Studie van de functie van de voet bij de beweging van één- en tweepotige systemen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Studie van de functie van de voet bij de beweging van één- en tweepotige systemen"

Transcriptie

1 Vrij Univrsitit Brussl Facultit Tgpast Wtnschappn Vakgrp Wrktuigkund Studi van d functi van d vt bij d bwging van één- n twptig systmn Ptrus Mntyn Prfschrift ingdind tt ht bhaln van d acadmisch graad van Burgrlijk Wrktuigkundig Elktrtchnisch ingniur Prmtr: Prf. Dr. ir. F. Dardn Cprmtr: Prf. Dr. ir. D. Lfbr Acadmijaar

2 Inhudspgav Wrd vraf Samnvatting Abstract Inliding iv v vi vii 1 Bimchanica van d mnslijk vt Inliding Structuur van d vt Ht nklgwricht Ht subtalair gwricht Ht transvrsaal tarsaal gwricht D tarsmtatarsal gwrichtn D mtatarsfalangal gwrichtn D intrfalangal gwrichtn D plantair vtbgn Vt bij ht wandln Inliding Pridisch bwging Ontlding van d bwging Grndractikrachtn Vt bij ht lpn Inliding Ractikrachtn n kppls Bsluit Mdllring van n sprng in Mchanica Mtin Mdl zndr vt Dimnsinring van ht mdl Implmntati van ht mdl Mtingn n rsultatn Bsluit i

3 2.2 Mdl mt vt Dimnsinring van ht mdl Implmntati van ht mdl Mtingn n rsultatn Bsluitn n pmrkingn Thrtisch uitwrking van d schk tijdns d valbwging Mdl zndr vt D schkvrglijkingn Enrgivrlis tijdns d schk Rsultatn Mdl mt n vt D schkvrglijkingn Enrgivrlis tijdns schk Rsultatn Opmrkingn Mdllring van n stapbwging in Mchanica Mtin Inliding Opbuw mdl in Mchanica Mtin Zndr vt Mt vt Opstlln van d trajctn Zndr vt Mt vt Simulatis Zndr vt Mt vt Vrglijking van ht mdl zndr vt n ht mdl zndr vt Opmrkingn Bsluit Cnclusis 138 Wrdnlijst 140 A Implmntati springmchanism in Mchanica Mtin 145 A.1 Bpaling traaghidsmmnt n massamiddlpunt van d tw gldingn van ht mdl zndr vt A.2 Opbuw van ht mdl zndr vt A.2.1 Masurs A.2.2 Paramtrs A.2.3 Prprtis A.2.4 Lads A.2.5 Initial cnditins ii

4 A.2.6 Dsign variabls A.3 Opbuw van ht mdl mt vt A.3.1 Masurs A.3.2 Paramtrs A.3.3 Prprtis A.3.4 Lads A.3.5 Initial cnditins A.3.6 Dsign variabls B Inhud van d CD-ROM 158 B.1 Mapl B.2 Matlab B.3 Mathmatica B.4 Excll B.5 Mchanica Mtin B.6 Pi - hulpfils iii

5 Wrd vraf Mt vl plzir hb ik aan dit afstudrwrk mtrnt d functi van d vt gwrkt. Ik bn Prf. Dirk Lfbr n Prf. Frank Dardn dan k dankbaar mdat z mij d kans hbbn gbdn n studi vr dit ndrwrp uit t vrn. Ik wil hirbij Prf. Frank Dardn ng ns xtra bdankn vr d vl urn di hij hft gspndrd aan d bgliding van dit wrk. Vrdr dank ik Fris Hagman di m d ndig inf vr d wrking van d vt bij d mns vrschaft n Jimmy Vrmuln di n grt hulp is gwst bij ht mdllrn in ht simulatiprgramma Mchanica Mtin. Ok wil ik Bjrn Vrrlst n Jris Naudt bdankn vr ht lnn van hun burau alsk Nic Smts, Michaël van Damm n Karum Badrdin vr ht dln van hun burau n ht aangnam gzlschap tijdns ht uitvrn van d simulatis. En spciaal wrd van dank gaat uit naar Thirry Lnir n Omr D Hndt di ht prgramma Mchanica Mtin installrdn. Tt slt wil ik ng mijn udrs bdankn m m gdurnd hl mijn studi t stunn. Ok mijn vrindin Annk dank ik vr d stun, d intrss n ht tr bschikking stlln van haar vtn. iv

