Lesbrief knapzak-cryptografiesysteem

Transcriptie

1 Lesbrief knapzak-cryptografiesysteem 1 Inleiding cryptografie Cryptografie gaat over het versleutelen (encrypten) van vertrouwelijke of geheime boodschappen. Als jij in WhatApp voor het eerst contact legt met iemand, krijg je de melding te zien: "Berichten en oproepen in deze chat zijn nu beveiligd met end-to-end encryptie". Als je doorklikt voor meer informatie, kom je op een internetpagina met uitleg over wat WhatsApp allemaal doet om er voor te zorgen dat jouw berichten veilig bij de ontvanger terechtkomen, zonder dat anderen mee kunnen lezen. Op deze pagina kun je verder doorklikken naar een document met technische details, maar dit wordt al snel erg ingewikkeld. Daarom gaan we in deze les kijken naar een eenvoudiger cryptografiesysteem, dat een aantal jaren geleden werd gebruikt: het knapzak-cryptografiesysteem. Doelen van deze les zijn: 1. Je leert een aantal basisbegrippen in de cryptografie kennen, kunt deze definiëren en op de juiste manier gebruiken. 2. Je beheerst de wiskundige principes waarop het knapzak-cryptografiesysteem is gebaseerd en leert daarbij gebruik maken van een online computer algebra system. 3. Je kunt met het knapzak-cryptosysteem een bericht versleutelen en ontcijferen en daarbij de benodigde wiskunde toepassen. 4. Je kunt een onderbouwd eigen standpunt innemen in de discussie over enerzijds de wenselijkheid van het beveiligen van persoonlijke berichten en anderzijds de noodzaak voor overheden om berichten van kwaadwillende personen te kunnen kraken. Deze discussie is op dit moment heel actueel in verband met een naderend referendum over de aftapwet (Nu.nl, 4 november 2017). De les is vooral gericht op zelfwerkzaamheid, interactie en discussie. Hier leer je het meest van. Lees de opdrachten goed, werk ze individueel uit en lever je uitwerking de volgende les in. Gebruik de lestijd goed, des te minder hoef je thuis te doen. Werk zorgvuldig, want het is belangrijk dat jouw boodschap veilig wordt versleuteld en ook op de juiste manier wordt ontcijferd. 2 Enkele basisbegrippen Het woord cryptografie stamt uit het Grieks en betekent letterlijk vertaald: "geheim schrijven" (Stienstra & Bakker, 2010, p. 4). Jouw boodschap wordt zodanig bewerkt, versleuteld, dat iemand die de boodschap onderschept er niets van begrijpt. Alleen de ontvanger is in staat om de versleutelde boodschap weer te ontsleutelen, dat is: ontcijferen met een afgesproken sleutel. Figuur 1 geeft de situatie weer. Alice wil een bericht aan Bob sturen. Maar zij wil niet dat Eve, die mee zit te luisteren, dit bericht kan lezen. Daarom besluit zij om haar boodschap te versleutelen. Figuur 1: Alice communiceert met Bob en Eve luistert mee. 1

2 Om met Bob te kunnen communiceren zonder dat Eve mee kan luisteren, moet Alice 3 dingen doen: 1. Met Bob afspreken welk systeem zij gaan gebruiken om hun boodschappen te versleutelen. 2. Bob laten weten welke geheime sleutel zij gaat gebruiken, zodat hij haar boodschappen kan ontcijferen. 3. Bob vragen welke geheime sleutel hij gaat gebruiken, zodat zij zijn boodschappen kan ontcijferen. Omdat Alice haar boodschap meestal via een openbaar netwerk zal gaan versturen (bv. internet), is het onmogelijk om het gekozen cryptografiesysteem geheim te houden. De enige mogelijkheid die dan nog overblijft, is om elkaar in het geheim te laten weten welke sleutels zij gaan gebruiken. Om dat voor elkaar te krijgen, kunnen zij het beste een date organiseren, waarbij zij elkaar stiekem hun geheime sleutels in het oor fluisteren. Maar ja, Alice wil niet eerst met iedereen gaan daten, voordat zij hen vertrouwelijke berichtjes kan gaan sturen. Er moet dus een slimmere oplossing zijn. Die oplossing is gevonden door te gaan werken met een zogenaamd asymmetrisch systeem. Hierbij wordt geen informatie over geheime sleutels uitgewisseld. Zowel Alice als Bob kiezen ieder een eigen geheime privésleutel. Hiermee maken zij een publieke sleutel die zij op internet publiceren. Als Alice nu een geheime boodschap aan Bob wil sturen, gebruikt zij de publieke sleutel van Bob om haar boodschap te versleutelen en stuurt de versleutelde tekst naar Bob. Eve ziet deze tekst wel langskomen, maar kan deze niet ontcijferen omdat zij daarvoor de geheime privésleutel van Bob nodig heeft. In figuur 2 is deze situatie uitgebeeld. Figuur 2: Asymmetrische cryptografie, waarbij geen geheime sleutels worden uitgewisseld. Soms weet Eve een slimme truc te bedenken waardoor zij toch achter de boodschap van Alice kan komen, zonder dat Alice en Bob dit weten of haar hier toestemming voor hebben gekregen. Dit stiekem achterhalen van de geheime boodschap noemen we kraken. Opdracht 1 In deze lesbrief komen belangrijke basisbegrippen voor die zijn onderstreept. Deze vind je in tabel 1 op de volgende bladzijde. Je moet deze begrippen kunnen definiëren: kort en duidelijk omschrijven. Maak tijdens de les aantekeningen, werk die na afloop thuis uit in tabel 1 en voeg die toe aan jouw verslag. 2

