1 Inleiding. Integratie van taal in het wiskundecurriculum van de pabo. H.A.A. van Eerde FIsme, Universiteit Utrecht

Transcriptie

1 Integratie van taal in het wiskundecurriculum van de pabo H.A.A. van Eerde FIsme, Universiteit Utrecht Nu de taal van rekenen-wiskunde deel uitmaakt van de Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo rijst de vraag hoe deze geïntegreerd kan worden in het wiskundecurriculum van de pabo. In een kleinschalig ontwikkelingsonderzoek zijn diverse materialen ontwikkeld voor de relevante taalontwikkeling in de wiskundeles. Deze materialen zijn beproefd door twee wiskundedocenten in twee pabo-1-klassen. Lesobservaties, interviews met de docenten en het geschreven werk van studenten werd verzameld en geanalyseerd. De resultaten laten zien dat docenten en studenten zich veel meer bewust zijn geworden van de rol van taal in het rekenenwiskundeonderwijs en dat taal niet alleen een functie heeft voor het eigen wiskundige leerproces van de studenten, maar ook relevant is voor hun didactiek in hun rol van leraar. De geformuleerde taaldoelen blijken de aandacht van de docenten te richten op de beoogde taalontwikkeling. Zij bevorderen de taalproductie, het spreken en schrijven van de studenten en bieden hen op diverse manieren taalsteun en ondersteuning bij hun taalontwikkeling. Er is een toename in de wiskundige begripsontwikkeling van studenten en ze leren steeds completere formuleringen van rekenstrategieën te geven, waarbij een ontwikkeling zichtbaar wordt van meer informeel naar meer formeel taalgebruik. Verder onderzoek en ontwikkeling is nodig, onder meer naar taalontwikkeling in andere wiskundedomeinen en docentstrategieën, om de taalontwikkeling van hun studenten te bevorderen. 1 Inleiding Ikzelf besefte eerst niet dat rekenen zoveel taal bevat, vooral niet zo erg op de basisschool. Het is goed om te weten dat een groot deel van het rekenen leunt op de taal. (Uitspraak van een eerstejaars pabo-student na twee colleges over taal in de reken-wiskundeles.) In de Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo (Van Zanten, Barth, Faarts, Van Gool & Keijzer, 2009) vormt de taal van rekenen-wiskunde een onderdeel binnen alle domeinen. Dit betekent. dat de aan rekenenwiskunde gerelateerde taal ook expliciet deel zou moeten gaan uitmaken van het curriculum van de pabo. Aanstaande leraren op de lerarenopleiding zouden de taal van het vak rekenen-wiskunde moeten leren. Kennis van de vaktaal draagt niet alleen bij aan de ontwikkeling van het eigen wiskundig begrip van de studenten, maar ook aan de ontwikkeling van hun vakdidactisch repertoire om de voor rekenen-wiskunde relevante taal bij hun toekomstige leerlingen te ontwikkelen. Elke pabo staat voor de vraag hoe de taal die is opgenomen in de Kennisbasis geïntegreerd kan worden in het curriculum rekenen-wiskunde. De aandacht voor taal in het reken-wiskundeonderwijs roept mogelijk de vraag op waarom taal een rol zou spelen bij een abstract vak zoals wiskunde. Maar elk vak heeft een eigen taal die onlosmakelijk verbonden is met dat vak (Freudenthal, 1984; Barton, 2008). Het vak en de bijbehorende taal hebben zich in de cultuurhistorische ontwikkeling in samenhang met elkaar ontwikkeld. Dit geldt evenzeer voor wiskunde als voor geschiedenis en muziek. Uit diverse studies blijkt dat aandacht voor relevante taal in het reken-wiskundeonderwijs cruciaal is. Zo blijkt uit een overzichtsstudie van Schleppegrell (2007) naar taal en rekenen-wiskunde dat taal in het rekenwiskundeonderwijs een cruciale rol speelt en een specifiek karakter heeft. Leerlingen zouden daarom ook de specifieke bij wiskunde behorende taal moeten leren om toegang te krijgen tot dat vak. Leraren staan hiermee voor een lastige taak, waarop zij zich vaak onvoldoende voorbereid voelen en waarvan een deel van hen zich volkomen onbewust is. In het laatste decennium zijn diverse studies uitgevoerd naar de integratie van taal in het reken-wiskundeonderwijs (Van Eerde & Hajer 2009; Smit, 2013) en ook naar het leerproces van leraren om taal te leren inte 24 Eerde, H.A.A. van (2015). Integratie van taal in het wiskundecurriculum op de pabo. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk,,

2 greren in het reken-wiskundeonderwijs (Smit & Van Eerde, 2011). Tot op heden is echter geen onderzoek verricht naar de mogelijkheden om de voor rekenen-wiskunde relevante taal te integreren in het reken-wiskundecurriculum van de pabo. Onderzoek en ontwikkeling rond een dergelijke geïntegreerde aanpak op de pabo is dus gewenst. Binnen ELWIeR II is daarom een kleinschalig onderzoek uitgevoerd met als onderzoeksvraag: Hoe kan bij de implementatie van de Kennisbasis rekenen-wiskunde de relevante taal geïntegreerd worden in het curriculum van de pabo? Dit artikel is als volgt opgebouwd. Paragraaf 2 omvat het theoretische kader. De opzet en resultaten van het onderzoek naar deelvraag 1 en 2, over de aandacht voor taal in het wiskundecurriculum en de mening van pabodocenten over de rol van taal, wordt kort beschreven in paragraaf 3. Paragraaf 4 vormt de kern van dit artikel en omvat de opzet, uitvoering en resultaten van het onderzoek naar de derde deelvraag hoe de relevante taal geïntegreerd kan worden in het pabo-curriculum. In een afsluitende paragraaf 5 volgen de conclusies en discussie. 2 Theoretisch kader Waarom aandacht voor taal in het wiskundeonderwijs? Het afgelopen decennium is uit onderzoek gebleken dat aandacht voor taal in het reken-wiskundeonderwijs nodig is. Uit een onderzoek van Van den Boer (2003) bleek dat de talige problemen van allochtone leerlingen in het wiskundeonderwijs grotendeels verborgen blijven voor leraren en leerlingen waardoor deze problemen worden onderschat. Onderzoek van Prenger (2005) liet onder meer zien dat leerlingen problemen hebben met het begrijpen van teksten in de wiskundemethode en dat leraren nieuwe wiskundige termen nauwelijks introduceren. Van Eerde, Hajer & Prenger, (2008) observeerden dat in reken-wiskundelessen onvoldoende aandacht besteed wordt aan de ontwikkeling van relevante taal, maar dat reken-wiskunde- en taalonderwijs theoretisch gezien gemeenschappelijke kenmerken hebben die een integratie tussen beide in principe mogelijk maakt. In al deze onderzoeken wordt geconcludeerd dat er een taak ligt voor leraren om hun leerlingen in interactief onderwijs te ondersteunen bij de ontwikkeling van de voor reken-wiskundeonderwijs vereiste taalvaardigheden. Op school wordt een andere, meer abstracte taal vereist dan buiten de school waar dagelijkse taal wordt gesproken. Binnen de taal die op school gebruikt wordt, onderscheidt men doorgaans vak- en schooltaal. Vaktaal betreft de specifieke vakbegrippen en de formuleringen die het vak eigen zijn, zoals bijvoorbeeld: kwadraat, noemer en decimaal getal. Schooltaal is taal die bij verschillende vakken wordt gebruikt, zoals bijvoorbeeld: verband, toename en geleidelijk. Kinderen moeten die taal van de school ontwikkelen en daarbij is de ondersteunende rol van de leraar cruciaal. Gibbons (2006) schrijft in dit verband dat er een verschuiving plaats zou moeten vinden van dagelijkse, informele spreektaal naar meer formele, vakspecifieke taal. Veel leraren besteden bewust of onbewust al wel enige aandacht aan taalontwikkeling in de reken-wiskundeles, zeker in klassen met taalzwakke leerlingen. Ook in de onderbouw van de basisschool wordt van oudsher aandacht besteed aan begripsontwikkeling tijdens de rekenles. Maar de vaktaal van rekenen-wiskunde omvat veel meer dan alleen begrippen, het gaat ook om formuleringen (Van Eerde, 2009; Smit, 2013). Aandacht voor taal in de reken-wiskundeles is onontbeerlijk voor autochtone en allochtone taalzwakke leerlingen, maar alle leerlingen hebben profijt van specifieke aandacht voor de ontwikkeling van vakspecifieke taal omdat het hen toegang verschaft tot het vak (Morgan, 2007). Taalontwikkeling in de reken-wiskundeles Content-Based Language Instruction (CBLI) beoogt de integratie van het vak en de daarbij behorende taal (Brinton, Snow & Wesche, 2003). In dergelijk onderwijs werken leraren aan begrijpelijk taalaanbod, ze zorgen ervoor dat de geschreven en gesproken taal begrijpelijk is voor de leerlingen. Dit betekent dat begrijpelijk moet zijn wat de leraar zegt, maar ook dat de leraar begrippen, contexten en teksten in geschreven taal begrijpelijk maakt voor de leerlingen. Daarbij is het niet genoeg dat leerlingen begrippen en formuleringen alleen horen en uitgelegd krijgen, ze moeten deze ook zelf actief gebruiken, de mogelijkheid krijgen voor jaargang

