijfer 3 als daar nog 4 cijfers achter kunnen staan zonder komma. R3 Hoeveel nullen komen er achter een getal dat 1 miljoen keer zo groot wordt? R4 Lukt het om je rekenmachine in te stellen op de Europese notatievorm voor punt en komma? Naamgeving getallen spreek uit: twee miljoen, honderd vijf en twintig duizend, zes honderd vijf en dertig Doe dat ook met onderstaande getallen: a 15 b 216 c 3097 d 8119 e f g 83 h i j k Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met naamgeving van getallen. (Kies onderwerp 1) Je kunt ook de antwoorden controleren! 10 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

8 1.2 Basisbewerking optellen Als je 475 optelt bij 389 dan tel je de eenheden, de tientallen, de honderdtallen, enz bij elkaar op. Als de eenheden bij elkaar opgeteld meer dan 9 zijn, bijvoorbeeld 14 dan komt er bij de tientallen 1 bij en wordt het aantal eenheden 4. Het aantal tientallen komt dan van 15 op 16, waarbij de 1 doorschuift naar de honderdtallen. 1.1 Soms is het optellen gemakkelijk door de getallen te splitsen, het zogenaamde slimme optellen. Voorbeeld: 1) = = 157 2) = ) = ) = = Het is zinvol dit soort rekenoefeningen te doen! Je krijgt daardoor meer gevoel voor getallen en je kijkt kritischer naar uitkomsten van je rekenmachine. Opgave 1.4 Optellen. (Zonder rekenmachine) Tel bij elkaar zonder rekenmachine en controleer daarna het antwoord. a = b = c = d = e = 1.3 R5 Bij is de slimme manier. Wat is de slimme manier bij ? En bij ? Opgave 1.5 Los op met slim optellen. a = b = c = d = e = f = g = 1.2 Op deze site kun je zoveel opgaven over optellen bedenken als je nodig hebt! Je kunt ook de antwoorden controleren! 11 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

9 1.3 Basisbewerkingen vermenigvuldigen. Als je 6 keer 48 appels neemt, neem je appels. Ofwel vermenigvuldigen is herhaald optellen. In dit geval 6 keer. Je kunt natuurlijk ook 48 keer 6 appels nemen = 6 (40 + 8) = = = (40 + 8) 6 = = 288 Bij grotere getallen zijn er meerdere mogelijkheden. We nemen als voorbeeld de opgave Methode 1: = (40 + 6) (80 + 4) = = 3864 Methode 2: De klassieke manier. Eerst 6 84 = 504 uitrekenen en dan = 3360 uitrekenen en vervolgens = 3864 uitrekenen. Bij begin je met een 0 te schrijven en vervolgens reken je 4 84 uit. Door de 0 eerst te schrijven heb je het getal toch met 40 vermenigvuldigd. 1.3 Op de site van WIMS kun je vermenigvuldigen volgens methode 2 oefenen. Kies onderwerp 3 Je kunt ook de antwoorden controleren! 1.4 Het is belangrijk dat je jezelf een controlehouding aan leert, waardoor je via een schatting een idee hebt van de orde van grootte van je antwoord Slim vermenigvuldigen blijft natuurlijk altijd een optie. 12 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

10 Voorbeeld 1: = = 2000 (4 5 en 2 nullen) = = (4 5 en 5 nullen) Voorbeeld 2: = = 800 (16 wordt gedeeld door 2 en 50 wordt vermenigvuldigd met 2) = = 400 ( eerste getal 4 en tweede getal :4) Voorbeeld 3: = = = 9801 Een vermenigvuldiging wordt op verschillende manieren genoteerd. 1) ) a 45 of 45 a of 45a ( voor a kan een getal ingevuld worden) 3) 15(a + 10) = 15a Alle termen tussen de haakjes moeten met 15 vermenigvuldigd worden. 4) 16 a b c = 16abc (a, b en c zijn variabelen) Opgave 1.6 Vermenigvuldigen. (Zonder rekenmachine) Bereken zonder rekenmachine en controleer daarna het antwoord. Welke methode is voor jou het snelst? a = b = c = d = e = f = g = h = Opgave Op deze site kun je het record verbeteren met rekenen met vermenigvuldigingstafels. Haakjes wegwerken. (Zonder rekenmachine) Schrijf onderstaande expressies zonder haakjes. a 2(3 + 45) = b 10(3 + 2a) = c 4(12a + 3b) = d 19(-1 + 2T) = e (9 + 2a)8 = f (12 + 8)(10 + 2) = g (12 + a)(10 + b) = h (a + 3)(10 + b) = 13 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

11 1.3 R6 In welke tijd kun je de vermenigvuldigingstafel tot 12 voltooien volgens oefening 1.4? R7 Welke methode van vermenigvuldiging is voor jou het geschiktst en waarom? R8 Via copy en paste kun je bewijs verzamelen van toets Getallen van elkaar aftrekken en negatieve getallen. 6 4 = 2 ofwel je gaat 6 naar rechts en 4 naar links het verschil = 2-6 (-4) = -2 ofwel je gaat 6 naar links en 4 naar rechts ( - - = +) en je komt uit op = -34 ofwel je gaat 34 naar rechts en 68 naar links en je komt uit op -34 Je kunt ook schrijven: = -(68 34) = Kies op de site van WIMS voor: 2 integers optellen en aftrekken (pos/neg antwoorden) Hieronder is een voorbeeld te zien van de bespreking van de toets. Voorbeeld van de site van WIMS. 14 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

12 Voorbeelden: 1) = ) = - ( ) = ) a (-10) = a ) 111a 123a = -12a 5) 18b 5a = 18b 5a (a en b zijn verschillende dingen!) Opgave 1.8 Verschil nemen. (Zonder rekenmachine) a = b -76 (-13) = c 8 + (- 14) = d 8 14 = e -1 - (-3) = f = g 119a + 12b 223a = h = Opgave Oefenen met variabelen. Kies op de site van WIMS voor: Optellen en aftrekken van meerdere variabelen II Doe een toets van 10 opgaven ( moeilijkheid: normaal) Neem enkele opgaven over in je werkschrift. R9 Waarom is a b hetzelfde als (b a)? R10 (b a) is hetzelfde als 1 (b a). Waarom? R11 Wat was je score bij opgave 1.6? Geef een voorbeeld van een gemaakte fout. 1.5 Notatie van veranderingen. Bij het bepalen van een temperatuurverandering maken we ook gebruik van positieve en negatieve getallen. Als de temperatuur afkoelt van 20 0 C tot -5 0 C dan noteren we ΔT = T eind T begin = = C (Δ is het symbool voor verschil, spreek uit :delta) De negatieve waarde geeft aan dat er sprake is van een afname. Deze manier van noteren is een van de kenmerken van een procesuitwerking. Het is duidelijk dat het hier gaat over een temperatuurverschil, dat je de beginwaarde aftrekt van de eindwaarde en dat gemeten wordt in graden Celsius. 15 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

13 Opgave 1.10 Temperatuurverandering bepalen. Werk de onderstaande vragen uit volgens de beschreven procesuitwerking. a We gaan water afkoelen van 24 0 C tot ijs van C Bereken de temperatuurverandering ΔT. b Water heeft een temperatuur van 20 0 C. Dit water wordt in een diepvriezer afgekoeld tot -2 0 C. Bereken de temperatuurverandering. c Op het tijdstip 7.00 u is het 3 0 C en op het tijdstip u is het 10 0 C. Bereken de temperatuurverandering ΔT en de tijdverandering Δt in uur. d Wat wordt er bedoeld met T (18.00 u)- T(10.00 u)= C? e De begintemperatuur is -2 0 C en de eindtemperatuur is C. Bereken ΔT? f Je gaat een avondje uit en hebt 50,- op zak. Bij terugkomst heb je 20,- schuld bij een van je vrienden. K is het symbool voor kapitaal. Bereken de verandering van je kapitaal? Waarom zal het antwoord negatief moeten zijn? Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 5) Je kunt ook de antwoorden controleren! R12 Wat is de betekenis van negatieve ΔT ofwel ΔT < 0? R13 T begin = -2 0 C en ΔT < 0 Wat betekent dat voor T eind? R14 ΔT = -2 (-10) = 8 0 C Hoe kun je dit in de praktijk realiseren? R15 Voor een proces met een voorraadvat met water noteert men voor de volumeverandering : ΔV = V eind V begin = 10 2 = 8 L Geef een beschrijving van wat hier gebeurt is. Wat gebeurt er als ΔV < 0? 1.6 Basisbewerking delen. Hoe vaak kun je 5 appels pakken uit een mand met 30 appels. 30 Ofwel hoeveel is of 30/5 of 30 : 5? 5 Als je tafels kent kun je bij eenvoudige getallen de uitkomst uit het hoofd zeggen. 30 = 6, want 6 5 = 30 5 De uitkomst van een deling noemt men het quotiënt. Als het getal niet precies past heb je een restgetal. Er zijn 3 manieren om het quotiënt te noteren: 16 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

14 = 6 rest 3 ofwel = 6 of = 6, Zonder rekenmachine kun je een deling uitvoeren met een zogenaamde staartdeling. Net zoals bij het vermenigvuldigen is het uitvoeren van een staartdeling nuttig om meer gevoel te krijgen voor getalgroottes. Daardoor krijg je kritischer naar uitkomsten van een rekenmachine. Hoe vaak past 80 in past 3 in 240 en 4 in 320, dus het quotiënt ligt tussen 3 en = 3 rest 36 of = 3 of = 3, = 80 3,45 Denk aan de komma! 3,45 80 = 276 Klopt! Ook bij delen kun je soms het antwoord sneller vinden door naar een gemeenschappelijke factor te zoeken in het deeltal (het getal dat gedeeld wordt) en deler (het getal waardoor gedeeld wordt). Voorbeelden: ) = = 12, ) = = 4, ) = 4 20= 80 of = 16 5= ab 8b 4) = = 8b 2a 1 16a 20 16a 20 5) = 4a 20= 80a of = 16a 5= 80a a a 20 6) = + = 4a x 12 8x 12 7) = = 2x Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

15 Als boven de deelstreep een product staat kun je soms vereenvoudigen door één van de factoren te delen. Als boven de deelstreep een som of verschil staat kun je soms vereenvoudigen door alle termen te delen. Dit soort regels hoef je niet van buiten te leren, je kunt ze bij twijfel controleren door eenvoudige getallen te kiezen = 6= 12 of = 4 = = + = 2+ 3= ) = = 250 0,04 4 Deeltal en deler beide met 100 vermenigvuldigd. Als je deeltal en deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd blijft de waarde van het quotiënt hetzelfde , x = = = 0, x = = 2 8( a 3) = 5( a 3) Opgave 1.11 Delen. (Zonder rekenmachine) Bereken zonder rekenmachine en controleer daarna het antwoord. Geef het antwoord op de 3 manieren zoals besproken. a 56 : 18 = b 412/34 = 333 c = d = e = 3 25 f = 2 2 g = h = 0,2 1.8 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen op de staartdeling. (Kies onderwerp 4) Je kunt ook de antwoorden controleren! 18 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

16 Opgave 1.12 Delen bij formules. Vereenvoudig zo ver mogelijk. 8a+ 20 a = 4 220b 10c b = 5c 82mp 41m c = 41m a+ 10 d = 2 82mp 41p e = 41m a 10 f = 2 10a g = 2 Opgave Oefenen met variabelen. Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 2) Je kunt ook de antwoorden controleren! R16 - R17 Welke drie soorten antwoorden kun je geven bij een deling? R18 Leg uit waarom je bij het delen van een som alle termen moet delen en bij het delen van een product één van de factoren. R19 Als je het getal 0 deelt krijg je altijd 0 en als je een getal deelt door 0 krijg je geen antwoord. Geef hier een verklaring voor. R a Waarom is = 1+ a fout? 10 R21 3b b 3 = 3 = b Hoe kun je laten dat dit juist is? R22 1 Hoe kun je uitrekenen zonder rekenmachine? 0,04 R23 Wat was je score bij de toetsen van 1.8 en 1.9? 19 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

17 1.7 Basisbewerking machten. In plaats van kun je ook noteren 2 5. Spreek uit: 2 tot de macht 5 of twee tot de vijfde. Enkele voorbeelden: 2 4 = = = = 16 4 ( 2) = = 16 Oppervlakte vierkant = 6 cm 6 cm = 6 2 cm 2 = 36 cm = = = 0, = 0,001 Het decimale getal kun je schrijven als 2, en 0, kun je schrijven als 2, Deze laatste manier van noteren ook wel wetenschappelijk of scientific (SCI op rekenmachine) genoemd. In het eerste hoofdstuk van het boek Toegepaste Wiskunde wordt uitgelegd wat de betekenis is als de exponent : 1) 0 of 1 is. 2) een breuk of kommagetal ( 5 1 of 0,2) is. 3) < 0 is (negatief is). 4) onbekend is en bepaald moet worden (logaritme). 20 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

18 Opgave 1.14 Eenvoudige machten. Schrijf uit en geef indien mogelijk de uitkomst. 2 4 a 4 3 = = 1296 b (-2) 4 = c -3 2 = 2 2 d 3 a = e cm 2 = f cm 3 = Opgave Opgave 1.16 Oefenen met machten. Kies op de site van WIMS voor: Machten: Een macht of een serie producten I (H1) Doe een toets van 5 opgaven ( moeilijkheid: oplopend) Neem enkele opgaven over in je werkschrift. Wetenschappelijke notatie. Schrijf in wetenschappelijke notatie. a = b 800 = c = d 0,0034 = e = f 0, = Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 11) Je kunt ook de antwoorden controleren! R24 Wat is het voordeel van het gebruik van een macht? R25 Wat is het verschil tussen -2 4 en (-2) 4? R26 Wat is het voordeel van gebruik van de SCI-notatie? R27 Het getal 1, kun je het beste invoeren met 1,5E5. Geldt dat ook voor jouw rekenmachine? R28 Wat was je score bij de toetsen van 1.10 en 1.11? 1.8 Basisbewerking worteltrekken. Welk getal dat met zichzelf vermenigvuldigd wordt levert het getal 3 op? Ofwel: getal getal = 3 of getal 2 = 3 Dit getal schrijven we als 3. (wortel 3 of vierkantswortel uit 3) Dus 3 3= 3 Hoe groot is 3 als decimaal getal? Bij benadering: 3= 1, Het antwoord is per definitie positief. 4 = 2 21 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

19 Voorbeelden van wortels; 1) 9 = 3 2) 2 9 = 2 3 3) 3 7 = 3 7 4) ) 3 = ) a 7 = a 7 7) lengte van de zijde = 7 cm. Ofwel afgerond op 2 decimalen: l = 2,65 cm. Opgave 1.17 Eenvoudige wortels(1). Geef het antwoord als exact getal, dus niet afgerond! a 12 = 4 3 = 2 3 b 18 = c 3 8 = d 24 = Opgave 1.18 Eenvoudige wortels(2). Maak eerst een schatting en controleer vervolgens met je rekenmachine. Het antwoord moet afgerond worden op 3 decimalen a 23 = b 17 = c 2 10 = d 34 = e = 22 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

20 Opgave 1.19 Eenvoudige wortels met letters Vereenvoudig en rond af op 2 decimalen. a 6 b = 6 b = 2, 45 b a b = 6 20h c = 3 d 3 2x = Opgave Oefenen met vierkantswortel. Kies op de site van WIMS voor: Wortels vereenvoudigen(h2) Wortels vermenigvuldigen(h2) Doe voor beide onderwerpen een toets van 5 opgaven ( moeilijkheid: gemakkelijk) Neem enkele opgaven over in je werkschrift. 1.8 R29 Waarom mag het getal onder de wortel niet negatief zijn? R30 Waarom is 3 7 = 3 7? Waarom is ? R31 Als a 2 = 7 dan kan a twee waardes hebben, nl. + 7 of 7 Waarom is dat? R32 - R33 Wat was je score bij de toetsen van 1.12? 1.9 Volgorde van bewerken De rekenmachines maken geen verschil tussen vermenigvuldigen en delen en tussen optellen en aftrekken. 3 Dus = = 20 Wil je dat eerst wordt uitgerekend dan moet je haakjes gebruiken. 3 ((6+ 3) = 18 32= 14 Veel fouten worden gemaakt bij een deling van een product, zoals 24 Als je invoert gaat het fout! Of je voert in of (6 2) 23 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

