Schovencohomologie. Wadim Sharshov 10 augustus Bachelorscriptie. Begeleiding: prof.dr. Eric Opdam prof.dr. H. B. Postuma

Transcriptie

1 Schovencohomologie Wadim Sharshov 10 augustus 2012 Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. Eric Opdam prof.dr. H. B. Postuma KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting Mijn project gaat over schovencohomologietheorie. Ik begin dit project met definities van en kennismaking met cohomologietheorie, daarna geef ik definities over schoven en preschoven, ik leg uit wat schovencohomologietheorie is, als laatst eindig ik met voorbeeld van schovencohomologietheorie. Gegevens Titel: Schovencohomologie Auteurs: Wadim Sharshov, Begeleider: prof.dr. Eric Opdam Tweede beoordelaar: prof.dr. H. B. Postuma Einddatum: 10 augustus 2012 Korteweg de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam

3 Inhoudsopgave Inleiding 2 1 Cohomologie Definities van complexen en cohomologiegroepen Verhoudingen tussen complexen Slangenlemma Schovencohomologie Schoven Relaties tussen schoven en preschoven Van schoof naar preschoof Van preschoof naar schoof Schoof uit een preschoof uit een schoof is niet altijd hetzelfde als de originele schoof Wanneer geldt het wel Schovencohomologietheorie Alexander-Spanier Cohomologie Populaire samenvatting 21 1

4 Inleiding Dit verslag gaat over cohomologiegroepn en schoventheorie. Het begrip homologie kent u misschien uit de biologie, waar het verwijst naar gelijkenissen in het skelet van bepaalde dieren. In de wiskunde is een homologie de gelijkenis van het skelet, de structuur, van een variëteit (een oppervlak dat lokaal lijkt op R n ). Het verslag begint met een introductie van het concept cohomologie voor complexen. De begrippen zoals complex en cohomologiegroep worden uitgelegd aan de lezer. Daarna worden korte exacte ketens van complexen bestudeerd en worden de functorafbeeldingen H en δ afgeleid. Het tweede hoofdstuk van het verslag gaat verder in op het veld van de schoventheorie. Het eerste deelhoofdstuk is nodig om de lezer kennis te maken met wat schoven precies zijn en wat de verhouding is met preschoven. Daarna worden er relaties bestudeerd tussen schoven en preschoven. Met behulp van voorbeelden wordt er laten zien hoe je van een schoof een preschoof kan maken en dan weer een schoof. Aan het eind van het verslag wordt het concept van schovencohomologietheorie uitgelegd, waarvoor het eerste kennismakingshoofdstuk over homologiën nuttig voor was. Het verslag eindigt met een voorbeeld van een schovencohomologietheorie. 2

5 Hoofdstuk 1 Cohomologie 1.1 Definities van complexen en cohomologiegroepen In dit hoofdstuk willen we tot de definitie van een complex en cohomologiegroep komen. Hiervoor hebben we begrippen nodig die misschien al bekend zijn, maar we toch nog even in herinnering willen brengen. Definitie 1.1 (Ring). Een ring is een verzameling R met twee afbeeldingen, + : R R R en : R R R, die we bewerkingen noemen en met de nul, het element 0 R. Een ring voldoet aan de volgende axioma s: De verzameling R met bewerking + en element 0, als het eenheidselement van deze groep, is een abelse groep. Voor alle a, b, c R geldt dit noemen we associativiteit. Voor alle a, b, c R geldt dit noemen we distributiviteit. a (b c) = (a b) c, a (b + c) = a b + a c, De ring R kan een eenheidselement bevatten, deze wordt meestal genoteerd als het element 1 R. Dit element heeft de eigenschap, dat voor alle r R geldt dat 1 r = r 1 = r. De ring R heet een ring met eenheidselement. 3

6 Als bovendien voor alle a, b R geldt a b = b a, noemen we het een commutatieve ring. In de rest van dit verslag werken we met ringen die een eenheidselement bevatten. Definitie 1.2 (Moduul). Een linker moduul over een ring R is een verzameling M voorzien van twee bewerkingen, : M M M en : R M M, waarbij (M, ) weer een abelse groep is en die bovendien aan de volgende axioma s voldoet: Laat r, s R en m, n M, dan geldt: (r + s) m = (r m) (s m) (r s) m = r (s m) r (m n) = (r m) (r n) Een heel eenvoudig voorbeeld van een moduul over R is als je (R, +, ) als moduul over R ziet. Definitie 1.3 (Complex). Laat R een ring zijn. Een open complex van R- modulen, {E i, d i }, is een rijtje modulen met homomorfismes, i Z, met de volgende eigenschap: d i+1 d i = 0 voor alle i. We noteren dit ook wel als (E, d).... di 1 E i d i E i+1 d i+1 E i+2 d i+2... We noemen een complex eindig als slechts eindig veel van de modulen E i ongelijk zijn aan het nulmoduul. We zien vanwege de regel d i+1 d i = 0, dat er geldt dat Im d i Ker d i+1. Definitie 1.4 (Exact complex). Een complex (E, d) heet exact, als er voor elke i geldt dat Im d i = Ker d i+1. Omdat er geldt dat Im d i Ker d i+1, kunnen we de factoren Ker d i+1 / Im d i bestuderen. Deze factoren heten de cohomologiegroepen van een complex. Definitie 1.5 (Cohomologie van een complex). Cohomologie van een complex (E, d) is de verzameling {H i (E)} (dit wordt ook wel genoteerd als H(E)), waar de cohomologiegroep H i (E) de groep Ker d i / Im d i 1 is. Het volgt onmiddelijk uit de definities 1.4 en 1.5 dat (E, d) exact is dan en slechts dan als voor alle i Z geldt H i (E) = 0. Laten we op een concreet makkelijk voorbeeld de cohomologie van een eindig complex uitrekenen. 4

