Lokaal compacte kwantumgroepen

Transcriptie

1 KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Lokaal compacte kwantumgroepen Openbare verdediging Stefaan Vaes Promotor: Prof. Dr. A. Van Daele

2 Lokaal compacte groepen Een groep is een verzameling met een associatieve bewerking, een neutraal element en voor elk element een inverse. Voorbeelden: (Z, +), (GL(n), ), (ax + b)-groep. Groep + lokaal compacte topologie + continue bewerking en inverse = lokaal compacte groep Eerste motivatie voor de studie van kwantumgroepen: dualiteit van niet-commutatieve groepen.

3 Dualiteit van groepen Beschouw de groep (Z, +). De duale groep wordt gedefinieerd als Ẑ = {χ χ is een karakter op Z}. Een karakter χ op Z is een continue afbeelding χ : Z C zodanig dat χ(n) = 1, χ(n + m) = χ(n) χ(m) voor alle n, m Z. Voor elke z C met z = 1, definiëren we χ z : χ z : Z C : χ z (n) = z n. Dan is χ z (n + m) = z n+m = z n z m = χ z (n) χ z (m). Dus is χ z een karakter op Z en dit levert alle karakters.

4 We kunnen op de verzameling Ẑ van karakters een bewerking definiëren. Veronderstel dat χ, η Ẑ. Definieer Dan is χ η opnieuw een karakter. (χ η)(n) = χ(n) η(n). Op die manier wordt Ẑ een lokaal compacte groep. Als y, z C en y = z = 1, dan zal Dus is Ẑ T, de cirkelgroep. χ y χ z = χ yz. Bidualiteitsstelling van Pontryagin: De biduale groep Gˆˆ van een willekeurige commutatieve lokaal compacte groep G is isomorf met G.

5 Dualiteit voor niet-commutatieve groepen? Dit is geen eenvoudig probleem: karakters zien het verschil niet tussen r s en sr als r, s G: χ(r s) = χ(r ) χ(s) = χ(s) χ(r ) = χ(sr ). Lange geschiedenis om het duale object van een niet-commutatieve groep te definiëren: T. Tannaka (1938): met irreducibele representaties, M. Krein (1949) en W.F. Stinespring (1959) Men bereikt steeds betere dualiteitsresultaten, maar het duale object is geen gewone groep meer. PROBLEEM: Vind één categorie met dualiteit waarin alle lokaal compacte groepen passen.

6 Kacalgebra s De eerste oplossing voor het vorige probleem: G.I. Kac (1961) definieert de categorie van ringgroepen. Hierin passen alle unimodulaire groepen. Belangrijke bijdragen van P. Eymard, N. Tatsuuma en M. Takesaki een volledige oplossing voor het probleem in Onafhankelijk van elkaar: L. Vainerman en G.I. Kac, M. Enock en J.-M. Schwartz. Kacalgebra s.

7 De taal van de kwantumgroepen In wat voor structuur passen groepen en hun duale objecten? Veronderstel dat G een eindige commutatieve groep is. Algebra A = C(G). Covermenigvuldiging : C(G) C(G G) : ( (f ) ) (r, s) = f (r s). We identificeren C(G) C(G) C(G G) f g (f g)(r, s) = f (r ) g(s). Dus : A A A. WAAROM?

8 We zitten dan in de volgende situatie. A = C(G) : A A A?  = C(Ĝ) ˆ :    G Dualiteit Ĝ Er is een rechtstreekse weg van (A, ) naar (Â, ˆ ). Deze procedure werkt ook als G niet commutatief is. de algebra  is dan niet-commutatief. We verkrijgen de groepsalgebra: vectorruimtebasis {λ r r G} en vermenigvuldiging λ r λ s = λ r s.

9 Samengevat Overgang G naar : C(G) C(G) C(G) niet-commutatieve algebra s A en : A A A bieden een kader voor eindige groepen en hun duale structuren. Extra structuur op (A, ) = Hopfalgebra: Groep = verzameling + vermenigvuldiging + eenheid + inverse. Hopfalgebra = algebra + covermenigvuldiging + co-eenheid + co-inverse. We willen nu ook de topologie er weer bij betrekken en verder gaan dan eindige groepen.