21 Opgave 1.21 Oefenen met volgorde van bewerkingen. a = c 4 (6 2) + 8= d 2a 4+ 3= e = 1.10 Basisbewerkingen met kommagetallen. Opbouw kommagetal. Het getal 408 komma ,915 = , , ,01 spreek uit: 4 honderd acht komma 915 Voorbeelden (+, -, en / ) : 1) 24, ,9 = 839,3 2) 24,4-814,9 = - (814,9 24,4) = - 790,5 24 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

22 3) Door onder elkaar te schrijven en ook weer op het laatst de komma te plaatsen. 9,0 90 4) = teller en noemer 10 2,4 24, 9,0 2,4 = = 3,33 Denk aan de komma! Vermenigvuldig het deeltal en de deler met 10, 100, 1000 of hoger totdat beide geen komma meer hebben. Voer vervolgens de staartdeling uit en plaats de komma zoals bij deling zonder kommagetal. 36,7 2,3 = = 15,95 25 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

23 Opgave 1.22 Basisbewerkingen met kommagetallen (zonder ZRM) Geef het antwoord tot 2 decimalen. a 12,8 0, 56= 105,4 c = 5,5 d 6,45 12, 3= e 3, , 7= Opgave Oefenen met basisbewerkingen. Extra oefening nodig voor rekenen Ga naar WIMS home-site en kies de gewenste onderdelen. 1.9 R34 Als je 4,15 2,786 uitrekent krijg je een antwoord met 5 decimalen. Waarom is dat? Hoeveel decimalen krijg je in het antwoord als je 4,1 2,7 berekent? Hoeveel decimalen krijg je in het antwoord als je 4,10 2,700 berekent? Wat is het verschil? 1.11 Getallen kleiner dan 1, procenten en breuken en delen. 2 ; 0,045; 1, ; 3%; 12 zijn allemaal getallen, kleiner dan 1. 3 Naamgeving voor de verschillende uitvoeringen: 2 of 2 is de breuknotatie (spreek uit: twee derde) 3 3 0,045 is een decimaal of komma-getal (spreek uit : 0 komma ) 1, is de SCI- notatie (spreek uit: 1,2 maal 10 tot de macht -3 ) 3 % betekent 3 het honderdste deel 12 betekent 12 het duizendste deel 26 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

24 Breuken: Het getal boven de streep is de teller en het getal onder streep is de noemer. De teller geeft het aantal aan en de noemer de soort. De breuken in de figuur zijn gelijkwaardig a 2a 2( a+ 3) = = = = = = zijn gelijkwaardig a 3a 3( a+ 3) De breuken in de figuur zijn gelijknamig a a 2( a b) ; ; ; ; en en zijn gelijknamig Als breuken gelijknamig zijn kun je ze beter optellen, af trekken en delen. Je kunt het getal 8 5 zien als een breuk en als een deelsom als breuk 5, met 5 als teller en als soort maar ook als deelsom van de deling 8 5 ofwel hoe vaak past 8 in 5? 5 = 8 0,625 Het getal 8 past 0,625 in Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

25 8 = 1,6 5 Omgekeerd : Het getal 5 past 1,6 in 8. Voorbeelden van rekenen met breuken : 1) = 6 28 Het vlak heeft 4 7 = 28 vlakjes. Hiervan nemen we 3 van de 4 rijen, dat is Hiervan nemen we 2 van de 7 kolommen, dat is betekent 2/7 nemen van 3/4 en dat is ) 3) 4) of 5) = = = = = = = = 7 3 = = Als je de noemer vermenigvuldigd met 4/3 (het omgekeerde van 4/3) wordt de noemer gelijk aan 1. Omdat de waarde hetzelfde moet blijven moet je ook de teller met 4/3 vermenigvuldigen. Bij het delen door een breuk moet je dus vermenigvuldigen met het omgekeerde. 6) 2 ) 7 2 = ( 2 = ) 2 = Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

26 Procenten: 19% BTW (belasting toegevoerde waarde) is het meest voorkomende tarief. Als je een apparaat koopt van 200,- exclusief BTW moet je 19% van 200,- aan belasting betalen. 19% = 19 1/100 stedeel = of 19% van 200 = 0, = 38,- Omgekeerd is lastiger! 200 = 19 2 = 38,- Als de prijs 238,- bedraagt incl. BTW dan betekent dit dat 238,- = 119% % = en 19% = = 238 = Dus de prijs zonder BTW = 200,- Voorbeelden procentberekening: 1) 22% van 20 = 0,22 20 = 4,4 2) 20% van 10% van 70 = 0,20 0,10 70 = 1,4 3) Hoeveel % is 2,2 van 23,5. 2,2 = 0,0936 dus 2,2 = 9,36 % van 23,5 23,5 Opgave 1.24 Oefenen met breuken. Schrijf antwoord als breuk, in meest eenvoudige vorm. 2 3 a = b + = c = d 7 = e ( ) = 3 29 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

27 4 f = Extra oefening nodig voor rekenen Ga naar WIMS home-site en kies de benodigde onderdelen. Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 12) Je kunt ook de antwoorden controleren! Opgave 1.25 Rekenen met procenten. Geef de antwoorden in 2 decimalen. a Een auto kost 13450,- incl. 19% BTW. Bereken het BTWbedrag. b De BTW bedraagt 12,23. (19%). Bereken de prijs incl. BTW. c Je krijgt 5% korting op de prijs excl. BTW van een product dat 100,- excl. BTW kost. Bereken de korting in % op de prijs incl. BTW. d In plaats van 19% hoef je maar 6% BTW te betalen en dat scheelt je toch mooi 12,- Bereken de kostprijs van dit product incl. BTW? e Van een voorraad van 20 liter moet je 12% opruimen. Van wat er over blijft moet 3% gebruikt worden. ` Bereken het aantal liter dat gebruikt moet worden. f De BTW (19%) bedraagt 12,23. Bereken de prijs excl. BTW WIMS -site: Procentrekenen. Voer de oefeningen uit die je nodig hebt WIMS-site: Doe een toets in het op de juiste volgorde zetten van allerlei soorten getallen. 30 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

28 Opgave 1.27 Kleine getallen op een getallenlijn of schaalverdeling. Op deze lijn liggen getallen tussen 0 en 1. Bij de bovenste schaal is een verdeling gemaakt met stukjes van 0,1 ( 1 tiende ) Bij de onderste schaal is een stukje van 0,1 uitvergroot en verdeeld in stukjes van 0,01 ( 1 honderdste ). Het uitvergroten is gedaan om getallen te kunnen aflezen. a Hoeveel keer is het stukje van 0 tot 0,1 uitvergroot? b Neem het domein van 0,6 tot 0,7 en vergroot dit 10. Verdeel dit domein in 10 stukjes en zet de getallen erbij. c Neem het domein van 0 tot 0,01 en vergroot dit 10. Verdeel dit domein in 10 stukjes en zet de getallen erbij. d Geef in de schaalverdeling van c de plaats van het getal 0,0055 aan. e Geef in de bovenstaande figuur op de bovenste schaalverdeling het getal 0,13 aan. Opgave 1.28 Hoeveel geld levert je spaargeld op? Je hebt een spaarrekening met een tegoed van Є1250,- Je krijgt een rente van 3,5% per jaar. a Bereken je tegoed na 8 jaar. b Na hoeveel jaar heb je meer dan Є300,- aan rente te goed? 31 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

29 Opgave 1.29 Rekenen met een percentage van een percentage. In een magazijn is een voorraad kleurstoffen. 42 % van deze kleurstoffen wordt gebruikt in afdeling A. In afdeling A wordt 55% van de kleurstoffen gebruikt voor bewerking1. a Bereken het percentage van de totale voorraad die gebruikt wordt voor bewerking1. b Bereken het aantal kg dat gebruikt wordt voor bewerking1. c Hoeveel is 25% van 60%. d Bereken 0, e Bereken 24% van 0,4 f Bereken 10% van 30% van 200 g Bereken 50% van 50% van 50%. Maak hier een schetsje van. h Bereken het tiende deel van het honderdste deel. i Bereken 0,1 0,01. j Bereken 0,2 0,03 k Bereken 20% van 0,03. l Bereken 3% van 0,2 m Maak een schetsje van ¼. n Laat met een schetsje zien dat o Laat met een schetsje zien = = Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 6) Je kunt ook de antwoorden controleren! 32 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

30 Opgave 1.30 Tandwielen en verhoudingsgetallen Het grote tandwiel heeft 25 tanden, het kleine tandwiel 12 tanden. Als het kleine tandwiel 1 tand verder gedraaid is geldt dat ook voor het grote tandwiel. 25 Het verzet bedraagt. 12 Je kunt ook zeggen dat het aantal tanden van het grote wiel in verhouding tot het kleine wiel gelijk is aan 25 staat tot 12. a Hoeveel tanden is het grote wiel verdraaid als het kleine wiel 1 rondgedraaid is. b Welk gedeelte of fractie van het grote wiel is dan verdraaid? 1.1 Bij een racefiets heeft het voortandwiel 54 tanden en het achtertandwiel 18 tanden. c Bereken het verzet. Geef antwoord in breukvorm en decimaal. d Hoeveel keer is het achterwiel rondgedraaid als het voortandwiel 1 rondgedraaid is? e Hoeveel meer tanden heeft het grote tandwiel meer dan het kleine tandwiel? f Hoeveel meer tanden heeft het kleine tandwiel meer dan het grote tandwiel? 33 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

31 Opgave 1.31 Schaalvergroting en verhoudingsgetallen. Woonhuis en elektronica onderdeeltje zijn beide niet op ware grootte getekend. Het huis is getekend op een schaal van 1 : 400 (1 staat tot 400). Iedere cm is in werkelijkheid 400 cm. (verkleining = 400 ) Het elektronica onderdeel is afgebeeld op een schaal van 4 : 1. Iedere cm is in werkelijkheid ¼ cm. (vergroting = 4 ) a Bereken de werkelijke hoogte van het huis via meting in de tekening. b Bereken de werkelijke hoogte van het onderdeel. c Bereken de vermenigvuldigingsfactor (k) bij een afbeelding op een schaal 50 :1. d Bereken de vermenigvuldigingsfactor bij een afbeelding op schaal 1 : 25. e De vermenigvuldigingsfactor (k) is 0,012. Welke schaal hoort bij deze factor k? Opgave 1.33 Energieomzetting en verhoudingsgetallen. Een gloeilamp verbruikt elektrische energie (E elek ). Deze elektrische energie wordt in een gloeidraad in de lamp omgezet in warmte en licht. Maar liefst 95% van de elektrische energie wordt omgezet in warmte en dat is dus verlies. Het gaat namelijk om het licht,dat is de nuttige energie (E nuttig ). De hoeveelheid energie wordt gegeven in joule (J). Een lamp van 100 W (watt) verbruikt iedere seconde 100 J en geeft iedere seconde 5 J aan lichtenergie. 34 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

32 a Welk gedeelte van de gebruikte energie gaat verloren aan warmte? Geef het antwoord als breuk, percentage en als decimaal getal. b Het rendement is de verhouding tussen de nuttige energie en de verbruikte energie. Bereken het rendement. Geef antwoord in de vorm van een breuk en als percentage Opgave 1.34 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 7) Je kunt ook de antwoorden controleren! Toepassen van breuken bij de klok. a Bereken de helft van 1/4? b Bereken 2/9 0,34. c Bereken 25% van 50% van d Welk gedeelte van de klok hoort bij het oppervlak tussen de kleine en grote wijzer? e Welk gedeelte van de klok hoort bij 5 minuten verdraaiing van de grote wijzer? f Welk gedeelte van de klok hoort bij een verdraaiing van de grote wijzer van 2.00 u tot 2.17 u? g Waarom is 17/60 oppervlak klok voor een uitleg beter dan 0,283 oppervlak klok? Opgave Percentage, promillage, fractie van alcohol. Lees eerst het artikel op het eind van deze opgave! In onderstaand artikel is te zien dat een lichaam van 75 kg 45 liter water ( = 45 kg) bevat. Het massapercentage bij mannen is ongeveer 60 % of men zegt ook wel het waterpercentage is ongeveer 60 m% (massaprocent). a Bereken het gedeelte of fractie van de massa van het lichaam dat uit water bestaat. Geef het antwoord in de vorm van een breuk, een decimaal getal en in procenten. 35 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

33 b Bereken het gewicht van het water in een man van 60 kg. c Bereken het massapercentage van het water in de bloedvaten en lymfevaten ten opzichte van alle water in een lichaam. d Voor de berekening van het alcoholpromillage rekent men voor het waterpercentage bij mannen met 60 m% en bij vrouwen met 55m% van het lichaamsgewicht. Het schijnt dat spierweefsel meer water bevat dan vetweefsel. Bereken het lichaamsgewicht van een vrouw die evenveel water heeft dan een man van 80 kg. e Een alcoholische consumptie bevat normaal gesproken 10 gram alcohol. Bereken het alcoholpercentage na 3 consumpties bij een man van 75 kg. f 1 procent (1%) betekent 1 per honderd (cent) 1 promille (1 ) betekent 1 per duizend (mille) Welk promillage komt overeen met een percentage van 1 procent? g Bereken het alcoholpromillage bij vraag e Wettelijk mag je maximaal 0,5 alcohol in je bloed hebben als je een auto bestuurt. Conclusie? 1.20 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 8) Je kunt ook de antwoorden controleren! 1.21 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 10) Je kunt ook de antwoorden controleren! 1.22 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 9) Je kunt ook de antwoorden controleren! 36 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

34 1.10 R35 2 kun je ook schrijven al 2 : 3 3 Soms is de ene schrijfwijze duidelijker dan de andere. Geef van beide een voorbeeld met de beste schrijfwijze. R36 2 = 0,666/ 6/ is een repeterende breuk, het aantal decimalen is 3 oneindig groot. Geef nog enkele voorbeelden. R37 Hoe kun je zonder rekenmachine bepalen welke van de twee breuken 5 4 of 6 5 de grootste waarde heeft? R38 25% van iets is hetzelfde als. iets 4 zo klein is hetzelfde als. zo groot. R39 Wat was je score bij de toetsen van 1.20 t/m 1.22? 1.1 S1 Opbouw en naamgeving decimaal getal. S2 Basisbewerkingen met gehele en kommagetallen, ook negatieve getallen. S3 Haakjes wegwerken bij expressies. S4 Notatie bij veranderingen met wiskundige notatie van toe- en afname volgens procesuitwerking. S5 Wetenschappelijke notatie. S6 Soorten getallen. S7 Afspraken over volgorde van bewerken? S8 Schrijfwijzen voor getallen <1? S9 Basisbewerkingen met breuken. S10 Procentberekening en verhoudingsgetallen. 37 Basisrekenen 2014 Vervoort Boeken

35 2 Eenheden, isoleren en afronden 2.1 Grootheden, eenheden en voorvoegsels. In plaats van 0,002 L (liter) of L kun je ook schrijven 2 ml (milliliter). Het voorvoegsel m staat voor 0,001. m is de eerste letter van het voorvoegsel milli. Het voordeel hiervan is dat je een beter beeld krijgt van de grootte van een getal en dat je beter de nauwkeurigheid van een getal aan kunt geven. 0,00200 L heeft dezelfde nauwkeurigheid als 200 ml. Het laatste getal geeft aan dat het volume tot op 1 ml nauwkeurig is. In onderstaande tabel zijn de belangrijkste voorvoegsels te zien. Voorbeelden: 1) 2 mm = 0,002 m (meter) 2) 3,4 μl = 0, L of 3, L (liter) 3) 23 GW = W of W (Watt) De voorvoegsels worden geplaatst voor de eenheid van een fysische (natuurkundige), chemische (scheikundige) of biologische grootheid. 38 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

36 Een grootheid heeft net als zijn eenheid een symbool. De grootheid elektrische spanning heeft als symbool U en als eenheid de volt, die het symbool V heeft. In woorden : De spanning heeft een waarde van 230 kv. Alle grootheden en eenheden met symbolen staan vermeld in tabellenboeken, zoals BINAS is. Ook op internet zijn talloze overzichten te vinden. Internationaal zijn afspraken gemaakt over het gebruik van eenheden. In het SI-systeem (Système International) zijn alle basisgrootheden en basiseenheden vastgelegd. 2.1 Alle andere grootheden en eenheden zijn van deze basiseenheden afgeleid en worden dan ook afgeleide eenheden genoemd. Voorbeelden hiervan zijn m 2, m 3 en m/s. Op de hiernaast vermelde internetsite van Wikipedia staan ze allemaal. In Engelstalige landen als de USA en UK wordt ook nog erg veel gebruik gemaakt van Angelsaksische eenheden, zoals inch en pound. Hieronder staan enkele veel gebruikte grootheden met de bijbehorende eenheden. grootheid / eenheid beschrijving voorbeeld Lengte (l)/ meter(m) 1 km =1000 m 1 m = 1000 mm Hiermee kun je grootte van een voorwerp aangeven. Hoogte, breedte, dikte, diameter,straal zijn lengtematen. Schaalverdeling met mm en cm. 39 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