6 Samnvatting Naar aanliding van d buw van n twptig stappnd rbt in d vakgrp Wrktuigkund, was ht ndig d functi van d vt t ndrzkn. In n rst fas wrd n litratuurstudi mtrnt d bimchanica van d mnslijk vt uitgvrd. Hirbij wrdn d vrnaamst takn di d mnslijk vt p zich nmt n d mchanismn di n blangrijk rl spln bij ht vrvulln hirvan, gïdntificrd. Eén van d vrnaamst functis van d vt is ht pvangn van d schk bij ht nrkmn. Aan d hand van d mdllring van n ééndimnsinal springr wrd d wrking van d vt bij impact ndrzcht. Dit wrd zwl gdaan aan d hand van n mdllring in ht multibdy simulatipakkt Mchanica Mtin als dr middl van n thrtisch uitwrking van d impactfas. Hiruit blk dat ht tvgn van n vtglid n strk psitiv invld hft p ht nrgivrlis tijdns d impactfas. Tnsltt wrd n vlldig stapbwging van n humanïd twptig mchanism gsimulrd in Mchanica Mtin. Dit wrd gdaan vr n mdl zndr vt n n mdl mt vt zdat d invld van ht vtglid kn wrdn naggaan. Bij ht mdl mt vt wrd gtracht d bwging van ht mdl z dicht mglijk bij di van d mns t brngn. Uit dz studi blk dat ht tvgn van n vt tlaat n nrgtisch gunstigr bwging uit t vrn. v

7 Abstract Th prsnt wrk was dn in th cntxt f th cnstructin f a tw lggd walking rbt at th dpartmnt f Mchanical Engnring. This rbt will hav actuatd ft and s a thrugh undrstanding f th functin f th ft is imprtant. Bfr cncntrating n th functin f th ft in rbtics, a study f litratur cncrning th bimchanics f th human ft was dn. During this study th main tasks f th human ft and th mchanisms which mak th ft prfrm as rquird, wr idntifid. On f th main functins f th ft is absrbing shck at grund impact. This prprty was xamind using a mdl f a jumping lg with n dgr f frdm. Th jumping lg mdl was first simulatd in th multibdy simulatin sftwar Mchanica Mtin and in a nxt phas a thrtical apprach f th impact phas was mad. Bth shwd that adding a ft rsults in a strng dcras f nrgylss at impact. Finally a cmplt gait cycl f a humanid bipd was simulatd in Mchanica Mtin. Simulatins wr mad fr a mdl with a ft as wll as fr a mdl withut a ft. Th mvmnt f th mdl with a ft was basd n a human gait cycl. During ths simulatins it appard that a bipd with a ft can mv at a lwr nrgtic cst. vi

8 Inliding D laatst jarn is d intrss in humanïd rbts strk gstgn. Dz rbts ndrschidn zich dr hun dynamisch karaktr. Klassik stappnd rbts zijn mstal vrzin van mrdr ptn, gwnlijk zs f acht. Z bwgn p n statisch wijz, dit wil zggn dat z nit ht cntact mt d grnd vrbrkn n dat in lk psiti ht massamiddlpunt van d rbt zich bvn d plygn van d stunpuntn bvindt. Dz rbts zijn mstal zwaar n bwgn zich rlatif traag vrt. D humanïd rbt van d vakgrp wrktuigkund is vrzin van n vtglid aan lk bn. Ht gbruik van n vtglid in rbts is chtr quasi nbstaand n d functi van dit glid is nauwlijks bstudrd. Ht is in dit kadr dat dit afstudrwrk dint gsiturd t wrdn. Om n id t krijgn van d functi van d vt, wrd r n studi van d litratuur mtrnt d bimchanica van d mnslijk vt uitgvrd. D rsultatn hirvan is t vindn in hfdstuk 1. D wrking van d mnslijk vt blijkt gbasrd t zijn p n aantal cmplx mchanismn. Dit gft aan dat d prcis functi van d vt nit z gmakklijk aan t duidn is. D vrdr studi van d vt wrdt in rst instanti bprkt tt n wandlaar in tw dimnsis. Bijgvlg wrdn d cnclusis di uit d litratuurstudi vlgn, grducrd tt n twdimnsinal wrking van d vt. In n vlgnd dl wrdt d wrking van d vt als schkdmpr ndrzcht. Dit wrdt gdaan aan d hand van n ééndimnsinal springr. In n rst fas wrdt dz gmdllrd in ht multibdy simulatiprgramma Mchanica Mtin. In hfdstuk 2 wrdt dz mdllring bsprkn. Er wrdn tw mdlln pgstld: n springr zndr vt n één mt vt. D prstatis van d vrschillnd mdlln wrdn dan vrglkn. In n twd fas wrdt d impactfas thrtisch bnadrd aan d hand van d schkvrglijkingn. In hfdstuk 3 wrdn dz schkvrglijkingn uitgwrkt n ht vrlis aan kintisch nrgi brknd. Ok dit gburt vr n mdl zndr vt n n mdl mt vt. Tnsltt wrdt r in hfdstuk 4 n vlldig stapbwging van n twptig mchanism gmdllrd in Mchanica Mtin. Om dz stapbwging t kunnn mdllrn wrdn r rst bann ggnrrd aan d hand van plynmn. Er wrdt gtracht d bann z t cnstrurn dat d bwging dicht aanlunt bij di van d mns. Ht is d vii

