Het Zeemaneffect. Folkert Nobels 1 *, Bas Roelenga Theorie. Contents. Inleiding

Transcriptie

1 Natuurkundig practicum Het Zeemaneffect Folkert Nobels 1 *, Bas Roelenga 1 Abstract In dit experiment wordt met behulp van het Zeemaneffect de waarde van het Bohrmagneton bepaald. Dit is gedaan door een Cadmiumlamp in een magnetisch veld te plaatsen, wanneer er een bepaald magneetveld is, is er een verschil in energieniveaus. Deze energieniveaus en de verschillen hier tussen worden zichbaar gemaakt doormiddel van een interferometer en waargenomen door een DSLR-camere, waarna met behulp van de foto s de stralen worden bepaald van de verschillende ringnummers. Met behulp van een matlab programma kon vervolgens het Bohrmagneton bepaald worden en deze had een waarde van µ B = (9.1 ± 1.5) JT 1. Keywords Zeemaneffect Kwantummechanica 1 Faculteit wiskunde en natuurwetenschappen, Rijksuniversiteit Groningen, Groningen, Nederland *Corresponding author: f.s.nobels@student.rug.nl Corresponding author: basroelenga@hotmail.com Contents Introduction 1 1 Theorie het magnetisch moment van een elektron De potentiële energie Totale impulsmoment Impulsmoment van gesloten schillen Meerdere elektronen 1.4 Het Zeemaneffect Selectie regels van emissie Spectroscopische notatie De 2 Cadmiumlijnen De rode Cadmiumlijn De groene Cadmiumlijn 1.8 Square array methode De opstelling 5 3 Results 6 4 Conclusie 7 5 Discussie 7 6 Appendix 7 References 7 Inleiding Het Zeemaneffect is een kwantum effect wat er voor zorgt dat wanneer er een sterk magneetveld aanwezig is, spectraallijnen opgesplits worden. In ons experiment hebben wij onderzoek gedaan naar het Zeemaneffect, en doormiddel van het Zeemaneffect de bohrmagneton bepaald (vergelijking 6). 1. Theorie Het Zeemaneffect is het effect dat als een atoom in een extern magneetveld wordt geplaatst dat de energieniveaus van het atoom zich opsplijten in meerdere energieniveaus. Het Zeemaneffect kent 3 regiems, het zwakke-veld Zeemaneffect, het sterke-veld Zeemaneffect en het regiem hier tussen. In ons experiment bestuderen wij alleen het zwakke-veld Zeeman effect waarvoor geld B ext B int. [1] Omdat de verschillende energieniveaus van het atoom opsplijten kan dit geobserveerd worden door naar de uitgezonden golflengte te kijken. De golflengte van het uitgezonden licht is afhankelijk van het verschil tussen de energielevels waarbij emissie plaats vind, volgens vergelijking 2. Vergelijking 2 volgt meteen uit de wet van Planck (vergelijking 1).[1, 2, 3] hν = W 1 W 2 (1) ν = W 1 W 2 h 1.1 het magnetisch moment van een elektron Doordat het elektron om de kern van een atoom cirkelt ontstaat er een stroomkring. Deze stroomkring zal reageren op de aanwezigheid van een extern magneetveld. Om het magnetische moment van een elektron te berekenen gebruiken we vergelijking 3.[2] µ = ia = ida (3) Met vergelijking 3 als beginpunt kan vergelijking 4 afgeleid worden. Dit doen we door eerst da te vervangen door 1 2 rds, de formule voor het oppervlakte van een driehoek ( voor (2)