37 Massa (m) / kilogram (kg) 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg Hiermee kun je de hoeveelheid materiaal aangeven. De massa bepaal je met een weegschaal of balans. Volume (V) /eenheid m 3 1 m 3 = 10 3 liter(l) 1 dm 3 = 1 L 1 cm 3 = 1 ml 1 cc = 1 cm 3 (cubic centimeter) Tijd (t) seconde (s) 1 minuut (min) = 60 s 1 uur (h) = 60 min 1 dag = 24 uur Hiermee wordt de ruimte aangegeven die een stof of voorwerp inneemt. Men spreekt ook wel over de inhoud van een voorwerp. Hiermee wordt een periode aangegeven Dit pak bevat 1 kg melk. Dit glas bevat 300 ml bier. Dit horloge geeft de tijd aan in uren, minuten en secondes. Opgave 2.1 Eenheden en voorvoegsels. Maak de volgende eenhedenconversies: Geef het antwoord zowel wetenschappelijk als decimaal. a 4,25 mg = 0,00425 g of 4, g b 4,25 mg = kg c 4, g = kg d 2,30 L = ml e 60 μl= L f 40 ms = s g 1,25 h = min h 0,56 h = s i 2 kv = V j 3 ma = A 40 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

38 Opgave Oefenen met eenheden en voorvoegsels. Kies op de site van WIMS voor: 1. Lengte eenheden omzetten. 5. Oefenen met SI-voorvoegsels. 18. Rekenen met tijd II 19. Eenheid massa. Neem van ieder onderdeel enkele opgaven over in je werkschrift. Opgave 2.3 Voorvoegsels en macht van 10 Welk voorvoegsel en symbool of welke macht van 10 hoort hier bij? a milli = 10-3 b mega = c 10 3 = d 10-6 = e μ = f atto = g deci = h = i 10-9 = j p = Opgave Oefenen met voorvoegsels. Kies op de site van WIMS voor: 5. Oefenen met SI-voorvoegsels. 10. Rekenen met SI-voorvoegsels. 11. Omrekenen van SI-voorvoegsel. Neem van ieder onderdeel enkele opgaven over in je werkschrift. Opgave Grootheden, eenheden en symbolen. Welk grootheid, eenheid of symbool hoort hierbij? Gebruik BINAS of Wikipedia site. a eenheid meter (m) hoort bij grootheid lengte (l) b grootheid massa (m) heeft als eenheid kilogram (kg) c eenheid seconde ( ) hoort bij grootheid ( ) d eenheid ( ) hoort bij grootheid spanning ( ) e eenheid ampère ( ) hoort bij grootheid ( ) f eenheid gram ( ) hoort bij grootheid ( ) g grootheid hoeveelheid materiaal ( ) heeft als eenheid ( ) h grootheid ( ) heeft als eenheid (L) Opgave 2.6 Oefenen met voorvoegsels. Kies op de site van WIMS voor: Zoek de goede SI-eenheid. Neem enkele opgaven over in je werkschrift. 41 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

39 Opgave 2.7 Opgave Gebruik van online coversieprogramma. Converteer de volgende waardes. Gebruik online conversieprogramma. a 3 km = 3000 m of m b 60 μm = m of c 70 MJ = J of d 50 mj = J of e 4,75 kg = g of f t = 2,78 min= s of g F = 100 kn = N of h V = 250 ml= L of i 250 ml = L j 20 0 C = K k 8,5 kw = W Data, opslag en communicatie Data of gegevens worden ingevoerd of gemeten en omgezet in een binaire code met de cijfers 0 en 1 en als bestand of file verstuurd naar allerlei randapparatuur zoals geheugen, beeldscherm, printer en modem. Je kunt hierbij denken aan een draadje waar eventjes wel (1) of geen (0) stroompje door gaat. Bij data kun je denken aan plaatjes, filmpjes, geluidsfragmenten, stukjes tekst, etc. Er zijn allerlei manieren van inpakken van bestanden. Tekens en letters worden meestal omgezet in een code van 8 nullen en enen. Men noemt dit een byte (B). Een 0 of een 1 noemt men een bit (b), dit is de afkorting van binary digit. Een byte (B) is 8 bits. (1B = 8 b) Voorbeeld : de letter a heeft de code Ieder bestand heeft een extensie zoals.doc,.bmp.jpeg,.gif,.mpeg,.mov,.wav,.mp3 Ook bij metingen van bijvoorbeeld temperatuur of druk wordt de gemeten waarde omgezet in een binaire code. Hiervoor gebruikt van een ADC-converter (een analoog naar digitaal omvormer). Alle gecodeerde data kan opgeslagen worden. Op een CD kan bytes opgeslagen worden bytes wordt meestal geschreven als 650 MB. Een DVD kan 4,7 GB aan data bevatten. De volgende tekst heeft betrekking op de snelheid waarmee data via internet in je computer komt: van 512 kbps downstream (van het internet naar uw pc) en 128 kbps upstream (van uw pc naar het internet) Met kbps bedoeld men kilobits per seconde. 42 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

40 Voorbeeld van een map in met verschillende bestanden : a Een letter of teken kan opgeslagen worden met één byte. Hoeveel geheugenruimte heb je nodig voor een tekst van 1000 tekens. Geef het antwoord in B en b. b Een kleurenplaatje heeft de extensie.bmp. (bitmap). Voor iedere pixel wordt een code gebruikt van 24 b. Bereken het aantal bytes geheugen dat nodig is om een plaatje van 600 x 800 pixels op te slaan. c Bereken het aantal kilobytes (kb) dat nodig is voor dit plaatje van 600x800 pixels. d Bereken de tijd die nodig is om een plaatje van 2,3 MB te downloaden bij een transmissiesnelheid van 512 kbps. e In een map van Windows staat een geluidsbestand (.mp3) van 6 MB. Bereken hoeveel van dit soort mp3-files opgeslagen kunnen worden op een CD van 560 MB. f Het promotiefilmpje eos_preview neemt 2600 kb geheugen in beslag. Bij het afspelen in mediaplayer staat de afspeelsnelheid afgebeeld. Deze is 150 kbits per seconde. Bereken de afspeeltijd van dit filmpje. g afbeelding 100_0903.jpg is een digitale foto zoals opgeslagen op een geheugenkaartje van de digitale camera. De resolutie is (pixels) en hiervoor is 1 MB geheugenruimte nodig. Plaatje rotatiepers.jpg is een foto die op een internetsite geplaatst is. Deze heeft een resolutie van en neemt 71 kb in beslag. Bereken in beide gevallen hoeveel geheugen er per pixel nodig is. Opgave Oefenen met voorvoegsels computerbestanden. Kies op de site van WIMS voor: 16. Omrekenen van bytes. Neem enkele opgaven over in je werkschrift. R1 R2 De letter m wordt zowel gebruikt voor de grootheid massa en de eenheid meter en het voorvoegsel milli. Laat m.b.v. een voorbeeld zien, hoe je duidelijk aan kunt geven waar het over gaat. Beschrijf het verschil tussen de basiseenheden van het SI-stelsel en de afgeleide eenheden. Geef enkele voorbeelden. R3 Een veel gemaakte fout: 1,23 min = 1 min en 23 s. Welke fout wordt hier gemaakt? 43 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

41 R4 R5 De eerder genoemde procesuitwerking komt hier duidelijk aan de orde. Laat met een voorbeeld zien wat met deze manier van uitwerken bedoeld wordt. Een tekening is vaak een goed begin van de oplossing. R6 R7 Bedenk een opgave die bij bovenstaande tekening hoort. Tussen 1000 en is geen voorvoegsel beschikbaar. Hoe los je dit op? Geef voorbeelden. Welke problemen deden zich voor bij het oefenen op de WIMSsite? Geef voorbeelden van gemaakte fouten. 2.5 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 27) Je kunt ook de antwoorden controleren! Opgave 2.10 Het getal π. 2.3 Wielen, cilinders, overbrengingen, katrollen, bollen, ballen, vaten, tonnen, flessen, waar kom je geen cirkels tegen. Het is een bijzonder figuur. Al in tijd van de Egyptenaren (2000 voor Christus) werd onderzoek gedaan naar de bijzondere eigenschappen. De middellijn (diameter) van de cirkel past iets meer dan 3 op de omtrek. In de figuur is een touwtje gespannen om een cirkel. Het touwtje is doorgeknipt en de lengte is gemeten. 44 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

42 Het touwtje bleek 3,14 zo lang te zijn als de diameter. Het getal was niet exact te bepalen. Dit onmeetbare getal wordt π (pi) genoemd. Iedere rekenmachine heeft een π-toets. Wiskundigen hebben het getal steeds nauwkeuriger bepaald, 20 decimalen in 1600, 100 decimalen in 1985 en met hulp van computers tot 1,24 biljoen ( 1, ) cijfers achter de komma. a Bereken de omtrek van een fles, die een diameter heeft van 10 cm. b Hoe groot zal de omtrek zijn als de diameter 5,0 cm is? c Bereken de lengte (l) van een draad van een spoel met 10 windingen. De diameter is 50 mm. d Bedenk zelf een formule om de lengte (l) van een draad van een spoel uit te rekenen. De spoel heeft n windingen en een diameter d. Bereken met deze formule de lengte die nodig is om een spoel te maken van 100 windingen met een diameter van 70 mm R8 De formule bij vraag d moest zijn: l = n π d Beschrijf in eigen woorden de betekenis van deze formule. R9 Welke eenheid hoort bij l als je voor d de eenheid cm neemt? Wat moet je doen om l uit te rekenen in m. Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 22) Je kunt ook de antwoorden controleren! 2.2 Afgeleide eenheden voor oppervlakte. Een vlakje van 1 dm bij 1 dm heeft een oppervlak van 1 vierkante dm. ofwel: 1dm 1dm = 1 dm 2 of : 1dm 1dm = 10 cm 10 cm = 100 cm 2 andersom: 1cm 1cm = 1 cm 2 of : 1cm 1cm = 0,1 dm 0,1 dm = 0,01 dm 2 In 1 vierkante decimeter passen 100 vierkante centimeters. In 1 vierkante centimeter past 0,01 vierkante decimeter. (zie afbeelding) 45 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

43 Van dm cm betekent 10 Van dm 2 cm 2 betekent 100 (=10 2 ) Van cm dm betekent 0,1 Van cm 2 dm 2 betekent 0,01 (=10-2 ) 2,3 dm 2 = 230 cm 2 2,3 cm 2 = 0,023 dm 2 Op dezelfde manier kun je ook van km 2 naar mm 2 en omgekeerd. Tussen km en mm zit een factor of Tussen mm en km zit een factor 0, of Tussen km 2 en mm 2 zit dus een factor of Tussen mm 2 en km 2 zit dus een factor 0, of Hieronder staan de vermenigvuldigingsschalen voor lengte- en oppervlakte-eenheden. Enkele voorbeelden: 1) 2 km = dm of 2 km = dm 2) 4,56 μm = 4,56 0, m of 4,56 μm = 4, m 3) 3,4 mm 2 = 0, ,4 = 0, km 2 of 3,4 mm 2 = 3, km 2 4) m 2 = = 20 cm 2 46 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

44 Opgave 2.11 Converteren van lengte- en oppervlakte-eenheden (1). De rechthoek heeft een lengte (l) van 20 cm en een breedte (b) van 5,0 cm a Bereken de omtrek in m. b Bereken de oppervlakte in mm 2. c Bereken de oppervlakte in m 2. d Bereken de oppervlakte in hm 2. e Bereken de lengte in μm. Opgave 2.12 Converteren van lengte- en oppervlakte-eenheden (2) De cirkel heeft een diameter (d) van 10 cm. a Bereken de omtrek in mm. b Bereken de omtrek in km. c Bereken de oppervlakte van de cirkel in m 2. d Bereken de oppervlakte van de cirkel in μm 2. e Een draad is 20 om een as (d = 10 cm) gewikkeld. Bereken de lengte van de draad. Opgave Oefenen met voorvoegsels oppervlakte-eenheden. Kies op de site van WIMS voor: 14. Oppervlakte eenheden omrekenen (basis). R10 Vermenigvuldigen met 0,001 is hetzelfde als delen door Laat met een voorbeeld zien dat dat inderdaad zo is. R11 Een cirkel met een 2 zo grote diameter heeft een 4 zo groot oppervlak. Leg uit met voorbeeld. R12 Een cirkel met een 2 zo grote diameter heeft een 2 zo grote omtrek. Leg uit met voorbeeld. R13 Bij omzetten van μm 2 naar m 2 wordt vaak als factor 0, genomen. Wat gaat hierbij fout? 47 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

45 2.3 Afgeleide eenheden voor volume. Een kubus van 1 dm bij 1 dm bij 1 dm heeft een volume van 1 kubieke dm. ofwel: 1 dm 1dm 1dm = 1 dm 3 of : 1dm 1dm 1dm = 10 cm 10 cm 10 cm = 1000 cm 3 andersom: 1cm 1cm 1cm = 1 cm 3 of : 1cm 1cm 1cm = 0,1 dm 0,1 dm 0,1 dm = 0,001 dm 3 In 1 kubieke decimeter passen 1000 kubieke centimeters. In 1 kubieke centimeter past 0,001 kubieke decimeter. (zie afbeelding) Van dm cm betekent 10 Van dm 3 cm 3 betekent 1000 (=10 3 ) Van cm dm betekent 0,1 Van cm 3 dm 3 betekent 0,001 (=10-3 ) 2,3 dm 3 = 2300 cm 3 2,3 cm 3 = 0,0023 dm 3 Op dezelfde manier kun je ook van m 3 naar cm 3 en omgekeerd. Tussen m en cm zit een factor 100 of Tussen cm en m zit een factor 0,01 of Tussen m 3 en cm 3 zit dus een factor of Tussen cm 3 en m 3 zit dus een factor 0, of In plaats van 1 dm 3 wordt vaak 1 liter (L) gebruikt. 2.1 Hieronder staan de vermenigvuldigingsschalen voor de volumeeenheden. 48 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

46 Enkele voorbeelden: 1) 2 dm 3 = mm 3 of 2 dm 3 = mm 3 2) 4,56 mm 3 = 0, m 3 of 4,56 mm 3 = 4, m 3 3) 3,4 ml = 0,001 3,4 L = 0,0034 L of 3,4 ml = 3, L 4) 2 L = cl = 200 cl Opgave 2.14 Converteren van oppervlakte- en volume-eenheden (1). De balk heeft een lengte (l) van 10 cm, een breedte (b) van 5 cm en een hoogte (h) van 3 cm a Bereken het volume in dm 3. b Bereken de totale oppervlakte in cm 2. c Bereken het volume in ml. d Bereken het volume in L van een balk die 2 zo lang is. Opgave 2.15 Converteren van oppervlakte- en volume-eenheden (2). De cilinder heeft een diameter van 10 cm en een hoogte van 15 cm. V cilinder = oppervlakte cirkel hoogte. a Bereken het volume in ml. b Bereken de omtrek in mm. c Bereken de totale oppervlakte van de cilinder in m 2. d Bereken het volume in m 3. e Een cilindervormig vat heeft dezelfde afmetingen en is met water gevuld tot een hoogte van 8 cm. Bereken de hoeveelheid water in het vat in ml. Opgave Oefenen met voorvoegsels. Kies op de site van WIMS voor: 15. Inhoudsmaten omrekenen (basis). 49 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