9 bdling z d stapbwging t ptimalisrn. Bij ht mdl zndr vt is r chtr gn rfrntibwging bschikbaar. Vr dit mdl zal mn dus intuïtivr t wrk gaan. D prstatis van bid mdlln zulln dan vrglkn wrdn m z n id t krijgn van ht nut van d vt bij d stapbwging. viii

10 Hfdstuk 1 Bimchanica van d mnslijk vt 1.1 Inliding Vrmits d mns rchtp staat vrmn nz vtn d nig vrbinding mt d grnd. Hiruit vlgn dan k d blangrijkst functis van nz vtn. D ractikrachtn van d grnd wrdn via d vtn naar d bnn n d rst van ht lichaam vrgbracht. D vtn mtn k vr vldnd grip zrgn zdat w ht vnwicht bwarn p n nffn ndrgrnd. Ok bij ht bpaln van d knmrkn van d grnd kmt d vrnaamst input van nz vtn. Z wrdt ndrmr d hlling n d zachthid van d ndrgrnd via d vt naar nz hrsnn drggvn. Wannr w ns vrtbwgn zal d vt (mr bpaald d hil) d schk bij ht nrkmn nrzijds zvl mglijk absrbrn n andrzijds ht nrgivrlis dat daarm gpaard gaat minimalisrn. Vanaf ht mmnt dat d hil van d grnd kmt tt ht ind van cntact, gbruikn w nz vt als n starr hfbm. Bij dz vrschillnd functis mrkn w n zkr cntrast p. Enrzijds mt d vt spl zijn m d schk t absrbrn n zich aan t passn aan n nffn trrin n andrzijds mt d vt star zijn pdat hij n stabil basis vr ht lichaam zu vrmn n als starr hfbm kan dinn bij ind cntact. Aan dz vristn vldt d vt mt bhulp van zijn 26 bndrn n d ndig gwrichtn hirtussn. 1

11 Figuur 1.1: Bvn n ndraanzicht van d bndrn van d vt. ([8]) 1.2 Structuur van d vt Zals al gzgd bstaat d vt uit zsntwintig bndrn (zi figuur 1.1). D plaatsing rvan n d vrschillnd gwrichtn rtussn makn van d vt n cmplx structuur di vldt aan d vl isn di hm gstld wrdn. Om d wrking van d vt gd t bgrijpn, is ht ndzaklijk d pbuw van d vt uitn t zttn. Immrs, d structuur van d vt vrmt d basis van d vrschillnd mchanismn di zijn wrking bpaln. W mtn hirbij wl pmrkn dat n bpaald functi van d vt nit dr één nkl mchanism bwrkstlligd wrdt. Ht zijn vrschidn mchanismn vr hl d vt di samn bpaald functis zulln vrvulln. Om d bschrijving van d vt t vrgmakklijkn wrdt d vt pgdld in dri functinl dln, namlijk d achtrvt, d middnvt n d vrvt. Dz pdling is wat kunstmatig. D gwrichtn van d vt latn immrs vl mindr bwging t dan d mst andr gwrichtn van ns lichaam. Bijgvlg zal d bwging van één dl d andr dln strk bïnvldn n kunnn w dz dln milijk afzndrlijk bschuwn. Vralr w vrdr ingaan p d functis van d vt, zulln w rst nkl algmn bgrippn, di gbruikt wrdn bij d bschrijving van d bwgingn van ht lichaam, invrn. Er wrdn dri vlakkn gdfinird tn pzicht waarvan w d vrschillnd bwgin- 2

12 Figuur 1.2: Ht absluut rfrntistlsl dat gbruikt wrdt m d mnslijk bwgingn t bschrijvn.([16]) gn kunnn bschrijvn (zi Fig.1.2), namlijk ht sagittaal, frntaal n transvrsaal vlak. Ht sagittaal vlak vrdlt ns lichaam vrtikaal in n linkr- n rchtrgdlt. In dit vlak bwgn w ns vrt. Wannr ht sagittaal vlak ht lichaam in tw quasi glijk hlftn (antimrn) vrdlt, wrdt ht k wl ht mdian vlak f symmtrivlak gnmd. In d vt bstaat d bwging in ht sagittaal vlak uit drsaalflxi (drsaal: in d richting van d (vt)rug) n plantairflxi (plantair: in d richting van d vtzl) zals t zin is p figuur 1.3. Ht frntaal vlak snijdt ht lichaam vrtikaal in n vrst n achtrst hlft. D vtbwging in dit vlak nmt mn vrsi n invrsi (zi figuur 1.4). D as waarrnd dz bwging gburt nmt mn d lngitudinal as. Ht laatst vlak, ht transvrsaal vlak, f k wl hrizntaal vlak gnaamd, schidt d bvnzijd van d ndrzijd van ht lichaam. In d vt is d as ldrcht p dit vlak d as van ht bn (vrtikal as). Mn nmt d bwging rnd dz as abducti als 3