3 taalproductie. Dit betekent praten en schrijven in de reken-wiskundeles om nieuwe woorden, begrippen en formuleringen te ontwikkelen en ermee te oefenen; en daarbij is de ondersteuning door de leraar onmisbaar. Daarom geven leraren taalsteun, hiermee wordt alle ondersteuning door de leraar bedoeld bij de ontwikkeling van voor het vak benodigde taal; zowel ondersteuning bij het begrijpen van taal, van wat de leraar en de leerlingen zeggen als bij het produceren van taal, bij het praten en het schrijven in de rekenles. Deze benadering staat in Nederland bekend onder de naam taalgericht vakonderwijs of taalontwikkelend vakonderwijs (Hajer en Meestringa, 2009). Taalgericht vakonderwijs wordt gekenmerkt door contextrijk, interactief onderwijs met taalsteun waarvoor expliciete taaldoelen zijn geformuleerd. Onderzoek naar integratie van taal in de reken-wiskundeles. De hiervoor geschetste benaderingen van Content Based Language Instruction en taalgericht vakonderwijs zijn te algemeen van aard en daarom zijn vakspecifieke uitwerkingen vereist voor praktische toepassing binnen de diverse vakken. Er zijn diverse studies uitgevoerd om na te gaan hoe taal te integreren binnen het reken-wiskundeonderwijs. Van Eerde & Hajer, (2009) onderzochten hoe leraren geïntegreerd taal-vakonderwijs konden realiseren met specifieke taalgerichte wiskundelessen. De leraren werkten taalgerichter met de ontworpen lessen, maar in de reguliere lessen besteedden ze nauwelijks meer aandacht aan taal. Uit de resultaten bleek onder meer het belang van het formuleren van taaldoelen zodat leraren weten welke taalontwikkeling beoogd wordt. In recent promotieonderzoek van naar talige ondersteuning op de basisschool in rekenlessen liet Smit (2013) zien hoe geïntegreerd taal-rekenonderwijs kan worden ontwikkeld, uitgevoerd en geëvalueerd. Zij maakte onder meer duidelijk hoe je de taal, die relevant is binnen een bepaald reken-wiskundedomein, kunt inventariseren en hoe de leraar de leerlingen kan ondersteunen bij de ontwikkeling van deze taal (Smit, 2014). Uit een van de deelstudies van Smit (Smit & Van Eerde, 2011), gericht op het leren van leraren in het geven van geïntegreerd taal-rekenonderwijs, bleek dat de samenwerking tussen onderzoeker en leraar een positief effect had op het beoogde leerproces van de leraar. In dit leerproces speelde de geleidelijke bewustwording van de leraar van de talige componenten in de rekenles een cruciale rol. Hajer (2000) wijst ook op het belang van deze bewustwording van de rol van taal bij het leren en onderwijzen van een vak en ziet dit taalbewustzijn als een voorwaarde voor integratie van taalontwikkeling in reken-wiskundeonderwijs. Mason (1998) ziet bewustwording als een beginpunt van leerprocessen van leraren en betoogt dat een dergelijk bewustzijn zichtbaar wordt in veranderingen in de aandachtstructuur van leraren. In de context van ons onderwerp betekent dit, dat de vaardigheid van een leraar om te schakelen tussen aandacht voor wiskunde en voor de daarmee samenhangende taal een indicatie is voor dit bewustzijn (Smit & van Eerde, 2011). Leraren zouden dus moeten leren steeds dergelijke blikwisselingen te maken. Taalontwikkelend reken-wiskundeonderwijs op de pabo Om te onderzoeken hoe de relevante taal geïntegreerd kan worden in het reken-wiskundecurriculum van de pabo, vormen de geschetste theorieën over taalgericht reken-wiskundeonderwijs en de resultaten van onderzoek hiernaar een goede basis. De situatie op de pabo ligt echter complexer, omdat de ontwikkeling van talige activiteiten voor de pabo bekeken kan worden vanuit verschillende perspectieven, namelijk vanuit de student en vanuit de docent. Er is hierdoor sprake van een zekere gelaagdheid. 1 Bij de student gaat het om de ontwikkeling van: a kennis van wiskundetaal op eigen niveau; bijvoorbeeld weten wat de commutatieve eigenschap is en wat kolomsgewijs aftrekken is; b kennis van wiskundetaal in de didactische context, bij het lesgeven aan toekomstige leerlingen. Bijvoorbeeld door te spreken over de omkeerregel in plaats van commutatieve eigenschap en kunnen uitleggen wat deze eigenschap inhoudt, en wanneer en waarom je deze kunt toepassen; c kennis verwerven over taalgerichte reken-wiskundedidactiek, weten hoe de leerlingen ondersteund kunnen worden bij de ontwikkeling van de voor rekenen-wiskunde relevante taal. 2 Bij de docent gaat het om: a weten welke taal studenten moeten verwerven in het wiskundecurriculum op de pabo; b het integreren in de vakdidactieklessen van de relevante wiskundetaal op het niveau van de studenten en op het niveau van hun toekomstige leerlingen; 26

4 c kennis hebben van taalgerichte reken-wiskundedidactiek op de basisschool en hieraan aandacht besteden in de pabo-opleiding. Kortom, er wordt nogal wat verwacht van opleiders: een extra inspanning binnen de complexe opdracht om de Kennisbasis rekenen-wiskunde te implementeren. Nu de vaktaal expliciet deel uitmaakt van de Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo is onderzoek en ontwikkeling ter ondersteuning van deze innovatie gewenst. Daarom is een kleinschalig onderzoek uitgevoerd met het doel prototypisch materiaal voor de integratie van taal in het reken-wiskundecurriculum te ontwikkelen en beproeven, en theorie te ontwikkelen over leerprocessen van studenten en opleiders bij de integratie van taal en reken-wiskundeonderwijs op de pabo. De onderzoeksvraag is: Hoe kan bij de implementatie van de Kennisbasis rekenen-wiskunde de relevante taal geïntegreerd worden in het curriculum van de pabo? Op basis van het voorgaande specificeren we deze vraag tot drie deelvragen: 1 In hoeverre wordt in het huidige curriculum rekenen-wiskunde van de pabo aandacht besteed aan taal? 2 Welke kennis, opvattingen en attitudes hebben pabo-docenten over de rol van taal in de reken-wiskundedidactiek van de pabo? 3 Hoe kan een leeromgeving ontwikkeld worden om de voor rekenen-wiskunde relevante taal te integreren in het pabo-curriculum voor wiskunde? In dit artikel staat het onderzoek naar deelvraag 3 centraal, de ander vragen worden slechts kort behandeld. Het onderzoek is uitgevoerd in samenwerking met twee pabo-docenten rekenen-wiskunde van een grote stadspabo. 3 Onderzoek naar deelvragen 1 en 2 Voor de beantwoording van de deelvragen 1 en 2 is een exploratieve case study verricht op een grote stadspabo. Deelvraag 1: aandacht voor taal in het wiskundecurriculum? Voor deelvraag 1, over de aandacht voor taal in het huidige wiskunde curriculum van de pabo, is gebruik gemaakt van een tekstdocument, een curriculumanalyse die de opleiders van deze pabo gemaakt hebben om te kijken in hoeverre het huidige curriculum de Kennisbasis rekenen-wiskunde dekt. De onderzoeker was bij een deel van deze analyse als participerende observant aanwezig. Op basis van deze analyse werd geconcludeerd dat het huidige curriculum de wiskunde uit de Kennisbasis voldoende dekt, maar dat de talige aspecten uit de Kennisbasis nog nagenoeg volledig ontbreken in het curriculum. Deelvraag 2: kennis, opvattingen en attitudes van pabo-docenten over taal en rekendidactiek Voor de beantwoording van deelvraag 2, over kennis, opvattingen en attitudes van pabo-docenten over taal en rekendidactiek, is een schriftelijke vragenlijst ontwikkeld en afgenomen bij de acht docenten van de vaksectie rekenen-wiskunde op deze pabo. We beperken ons hier tot de belangrijkste conclusies gebaseerd op de analyse van de antwoorden op de vragenlijst. Alle docenten vinden de rol van taal in de reken-wiskundeles cruciaal. Een docent verwoordt het als volgt: Taal is cruciaal en een voorwaarde om tot reken-wiskundeontwikkeling te komen. Daarnaast is wiskundetaal een taal apart. De docenten zijn zich in meerdere of mindere mate bewust van problemen van studenten bij schriftelijk taalaanbod, bij het begrijpen van teksten. Ze kunnen echter slechts globaal aangeven wat de aard van het probleem is. Het merendeel van de docenten gaat ervan uit dat hun mondelinge taalaanbod voor studenten begrijpelijk is. Alle docenten zien dat studenten worstelen met schriftelijk taalgebruik en vinden dat het schriftelijk taalgebruik te veel spreektaal is. De docenten dragen allen op diverse manieren bij aan de taalontwikkeling van hun studenten. Ze noemen: het zelf correct Nederlands spreken, het niet accepteren van jaargang

5 incorrect taalgebruik in schriftelijk werk en het verbeteren hiervan met rode pen, en het expliciet aandacht besteden aan mondelinge formuleringen door studenten. Alle docenten staan positief tegenover de integratie van taal in het wiskunde curriculum, al zien sommigen ook praktische problemen zoals tijd. Deze resultaten vormden een positief vertrekpunt voor ontwikkeling en onderzoek op deze pabo. 4 Onderzoek deelvraag 3: integratie van taal in het wiskundecurriculum Opzet van het onderzoek deelvraag 3 Deelvraag 3 luidt: Hoe kan een leeromgeving ontwikkeld worden om de voor rekenen-wiskunde relevante taal te integreren in het pabo-curriculum voor wiskunde? Omdat deze vraag een onderwijsinnovatie betreft, er moet iets ontwikkeld worden dat nog niet bestaat, is ontwikkelingsonderzoek, design research, bij uitstek een geschikte onderzoeksbenadering (Gravemeijer & Cobb, 2006; Bakker & Van Eerde, 2015). Bij deze onderzoeksbenadering gaan de ontwikkeling en beproeving van prototypisch materiaal ter bevordering van een innovatie hand in hand met theorieontwikkeling over leerprocessen van leerlingen en of docenten. In dit onderzoek zijn dat vooral leerprocessen van docenten en in tweede instantie ook van studenten. Dit onderzoek beoogt bij te dragen aan de ontwikkeling van theorie en prototypisch materiaal en kan, gezien het beperkte karakter, getypeerd worden als een kleinschalig ontwikkelingsonderzoek. In de volgende paragrafen worden eerst de voorbereidende fasen van het onderzoek beschreven waarin een oriëntatie van de participerende pabo-docenten plaatsvond en lesmaterialen voor geïntegreerde taal-wiskundeactiviteiten werden ontwikkeld. Hierna wordt beschreven welke gegevens zijn verzameld en hoe deze zijn geanalyseerd. Daarna worden de resultaten geanalyseerd; hierbij komen achtereenvolgens aan bod: de lesobservaties, het schriftelijk werk van de studenten, gesprekken en interviews met de docenten en de formatieve evaluatie bij de studenten. Oriëntatie van de opleiders op het onderzoek In de startfase heeft de onderzoeker enkele malen overlegd met de sectieleider van de vakgroep. Daarna heeft de onderzoeker tijdens twee vakgroepsbijeenkomsten een interactieve introductie gegeven over taal in de reken-wiskundeles en is overlegd over mogelijkheden voor integratie van taal in het wiskundecurriculum. Tijdens de eerste bijeenkomst kwamen de volgende onderwerpen aan bod: Het project ELWIeR II waarbinnen het onderzoek plaatsvond. De relevantie van aandacht voor taal in de reken-wiskundeles. Welke taal bij rekenen-wiskunde hoort. Waarvoor leerlingen/studenten die taal nodig hebben. Wat reken-wiskundetaal lastig maakt. Hoe studenten die taal kunnen ontwikkelen. Hoe je als docent taalontwikkelend kunt werken. Implicaties voor de opleiding. Na deze bijeenkomst werd door de docenten besloten dat het onderzoek het beste kon worden uitgevoerd binnen de eerstejaarscursus Wiskunde groep 5,6 over rekenstrategieën bij de vier hoofdbewerkingen. Er waren twee argumenten voor de keuze van deze cursus. Deze rekenstrategieën zijn wiskundig niet te lastig voor de studenten waardoor taal aandacht zou kunnen krijgen en het onderwerp rekenstrategieën is goed af te bakenen. Tijdens de tweede vakgroepsbijeenkomst is de tekst Voorbeelden van taalactiviteiten in de wiskundedidactiekles van de onderzoeker besproken. Hierin worden geïntegreerde taal-wiskundeactiviteiten in algemene zin beschreven en met voorbeelden geïllustreerd. Ontwikkeling van lesmaterialen en hypothesen vooraf Voorafgaand aan het eigenlijke onderzoek is er een oriënterende lesobservatie gedaan bij twee docenten die mee werkten aan de ontwikkeling en beproeving van nieuwe talige materialen. De observaties waren 28