7 Voorbeeld 1.6. In dit voorbeeld nemen we onze ring R = R, het lichaam van reële getallen. Beschouw het volgende rijtje R-modulen en afbeeldingen tussen hen: 0 d0 R d1 R 2 d 2 R 3 d 3 R 4 d 4 0 met de volgende homomorfismen tussen de modulen: d 0 (0) = 0, d 1 (x) = (x, x), d 2 (x, y) = (x y, y x, x y), d 3 (x, y, z) = (x + y, y + z, x z, 0), d 4 (x, y, z, w) = 0. Lemma 1.7. Het in voorbeeld 1.6 gegeven rijtje C is echt een complex. Bewijs. Alle E i zijn modulen over R en de afbeeldingen tussen hen zijn homomorfismen. We moeten nagaan dat er voldaan wordt aan d i+1 d i = 0. Dit doen we door in ieder moduul E i te beginnen en twee stappen te maken met onze afbeeldingen. We beginnen in E 0 en voeren eerst d 0 en dan d 1 uit, 0 E 0 0 R (0, 0) R 2. We beginnen in E 1 en voeren eerst d 1 en dan d 2 uit, x R (x, x) R 2 (x x, x x, x x) = (0, 0, 0) R 3. We beginnen in E 2 en voeren eerst d 2 en dan d 3 uit, (x, y) R 2 (x y, y x, x y) R 3 ((x y) + (y x),(y x) + (x y), (x y) (x y), 0) = (0, 0, 0, 0) R 4. We beginnen in E 3 en voeren eerst d 3 en dan d 4 uit, (x, y, z) R 3 (x + y, y + z, x z, 0) R 4 0 E 6. Zo zien we dat voor alle i geldt er dat d i+1 d i = 0. Dus dit is een complex. Nu gaan we de cohomologiegroepen van dit complex berekenen: 5

8 H 1 (E) = Ker d1 Im d = {0} 0 {0} = {0}, H 2 (E) = Ker d2 Im d = R 1 R = {0}, H 3 (E) = Ker d3 Im d 2 = R2 R = R, H 4 (E) = Ker d4 Im d 3 = R4 R 2 = R 2. Het berekenen van de kern of het beeld van de afbeeldingen, kan makkelijk gedaan worden door te kijken door hoeveel elementen deze wordt opgespannen. Hieruit volgt dat ons complex de cohomologiegroepen: H 1 (E) = {0}, H 2 (E) = {0}, H 3 (E) = R en H 4 (E) = R 2 heeft. Nog een belangrijke definitie, die we later tegen gaan komen is resolutie. Definitie 1.8 (Resolutie). Zij M een moduul. Een resolutie van M is een exact complex van de volgende vorm: 0 M E 0 E 1 E Dit is een exact complex, waar onze moduul M injectief wordt afgebeeld naar het volgende moduul E Verhoudingen tussen complexen Hier gaan we zien wat de verhoudingen tussen complexen zijn en gaan we naar een belangrijk resultaat, het slangenlemma, toewerken. Definitie 1.9 (Morfisme van complexen). Laat E en E complexen zijn. Een afbeelding f : E E, (E i, d i ) (E j, d j ) heet een morfisme van complexen als voor alle i Z geldt dat f(d i (E i )) = d j (f(e i )) Zij gegeven twee complexen E en E en het morfisme f : E E, dan induceert deze f een homomorfisme H(f) : H(E ) H(E). Bewijs. Afbeelding f stuurt voor ieder moduul binnen het complex E de Ker(d ) i (E ) i naar Ker d i E i en het Im(d ) i 1 (E ) i naar Im d i 1 E i. Zo komt onder H(f) het element H i (E ) = Ker(d ) i terecht in H i (E) en Im(d ) i 1 bewaart H(f) de structuur. Als g : E E een morfisme is, dan is g f een morfisme van E naar E en dan geldt H(g f) = H(g) H(f). Als we H(id) met id : E E, de identiteitsfunctie tussen twee willekeurige complexen bekijken, zien we 6