13 Figuur 1.3: Drsaalflxi (DF) n plantairflxi (PF) van d vt (a) D vt kan vrij bwgn n ht bn wrdt vastghudn. (b) D vt staat p d grnd n is dus nbwglijk. Ht bn zal hir bwgn. (a) (b) mn naar buitn t rtrt (wg van d middlijn van ht lichaam) n adducti als mn inwaarts rtrt(zi figuur 1.5). Vrdr gbruikt mn d trmn mdiaal n latraal m rspctivlijk d binnn- n buitnzijd van d vt aan t duidn. Mt bhulp van dz bgrippn kunnn w nu d structuur van d vt uitnzttn. Dz kunnn w bst bschrijvn aan d hand van d vrschillnd gwrichtn. Hirbij mgn w chtr nit uit ht g vrlizn dat dz in hg mat intragrn zdat n bwging in ht n gwricht nvrmijdlijk implicatis hft p d tstand van d andr gwrichtn. (a) (b) (a) (b) Figuur 1.4: Rtati rnd d lngitudinal as. (a) Invrsi n vrsi van d vrij vt. (b) Ht bn bwgt vr n vast vt. Figuur 1.5: Rtati rnd d vrtikal as. (a) Adducti n abducti als d vt vrij kan bwgn. (b) D vt staat vast p d grnd. 4

14 (a) (b) (c) Figuur 1.6: Ht nklgwricht mt zijn licht schuinliggnd as. (a) in ht frntaal vlak (ngvr 10 gdraaid). (b) In ht sagittaal vlak. (c) in ht transvrsaal vlak (d as ligt hir ngvr 30 gdraaid).([6]) Ht nklgwricht D nkl vrmt d vrbinding tussn dri bndrn, namlijk tibia (schnbn), fibula (kuitbn) n talus (ktbn) (zi figuur 1.6). D bndrn van ht ndrbn, tibia n fibula, zijn aan lkaar vastghcht dr ligamntn n vrmn dus één blk. D talus is van cruciaal blang in d vt. Vrmits d talus ht nig raakvlak tussn d vt n ht ndrbn is, wrdn all vrtikal grndractikrachtn p d vt via d talus naar ht bn drggvn. Dr d vl ligamntn di rnd d nkl aanwzig zijn is d bwging quasi uniaxiaal rnd n schuinliggnd as. Mn nmt algmn aan dat d as in ht frntaal vlak ngvr 10 naar bndn hlt aan d buitnzijd van d vt (zi figuur 1.6(a)). In ht transvrsaal vlak ligt d as 20 tt 30 latraal gdraaid (zi figuur 1.6(c)). D bwging rnd ht nklgwricht is dan k n cmbinati van bwgingn in d vrschillnd gdfinird vlakkn. Tch blijft d vrnaamst bwging di in ht sagittaal vlak (drsaalflxi n plantairflxi). Opmrklijk is dat aan d talus gn spirn ghcht zijn n d spirn naar d vt dus minstns tw gwrichtn vrbruggn Ht subtalair gwricht Dit gwricht wrdt gvrmd dr n cncaaf gdlt van ht ndrpprvlak van d talus n ht cnvx gdlt van d calcanus. D as van dz vrbinding lpt achtraan naar bndn n naar d buitnzijd, gmiddld 41 van ht hrizntaal vlak n 23 van ht sagittaal vlak (zi figuur 1.7). D bwging rnd dz as is dus n cmbinati van bwgingn in d dri vlakkn di mn supinati n prnati nmt. Prnati bstaat uit abducti, vrsi n drsaalflxi 5

15 Figuur 1.7: As van ht subtalair gwricht. Bvn: in ht saggitaal vlak. Ondr: in ht hrizntal vlak.([6]) (a) (b) Figuur 1.8: (a) Mdl vr ht subtalair gwricht vrgstld dr Vrn Inman. D tw stukkkn hut di ht ndrbn n d vt vrstlln zijn via n schuinliggnd scharnir (45 ) vrbndn. Dit illustrrt d kppling tussn intrn rtati van ht ndrbn n vrsi van d vt. (b) Ht transvrsaal tarsaal gwricht tgvgd aan ht mdl in (a) waardr d vrvt p d grnd kan blijvn.([1]) van d calcanus tn pzicht van d talus. Supinati is d bwging in d andr richting n bstaat uit adducti, invrsi n plantairflxi van d calcanus tn pzicht van d talus. Daar d as halfwg d vrtikal n d lngitudinal as ligt is r ngvr vnvl vrsi n invrsi als abducti n adducti. D as wijkt slchts lichtjs af van ht sagittaal vlak n bijgvlg draagt dz vrbinding winig bij tt plantairflxi n drsaalflxi. Er wrdn wl grt individul vrschilln in d riëntati van d as vastgstld (rf [6]). Z zal d vrbinding mr bijdragn tt vrsi n invrsi dan tt abducti n adducti als d as mr hrizntaal kmt t liggn. D as van ht subtalair gwricht kan dus vrgstld wrdn als n schfliggnd scharnir (zi figuur 1.8(a)). Als ht bn n xtrn rtati ndrgaat zal dit rsultrn in invrsi van d vt, trwijl intrn rtati vrsi van d calcanus tt gvlg hft. En van d vrnaamst functis van ht subtalair gwricht ligt in d wisslwrking van ht gwricht mt ht bn. Immrs, vrmits ht nklgwricht gn abducti f adducti kan absrbrn in d blast tstand (standfas), zal transvrsal rtati van ht bn k 6

