(o.a. voor 2F en 3F) Inhoud

Transcriptie

1 (o.a. voor 2F en 3F) Inhoud Optellen... 2 Aftrekken... 3 Vermenigvuldigen... 4 Delen... 5 Tot de macht... 6 Combinaties... 7 Wortels... 7 Afronden... 8 Breuken Procenten Verhoudingen Eenheden en voorvoegsels Meetkunde Parate kennis SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 1

2 Optellen Optellen is samen nemen, bij elkaar doen, op één hoop gooien Bij het optellen is de volgorde niet van belang voor de uitkomst (de som) Soms rekent een andere volgorde makkelijker = = = ( ) + 64 = = = (1+9) +(3+7) +5 = = 25 ( )+( )+( ) =3 750 = 2250 De som van twee getallen verandert niet als je het ene getal groter maakt en het andere evenveel kleiner ( plakken en knippen ) Soms wordt de optelling eenvoudiger met plakken en knippen = (97+3) + (58-3) = = = = = = = = 623 5,7 + 5, 8 + 6,1 +6,8 = 6,0 + 6,0 +6,1 + 6,3 =24,4 In veel notaties zit een optelling verscholen Het is soms handig die optelling te voorschijn te halen: = = = = = Soms worden getallen op deze manier gesplitst, om daarna de stukken handig samen te nemen: = = = = = = = =623 Door een getal op te tellen bij een gegeven getal wordt de uitkomst niet altijd groter Als er een negatief getal wordt opgeteld wordt de uitkomst kleiner = = -6 SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 2

3 Aftrekken Aftrekken kun je zien als eraf halen, weghalen, uitgeven. Soms wordt 9 3 ook uitgesproken als: 9 eraf 3 Dit is vooral handig als er weinig, of een mooi getal af wordt gehaald 97 3 =94 ; = 4678 Met a b wordt ook nagegaan hoeveel a meer is dan b. Het verschil. Dit is handig als het tweede getal bijna even groot is als het eerste, en niet mooi = 15 want 2012 is 15 meer dan 1997 Bij elke aftrekking hoort een optelling die als controle kan worden gebruikt = 26 want = = 15 want = = 2012 De volgorde is van belang; verkeerde volgorde geeft wel een bruikbaar tussenantwoord 11 7 = = -4 Deze uitkomsten zijn elkaar tegengestelde Het praten over het verschil van twee getallen kan soms verwarrend zijn Het verschil van 7 en 11 : -4 of 4?? Vaak is de bedoeling dat het verschil niet negatief is. (absoluut verschil) Het (absolute) verschil van 11 en 7 is 4 De uitkomst van een aftrekking van twee getallen verandert niet wanneer je bij beide getallen het zelfde getal optelt of afhaalt. Het verschil blijft hetzelfde. Aanpassing van de opgave is soms de moeite waard = = 14 0 = = = = = = = = = = 9 0 = 9 Als er meerdere getallen worden afgetrokken van een gegeven getal kun je bovenstaande tips niet gebruiken. Als er meerdere getallen worden afgetrokken van een gegeven getal, is het vaak handig eerst na te gaan wat er allemaal vanaf gaat = 100 ( ) = = = = 58 kan natuurlijk ook. Je kunt elke aftrekking als optelling schrijven (en omgekeerd) 28 5 = = SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 3