6 bedoeld om kennis te maken met hun lespraktijk en met de studenten en waren vooral gericht op de talige inbreng in de les door docent en studenten, en op mogelijke kansen voor talige activiteiten. Tijdens deze observaties werden allerlei mogelijkheden voor de integratie van talige activiteiten zichtbaar, zoals tijdens de bespreking van de betekenis van begrippen en bij de introductie van nieuwe onderwerpen. Als eerste stap naar de ontwikkeling van aanvullend lesmateriaal rond taal analyseerde ik vanuit een talig perspectief de bestaande lesmaterialen voor de cursus Wiskunde groep 5,6. Hierbij werd geïnventariseerd welke wiskundebegrippen en formuleringen daarin voorkomen die de studenten zouden moeten leren (Van Eerde, 2013). De analyse van het huidige lesmateriaal vormde het startpunt voor het ontwerpen van innovatieve lesmaterialen gebaseerd op de principes van taalgericht vakonderwijs. In deze nieuwe lesmaterialen wordt aandacht besteed aan het bevorderen van bewustwording van de rol van taal in de rekenen-wiskundeles, zijn bij elke les expliciete taaldoelen geformuleerd en zijn activiteiten en werkbladen opgenomen die bedoeld zijn om de taalproductie van de studenten te bevorderen. Voor de cursus als geheel is het volgende materiaal ontwikkeld: Een basistekst die de docent konden gebruiken om studenten te oriënteren op en bewust te maken van de rol van taal bij wiskunde. Een introducerende tekst: Voorbeelden van taalactiviteiten in de wiskunde didactiekles. Dit omvat een overzicht en beschrijving van alle relevante begrippen die in de cursus aan bod komen, en een serie van veertien voorbeeldactiviteiten om de betekenis van deze begrippen te ontwikkelen. De activiteiten zijn zowel in algemene zin omschreven als tot een concreet voorbeeld uitgewerkt, bedoeld als prototypen voor de ontwikkeling van andere materialen. Daarnaast is per les het volgende materiaal ontwikkeld: Een tekst Taalactiviteiten, met achtergrondinformatie voor de docent bestaande uit: aanvullende taaldoelstellingen bij de geformuleerde wiskundedoelen (fig.1); een overzicht van de rekenbegrippen die in de les aan orde komen; een beschrijving van elk rekenbegrip geïllustreerd met een voorbeeld; uitgewerkte voorbeelden van werkbladen voor de studenten (fig.2, pag.23). Taaldoelen Na les 2 Ken je de betekenis van de begrippen kolomsgewijs optellen en aftrekken. Ken je de betekenis van de begrippen cijferend optellen en aftrekken. Kun je voorbeelden van handig rekenen als strategie benoemen. Kun je in rekentaal (aan de hand van een voorbeeld) de stappen uit de verschillende strategieën van het hoofdrekenen en handig rekenen verwoorden. figuur 1: voorbeelden van taaldoelen Op basis van commentaren van de twee participerende docenten op de eerste ontwerpen van de werkbladen zijn deze bijgesteld. De docenten maakten zelf soms kleine aanpassingen in de werkbladen voor hun eigen klas. Zo werden de docenten enigszins mede-eigenaar van het ontwikkelde materiaal. Het materiaal is ontwikkeld voor drie van de vijf lessen van de cursus Wiskunde in groep 5,6. Voor les 1 en 5 werd geen apart materiaal ontwikkeld, les 1 was een oriënterende les, waarin ook veel organisatorische zaken aan bod kwamen, les 5 was een herhalingsles. Hypothesen vooraf Voorafgaand aan het onderzoek werden de volgende hypothesen opgesteld over het leren van de docenten. De professionaliseringsbijeenkomsten en de achtergrondteksten bevorderen de bewustwording en kennisontwikkeling van de docenten over taal in de wiskundeles. De bijdrage van de docenten aan het lesontwerp bevordert hun kennis over het concreet vormgeven van taalontwikkelend wiskundeonderwijs. Door de expliciete taaldoelen focust de docent tijdens de les op de relevante taal. Doordat de taalproductie bevorderd wordt, krijgen de docenten meer zicht op de huidige taalontwikkeling van de studenten en dit stimuleert de docenten om taalsteun te geven. jaargang

7 Werkblad Rekenen gr. 5/6 - blok 1 - les 2 Strategieën varia / handig rekenen / eigenschapsrekenen 1. Omschrijf in je eigen bewoordingen welke stappen je moet zetten als je een optelling uitrekent door te rijgen. Je mag dit doen aan de hand van een eigen voorbeeldopgave. Eerst.. Daarna.. Dan. Dan. 2. Bekijk de oplossingen bij elke opgave. Schrijf bij elke oplossing hoe we die rekenstrategie noemen = 80; = 13; = 93. Dit noemen we = 65; = 70; = 73. Dit noemen we = 75 dus = 50. Dit noemen we... Geef nu zelf ook een voorbeeld en zeg welke strategie het is.... Dit noemen we Zet een streep om de strategie met het bijbehorende voorbeeld te verbinden. wisselen = schakelen 7 4 = : 4 = 7 inverse relatie 3 18 = verdelen = Kies een rekenstrategie, los de opgave op en noteer de gekozen strategie = = 7 49 = 8 17 = figuur 2: Rekenstrategieën De volgende hypothesen werden geformuleerd over het leren van de studenten. Door te expliciteren waarom aandacht voor taal nodig is, worden de studenten zich bewust van de rol van taal in de wiskundeles. Door de expliciete taaldoelen worden de studenten gefocust op de taal waar het om gaat. Het bevorderen van mondelinge en schriftelijke taalproductie stimuleert de vaktaalontwikkeling. De studenten leren de betekenis van vaktaalbegrippen en leren op een meer formeel niveau rekenstrategieën beschrijven. Het feedback geven door de docent op schriftelijke werk en mondelinge taaluitingen van studenten stimuleert de vaktaalontwikkeling. Dataverzameling en data-analyse Dataverzameling De taalgerichte rekenlessen werden door de twee pabo docenten gegeven aan een van hun eerstejaarsklassen met respectievelijk zeventien en negentien studenten. Tijdens de lessen zijn mondelinge, interactieve activiteiten uitgevoerd om de taalontwikkeling te stimuleren en hebben de studenten schriftelijke opdrachten uitgevoerd, die meestal ook met de studenten besproken werden. 30

8 De onderzoeker heeft de lessen geobserveerd en zoveel mogelijk letterlijk geprotocolleerd wat er door docent en studenten werd gedaan en gezegd wanneer dit betrekking had op taal of wiskunde. Hierbij gaat het bijvoorbeeld over activiteiten waarbij de docent uitleg geeft, een begrip of formulering begrijpelijk maakt, de studenten stimuleert om te spreken of de docent reageert op wat studenten zeggen of hebben opgeschreven. Van besprekingen met de docenten voor en na de les zijn notities zijn gemaakt. Er zijn twee interviews met de docenten gehouden; van het interview na de derde les is een audioregistratie gemaakt, van het interview na de laatste les zijn uitgebreide notities gemaakt. Na afloop van de laatste les is bij de studenten een tweeledige schriftelijke, formatieve evaluatie uitgevoerd waarin eerst hun kennis van wiskundebegrippen en formuleringen is getoetst en daarna hun oordeel over de lessen is gevraagd. Data- analyse Eerst zijn de lesobservaties geanalyseerd. Alle fragmenten, waarin taal in relatie tot wiskunde een rol speelt, zijn geselecteerd, omdat deze mogelijk relevant zijn voor de taalontwikkeling van de studenten. In de analyses van de lesobservaties ligt de nadruk op het handelen van de docenten, op alles wat zij zeggen en doen ter bevordering van de taalontwikkeling van de studenten. Hierbij is een analysekader gebruikt om na te gaan hoe de docenten reageren op wat leerlingen zeggen en hoe zij staalsteun bieden. Voor de analyse van de lesobservaties is een analysekader gebruikt dat is gebaseerd op eerder onderzoek (zie bijvoorbeeld: Mercer, 1995; Gibbons, 2002). Daarbij gaat het om observatiecategorieën zoals: bevestigen, herhalen, herformuleren en het verder uitwerken van wat een student zegt. Het schriftelijk werk van de studenten dat ze maakten tijdens de lessen is geanalyseerd om hun taalontwikkeling in kaart te brengen. Omdat sommige studenten hun schriftelijk werk tijdens discussies verbeterd hebben, is alleen dat werk geanalyseerd dat studenten tijdens de les zelfstandig gemaakt hebben. Ten slotte zijn de gesprekken met de docenten geanalyseerd, waarbij vooral gekeken is naar de ervaringen van de docenten met de lessen, de rol van taal in hun lessen, het leerproces van de leerlingen en hun ideeën over verbetering van de lessen. Bij de beoordeling van de resultaten op de schriftelijke evaluatie aan het eind van de cursus zijn voorbeeldbeschrijvingen van begrippen en strategieën gebruikt die tijdens het onderzoek ontwikkeld zijn. Voor de beoordeling van de beschrijvingen van rekenstrategieën zijn criteria opgesteld die gebaseerd zijn op de criteria die Smit (2013) onderscheidt voor de beoordeling van beschrijvingen van lijngrafieken. Daarbij worden criteria onderscheiden met betrekking tot de structuur van een beschrijving en de talige kenmerken ervan. Dit resulteerde in drie structuurkenmerken en twee talige kenmerken. Structuurkenmerken Elke stap wordt beschreven in woorden ( eerst tel je de tientallen bij elkaar op ). Elke stap wordt beschreven in getallen inclusief de tussenuitkomst ( = 80 ). Na de laatste stap wordt de uitkomst van een berekening expliciet vermeld ( De uitkomst is dus 85 ). Talige kenmerken Er worden vaktermen gebruikt zoals: honderdtallen, tientallen, eenheden, onthouden, tekort, lenen, uitkomst, wisselen/omkeren, verdelen, minteken, plusteken. Er worden signaalwoorden (verbindingswoorden van tijd) gebruikt om elke volgende stap aan te geven, zoals: eerst, daarna, dan, tenslotte. Analyse van het handelen van de docenten en het schriftelijk werk van studenten In de nu volgende analyse komen achtereenvolgens de volgende onderwerpen aan bod. De manier waarop de docenten de bewustwording van de rol van taal bevorderen. Taalontwikkelende strategieën die de docenten inzetten. Activiteiten rond het leren beschrijven van rekenstrategieën. Bewustwording van de rol van taal bevorderen De docenten maken de studenten op diverse manieren bewust van de rol van taal in de wiskundeles. Bij de start van de module wijzen ze de studenten erop dat er in de module aandacht aan taal besteed zal worden. Zij motiveren dit door het belang van de rol van taal bij het begrijpen van de wiskunde te benadrukken. Ook wijzen zij erop dat de taal van wiskunde deel uitmaakt van de Kennisbasis en derhalve in de toekomst getoetst zal worden. Het volgende fragment is een voorbeeld van een oriëntatie op taal door een docent: jaargang