2 Het Zeemaneffect 2/8 verduideling zie figuur 1). Hierna wordt de definitie van stroom gebruikt om de vergelijking verder om te schrijven (i dq ds dt ). Waarna de termen worden herordend en dt wordt herschreven als v en p = m e v wordt gebruikt. Hierna wordt gebruik gemaakt van het feit dat r p = L en dat integreren over alle lading de lading van het elektron oplevert. Dit levert de grote van het magnetische moment van elektron op, omdat het magnetische moment in de zelfde richting als L staat komen we uit op de laatste uitdrukking. [2, 3] µ l = e L (4) Proof. µ l = ida = i 1 2 rds dq 1 = dt 2 rds = dq 1 2 r ds dt = 1 rpdq = 1 L dq = e L µ l = e L tevens ook de kleinst mogelijke waarde van het magnetische dipool moment van een elektron, veroorzaakt door het impulsmoment van een elektron.[2, 3] µ z = e hm L = µ B m L (5) µ B = e h = JT 1 (6) Naast vergelijking 4, heeft het elektron ook een magnetisch moment door de spin van een elektron, deze is gegeven door vergelijking 7, waarbij m e de massa van het electron is, g s de polarisatie en s e spin vector. Het combineren van deze vergelijking en vergelijking 4 levert het totale magnetisch moment van het elektron gegeven in vergelijking 8.[2] µ s = e g s s (7) uit experimenten blijkt dat g s 2, wat in overeenstemming is met de waarden die verwacht wordt volgens kwantum elektrodynamica. [2, 3] µ = e ( L + g s s) (8) 1.2 De potentiële energie Om vervolgens de potentiële energie van het magnetisch moment van een atoom te bepalen kan gebruik worden gemaakt van vergelijking 9, deze vergelijking reduceert tot vergelijking 10 wanneer het magneetveld alleen een z component heeft.[2] r r ds da V = µ B (9) V = µ z B (10) Figure 1. integratie oppervlakte Uit vergelijking 4 volgt vergelijking 5. Omdat de uitdrukking voor m L vaak voorkomt en constant is, wordt deze genoteerd als µ B, zie vergelijking 6. De Bohrmagneton is 1.3 Totale impulsmoment Een elektron heeft een baanimpulsmoment en een spin impulsmoment wat samen koppelt tot het totale impulsmoment. Het baanimpulsmoment gehoorzaamd de eigenwaarde vergelijkingen 11a en 11b, en het spin impulsmoment doet dat voor de vergelijkingen 11c en 11d. dit kopelt samen tot J, J loopt van L + S tot L S met integer stappen. De waarde van J 2 en J z kunnen bepaald worden doormiddel van de eigenwaarde functies weergeven in vergelijking 11e en 11f.[1, 2, 3]

3 Het Zeemaneffect 3/8 De eigenwaarde vergelijkingen: L 2 Ψ = h 2 L(L + 1) Ψ, L z Ψ = hm L Ψ, S 2 Ψ = h 2 S(S + 1) Ψ, S z Ψ = hm S Ψ, J 2 Ψ = h 2 J(J + 1) Ψ, J z Ψ = hm J Ψ. (11a) (11b) (11c) (11d) (11e) (11f) Impulsmoment van gesloten schillen Wanneer een schil gesloten is, is J nul, dit komt omdat het baanimpulsmoment en het spin impulsmoment allebei koppelen tot nul. Oftewel, S = L = 0. [2, 3] Meerdere elektronen Voor het bepalen van het baanimpulsmoment en het spin impulsmoment van een atoom met meerdere elektronen (zoals cadmium, de atoomsoort die wij gebruiken) maken we gebruik van LS-koppeling. de totale baanimpulsmoment kan dan berekent worden met vergelijking 12 en het totale spin impulsmoment kan berekent worden met vergelijking 13. Wanneer deze LS-koppeling wordt toegepast op een atoom met 2 elektronen, zoals in het uit te voeren experiment wordt gedaan. Volgt uit vergelijking 13 dat S = 0,1. Dit betekent dat er sprake is van een singlet toestand met S = 0, dus J = L en een triplet toestand waarvoor geldt S = 1 en dus J = L 1,L,L+1. [2, 3] L = l 1 l 2,...,l 1 + l 2 (12) Figure 2. De precessie van L en S om J [3] verwachtingswaarde is hiervan gelijk aan nul. Dit betekent dat we alleen geinteresseerd zijn in de componenten parallel met de J vector, van respectievelijk S en L.[2] S = s 1 s 2,...,s 1 + s 2 (13) l z j( j + 1) + l(l + 1) s(s + 1) j z (16) J = L S,...,L + S (14) 1.4 Het Zeemaneffect Met behulp van vergelijking 9 en substitutie van vergelijking 8, ontstaat vergelijking 15a. Als het magneetveld alleen een z-component heeft, volgt uit vergelijking 15a vergelijking 15b. V mag = e ( l + g s s) B = e B(l z + g s s z ) (15a) (15b) Als er sprake is van een zwak magneetveld kunnen we aannemen dat L en S snel om J bewegen, zoals weergeven in figuur 2. J roteert langzaam om het magneetveld. Dit betekent dat we kunnen aannemen dat de componenten van L en S die loodrecht op J staan over tijd elkaar opheffen, de s z j( j + 1) l(l + 1) + s(s + 1) j z (17) Het combineren van vergelijking 15b, 16 en 17 levert vergelijking 18 op. Deze vergelijking reduceert tot vergelijking 19 met behulp van een handige definitie, de zogenaamde g-factor van Landé.[2] V mag = ( j( j + 1) + l(l + 1) s(s + 1) + g s j( j + 1) l(l + 1) + s(s + 1) ) e B j z (18) e V mag = g j Bm j h (19)