16 d talus dn draain. Dz rtati zal dan via ht subtalair gwricht prnati f supinati vrrzakn. Dankzij ht subtalair gwricht zal nz vtzl tijdns d stunfas dus nit draain in ht vlak van d grnd (slippn). Wannr ht gwricht nit blast is (vt in d lucht), zijn d bwgingn van ht bn n ht subtalair gwricht nafhanklijk (ht nklgwricht kan dan wl abducti f adducti absrbrn) Ht transvrsaal tarsaal gwricht Figuur 1.9: Bvnaanzicht van ht talnaviculair n ht calcancubid gwricht vrmn samn ht transvrsaal tarsaal gwricht.([6]) Figuur 1.10: Vraanzicht van d assn van ht transvrsaal tarsaal gwricht. A: Als d calcanus vrsi ndrgaat hbbn ht calcancubid gwricht n ht talnaviculair gwricht vnwijdig liggnd assn n d vt zal bijgvlg n maximal splhid bzittn. B: D assn van ht calcancubid n d talnaviculair gwricht kruisn lkaar wannr d calcanus invrtrt (supinati van d vt) wat d bwglijkhid van d vt strk zal rducrn.([10]) Dit S-vrmig gwricht vrmt d schiding tussn d achtrvt n d middnvt. Ht gwricht bstaat ignlijk uit tw gwrichtn, namlijk ht talnaviculair gwricht n ht calcancubid gwricht (zi figuur 1.9). Dz gwrichtn kunnn nigszins afzndrlijk van lkaar wrkn, maar mstal wrdt n bwging van d n vrgzld van nig bwging van d andr. Analys van d bwging van ht transvrsaal tarsaal gwricht lvrt n wrking rnd tw nafhanklijk assn p: (1) En lngitudinal as di paralll lpt mt d subtalair as n dus zrgt vr vrsi-abducti n invrsi-adducti; (2) D schuin as ligt ngvr vnwijdig mt di van d nkl n zrgt vral vr plantairflxi n drsaalflxi. D tw assn zrgn vr n supinati-prnati bwging. D pdling in tw assn is nkl n middl m d bwging t bschrijvn n is dus fysisch nit aanwzig. In d blast vt, zal d bwging van ht transvrsaal tarsaal gwricht bpaald wrdn dr d bwging van d talus n d calcanus tn pzicht van ht vrijwl vast naviculcubid gdlt. Bijgvlg zal d bwging in ht transvrsaal tarsaal gwricht 7

