Afstanden in de sterrenkunde

Transcriptie

1 Afstanden in de sterrenkunde Inleiding. In de sterrenkunde bestaat een fundamenteel probleem; we kunnen misschien wel heel precies waarnemen waar een object aan de hemel staat, maar hoe kunnen we achterhalen hoe ver weg het staat? Daar gaat dit practicum over. Jullie gaan zelf aan de slag om te weten te komen hoe groot de aarde is (deel A), wat de afstand tot de maan is (deel B), de afstand tot de zon (deel C) en de sterren (deel D) en uiteindelijk, m.b.v. roodverschuiving, de afstand tot sterrenstelsels (deel E). Dit zijn goede voorbeelden om te begrijpen hoe sterrenkundigen met een combinatie van logische redeneringen en de natuurwetten proberen te achterhalen hoe het heelal in elkaar zit! Deel A: de grootte van de aarde De oude Grieken hebben al de eerste metingen aan de omvang van de aarde gedaan (ze wisten al dat die rond was). Eratosthenes (geboren ca. 276 v. Chr.!) kwam tot een omtrekmeting zeer dicht bij de waarde zoals wij die nu kennen. We gaan de berekening van Eratosthenes nu herhalen. Eratosthenes had gehoord dat in het begin van de zomer (nu 2 juni), in de Egyptische stad Syene de zon precies recht boven je hoofd staat (in het zgn. zenit). Het zonlicht valt dan namelijk loodrecht in een diepe put. Hijzelf werkte in de beroemde bibliotheek van Alexandrië. Wanneer je nu meet hoe hoog de zon daar aan de hemel komt, heb je bepaald wat het verschil in breedtegraad tussen Alexandrië en Syene is. Op diezelfde dag is de minimale schaduw van de toren in Alexandrië 6 meter lang, terwijl de toren 50 meter hoog is. (A.) Wat is nu de hoek θ, het verschil in breedtegraad tussen Alexandrië en Syene? Als je goed naar de illustratie hiernaast kijkt, kun je een simpele formule afleiden die de totale omtrek van de Aarde geeft, aannemende dat deze twee steden precies noord-zuid van elkaar liggen; (A.2) Geef deze formule. Zonneschijn Uit verhalen van kamelendrijvers blijkt dat Eratosthenes voor de afstand Alexandrië-Syene 5000 stadia aanneemt. (A.3) Hoeveel stadia is de omtrek van de Aarde? Nu willen we natuurlijk de omtrek van de Aarde in kilometers hebben. Hiervoor moet je dus weten hoelang stadium is. Dit is waarschijnlijk de lengte van een atletiekbaan in het oude Griekenland zo n 85 meter. Wat is volgens dus Eratosthenes (A.4) de omtrek van de aarde in km? (A.5) Hoe goed komt dit overeen met de moderne waarde? (A.6) Waardoor zou zijn waarde kunnen afwijken (wat voor aannames hebben we gemaakt)? hoogte toren H schaduw θ d toren in Alexandrië afstand tot Syene D θ put in Syene Opmerking: Bedenk dat meer dan 500 jaar later Columbus dacht dat de aarde veel kleiner was, waardoor hij dacht dat hij via het westen sneller naar India kon varen. De ambtenaren aan het Spaanse hof hadden dus gelijk toen ze weigerden Columbus plannen te financieren! straal van de aarde R centrum aarde Figure : De meting van de omtrek van de aarde door Eratosthenes.

2 B de afstand tot de maan 2 Figure 2: Gedeeltelijke maansverduistering. c Anthony Ayiomamitis. Deel B: de afstand tot de maan Nu de oude Grieken de grootte van de aarde hadden bepaald, waren er verschillende methodes mogelijk om de afstand tot de maan te schatten. Aristarchus (ca. 30 v. Chr. 230 v. Chr.) had hier een belangrijk aandeel in. De meest elegante methode is misschien wel die met behulp van een maansverduistering (figuur 2). (B.) Wat is een maansverduistering? (B.2) Hoe kunnen we uit waarnemingen van maansverduisteringen afleiden dat de aarde bolvormig is? (Hint: de schaduw van de aarde op de maan is altijd rond.) De aarde heeft een schaduwkegel achter zich (figuren 3 en 4), waar soms de maan achter schuil gaat. Hierdoor valt er geen zonlicht op de maan en wordt deze verduisterd. Dit staat beschreven in de figuur hieronder. De oude Grieken konden al zien dat de zon een /2 graad aan de hemel beslaat (dit is gelijk aan hoek α zie figuur 3). (B.3) Hoe lang is de aardschaduwkegel (de lengte van punt A naar punt C), gemeten in aarddiameters? Op de foto in figuur 2 zie je goed hoe de maan de aardschaduwkegel in- en uitgaat (zie ook figuur 4). Maak een schatting van hoeveel groter de diameter van het grondvlak van die kegel is t.o.v. de maan. Dit noemen we even de factor K. We weten ook dat de schijnbare diameter van de maan even groot is als die van de zon (denk aan een zonsverduistering!). Dus, op de figuur is hoek α gelijk aan hoek β. Dit betekent dat de afstand AB, K keer groter is dan de afstand BC. Dus afstand AC = (K + )BC. (B.4) Hoe groot is dan de afstand aarde maan in aarddiameters? (B.5) En in kilometers? (B.6) Hoeveel wijkt dit af van de werkelijke waarde? (B.7) Wat is de straal van de maan? Figure 3: Schematische weergave van de schaduwkegel van de aarde tijdens een maansverduistering.