10 Op naar lokaal compacte kwantumgroepen De filosofie blijft dezelfde. Zij G een lokaal compacte groep. A = C 0 (G) : C 0 (G) C b (G G) : ( (f ) ) (r, s) = f (r s). We identificeren C 0 (G) C 0 (G) C 0 (G G) : f g (f g)(r, s) = f (r ) g(s), C b (G G) M(C 0 (G) C 0 (G)), de vermenigvuldigersalgebra. C 0 (G) is een commutatieve C -algebra. Net zoals daarstraks laten we nu ook niet-commutatieve C -algebra s toe. De taal van lokaal compacte kwantumgroepen: C -algebra A en een covermenigvuldiging : A M(A A).

11 Opmerking Niet elke verzameling met een bewerking is een groep! Lokaal compacte kwantumgroepen: : A M(A A) + extra axioma s Herinner; Hopfalgebra: : A A A + extra axioma s. Een mogelijk stel van axioma s levert de theorie van Kacalgebra s. Dit is niet het einde van het verhaal!

12 Nieuwe elementen ten tonele V.G. Drinfel d en M. Jimbo (begin jaren 80): voorbeelden van Hopfalgebra s met S 2 ι. S.L. Woronowicz (einde jaren 80): kwantum-e(2)-groep, geen Kacalgebra. Eveneens S.L. Woronowicz: algemene en elegante theorie van compacte kwantumgroepen, onverenigbaar met de theorie van Kacalgebra s. S. Majid (begin jaren 90): voorbeelden die geen Kacalgebra s zijn.

13 Situatieschets Kacalgebra s Kac & Vainerman Enock & Schwartz Voorbeelden Woronowicz Voorbeelden Drinfel d en Jimbo?? Compacte kwantumgroepen Woronowicz Voorbeelden Majid VRAAG: Welke structuur zit verborgen achter al deze dingen?

14 Baanbrekend werk S. Baaj en G. Skandalis (begin jaren 90): multiplicatieve unitairen en Kacsystemen, elegant, andere filosofie. T. Masuda, Y. Nakagami en S.L. Woronowicz (begin jaren 90): lange lijst van axioma s voor : A M(A A), vele gewenste stellingen als axioma. A. Van Daele (halfweg jaren 90): algebraïsche kwantumgroepen, elegant, puur algebraïsch, discrete en compacte (kwantum)groepen.

15 Lokaal compacte kwantumgroepen Hoofdstuk 1 in proefschrift Definitie (J. Kustermans en SV) : Een lokaal compacte kwantumgroep is een C -algebra A met covermenigvuldiging : A M(A A) die voldoet aan coassociativiteit, de tegenhanger van de associativiteit van de groepsbewerking; het bestaan van een linkse en een rechtse Haarmaat; dichtheidseisen, de tegenhanger van de schrappingswet. Opmerking: definitie van lokaal compacte kwantumgroepen met co-eenheid en co-inverse: tot dusver onmogelijk.

16 Belangrijkste eigenschappen Constructie van co-inverse (of antipode). Bewijs van uniciteit van de Haarmaat. Constructie van dualiteit en bewijs van bidualiteitsstelling. Constructie van modulaire element. Voordeel: Een rijke theorie vanuit eenvoudige definitie. Nadeel: Het bestaan van de Haarmaat is een axioma. Kan het wel anders?

17 Kwantumgroepen in actie Hoofdstuk 2 in proefschrift Een lokaal compacte groep G werkt continu op een lokaal compacte ruimte X: voor elke r G is α r : X X een homeomorfisme en α r α s = α r s. Vertaling: Definieer α : C 0 (X) C b (G X) : ( α(f ) ) (r, x) = f (α r (x)). Herinner : C 0 (G) C b (G G) : ( (f ) ) (r, s) = f (r s). Dan zal ( ( ι)α(f ) ) (r, s, x) = ( α(f ) ) (r s, x) = f (αr s (x)) = f ( α r (α s (x)) ) = ( α(f ) ) (r, α s (x)) = ( (ι α)α(f ) ) (r, s, x).

18 Actie van een groep G op een ruimte X is equivalent met α : C 0 (X) C b (G X) waarbij ( ι)α = (ι α)α. We kunnen de twee ingrediënten kwantiseren. Ruimte X een kwantumruimte: een C -algebra of von Neumannalgebra. Gewone groep G lokaal compacte kwantumgroep. Tweede hoofdstuk van het proefschrift: (A, ) een l.c. kwantumgroep, N een von Neumannalgebra, α : N A N en ( ι)α = (ι α)α. Kwantumsymmetriegroepen van kwantumruimten: belangrijke stelling van M. Enock en R. Nest, relatie met deelfactoren.