9 dat er geldt H(id) = id H(E). En zo hebben we alle regels van een functor gecontroleerd en blijkt dat H een functor is van de categorie van complexen naar de categorie van de gradeerde modulen. Ter herinnering zal ik even de definitie van een categorie en van een functor geven. Definitie 1.10 (Categorie). Categorie Ψ is een verzameling van speciale objecten Ob(Ψ) en voor alle A, B Ob(Ψ) is er een verzameling Mor(A, B). Voor alle A, B, C Ob(Ψ) is er een compositieregel voor Mor(B, C) Mor(A, B) Mor(A, C) die aan drie eigenschappen voldoet, namelijk: Verzamelingen Mor(A, B) en Mor(A, B ) hebben lege doorsnede, tenzij A = A en B = B. Voor elke A Ob(Ψ) is er een element id A Mor(A, A), die links en rechts als identiteit werkt op alle elementen uit Mor(A, B) en Mor(B, A). Compositie is associatief, met andere woorden voor f Mor(A, B), g Mor(B, C), h Mor(C, D) geldt: (h g) f = h (g f). Definitie 1.11 (Functor). Zij A en B categorieën. Een covariante functor F van A naar B is een regel die aan elk object a A een object F (a) B toekent en aan elk morfisme f : a b, met objecten a, b A een morfisme F (f) : F (A) F (B) toekent, zodanig dat er aan de volgende eigenschappen voldaan is: Voor elke a A hebben we F (id a ) = id F (a). Als f : a b en g : b c twee morfismen van A zijn, dan geldt er: F (g f) = F (g) F (f). We zagen net dat H voldeed aan de eigenschappen H(id) = id en H(g f) = H(g) H(f) en dat H complexen E, welke een categorie vormen, naar cohomologieën H(E), welke in de categorie van gegradeerde modulen zitten, stuurt. 1.3 Slangenlemma In dit hoofdstuk gaan we nog een belangrijke functor afleiden, maar daarvoor moeten we eerst het volgende lemma kennen. Deze heet het slangenlemma. 7

10 A f B g C 0 a b c 0 A f B g C Diagram 1.1: slangenlemma Lemma 1.12 (Slangenlemma). Zij gegeven het diagram 1.1. Hier zijn de rijen allemaal exacte ketens tussen modulen en in de kolommen staan morfismen. Dan is er een morfisme tussen δ : C A. Stel we hebben het volgende exacte complex: 0 E f E g E 0. Dan kunnen we met behulp van het slangenlemma een morfisme : E E maken en zodoende een afbeelding δ : H(E ) H(E ) induceren met de eigenschap dat voor iedere i de cohomologiegroep H(E ) i afgebeeld wordt op de cohomologiegroep H(E ) i+1. Bewijs. Wij hebben het diagram 1.2. Op het blauwe gedeelte kunnen we (d ) i 2 di 2 (d ) i 2 0 (E ) i 1 f E i 1 g (E ) i 1 0 (d ) i 1 di 1 (d ) i 1 0 (E ) i f E i g (E ) i 0 (d ) i di (d ) i 0 (E ) i+1 f E i+1 g (E ) i+1 0 (d ) i+1 di+1 (d ) i+1 0 (E ) i+2 f E i+2 g (E ) i+2 0 (d ) i+2 di+2 (d ) i+2 Diagram 1.2: uitgeschrevencomplex met exacte rijen precies het slangenlemma gebruiken, dan krijgen we ons morfisme φ : (E ) i (E ) i+1. Dit kunnen we doen voor alle mogelijke i en dan krijgen we ons morfisme, van dit morfisme kunnen we δ afleiden. Uit het slangelemma volgt een belangrijk resultaat. 8

11 Resultaat. We kunnen met behulp van deze δ een rij maken:... δ H i f H i g H i δ H (i+1) f H i+1 g H (i+1) δ.... Dit is een lange exacte rij. Zo zien we dat H en δ een functor vormen, die de categorie van korte exacte ketens van complexen stuurt naar de categorie van complexen. De resultaten die we hebben afgeleid in dit hoofdstuk, hebben we gedaan voor modulen over een ring R. In het volgende hoofdstuk gaan we werken met schoven. Zij zijn niet per se modulen over een ring R, dus dat zou beteken dat we onze resultaten niet zouden mogen toepassen in het volgende hoofdstuk. Maar alles wat we in dit hoofdtuk afgeleid hebben, geldt ook algemener, namelijk voor abelse categorieën. Schoven over een topologische ruimte van K-modulen zijn een voorbeeld van een abelse categorie. Daarom mogen we alle afgeleide resultaten van dit hoofdstuk ook gebruiken in het volgend hoofdstuk over schoven. 9

12 Hoofdstuk 2 Schovencohomologie In het vorige hoofdstuk hebben we geoefend met complexen en hebben we het begip cohomologie ingevoerd. Nu zullen we ons bezig houden met schoventheorie. Wij zullen naar een schovencohomologietheorie toewerken en de opgadane kennis van hoofdstuk 1 zal ons helpen dat concept beter te begrijpen. Voor schoventheorie hebben we een topologische ruimte M, die paracompact is, nodig, deze zal het hele hoofdstuk onveranderd blijven. Wij zullen ook het gehele hoofdstuk werken met K, een hoofdideaaldomein, maar de eerste definities gelden ook voor willekeurige ringen. 2.1 Schoven We werken toe naar de Alexander-Spanier cohomologietheorie. Om deze theorie te begrijpen is eerst kennis van schoven nodig. Een schoof hangt nauw samen met een topologische ruimte M. Er is een afbeelding die de schoof inbedt in M zodat de verzameling punten met hetzelfde beeld een K- moduul vormen. Daarom zullen we spreken over een schoof van K-modulen over M. Definitie 2.1 (Schoof). Een schoof S van K-modulen over M bestaat uit een topologische ruimte S met bijbehorende continue afbeelding π : S M, welke aan de volgende eigenschappen voldoet: (a) π is een lokaal homeomorfisme van S naar M, (b) π 1 (m) is een K-moduul voor elke m M, (c) Samegestelde afbeeldingen moeten continu zijn in de topologie van S. Definitie 2.2 (Staak). Een K-moduul S m S met S m = π 1 (m) heet een staak over een punt m M. 10