4 Het Zeemaneffect 4/8 j( j + 1) + l(l + 1) s(s + 1) g j = + j( j + 1) l(l + 1) + s(s + 1) g s j( j + 1) l(l + 1) + s(s + 1) = 1 + (20) (21) Uit vergelijking 19 volgt vervolgens vergelijking 22 omdat de gekoppelde toestanden eigenfuncties van de operator j z zijn. vergelijking 22 geeft het verschil tussen het energieniveau zonder magnetisch veld en die met magnetisch veld.[2] Figure 3. In dit figuur zijn de verschillende energieniveaus van de 1 D 2 en 1 P 1 weergeven en de transities die bij de rode Cadmiumlijn horen (Energie is verticaal en niet op schaal). E = g j µ B Bm (22) 1.5 Selectie regels van emissie Als licht uitgezonden wordt loodrecht op een magneetveld geld het volgende: Er is circulaire polarisatie wanneer m = ±1. Er is lineare polarisatie wanneer m = 0 (m 0 en J = 0). Verder geld voor beide gevallen dat L = ±1.[2, 3] 1.6 Spectroscopische notatie Voor het weergeven van energie niveau s wordt de spectroscopische notatie gebruikt. Deze notatie wordt weergeven zoals in vergelijking 23 is weergeven, voor S wordt het spin impulsmoment ingevoerd, voor L wordt het baanimpulsmoment ingevoerd (dus L = 0,1,2,3,4,... L = S,P,D,F,G,...) en voor J wordt de desbetreffende totale impulsmoment ingevoerd.[2, 3] Table 1. Kwantum getallen van de rode Cadmiumlijn 1 D 2 1 P 1 L = 2 L = 1 J = 2 J = 1 S = 0 S = 0 g j = 1 g j = 1 Deze energie toestanden zijn verdeeld volgens vergelijking 24, waarbij E gegeven is door vergelijking 25 en E 0,r de grondtoestand voor de rode Cadmiulijn is. Deze verdeling van de energieniveaus is weergegeven in figuur 3, waarbij ook duidelijk opvalt dat elke transitie waarbij een bepaalde m L geldt, dezelfde energie heeft als een andere transitie met een zelfde m L. Dit betekent dat er drie lijnen ontstaan onder de aanwezigheid van een magnetisch veld. E = E 0,r + n E, n = 0,±1 (24) 2S+1 L J (23) 1.7 De 2 Cadmiumlijnen Bij ons experiment meten we het Zeemaneffect bij de 2 meest intense Cadmiumlijnen. De rode Cadmiumlijn waarbij de volgende overgang plaats vind: 1 D 2 1 P 1 en de groene Cadmiumlijn waarbij de volgende overgang plaats vind: 3 S 1 3 P 2. In de volgende 2 kopjes zullen we deze 2 lijnen allebij langsgaan en specifiek het Zeemaneffect uitrekenen De rode Cadmiumlijn Als we naar de energieniveaus kijken die bij de rode Cadmiumlijn aanwezig zijn, kunnen we door middel van de spectroscopische notatie, tabel 1 maken. Hierbij hebben we g j uitgerekend doormiddel van vergelijking 21. Uit de waarde van g j van de verschillende energie niveaus van de Cadmiumlijn, welke allebei 1 zijn, volgt dat de energieniveaus lineair zijn verdeeld ten opzichte van m L, in andere woorden elke m L heeft een andere energie en hierdoor zijn er drie energie toestanden. E = µ B B (25) De groene Cadmiumlijn Als we naar de transitie kijken van de groene Cadmiumlijn kunnen we net zo als bij de rode Cadmiumlijn een tabel maken van de kwantumnummers, zie tabel 2 voor de quantumnummers van de groene Cadmiumlijn. Omdat de g j waardes van de verschillende energie niveaus niet dezelfde waarde hebben betekent dit dat er niet 3 maar 9 transities met een verschillende energie ontstaan. Table 2. Kwantum getallen van de groene Cadmiumlijn 1 D 2 1 P 1 L = 0 L = 1 J = 1 J = 2 S = 1 S = 1 g j = 2 g j = 3 2 De 9 energie toestanden die ontstaan kunnen gemakelijk uitgerekend worden doormiddel van simpele algebra waaruit