4 Vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kun je (soms) zien als herhaald optellen = 5 4 =20 ¼ + ¼ + ¼ + ¼ = 4 ¼ = = = -21 Een andere invalshoek is vergrotingsfactor: 20 1,5 = =30 En goed model is vaak de oppervlakte van een rechthoek 4 x 12 = 4 x x 2 = = 48 ½ keer is het zelfde als de helft van.. (enz.) ½ 24 = 24 / 2 =12 ¼ 100 = 100 / 4= 25-2 keer levert het tegengestelde op van 2 keer ( enz.) 2 7 =14 ; -2 7 = = -21; -3-7 = 21 Bij vermenigvuldigen is de volgorde niet belang voor de uitkomst ( het product) Het is soms handig de volgorde aan te passen: 14 ¼ = ¼ 14 = 3, = = ½ 37,5 4 = 2 37,5 = 75 De uitkomst bij het vermenigvuldigen van twee getallen (het product) verandert niet wanneer een van de getallen bijv..twee keer zo groot wordt gemaakt, en het andere twee keer zo klein 8 35 = 4 70 = = = = , = 15 3 = 45 Bij het vermenigvuldigen van gemengde getallen is het vaak handig deze als breuk te schrijven: =10 23 = =115 = Het is van groot belang vooraf na te gaan hoe groot de uitkomst ongeveer is. (schatten) 0,2 0,03 = 0,06 kan nooit kloppen want 0,06 is groter dan 0,03 0,2 0,03 = 0, is een getal in de honderdduizenden = Het rechthoek (of tabel) model kan goed gebruikt worden om vermenigvuldigingen als uit te voeren. Dit kan op diverse manieren, zoals: x 20 3 x x x SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 4

5 Delen Als deel teken wordt o.a. gebruikt / : en - ( in een breuk als 1 3 ) Bij delen gaat het om de vraag hoeveel maal zo groot een getal is als een ander getal 600 / 120 = 5, wat 600 is 5 maal zo groot als 120 ; 600 = / (1/8) = 80 want 10 = 80 (1/8) Je kunt delen ook zien als verdelen 600 /120 Als je 600 bonnen eerlijk verdeelt onder 120 mensen, krijgt ieder er 5 10/(1/8) Als je uit 10 literflessen bekertjes schenkt met een inhoud van 1/8 liter, kun je dat 80 keer doen Delen door een getal is het zelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde: 1237 / 2 = (de helft); 40 /0,1 = =400 2 Bij het delen spelen de tafels van vermenigvuldiging een grote rol 60 / 7 =? 8 7 = 56 ; 9 7 =63, dus de uitkomst van 60 / 7 ligt tussen 8 en 9 Afhankelijk van de context ( het verhaal ) moet je soms naar beneden of naar boven afronden. Hoeveel bussen heb je nodig om 281 leerlingen te vervoeren, als in elke bus maximaal 54 leerlingen passen? 6 want 5 54 = 270 (te weinig) en 6 54 = 324 (genoeg) Hoeveel volledige voetbalteams kun je samenstellen met 28 mensen? 2 want 2 11=22 (genoeg) en 3 11 =33 ( mensen te weinig) Als de volgorde bij een deling a/b omdraait krijg je precies de omgekeerde uitkomst: 10 / 2 =5 ; 2 /10 = 1 / 5 Bij delen verandert de uitkomst ( het quotiënt) niet als je beide getallen bijv. 2 maal zo groot of 10 maal zo klein maakt 720 / 240 = 72/ 24 = 3 1,2/ 0,08 = 120 / 8 =15 10 /(1/8) = 80 / 1 = / 160 = 3520 /16 = 1760/ 8 =880/4 =220 Je kunt delingen soms slim samen nemen: : 125 Het getal wordt eerst door 8 gedeeld, en de uitkomst nog eens door 125. Het 8 resultaat is een deling door 1000 (8 125). Dus uitkomst: / 1000 = 123 Delingen kunnen ook stapsgewijs uitgevoerd worden. Hierbij is denken aan verdelen ( van geld bijv.) handig Voorbeeld 3520 / = 3200 ; Nog over : = / 16 =20 ; Het antwoord is 220 Dit kan als volgt genoteerd worden: Of als klassieke staartdeling: 1 6 / \ x 1 6 = x 1 6 = SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 5