47 2.4 R14 Hoeveel liter gaan er in 1 milliliter? R15 Je hebt een vat A en een vat B. Je giet in beide vaten even veel water, namelijk 1 L. In vat A staat het water 0,8 zo hoog als in vat B. Beredeneer hoeveel zo groot de oppervlakte van de bodem van vat B is. Tip: Maak schetsje! R16 Een cilindervormig vat heeft een inhoud van 100 L. Hoe groot moet de diameter zijn van een vat dat even hoog is, maar waar 4 zo veel in kan? R17 Bij omzetten van μm 2 naar m 2 wordt vaak als factor 0, genomen. Wat gaat hierbij fout? R18 Welke problemen deden zich voor bij het oefenen op de WIMSsite? Geef voorbeelden van gemaakte fouten. 2.4 Herleiden van een formule en het isoleren van een variabele. 2.2 Bij opgave 2.10 is de formule l = n π d bedacht. De lengte van een draad die rondom een cilindervormige buis gewikkeld is, is gelijk aan het aantal windingen de omtrek. De omtrek is gelijk aan π de diameter. Als je de diameter van de buis en de lengte van de draad kent kun je ook het aantal windingen uitrekenen. Dan is het beter de formule zo te schrijven dat d apart staat. Men noemt dit soort herleiden van een formule isoleren. l = n π d kun je ook schrijven als l d = n π In onderstaand schema zijn de stappen te zien waarmee de formule 6 = 3a + 2 wordt omgezet. Door links en rechts van het = teken met hetzelfde getal de bewerking +, -, of te doen kun je a isoleren. 2 moet weg links en rechts 2 3 moet weg links en rechts 3 links en rechts omwisselen 50 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

48 Voorbeelden: 1) ab = 3 ab= 12 a= 12 4 b 2) 3x 5= 4x 2 5= x 2 3= x x= 3 2 3) r = 0,5A r = 0, 5A 4) 3 ( x 5) = 2( x+ 2) 3x 15= 2x 4 5x= 11 x= 11 5 Opgave Oplossen vergelijking, isoleren van variabele (letter). Kies op de site van WIMS voor: Gelijkheden 4 ax + b = cx + d x^2 b = 0 Schrijf van alle opgaven enkele op als voorbeeld. Opgave 2.18 Isoleren. a l = 4 π r Isoleer r. 2 b V = h π r Isoleer h. a c h = + 2 b Isoleer a. d b = k+ 2 Isoleer k. 2 e V = h π r Isoleer r. Opgave 2.19 Formules omzetten en juiste eenheden gebruiken. De doorsnede A is het vlak dat je krijgt als je een voorwerp loodrecht door snijdt Een metalen staaf heeft een vierkante doorsnede (A) van 230 mm 2 en een lengte (l ) van 2,5 m. A = a 2 en V = A l en dus V = a 2 l a Bereken de zijde van vlak A in cm. b Bereken het volume van de staaf in mm 3 en in cm 3. c Bereken de lengte van de staaf in dm als deze een volume heeft van 200 cm 3 en een doorsnede van 5,00 mm 2. d Geef een formule waarmee je de lengte van zijde a van vlak A uit kunt rekenen als het volume V en de lengte l bekend zijn ( a isoleren dus). 51 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

49 e Bereken de zijde a van de staaf in dm als deze een volume heeft van 2 Len een lengte van 5 m. f Voor de oppervlakte van een plaat die is opgebouwd uit 3 vierkante 2 platen geldt: A= 3 l Schrijf de formule zo dat l apart staat ( isoleer l) R19 V In opgave 2.19 d heb je de formule a= afgeleid. Hiermee l kun je de lengte van zijde a uitrekenen als je het volume en de lengte van een staaf weet. Welke eenheid moet je voor V nemen als je l in meter neemt? Welke eenheid komt er dan voor a uit? R20 Als je in de formule V = a 2 l voor a de waarde in cm neemt en voor l de waarde in mm dan gaat het fout! Je weet dan niet welke eenheid je voor V krijgt. We zeggen ook wel : de eenheden cm en mm zijn in deze formule niet coherent. Geef enkele voorbeelden van coherente eenheden bij de formule V a=. l R21 Welke problemen deden zich voor bij het oefenen op de WIMSsite? Geef voorbeelden van gemaakte fouten. Neem een willekeurige formule uit een scheikundig boek en ga alle variabelen isoleren. Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen. (Kies onderwerp 13 t/m 17) Je kunt ook de antwoorden controleren! 2.5 Hoe nauwkeurig moet je het antwoord geven? In hoeveel significante cijfers? Als een getal een waarde is die gemeten is, dan heb je altijd te maken met onnauwkeurigheid. Het aantal cijfers is beperkt en hangt af van verschillende factoren, zoals meetapparatuur, het aflezen zelf en de veranderingen die kunnen optreden tijdens het meten. Bij het meten van de lengte van een potlood lees je op de linkerschaal 4,3 cm af en op de rechterschaal 4,32 cm. Links heb je een getal met 2 significante cijfers en 1 decimaal. Rechts heb je een getal met 3 significante cijfers en 2 decimalen. 52 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

50 Regels voor afronden. Juiste afronding Bij het vermenigvuldigen van meetwaardes is het aantal significante cijfers in het antwoord hetzelfde als dat van het minst nauwkeurige getal. Juiste afronding Bij het delen van meetwaardes is het aantal significante cijfers in het antwoord hetzelfde als dat van het minst nauwkeurige getal. Juiste afronding Bij het optellen van meetwaardes is het aantal decimalen in het antwoord hetzelfde als dat van het minst nauwkeurige getal. 53 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

51 Juiste afronding Bij het aftrekken van meetwaardes is het aantal decimalen in het antwoord hetzelfde als dat van het minst nauwkeurige getal. Sommige getallen hebben geen onnauwkeurigheid. Het getal π kun je zo nauwkeurig opschrijven als je wil. Aantallen zijn ook precies. Een pakje van 10 kranten bevat 10 kranten. Samenvatting: Bij vermenigvuldigen en delen kijken we naar het minst aantal significante cijfers. Bij optellen en aftrekken kijken we naar het minst aantal decimalen. Hoe bepaal je het aantal significante cijfers? De cijfers die gemeten zijn, zijn van betekenis ofwel significant mm heeft 5 cijfers. Als alleen de eerste twee cijfers significant zijn kun je beter 1, mm of 12 m noteren. Als het derde cijfer een echte 0 is, kun je beter kiezen voor een andere notatie. 1, mm heeft 3 significante cijfers. 12,0 m heeft ook 3 significante cijfers. 0,0120 km is ook een mogelijkheid, alleen minder praktisch. 0 aan de linkerkant maakt een getal niet nauwkeuriger! 0,00030 m en 0,30 mm hebben dezelfde significantie. 54 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

52 Opgave 2.20 Significante cijfers. Hoeveel significante cijfers hebben de volgende getallen? a 1200 b 0,03 c 12,030 d 1, e 0,0 f 1,2 kw g 3,000 h 0,0111 μ m i j 9 Opgave 2.21 Rond de antwoorden op de juiste manier af. Als het niet vermeld wordt, zijn alle getallen meetwaardes. Geef antwoord in juiste nauwkeurigheid. a 10,4 2, 0= b 10 20= 18,6 c = 3,1 d 10,3+20= e 4,0 20, 6= 0,186 f = 3,100 g π 2, 5= h 10 0, 0125= 10 is een aantal 2.6 Opgave 2.22 R22 Wat is het verschil in notatie tussen 1,0 10 3, en 1000? R23 Hoe kun je het getal 0, schrijven als een getal met 1 decimaal? R24 10,24 + 0,003 = 10,24 voldoet aan de afrondingsregels. Leg uit waarom dit een goede afronding is. Rekenen aan een voorraadvat. Opslagvaten en leidingen waar vloeistoffen of gassen door heen stromen hebben vaak een cirkelvormige doorsnede. Voor het volume van een vat geldt daarom dezelfde formule als voor het volume van een cilinder. Het voorraadvat heeft een diameter van 80,0 cm en een hoogte van 102,5 cm. Denk bij alle antwoorden aan de juiste afronding! a In welke eenheid moet je d en h invullen als het antwoord in L wil hebben? 55 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

53 b Het voorraadvat is gevuld met 356 L vloeistof. Bereken de hoogte van de vloeistof in m. c Na verloop van tijd is het vloeistofniveau gedaald tot 18,0 cm. Bereken de hoeveelheid vloeistof die uit het vat gehaald is in dl. d Bij de meting van de diameter is een fout gemaakt. Men had de diameter aan de binnenkant moeten meten. De fout is 6 mm. Bereken de fout die daardoor gemaakt wordt in het antwoord van opgave c. e Zet de formule om de inhoud van het vat uit te rekenen om in een formule waarbij de hoogte geïsoleerd is. Vul voor r 40,0 cm in. Je krijgt dan een formule als: h = getal V. Bereken getal en vul in de formule in. f Bereken met de formule van opgave e de hoogte als het vat gevuld is met 100 L. R26 Om de hoogte van de vloeistof in een cilindervormig vat uit te 4 rekenen gebruik je de volgende formule: h= 1,99 10 V. Als je V invult in ml dan vind je h in cm. 4 1 Waarom moet de eenheid van het getal 1,99 10 ( 2 )zijn? cm R27 Pas de formule bij vraag R26 zo aan dat als je voor V het volume in L invult, je de hoogte in cm krijgt. Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen aan een cilindervormig vat. (Kies onderwerp 23) Je kunt ook de antwoorden controleren! 2.6 Derde macht en derde machtswortel? In de formule voor het volume van een bol staat een derde macht van de diameter (d). Een bol die 2 zo dik is heeft het volume dat 8 zo groot is. De oppervlakte van een bol is 4 zo groot als zijn cirkelvormige doorsnede. Voor een bol met een diameter van 2,00 dm geldt: V = 1 π (2) 3 4,19 6 = dm 3 of L A= 4 π (1) 2 = 12,57dm 2 Omgekeerd kun de diameter uitrekenen als je het volume weet. We kiezen een bol met een volume van 4,19 L. 56 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

54 3 π d 3 6 V 3 V = d = = 1,9099 V d = 1,9099 V 6 π Afgerond d = 2,00 dm. = 2,0002dm De derde machtswortel is de omgekeerde (inverse) bewerking van tot de macht 3 verheffen. 3 3 ( 2) = 8 en 8 = 2,want = Zo ook :( 2) = 16 en 16 = 2 Opgave 2.23 Rekenen aan een bol. De bol heeft een diameter van 20,0 cm. Rond op de juiste wijze af! a Bereken de oppervlakte van de bol in m 2. b Zet de formule voor de oppervlakte van de bol om in een formule waarbij de straal r apart staat. Als je r wil uitrekenen in cm, welke eenheid moet je dan nemen voor A? c Bereken met de formule van opgave b de straal van een bol die een oppervlakte heeft van 1,0 m 2. d Zet de formule voor het volume van de bol om in een formule waarbij de diameter d apart staat. Als je d wil uitrekenen in dm, welke eenheid moet je dan nemen voor V? e Bereken met de formule van opgave d de diameter van een bol die een volume heeft van 1,0 L. f Hoe groot is de oppervlakte van een bol, die een doorsnede heeft van 50 cm 2.. g In een kubus van 10,0 10,0 10,0 cm past precies een bal. De wand van de kubus is 5,00 mm dik! Hoeveel ml water kan er tussen de bol en de kubus zitten? 2.12 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met omzetten van eenheden. (Kies onderwerp 25) R28 Wat betekent 5 16? Bereken Hoe kun je controleren op het antwoord van vraag R28 correct is? R29 16 is hetzelfde als Bij de vierkantswortel of tweedemachtswortel wordt het cijfer twee weggelaten. Net zoals bij het cijfer 1 wordt weg gelaten. Waar zal de naam vierkantswortel vandaan komen? Bij 1, mag je het cijfer 1,00 niet weg laten. Waarom? Waarom bestaat 3 8 wel en 2 8 niet? 57 Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

55 2.1 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 Hoe zet je allerlei eenheden in elkaar om? Het gaat hierbij om voorvoegsels en het gebruik van machten van 10. Welke zijn de belangrijkste grootheden en eenheden? Wat zijn basisgrootheden en eenheden en afgeleide eenheden en grootheden? Wat zijn coherente eenheden? Als je een formule zoals 3 d = 1, 9099 V en je wilt de diameter uitrekenen in cm, dan moet je voor V wel cm 3 invullen. Als je voor V dm 3 of L invult bereken je d in dm en moet je vervolgens nog converteren naar cm. Geef nog enkele voorbeelden met formules die in dit hoofdstuk gebruikt zijn. Hoe bereken je omtrek, oppervlak en volume van de meest voorkomende 2D en 3D figuren? Hoe werk je een opgave uit volgens een procesuitwerking? Hoe isoleer je een bepaalde variabele (letter) uit een formule? Als je rekent met getallen, met bepaalde onnauwkeurigheid, moet je het antwoord op de juiste manier afronden. Welke regels worden hierbij gebruikt? Wat is een tweede, derde of hogere machtswortel? Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met SCI-notatie en significantie. (Kies onderwerp 20 en 21) Je kunt ook de antwoorden controleren! Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met SCI-notatie en voorvoegsels. (Kies onderwerp 24) Je kunt ook de antwoorden controleren! Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met omzetten van eenheden voor debiet en snelheid (Kies onderwerp 18 en 19) Je kunt ook de antwoorden controleren! Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen aan omwentelingen van een wiel.(kies onderwerp 26) Je kunt ook de antwoorden controleren! Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen aan hoeveelheid en tijd. (Kies onderwerp 28) Je kunt ook de antwoorden controleren! Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen aan een spoel. (Kies onderwerp 29) Je kunt ook de antwoorden controleren! Bespreking diagnostische toets 1 van hoofdstuk Eenheden, isoleren en afronden 2014 Vervoort Boeken

56 3 Per gedachte Per-gedachte. In dit hoofdstuk wordt aan de hand van veel voorkomende natuurkundige verschijnselen de kennis toegepast van de eerste basishoofdstukken. Het werken met eenvoudige formules en grafieken wordt verder uitgewerkt. De Per-gedachte wordt overal toegepast. In het eerste deel van dit hoofdstuk gaan we eerst kijken naar het begrip dichtheid, hoeveelheid per volume-eenheid. Hierbij komen analoge begrippen als dichtheid van een stof, vochtigheid, oppervlaktedichtheid, MAC-waarde, explosiegrens, concentratie en energiedichtheid aan de orde. In het tweede deel van het hoofdstuk gaan we kijken naar het begrip snelheid, toerental, hoeveelheid volume per tijdseenheid, hoeveelheid massa per tijdseenheid, hoeveelheid energie per tijdseenheid. 59 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

57 3.1 Dichtheid van een metaal. Een metaal is opgebouwd uit atomen. Soms zijn het allemaal dezelfde atomen. Soms zitten er verschillende soorten atomen door elkaar. De atomen zitten volgens een regelmatig patroon (rooster) op vaste plaatsen. Er zijn geen foto s van losse metaalatomen. Er zijn wel modellen bedacht. Bij een veel gebruikt model heeft een atoom een kern met positieve deeltjes (protonen) en neutrale deeltjes (neutronen) en daarom heen een wolk van negatieve deeltjes (elektronen). Atomen hebben een grootte van ongeveer 0,1 miljardste meter. (0, ofwel m). De kern is keer zo klein als het atoom (10-14 m). Doordat de negatieve deeltjes een kracht uitoefenen op de positieve deeltjes blijft alles bij elkaar. In onderstaande afbeelding wordt steeds verder ingezoomd. Van een blok metaal naar een klein kubusje, naar een atoom en vervolgens naar de kern. Opgave Op de aangegeven site kun je meer informatie vinden over atomen. De dichtheid (ρ ) van een stof is een maat voor het aantal atomen of moleculen dat in 1 m 3 of andere volume eenheid zit. De dichtheid wordt meestal gegeven in kg/m 3 of een daarvan afgeleide eenheid. Water heeft een dichtheid van 1 kg per liter. Dichtheid van hoeveelheid stof wordt ook wel soortelijke massa of soortelijk gewicht genoemd. Dichtheid van een metaal. Voor aluminium(al) geldt een dichtheid (ρ ; rho) van 2700 kg per m 3. Een m 3 aluminium heeft een massa van 2700 kg. (massa = hoeveelheid materiaal) kg kg ρ = 2700 of ρ = 2,700 3 m dm 60 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken 3 Een dm 3 aluminium heeft een massa van 2,7 kg, 1000 minder dan 1 m 3! De massa van 5 dm 3 aluminium is dus 5 2,700 = 13,50 kg. In het algemeen: m=ρ V