17 strk afhanklijk zijn van di in ht subtalair gwricht (dz vrbindt d talus mt d calcanus). Aan d hand van dz afhanklijkhid zal ht transvrsaal tarsaal gwricht n rst blangrijk functi vrwznlijkn. D wrking van ht transvrsaal tarsaal gwricht is namlijk z dat invrsi van d calcanus zrgt vr n grtr stabilitit van ht gwricht n dat vrsi n vrlaagd stabilitit tt gvlg hft (zi figuur 1.10). Mn kan dit als vlgt inzin: Als d assn van ht calcancubid gwricht n van d talnaviculair gwrichtn paralll kmn t staan, is d bwgbaarhid van ht transvrsaal tarsaal gwricht maximaal n dit is nt ht gval wannr ht subtalair gwricht prnrt (vrsi van d calcanus). Wannr ht subtalair gwricht chtr supinrt, zulln d assn nit mr vnwijdig liggn n dit zal d bwgingsmglijkhdn strk bprkn. Dankzij dz afhanklijkhid draagt ht transvrsaal tarsaal gwricht bij tt n van d vrnaamst mchanismn van d vt. Ht laat d vt t spl t zijn m zich aan n nffn trrin aan t passn n star t zijn zdat hij als starr hfbm kan dinn. En twd blangrijk functi van ht transvrsaal tarsaal gwricht is ht cmpnsrn van d psiti van d achtr- f vrvt. Wannr ht bn intrn rtrt, zal dit dr ht subtalair gwricht mgzt wrdn in vrsi van d vt (zi figuur 1.8(a)). Als dz prnati van d vt zich drhn d hl vt zu vrtzttn, zu d latral rand van d vtzl van d grnd kmn waardr d stunbasis nkl ng uit d mdial zijd van d vt zu bstaan. Dit ngwnst ffct bij prnati van ht subtalair gwricht wrdt vrhlpn dr ht transvrsaal tarsaal gwricht. Immrs, als d vt prnrt, bzit ht transvrsaal tarsaal gwricht maximal bwgingsvrijhid n kan z d rtati absrbrn (zi figuur 1.8(b)) D tarsmtatarsal gwrichtn D tarsmtatarsal gwrichtn wrdn gvrmd dr d vijf mtatarsaln (middnvtsbntjs) nrzijds n d cubid n d cunifrmi (wigvrmig bntjs) andrzijds (zi figuur 1.11). D gwrichtslijn di dr dz gwrichtn wrdt gvrmd, wrdt d gwrichtslijn van Lisfranc gnmd. Ht rst (binnnst) tarsmtatarsaal gwricht maakt d vrbinding tussn d rst mtatarsaal n d mdial cunifrm. Ht twd gwricht ligt mr naar achtr n is vl mindr bwgingsvrij. Ht bstaat uit ht twd middnvtsbntj aan d n kant n n slt gvrmd dr ht binnnst wigvrmig bntj n d zijkantn van d tw andr wigvrmig bntjs. Ht drd (middlst) gwricht, tussn d drd mtatarsaal n d latral cunifrm, dlt zijn capsul mt ht twd. Ht vird n vijfd tarsmtatarsaal gwricht wrdt gvrmd dr d basis van ht vird n vijfd middnvtsbntj mt d cubid. Ok zij dln dzlfd capsul. Er zijn tvns klin gwrichtjs tussn d basissn van d mtatarsal bntjs aanwzig m ndrling bwging t t latn. D functi van d tarsmtatarsal gwrichtn is vrnamlijk n vrtztting van di 8

18 Figuur 1.11: D vijf tarsmtatarsal gwrichtn (CU = cubid, MC = mdial cunifrm, MC = middlst cunifrm, LC = latral cunifrm).([6]) van ht transvrsaal tarsaal gwricht. Dit gwricht prbrt namlijk d psiti van d mtatarsal bntjs n d tnn tn pzicht van ht grndpprvlak t rgln. Zlang ht transvrsaal tarsaal gwricht d achtrvt psiti gng kan cmpnsrn, kmn d tarsmtatarsal gwrichtn nit in acti. Andrs draain k zij m alsng d psiti van d vrvt juist t krijgn. Dit nmt mn dan prnati f supinati buiging D mtatarsfalangal gwrichtn Dz gwrichtn hbbn tw vrijhidsgradn. Z latn zwl drsaalflxi n plantairflxi als adducti f abducti t. Dz tw vrijhidsgradn hbbn vral in ht vrldn hun nut bwzn, mr bpaald bij grijpactivititn van d vtn (in bmn klimmn). Vandaag d dag is d vrnaamst bwging drsaalflxi n plantairflxi n wrkt ht mtatarsfalangaal gwricht dus quasi als n scharnir. In d blast vt laat dz bwging ht lichaam t vr d vt t bwgn trwijl d tnn ht lichaam in vnwicht hudn dr tgn d grnd aan t drukkn mt bhulp van tnnbuigrs. Hirm is mtn d blangrijkst functi van dit gdlt van d vt aanghaald, namlijk ht lichaam in vnwicht hudn. In d vrtbwging zijn dz gwrichtn van cruciaal blang nt vr n tijdns ind cntact. En starr vt is p dat mmnt ndzaklijk m d krachtn, di ht lichaam in vnwicht hudn n d vrandring van stunvt zacht latn vrlpn, p d grnd t kunnn uitfnn. Dz starhid wrdt ndr andr vrwznlijkt via d mtatarsal brak n d plantair apnurs. D mtatarsal brak rfrrt naar d gmnschapplijk schuin as vr mtatarsfalangal buiging f strkking di dr ht twd tt ht vijfd kpj van ht middnvtsbntj ligt (zi figuur 1.12(a)). W kunnn d psiti van dz as zlf vaststlln bij schnn di w al n tijdj gdragn hbbn (zi figuur 1.12(b)). D inclinati in ht transvrsaal vlak (53 tt 72 ) is t wijtn aan d afnmnd lngt van d mtatarsaln n zrgt rvr dat ht lichaamsgwicht nit nkl langs d tw rst mtatarsaln wrdt vrgbracht maar btr wrdt vrdld. En twd blangrijk functi van dz schuin as is ht in d hand wrkn van d xtrn rtati van ht bn bij ind cntact, wat 9