3 Tabel 1: belangrijke basisbegrippen Begrip Cryptografie Korte duidelijke omschrijving (definitie) Versleutelen (encrypten) Ontsleutelen, ontcijferen Asymmetrisch systeem Privésleutel Publieke sleutel Kraken Superstijgende rij Deler Priemgetal Samengesteld getal Relatief priem Modulorekenen Modulus m Binair coderen Multiplicatieve inverse 3

4 3 Het knapzak-systeem Dit knapzak-systeem is gebaseerd op het principe van het vullen van een rugzak, iets wat je dagelijks doet voordat je naar school gaat. Opdracht 2 Deze opdracht wordt klassikaal uitgevoerd. Vul na afloop tabel 2 in. a) Kies één rugzak en spreid de inhoud uit op een tafel. b) Weeg elk voorwerp afzonderlijk. Rond af op 10 gram nauwkeurig en noteer het gewicht. Als er twee voorwerpen zijn met hetzelfde gewicht, kies je er één en leg je de andere opzij. c) Leg de overgebleven voorwerpen op volgorde van gewicht. Noteer in tabel 2 de top 10 zwaarste voorwerpen met hun gewicht. d) Pak de rugzak weer netjes in. Tabel 2: Top 10 zwaarste voorwerpen in de rugzak Voorwerp Gewicht in gram Opdracht 3 Stel nu dat de eigenaar van deze rugzak 's ochtends vrij zou mogen kiezen welke voorwerpen hij in zijn rugzak doet. Is het dan mogelijk om uit de voorwerpen van tabel 2 twee subgroepjes samen te stellen die samen hetzelfde totaalgewicht opleveren? Het knapzak-systeem is er op gebaseerd dat, als er veel verschillende voorwerpen worden gebruikt, er ook heel veel verschillende manieren zijn om een rugzak samen te stellen met hetzelfde totaalgewicht. Eve kan nu uit het totaalgewicht niet meer achterhalen welke voorwerpen er in de rugzak zitten. Maar nu ontstaat er een probleem. Want ook de Bob kan op basis van het totaalgewicht niet meer nagaan welke voorwerpen Alice in de rugzak heeft gestopt. Dus ook hij kan straks de boodschap van Alice niet meer ontcijferen. Dat brengt ons op een punt om eens wat wiskunde in te gaan zetten. 4