58 a Bereken de massa van 1 cm 3 aluminium. b Bereken de massa van een aluminium plaat van 10,0 10,0 2,0 cm. Geef het antwoord in g. c Van een blokje van een onbekend metaal moet de dichtheid bepaald worden. Het blokje wordt ondergedompeld in een maatcilinder en verplaatst 50,0 ml water. Met een bovenweger wordt de massa van het voorwerp gemeten. De massa is 270 g. Bereken de dichtheid van het onbekende materiaal in kg/m 3. maatcilinder bovenweger d Het aluminium blok van opgave b wordt verwarmd en daardoor wordt het volume 7,20 ml groter. Bereken de dichtheid bij deze hogere temperatuur. e Converteer de volgende eenheden 3,450 g/cm 3 = kg/m 3 1,000 kg/l =..kg/m 3 790,0 kg/m 3 =...g/cm 3 1,290 kg/m 3 = g/ml 3.1 R1 R2 Een veel gemaakte denkfout! 2700 g/dm 3 komt overeen met g/cm 3 want 1 dm 3 is 1000 zo groot als 1 cm 3. Schrijf in eigen woorden welke denkfout hier gemaakt wordt. Gebruik deze figuur om uit te leggen waarom ρ in kg/m groter is dan ρ in kg/dm 3 R3 Schrijf de formule m=ρ V ook in de vorm zodat ρ apart staat. R4 Als je de massa in kg wil uitrekenen neem je voor ρ de eenheid kg/m 3 en voor V de eenheid m 3. Welke eenheden zijn coherent met ρ in g/l. 61 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

59 Opgave Gebruik tabellenboek. In een tabellenboek, maar ook op wikipedia staan de dichtheden van de zuivere metalen, maar ook van de vele legeringen zoals messing en brons. Een legering is een mengsel van twee of meerdere metalen. a Bereken de massa van een broodje goud van 1,000 dm 3. b Messing is een legering van koper (Cu) en zink (Zn). Als je naar de waarde van de dichtheid kijkt moet het percentage koper veel groter dan dat van zink. Waarom? c Bereken de massa van 100 cm 3 geel messing. d Cu Zn 15 is een messing-legering die 15 m% zink bevat Bereken de hoeveelheid koper per kilogram van dit messing. e Welke waardes hebben de dichtheden van lucht en water. Opgave 3.3 Kwik is een bijzonder metaal. Kwik is een metaal dat bij kamertemperatuur (20 0 C) vloeibaar is. Omdat de damp van kwik giftig is mag het niet meer gebruikt worden in thermometers. Kwik komt nog wel voor in thermostaatschakelaars en spaarlampen. Spaarlampen horen bij het chemisch afval. Een flesje kwik van 100ml weegt maar liefst 1,35 kg. Bereken de dichtheid van kwik. Geef het antwoord in 3 significante cijfers. Controleer de gevonden waarde in een tabellenboek of op internet. Opgave 3.4 Massa en volumeprocenten in mengsels. a Als messing 15 m% (massaprocenten) zink bevat, hoeveel kg Zn is dat dan per kg messing? b Als bier 5 vol% (volumeprocenten) alcohol bevat hoeveel ml is dat dan per liter bier? En per bierflesje van 30 cl? 62 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

60 3.2 Dichtheid van water bij verschillende fasen. 3.5 Een materiaal of stof is opgebouwd uit atomen of moleculen Een atoom is het kleinste deeltje van een element. In een periodiek systeem kun je zien welke elementen er zijn. Stoffen als zuurstof (O), stikstof (N), koolstof (C), ijzer(fe) zijn elementen. Ze bestaan uit één soort atomen. De meeste stoffen zijn opgebouwd uit meerdere soorten atomen. In de stof kom je dan telkens een zelfde groepje atomen tegen. Zo n groepje atomen vormt ook weer een soort deeltje, een molecuul. Water is opgebouwd uit moleculen van twee waterstofatomen (H) en een zuurstof atoom (O). De formule voor water is H 2 O. Water komt in verschillende vormen (fasen) voor. 3.6 Bij 0 0 C is water een vaste stof, ijs. De moleculen zitten dan aan elkaar vast zoals bolletjes met veertjes ertussen. Als je het ijs gaat verwarmen wordt het vloeibaar, water. De moleculen kunnen dan door elkaar heen bewegen. Het ijs is gesmolten. Ga je water verwarmen dan krijgen de moleculen een hogere snelheid. Bij iedere temperatuur ontsnappen er watermoleculen aan de vloeistof. Hoe hoger de temperatuur hoe sterker dit verdampen is. Bij C gaan grote hoeveelheden moleculen door middel van dampbellen de ruimte in. Dit verschijnsel heet koken. Bij normale luchtdruk is het kookpunt van water C. Bij water en ijs zitten de moleculen ongeveer even dicht op elkaar. Bij waterdamp is de onderlinge afstand veel groter. Watermoleculen zijn 0,3 nm groot. Water heeft bij 4,0 0 C een dichtheid van 1000 kg/m 3 en bij 20 0 C een dichtheid van 998 kg/m 3. IJs heeft bij 0 0 C een dichtheid van 920 kg/m 3. Waterdamp (stoom) van C heeft een dichtheid van 0,60 kg/m 3. Wil je meer weten over de eigenschappen van water ga dan naar de volgende site. 63 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

61 De eenheid kg/m 3 kg wordt ook wel geschreven als 3 of kg m -3. m Spreek uit: kilogram meter tot de min derde 1 Net zoals 3 ook geschreven wordt als 10-3 of 0, Opgave 3.5 Dichtheid bij allerlei fasen van water. a Bereken de dichtheid van water bij 4 0 C in kg/l. b Bereken de dichtheid van ijs in g/cm 3. Een bekerglas is gevuld met 100 ml water van 4,0 0 C. Dit water bevriest bij 0 0 C. c Bereken de massa van 100 ml water van 4,0 0 C. d Bereken de massa van het ijs als al het water bevroren is. e Als het water bevroren is, is het volume groter geworden. Bereken het volume van het ijs in cm 3. f Bereken de uitzetting van het ijs in ml. g Stoom heeft bij C een dichtheid van 0,60 kg m -3. Als je deze stoom van C tot 20 0 C afkoelt wordt zal vrijwel alle waterdamp condenseren tot water. Bereken hoeveel ml water er ontstaat per m 3 stoom? h Bereken hoeveel liter waterdamp (stoom) je kunt maken van 100 ml water. Opgave Converteren van per-eenheden. Bedenk ook bij iedere eenheid een grootheid of verschijnsel. Voorbeeld: bij a) dichtheid van een stof a kg g 1000 = m cm b 0,78 g ml -1 = kg m -3 c 72 km/h =.m/s g mg d 80 = m cm e 2, rpm = rph f 70 μg/cm = g/m g 12 km/l = L/km!! h 1,98 g/l = L/g!! 64 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

62 Opgave R6 12 km 1L L = = 1 12 L 12km km Schrijf op dezelfde manier 1000 kg/m 3 om naar m 3 /kg. kg/m 3 is de eenheid van dichtheid of specifieke massa(ρ) m 3 /kg is de eenheid van specifiek volume (V s ). Beschrijf in eigen woorden de betekenis van specifiek volume. R7 Schrijf de eenheden rpm, rph en rps als een breuk. R8 Waarom is de dichtheid van waterdamp zoveel lager dan die van water? Wat kun je dan zeggen van het specifiek volume van waterdamp en water? R9 Bedenk een formule die het verband aangeeft tussen ρ en V s. Bepalen van de dichtheid van een vloeistof met pyknometer. De dichtheid of soortelijke massa van een bepaalde vloeistof kun je bepalen als je van een bepaalde hoeveelheid vloeistof de massa weet. Hiervoor wordt een geijkt flesje, een pyknometer, gebruikt. Dit flesje heeft een glazen dopje met capillair. Als het capillair gevuld is, heb je een precies afgemeten hoeveelheid vloeistof De rechter pyknometer is geijkt tot op 3 decimalen. Bij zo n pyknometer krijg je ook een certificaat en kost ongeveer Een gewone pyknometer van ongeveer 10,- moet je zelf nog ijken. Dat doe je door deze te vullen met gedistilleerd water, waar je de temperatuur van meet. Als je temperatuur weet kun je dichtheid opzoeken in een tabel. of berekenen met een calculator op internet. Voor het volume van de pyknometer geldt: V pyk m = pyk+ water m ρwater Het volume van de pyknometer bereken je door de massa van het water (van de gevulde pyknometer) te delen door de juiste dichtheid. pyk 65 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

63 De massa van het water bepaal je door het flesje eerst gevuld met water en daarna leeg te wegen. De juiste dichtheid door de temperatuur nauwkeurig te meten. Vervolgens bepaal je de massa van de onbekende vloeistof door de pyknometer nog een keer te wegen nadat deze gevuld is met de te onderzoeken vloeistof. mpyk+ vl mpyk Voor de dichtheid van de vloeistof (ρ vl ) geldt dan: ρ vl = V De volgende metingen zijn gedaan: m pyk+water = 35,0838 g m pyk = 25,0824 g = 33,1538 g m pyk+vl T(water) = 22,1 0 C In onderstaande tabel kun je de dichtheid van water opzoeken in g/cm 3 pyk Voorbeeld tabel: ρ(water) = 0, bij 19,3 0 C a Bereken het volume van de pyknometer. Denk aan de juiste significantie! b Bereken de dichtheid van de te onderzoeken vloeistof. Bij de temperatuurmeting is een fout gemaakt, waardoor de temperatuur 0,5 0 C te hoog gemeten is. 66 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

64 c Beredeneer of het geijkte volume van de pyknometer hierdoor groter of kleiner wordt. d Bereken de dichtheid van de te onderzoeken vloeistof met de juiste temperatuur (0,5 0 C minder). 3.1 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen over de volumebepaling van een pipet door weging. (Kies onderwerp 34) Opgave 3.8 Uitzetting van water. Water heeft bij 4 0 C een maximale dichtheid van 1000 kg m -3. Als je water opwarmt neemt het volume vanaf 4 0 C toe. Ook bij afkoelen van 4 0 C tot aan het vriespunt bij 0 0 C neemt het volume toe, om uiteindelijk sterk toe te nemen bij het bevriezen. In onderstaande tabel is het volume van 1,0000 gram water te zien. a Bereken de dichtheid van water bij 26,0 0 C. b Controleer deze waarde met de internetcalculator van 3.8. Uit de tabel kun je afleiden dat 1 gram water een volumetoename heeft van 0,0021 ml bij opwarmen van 17 0 C tot 26 0 C. Dat is gemiddeld 0,0021/9 = 2, ml per gram per 0 C. c Bereken de volumetoename in ml per kg per 0 C. 67 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

65 d Bereken de volumetoename in ml per L per 0 C. Neem voor 1 kg een volume van 1 liter. De volumetoename per liter per 0 C noemt men de volumeuitzettingscoëfficiënt γ V. e Klopt de waarde die je bij d uitgerekend hebt met de waarde die in BINAS vermeld staat. f Bereken de volumetoename van 10 liter water bij verwarming van 20 tot 60 0 C. 3.3 R10 In de tabel met de dichtheid van water bij verschillende temperaturen is de dichtheid vermeld in 6 significante cijfers en de temperatuur in 3 significante cijfers. Welke nauwkeurigheid van de dichtheid is dan realistisch? R11 Beschrijf in eigen woorden de betekenis van volume-uitzettingscoëfficiënt γ V. 3.3 Oppervlaktedichtheid. Materialen zoals hout, metaal, kunststof, glas en papier worden vaak als vlakke platen geproduceerd en gebruikt. Het is dan gebruikelijk om te praten over de prijs per m 2, de massa per m 2, het volume per m 2, enz. Bij een harddisk wordt gesproken over areal density of oppervlaktegewicht in Gigabyte per vierkante inch (GB/inch 2 ). In de vastgoedsector gaat het over bouwkosten per m 2, of bouwgrond per m 2. In de grafische bedrijven is de specifieke massa of oppervlakte-dichtheid van papier een belangrijke grootheid. Opgave 3.9 Oppervlakte-bepaling met papier. Het meest gebruikte papier weegt 80 gram per vierkante meter. g ofwel ρ A = 80,0. 2 m Dit is ook het papier dat gebruikt wordt bij computerprinters. Men wil de oppervlakte van een metalen plaat bepalen. Daartoe tekent men de omtrek van het voorwerp af op een stuk 80 grams papier en knipt dit uit. Daarna wordt het stuk papier gewogen met een nauwkeurige balans. De massa is 1,256 g. De plaat heeft een dikte van 8,70 mm en massa van 422,6 g a Bereken de oppervlakte van het uitgeknipte papier in cm 2. b De gemeten waarde kan 0,002 g hoger of lager zijn (± 0,002 g). Hoeveel scheelt dat in cm Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

66 c Rond het antwoord van vraag a) af volgens de afrondingsregels. Rond het antwoord af en houd rekening met de afrondingsregels en de onnauwkeurigheid door de meetfout. d Bereken het volume van de plaat. e Bereken de dichtheid van het materiaal van de plaat. Enig idee welk materiaal het kan zijn? 3.4 R12 Het maken van een schets is altijd een slimme manier om een probleem te overzien. In de figuur is te zien dat 1,25 g papier veel minder weegt dan 80 gram. 1 m 2? m 2 Een verhoudingstabel met enkele mooie waardes kan een goed hulpmiddel zijn. Waarom is het in dit geval zinvol 0,5 m 2 er bij te zetten? 1, 25 Sommigen doen meteen de volgende berekening: 1 m 2 80 Beschrijf het denkwijze die hier achter zit. R13 Je kunt het antwoord geven als : A = 0, m 2 maar ook als : A = 156,25 cm 2 of A = 1, cm 2 Je moet afronden op 3 significante cijfers. Welke eenheden zijn dan het meest geschikt en waarom? R14 g ρ A = 80,0.Bedenk een formule waarmee je de oppervlakte 2 m van een stuk papier kunt bereken als je de massa van het papier weet. Opgave 3.10 Speciale afmetingen van papier. Afmetingen van papier zijn internationaal gestandaardiseerd. Het meest gebruikte formaat is A4. De afmetingen van A4 zijn mm. In de afbeelding zijn alle maten opgenomen. 69 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

67 g A0 = 2 A1, A1 = 2 A2 enz. Voor het papier geldt: (ρ A = 80,0 2 ) m a Bereken de massa van een A4-blaadje. b Een A0 blad heeft een oppervlak van 1 m 2. Bereken de massa van een A0 blad. c Hoeveel A4 blaadjes gaan er in een A0 blad? d Klopt het antwoord van vraag c met de afbeelding? e De korte zijde van A0 is even lang als de lange zijde van A1. Bewijs dat tussen de lange en de korte zijde van ieder formaat een factor 2 zit. 3.2 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met oppervlaktebepaling door weging. (Kies onderwerp 32) 3.4 Concentratie van een oplossing is ook een dichtheid. 3.9 De concentratie van oplossing wordt gegeven in g/l en g/kg. Als je 10 gram zout oplost in 1 liter water krijg je een concentratie (c) van 10 g/l. Bij kleine hoeveelheden mag je de volumeverandering van het water verwaarlozen. Wat wel constant blijft bij oplossen is de massa van het water. Als we aannemen dat 1 liter water een massa heeft van 1 kg dan kun je de concentratie van het zout ook geven in g/(kg oplossing). Als je 10 gram oplost in 1000 g water krijg je een oplossing van 1010 g. c = 10 g zout/1,010 kg oplossing = 9,901 g/kg 70 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

68 Als je 2 liter zoutoplossing hebt met daarin 10 g zout per liter dan is de massa van het opgeloste zout gelijk aan 2 L 10 g/l = 20 gram. In formule : m = c V 10 g 1 l Opgave 3.11 Rekenen aan concentraties van opgeloste stoffen. g Je moet 100 ml zoutoplossing maken met een concentratie c = 10,0 L g en daarna gaan verdunnen tot 2,4. L a Bereken hoeveel gram zout je in 100 ml water moet oplossen. Je mag aannemen dat het volume niet verandert als je het zout oplost. b Bereken hoeveel ml water je met 100 ml van 10 g/l moet mengen g om een concentratie te krijgen van 2,4. L c Hoeveel liter zoutoplossing van 10 g/l kun je maken met 100 g zout? Je hebt 100 ml van een zoutoplossing met een concentratie van 10 g/l. Je wil de concentratie verhogen en dat kan op twee manieren, namelijk door verdamping van water en door oplossen van extra zout. d Hoeveel water moet je verdampen om een zoutoplossing te krijgen van 14 g/l. e Je wil de hoeveelheid op 100 ml houden en daarom ga de concentratie verhogen door er zout aan toe te voegen. Hoeveel zout moet erbij? 3.3 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over concentraties. (Kies onderwerp 40) Opgave 3.12 Verdunnen van oplossingen. g Je hebt een zoutoplossing met een concentratie c = 10,0. L De concentratie moet door verdunnen 10 zo klein worden. Daartoe ga je 100 ml aanvullen met 900 ml water. a Bereken de verhouding delen water delen te verdunnen oplossing 71 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