13 Definitie 2.3 (Sectie). We nemen een open deelverzameling U M. We noemen een continue afbeelding f : U S een sectie van S over U, als er geldt: π f = id U. Definitie 2.4 (Verzameling van secties). We definiëren Γ(S, U) als de verzameling van alle secties van S over U. Definitie 2.5 (Verzameling van secties als K-moduul). Met enkele definities kunnen we van Γ(S, U) een K-moduul maken. We moeten definiëren hoe we twee verschillende secties met elkaar kunnen optellen en laten werken op M. Dit definiëren we als volgt: Voor twee secties f en g Γ(S, U) en voor k K definiëren we f + g en kf (f + g)(m) = f(m) + g(m) voor alle m U (kf)(m) = kf(m) voor alle m U Na het definiëren van deze regels wordt Γ(S, U) een K-moduul over M. Definitie 2.6 (Schoofafbeelding). Laat S en S twee schoven zijn op M met respectivelijk de projecties π en π. Een continue afbeeling φ : S S, die voldoet aan π φ = π, heet een schoofafbeelding. Definitie 2.7 (Schoofhomomorfisme). Een schoofafbeelding φ, die een homomorfisme van K-modulen is op elke staak, heet een schoofhomomorfisme. Definitie 2.8 (Schoofisomorfisme). Een schoofisomorfisme φ is een schoofhomomofisme, die een inverse heeft φ 1, welke ook een schoofhomomorfisme is. Definitie 2.9 (Deelschoof). Een open verzameling R S heet een deelschoof, als er voor alle m M geldt dat R S m een submoduul van S m. Definitie 2.10 (Preschoof). Zij M een topologische ruimte. Een preschoof P = {S U ; ρ U,V } is een verzameling van K-modulen voor elke open verzameling U M, en homomorfismen tussen deze K-modulen. Een homomorfisme ρ U,V : S V S U tussen twee modulen behorende bij open verzamelingen U en V is alleen gedefinieerd als U V. Eigenschappen: Het homomorfisme ρ U,U is de identiteit. En voor W V U geldt: ρ W,V ρ V,U = ρ W,U. Nu hebben we van alles gedefinieerd in deze paragraaf zoals een schoof en een preschoof, maar zou er een relatie zijn tussen deze twee. Dit gaan we in de volgende paragraaf zien. We zullen zien, dat van de een de ander gemaakt kan worden en andersom. 11

14 2.2 Relaties tussen schoven en preschoven Van schoof naar preschoof Stelling Zij gegeven een schoof S. Wij kunnen canoniek een preschoof {Γ(S, U); ρ U,V } definiëren. Deze afbeelding van schoven naar preschoven noemen we α. En α(s) heet ook de preschoof van secties van een schoof S. Bewijs. Wij geven een recept voor het maken van deze preschoof. Aan elke open U M associeren we het K-moduul Γ(S, U), wat per definitie gewoon de verzameling van secties van S over U is. En voor elke inclusie V U van open verzamelingen van M associëren we het homomorfisme ρ V,U : Γ(S, U) Γ(S, V ). door aan elke sectie f uit Γ(S, U) zijn restrictie te geven op V, namelijk f V, welke zit in Γ(S, V ). Het is niet moeilijk na te gaan dat α(s) daadwerkelijk een preschoof is. Het bestaat namelijk uit K-modulen, omdat Γ(S, U) een K moduul is. En het homomorfisme ρ V,U voldoet ook aan beide eigenschappen, omdat restrictie van functies daaraan voldoet Van preschoof naar schoof Stelling Elke preschoof bepaalt canoniek een schoof, die de geassocieerde schoof genoemd wordt. Deze canonieke afbeelding van een preschoof P naar een schoof S noemen we β. Dus S = β(p ). Bewijs. Wij geven weer een recept voor het maken van een preschoof een schoof. Zij gegeven een preschoof P = {S U, ρ U,V } van K modulen over M. We nemen een willekeurige m M en definiëren Sm als de vereniging van alle S U modulen, waarvoor geldt m U. Nu definiëren we op onze verzameling Sm een equivalentie relatie als volgt: f S U en g S V zijn equivalent dan en slechts dan als er een open omgeving W van m is, zodanig dat W U V en er geldt: ρ W,U f = ρ W,V g. De verzameling van equivalentie klassen van elementen van Sm noemen we S m. Deze S m zal de staak van de geassociëerde schoof over m zijn. We gaan nu laten zien dat S m daadwerkelijk een K moduul is. Als m U (U willekeurige open verzameling), dan definiëren we de volgende afbeelding ρ m,u : S U S m door elke element van S U te sturen naar zijn equivalentie klasse in S m. Voor twee willekeurige elementen s 1 en s 2 van S m, geldt dat er een f bestaat in S U voor een bepaalde open omgeving U van m, zodat ρ m,u f = s 1 en respectivelijk bestaat er een g in een S V voor een open omgeving V van m, zodat ρ m,v g = s 2. Er bestaat een open omgeving W U V, zodanig dat ρ m,w (ρ W,U f) = s 1 en zodanig dat ρ m,w (ρw,v g) = s 2. Nu definiëren we s 1 + s 2 = ρ m,w (ρ W,U f + ρ W,V g), dit 12