5 4 Het knapzak-cryptografiesysteem Het knapzak-cryptografiesysteem is in 1978 geïntroduceerd door Ralph Merkle en Martin Hellman. In plaats van gewichten gaan we vanaf nu werken met gehele getallen. Het knapzak-cryptografiesysteem van Merkle en Hellman bestaat uit 8 stappen, die we één voor één gaan uitwerken aan de hand van een voorbeeld. Stap 1: Bob kiest een privésleutel b Bob gaat vanaf nu zijn knapzak vullen met een rijtje positieve gehele getallen, waarbij het eerstvolgende getal groter is dan de som van alle voorgaande. We noemen dit een superstijgende rij. We noteren zo'n superstijgende rij als b = b, b,..., b ). Deze rij van n getallen vormt de privésleutel ( 1 2 n van Bob, die houdt hij geheim en gaat hij straks gebruiken om een publieke sleutel mee te maken. Voorbeeld: Bob kiest als privésleutel b = (1, 3, 5, 10, 22). Dan bestaat deze superstijgende rij van Bob uit een verzameling van n = 5 getallen, waarbij b 1 1, b 3, b 5 enzovoort. 2 3 Opdracht 4 a) Ga na dat bij deze superstijgende rij inderdaad geldt dat ieder getal groter is dan de som van alle voorgaande. b) Bepaal de kleinst mogelijke superstijgende rij van 5 getallen. c) Maak zelf een superstijgende rij die begint met 4 en bestaat uit 6 getallen. Stap 2: Bob kiest een getal m dat past bij zijn privésleutel b Bob gaat een publieke sleutel samenstellen op basis van zijn privésleutel. Als eerste berekent hij het totaal van de getallen in de rij en kiest een getal m dat groter is dan dit totaal. In ons voorbeeld: = 41. Laten we er van uitgaan dat Bob m = 50 kiest. Stap 3: Bob kiest een priemgetal p dat past bij zijn privésleutel b en het getal m In de wiskunde spelen delers en priemgetallen een belangrijke rol. Een deler is een positief geheel getal dat na deling als rest 0 geeft. Zo is 2 een deler van 6, maar niet van 7. Een priemgetal is een positief geheel getal dat precies twee delers heeft, namelijk 1 en zichzelf. In deze les zullen we alleen priemgetallen onder de 20 gebruiken. Een samengesteld getal heeft meer dan twee delers. Opdracht 5 a) Bepaal wat de priemgetallen zijn onder de 20. b) Het getal 1 is volgens de definitie geen priemgetal. Waarom niet? c) Bepaal alle delers van 12. Bob's volgende stap is om een priemgetal te kiezen dat geen deler is van m. In ons voorbeeld zijn de priemgetallen 2 en 5 delers van m = 50. Dus kiest hij een ander priemgetal. Laten we ervan uitgaan dat Bob p = 7 kiest. 5

6 Als twee getallen alleen de deler 1 gemeenschappelijk hebben, noemen we die twee getallen relatief priem. In ons voorbeeld zijn 7 en 50 relatief priem. Opdracht 6 We hebben priemgetal 7 zo gekozen dat het geen deler is van 50. Licht toe dat dit voldoende is om te kunnen concluderen dat 7 relatief priem is met 50. Kun je hieruit een algemene conclusie trekken over wanneer p en m relatief priem zijn? Stap 4: Bob maakt een publieke sleutel d op basis van zijn privésleutel b en de getallen m en p Nu gaat Bob met zijn privésleutel een publieke sleutel maken, waarmee Alice haar boodschap kan versleutelen. Hij moet dat op zo'n manier doen dat zijn privésleutel niet te achterhalen is. Daarvoor maakt hij gebruik van klokrekenen. We weten dat 5 uur + 8 uur = 1 uur. Maar er geldt ook: 5 uur + 8 x 7 uur = 1 uur. Je ziet dat er verschillende mogelijkheden zijn om op 1 uur uit te komen. De heenweg is voor Bob heel snel en makkelijk uit te rekenen, maar het is voor Eve praktisch onmogelijk om de getallen terug te vinden die Bob gebruikt heeft om op deze uitkomst uit te komen. Behalve met een klok van 12 uur kunnen we ook rekenen met een klok van 24 of van 50 uur. In de wiskunde noemen we dit klokrekenen ook wel modulorekenen, waarbij het aantal stappen op de klok (12, 24 of 50) de modulus m is. In ons voorbeeld hebben wij gekozen voor modulus m = 50. We noteren dit met "mod 50". Opdracht 7 Bereken a) 6 7 (mod 50) b) 4 19 (mod 50) c) 7 33(mod 50) Figuur 3: Klokrekenen We gaan dit modulorekenen toepassen op de privésleutel van Bob b = (1, 3, 5, 10, 22). Ga na dat: (mod 50) (mod 50) (mod 50) (mod 50) (mod 50) De publieke sleutel van Bob wordt nu d = (7, 21, 35, 20, 4). In dit voorbeeld hebben we nu het volgende verzameld: privésleutel Bob b = (1, 3, 5, 10, 22) modulus m = 50 priemgetal p = 7 publieke sleutel d = (7, 21, 35, 20, 4). Bob publiceert zijn publieke sleutel en houdt de overige gegevens geheim. Die heeft hij straks nodig om de boodschap van Alice te ontcijferen. 6