9 We gaan aandacht besteden aan taal, aan de woorden die bij rekenen horen. Het kan ook taal uit het dagelijks leven zijn, want soms realiseer je je niet dat kinderen die woorden nog niet kennen... of dat je met taal kinderen kan helpen. Je leert om zelf iets te verwoorden. In de toekomst wordt dit ook getoetst. Beide docenten expliciteren aan het begin van elke les de taaldoelen door deze te tonen en toe te lichten. En aan het eind van elke les komen beide docenten terug op de talige doelen van de les. Een docent formuleert dit al volgt: Bedenk zelf of je de taaldoelen hebt bereikt. Ken je de begrippen kolomsgewijs rekenen en cijferend rekenen? Kun je de diverse strategieën benoemen en er een voorbeeld van geven? Kun je de stappen van diverse strategieën beschrijven? Oefen dit voor jezelf. Je moet het zo goed weten dat je het voor de klas kunt uitspreken, zonder papiertje. Een van de docenten sluit de eerste les als volgt af. Kun je vertellen wat rekentaal is? Student 1: Taal die met rekenen te maken heeft. Docent: Waarom besteden we er aandacht aan? Student 2: Om het makkelijker te begrijpen. Student 3: Omdat je het makkelijker uit kunt leggen. De studenten noemen hier impliciet de twee functies van de rol van taal: voor hun eigen leerproces en voor hun toekomstige rol als leraar, voor didactische doeleinden. Ook in volgende lessen hebben de docenten niet alleen aan het begin en het eind van de les maar ook tijdens de les gewerkt aan de bewustwording van de rol van taal. Tijdens de lessen is steeds het begrip rekentaal gebruikt als de docenten de studenten ertoe aan wilden zetten zoveel mogelijk vaktaal te gebruiken. Taalontwikkelende strategieën van de docenten De docenten gebruiken diverse strategieën om hun studenten te ondersteunen bij de ontwikkeling van wiskundige begrippen en rekenstrategieën. De analyse van de lesfragmenten laat zien dat de docenten de volgende strategieën gebruikten. Een rekenstrategie verwoorden in vaktaal De docent verwoordt, in samenspraak met de studenten, stapsgewijs een rekenstrategie. Hij benoemt alle stappen in vaktaal en in getallen. Een voorbeeld: Terwijl de docent de opgave op het bord uitrekent via kolomsgewijs aftrekken verwoordt hij in interactie met de studenten alle stappen: Eerst trekken we de honderdtallen van elkaar af, 300 min 100 is 200 (wijst deze aan). Dan de tientallen. Student zegt: Is min 60. Docent: Dan de eenheden wat moeten we noteren? Student: Min 8. Docent: En dan? Student: 200 min 60 min 8. Docent: Dit is? Student: 132. Daarna verwoordt de docent alle stappen nogmaals in vaktaal en getallen. Synoniemen geven De docent geeft synoniemen om een begrip toe te lichten. Voorbeelden: De docent vraagt: Wie kent het woord algoritme? Niemand antwoordt. De docent noteert onder elkaar op het bord: algoritme, procedure, stappenplan. Bij de bespreking van de strategie wisselen, zegt een leerling: Commutatieve eigenschap, dan zegt de docent: Ja met een lastig woord heet dat gebruikmaken van de commutatieve eigenschap. Bij de bespreking van de verdeeleigenschap merkt de docent op dat dit ook de distributieve eigenschap wordt genoemd. De docent noteert drie namen voor een bepaald type opgave op het bord: termen veranderen, tribunesom, transformeren, en licht toe dat deze begrippen hetzelfde betekenen. Herformuleren De docent herhaalt min of meer wat een student heeft gezegd maar herformuleert wat gezegd is. Een voorbeeld: De docent vraagt: Wat zijn verdelen en samen nemen van elkaar? Student: Tegenpolen. Docent: Ja, inverse relatie. Hierna licht de docent toe wat het woord inverse betekent: Andersom is inverse. Hij voegt eraan toe dat dit ook geldt voor de relatie tussen optellen en aftrekken. 32

10 Verder uitwerken van wat student zegt De docent werkt het antwoord van een student verder uit. Voorbeelden: Docent: Wie weet wat rijgen is? Student: Kralen rijgen. Docent: Ja, wat doe je dan met kralen? Student: Erbij doen. Docent: Ja erbij doen, eraan rijgen, daar komt de naam vandaan. Steeds iets erbij doen. Meestal wordt rijgen geïntroduceerd met de getallenlijn. (De docent tekent hierna een lege getallenlijn op het bord en laat de hand van een opgave zien hoe je rijgend optelt). Docent: Wat betekent Varia rekenen? Student 1: Verschillende dingen. Student 2: Variatie. Docent: Varia betekent rekenen op allemaal verschillende manieren, het is al het handige rekenen. In de context van het vergelijken van twee leeftijden wordt de opgave getransformeerd tot Docent: Wat vertel je de kinderen? Student: Over 5 jaar ben jij 30 en opa 88. Docent: Ja, en je bent allebei 5 jaar ouder dus het verschil blijft hetzelfde. Een begrip verhelderen De docent gaat in op de betekenis van een begrip om dit te verhelderen. Bij kolomsgewijs rekenen op papier wijst de docent de kolommen aan en vraagt: Hoe heten deze dingen? Student: Kolommen. Docent: Ja en ken je die nog uit een andere context? Student: Tabel. Docent: Kun je er een tekenen? Student tekent een tabel op het bord en wijst de kolommen aan en zegt: Een zo n rij? De klas roept: Kolom! De docent legt aan de hand van de tekening van de student nog eens uit wat rijen en kolommen zijn. De docent licht ook de betekenis van het woord gewijs in kolomsgewijs rekenen toe: gewijs betekent op de wijze van. Conclusie De oriëntatie op talige aspecten heeft zeer expliciet plaatsgevonden. De studenten lijken door hun actieve participatie in gesprekken over talige aspecten van meet af aan te beseffen dat er aandacht aan taal besteed wordt en dat dit relevant is. Tijdens interactieve momenten in de les, als de studenten gelegenheid krijgen om te praten (we noemen dit taalproductie), geven de docenten op zeer diverse manieren aandacht aan taalontwikkeling en zetten daarbij diverse strategieën in (we noemen dit taalsteun). De vooraf geformuleerde strategieën om taalontwikkeling te bevorderen, zien we terug in de lesanalyse. De docenten hanteren ook enkele andere strategieën, zoals het geven van synoniemen, een bekende aanpak uit het taalonderwijs. De docenten stimuleren zo op allerlei manieren de taalontwikkeling zonder dat er expliciet met hen over dergelijke strategieën is gesproken. Het leren beschrijven van rekenstrategieën In de prototypische materialen zijn drie activiteiten opgenomen voor het leren beschrijven van een rekenstrategie. Deze zijn als volgt opgebouwd: 1 In een eerste opdracht wordt de studenten gevraagd een rekenstrategie te beschrijven met behulp van een gestructureerd schrijfkader: Eerst..., daarna..., dan..., dan... tenslotte. 2 In een volgende opdracht moeten studenten beschrijvingen van rekenstrategieën van leerlingen beoordelen en de naar hun mening beste beschrijving herformuleren. 3 De laatste opdracht is het zelfstandig beschrijven van een rekenstrategie. Hierna worden opdracht 1 en 2 geanalyseerd, de derde opdracht wordt geanalyseerd in de formatieve evaluatie. Beschrijven van een rekenstrategie In de tweede les krijgen de studenten een opdracht om de rekenstrategie rijgen te beschrijven. De opdracht was bedoeld om individueel te maken. En hoewel een deel van de studenten niet altijd zelfstandig gewerkt heeft, kan de analyse wel een indruk geven van hun taalontwikkeling. Bij de opdracht werd de studenten gevraagd om in eigen bewoordingen te beschrijven welke stappen je bij deze strategie moet zetten en gezegd dat ze gebruik konden maken van een voorbeeld. Om de studenten op weg te helpen naar een stapsgewijze beschrijving was de schrijfopdracht gestructureerd in de vorm van beginwoorden van vier zinnen die de studenten moesten afmaken: Eerst... Daarna... Dan... Dan... (fig.2, opdracht 1). De analyse van de beschrijvingen laat de volgende oplossingen zien. De meeste studenten beschrijven enkele stappen van de strategie met een getallenvoorbeeld. Slechts één student maakt in zijn beschrijving expliciet wat de uitkomst van de opgave is. Wat opvalt is dat de stap om het tiental te overbruggen vaak niet wordt jaargang

