Het eindexamen wiskunde van Hans Freudenthal

Transcriptie

1 In deed Hans Freudenthal zijn Reifeprüfung (Abitur), zeg maar eindeamen, op de Friedrichsschule, thans Friedrich-Gmnasium, te Luckenwalde. De originele handschriften bevinden zich in het archief van de school. Tom Goris bezocht onlangs de voormalige school van Freudenthal en dat archief. Hij maakte samen met Jenn-Jeanette Fechner van dit fraaie tijdsbeeld een leesbaar document. Inleiding Ingenaaid met de eamens van jaargenoten grote stevige, inmiddels vergeelde vellen papier, zonder lijntjes. De rechterhelft werd beschreven, de linkerhelft was bestemd voor het commentaar van de docent. Het eamen is geschreven in het Sütterlin handschrift, dat in de eerste helft van de vorige eeuw op Duitse scholen aangeleerd werd. Dankzij de inspanningen van Jenn-Jeanette Fechner, geschiedenisdocente en degene die de handschriften ontcijferd heeft, en Herr Michael Kohl, de rector van het Friedrich-Gmnasium, mag de Nieuwe Wiskrant dit eamen integraal publiceren. De opgaven.) Von einem Stern, dessen Deklination δ = ' ist, hat man zu einer gewissen Zeit, die Höhe h = ' '' und den Azimut a = 0 ' 0'' gemessen. Stundenwinkel des Sternes und geographische Breite des Beobachtungsortes sind zu berechnen mit Hilfe der logarithmischen Reihe auf.) Es soll L Dezimalstellen ermittelt werden. Aus dem Ergebnis ist auf Dezimalstellen zu berechder Wert von 0log nen..) Welche Gleichung besitzt die Evolute der Kurve =? Beide Kurven sind zu zeichnen, die Punkte stärkster Krümmung festzustellen und das Maß der Krümmung zu ermitteln..) Eine Parabel, deren Scheitel mit dem Mittelpunkt des Kreises + = zusammenfällt, schneidet diesen in ( ) und ( -). Welches ist die Gleichung zur Parabel und unter welchem Winkel schneiden sich diese Kurven? Het eamen Op de volgende bladzijden ziet u het volledige eamen, voorzien van vertaling van de tekst. Ook het schaarse commentaar dat de corrector ernaast geschreven had, is in de rechterkolom verwerkt. Het eamen is uiteindelijk met een gut beoordeeld. Een mooie afsluiting van het HF00-jaar...

2 H. Freudenthal ) Van een ster, waarvan de inclinatie δ = ' is, heeft men op een zeker tijdstip de hoogte h = ' '' en het azimuth a = 0 ' 0'' gemeten. De uurhoek van de ster en de geografische breedte van de waarnemingsplaats moeten berekend worden. a = 0 δ b = 0 h c = 0 φ α = 0 a β=t Door het toepassen van de sinusregel vindt men cos h sin t = sin a cos δ en hieruit met behulp van Napierse vergelijkingen: α βc a + b cos tg --tg = β- cos α α + βc cos a+b tg --- = tg cos α β a + -t cos 0 0 ϕ 0 δ + 0 h tg tg = 0 a -t cos -t sin a ϕ δ+h tg = ctg a + -t cos logcos h = 0,6 - logsin a = 0, - S. = 0,0 - logcos δ = 0,6 - logsin t = 0, - t = o' t = 0o' t is onbruikbaar omdat t + (0 a) > R, omdat (0 h) + (0 δ) < R is. t = = h m s

3 a t a+t δ+h a t = o 0 a + t = o 6 0 δ + h = 0o logsin a t = o 0 = o 0 = o 6 = 0,6 +h - = 0,6 logctg δ S = 0, - a+t - = 0,0 - logsin logtg ϕ = 0, - ϕ = o φ = o 0 φ = 6o De waarneming vond s middags h m s plaats op 6 geografische breedte ) moet met behulp van de logaritmische reeks op.) ln ( decimalen nauwkeurig berekend worden. Met behulp op decimalen nauwkeurig van het resultaat moet log berend worden. Oplossing: de logaritmische reeks is: + - ln = = = 0 = = 0, 0, 00 0, , ) = 0, ln( 0, ) = (0, + 0, ,00000 ln( + 0, , ) ) = (0,00 = 0, ln( ) = 0, (De corrector heeft van de een 6 gemaakt...) ln( Deze uitkomst kan men met behulp van de tabellen voor de natuurlijke logaritme bewijzen: ln =, (-)ln =, ) 0, ln( ) = 0,0060 ln(

4 ) met de formule: Uit deze uitkomst haalt men log ( ) = ln ( ) log e log ( ) = 0,0060 0, log ( logaritmisch berekend: log 0,0060 = 0,0 log 0, = 0, )) = 0,0 log (log ( = 0,0 log Volgens de tabel is: log = log, = 0,0.) Welke vergelijking heeft de omhullende van de kromme =. Teken beide krommen, bepaal de punten met de sterkste kromming en bereken de grootte van die kromming. Oplossing: = = = - = = = = ( + ) + ξ = = ( + ) + η = = ξ = = η = = ξ = = ξ = ξ η = ---- = η = η η = ξ ( + ) ( + ) ρ = ± = = ( ) ρ = ( ) = --- ( ) ρ = --- ( ) ( )

5 --- ( ) = 0 = 0, = ± imaginair is onbruikbaar voor, wordt ρ = 0. Men moet dan ρ bepalen. Voor, is ρ = 0 (?) Het was handiger geweest om van ρ naar te differentiëren. Dat levert een minimum van ρ voor = 0. De bijbehorende waarde van ρ is dan, de maat van de kromming ( --- ) = ---, het ρ punt met de sterkste kromming de top van de parabool.. Een parabool heeft als top het middelpunt van de cirkel + = en snijdt deze cirkel in (,) en (,-). Wat is de vergelijking van deze parabool en met welke hoek snijden deze krommen? Oplossing: + = is de middelpuntsvgl. vd. cirkel. De top van de parabool ligt dus in de oorsprong. = p voor = = ± = 6p p = = = cirkel: = p = = ± --- = m = -- = = m k m m tg = , als de hoek +m m tg = ± = ± = ± is. De waarde m = geeft m = - ---, niet + -- log =,0 log =, log(±tg) = 0, = o = o Op een abusievelijke verwisseling van de richtingen in de laatste uitwerking na, zijn de opgaven foutloos en met inzicht gemaakt. Goed. Müller, Oberstudiënrat Met in de zijlijn nog de opmerking dat de prestaties in de klas zeer goed waren. Jenn-Jeanette Fechner, Friedrich-Gmnasium, Luckenwalde, D Tom Goris, Freudenthal Instituut & Fonts Lerarenopleiding Tilburg