3 C de afstand tot de zon 3 Diameter maan Diameter aardschaduw Aardschaduwkegel Aarde Figure 4: Schematische weergave van maansverduistering. De maan treedt net in de schaduwkegel van de aarde. Deel C: de afstand tot de zon Uiteraard wilden de oude Grieken ook de afstand tot de zon meten, maar dit is ze niet gelukt. Uit metingen dachten ze af te leiden dat de zon zo n 20 verder weg stond dan de maan (een zware onderschatting). Daaruit konden ze wel al afleiden dat de zon veel groter is dan de aarde. Pas in de 7de eeuw was er een methode ontwikkeld om de afstand tot de zon te bepalen, bedacht door de beroemde Britse astronoom Edmund Halley. Eerst de wetten van Kepler en daarna die van Newton hadden op dat moment tot een grote doorbraak in de sterrenkunde geleid. Op dat moment werd er begrepen dat er een universele kracht bestond, de zwaartekracht, welke ervoor zorgt dat de planeten om de zon draaien, dat de maan om de aarde draait, en dat een appel van de boom valt. De relatieve afstanden van alle hemellichamen (de zon en de planeten) konden nauwkeurig worden bepaald en worden uitgedrukt in de Astronomische Eenheid (Astronomical Unit AU), de afstand van de aarde tot de zon. Nu moest alleen nog die astronomische eenheid worden bepaald! De methode van Halley: de overgangen van Venus Nauwkeurige berekeningen aan de baan van Venus gaven aan dat ongeveer eens in de 20 jaar Venus precies voor de zon langs schuift (en dan 2 achter elkaar, met 8 jaar tussenpauze). In 2004 en 202 waren er nog Venusovergangen te bezichtigen. Alhoewel er gedurende het leven van Sir Edmund geen Venusovergang te zien was, heeft hij een elegante methode bedacht om hiermee de afstand tot Venus, en zo alle afstanden in ons zonnestelsel, vast te leggen. Om dit uit te kunnen voeren is het cruciaal om waarnemingen van dezelfde overgangen op verschillende plaatsen op de aardbol te doen. Voor de eerste voorspelde Venusovergangen na Halley s dood, in 76 en 769, werden verschillende expedities uitgevoerd. Misschien wel de beroemdste is die van Kapitein Cook naar het eiland van Tahiti waar ze na een reis van 9 maanden op 3 juni 769 Venus voor de zon langs zagen schuiven (verder had hij als geheime opdracht om het zuid-continent te vinden).

4 C de afstand tot de zon 4 Baan van de aarde d t Baan van venus t 2 Figure 5: Schematische illustratie van de methode van Halley voor het bepalen van de afstand van de zon. We gaan nu de methode van Halley (figuur 5) nabootsen. Halley s methode heeft twee waarnemingen nodig op verschillende plekken op de aarde die de tijdsduur van de overgang meten. We nemen het volgende aan: een meting wordt door Kapitein Cook op Tahiti gedaan en een andere in Leiden (eigenlijk kunnen we dit niet vanuit Tahiti en Leiden doen waarom niet? maar we houden het zo eenvoudig mogelijk). In Tahiti gaat Venus precies voor het centrum van de zon langs en duurt de overgang 7 uur, 50 minuten en 20 seconden. Tahiti bevindt zich op breedtegraad 7 52 m Zuid. Wij blijven in Leiden (breedtegraad m Noord) en nemen waar dat de overgang 7 uur, 50 minuten en 2 seconden duurt. Venus gaat voor beide waarnemingen even snel voor de zon langs, dus de tijdsduur is een maat voor de afstand die Venus aflegt over de zonneschijf en dus een maat voor de lengte d. Met de wetten van Kepler en Newton weten we dat als de afstand aarde-zon AU is, dat Venus op AU (a ) afstand van de zon staat. En dat gedurende de overgang de afstand aarde-venus = AU = AU (a 2 ). Wat we eerst moeten berekenen is hoever Leiden boven de Lijn zon-venus-tahiti ligt. (C.) Wat is dan afstand d? De hoekgrootte van de zon vanaf de aarde is 0.5 graden. We hebben nu het verschil in overgangstijdsduur nodig om te berekenen hoe groot d is als fractie van de straal van de zon. Hint: lees de alinea onder de figuur nog eens goed door en gebruik de stelling van Pythagoras! (C.2) Hoe groot is d/r zon? (C.3) En hoeveel is dan AU?