69 b Bereken de concentratie na het verdunnen. c Bereken met de formule m = c V de massa van het zout in 50 ml van de verdunde zoutoplossing. g d Je moet een oplossing van c = 10,0 7,5 verdunnen. L Je moet 50 ml van deze verdunde oplossing maken. g Bereken hoeveel ml van 10,0 en hoeveel ml water je moet L nemen. 3.5 R15 Beschrijf hoe je een oplossing kunt maken van 10 gram per liter terwijl je maar 50 ml water gebruikt. R16 Hoe kun je op een 10 zo nauwkeurige manier een oplossing maken van 10 gram per liter? R17 - R18 8 verdunnen betekent 1 deel op 7 delen water. Als je 2 liter wil maken moet je 7/8 deel van 2 liter water nemen. Bedenk een algemene regel voor n verdunnen. 3.4 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over verdunnen. (Kies onderwerp 42) 3.5 Luchtvochtigheid in g/m 3 of in %. De luchtvochtigheid is de dichtheid van de waterdamp in de lucht. Deze wordt gegeven in g per m 3 of een eenheid die hiervan afgeleid is. De hoeveelheid waterdamp in de lucht heeft bij iedere temperatuur een maximale waarde. Bij 20 0 C is dat ongeveer 17,3 g/m 3. Hieronder staat een afbeelding van een calculator voor de luchtvochtigheid. Bij pressure (luchtdruk) staat standaard 1013 hpa, wat overeenkomt met de normale luchtdruk van 1 atmosfeer ( 1,013 bar). 72 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

70 3.10 Hieronder zijn in een tabel en grafiek enkele maximale waardes opgenomen. Het verband tussen het maximaal mogelijke vochtgehalte en de temperatuur is zeker niet lineair. De grafiek wordt steeds steiler bij oplopende temperatuur. Als de vochtigheid niet maximaal is geeft men ook vaak het percentage van de maximale waarde. Als de lucht bij 10 0 C een vochtigheid heeft van 9,4 g waterdamp per m 3 bevat, dan is dat 100 %. Bij 20 0 C is 9,4 g niet maximaal, maar 52% van 17,3 g/m 3. (zie figuur hieronder) De vochtigheid in g/m 3 noemt men de absolute vochtigheid ρ(waterdamp). De vochtigheid in % noemt men de relatieve vochtigheid (Rh). Rh = 52% bij 20 0 C als ρ = 9,4 g/m 3 73 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

71 Waarom kan er naar verhouding zo weinig water in de lucht bij lagere temperatuur? 1 m 3 lucht van 20 0 C en normale druk ( 1 atmosfeer) bestaat voor ongeveer 20% uit zuurstofmoleculen (O 2 ) en voor 80% uit stikstofmoleculen (N 2 ). Deze hebben samen een massa een massa van ongeveer 1200 gram. De watermoleculen kunnen bij 20 0 C een maximale massa hebben van 17,3 gram. Erg weinig t.o.v. de andere gassen! Watermoleculen bestaan uit 2 waterstofatomen en 1 zuurstofatoom. Waarom 2 H-atomen en 1 O-atoom? Atomen bestaan uit kernen met deeltjes die een positieve lading hebben (protonen) en daarom heen deeltjes met een negatieve lading (elektronen). Positieve en negatieve deeltjes trekken elkaar aan en zo wordt het atoom bij elkaar gehouden. Waterstofatomen hebben 1 elektron en zuurstofatomen hebben 6 elektronen. Een zuurstofatoom wil graag 8 elektronen hebben en een waterstofatoom graag 2. Door op deze manier bij elkaar te gaan zitten kunnen ze dat doel bereiken. Het zuurstofatoom denkt 8 elektronen te hebben en de waterstofatomen denken er ieder 2 te hebben. Een win-win situatie dus. Men noemt dit een atoombinding. Modellen van een watermolecuul. In een watermolecuul is de dichtheid van de elektronen niet overal hetzelfde. Aan de kant van het zuurstofmolecuul zitten er meer. Deze kant is heeft een negatieve lading(-) en de kant van de waterstofatomen is positief (+). 74 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

72 Een watermolecuul is een dipool, heeft een positieve en negatieve kant. Watermoleculen oefenen elektrostatische krachten op elkaar uit ( + trekt aan en + stoot + af) Hieronder zijn enkele voorbeelden van elektrostatische krachten te zien. Een plastic voorwerp als een kam of pen kun je laden door hem langs je trui te wrijven. Vervolgens oefent deze een kracht uit op papiersnippers of een waterstraaltje. Omdat watermoleculen elkaar elektrisch aantrekken (van de Waals krachten) kan er bij lagere temperatuur maar een beperkte hoeveelheid waterdamp in de lucht zitten. Komt er meer waterdamp bij dan zal er condensatie optreden. Bij hogere temperatuur bewegen de moleculen sneller en vangen ze elkaar niet zo gemakkelijk. Bij 90 0 C kan 1 m 3 lucht 422 gram waterdamp bevatten! Onderstaande grafiek geeft het verband tussen maximaal waterdampgehalte en temperatuur. 75 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

73 Als de relatieve vochtigheid en de temperatuur bekend zijn kun je met bovenstaande grafiek de absolute vochtigheid bepalen. Voorbeeld: Rh = 60% en T = 22 0 C Uit de grafiek volgt : ρ max = 19,5 g/m 3 (bij 100%) ρ = 60% van 19,5 = 0,60 19,5 = 11,7 g/m 3 Opgave 3.13 Rekenen aan vochtigheid Bij de berekeningen moet je bovenstaande grafiek en de eerder genoemde calculator (3.10) gebruiken. a Bepaal de maximale absolute vochtigheid (ρ max ) bij 10 0 C. b Bij 10 0 C zit er per m 3 4 g waterdamp in de lucht. Bereken hoeveel procent dit is van wat er maximaal in kan zitten. Hoe noemt men dit percentage? c Met de hiernaast afgebeelde hygrometer wordt een relatieve vochtigheid gemeten van 30 % bij een temperatuur van 20 0 C. Bereken de absolute vochtigheid in g/m 3. d Je wil de relatieve vochtigheid verhogen tot 60% en daarom ga je water verdampen. Bereken hoeveel water je per m 3 moet verdampen. Opgave 3.14 Wat gebeurt bij afkoelen? In een labruimte van 500 m 3 zit lucht met een Rh-waarde van 65% en een temperatuur van 22 0 C. Gebruik bij deze berekeningen de internetcalculator a Bereken de ρ van de waterdamp in de lucht. b Wat is de ρ (maximaal) bij 22 0 C? 3.2 Na werktijd koelt de lucht af tot 8 0 C. c Leg uit waarom er waterdamp zal condenseren. d Bereken de hoeveelheid waterdamp die condenseert. e Bereken het volume van de condens in L. 3.6 R20 Hier is een model getekend voor de absolute vochtigheid. Er kunnen bij 20 0 C maximaal 10 bolletjes in het doosje. Er zitten 8 bolletjes in het doosje. Het doosje heeft een volume van 1 m 3. Hoe groot is de absolute vochtigheid in bolletjes/m 3? Hoe groot is de relatieve vochtigheid? Laat met een schetsje zien wat er gebeurt als je 8 bolletjes meer toevoert. Hoe groot wordt dan de relatieve vochtigheid? 76 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

74 R21 Schets een model met verzadigde lucht bij 20 0 C. Laat zien hoe het model eruit ziet bij 10 0 C. Tip: je mag ook halve bolletjes tekenen. Hoe schets je condens? R22 Bedenk een eenvoudige formule om de massa van de waterdamp te berekenen in een ruimte met volume (V) en absolute vochtigheid (ρ). R23 Bedenk een eenvoudige formule om de absolute vochtigheid (ρ ) uit te rekenen als de Rh-waarde en de maximale vochtigheid (ρ max ) bekend zijn. R24 Waarom neemt de relatieve vochtigheid af als de lucht warmer wordt maar er geen water verdampt of condenseert. 3.5 Opgave 3.15 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over vochtigheid. (Kies onderwerp 35) Relatieve vochtigheid meten met natte en droge thermometer De relatieve vochtigheid kan gemeten worden met twee thermometers waar lucht langs stroomt. Je kunt stromende lucht maken met een ventilator. De snelheid van de lucht moet minstens 5 m/s bedragen. Eén thermometer is droog en de andere wordt nat gehouden door een kousje of watje. De droge thermometer meet de temperatuur van de langsstromende lucht Als de lucht niet verzadigd is geeft de natte thermometer altijd een lagere waarde aan doordat er water verdampt. Maar omdat de natte thermometer kouder is dan de langs stromende lucht zal er ook warmte opgenomen worden. Bij een bepaalde temperatuur van de natte thermometer zal de afgegeven warmte even groot zijn als de opgenomen warmte. Deze temperatuur, de natteboltemperatuur, hangt af van de vochtigheid van de lucht. Als de lucht verzadigd is met waterdamp zal er geen water verdampen bij de natte thermometer en is er geen verschil tussen de twee temperaturen. Is de lucht erg droog dan zal het verschil tussen de thermometers groot zijn. Met behulp van onderstaand diagram kun je de relatieve vochtigheid bepalen als je beide temperaturen gemeten hebt. 77 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

75 Voorbeeld: We meten een drogeboltemperatuur van 21 0 C en een nattebol temperatuur van 13 0 C. Er is dus een temperatuurverschil van 8 0 C. Je tekent een verticale lijn door de droge temperatuur en je bepaalt het snijpunt met de gebogen lijn die bij een verschil van 8 0 C hoort. Vervolgens teken je door het snijpunt een horizontale lijn en lees je op de verticale as de waarde van Rh af. In dit geval dus 40 %. In het diagram zijn gebogen lijnen getekend voor temperatuurverschillen van 1 tot 10 0 C. Als het verschil bijvoorbeeld 7,2 0 C is, ligt het snijpunt op het 0,2 e deel van de afstand tussen 7 en 8 0 C. 3.3 a Waarom zal bij een klein temperatuurverschil tussen droog en nat Rh een hoge waarde hebben? b Je hebt voor de droge en de natte thermometer respectievelijk 22 en 18 0 C gemeten. Bepaal de relatieve vochtigheid. c Tot welke temperatuur zal de natte thermometer dalen bij een relatieve vochtigheid van 60% en een luchttemperatuur van 21 0 C. 78 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

76 d Bij 25 0 C wordt de relatieve vochtigheid bepaald op 60%. Bereken de absolute vochtigheid in g/m Opgave 3.16 R25 Hoe nauwkeurig is de bepaling via de droge en natteboltemperatuur? Kies twee temperaturen en stel dat je ene 0,2 0 C te hoog en de andere 0,2 0 C te laag gemeten hebt. R26 Water dat in een koeltoren naar beneden regent krijgt uiteindelijk de natteboltemperatuur. Waarom? Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met bepaling van relatieve en absolute vochtigheid. (Kies onderwerp 44) Waarom is de relatieve vochtigheid zo belangrijk? Papier en hout zijn stoffen die vocht absorberen, daarom is opslag in minder vochtige ruimtes erg belangrijk. Bij lage vochtigheid kunnen kunststoffen een elektrische lading krijgen en kan vonkoverslag plaats hebben wat gevaarlijk is als er in de ruimte ook nog vluchtige of explosieve stoffen zijn. In onderstaande tabel zijn veilige waardes opgenomen voor verschillende bedrijfsruimtes. opslag zaad 35-45% halfgeleiders 30-50% boeken en tijdschriften archief 40-55% papier opslag 35-45% preventie roest en corrosie laboratorium meet-apparatuur 45-60% computer randapparatuur 50-60% opslag plastic korrels 5-30% drogen van hout 25-35% explosieven 35-50% gezondheid 50 60% < 55% en < 40% als roestvorming niet mag De relatieve vochtigheid in een ruimte voor papieropslag is met een digitale hygrometer bij15 0 C gemeten en is 45%. Net niet te hoog! a Bereken de absolute vochtigheid in g/m 3. b Bereken de relatieve vochtigheid als de temperatuur in de ruimte daalt tot 10 0 C. c Hoe kun je absolute vochtigheid in een ruimte lager maken? 79 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

77 3.8 Opgave 3.17 R27 Leg uit wat er met de absolute vochtigheid, de relatieve vochtigheid en de maximale vochtigheid gebeurt als de temperatuur lager wordt? Kies twee temperaturen om te laten zien dat je uitleg juist is. R28 De temperatuur wordt laag en daardoor condenseert er waterdamp. Wat gebeurt er met de absolute vochtigheid als er nog geen condens gevormd is? Wat gebeurt er dus met de relatieve vochtigheid? Vochtigheid en dauwpunt Ooit aan dauwtrappen gedaan? Na een warme dag is het vochtgehalte in de lucht hoog. In de nacht koelt het af en is de maximale vochtigheid niet hoog. Bij 5 0 C is dat ongeveer 7 gram per m 3. De waterdamp gaat condenseren op de koudste plekken, meestal op de grond, er ontstaat condens of dauw. Als het vriest ontstaat er rijp, dat is bevroren dauw. Als de temperatuur gaat dalen zal er bij een bepaalde temperatuur voor het eerst condens optreden. Deze temperatuur noemt men het dauwpunt. Als je het dauwpunt weet, kun je de vochtigheid (absoluut en relatief) bepalen. Hiernaast is een eenvoudig experiment afgebeeld waarbij water afgekoeld d.m.v. ijsblokjes. Je moet de temperatuur bepalen op het moment dat het blikje beslaat. In een ruimte (T = 20 0 C) laat men een glimmend voorwerp afkoelen. Bij 10 0 C treedt voor het eerst condens op. a Wat is het dauwpunt (T d ) van deze lucht? b Bepaal de absolute vochtigheid. c Bepaal de maximale vochtigheid van de lucht. d Bereken de relatieve vochtigheid. 80 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

78 R29 Via het dauwpunt kun je direct de absolute vochtigheid bepalen. Hoe moet je dat doen? Geef voorbeeld. R30 Als het dauwpunt maar een klein beetje onder de temperatuur van de lucht ligt is de relatieve vochtigheid erg hoog. Geef een getallenvoorbeeld. R31 Als de relatieve vochtigheid hoog is kan de absolute vochtigheid best laag zijn. Leg eens uit aan de hand van een getallenvoorbeeld. 3.6 MAC-waarde in ppm en mg/m MAC is de afkorting van Maximaal Aanvaardbare Concentratie. Bij kleine concentraties van giftige dampen of gassen wordt gebruik gemaakt van ppm ofwel parts per million. Dit betekent dus 1 molecuul op 1 miljoen moleculen lucht. Omdat een bepaald volume van een gas, ongeacht het soort gas, een vast aantal moleculen bevat, kun je ook zeggen dat 1 ppm ook hetzelfde is als 1μL gas of damp per L lucht of 1 ml per m 3 lucht. Bij een vaste stof in lucht of in een vloeistof wordt gewerkt met mg/m 3. Het aantal ppm bij een gas kan ook omgerekend worden naar mg/m 3. 1 ppm = 0,0001 vol% want 0,0001 vol% = 0,0001 0,01 = 0, of Voorbeeld: Waterstofsulfide (H 2 S) heeft een MAC-waarde van 10 ppm. Dit betekent dat in 1 m 3 lucht maximaal 10 miljoenste deel ofwel 0, m 3 = 10 ml H 2 S-gas mag zitten. Volgens de tabel op internet ρ (H 2 S ) = 1,58 kg/m 3 = 1,58 mg/ ml bij 0 0 C en 1 bar. Dus 10 ml weegt 15,8 mg ( m = ρ V) 10 ppm komt dus overeen met 15,8 mg/m 3. De internetcalculator 3.14 geeft 15 mg/m 3. Het kleine verschil komt doordat de calculator werkt met de dichtheid bij 20 0 C en 1,013 bar. Voor de liefhebber: ρ ( , (0 C) C en 1,013 bar) = ρ (0 0 C en 1bar) = (20 C) 1,5 kg/m 3 Opgave 3.18 Rekenen aan concentraties van de toxische stof H 2 S. H 2 S Waterstofsulfide is een giftig, brandbaar en explosief gas met de bekende "rotte eieren" geur. Het komt onder andere vrij bij het rotten of vergaan van organisch materiaal zoals planten en dieren. Bij lage concentraties stinkt het gas naar rotte eieren. 81 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