15 kan omdat S W een moduul is en dus is daar optelling gedefiniëerd. En we definiëren de vermenigvuldiging voor k K als volgt: ks 1 = ρ m,u (kf). Met deze regels zien we dat S m een K moduul is en dat ρ m,u homorfismen zijn. Nu definiëren S als m M S m en we laten π : S M de natuurlijke projectie π(s m ) = m zijn. We definiëren een topologie op de verzameling S door als basis voor de topologie de volgende verzameling te kiezen: deelverzameling van S van de vorm O f = {ρ p,u f : p U} voor f S U en alle open U M. Deze verzameling definiëert inderdaad een topologie op S. Nu hoeven alleen nog maar te controleren of onze S samen met de afbeelding π voldoet aan de eigenschappen van een schoof. De afbeelding π is een locaal homeomorfisme omdat het een homeomorfisme op elke basiselement O f is. Elke staak S m heeft de structuur van een K moduul. Dus we hoeven alleen nog te controleren of de samenstellingsafbeeldingen continu zijn. We hebben nu afbeeldingen α en β gedefinieerd. Stel we hebben een preschoof P en we maken er een schoof α(p ) en van die schoof α(p ) maken we een nieuwe preschoof β(α(p )). We kunnen P met β(α(p )) vergelijken en deze hoeven niet hetzelfde te zijn Schoof uit een preschoof uit een schoof is niet altijd hetzelfde als de originele schoof Voorbeeld Wij geven een voorbeeld dat P en β(α(p )) verschillend zijn. We nemen een topologische ruimte M. Voor elke open U M nemen we S U gelijk aan een hoofdidealdomein K. En we definiëren ρ U,U = id U en voor elke open V U definiëren we ρ V,U = 0. Dus alles wordt op 0 afgebeeld. Dit is een preschoof. Nu gaan we een schoof α(p ) maken. Het maken van een schoof α(p ). Het blijkt dat in de set Sm alles equivalent is, want ρ W,U f = ρ W,V g voor alle f S U en g S V en alle U en V, want alles wordt per definitie op 0 afgebeeld. Dit betekent dat S m bestaat uit enkel één element. Dus S = m M S m wordt een vereniging van allemaal triviale modulen. En de topologie op S zal de topologie van M zijn. Nu maken we van de gekregen schoof α(p ) een preschoof β(α(p )). De bekijken de set Γ(S, U) dit was de verzameling secties van S over U. De afbeeliding π die hoort bij de schoof α(p ), was een projectie van m M S m naar m, maar omdat elke S m triviaal is, geldt er dus dat m M S m isomorf is aan M. Dus dat betekent dat de verzameling van secties van α(p ) over U triviaal is, want het moet altijd voldoen aan π f = id U. Dus we krijgen dat alle Γ(S, U) bestaan maar uit één functie. En dit betekent dat elke S U moduul in β(α(p )) is triviaal. Maar dit betekent dat β(α(p )) niet hetzelfde is als P. 13

16 2.2.4 Wanneer geldt het wel Nu kunnen we de vraag stellen bij welke voorwaarden geldt er wel dat je van een preschoof P een isomorfe preschoof β(α(p )) krijgt. Daarvoor moet de preschoof aan twee aanvullende voorwaarden voldoet. Deze preschoof heet ook wel een complete preschoof. Definitie 2.14 (Complete Preschoof). Zij M een topologische ruimte. Een complete preschoof is een preschoof, die voldoet aan de volgende eigenschappen. Eigenschappen: (a) Het homomorfisme ρ U,U is de identiteit. (b) En voor W V U geldt: ρ V,W ρ U,V = ρ U,W. (c) Zij U te schrijven als {V i } een vereniging open verzamelingen van M en f S U en er geldt ρ Vi,U(f) = 0 voor alle i, dan is s = 0. (d) Zij U te schrijven als {V i } een vereniging open verzamelingen van M, laat s i S Vi en als er geldt voor alle i, j, dat ρ Vi V j,u(s i ) = ρ Vi V j,u(s j ), dan hebben we een s S U, zodat ρ Vi,U(s) = s i voor alle i. Stelling Als een preschoof P een complete preschoof is, dan is β(α(p )) isomorf aan P. Bewijs. Wij hebben een complete preschoof P = (S U, ρ U,V ) en een gemaakte preschoof α(β(p )). We definiëren een homomorfisme φ van P naar α(β(p )) als volgt. Voor elke open verzameling U van M sturen S U P naar Γ(β(P ), U) door ieder element f S U te sturen naar de volgende sectie p ρ p,u f voor alle p U van β(p ) over U, welke zit in Γ(β(P ), U). Er geldt dat samenstelling van deze afbeelding met de afbeelding π, die hoort bij β(p ), wordt elke p U gestuurd naar ρ p,u f en deze wordt met behulp van π geprojecteerd naar p, omdat het afkomstig is uit S p uit β(p ), dus dit is werkelijk een sectie. We moeten alleen bewijzen dat dit homomorfisme φ voor elke S U een isomorfisme is, dus we moeten injectiviteit en surjectiviteit bewijzen. Injectiviteit: We bewijken de kern van de afbeelding φ SU : S U Γ(β(P ), U). Stel f S U zit in de kern, dus het wordt afgebeeld op de 0-sectie in Γ(β(P ), U). En dit betekent precies dat voor ieder punt p U is er een open omgeving U p U met eigenschap dat ρ Up,Uf = ρ Up,U0. De vereniging p M U p is precies de open vereniging verzamelingen die precies U vormen en waarop we eigenschap (c) van de complete preschoof 14