19 (a) (b) Figuur 1.12: (a) D mtatarsal brak gaat dr d buitnst vir mtatarsal indn. (b) Als w nz schnn n tijdj gdragn hbbn kunnn w d aanwzighid van d mtatarsal brak aan d schn zin. [1] supinati n dus starhid van d vt mglijk maakt. Dz starhid wrdt ng vrstrkt dr d plantair apnurs. Dit ligamnt lpt van d calcanus tt d basis van d prximal falangs (prximal ktjs). Dankzij d aanhchting nt vrbij ht mtatarsfalangaal gwricht, zal drsaalflxi van ht mtatarsfalangaal gwricht ht ligamnt vr d kpjs van d middnvtsbntjs spannn wat d bgvrm van d vt vrstrkt n tt n stvigr vt lidt. Dit wrdt mr in dtail bsprkn in paragraaf Bvndin hft d plantair apnurs n stabilisrnd ffct p ht mtatarsfalangaal gwricht D intrfalangal gwrichtn Dit zijn zuivr scharnirvrbindingn mt één vrijhidsgraad tussn d tnktjs. D functi van d tnn bstaat rin d gwichtsvrdracht van d n vt naar d andr t vrzachtn n ht vnwicht t bwarn D plantair vtbgn W hbbn nu d gwrichtn één vr één bsprkn maar zals al gzgd kunnn w d functis rvan nit hlmaal afzndrlijk bkijkn. Z zin w dat vr vrschillnd gwrichtn hn r zich n gwlfstructuur vrmt di p zich n nit t vrwaarlzn 10

20 functi hft. D cnfigurati van ht talcalcannaviculair gwricht, ht transvrsaal tarsaal gwricht n d tarsmtatarsal gwrichtn lidt tt n structurl gwlf in d vt. D tnn makn r gn dl van uit, maar bïnvldn wl indirct d vrm rvan. (a) (b) Figuur 1.13: D plantair apnurs n andr ligamntn di d bgn in d vt ndrstunn.([6]) Figuur 1.14: D transvrsal bg. (a) p ht nivau van d tarsmtatarsal gwrichtn. (b) p ht nivau van d mtatarsal gwrichtn.([6]) Ht gwlf in d vt is samngstld uit tw lngitudinal bgn (mdiaal n latraal) n n transvrsal bg. D basissn van d lngitudinal bgn zijn d calcanus achtraan n d mtatarsal kpjs vraan. Mn kan dz bg ht duidlijkst vaststlln aan d binnnkant van d vt (zi figuur 1.13). D transvrsal bg is ht bst t zin tr hgt van ht tarsmtatarsaal gwricht (zi figuur 1.14). Alhwl d vrm n cnfigurati van d bndrn d bgvrm ndrstunt, zu dz bg zich zndr d aanwzig ligamntn ntvuwn. D vrnaamst ligamntn di dz gwlfstructuur ndrstunn zijn: ht ligamnt calcannavicular plantar (spring ligamnt), d krt plantair bandn, ht ligamnt plantar lngum n d apnursis plantaris (plantair apnurs) (zi figuur 1.13). Wannr d bgn nit pgspannn zijn, is d vt spl n latn d ligamntn wat bwging t m schkkn t absrbrn n d aanpassing aan n nffn pprvlak mglijk t makn. Wannr d bgn pgspannn zijn zal d gwlfstructuur n stabil basis vrmn. Dz zal rvr zrgn dat ht lichaamsgwicht gd vrdld wrdt in d vt n dat d vt kan gbruikt wrdn als n starr hfbm bij ht ind van cntact. D plantair apnurs splt hirbij n blangrijk rl (zals rds aanghaald in 1.2.5). Dit ligamnt gdraagt zich als n kabl tussn d tnn n d hil (zi figuur 1.13). Z vrmt r zich n mchanism di n cmbinati is van n truss n n windas-mchanism van Hicks aan d mtatarsfalangal aanhchting van ht ligamnt (zi figuur 1.15). Als d mtatarsfalangal gwrichtn drsaalflxi ndrgaan, wrdt d plantair ap- 11