79 Echter boven een bepaalde waarde (boven100 ppm) ruikt men het gas niet meer omdat dit het zenuwstelsel uitschakelt. Het niet waarnemen van de "rotte eieren" lucht kan dan zorgen voor een vals gevoel van veiligheid, terwijl juist dan het gas in hoge concentraties aanwezig is. Doordat het zwaarder is dan lucht, zal het zich ophopen in lager gelegen ruimtes, zoals pompkamers, kelders en giertanks. Waterstofsulfide komt veel voor in rioleringen en afvalwaterinstallaties, maar ook in aardolie en geraffineerde producten zoals: stookolie, gasolie, nafta en benzine. Een te hoge concentratie kan directe dood tot gevolg hebben. a Bij 5 ppm H 2 S neem je een sterke rotte eieren geur waar. Bereken de hoeveelheid H 2 S-gas in ml per m 3 lucht en in mg per m 3 lucht. b Boven de 10 ppm H 2 S-gas is het volgens de ARBO-wet verboden om werkzaamheden te verrichten. Bereken de maximale toegestane hoeveelheid in mg/m 3. c In een veiligheidsrapport staat: 100 ppm Hoesten, onregelmatige ademhaling, slaperigheid. Ernstige irritatie ogen en ademhalingsorganen. Speeksel/slijm opgeven. Bloedingen met dood tot gevolg bij blootstelling 8 24 uur. Bereken de hoeveelheid H 2 S in gram in een ruimte van 200 m 3 bij 100 ppm. Opgave Veiligheid en MAC-waardes. In een bedrijfsgebouw worden in verband met de gezondheid eisen gesteld aan de samenstelling van de lucht. De overheid heeft hiervoor de ARBO-wetten bedacht. ARBO is de afkorting van arbeidsomstandigheden. Hiervoor wordt de MAC-waarde (Maximaal Aanvaardbare Concentratie) gebruikt, vaak ook nog gekoppeld aan een tijdsduur. Een MAC-tgg 8 uur van 20 ppm betekent dat je maximaal 8 uur blootgesteld mag zijn aan een concentratie van 20 ppm. De veiligheidsaspecten van stoffen zijn opgenomen in de zogenaamde MSDS-bladen. (Material Safety Data Sheet). Deze zijn ook beschikbaar via internet. a Zoek op de aangegeven site de MAC-waarde van H 2 S. Wat is de betekenis van de R- en S-zinnen? 82 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

80 b Bij vaste stoffen of fijn stof (deeltjes kleiner dan 10 µm) zoals roet in verbrandingsgassen gebruikt men voor de MAC-waarde mg per m 3. Voor roetdeeltjes die vrij komen bij laswerkzaamheden geldt een MAC-waarde van 3,5 mg/m 3. Bereken hoeveel mg roetdeeltjes er maximaal in een ruimte van m mogen zitten. Opgave 3.20 Explosiegevaar a De OEG (onderste explosiegrens) voor aardgas ligt bij 5 vol%. Bereken hoeveel aardgas er mag lekken in een kamer van 250 m 3. b Voor benzinedamp geldt een explosiegrens van 6000 ppm. Bereken hoeveel liter damp dat is per 1000 liter lucht. c De dichtheid van benzine als vloeistof is 0,8 g/ml en de maximale dichtheid van benzinedamp is 3,5 mg per liter lucht. Bereken hoeveel ml benzine je mag laten verdampen per m 3 lucht. 3.7 Energiedichtheid in J/kg of J/m 3 Joule(J) is de eenheid van energie. Een veel gebruikte afgekeide eenheid van energie is de kwh (kilowattuur). 1 kwh = J = 3,6 MJ De leverancier van elektrische energie meet het verbruik in kwh. Een lamp van 100 W verbruikt in een uur 0,1 kwh. 1 kwh kost ongeveer 0,25. Er zijn behalve de veel gebruikte elektrische energie nog veel andere vormen van energie. Zoals chemische energie, energie die vrijkomt als je organische stoffen zoals kolen, olie, benzine, hout, benzine en gas verbrand. Bij het verbranden blijft er water (H 2 O) en koolzuur (CO 2 ) over In bovenstaande tabel zie je dat de energiedichtheid van benzine 32 MJ/L en die van aardgas 31,7 MJ/m 3 bedraagt. Als het gaat om verbranding noemt men het ook wel verbrandingswarmte. 83 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

81 Energie kun je ook op slaan in de vorm van warmte. De warmte is bewegingsenergie van alle atomen en moleculen in een stof. In een vaste stof voeren de atomen en/of moleculen trillende bewegingen uit om hun vaste plaats, in een vloeistof en gas bewegen ze door elkaar en kunnen allerlei bewegingen gemaakt worden. De gemiddelde waarde van bewegingsenergie van de deeltjes wordt weergegeven door de temperatuur. De energie van alle deeltjes samen noemen we de warmte. Een paar snelle deeltjes hebben minder warmte dan veel langzame deeltjes. Om de hoeveelheid warmte (Q) van een stof uit te rekenen maken we gebruik van de materiaaleigenschap soortelijke warmte (c). Dat is de energie (warmte) die je moet toevoeren om 1 kg van de stof 1 0 C in temperatuur te laten stijgen. Of andersom : Dat is de warmte die je aan een 1 kg van de stof moet onttrekken om deze 1 0 C in temperatuur te laten dalen. Water heeft een soortelijke warmte tussen de 4180 en 4200 J per kg per 0 C. De exacte waarde hangt van de temperatuur af. J J Bij de berekeningen nemen we c = 4180 of 0 kg C kg K Tussen 0 C en K zit een verschil van C = 273 K Van 0 0 C 1 0 C geeft hetzelfde verschil als van 273 K 274 K 84 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

82 Voorbeeld: Bereken de warmte die je kunt opslaan in een bak met 100 kg water t.o.v C als het water wordt opgewarmd tot 80 0 C. ΔT = T(eind) T(begin) Links wordt een stof opgewarmd, ofwel er wordt warmte opgeslagen. Rechts geschiedt het omgekeerde. Q= m c T = (80 20) = J = 25 MJ afronden op 2 significante cijfers Hoeveel warmte is er weggelekt als na een tijdje het water is afgekoeld tot 40 0 C? Q = m c T = (40 80) = = -17 MJ of J. In het tweede geval is ΔT = (40 80) = - 40 (temperatuur neemt af) In het tweede geval is Q = -18 MJ De toegevoerde warmte is negatief ofwel er wordt warmte afgevoerd. De soortelijke warmte van water is hoog omdat 1 kg water heel veel J moleculen bevat. Koper heeft een soortelijke warmte van kg C In een kg koper zitten veel minder atomen, de koperatomen zijn veel zwaarder dan de watermoleculen. IJs heeft een soortelijke warmte van J In 1 kg ijs zitten even veel moleculen als in 1 kg water. Hoe 0 kg C kan er dan toch zo n groot verschil zijn? Bekijk de afbeelding hiernaast en ik probeer zelf een verklaring te geven. De aggregatietoestand(fase) is dus ook erg belangrijk! 85 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

83 Opgave 3.21 Rekenen met energiedichtheid en soortelijke warmte In een bekerglas zit 200 ml water van 19,0 0 C. Dit water wordt verwarmd tot 76,0 0 C. a Bereken de warmte die het water heeft opgenomen. Van alle warmte die door de brander afgegeven wordt gaat 30% verloren naar de omringende lucht. b Bereken de warmte die de brander heeft afgegeven aan de omgeving bij het opwarmen. c Bereken de hoeveelheid aardgas die verbruikt is ( neem voor de energiedichtheid van aardgas 27 MJ/m 3 ). Na een tijd is de temperatuur door afkoelen teruggelopen tot 45 0 C. d Bereken de warmte die door het water is afgestaan. e Bereken de energiedichtheid van water van 76 0 C t.o.v. 0 0 C. 3.8 De energie-eenheid kwh De kilowattuur (kwh) wordt als eenheid gebruikt door de energieleveranciers. 1 kwh is het energieverbruik van een apparaat van 1 kw in 1 uur. 1 kw ofwel 1000 W betekent 1000 J (joule) per seconde. Watt (W = s J ) is de eenheid van vermogen (P). Het geeft aan hoeveel energie je per seconde verbruikt. Bij een automoter wordt het vermogen van een moter meestal gegeven in kw of pk. ( 1 kw = 1,36 pk). Hoe meer energie een motor in korte tijd kan leveren, hoe sneller hij op kan trekken, hoe meer energie hij verbruikt in die korte tijd. De energie (E) die verbruikt wordt in een periode van t = 1,5 uur door een apparaat met een vermogen P = 2 KW is gelijk aan 2 1,5 = 3 kwh Of: E = P t = 2 kw 1,5h = 3 kwh Je kunt ook met de SI-eenheden werken. E = P t = s J 5400 s = J = 10,8 MJ 3 kwh is hetzelfde 10,8 MJ 1 kwh = 1000 J/s 3600 s = J = 3,6 MJ 1 Wh = 1 J/s 3600 s = 3600 J 86 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

84 Opgave 3.22 Rekenen aan energie-eenheden. Auto s zullen steeds meer elektrisch aangedreven worden en daarvoor moeten accu s ontwikkeld worden die per kg steeds meer energie kunnen leveren. In onderstaande tabel is de ontwikkeling te zien van oplaadbare batterijen. (afbeelding : oplaadbare accu Toyota Prius) De Toyota Prius heeft als hulpmotor een elektromotor met een vermogen van 50 kw. De NiMH accu heeft een gewicht van 45 kg. a Bereken de energiedichtheid in kwh/kg. b Bereken de maximale energie-inhoud de accu in MJ en kwh. In de onderstaande grafiek is de energiedichtheid in Wh/kg uitgezet tegen Wh/L. Er is sprake van een trend. c Een bepaalde accu heeft een energiedichtheid van 300 Wh/L en 150 Wh/kg. Welk volume heeft een accu van 40 kg. d Welke trend of ontwikkeling kun in deze grafiek waarnemen? Opgave 3.23 Energiedichtheid of voedingswaarde van ons dagelijks eten. We eten om de noodzakelijke mineralen en vitamines te krijgen, maar ook om energie bij te tanken. Chemische energie die we nodig hebben om alle lichamelijke en denkactiviteiten uit te kunnen voeren. 87 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

85 3.19 Het is voor onze gezondheid belangrijk dat we ongeveer evenveel energie tanken dan dat we gebruiken. Op die manier blijkt ons lichaamsgewicht vrijwel constant. Op site 3.19 kun je alle voedingswaarden vinden De energiedichtheid of voedingswaarde van gebakken aardappelen is 126 kcal per 100 g. De kcal is een oude energie-eenheid die in de voedingswereld nog steeds gebruikt wordt naast de kj. 1 kcal is de energie die je nodig hebt om 1 kg water 1 0 C op te warmen. Dus 1 kcal = 4,2 kj. Met de calculator op site 3.20 kun je uitrekenen hoeveel energie je met welke inspanning verbruikt en vervolgens kun je met de Body Mass Index (BMI) calculator op site 3.21 uitrekenen hoe het gesteld is met je lengte-massa verhouding. De gezondheidsraad wil graag dat deze kleiner is dan 30. m BMI = 2 l BMI is de Body Mass Index. m is de massa ven het lichaam in kg. l is de lengte van het lichaam in meter. Teo heeft een lichaamgewicht van 80 kg en een lengte van 180 cm. Hij heeft gedurende 60 minuten met een snelheid van 15 km/h gefietst. a Bereken energie die hij verbrand (verbruikt) heeft in kj en kcal. Gebruik de calculator op site b Controleer of de omrekenfactor van kcal naar kj inderdaad 4,2 is. c Bereken de Body Mass Index van Teo. Conclusie? d Hoeveel bruin brood moet hij eten om zijn energieniveau weer in balans te brengen? Gebruik site e Schrijf de BMI-formule zo dat m geïsoleerd is. 88 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

86 f Welke massa mag Teo maximaal hebben op advies van de gezondheidsraad? Opgave 3.24 Energie in de toekomst. Duitsland is de grootste economie van Europa en heeft onlangs (na de atoomramp in Japan) besloten in te zetten op meer duurzaam energiegebruik. Hierbij zijn zonne-energie en windenergie belangrijke opties. Bij zonne-energie kun je op twee manieren energie winnen. Voltaïsch met zonnecellen, waarbij zonnestraling omgezet wordt in elektrische energie en thermisch met zonnecollectoren, waarbij zonnestraling wordt omgezet in warmte. a Hoe groot zal het aandeel voltaïsche zonne-energie zijn in 2040? b Welke macht van 10 hoort bij het voorvoegsel E? In onderstaande grafiek staat het energieverbruik per inwoner van Nederland. Totaal is er een verbruik 34 GJ per inwoner aan gas en elektra. c Bereken de energiebehoefte van Nederland in EJ. 89 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

87 d Waarom zal het verbruik gedaald zijn? 3.10 R32 Waarom is kw/h een onzinnige eenheid? R33 Als je het gemiddelde vermogen van een apparaat wil bepalen meet je het verbruik in kwh en de tijd in uur. Hoe groot is het gemiddeld vermogen als in 30 minuten 1,2 kwh verbruikt wordt? In plaats van kw kun je ook kwh per uur gebruiken of Wh per uur. 90 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

88 3.9 Grootheden per tijdseenheid, zoals snelheid en toerental. In dit belangrijke basishoofdstuk hebben in het eerst deel allerlei grootheden beschreven die te maken hebben met het aantal deeltjes (atomen en moleculen) per volume-eenheid of massa-eenheid. In dit deel van het hoofdstuk zal het vooral gaan over grootheden per tijdseenheid. Snelheid, toerental, versnelling, volumedebiet, massadebiet en warmtedebiet zijn voorbeelden van tijdsafhankelijke grootheden. Opgave 3.25 Snelheid en toerental. Als een auto 10 km heeft gereden mag je stellen dat een punt aan de omtrek van een wiel ook 10 km heeft afgelegd. Als een wiel 1 ronddraait legt het punt aan de omtrek een afstand af van 3,14 de diameter. n= v O rotations Het toerental wordt meestal gegeven in rpm ( ), maar rps en rph minute zijn natuurlijk ook mogelijk. Een auto met 16 -wielen rijdt met een snelheid van 72 km/h. a Bereken de omtrek van de wielen in meter. b Bereken de snelheid in m/s. c Bereken het toerental van de wielen in rps, rpm en rph. d Bereken de omlooptijd van de wielen in s en ms. (Hoelang duurt een omwenteling?) 3.7 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over snelheid en toerental. (Kies onderwerp 33, 36 en 38) 91 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

89 Opgave 3.26 Productiecijfers van een krantenfabriek. In een grafisch bedrijf staat een rotatiedrukpers die per uur kranten produceert. Ø (spreek uit : fie ) is het symbool voor hoeveelheid per tijdseenheid ofwel debiet. Hier geldt dus : Ø krant = kranten per uur of Ø krant = krph a Bereken het aantal kranten dat per seconde (krps) geproduceerd wordt. b Bereken het krantendebiet in kranten/min. c Bereken de hoeveelheid kranten (n) die in 30 minuten geproduceerd worden. d Bereken de tijd die nodig is om kranten te maken. (geef antwoord in de vorm : 3 uur en 45 minuten). f Voor de productie van 2 drukpersen geldt de formule n = t t is de productietijd in uur. Hoe groot is de productiesnelheid? g Hoe ziet de formule er uit als de productie gedaan wordt met 4 drukpersen en 5% van de productie niet gebruikt kan worden? Opgave 3.27 Snelheid en toerental bij een rotatiepers. Bij een rotatiedrukpers worden drukplaten aangebracht op de cilinder. Deze cilinder gaat draaien met een toerental van rph, Bij iedere omwenteling worden 2 8 pagina s geprint. De pagina s hebben een lengte van 55,6 cm. 3.5 a Bereken het aantal pagina s dat per minuut gedrukt wordt. b Bereken de omwentelingstijd (T) in s en ms. c Bereken het toerental(n) in rpm en rps. d Bereken de omtrek van de cilinder. e Bereken de snelheid van het papier (v) in m/s en km/h. f Waarom noemt men dit de omtreksnelheid van de cilinder? g n = 3, rph en d = 35,4 cm Bereken de omtreksnelheid in km/h. 92 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