7 Stap 5: Alice versleutelt haar boodschap x met de publieke sleutel van Bob Alice zet haar boodschap om in een rijtje met nullen en enen. We noemen dit binair coderen. Stel Alice wil de letter "W" aan Bob sturen. In tabel 3 hieronder is af te lezen dat dit de 23 e letter van het alfabet is. Tabel 3: volgnummers van de letters in het alfabet Letter A B C D E F G H I J K L M Volgnummer Letter N O P Q R S T U V W X Y Z Volgnummer Nu is 23 = = Dit levert binair op: x = (1, 0, 1, 1, 1). Als we deze boodschap versleutelen met de publieke sleutel van Bob d = (7, 21, 35, 20, 4) ontstaat Dus Alice verstuurt 66. Stap 6: Bob berekent q, de multiplicatieve inverse van p (mod m) Voor het ontsleutelen van de boodschap van Alice moeten we de vermenigvuldiging met p = 7 ongedaan maken. Omdat we rekenen modulo 50 kunnen we niet zomaar door 7 gaan delen. In plaats daarvan gaan we uitzoeken met welk getal we 7 moeten vermenigvuldigen om op 1 uit te komen modulus 50. Oftewel: we gaan de vergelijking 7q 1 (mod 50) proberen op te lossen. In vaktermen heet dit: de multiplicatieve inverse bepalen. We kunnen dit gaan doen door alle mogelijke waarden van q te gaan uitproberen, maar dat kost wel erg veel tijd. Dus roepen we de hulp in van planetcalc.com/3311. Opdracht 8 a) Ga met Planetcalc na dat de multiplicatieve inverse van 7 modulo 50 inderdaad 43 is. b) Laat met een berekening zien dat (mod 50). Stap 7: Bob ontsleutelt de boodschap van Alice met de multiplicatieve inverse We hebben in stap 4 gezien dat we de privésleutel van Bob hebben versleuteld door met p = 7 te vermenigvuldigen modulo 50. Zo ontstond de publieke sleutel van Bob, die Alice gebruikt heeft voor haar boodschap. We moeten dus de versleuteling die Bob heeft toegepast weer ongedaan maken om de boodschap van Alice te kunnen lezen. Dit doen we met behulp van de multiplicatieve inverse, want (mod 50). Deze twee vermenigvuldigingen samen zorgen ervoor dat de boodschap van Alice met 1 vermenigvuldigd wordt en dat we die weer kunnen lezen. Concreet betekent dit dat we de boodschap 66 van Alice gaan vermenigvuldigen met 43 modulo (mod 50). Het getal 38 is nu de ontsleutelde boodschap van Alice. Deze boodschap gaat Bob ontrafelen met zijn privésleutel. 7

8 Stap 8: Bob bepaalt de boodschap van Alice met zijn privésleutel Bob had als privésleutel de volgende superstijgende rij gekozen: b = (1, 3, 5, 10, 22). Hij gaat nu het getal 38 samenstellen uit de getallen in zijn geheime knapzak. Hij doet dit door de elementen uit zijn superstijgende rij van achter naar voren langs te gaan en steeds te kijken of hij dat getal van de boodschap af kan halen. Doordat ieder element groter is dan de som van alle voorgaande, kan dit ontrafelen maar op één manier. We laten dit zien aan de hand van de boodschap 38. Let op: dit keer gaan we gaan van achter naar voren! dus x 5 = 1. Er blijft over = dus x 4 = 1. Er blijft over = dus x 3 = 1. Er blijft over 6-5 = 1. 1 < 3 dus x 2 = dus x 1 = 1. De boodschap van Alice was dus x = ( x1, x2, x3, x4, x 5) = (1, 0, 1, 1, 1) We hebben gezien dat dit overeenkomt met = = 23. En volgens tabel 3 is de 23 e letter van het alfabet de 'W'. Dit was inderdaad de boodschap van Alice. Opdracht 9 Ga zorgvuldig na welke van de gegevens in tabel 4 openbaar zijn en welke privé. Vul bij Bob, Eve en Alice in: "ja" of "nee". Als je ergens bij Eve "ja" hebt ingevuld, motiveer dan waarom het volgens jou geen kwaad kan dat zij over deze informatie beschikt. Tabel 4 Dit gegeven is bekend bij: Gegeven In het voorbeeld Bob Eve Alice b privésleutel Bob (1, 3, 5, 10, 22) m Modulus 50 p Priemgetal 7 q multiplicatieve inverse 43 d publieke sleutel Bob (7, 21, 35, 20, 4) x binaire code boodschap Alice (1, 0, 1, 1, 1) versleutelde boodschap Alice 66 Opdracht 10 Voer het stappenplan met de 8 stappen opnieuw uit als steeds één gegeven verandert. Alle overige gegevens blijven gelijk aan die in het voorbeeld. a) Alice gaat niet de letter 'W' maar de letter 'O' versturen. Stap 1 blijft ongewijzigd: Bob kiest als privésleutel b = (1, 3, 5, 10, 22) Stap 2 blijft ongewijzigd: Bob kiest modulus m = 50. Stap 3 blijft ongewijzigd: Bob kiest priemgetal p = 7. Stap 4 blijft ongewijzigd: De publieke sleutel van Bob wordt d = (7, 21, 35, 20, 4). Stap 5: de boodschap van Alice wordt Stap 6: Stap 7: Stap 8: 8