6 Tot de macht Je kunt tot de macht zien als herhaald vermenigvuldigen 2 4 = [ 4 tweeën] = 16 (-3) 2 = -3-3 = 9 (-5) 3 = = -125 ( 1 2 )3 = = De uitkomst van een even macht is (bijv. een kwadraat) is altijd positief: (-2) 4 = 2 4 = 16 (-7) 2 =7 2 = 49 De uitkomst van een oneven macht met een negatief grondtal is negatief (-4) 3 = - 64 (-1) 99 = -1 De macht heeft alleen betrekking op het grondtal, dus = = 250 ; maar (2 5) 3 = 10 3 = = - 16 ; maar (-2) 4 = + 16 Als je een getal 10 keer zo groot maakt, wordt het kwadraat daarvan 100 (10 2 ) keer zo groot 3 2 =9 ; 30 2 = 900 Als je getal 10 maal zo klein maakt wordt het kwadraat 100 (10 2 ) keer zo klein 3 2 =9 ; 0,3 2 = 0,09 Als je een getal 10 keer zo groot maakt, wordt de derde macht daarvan 1000 (10 3 ) keer zo groot 5 3 =125 ; 50 3 = Bovenstaande is o.a. van belang bij omrekening van oppervlakte en inhoudsmaten Een beeldscherm (breedbeeld) met een diagonaal van 75 cm heeft een 9 [3x3] keer zo groot oppervlak als een beeldscherm met een diagonaal van 25 cm Een bol met een diameter van 7 meter heeft een inhoud die bijna 43 keer zo groot is als die van een bol met een diameter van 2 meter. (7/2) 3 =42, De volgende machten van 10 zijn van belang: 10 9 = = miljard (mld.) giga ( G of g) 10 6 = = miljoen (mln.) mega (M of m) 10 3 = 1000 duizend kilo (k) 10 2 = 100 honderd hecto (h) 10 1 = 10 tien deca (da) 10 0 = 1 een 10-1 = 1/10=0,1 een tiende deci (d) 10-2 = 1/100=0,01 een honderdste centi (c) 10-3 = 1/1000= 0,001 een duizendste milli (m) 10-6 = 1/ = 0, een miljoenste micro (μ) 10-9 =1/ = 0, een miljardste nano(n) SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 6

7 Combinaties van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen (en machten) Bij opgaven als / ( ) is volgorde van de bewerkingen van belang. Je moet dit niet te letterlijk opvatten, het gaat er meer om wat bij elkaar hoort Vermenigvuldigen en delen hebben een sterkere binding dan optellen en aftrekken. Bij machtsverheffen is de binding nog sterker Haakjes (of andere markeringen) kunnen helpen de situatie goed in beeld te brengen: / (64+29)+5 2 = 29+(4 37) (128/4)+( 37 6) ( )+ 5 (2 5 ) Het is vaak verstandig om eerst te kijken en dan te rekenen: 29 + (4 37) (128/4) + ( 37 6) ( ) + 5 (2 5 ) = (5 32 )= (3 32) + (5 32) = 370 +(2 32) = = 434 Bij gelijkwaardige bewerkingen (zoals vermenigvuldigen - delen en optellen - aftrekken) kun je de volgorde zelf bepalen Let wel op wat erbij komt en wat eraf gaat, waarmee wordt vermenigvuldigd en waardoor wordt gedeeld = = = /4 3 / 5 = 20/ = = 975 Wortels Het meest van belang zijn de vierkantswortel ( ) en de derdemachtswortel ( 3 ) 2 kun je zien als de zijde van een vierkant met oppervlakte 2 Hoe kunt je een oppervlakte van 50 ha m 2 voorstellen? , dus een vierkant van ruim 700 m bij 700 m Uiteraard kun je ook denken aan een rechthoek van 500m bij 1 km 3 2 kun je zien als de ribbe van de kubus met inhoud 2 Een huis met een inhoud van 225 m 3 is dat groot? Een kubus met inhoud van 225 m 3 Is dus niet zo groot. 3 heeft een ribbe van ca. 6,1 meter ( 225 6,08). De tweedemachtswortel kun je zien als het omgekeerde van het kwadraat Voor welk positief getal a geldt: a 2 = 1369? a = 1369 = 37 b = 23 Bereken b b = 23 2 = 529 De derdemachtswortel kun je zien als het omgekeerde van de derde macht Voor welk getal a geldt: a 3 = 4913? a = 4913 =1 7 3 b= 7 Bereken b b = 7 3 = 343 Het rekenen met wortels telt vele valkuilen: 9 4 = 36 maar: = = 63 SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 7