5 Deel D: de afstand tot de sterren D de afstand tot de sterren 5 De zwaartekrachtswet van Newton maakt het logisch dat de aarde om de zon draait en niet andersom. Enig idee hoe we dit met moderne waarnemingen zouden kunnen controleren? We kunnen dan de snelheid van de aarde rond de zon bepalen, (D.) verifieer dat dit ongeveer 30 km/s is. Figure 6: Schematische weergave van de methode om afstanden tot sterren te bepalen met behulp van de parallax. Omdat de aarde rond de zon draait, kunnen we in een soort stereo naar de sterren kijken. Dat wil zeggen, omdat onze waarnemingspositie gedurende het jaar verandert (met 2 AU), zullen de sterposities aan de hemel ook een beetje veranderen. Ze zullen een soort cirkelbeweging beschrijven. Dit noemen we de parallax van een ster (zie figuur 6). Hiermee wordt een belangrijke afstandsmaat binnen de sterrenkunde geïntroduceerd: de parsec. parsec is de afstand tot een ster die een parallax van boogseconde (/3600 graad) heeft (d.w.z., een cirkel aan de hemel beschrijft met een straal van boogseconde). Nu we de afstand aarde-zon weten, (D.2) kun je bepalen wat parsec in kilometers is? De helderste ster aan de hemel, Sirius, heeft een parallax van 0.38 boogseconde. (D.3) Wat is haar afstand in parsec? (D.4) En in km? (D.5) En die van Arcturus, met een parallax van 0.09 boogseconde?

6 Deel E: de afstand tot andere sterrenstelsels E de afstand tot andere sterrenstelsels 6 Als een ster van ons vandaan beweegt, dan lijkt hij roder gekleurd te zijn dan hij in werkelijkheid is. De lichtgolven die van de ster naar ons toekomen, worden als het ware uitgerekt: de golflengte wordt dus langer, rood licht heeft een langere golflengte dan geel licht en de ster lijkt roder. We noemen dit effect roodverschuiving. Hetzelfde effect neem je waar als je een voorbij rijdende brandweerauto hoort. Eerst hoor je een hogere toon: de brandweerauto komt naar je toe en de geluidsgolven worden in elkaar gedrukt, met als effect een hogere toon. Als de brandweerauto je gepasseerd is, beweegt hij van je vandaan, de geluidsgolven worden uitgerekt en je hoort een lagere toon; het zogenaamde Doppler-effect. Figure 7: Illustratie van het Doppler-effect. In de tekening boven beweegt de ster van ons af en lijkt het licht roder. In de tekening onder beweegt de ster naar ons toe en lijkt het licht blauwer. De Amerikaanse astronoom Edwin Hubble ( ) bestudeerde in de jaren 20 van de vorige eeuw sterrenstelsels buiten onze eigen Melkweg. Door naar de helderheid te kijken kon hij schatten hoe ver de sterrenstelsels van ons vandaan stonden en uit de roodverschuiving wist hij de snelheden te bepalen. Hubble merkte op dat bijna alle sterrenstelsels van ons vandaan bewegen. Bovendien nam hij waar dat, hoe verder een sterrenstelsel van ons vandaan is, des te hoger de snelheid ervan is. Dit legde hij vast in wat nu bekend staat als de Hubble-wet: H 0 = v D. () Hierin is v de snelheid van het sterrenstelsel, D de afstand van het sterrenstelsel tot de aarde en H 0 de zogenaamde Hubble-constante, die een waarde van ongeveer 70 km/s/mpc heeft ( Mpc = pc). De roodverschuiving z wordt dan gegeven door: z = v c, (2) met c de snelheid van het licht. De zogenaamde Virgo Cluster in het sterrenbeeld Maagd beweegt van ons vandaan met een gemiddelde snelheid van 260 km/s. (E.) Hoe ver is de Virgo Cluster van ons verwijderd, in parsec en in km? (E.2) En hoe ver van ons vandaan is de Coma Cluster, met een gemiddelde verwijderingssnelheid van 6930 km/s? (E.3) Wat zijn de (gemiddelde) roodverschuivingen van deze clusters?

7 E de afstand tot andere sterrenstelsels 7 Appendix: fysische grootheden (moderne waarden) Let op! Behalve de massa van de zon, de constante van Newton, en de lichtsnelheid, heb je deze grootheden niet nodig om de opgaven te maken! Grootheid Waarde Eenheden Omtrek aarde km Afstand maan km Straal maan m Straal zon m Astronomische eenheid m Parsec m Massa zon kg Constante van Newton G m 3 kg s 2 Lichtsnelheid in vacuum c m s