5 Het Zeemaneffect 5/8 vergelijking 28a is h i het gemiddelde van de oneven termen van. Dit omdat je anders alleen het eerste en laatste straal zou meenemen. De termen worden bepaald door middel van vergelijking 28b. Verder is de t in vergelijking 28a de afstand van de interferentieplaten van de gebruikte inferometer. [3] ν ab = hδab i 2th i (28a) kij = (R2jk R2ik ), (i j N) δikj = (R2k j R2ki ), (k N) (28b) (28c) Als we vervolgens de theorie van het Zeemaneffect er bij pakken kunnen we triviaal afleiden dat vergelijking 29 geldt, en kunnen we deze vergelijking gebruiken om de Bohrmagneton te bepalen. Het zeeman.m programma doet dit voor ons. Figure 4. In dit figuur zijn de verschillende energieniveaus van de 3 S1 en 3 P2 weergeven en de transities die bij de groene Cadmiumlijn horen (Energie is verticaal en niet op schaal). volgt dat er 9 energie niveaus zijn die weergeven zijn door vergelijking 26, waarbij E wordt gegeven door vergelijking 25 en E0,g de grondtoestand is van de groene Cadmiumlijn. ν = µb (mi gi m f g f ) hc (29) 2. De opstelling 1 E = E0,g + n E, n = 0, ±1, ±2, ±3, ±4 (26) 2 De verschillende waardes van de energie zijn op te verdelen in 3 catogarie n. de 3 hoge waardes, de 3 lage waardes en de 3 waardes daartussen. De 3 hoge waardes horen bij ml = 1, waarbij een grotere afstand wordt afgelegd in de energie ruimte. De 3 lage waardes horen bij ml = 1 waarbij de overgang een kortere afstand aflegd in de energie ruimte en hierdoor een lagere energie heeft. Figure 5. Waarnemings gedeelte van de opstelling Omdat 9 lijnen moeilijk te meten zijn, worden 6 lijnen geblokkeerd. Dit wordt gedaan door middel van een polarisatie filter die cirkel gepolariseerd licht niet doorlaat, dit betekent dat alleen de lijnen overblijven waarvoor geldt dat m = 0, in andere woorden vergelijking 26 reduceert tot vergelijking E = E0,g + n E, n = 0, ±1 (27) 2 Wat dan direct uit vergelijking 27 opvalt als we deze vergelijking met vergelijking 24, is dat het Zeemaneffect bij de rode Cadmiumlijn 2 keer zo sterk is als het Zeemaneffect bij de groene Cadmiumlijn. Dit geldt alleen voor de groene Cadmiumlijnen die geobserveerd worden. 1.8 Square array methode Voor het bepalen van het verschil in golfgetal (vergelijking 28a) wordt gebruikt gemaakt van de square array methode. In Voor de proef maakten we gebruik van de volgende onderdelen: Een Fabry-Perot interferometer 2 filters(groen met polarisatie en rood) DSLR camera Gasontlading lamp Lens 2 magneet spoelen Deze onderdelen waren zoals weergeven in figuur 5 en 6 gepositioneerd voor optimaal gebruik. In figuur 5 is 1 de plaats van de DLSR camera en staat op plaats 2 de Fabry-Perot interferometer. Aan de andere kant van de wand, weergeven in figuur 6. Hier is 3 de lens die gebruikt is, 4 de magneetspoelen voor het opwekken van het magnetische veld dat zorgt voor het zeeman effect en 5 is de plaats waar de lamp zich bevind.