8 Afronden Soms wordt duidelijk hoe nauwkeurig er moet worden afgerond, bijv. Op 3 decimalen o Je kijkt naar de volgende (dus de vierde) decimaal. Alleen als deze 5 of hoger is rond je naar boven af, anders naar beneden 1,23451 wordt afgeornd op 1,235 1,23449 wordt afgerond op 1,234 Op een heel getal o Normaal gesproken let je op het eerste getal achter de komma 897,501 wordt ,498 wordt 897 o Let ook op de context! Hoeveel bussen (max 50 passagiers) zijn er nodig voor 270 leerlingen? 270/50 =5,4, maar in dit geval is het antwoord 6 Hoeveel potjes (inhoud 450 gram) kun je vullen met 8,8 kg jam 8800/45 19,56 maar in dit geval is het antwoord 19 Op een honderdtal o Je kijkt welk veelvoud van honderd het dichts bij is Een methode is: o Delen door honderd Afronden op een heel getal Het afgeronde antwoord vermenigvuldigen met honderd Voorbeelden is afgerond is afgerond SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 8

9 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen in de praktijk. Enkele aandachtspunten Leeftijden o Iemand is geboren in 1995 hoe oud is hij/zij nu? Hangt ervan af of men dit kalenderjaar al jarig is geweest o Bas is 17 en zijn vriendin Ans 16. Hoeveel jaren schelen zij? (afgerond op hele jaren) Als Bas net 17 is, en zijn vriendin over een paar dagen jarig is dan schelen ze 0 jaar Als Ans net 16 is en Bas over een paar dagen jarig is, schelen ze 2 jaar. o Iemand is 2009 bij een bedrijf komen werken en is in 2012 weer vertrokken. Hoeveel jaar heeft hij daar gewerkt? Als het was van tot bijna 4 jaar Als het was van tot ruim 2 jaar Jaartelling o Hoeveel jaar is het van sept. 63 vc tot sept 14 nc? Geen 77 jaar, want er was geen jaar 0, maar 76 jaar Van t/m o Als je opg 14 t/m 17 moet maken, hoeveel opgaven zijn dat? Geen 3, maar 4. Je kunt het berekenen met Om de.. o Voor een hekwerk moet om de 1,50 een paal gezet worden. Hoeveel palen zijn er nodig voor een hekwerk van 13,50 m? 13,50 / 1,50 = 9, maar het aantal palen dat je nodig hebt is 1 meer : 10 o Bij de 100m horden staat de eerste horde op 13 meter van de startlijn, en elke volgende horde 8,50 meter verder. Er zijn 10 hordes te nemen. Bereken de afstand van de laatste horde tot de finishlijn Er zijn 9 tussenafstanden van 8,50 m. De eerste horde staat op 13 m, de 10 e horde dus op [15+9 8,5=] 89,5 meter. De afstand tot de finishlijn is dus [100-89,5] 10,5 meter. Zie ook: Afronden SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 9