9 b) Bob kiest priemgetal p = 11 i.p.v. p = 7. Stap 1 blijft ongewijzigd: Bob kiest als privésleutel b = (1, 3, 5, 10, 22) Stap 2 blijft ongewijzigd: kiest modulus m = 50. Stap 3 Stap 4: Stap 5: Stap 6: Stap 7: Stap 8: c) Bob kiest modulus m = 60 i.p.v. m = 50. Stap 1 blijft ongewijzigd: Bob kiest als privésleutel b = (1, 3, 5, 10, 22) Stap 2: Stap 3 blijft ongewijzigd: Bob kiest priemgetal p = 7. Stap 4: Stap 5: Stap 6: Stap 7: Stap 8: d) Bob kiest als privésleutel b = {2, 3, 6, 12, 24}. Stap 1: Stap 2 blijft ongewijzigd: Bob kiest modulus m = 50. Stap 3 blijft ongewijzigd: Bob kiest priemgetal p = 7. Stap 4: Stap 5: Stap 6: Stap 7: Stap 8: 9

10 5 Bonus: het kraken van het knapzak-cryptografiesysteem Merkle had in 1978 zo'n vertrouwen in het knapzak-cryptografiesysteem dat hij een bedrag uitloofde van $100 voor degene die in staat was om het systeem te kraken. Dit lukte Adi Shamir al in Daarna heeft Merkle het knapzak-cryptografiesysteem verbeterd en een beloning van $1000 uitgeloofd. Helaas bleek Ernie Brickel in 1984 in staat om ook dit verbeterde systeem te kraken. Vervolgens is het knapzak-cryptografiesysteem nog wel verder verbeterd, maar de reputatie was al geschaad. Het wordt niet meer als veilig beschouwd en zelden meer gebruikt (El Aoufi, 2006, p. 86). De aanval van Shamir was eigenlijk verrassend eenvoudig (Lubbe, 1998). Zo eenvoudig dat we dit hier met een voorbeeld kunnen laten zien. Stel dat Alice dezelfde boodschap aan een groot aantal anderen gaat sturen. Dan maakt zij daarbij gebruik van de publieke sleutel b van iedere afzonderlijke ontvanger. Als het aantal ontvangers groter is dan n, het aantal getallen in b, dan is de verzonden boodschap eenvoudig te achterhalen. We laten dit met een voorbeeld zien. Stel dat Alice dezelfde boodschap aan 2 ontvangers (Bob1 en Bob2) verstuurt en daarbij gebruik maakt van hun publieke sleutels die uit slechts 2 getallen bestaat. Stel dat Alice aan beiden de letter "C" verstuurt, de derde letter uit het alfabet. 1 0 Nu is 3 = = Dit levert binair op: x = {1, 1}. Bob1 Bob2 Privésleutel a = {11, 13} Privésleutel a = {21, 23} Modulus m = 25 Modulus m = 50 Priemgetal p = 7 Priemgetal p = 11 Publieke sleutel b = {11 7(mod25), 13 7(mod25)} = {2, 16} Publieke sleutel b = {21 11(mod50), 23 11(mod50)} = {31, 3} Boodschap Alice aan Bob1 = = 18. Boodschap Alice aan Bob2 = = 34. Opdracht 11 a) Leg uit dat dit het volgende stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden oplevert: x1 2 x x1 31 x b) Los dit stelsel op. c) In het algemeen is een stelsel vergelijkingen van n vergelijkingen met n onbekenden goed oplosbaar, eventueel met de hulp van een computer. Welke beperking legt deze wetenschap op aan het gebruik van de eerste versie van het knapzak-cryptografiesysteem, met andere woorden: wanneer is het versturen van een boodschap nog wel veilig en wanneer niet meer? Opdracht 12 Ben je het met onderstaande stellingen eens? Motiveer je antwoord in minimaal 10 zinnen. 1. Iedereen heeft het recht op geheimhouding van gegevens die hij via internet verstuurt. Daarbij mag iemand gebruik maken van encryptie. 2. Politie en justitie hebben de taak om de veiligheid te waarborgen en moeten dus het recht krijgen om geëncrypte gegevens (van criminelen) te kunnen kraken. 10