17 kunnen toepassen. Wij krijgen dus dat f = 0 S U, dus de kern van de afbeelding φ SU is triviaal. Dit betekent dat elke φ SU injectief is. Surjectiviteit: Laten we een willekeurige sectie c nemen uit Γ(β(P ), U). Voor iedere punt p U is er een open omgeving U p U van dat punt p en een element f p S Up zodat ρ q,sup f p = c(q), voor alle q U p. Nu geldt er ook voor elk punt ξ U p U q, dat ρ ξ,sup f p = c(ξ) = ρ ξ,suq f q. Dus we krijgen: ρ Up Uq,U p f p = rho Up Uq,U q f q. Nu kunnen eigenschap (d) van de complete preschoof gebruiken om te krijgen dat er een f S U bestaat, zodat f p = ρ Up,Uf voor alle p U. En onze homomorfisme φ SU stuurt deze f precies op c. Dit betekent dat φ SU ook surjectief is. Omdat φ op elke S U een isomorfisme is, betekent het dat P en α(β(p )) isomorf zijn. 2.3 Schovencohomologietheorie In de definitie van schovencohomologietheorie komt het begrip van een goede schoof voor, daarom wordt dit begrip eerst even uitgelegd. Definitie 2.16 (Goede schoof). Een schoof S over M heet goed, als er voor elke lokaal eindige overdekking van open verzamelingen {U i } van M, bestaat er voor elke i een endomorfisme I i van S, zodat de volgende twee eigenschappen gelden: De afsluiting van de verzameling punten waarvoor geldt I i Sm 0 (I i toegepast op de staak over een punt m) een deelverzameling is van U i, i I i = id. Nu komt de definitie van een schovencohomologietheorie. Definitie 2.17 (schovencohomologietheorie). Een schovencohomologietheorie H voor topologische ruimte M met coefficiënten in schoven van K modulen over M bestaat uit: (i) een K moduul voor elke schoof S en geheel getal q, (ii) een homomorfisme H q (M, S) H q (M, S ) voor elke homomorfisme S S en voor elk getal q Z, en 15

18 (iii) een homomorfisme H q (M, S ) H q+1 (M, S ) voor elke korte exacte rijtje 0 S S S 0 en voor elk getal q Z, zodat de volgende aan de volgende zes eigenschappen voldaan is: (a) Er geldt dat H q (M, S) = 0 voor q < 0 en voor q = 0 geldt er dat er een isomorfisme π is tussen H 0 (M, S = Γ(S) zodat voor elke homomorfisme φ : S S : en respectivelijk bijbehorende homomorfisme H 0 (M, S) H 0 (M, S ) het volgende diagram 2.1 commuteert: H 0 (M, S) H 0 (M, S ) π Γ(S) π Γ(S ) Diagram 2.1: commuterende diagram bij H 0 (b) Voor alle q > 0 geldt er dat H q (M, S) een goede schoof is. (c) Als het rijtje 0 S S S 0 een exact rijtje is, dan is het volgende rijtje ook exact:... H q (M, S ) H q (M, S) H q (M, S ) H q+1 (M, S ).... (d) De identiteitshomomorfisme S S induceert ook het indentiteitshomomorfisme tussen H q (M, S) en H q (M, S). (e) Als het diagram 2.2 commuteert, dan commuteert voor elke q Z ook diagram 2.3. S S S Diagram 2.2: commuterende schoven H q (M, S) H q (M, S ) H q (M, S ) Diagram 2.3: commuterende cohomologiegroepen van schoven 16