6 Het Zeemaneffect 6/8 Figure 6. Lamp met 2 magneet spoelen 3. Results Met behulp van de interferometer werd er een interferentiepatroon gevormd. Voor het rode licht hebben we het magneetveld gevarieerd van 5 tot 10 kg en het groene licht van 7.5 tot 13 kg. Hiervan hebben we vervolgens voor beide kleuren 12 tot 14 foto s van genomen om te analyseren. Figure kg, rode Cadmiumlijn y = ax + b. Wij hebben gekozen voor de functie y = ax + b omdat er bij sprake is van een systematische fout in het afstellen van de spiegels van de interferometer. Hier moet dus rekening mee worden gehouden en kan de fit met de functie van y = ax niet worden gebruikt als een betrouwbare fit. Het Bohrmagneton dat het programma vervolgens gaf voor de rode en groene lijnen zijn de waardes weergeven in 30a en 30b Figure 9. Energie tegen magneetveld Figure kg, groene Cadmiumlijn Nadat we de foto s hadden genomen gingen we deze analyseren met behulp van het programma photoshop. Hiermee konden we nauwkeurig de radius bepalen van de ringen(zie figuur 1 en 2) door in het programma opties zoals het varie ren van de helderheid en contrast te gebruiken. Nadat we de waardes van de radius hadden bepaald(deze zijn in de appendix te vinden) hebben we deze in het programma zeeman.m ingevuld. Dit programma berekende met behulp van de door ons ingevoerde gegevens de Bohrmagneton van zowel de rode als de groene lijn uit en combineert deze dan. µb,(rood) = ± JT 1 (30a) 23 (30b) µb,(groen) = ± 1 10 JT 1 De beide lijnen gecombineerd gaf een waarde voor het Bohr-magneton weergeven in vergelijking 31. µb,(beide) = (9.1 ± 1.4) JT 1 (31) Deze waarde is bepaald door de helling van de functie te vinden. Een verdere fouten analyse is niet nodig want het Het programma bepaalt met behulp van de kleinste kwadraten programma zeeman.m heeft dit al voor ons uitgerekend. De methode een fit door de waardes met de functie y = ax en fouten die het programma uitrekent zijn statistische fouten,

7 Het Zeemaneffect 7/8 dus fouten die in de meetwaarden zitten. Hierbij wordt er dus geen rekening gehouden met de fout in de interferometer en de fout in de waarde van het magnetische veld B. 4. Conclusie Het doel van de proef was het bepalen van de Borhmagneton, dit resultaat was verkregen door middel van het bepalen van stralen van de verschillende ringnummers van het interferentiepatroon. Met behulp van het matlab-programma zeeman.m werd door middel van de kleinste kwadraten methode de Bohrmagneton bepaald. Wij komen tot de conclusie dat de Bohrmagneton gelijk is aan (9.1 ± 1.4) JT Discussie De bohrmagneton waar de waarde van is weergeven in vergelijking 6, valt binnen de fout grensen van onze meting. Echter hebben we in onze meting een relatief grote fout. Deze fout kan verkleint worden door meer metingen te doen met verschillende atoomsoorten en verschillende energie overgangen. Meer metingen doen op de Cadmium lijnen die wij hebben bestudeert is mogelijk maar dan moet wel gebruik worden gemaakt van een betere camera. Wij liepen tegen het feit aan dat de camera kleine verschillen niet kon vastleggen die met het blote oog wel op te merken waren. 6. Appendix In tabel 3 en 4 zijn de geobserveerde waarden weergeven. Verder vind je ook in de appendix het aangepaste zeeman.m programma, verder vind je ook een vergrote versie van figuur 9 References [1] D. J. Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics. Pearson. [2] J. C. Morrison. Modern Physics for Scientists and Engineers. Elsevier, Inc. [3] RUG. Het Zeemaneffect, September Table 3. De rode ringen (R (in px)) Ring Ring Ring Ring

8 Table 4. De rode ringen (R (in px)) Ring Ring Ring Ring Het Zeemaneffect 8/8