11 6 Het knapzak-cryptografiesysteem toegepast Het wordt tijd om het knapzak-cryptografiesysteem in de praktijk uit te testen. Deze opdracht wordt weer klassikaal uitgevoerd. Wacht dus op het startsein van de docent. In het voorbeeld in kan 4 Eve de boodschap van Alice eenvoudig achterhalen: 66 = Zo kan zij direct zien wat de boodschap van Alice is geweest: x = (1, 0, 1, 1, 1). In de praktijk worden echter veel grotere publieke sleutels gebruikt. Dan kan volgens het knapzak-systeem de versleutelde boodschap op velerlei manieren zijn samengesteld uit de getallen in de publieke sleutel en wordt het voor Eve onmogelijk om de boodschap van Alice te achterhalen. We gaan nu het knapzak-cryptografiesysteem testen door twee letters te versturen met een binaire code van 2 x 5 = 10 cijfers. In de tabel 5 vind je de binaire 5-cijferige codes van alle letters uit het alfabet. Dit betekent bijvoorbeeld dat de boodschap "OK" binair vertaald wordt naar " ". Opdracht 13 a) Jullie team is nu Bob. Kies een superstijgende rij van 10 getallen (= jouw privésleutel b), een getal m dat groter is dan de som van deze 10 getallen en een priemgetal p die geen deler is van m. Bereken hiermee jullie publieke sleutel d. b) Vraag de docent (Alice) om twee willekeurige letters te kiezen, hun binaire codes (tabel 5) achter elkaar te plakken tot een binaire boodschap van 10 cijfers en deze te versleutelen met jullie publieke sleutel en de versleutelde boodschap aan jullie geven. c) Leg de versleutelde boodschap voor aan een ander team (Eve) met de uitdaging om de versleutelde boodschap te kraken. Zij mogen daarbij gebruik maken van jullie publieke sleutel. d) Probeer ondertussen ook zelf de versleutelde boodschap van Alice te ontcijferen met behulp van jullie privésleutel. e) Beschrijf in je verslag de 8 stappen uit 4 en benoem opvallende zaken: wat ging goed, wat vond je lastig? Is het Eve gelukt om de boodschap te kraken? f) Beschrijf ook in je verslag of het jullie is gelukt om de boodschap van een ander team te kraken. Zo nee, waardoor niet? Zo ja, wat is een zwakke plek van het knapzak-cryptografiesysteem en wat zou er gedaan kunnen worden om dit systeem veiliger te maken? Tabel 5: binaire codes van de letters in het alfabet Letter nr binair letter nr binair letter nr binair A J S B K T C L U D M V E N W F O X G P Y H Q Z I R

12 Beoordelingsmodel Beoordelingsaspect Onvoldoende (= cijfer 4) Voldoende (= cijfer 6) Goed (= cijfer 8) Weging Inzet en samenwerking Is in de les niet met de opdrachten van Werkt alleen aan de opdrachten. Werkt samen met anderen aan de 12,5% de lesbrief bezig / stoort anderen bij het werken aan hun opdracht. opdrachten, overlegt, vraagt en biedt hulp. Planning Levert het verslag later dan de afgesproken datum en tijd in. Levert het verslag op de afgesproken datum en tijd in. 12,5% Netheid van het verslag Uitwerking van de opgaven Samengeraapt zooitje. Rammelt van de taalfouten. De helft of meer van de uitwerkingen ontbreekt of is onvolledig. Bundeling van de opgaven. Telegramstijl. 70% van de uitwerkingen is correct en volledig. Net verslag. Opgaven uitgewerkt in correct Nederlands. Minimaal 90% van de uitwerking is correct en volledig. 12,5% 62,5% 12