19 0 S S S 0 0 F F F 0 Diagram 2.4: homomorfismen tussen exacterijtjes H q (M, S ) H q (M, S ) H q (M, F ) H q (M, F ) Diagram 2.5: commuterend diagram gevolg uit slangenlemma (f) Voor elke homomorfisme van korte exacte rijtjes van schoven (te zien in diagram 2.4) commuteert het diagram 2.5: De module H q (M, S) wordt de q-de cohomologie moduul van M met coefficiënten in de schoof S relatief de cohomologie theorie H genoemd. We hebben een formele definitie van een schovencohomologietheorie, nu zullen we het wat meer toelichten. Van de zes eigenschappen zullen enkele na hoofdstuk 1 bekend voorkomen. Eigenschap (a) en (b) vertellen ons dat de q de cohomologie moduul voor negatieve q triviaal is, voor q = 0 is het isomorf met Γ(S), wat een K moduul is van globale secties, en voor een speciale soort schoof, namelijk een goede schoof, zijn ze ook voor de positieve q triviaal. De structuur, dat tussen de schoven gedefiniëerd is, namelijk de homomorfismen tussen schoven, wordt tussen de cohomologie modules bewaard gehouden. Eigenschap (c) dat is ook het gevolg van de slangenlemma, wat we in hoofdstuk 1 gezien hebben: er is een afbeelding te maken tussen H q (S ) en H q+1 (S ). Eigenschappen (d) en (e) lijken op de functor eigenschappen, ze laten zien dat H q zich als een functor gedraagd. En de laatste eigenschap (f) laat zien dat structuur tussen exacte rijtjes behouden blijft na het toepassen van het gevolg van de slangenlemma op beiden. Dat schovencohomologietheorieën daadwerkelijk bestaan wordt door de volgende stelling duidelijk. Stelling 2.18 (Bestaan van een schovencohomologietheorie). Een resolutie van een constante schoof M K dat bestaat uit goede, zonder nuldelers schoven brengt kanoniek een schovencohomologietheorie voort voor M met coëfficienten in de schoven. 17

20 2.4 Alexander-Spanier Cohomologie Wij zullen nu een voorbeeld van een schovencohomologietheorie bestuderen, namelijk de Alexander-Spanier Cohomologie. Hiervoor moet M een paracompacte ruimte zijn. Definitie 2.19 (paracompacte ruimte). Een topologische ruimte heet paracompact als elke open overdekking van deze ruimte een lokaal eindige verfijning heeft. Dit betekent dat zij gegeven een willekeurige open overdekking {U α } α A en zij gegeven een willekeurig punt u, dan is er een verzameling {V β } β B, met eigenschap dat voor alle β B, is er een α A, zodat V β U α en er is een open omgeving U van u, zodanig dat er geldt dat de collectie {U V β } β B eindig is. We nemen K hetzelfde als we aan het begin van het hoofdstuk deden. Laat U M een open verzameling zijn, dan zullen we U p schrijven voor het cartesisch product van p U s met zichzelf. We definiëren A p (U, K) als de K- moduul van functies die gaan van U p+1 naar K met behulp van puntgewijze optelling. Dus als f, g : U p+1 K, dan is functie f + g : U p+1 K als volgt gedefinieerd: een punt u U p+1 f(u) + g(u). Voor elke p 0 definiëren we een homomorfisme d van A p (U, K) naar A p+1 (U, K). Dus d is een homomorfisme dat een functie met p + 1 coordinaten stuurt naar een functie met p + 2 coordinaten. Zij f een willekeurige functie die werkt op p + 1 coordinaten dan wordt deze gestuurd naar p+1 f(u 0, u 1,..., u p+1 ) = ( 1) i f(u 0, u 1,..., u i 1, û i, u i+1, u p+1 ). i=0 Wij bedoelen met û i het weglaten van deze coordinaat. Omdat f A p (U, K) mag je namelijk p + 1 coordinaten invullen en dan krijg je iets terug uit K, daarom we laten de i-de coordinaat weg. Na het invullen van p + 1 coordinaten krijgen we iets uit K terug, na het optellen van p + 2 elementen uit K krijgen we als nog een element uit K, zo zien we dat f een goed gedefinieerde functie van A p+1 (U, K) naar K is. En d stuurt dus functies f naar f voor alle f U p. We kunnen makkelijk nagaan door uit te werken dan d d = 0, dat zal komen door ( 1) i voor de som. Nu definiëren we het volgende complex: 0 A 0 (U, K) d A 1 (U, K) d A 2 (U, K) d A 3 (U, K) d.... voor alle q < 0 nemen we de triviale moduul 0. Als een open V U, dan definiëren de volgende restrictie afbeelding ρ q V,U : Aq (U, R) A q (V, R) door 18

21 f f V q+1. De verzameling {A q (U, R), ρ q V,U } voldoet aan alle eigenschappen van een preschoof voor elke q 0. Deze preschoof heet ook de Alexander- Spanier q-complex preschoof. In paragraaf hebben we gezien hoe we van een preschoof een schoof kunnen maken. Deze schoof zullen we als volgt noteren: A q (M, K). Het homomorfisme d tussen A q (U, R) en A q+1 (U, R) is nu een homomorfisme geworden tussen preschoof {A q (U, R), ρ q V,U } en preschoof {A q+1 (U, R), ρ q+1 V,U } en hij induceert een homomorfisme d schoof ook tussen onze schoven d schoof : A q (M, K) A q+1 (M, K). We definiëren een natuurlijke injectieve afbeelding van een constante schoof A = M K naar A 0 (M, K), door een k A m door deze te sturen naar de constante functie k S m, welke ontstond tijdens het bouwen van de schoof uit de preschoof. Dit geeft het volgende complex: 0 A A 0 (M, K) d schoof A 1 (M, K) d schoof A 2 (M, K) d schoof.... De bewering is dat dit een resolutie is van A, dus van een constante schoof. En met de stelling over het voortbrengen van een schovencohomologietheorie krijgen we een schovencohomologietheorie. Bewijs. Wij gaan bewijzen dat 0 A A 0 (M, K) d schoof A 1 (M, K) d schoof A 2 (M, K) d schoof.... een resolutie die we nodig hebben. Daarvoor moeten we drie dingen bewijzen: geen nuldelers, goede schoven en exactheid. geen nuldelers De elementen van A q (M, K) en dit equivalentieclassen van functies die waarden hebben in K en deze hebben zo gekozen, dat K geen nuldelers heeft. Dus aan het eerste eigenschap is voldaan. goede schoven Wij gaan bewijzen dat elke schoof A q (M, K) een goede schoof is. Met een speciaal gedefinieerde endomorfisme is aan te tonen dat aan beide eigenschappen van een goede schoof voldaan wordt. exactheid Zo als wij hebben gezien in hoofdstuk 1, moet een resolutie een exact complex zijn. Dus de exactheid zullen we even nagaan. De exactheid voor schovn complex geldt, omdat er op preschoven niveau al exactheid was. Opp preschoven niveau krijgen het volgende complex, voor open U M: 0 K A 0 (U, K) d A 1 (U, K) d A 2 (U, K) d