10 Breuken Je kunt breuken zien als (uitkomsten van) delingen voorbeelden 1 3 = 1/3 2 3 = 2/3 = 2 1/3 Met een simpele rekenmachine kun je breuken berekenen of benaderen 7/ 16 =0,4375 [exact] 3/7 0,42857 [benaderd in 5 decimalen] Vermenigvuldigen van de teller (boven de streep) met 2, maakt de uitkomst 2 maal zo groot, vermenigvuldigen van de noemer (onder de streep) met 3 maakt de uitkomst 3 maal zo klein. De uitkomst van een breuk verandert (dus) niet als je teller en noemer met het zelfde getal vermenigvuldigt, of door het zelfde getal deelt 6 = ,5 7 = 5 14 Vermenigvuldigen (en delen) met breuken is tamelijk eenvoudig 2 4 = 2 /3 4 / 7 = (2 4) /(3*7) = : 4 = 14 : 4 = 14 = 7 = OF : 4 = =14 = 7 = Bij optellen en aftrekken van breuken zijn gelijke noemers van belang. De breuken moeten zo nodig eerste gelijknamig gemaakt worden = = = 26 = = Het gemiddelde van twee breuken is soms erg eenvoudig, en soms wat lastiger Het gemiddelde van 1 7 en 5 7 is 3 7 Het gemiddelde van 1 7 en 1 5 = 1 2 ( ) =1 2 ( ) = = 6 35 Decimale getallen zijn ook breuken, met 10, 100 enz. als noemer: 0,4 = 4 / 10 = 2 / 5 0,25 = 25 / 100 = 1 / 4 SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 10

11 Procenten Je kunt 5 % zien als verhouding : 5 procent betekent: 5 van de honderd verhoudingstabellen zijn soms handig 5 % van 30 (twee aanpakken) deel 5 0,5? geheel % 3 10%? 5% Hoeveel % is 63 van 180? deel 63 7? geheel % 9 5% 63? % Iets kost incl. 20 % btw 150,= Hoeveel kost het zonder btw? % 25 20%? 100% De prijs daalde met 17 % tot ,= Wat was de oorspronkelijke prijs? % %? 100% Je kunt 5 % ook zien als getal : 5 honderdste = 5 / 100 = 0,05 Je werkt dan met vermenigvuldigen en delen 5 % van 30 = 0,05 30 = 1,5 63 /180 =0,35 dus 63 is 35 % van 180 Van 120 % naar 100 % betekent delen door 1,2 ; 150 / 1,2 = 125 Van oud naar nieuw: x 0,83; omgekeerd delen door 0,83: / 0,83 = Bij combinatie groei (of afname) is de tweede aanpak handiger Groeifactoren kunnen van pas komen Iemand had 3 jaar gelden een jaarinkomen van Het inkomen daalt drie jaar achtereen met 5%.. Hoeveel % is zijn inkomen nu minder dan 3 jaar geleden? 100 0, ,7; 85,7 100= -14,3 Dus 14,3 % Wat is het effect van 37 % groei gevolgd door 37 % afname? 137 0,63 86,3 ;86,3 100 = -13,7 Dus het effect is een afname met bijna 14 %. SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 11

12 Verhoudingen Veel gebruikt zijn verhoudingstabellen Je kunt ze horizontaal bekijken a en b worden eerst door 3 gedeeld, en daarna met 10 vermenigvuldigd. Je kunt ook verticaal kijken: b is 2,5 keer zo groot als a a 12 4? b a 12 4? b a is 2 / 5 van b Een derde manier is letten op de kruisproducten = 30 4 Je kunt ook gebruik maken van stroken met dubbele schaalverdeling, bijv.: a 12 4? b ? Bij vragen wat in verhouding het goedkoopst, voordeligst is, werk je met verschillende verhoudingen die je moet vergelijken Het is vaak handig om de prijs per eenheid te berekenen Vergelijk 60 gram voor 1,25; 80 gram voor 1,65 en 150 gram voor 2,75: De prijzen in cent per gram zijn 2,08.. ; 2,06 en 1,83.. Soms is de prijs per eenheid niet nodig 125 gram voor 5,90 is voordeliger dan 60 gram voor 3,10 (meer dan het dubbele voor minder dan het dubbel van de prijs) Bij het werken met schaal is het handig als je meteen herkent: 1 : 100 (bouwtekeningen) 1 cm op de tekening is 100 cm = 1 m in werkelijkheid 1: (wandelkaarten) 1 cm op de kaart is cm = 100 m in werkelijkheid 1: (fietskaart) 1 cm op de kaart is 100 cm = 100m = 1km in werkelijkheid\ 1: (atlas/ autokaart) 1 cm op de kaart is 10 km in werkelijkheid SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 12