19 Eigenschappen van acties Zij α : N A N een actie van de l.c. kwantumgroep (A, ) op de kwantumruimte N. De actie heeft een natuurlijke implementatie: α(x) = U(1 x)u. Constructie van het gekruiste product en het duale gewicht: nieuwe kwantumruimte, relatie tussen maten op kwantumruimte N en de nieuwe kwantumruimte. Het gekruiste product staat in standaard positie. Krachtig apparaat, nuttig in toepassingen: J. Kustermans: geïnduceerde corepresentaties, derde hoofdstuk, motivatie definitie lokaal compacte kwantumgroepen.

20 Exacte rijen van kwantumgroepen Hoofdstuk 3 in proefschrift Samenwerking met L. Vainerman: theorie van uitbreidingen van lokaal compacte kwantumgroepen en de constructie van het cocykelbigekruiste product. Werk van G.I. Kac (jaren 60): systematische methode om eindige kwantumgroepen te construeren. Grondig bestudeerd door S. Majid in theorie van Hopfalgebra s. Belangrijke bijdragen tot de constructie: S. Baaj en G. Skandalis.

21 Basisbegrippen Morfismen Veronderstel dat G, H eindige groepen zijn, dan noemen we θ : H G een morfisme als θ(r s) = θ(r ) θ(s). Vertaling: definieer θ : C(G) C(H) : θ(f ) = f θ. Dan zal H θ = ( θ θ) G. Algemene theorie van morfismen tussen lokaal compacte kwantumgroepen: J. Kustermans. Ruwweg gesproken is een morfisme van (A 1, 1 ) naar (A 2, 2 ) een -homomorfisme θ : A 1 A 2 zodat ( θ θ) 1 = 2 θ.

22 Korte exacte rijen We noemen een rij van morfismen tussen groepen G 1 ρ G θ G 2 een korte exacte rij als ρ injectief is, θ surjectief en Ker θ = Im ρ. We noemen een rij van morfismen tussen kwantumgroepen een korte exacte rij als θ injectief is, ρ surjectief is, (M 2, 2 ) θ (M, ) ρ (M 1, 1 ) θ(m 2 ) = {x M (ρ ι) (x) = 1 x}. Opmerking: precieze definitie van een korte exacte rij is subtieler.

23 De stelling van G.I. Kac Stelling van Kac voor eindige kwantumgroepen veralgemening naar l.c. kwantumgroepen: Als (M 2, 2 ) θ (M, ) ρ (M 1, 1 ) een korte exacte rij van l.c. kwantumgroepen met de cleft eigenschap is, dan kunnen we van (M 2, 2 ) en de duale van (M 1, 1 ) een passend paar maken en (M, ) bekomen als een cocykel-bigekruist product. Omgekeerd: passend paar van kwantumgroepen nieuwe kwantumgroep met de constructie van het cocykelbigekruiste product.

24 Nieuwe voorbeelden van kwantumgroepen Groep (R, +) en (ax + b)-groep worden een passend paar. We lossen de cocykelvergelijkingen op. nieuwe l.c. kwantumgroep. De infinitesimale Hopfalgebra heeft generatoren X, Y en A met relaties [X, A] = 2A, [Y, A] = A 2, [X, Y ] = 2Y i 4n π A, (A) = A A, (X) = X X, (Y ) = Y 1 + X A + 1 Y. Continue vervorming van de Heisenberggroep. Duale kwantumgroep: (ax + b)-groep. continue vervorming van twee-dimensionale

25 En verder? Niet-commutatieve meetkunde Zij M een (compacte) variëteit. Stel A = C (M). Definieer Ω k als ruimte van k-vormen. Beschouw d : A Ω 1 : f df, de totale afgeleide. Dan is d : A Ω 1 lineair, d(ab) = a db + da b, Ω 1 is voortgebracht door a db. Ω 1 is een A-bimodule. Algemener: Uitwendige (gegradeerde) algebra Ω en d : Ω Ω.

26 Kwantisatie De algebra A = C (M) mag niet-commutatief worden. Geen punten meer! Gegradeerde algebra Ω en d : Ω Ω van graad 1, met d 2 Leibniz-regel, Ω 0 = A: differentiaalcalculus. = 0 en Metriek op Riemannse variëteit A-waardig inproduct op Ω. Dirac-operator D = d + d formalisme van A. Connes. Kwantumgroepen en niet-commutatieve meetkunde: invariante differentiaalcalculi. Differentiaalcalculi op compacte kwantumgroepen (J. Kustermans, G. Murphy, L. Tuset): buiten axioma s van Connes. Grote droom: kwantum-lie-groepen.