11 beschreven. Het is veelzeggend dat de studenten deze stap overslaan, omdat deze voor basisschoolkinderen vaak de lastigste is en dus expliciete aandacht verdient. De studenten zijn zich hiervan kennelijk niet bewust. Sommige studenten beschrijven de stappen van de strategie alleen in vaktaal, bijvoorbeeld: Eerst tientallen optellen, daarna eenheden optellen, dan uitkomst eenheden en tientallen bij elkaar optellen, dan uitkomst opschrijven. Enkele studenten proberen zowel een beschrijving in getallen als in woorden te geven, maar doen dit onvolledig. In het volgende voorbeeld geeft de student een vrij complete beschrijving in getallen, maar gebruikt nog geen vaktaal. Ze verplaatst zich wel in de rol van de leraar die tegen haar leerlingen praat. Ze geeft de volgende uitleg bij de opgave: Zorg ervoor dat 53 een rond getal wordt. Dit doe je door 7 van 78 bij 53 te doen. Dit is 60. Daarna tel je 60 bij de 70 op. Dit is 130. Dan heb je nog 1 over die tel je bij de 130 op. Dit is 131. De resultaten van deze opdracht maken duidelijk dat het beschrijven van een strategie een nuttige activiteit is waarbij studenten ondersteuning nodig hebben. Beoordelen en herformuleren van een rekenstrategie Om de studenten te ondersteunen bij het leren beschrijven van strategieën werd een opdracht ontwikkeld waarin ze strategiebeschrijvingen van anderen moeten beoordelen en moeten beargumenteren waarom de ene beschrijving beter is dan de andere. Deze opdracht is bedoeld om de studenten ervan bewust te maken aan welke kenmerken een complete beschrijving van een rekenstrategie idealiter zou moeten voldoen. Het is de bedoeling om in samenspraak met de studenten een aantal criteria te ontwikkelen waaraan zo n beschrijving moet voldoen: alle stappen worden beschreven, elke stap wordt zowel in getallen als in woorden beschreven en bij de beschrijving in woorden worden formele begrippen uit de wiskunde gebruikt, zoals bijvoorbeeld tientallen, honderdtallen, splitsen en aanvullen. De opdracht beschrijvingen van een rekenstrategie beoordelen en herformuleren (fig.3, pag.28) kregen de studenten in de derde les. Ze moeten eerst in tweetallen uit vier beschrijvingen van leerlingen van de strategie rijgen een beargumenteerde keuze maken welke de beste is. In een klassikale discussie moeten ze hun keuze beargumenteren en daarna de gekozen beschrijving herschrijven. Deze activiteit heeft in eerste instantie een functie voor het leerproces van de student op eigen niveau, maar heeft ook een didactische functie. Een complete beschrijving kan ook als richtsnoer gelden voor de leraar hoe zij een complete beschrijving voor de leerlingen kan geven. Het is overigens zeker niet de bedoeling dat leraren al aan het begin van een leerproces zo n complete beschrijving aan de leerlingen geven, maar wel als de leerlingen enige ervaring met een strategie hebben opgedaan. We analyseren nu hoe een van beide docenten de opdracht met de studenten heeft uitgevoerd. Nadat de studenten in groepen aan de opdracht gewerkt hebben, inventariseert de docent welk alternatief elke groep gekozen heeft. Het blijkt dat de helft van de studenten beschrijving (d) het beste vindt; is de andere groepen kiezen de alternatieven (a) of (b). Niemand kiest (c). In een klassikale discussie laat de docent vier groepen vertellen welke beschrijving ze het beste vinden en waarom. Groep 1 kiest de beschrijving (d) en redeneert dat er goed gebruik gemaakt wordt van de rekenbegrippen en dat de sommen zijn uitgeschreven. Groep 2 kiest ook beschrijving (d) omdat er zowel woorden als een voorbeeldopgave worden gebruikt. Ze wijzen erop dat c) alleen een beschrijving in woorden is. Groep 3 kiest (a) omdat het de meest overzichtelijke beschrijving is. Groep 4 kiest (b) omdat alle stappen uitgelegd zijn, eerst wordt een rond getal gemaakt dan tientallen en eenheden opgeteld, en goede structuur. De docent merkt op dat de studenten het niet eens zijn met elkaar en vraagt of ze elkaar willen overtuigen met argumenten. St1: Doc: St2: Doc: (a) klopt voor geen meter, niet alle stappen. Als je dit tegen kinderen zegt snappen ze het niet. Er wordt niks uitgelegd. En beschrijving (c)? Daar staat geen voorbeeld. Ja een voorbeeld is belangrijk.

12 Werkblad Rekenen gr. 5.6 les 3 - Beschrijvingen beoordelen Maak deze opdracht in tweetallen Een groep studenten heeft de volgende opdracht gemaakt. Omschrijf in je eigen bewoordingen welke stappen je moet nemen als een optelling uitrekent door te rijgen. Je mag dit doen aan de hand van een eigen voorbeeldopgave. 1. Kies de beste oplossing Hieronder zie je een paar voorbeelden van wat de studenten hebben opgeschreven. Bekijk de formuleringen van de studenten en bepaal welke jullie het beste vinden. Waarom vinden jullie die het beste? a Eerst = 20. Daarna = 40. Dan = 43. b Eerst zorg ervoor dat 53 een rond getal wordt. Dit doe je door 7 van 78 bij 53 te doen. Dit is 60. Daarna tel je 60 bij die 70 op. Dit is 130. Dan heb je nog 1 over die tel je bij 130 op. Dit is 131. c Eerst tientallen optellen. Daarna eenheden optellen. Dan uitkomst eenheden en tientallen bij elkaar optellen. Dan antwoord /uitkomst opschrijven. d Eerste getal 16 heel houden (opteltal) Daar maken we een heel getal van met 4 erbij Dan houden we 24 over. Dan rijgen we de overige tientallen erbij Dan vervolgens rijgen we de laatste 3 erbij We vinden oplossing. de beste, omdat: Herformuleren Probeer nu de gekozen formulering van de rijgstrategie nog verder te verbeteren Kies eerst een voorbeeld van een optelopgave onder 100. Beschrijf dan elke stap van de strategie steeds: Eerst in termen van de getallen die opgeteld worden (bijvoorbeeld dan = 70) Dan in wiskundige termen (bijvoorbeeld dan de tientallen van de tweede term erbij optellen). figuur 3 : beschrijvingen van een strategie beoordelen en herformuleren In de argumentaties van de studenten en de aansluitende discussie komen de relevante kenmerken van een goede beschrijving naar voren. Daarna expliciteert de docent deze nog eens: De beschrijving omvat alle stappen waaruit de strategie bestaat. Alle stappen worden zowel in woorden als met een getallenvoorbeeld beschreven. Bij de beschrijving in woorden wordt gebruik gemaakt van formele wiskundige termen. Hierna geeft de docent de volgende opdracht: Ga nu zelf je eigen voorbeeld uitwerken, op zo n manier dat als je het opschrijft bij je lesvoorbereiding je een complete, goede formulering hebt voor de kinderen. De docent geeft nogmaals de criteria voor een complete en goede beschrijving: Een voorbeeld in getallen geven dat ontbreekt bij (c). en een beschrijving in woorden is belangrijk, die ontbreekt bij (a). Hij wordt aangevuld door een student die het derde criterium noemt: St: Doc: Ook tientallen een eenheden benoemen? Ja dus een beschrijving in woord en getal en in de juiste wiskundige termen. Ga nu met je groepje je formulering perfect maken zodat je het kan voorlezen in de klas. Nadat de studenten de opdracht gemaakt hebben worden de herschreven teksten voorgelezen. De docent vraagt wat er veranderd is en de studenten blijken beter gebruik te maken van de criteria. jaargang