90 Opgave 3.28 R34 Op het deskboard van de auto kun je het toerental van de aandrijfas van de motor aflezen in rpm. Een toerental 3000 rpm kom je bij verschillende snelheden tegen. Leg uit hoe dit mogelijk is. R35 Met de formule n = Ø krant t kun je de hoeveelheid kranten berekenen, die in een bepaalde tijd geproduceerd zijn. Geef enkele getallenvoorbeelden met verschillende eenheden. R36 Herleid de formule n = Ø krant t zodat Ø krant of t geïsoleerd is. Bedenk een logisch symbool voor het aantal auto s per tijdseenheid, volume per tijdseenheid, massa per tijdseenheid en warmte per tijdseenheid. Krantendebiet is de naam voor het aantal kranten per uur. Wat is de naam voor het aantal liter per seconde? Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over een rotatiepers. (Kies onderwerp 43) Brandstofgebruik en milieu. Advertentie: We hebben maar één wereld Daar moeten we zuinig op zijn! De hybride Toyota Prius gebruikt maar 1 liter brandstof voor 23 kilometer* en heeft de láágste CO2 uitstoot van alle benzine-auto s in zijn klasse. Daarom verleent de overheid de Prius ook de hóógste milieusubsidie: 6.400,-! Dit houdt in dat, als u zakelijk Prius rijdt, slechts 14% bijtelling in plaats van 25% bijtelling betaalt. Dat scheelt u al snel ruim 100,- netto per maand! Intussen rijdt u wel mooi in een moderne, complete auto. BRANDSTOFVERBRUIK EN CO2-EMISSIE Verbruik (1999/100/EC)* L/100 km In de stad 5,0 Op buitenweg 4,2 Gecombineerd 4,3 Verbruik (1999/100/EC)* km/l In de stad 20,0 Op buitenweg 23,8 Gecombineerd 23,3 Emissienorm (Euro) IV CO 2 2-emissie gecombineerd (g/km) 104 Inhoud brandstoftank (L) 45 a Het gemiddeld brandstofgebruik is 4,3 L/100 km. Bereken het gemiddeld verbruik in km/l. Klopt het antwoord met de gegevens van de advertentie? 93 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

91 b Hoeveel kg CO 2 wordt er per liter brandstof geproduceerd? c CO 2 -gas heeft een dichtheid van 1,98 kg/m 3 bij normale omstandigheden. Bereken hoeveel liter CO 2 er per liter brandstof door de uitlaat (emissie) vrijkomt. d Bereken het gemiddelde bereik van deze auto in km. e Bereken de hoeveelheid uitgestoten CO 2 in kg per tank R37 Bedenk een eenvoudige formule waarmee je de af te leggen afstand (s in km) uit kunt rekenen als het benzinevolume (V in liter) en het brandstofverbruik (brv in km/l)geven zijn. R38 Bedenk een eenvoudige formule waarmee je het aantal gram CO 2 (m in g) uit kunt rekenen als de afstand (s in km) en de emissie (em in g/km) bekend zijn. R39 Wat is het broeikaseffect? 3.10 Volume- massa en warmtedebiet. 3.6 Bij een gas of vloeistof gaat het meestal niet alleen om de snelheid maar ook om de hoeveelheid volume of massa per seconde of per minuut. Als de hoeveelheid groot moet zijn, maar de snelheid laag dan kun je beter een leiding kiezen met een grote diameter. Als de snelheid hoog moet zijn kies je voor een dunne leiding en een pomp of compressor die een hogere druk kan leveren. De hoeveelheid vloeistof die per seconde door een leiding stroomt hangt af van de doorsnede en de gemiddelde snelheid. Als de vloeistof een snelheid heeft van 2 m/s en een oppervlak van 0,2 m 2 dan komt er per seconde een cilindervormige hoeveelheid water voorbij van : Ø V = 2 m/s 0,2 m 2 = 0,4 m 3 /s φ V = v A Bij een 2 zo grote snelheid wordt, zal het debiet uiteraard ook 2 zo groot zijn. Dat is ook zo bij een 2 zo grote doorsnede, ofwel een 2 zo grote diameter. Als je de vloeistof opvangt in een vat dan zal het volume (V) in 10 seconden met 4 m 3 toenemen. V = φ t φ = V V V t 94 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

92 Blijft het debiet hetzelfde blijft en wordt de doorsnede groter, dan zal de snelheid afnemen. Door beide stukken van de leiding stroomt per seconde dezelfde massa vloeistof. Er gaan per seconde evenveel moleculen in als uit. Als de dichtheid overal hetzelfde is geldt dat ook voor de hoeveelheid in liters per seconde. In het dikkere deel is de doorsnede 2 zo groot en zal de snelheid van de vloeistof dus 2 zo klein zijn. Dus v A ( dun) = v A ( dik) Omdat de leiding rond is geldt ook : φ V = v π r Op site 3.23 is een calculator geplaatst waarmee je het volumedebiet en massadebiet uit kunt rekenen als je de diameter en de snelheid weet. Ken je het volumedebiet m 3 /s of een daarvan afgeleide eenheid dan kun je met de dichtheid ook het massadebiet (Ø m ) uitrekenen. Bij een volumedebiet hebt van 10 L/min en ρ = 1 kg/l heb je een L kg kg massadebiet Ø m = 10 1 = 10. min L min Het bovenstaande geldt ook voor gassen mits de dichtheid niet veranderd. Als het gas wordt samengedrukt blijft de massa hetzelfde maar zal het volume veranderen en geldt niet meer : v A ( dun) = v A ( dik) 95 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

93 Opgave 3.29 Rekenen aan debiet. Water wordt door middel van een pomp van vat A naar vat B gepompt. Aan de open buisjes voor en na de pomp zie je dat de druk achter de pomp groter is dan die voor de pomp. De leiding heeft een diameter van 5,0 cm en per minuut wordt 10,0 liter water overgepompt. Controleer de gevonden waardes met de calculator op site a b c Bereken de snelheid van de vloeistof in de leiding in m/s. Bereken het volumedebiet in m 3 /h. Bereken het massadebiet in kg/h. Opgave Rekenen aan een airco. Een luchtkanaal van een airco-installatie heeft een vierkante doorsnede van cm. Met een compressor wordt er lucht doorheen geblazen met een snelheid van 5,0 meter per seconde. Iedere seconde komt er dus een luchtkolom van 5 meter lengte uit de ventilator. De lucht heeft een druk van 1 atmosfeer en een temperatuur van 20 0 C. Controleer de gevonden waardes met de calculator op site a Bereken het volumedebiet in m 3 /h. b Bereken het massadebiet in kg/min bij de gegeven omstandigheden. 96 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

94 De ruimte heeft een volume van 1200 m 3 en de lucht heeft een relatieve vochtigheid van 40%. Deze moet verhoogd worden tot 60%. Dat gebeurt door de lucht door een verdamper te pompen waar water wordt toegevoerd. c Bereken de tijd, die nodig is om alle lucht rond te pompen. d Bereken de hoeveelheid water die verdampt moet worden? In het luchtkanaal zit een stuk met een doorsnede van cm. e Bereken de snelheid van de lucht in dit dunnere stuk R40 Als een cirkelvormige doorsnede 2 zo groot is dan is de diameter 2 zo groot. Waarom? R41 Bij de berekeningen moet je altijd rekenen houden met coherente eenheden, procesuitwerking en juiste afronding. Is dat overal goed gegaan? R42 Kwamen je antwoorden overeen met de waardes van de calculator? 3.9 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over concentraties. (Kies onderwerp 30 en 31) Opgave 3.31 Warmtedebiet bij zonnecollector. Het water in een opslagvat kan op twee manieren verwarmd worden. Door een zonnecollector of door een gasketel. Het water door de zonnecollector wordt door een pompje rondgepompt. Dit water wordt in de collector verwarmd en die warmte wordt afgegeven aan het water in een opslagvat of boiler. 97 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

95 Het verwarmde water in de boiler stijgt op en het koude water daalt. Uiteindelijk heeft al het water de temperatuur van het water in de boiler. Als de temperatuur van het boilerwater warmer is dan het water in de collector, wordt het pompje uitgeschakeld. Enkele praktische waardes: V(boiler) = 180 L T(boilerwater) = 60 0 C Ø V ( water in zonnecollector) = 1,0 L/min d(leiding van zonnecollector) = 3,0 cm a Bereken de snelheid van het water in de leiding van de zonnecollector. b Bereken de massa van het water dat per minuut door de zonnecollector stroomt. c Bereken de hoeveelheid warmte in de boiler t.o.v C De warmtehoeveelheid die door de collector geleverd wordt kan bepaald worden door het debiet te meten en het temperatuurverschil te meten voor en na de boiler (ΔT). Een computer rekent dan de opgenomen warmte uit met Q= m c T Als m de massa is per minuut dan is Q de opgenomen warmte per minuut. In plaats van Q schrijven we dan Ø w en in plaats van m schrijven we dan Ø m. Dus φ =φ c T w m 3.7 d Hoe groot is het gemiddelde vermogen waarmee verwarmd wordt? e Hoeveel warmte is er na 2 uur in de boiler opgeslagen in kwh? 98 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

96 f In het hierboven afgebeelde zonnecollectorsysteem is een meter opgenomen die aangeeft hoeveel kwh aan warmte er verbruikt is. Met behulp van sensoren wordt het volumedebiet en de temperatuurtoename gemeten. In het apparaat zit een computer die de warmtestroom uitrekent en alle waardes bij elkaar optelt. De warmtestroom is eerst 20 minuten 600 W en daarna 20 minuten 800 W. Wat geeft de warmtemeter aan in kwh? 3.10 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over opwarmtijd. (Kies onderwerp 39) 3.11 Op deze site van WIMS kun je jezelf toetsen met berekeningen over warmte, massa en volumedebiet. (Kies onderwerp 41 en 45.) 99 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

97 3.11 Letterrekenen en formules herleiden. In dit hoofdstuk zijn verschillende formules aan de orde geweest. Het is belangrijk dat je structuren in formules herkent en dat je ze eventueel kunt herleiden. We gaan daar nog wat mee oefenen, met en zonder context. Voorbeelden: 1) 2a + 3b + 3a 5b = 5a 2b -4 2) 8(2x + 1) = 3x 2 16x + 8 = 3x 2 13x = x = of x= 0, φv φv 3) φv = v π r r = r = v π v π m( vol) m( leeg) m( vol) m( leeg) 4) ρ = = = 0,02m( vol) 0,02m( leeg) of ρ = m( vol) m( leeg) 50 = 1 50 ( m( vol) m( leeg)) = 0,02( m( vol) m( leeg)) 5) b 3 a 4b+ 3a + = + = samenvoegen zoals bij breuken a 2b a 2b 2b a 2ab 6) 4b+ 3a 4b 3a , 5 = + = + = + 2ab 2ab 2ab a 2b a b opsplitsen 7) 4ab = 3 4ab= 3( a+ b) 4ab= 3a+ 3b 4ab 3a= 3b a+ b 3b a(4b 3) = 3b a= Isoleren van b. 4b 3 8) 2ab ab = 6 3 2ab = 6 of 0,33 / 3 ab 2ab b = a 6 3 2ab a = b Per gedachte 2014 Vervoort Boeken of De vorm van herleiden, samenvoegen, afsplitsen, isoleren, etc. wordt bepaald door de opdracht of de toepassing. Bij twijfel of het antwoord juist is, kun je het best een controle uitvoeren met eenvoudige getallen. Bij voorbeeld 7) moest de variabele a geïsoleerd worden. In de afbeelding is te zien hoe de controle uitgevoed is. of

98 Opgave 3.32 Formules herleiden. Neem de 8 voorbeelden over a Controleer alle 8 uitgewerkte voorbeelden door eenvoudige getallen in te vullen of door het antwoord in te vullen b Schrijf = + in de vorm f = f v b... Controleer de juistheid met eenvoudige getallen. c Voor het ijken van een pyknometer gebruiken we de formule: m( vol) 25,02 V = m(vol) in gram en V in ml 0,9983 Schrijf deze formule in de vorm V = a m(vol) b a en b zijn getallen die berekend moeten worden. 1 3 d Voor het volume van een bol geldt V = π d 6 Isoleer d uit deze formule. 3 Je kunt voor deze formule ook schrijven V = C d Bereken het getal C. e Voor het omrekenen van 0 F (Celsius) naar 0 C (Fahrenheit) gebruiken we de formule C = 1,8(F 32) Herleid deze formule tot een formule waarbij F geïsoleerd is. Waar kun je deze formule voor gebruiken? Opgave Extra oefeningen met letterrekenen. Kies op de site van WIMS voor: Optellen en aftrekken met meerdere variabelen II Vermenigvuldigen en optellen met variabelen IV Delen met variabelen II Haakjes wegwerken II Substitueer en bereken II Neem enkele voorbeeldopgaven over. 101 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

99 Kies op de site van WIMS voor: /a + 3/a 7/ab + 2/a 4/a + 2/3 Vermenigvuldigen H2,H3,H4 Neem enkele voorbeeldopgaven over. 3.1 S1 Hoe kun je dichtheid van een vaste stof bepalen? S2 Hoe kun je een pyknometer ijken? S3 Hoe kun je dichtheid van een vloeistof bepalen? S4 De dichtheid hangt sterk af van de aggregatietoestand. Welke verschillen zijn er voor de stof water? Hoe kun je uitzetting van ijs berekenen? S5 Hoe kun je de specifieke uitzetting van water berekenen? S6 Hoe kun je de oppervlakte van een voorwerp bepalen met de oppervlaktedichtheid van papier? S7 Hoe maak je een oplossing van een bepaalde concentratie? S8 Hoe kun je een verdunning maken van een zoutoplossing? S9 Hoe bepaal je de luchtvochtigheid als je de relatieve vochtigheid en de temperatuur bekend zijn? S10 Hoe bepaal je de relatieve vochtigheid met behulp van het dauwpunt? S11 Hoe bepaal je de relatieve vochtigheid met behulp van de droge en natteboltemperatuur? S12 Wat is de betekenis van de MAC-waarde? S13 Hoe kun je MAC-waarde voor een vloeistof omrekenen van ppm naar mg/m 3 S14 Hoe kun je dichtheid van een gas bij een bepaalde druk en temperatuur uitrekenen? S15 Hoe kun je de verschillende temperatuureenheden in elkaar omzetten? S16 Wat is de betekenis van energiedichtheid van een stof? S17 Wat is de betekenis van de voedingswaarde van levensmiddelen? S18 Hoe kun je een energiebalans maken voor je eigen dagelijks leven en hoe bepaal je of lichaamsgewicht in orde is? S19 Hoe kun je de hoeveelheid warmte-energie in een stof berekenen? S20 Wat is het belangrijke verschil tussen de grootheden temperatuur en warmte? S21 Welke eenheden van energie zijn er en hoe kun je ze in elkaar omrekenen? S22 Hoe bepaal het gemiddelde vermogen als de verbruikte energie en de tijd weet en andersom? 102 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

100 S23 Hoe bereken je het toerental als je snelheid aan de omtrek weet en andersom? S24 Hoe bereken je het volume en massadebiet van een stof die door een leiding stroomt? S25 Hoe bereken je het warmtedebiet van een stromende vloeistof of gas als je het debiet en de temperatuurverandering weet? S26 Geef met behulp van voorbeelden de belangrijkste vaardigheden bij het herleiden, afsplitsen, wegwerken van haakjes en isoleren Bij formules. 3.9 Bespreking diagnostische toets hoofdstuk Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

101 AFBEELDINGEN TOOLBOEK 104 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

102 105 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

103 AFBEELDINGEN TOOLBOEK 106 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

104 107 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

105 AFBEELDINGEN TOOLBOEK 108 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

106 109 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

107 AFBEELDINGEN TOOLBOEK 110 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

108 111 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken

109 AFBEELDINGEN TOOLBOEK 112 Per gedachte 2014 Vervoort Boeken