13 Eenheden en voorvoegsels De volgende voorvoegsels worden bekend verondersteld: Giga (miljard ) G of g Mega (miljoen) M (soms m) Kilo (duizend) k Hecto (honderd) h Deca (tien) da Deci (tiende) d Centi (honderdste) c Milli (duizendste) m Micro (miljoenste) μ Nano (miljardste) n De volgende eenheden moet je kennen Euro ( ), dollar ($) [geldeenheden] Meter (m) Liter (l of L ) ( 1 L= 1 dm 3 ) cc (=cm 3 ) ton [massa] 1 ton = 1000 kg = g ton [ geld] 1 ton = ,= Hectare (ha) 1 ha = 100 are = m 2 (Denk aan een veld van 100m bij 100m) Seconde Minuut (=60 sec) Uur (=60 minuten) Etmaal (=24 uur) Week (= 7 dagen) Maand (meestal dagen) januari, maart, mei, juli, augustus, oktober en december hebben 31 dagen april, juni, september en november hebben 30 dagen februari telt 28 dagen (29 dagen als het een schrikkeljaar is) Kwartaal 3 maanden, ca. 13 weken Jaar 365 dagen (of 366 als het een schrikkeljaar is) Vaaf 1901 t/m 2099 geldt als het jaartal deelbaar is door 4 is het een schrikkeljaar, anders niet. 2000, 2004,2008,2012,2016,2020,... zijn schrikkeljaren Het is handig als je ook een beeld hebt van een meter, hectometer, vierkante decimeter, kubieke meter etc. Bij het omrekenen van oppervlakte- en inhoudsmaten is het van belang te begrijpen dat (bijv.) 1 m 2 = (100 cm) 2 = 100 cm 100 cm = cm 2 1 m 3 = (10 dm) 3 = 10 dm 10 dm 10 dm= 1000 dm 3 = 1000 liter Let wel op het verschil tussen: 5 m 2 ( 5 vierkante meter) en (5 m) 2 ( 5 meter in het vierkant ) = 5m 5m = 25 m 2 SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 13

14 Rekenen met tijd(en) en snelheid Door d e onderverdeling van uren in 60 minuten ( en die weer in 60 seconden) is het rekenen met tijden soms wat lastig Een uur bestaat uit 60 minuten, en dus uit 3600 [60 60] seconden Bij het berekenen van de tijd tussen twee tijdstippen is in feite het berekenen van een tijdsverschil.(zie deel over aftrekken) 15:17 9:53 = 15:24 10:00 = 5:24 14:43 10:18 = 14:35 10:10 = 4:25 2:25 22:45 = 3:40 24:00 = 3:40 0:00 = 3:40 Tijden als kunnen desgewenst omgezet worden in breuken: 2:35 = / 60 2:35:21 [2 uur, 35 min en 21 sec) = / / m/s (meter per seconde) = 60 m/ min = 3600 m/u =3,6 km/u Algemene kennis Nederland heeft ca. 17 miljoen inwoners Lengte volwassen man is ca. 1,80 m Hoogte deur ca 2 meter Hoogte van verdieping (van een flatgebouw) ca 3 meter Voetbalveld ca 50 bij 100 m : oppervlakte ca 0,5 ha Meetkunde Deels kennis van begrippen Straal, diameter (middellijn), omtrek, oppervlakte, evenwijdig, loodrecht, haaks Vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, cirkel Balk, cilinder, prisma, piramide, kegel, bol SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 14

15 Gerard Koolstra (Versie 1.1) SMC-Zaandam Rekentips versie 1.1 Pagina 15