13 Het is niet mogelijk om een oordeel te geven over alle herformuleringen van de studenten, omdat niet alle groepen hun nieuwe beschrijving ook daadwerkelijk volledig opgeschreven hebben. Uit een analyse van de discussie achteraf en van het schriftelijk werk, blijkt dat de docent de studenten met deze activiteit bewust gemaakt heeft dat er criteria bestaan voor een complete beschrijving van een strategie. De studenten beschrijven nu meer stappen van de strategie dan in de vorige les en geven vaker zowel een beschrijving in woorden als een weergave in getallen. Bovendien wordt er meer vaktaal gebruikt. Een student schrijft bijvoorbeeld dat ze in plaats van rond getal nu het begrip heel tiental gebruikt. Dit laat een ontwikkeling zien van informele taal naar steeds meer formele taal. De meeste studenten verplaatsen zich gaandeweg ook meer in hun rol als leraar die iets aan zijn leerlingen vertelt, wat zichtbaar wordt in het gebruik van de wij-vorm : we gaan eerst... of de gebiedende wijs: eerst splits je de tientallen en eenheden. Interviews met docenten en implicaties voor verdere ontwikkeling Interviews Hierna worden de belangrijkste resultaten van de twee interviews met de docenten samen gevat. Op de vraag of de docenten verandering zien in hun manier van lesgeven nu ze aandacht aan taal geven, komen de volgende punten naar voren. Beide docenten merken dat ze zich veel bewuster geworden zijn van de rol van taal bij het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde. Een docent expliciteert dit door te zeggen dat zijn focuspunt tot nu toe wiskunde was, maar dat taal nu ook een focuspunt is geworden. De andere docent merkt op dat hij scherper is gaan letten op formuleringen van studenten, terwijl hij tot nu toe op dit punt op de automatische piloot stond wat taal betreft en al blij was als ze de juiste getallen noemden. Hij is zich ook meer bewust geworden van de herkomst van woorden. Beide docenten zeggen dat zij zich bewuster zijn geworden hoe belangrijk het is dat zij zelf als docent goed formuleren en dat ze van de studenten eisen dat ze zich goed in taal uitdrukken. Eén docent merkt op dat er nog een lange weg te gaan is. Beide docenten hebben ook de indruk dat de studenten zich bewuster zijn geworden dat ze goed moeten verwoorden. Eén docent zegt: De studenten zouden zich moeten realiseren dat je wiskunde leert begrijpen door middel van taal, dat taal je kruiwagen is. Beide docenten zijn enthousiast en vonden de lessen leerzaam voor de studenten. Het lesontwerp vonden de docenten duidelijk, maar de lesvoorbereiding en het aanpassen van de powerpoint om de taaldoelen in te voegen kost extra tijd. Daar zal in de planning rekening mee gehouden moeten worden. De tijdsplanning tijdens de les is een probleem, de docenten moeten hard werken om alle onderdelen aan bod te laten komen. Dit impliceert dat er keuzen gemaakt moeten worden. Een docent formuleert dit als volgt: Als we het in de vakgroep eens zijn over het einddoel dat de studenten een goed geformuleerde instructie moeten kunnen geven, dan moeten we andere dingen laten vallen. De rekenstrategieën waren niet nieuw voor de studenten, maar waren al aan bod gekomen in een eerdere module over gecijferdheid. Dit lijkt een goede voorbereiding om in latere lessen meer aandacht aan de taal rond die strategieën te besteden. Het zelf schrijven heeft een goede functie, maar er zou meer tijd moeten zijn voor studenten om te oefenen met praten in meer formele taal en in het geven van een instructie met gebruik van materiaal en bord. Het herformuleren van wat studenten zeggen of schrijven, vinden de docenten lastig. Daarom is voor docenten en studenten een uitgewerkt overzicht nodig van de kenmerken waaraan een formulering moet voldoen en een voorbeeldtekst. Eén docent merkt op dat studenten wel eens een stap in een strategie overslaan en dat je dan niet verbaasd moet zijn dat kinderen dat ook doen. Eén docent vindt dat er anders getoetst zou moeten worden en dat nagedacht moeten worden over een formatieve evaluatie. Hij zegt: Als we taaldoelen stellen, moeten we ze ook toetsen en criteria opstellen. De andere docent suggereert het gebruikmaken van woordenlijsten. Samengevat blijkt het volgende uit de analyse van de interviews met de docenten. Ze zijn enthousiast en vinden het nuttig om aandacht aan reken-wiskundetaal te geven. Er speelt veel meer mee rond taal in de reken-wiskundeles dan ze verwacht hadden. Ze focussen meer op hun eigen taalgebruik en dat van hun leerlingen. Er ontstaat meer interactie in hun lessen. Ze realiseren zich dat meer aandacht voor taal ook meer tijd kost en dat er keuzen gemaakt moeten worden. 36

14 Implicaties voor verdere ontwikkeling Op basis van de nabesprekingen van de lessen met de docenten en mijn eigen reflectie op de lessen kom ik tot de volgende voorstellen voor verbetering van de lessen. Hoewel de activiteiten de taalontwikkeling van studenten zeker bevorderen zouden sommige activiteiten herhaald moeten worden omdat de studenten meer tijd nodig hebben om de gestelde taaldoelen te halen. Studenten blijken aanvankelijk in hun formuleringen van een rekenstrategie veel onduidelijke, informele taal te gebruiken en stappen over te slaan. De opdracht om een beschrijving van een strategie te beoordelen en herformuleren blijkt leerzaam. Voor een meer systematische bespreking en verbetering van de beschrijvingen van studenten is het nodig enkele geselecteerde teksten van studenten gezamenlijk te bespreken en te verbeteren. Teksten bespreken en herformuleren in een klassikale discussie kan alleen als deze teksten voor iedereen zichtbaar zijn op het whiteboard of op papier. Verder zouden er meer voorbeelden moeten komen van complete en juiste formuleringen van strategieën zodat docenten hieraan expliciet aandacht kunnen besteden in de les. Daarom heb ik tijdens het onderzoek een eerste voorbeeldtekst gemaakt over de rekenstrategie kolomsgewijs aftrekken. De voorbeeldtekst is een beschrijving van alle stappen van een rekenstrategie in wiskundetaal en in symbolen, wat bij elke stap genoteerd moet worden (fig.4). Deze tekst is bedoeld als oriëntatiepunt voor de docenten bij de ondersteuning van het leerproces van de studenten om een nauwkeurige beschrijving van een rekenstrategie te leren maken. Eerst zet je beide getallen onder elkaar, en je zet er een streep onder en een minteken: Daarna trek je de honderdtallen van het onderste getal van de honderdtallen van het bovenste getal af: = 300. De uitkomst, 30 zet je onder de streep: Daarna trek je de tientallen van het onderste getal van de tientallen van het bovenste getal af: = 20. De uitkomst, 20 zet je onder de streep: Dan trek je de eenheden van het onderste getal van de eenheden van het bovenste getal af: 3 7 = - 4, dat is 4 tekort. De uitkomst, 4 zet je onder de streep: Tenslotte tel je de honderdtallen, tientallen en eenheden bij elkaar op: = 316.De uitkomst, 316 zet je onder de streep: Het antwoord van de som is dus 316. figuur 4: voorbeeldtekst beschrijving kolomsgewijs aftrekken jaargang

15 Formatieve evaluatie Aan het eind van de cursus is een schriftelijke evaluatie uitgevoerd die de studenten individueel gemaakt hebben. De evaluatie bestaat uit twee onderdelen. In het eerste deel is de kennis van wiskundetaal op het eigen niveau van de studenten gemeten en werd gevraagd om nauwkeurig te beschrijven hoe ze (stapsgewijs) een rekenstrategie voor hun leerlingen zouden verwoorden. In het tweede deel van de evaluatie is de studenten om hun mening gevraagd over het nut van de talige activiteiten, over hun eigen leerproces en hoe ze met taal rekening zouden kunnen houden in de rekenles. In het totaal hebben veertien studenten uit de ene klas en vijf studenten uit de ander klas de evaluatie ingeleverd. De resultaten van deze negentien studenten zijn geanalyseerd. Van elke vraag over wiskundetaal was tevoren een beschrijving gemaakt van de getoetste begrippen en van de kenmerken waaraan een strategiebeschrijving zou moeten voldoen. Deze beschrijvingen zijn gebruikt bij de beoordeling van de antwoorden van de studenten. Deel 1: Evaluatie van de kennis van wiskundetaal Begrippen omschrijven In de evaluatie werd de studenten eerst gevraagd enkele begrippen te omschrijven. De instructie luidde: Omschrijf in rekentaal wat de volgende begrippen betekenen. Gebruik daarbij een voorbeeld. Wisseleigenschap Uit de resultaten blijkt dat veertien studenten dit begrip kennen. Drie studenten kennen de commutatieve eigenschap helemaal niet en twee studenten halen deze eigenschap door elkaar met de associatieve eigenschap. Niemand noemt alle kenmerken Een deel van de studenten betrekt het alleen op optellen, en/of vermeldt niet dat de uitkomst hetzelfde blijft en/of geeft geen voorbeeld. De meeste studenten vermelden in hun omschrijving dat het omwisselen de opgave gemakkelijker maakt, zoals in het volgende antwoord: 6 8 = 8 6, getallen omdraaien om het gemakkelijker te maken. In sommige beschrijvingen worden vaktaalbegrippen gebruikt, die de opleider expliciet heeft gebruikt tijdens de lessen. Bijvoorbeeld: opteltal, opteller, vermenigvuldigtal, vermenigvuldiger, termen en factoren, zoals blijkt uit het volgens antwoord: Je mag de termen of factoren van een opgave omdraaien om de som voor jezelf eenvoudiger te maken. Het merendeel van de studenten kent de eigenschap weliswaar, maar kan deze nog niet volledig omschrijven in wiskundetaal. Quotiënt Van de negentien studenten kennen dertien het begrip en zes niet. Een van deze zes studenten schrijft: Quotiënt is delen van getallen, twee studenten zeggen dat het quotiënt het resultaat is van een vermenigvuldiging en drie studenten kennen het begrip niet. Alle studenten gebruiken vaktaal, sommige doen dat heel compleet zoals in de volgende omschrijving van quotiënt: Is de uitkomst van een deeltal delen door de deler. Inverse relatie tussen optellen en aftrekken Bij deze opdracht geven drie studenten een fout antwoord en negen schrijven niets op, slechts zeven van de negentien studenten kennen het begrip inverse relatie, maar vaak mist uitleg hoe je deze eigenschap kunt toepassen. Ze vermelden dat je een som kunt omdraaien, dat je van een plussom een minsom kunt maken, geïllustreerd met een voorbeeld. De uitleg is vaak erg summier, men volstaat met een getallenvoorbeeld of schrijft bijvoorbeeld: De relatie tussen + en, 8 2 = = 8. Getallen komen terug. Opvallend is dat in veel antwoorden wordt geschreven dat je gebruik kunt maken van een aftrekking als je een optelsom moet berekenen, terwijl het in de praktijk juist andersom gaat. Kortom een begrip dat meer aandacht vereist. Reconstructiedidactiek In de reader bij de cursus wordt het begrip aan de hand van vijf kenmerken beschreven en geïllustreerd met voorbeelden. Niemand kan dit begrip compleet omschrijven en slechts een van de negentien studenten verwijst in de omschrijving naar kenmerken van deze didactiek: Door te construeren, de interactie tussen de kinderen. Zelf manieren laten noteren op het bord. Drie studenten schrijven: begeleid heruitvinden. Een student wijst op de tegenstelling met reproductiedidactiek. Vermoedelijk is dit een erg lastig begrip voor eerstejaars pabo-studenten. 38