22 En nu is de eerste afbeelding het sturen van element k naar constante functie, die alles van U stuur naar k. Als we hierop d toepassen krijgen we de functie die alles naar k k = 0 stuurt. Dus het toepassen van d na de eerste afbeelding geeft 0. De kern van afbeelding A 0 (U, K) d A 1 (U, K) is gelijk aan alles wat terecht komt een functie wat alles naar 0 stuurt, dat zijn precies alle constante functies op U en ook precies het beeld van K A 0 (U, K). Zo geldt er dus Ker A 0 (U, K) d A 1 (U, K) = Im K A 0 (U, K). Nu gaan we voor alle q 1 bewijzen dat Ker A q (U, K) d A q+1 (U, K) = Im A q 1 (U, K) A q (U, K). Stel f Ker A q (U, K) d A q+1 (U, K), dit betekent dat f de nul afbeelding is. Dan is er een g A q 1 (U, K), zodanig dat g = f en deze is bijvoorbeeld: g(m 0, m 1,..., m q 1 ) = f(m, m 0, m 1,..., m q 1 ), we vullen op de eerste coordinaat van f het punt m U in. Nu willen we graag controleren of g(m 0,..., m q ) = f(m 0,..., m q ) in alle punten van U q+1. We nemen een willekeurig punt uit U q+1, bijvoorbeeld u = (u 0, u 1,..., u q ). En we vullen hem links en rechts in en bekijken het verschil. g(u 0,..., u q ) f(u 0, u 1,..., u q ) = q ( 1) i g(u 0, u 1,..., û i,..., u q ) f(u 0, u 1,..., u q ) = i=0 q ( 1) i f(m, u 0, u 1,..., û i,..., u q ) f(u 0, u 1,..., u q ) = i=0 f(m, u 0,..., u q ) = 0. Want we wisten dat f voor alle punten in U q+2 0 was, per definitie van f. Dus geldt er dat g = f. Dus als f Ker A q (U, K) d A q+1 (U, K) is er een g Im A q 1 (U, K) A q (U, K), dus Ker A q (U, K) d A q+1 (U, K) = Im A q 1 (U, K) A q (U, K). Dus het complex is exact. Daarom is dit een resolutie die wij zochten. 20

23 Populaire samenvatting Dit verslag gaat over homologiegroepn en schoventheorie. Het begrip homologie ken je misschien uit de biologie, waar het verwijst naar gelijkenissen in het skelet van bepaalde dieren. In de wiskunde is een homologie de gelijkenis van het skelet, de structuur, van een bepaalde ruimte, in ons geval een paracompacte topologische ruimte (een ruimte met altijd een lokaal eindige verfijning, bijvoorbeeld een gesloten deelruimte van de R n ). Elke topologische ruimte heeft een bepaalde structuur die we willen kunnen vergelijken met de structuur van andere topologische ruimtes. Om dit te doen drukken we de structuur uit met speciale coëfficiënten. Om deze coëfficiënten te kunnen berekenen hebben we schovencohomologietheorie nodig. Deze theorie gaat zoals het woord al zegt over schoven. Dit zijn geen schoven op het graanveld, maar wiskundige schoven. Om te begrijpen wat schoven zijn moet je eerst bekend zijn met het begrip moduul. Een moduul is een veralgemenisering van een vectorruimte. Denk hierbij bijvoorbeeld gewoon aan R 5, maar ook bijvoorbeeld Z 5, wat ook een moduul over Z is. Definitie 2.20 (Schoof). Een schoof S van K-modulen over M bestaat uit een topologische ruimte S met bijbehorende continue afbeelding π : S M, welke aan de volgende eigenschappen voldoet: (a) π is een lokaal homeomorfisme van S naar M, Figuur 2.1: E.H. Spanier (b) π 1 (m) is een K-moduul voor elke m M, (c) Samegestelde afbeeldingen moeten continu zijn in de topologie van S. Het project eindigt met het uitwerken van de cohomologietheorie zoals ontwikkeld door J.W. Alexander en E.H. Spanier. 21

24 Bibliografie [1] Serge Lang, Algebra, Springer, herschreven 3-de editie, [2] Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. [3] Gerard van der Geer, Syllabus Algebra 2 22

25

26