16 Progressief schematiseren Hier wordt verwacht dat het stapsgewijze proces wordt beschreven van kolomsgewijs rekenen naar cijferen waarin drie fasen worden onderscheiden: met materiaal, schematisch en met kale getallen. Acht studenten blijken te weten wat progressief schematiseren betekent en kunnen in elk geval deze fasen in woorden weergeven. Deze studenten beschrijven de drie fasen en soms de overgang van de ene naar de andere fase. Een student laat ook iets van het globale proces zien: Stap 1: MAB materiaal (concreet), stap 2: schema (kolomsgewijs), stap 3: verkort schema. We laten steeds meer het materiaal en de context los en werken richting formele rekenen. Twee studenten geven een foute omschrijving. Negen studenten geven geen antwoord. Kortom, dit begrip is nog lastig voor deze eerstejaarsstudenten. Rekenstrategie nauwkeurig omschrijven voor leerlingen In de lessen is herhaaldelijk aandacht besteed aan het geven van een volledige beschrijving van een rekenstrategie. Daarom is de volgende opdracht in de evaluatie opgenomen: In je lesvoorbereiding wil je precies opschrijven hoe je een bepaalde strategie aan je leerlingen uitlegt. Maak een beschrijving van de rekenstrategie kolomsgewijs aftrekken en gebruik daarbij het voorbeeld tussen haakjes ( ). Twaalf studenten hebben op een of andere manier alle stappen beschreven. Twee studenten geven zowel een beschrijving in woorden als in getallen, negen studenten geven alleen een beschrijving in getallen, acht studenten geven alleen een beschrijving in woorden. Een positief resultaat is dat dertien van de negentien studenten wiskundetaal in hun beschrijvingen gebruiken. Vijftien van de negentien maken gebruik van woorden om de volgorde van de stappen aan te geven. Dit resultaat is vermoedelijk te danken aan de structurering in de schrijfkaders die de studenten in opdrachten in les 2 en 3 kregen om strategieën te beschrijven: Eerst..., Dan..., Daarna... Deze resultaten laten een grote verbetering zien in vergelijking met de lesbeschrijvingen die de studenten in de lessen gaven. Ze geven completere beschrijvingen en er is sprake van een sterke ontwikkeling van het gebruik van informele dagelijkse taal naar het gebruik van meer formele vaktaal. Het volgende voorbeeld is een beschrijving die weliswaar vaktaal en signaalwoorden omvat, maar niet alle stappen en waarin getallen ontbreken. We trekken eerst de honderdtallen van elkaar af, dan de tientallen en als laatste de eenheden. Naast deze beschrijving heeft de student elke stap als volgt in getallen weergegeven: De volgende beschrijving voldoet niet alleen aan bijna alle kenmerken, maar ook de stem van de leraar klinkt erin door. Je zet de getallen onder elkaar zodat de eenheden, tientallen etc. gelijk onder elkaar staan. Je trekt als volgt eerst de honderdtallen van elkaar af, dus = 100. Dit getal (300) zet je onder de streep. Daarna trek je de tientallen van elkaar af en de uitkomst zet je onder de streep (60 40 = 20). Dan als laatste de eenheden. Dit gaat niet, want 3 7 = -4 en dus schrijf je 4 onder de streep. Als laatst tel je de getallen bij elkaar op en haal je de getallen er vanaf. Een vrij complete uitleg waarbij alleen de formulering van de laatste stap nog te wensen overlaat. Naast deze beschrijving heeft de student ook de berekening in getallen onder elkaar genoteerd. Uit haar beschrijving kunnen we opmaken dat ze uitleg en notatie parallel aan elkaar wil laten verlopen. Deze studente heeft een enorme taalontwikkeling doorgemaakt tussen les 2 en les 5. In les 2 geeft ze een beschrijving, waarin ze alleen de stappen in getallen noteert, in les 3 geeft ze een beschrijving waarin ze de stappen alleen in woorden beschrijft en geen vaktaal gebruikt. Kortom, nog niet alle studenten kennen de betekenis van alle gevraagde vakbegrippen. Deze vereisen explicietere aandacht in de les. Het blijkt een nuttige activiteit om studenten te leren een complete beschrijving van een rekenstrategie in vaktaal te laten maken. De analyses laten zien dat het merendeel van de studenten elke stap van een strategie beschrijft, maar de helft gebruikt daarbij vaktaal en de helft symbolen. Er is dus meer tijd nodig om de gestelde taaldoelen te behalen. jaargang

17 Deel 2: Oordeel van studenten over de talige activiteiten in deze cursus In het tweede deel van de evaluatie is de studenten om hun mening bevraagd over de lessen. Hiertoe kregen de studenten een schriftelijke vragenlijst met vier open vragen. De antwoorden worden per vraag geanalyseerd. Vraag 1: Wat is volgens jou het nut van aandacht voor taal in de reken-wiskundeles voor je eigen leerproces als student? Uit de antwoorden blijkt dat de studenten zich bewust zijn geworden van de talige kanten van rekenen-wiskunde. Een student zegt hierover het volgende: Ikzelf besefte eerst niet dat rekenen zoveel taal bevat, vooral niet zo erg op de basisschool. Het is goed om te weten dat een groot deel van het rekenen leunt op de taal. Meer dan de helft van de studenten noemt het belang van taal voor hun eigen wiskundig leerproces. Voorbeelden van wat studenten zeggen: Het is erg belangrijk. Ik wist bijna geen rekentaal meer en het is belangrijk als ik de opgaven en lesstof goed wil begrijpen. Ik had het alleen geleerd hoe je alles moest uitrekenen enz. maar ik wist niet wat het eigenlijk betekende. Vraag 2: Wat is volgens jou het nut van aandacht voor taal in de reken-wiskundeles voor je leerproces als aanstaande leraar? Alle studenten noemen hierbij het goed uitleggen aan leerlingen. Een student verwoordt het als volgt: Erg nuttig omdat jij als aanstaande leraar de kinderen uitleg moet geven over die sommen. Daarom moet jouw taalgebruik goed ontwikkeld zijn om het de kinderen uit te kunnen leggen. Vraag 3: Wat zijn de belangrijkste dingen die je geleerd hebt over taal in de reken-wiskundeles? Acht studenten verwijzen op een of andere manier naar het leren van vaktaal. Eén student zegt: Hoe ik bepaald wiskundige strategieën en eigenschappen moet benoemen. Goed uitleggen wordt door vier studenten genoemd, drie studenten noemen het goed kunnen begrijpen wat er staat bijvoorbeeld bij verhaalsommen. Eén student noemt het eigen denken goed verwoorden. Vier studenten geven geen antwoord. Vraag 4: Hoe kun je bij je lesvoorbereiding rekening houden met taal in de rekenles? Tien studenten noemen het begrijpelijk maken van wat in de methode staat. Eén student zegt dit specifieker: Ik zou van te voren moeilijke woorden uit bijvoorbeeld een som even met de klas bespreken. Acht studenten noemen het uitschrijven van een uitleg als voorbeeld van een goede lesvoorbereiding en enkele studenten noemen het gebruik van de juiste termen en begrippen. Eén student merkt op dat haar eigen taalgebruik begrijpelijk moet zijn en verwoordt dit als volgt: Letten op wat voor woorden je gebruikt en of die begrijpbaar zijn voor de kinderen. De antwoorden laten zien dat alle studenten zich bewust zijn geworden van de talige kanten van rekenenwiskunde. Ze noemen zowel de rol van taal om zelf beter wiskunde te leren als ook om als toekomstige leraar beter onderwijs te kunnen geven. Het perspectief van hun toekomstige rol als leraar bij het uitleggen aan leerlingen lijkt een sterke motivatie voor de studenten om aandacht aan taal te besteden. Op de vraag hoe zij bij hun lesvoorbereiding rekening kunnen houden met taal noemen de studenten zowel het belang van het begrijpelijk maken van geschreven taal in de methode (schriftelijk taalaanbod), als hun eigen taalgebruik van de leraar (mondeling taalaanbod). 5 Conclusies en discussie Beantwoording onderzoeksvragen Deelvraag 1 betreft de mate waarin aandacht aan taal wordt besteed in het wiskundecurriculum van de pabo. De analyse ervan op de participerende pabo laat zien dat de talige aspecten uit de Kennisbasis rekenenwiskunde bij de start van het onderzoek daarin nog ontbraken. 40

18 Deelvraag 2 is gericht op een inventarisatie van de kennis, opvattingen en attitudes van de wiskundedocenten over de rol van taal in de reken-wiskundedidactiek van de pabo. Ondanks het ontbreken van talige aspecten in het formele curriculum laten de resultaten van de schriftelijke vragenlijst zien dat de onderzochte docenten de rol van taal bij het leren van wiskunde cruciaal vinden. Ze zijn zich in verschillende mate bewust van taalproblemen van hun studenten en geven op allerlei manieren al aandacht aan taal in hun reken-wiskundelessen. Alle docenten staan dan ook positief tegenover de integratie van taal in het wiskundecurriculum - al zien sommigen ook praktische problemen. De kern van dit onderzoek ligt bij deelvraag 3, hoe de relevante wiskundetaal geïntegreerd kan worden in het wiskundecurriculum van de pabo. Voor de beantwoording van deze vraag zijn allerlei achtergrondinformatie en lesmaterialen voor pabo-docenten en hun studenten ontwikkeld en beproefd, waarbij zowel het handelen van de docenten als van de studenten is geanalyseerd. Twee docenten merken op diverse momenten op dat ze zich veel bewuster geworden zijn van de rol van taal bij het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde. Eén docent expliciteert dit door te zeggen dat zijn focus tot nu toe op wiskunde lag, maar dat taal dat nu ook is geworden. De veranderingen in de aandachtstructuur van leraren die Mason (1998) noemt, hebben hier, zoals we veronderstelden, inderdaad betrekking op het schakelen tussen aandacht voor wiskunde en voor de daarmee samenhangende taal. Uit de analyse van de lesobservaties en de gesprekken met de docenten blijkt dat zij in de met taal verrijkte lessen op diverse manieren aandacht aan taal besteden. De docenten: zijn zich bewuster geworden van de rol van taal bij rekenen, gebruiken de taaldoelen voor hun focus op de talige aspecten in hun wiskundelessen, oriënteren de studenten op diverse momenten tijdens de les op de rol en het belang voor taal in de wiskundeles, zowel om de wiskunde zelf beter te begrijpen als ook om betere uitleg te kunnen geven aan leerlingen, bevorderen de taalproductie van hun studenten in interactief onderwijs, bieden de studenten allerlei taalsteun om hun taalontwikkeling te bevorderen. Deze resultaten bevestigen de hypothesen die vooraf geformuleerd werden. De talige materialen, de samenwerking tussen de docenten en de onderzoeker bij de ontwikkeling hiervan, de ervaringen tijdens het lesgeven en de tussentijdse gesprekken hierover hebben ongetwijfeld bijgedragen aan deze resultaten. Opvallend is dat de docenten tijdens klassikale interacties op allerlei manieren taalsteun geven om de taalontwikkeling van studenten te stimuleren, zonder dat expliciet met hen is besproken hoe ze dit kunnen doen. Dit biedt vruchtbare aanknopingspunten voor de verdere ontwikkeling van taalondersteunende strategieën door docenten. Een belangrijk doel van de lessen was de studenten bewust maken van de rol van taal. Het oordeel van de studenten over de lessen in de formatieve evaluatie laat zien dat alle studenten zich bewust zijn geworden van de talige kanten van rekenen-wiskunde en het nut zien van aandacht voor taal in de rekenles. De meerderheid van de studenten zegt bovendien iets over de rol van taal voor het eigen leerproces. Iets minder dan de helft van de studenten zegt alleen iets over de rol van taal vanuit het perspectief van het lesgeven. Daarbij noemen de studenten het belang van het begrijpelijk maken van geschreven taal in de methode (schriftelijk taalaanbod), en het eigen taalgebruik van de leraar (mondeling taalaanbod) (Brinton, Snow & Wesche, 2003). De studenten laten de volgende ontwikkeling zien: Ze zijn zich gaandeweg bewust geworden van de rol van taal bij rekenen. Ze realiseren zich steeds meer dat hun taalontwikkeling niet alleen een functie heeft voor hun eigen wiskundige leerproces maar ook een didactische functie. Ze leren de betekenis van vakbegrippen kennen en omschrijven. Ze laten bij het schriftelijk formuleren van rekenstrategieën een ontwikkeling zien naar meer complete beschrijvingen met meer gebruik van vaktaal. Ook bij de studenten zien we een ontwikkeling die in grote lijnen overeenkomt met wat we tevoren veronderstelden, al blijkt er meer tijd nodig is om de gestelde taaldoelen te behalen. Het is goed om hierbij te bedenken dat het om eerstejaarsstudenten gaat en verder ontwikkeling in volgende jaren mogelijk is. De resultaten laten zien dat het taalgebruik van de studenten zich in de loop van de lessen ontwikkelt van meer informeel dagelijks taalgebruik naar het gebruik van meer formele vaktaal (Gibbons, 2006). jaargang

19 Implicaties voor verdere ontwikkeling van materialen Het onderzoek heeft ook aanknopingspunten opgeleverd voor verbetering van de ontwikkelde materialen. Er is meer aandacht nodig voor spreken als voorbereiding op het schrijven. Schrijfopdrachten zouden regelmatig klassikaal besproken en gezamenlijk herschreven moeten worden. Teksten bespreken en herformuleren kan alleen als deze teksten voor iedereen zichtbaar zijn. Dit kan bijvoorbeeld door enkele teksten van studenten gezamenlijk te bespreken en verbeteren op papier of op het whiteboard. Er moeten voorbeeldteksten uitgewerkt worden voor alle relevante rekenstrategieën. Hierbij kunnen de ontwikkelde kenmerken van beschrijvingen van rekenstrategieën gebruikt worden. Met deze voorbeeldbeschrijvingen kunnen docenten de mondelinge en schriftelijke formuleringen van studenten tussentijds beoordelen en de studenten aansluitend taalsteun bieden om deze verder te ontwikkelen. Beperkingen van het onderzoek Het onderzoek is zeer kleinschalig van aard. Het werd uitgevoerd door één onderzoeker in samenwerking met twee docenten en twee eerstejaarsklassen op één pabo en het prototypische materiaal is ontwikkeld en beproefd binnen één module. En ook al zijn de resultaten van het onderzoek bemoedigend, er blijven nog veel vragen onbeantwoord en er is veel meer onderzoek en ontwikkeling nodig. Verdere onderzoek en ontwikkeling Alhoewel de pabo-docenten en hun studenten in dit onderzoek in korte tijd veel geleerd hebben over wiskundetaal, is verder onderzoek en ontwikkeling nodig rond de vraag hoe de relevante taal geïntegreerd kan worden in het wiskundecurriculum van de pabo. Zo is verder onderzoek naar en ontwikkeling van taalontwikkelende materialen nodig voor andere domeinen in de wiskunde. Ook is onderzoek nodig naar taaldoelen binnen het wiskundecurriculum op de pabo. In dit onderzoek kreeg ik gaandeweg het idee om een voorbeeldtekst te ontwerpen voor de volledige beschrijving van een rekenstrategie. Het leren maken van dergelijke beschrijvingen zou een van de taaldoelen kunnen zijn voor het wiskundecurriculum van de pabo. In dit onderzoek bleken de structuur- en taalkenmerken die Smit (2013) onderscheidt bij het beschrijvingen van lijngrafieken, ook toegepast te kunnen worden op beschrijvingen van rekenstrategieën. Het zou interessant zijn om na te gaan hoe deze kenmerken gebruikt kunnen worden bij beschrijvingen in andere wiskundedomeinen. Een ander interessant thema voor vervolgonderzoek is het gebruik van docentstrategieën om de taalontwikkeling te bevorderen. De docenten in dit onderzoek bleken op eigen initiatief al diverse vormen van taalsteun te bieden. Dit resultaat biedt perspectief op onderzoek naar en uitwerking van doelmatige strategieën. Het toetsen van reken-wiskundetaal bij studenten vraagt ook om nader onderzoek. Wat en hoe men wil toetsen, hangt natuurlijk samen met de taaldoelen die men opstelt. Verder zou onderzocht kunnen worden hoe studenten gebruik kunnen maken van allerlei materiaal dat beschikbaar is binnen methoden en op internet voor het leren van reken-wiskundetaal. Naast de verdere ontwikkeling van materialen voor de pabo zouden ook mogelijke leerlijnen ontwikkeld moet worden voor de integratie van taal in het wiskundecurriculum van de opleiding. Er zal nog veel water door de Maas stromen voordat de relevante taal geïntegreerd is in het wiskundecurriculum van de pabo, maar dat er steeds meer belangstelling voor taal in de reken-wiskundeles is en dat dit onderwerp nog meer aandacht verdient, staat als een paal boven water. Literatuur Bakker, A. & H.A.A. van Eerde (2015). An introduction to design-based research with an example from statistics education. In A. Bikner-Ahsbahs, C. Knipping, & N. Presmeg (Eds.). Doing qualitative research: Methodology and methods in mathematics education. Berlin: Springer. doi / _16, Barton, B. (2008). The language of mathematics. Telling mathematical tales. New York: Springer. Boer, C. van den (2003). Als je begrijpt wat ik bedoel. Een zoektocht naar verklaringen voor achterblijvende prestaties van allochtone leerlingen in het wiskundeonderwijs. Utrecht: Freudenthal Instituut. Brinton, D., M.A. Snow & M. Wesche, M. (2003). Content-based second language instruction. Michigan: Michigan Classics Edition. Eerde, H.A.A. van (2009) Rekenen-wiskunde en taal: een didactisch duo. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ont- 42

20 wikkeling en praktijk, 28(3), Eerde, D. van (2013). Lesmateriaal ontwikkelen voor taalontwikkeling in de reken-wiskundeles. In: M. van Zanten (ed). Rekenen-wiskunde op niveau. Utrecht: Freudenthal Instituut ( ). Eerde, H.A.A. van, M. Hajer & J. Prenger (2008) Promoting mathematics and language learning in interaction. In: J. Deen, M. Hajer & T. Koole (Eds). Interaction in two multicultural mathematics classrooms. Processes of Inclusion and Exclusion. Amsterdam, Aksant, Eerde, H.A.A. van & M. Hajer (2009). The integration of mathematics and language learning in multiethnic schools. M. César & C. Kompulainen (Eds). Social interactions in multicultural settings. Rotterdam/Taipei: Sense Publishers, Freudenthal, H. (1984). Appels en peren / wiskunde en psychologie. Gebundelde opstellen. Apeldoorn: Van Walraven B.V. Gibbons, P. (2002). Scaffolding language, scaffolding learning: Teaching second language learners in the mainstream classroom. Portsmouth, NH: Heinemann. Gibbons, P. (2006). Bridging discourses in the ESL classroom. London/New York: Continuum. Gravemeijer, K.P.E. & P. Cobb (2006). Design research from a learning design perspective. In: J. van den Akker, K.P.E. Gravemeijer, S. McKenney & N. Nieveen (Eds.). Educational design research. London: Routledge, Hajer, M. (2000). Creating a language-promoting classroom: Content-area teachers at work. In: J. Hall & L. Verplaetse (Eds.). Second and foreign language learning through classroom interaction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum, Hajer, M. & T. Meestringa (2009). Handboek taalgericht vakonderwijs. Bussum: Coutinho. Mason, J. (1998). Enabling teachers to be real teachers: Necessary levels of awareness and structure of attention. Journal of Mathematics Teacher Education, 1, Mercer, N. (1995). The guided construction of knowledge: Talk amongst teachers and learners. Clevedon: Multilingual Matters. Morgan, C. (2007). Who is not multilingual now? Educational Studies in Mathematics, 64(2), Prenger, J. (2005). Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskundeonderwijs. Groningen: Dissertations in Linguistics. Den Haag: Textcetera. Schleppegrell, M.J. (2007). The linguistic challenges of mathematics teaching and learning: A research review. Reading and Writing Quarterly, 23(2), Smit, J. (2013). Scaffolding language in multilingual mathematics classrooms. Utrecht: Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education, Faculty of Science, Utrecht university (proefschrift). Smit, J. (2014). En nu in rekentaal! - Talige ondersteuning bieden in een meertalige klas. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling en praktijk, (33), Smit, J. & H.A.A. van Eerde (2011) A teacher s learning process in dual design research: Learning to scaffold language in a multilingual mathematics classroom, ZDM The International Journal on Mathematics Education, 43(6), Zanten, M. van, F. Barth, J. Faarts, A. van Gool & R. Keijzer (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. Language is explicitly included in the new Knowledge Base for mathematics in teacher training colleges for primary education. This leads to the question how mathematical language can be integrated into the mathematics curriculum of teacher education. In a small-scale design study language sensitive mathematics materials were designed and then tried out by two teacher educators in two first year mathematics classes. The collected data were classroom observations, students' written work and teacher interviews. The results show that the formulated language objectives supported the teachers during their lessons in paying attention to linguistic features and also to focus the students attention on it. There was an increasing awareness in both teachers and students of the role and importance of language in mathematics education. The students became aware of the role of language both for their own mathematical learning process and in teaching their pupils. The teachers promoted students language production and supported them to develop their mathematical language. There was an increase in students understanding of mathematical concepts and in their use of mathematical language in describing mathematical strategies. Both teachers and students acknowledge the importance of integrating language in mathematics education, although more time is needed to achieve the language goals. jaargang