21 Figuur 1.15: A. truss. D hutn structuur is analg aan d bndrstructuur in nz vt. D plantair apnurs is vrgstld dr d krd tussn d tw indn van d bndrn. H krtr d krd, h hgr d truss. B. Spaans windas. Ht nbwglijk bn stlt n middnvtsbntj vr, ht bwglijk dl n prximaal ktj. D krd stlt d plantair apnurs vr, vastghcht aan ht prximal ktj. C. Cmbinati van n truss n n Spaans windas. Drsaalflxi van ht mtatarsfalangaal gwricht zrgt vr n hgr gwlf.([11]) nurs vr dit gwricht gtrkkn (figurn 1.16 n 1.17) waardr d afstand tussn d calcanus n d kpjs van d middnvtsbntjs vrkrt. D basis van d truss is dus klinr gwrdn n d hgt van d vtbg grtr. Dit rsultrt in n stvigr vt (zi rf [20]). Mrk p dat d twd mtatarsaal zich in ht tppunt van d bg bvindt wat vrklaart waarm di mindr bwgingsvrijhid ndig hft. Immrs, wannr d transvrsal bg zich ntvuwt hft ht twd middnvtsbntj nit t bwgn. Naast ht fit dat d bgn strk bijdragn tt d starhid van d vt, blijkn z k van blang t zijn als natuurlijk schkdmprs tijdns ht lpn. D prcis hvlhid vrvrming di zij in di functi tlatn is milijk t bpaln (rf [9]). Ht is chtr nit z dat h hgr d bg is, h btr. Intgndl zijn vl vtn mt n hg bg zr stvig waardr z schkkn mindr absrbrn. Bij ht bstudrn van ht drukvrlp in d stunfas tijdns ht lpn (zi latr) zit mn dat n hg bg indrdaad Figuur 1.16: D invld van ht pspannn van d plantair apnurs via drsaalflxi van ht mtatarsfalangaal gwricht. 12

22 Figuur 1.17: D plantair apnurs. A. dwarsscti B. ndraanzicht C. d vrst aanhchtingspuntn van d plantair apnurs D. drsaalflxi van d tnn spant d plantair apnurs aan.([10]) aanliding gft tt n grtr schk bij d impactfas. Daarnaast hft mn k ng vrschilln in d mat van vrsi van d calcanus. D platvt ndrgaat mr vrsi van d calcanus dan d hlvt (zi [15]). Opmrklijk is k dat bij stilstand dz bgstructurn hun stabilitit kunnn bwarn zndr d hulp van spirn. Ht is aangtnd dat zlfs indin d spirn van ht bn n d vt vrdfd wrdn, d bgn van d vt hun vrm n stvighid bwarn. En vlldig blast statisch vt hft gn spiractivititn ndig m zijn vrm t bhudn (rf [18]). Dit tnt aan dat d ligamntn n d bndrstructuur als rst brn van stabilitit fungrn. In ht dynamisch gval, tijdns ht wandln f lpn, dragn d spirn wl bij tt d ndrstuning van d gwlfstructuur. 13

23 1.3 Vt bij ht wandln Inliding Ht dl van wandln f lpn is ht lichaam vilig n fficiënt vr d grnd vrplaatsn. Hirvr mtn r tijdns lk stunfas bpaald takn uitgvrd wrdn. Bij ht wandln mt r stds minstns één vt in cntact zijn mt d grnd, dz vt is dan in d stunfas. Wintr ([17]) stld dri hfdtakn tijdns ht wandln vr: D ndrstuning van ht bvnlichaam. Bhud van rchtpstaand huding. Cntrl van ht pad dat d vt aflgt m vilig n zacht p d grnd nr t kmn. Cncrt vrtaln dz vrwaardn zich vr d vt als vlgt: Er mtn cntinu ractikrachtn zijn di via d vtn ht lichaam ndrstunn. Elk vt maakt n gcntrlrd pridisch bwging van d n stunpsiti naar d vlgnd in d vrtbwgingsrichting. Vrmits d bwging pridisch is, zulln w d bwging tijdns één cyclus bschuwn. Hirbij zulln w ht nit nkl hbbn vr d vt, maar k vr d rst van ht ndrlichaam vrmits d bwgingn van d vt daar nauw m samnhangn. Ht is d bdling m, uitgaand van d bwgingn di tijdns één wandlcyclus gmaakt wrdn, d blangrijkst functis van d vrschillnd dln van ns ndrlichaam n in ht bijzndr di van d vt aan t tnn. Mrk p dat d bwgingn di bschrvn wrdn slchts gmiddldn zijn n r dus sms grt individul vrschilln kunnn bstaan. Figuur 1.18: Eén vlldig wandlcyclus.([6]) Pridisch bwging Erst n vral wrpn w n blik p wat r nu juist in één wandlcyclus gburt (figurn 1.18 n 1.19). D wandlcyclus wrdt pgdld in n stunfas n n zwaaifas. D stunfas bslaat ngvr 60 prcnt van d cyclus n d zwaaifas d vrig 40 prcnt. Tijdns d stunfas zijn r tw prids waar d tw vtn stunn p d grnd, d rst vanaf initil cntact tt ngvr 12 prcnt van d cyclus n d laatst van 50 tt 62 prcnt van d cyclus (ht mmnt waarp d tnn d grnd vrlatn). Tussn dz 14

24 prids waar d tw vtn d grnd rakn stunt ht lichaam p één bn (singl limb supprt). Dz prid duurt ngvr n drd van d cyclustijd. Figuur 1.19: D wandlcyclus wrdt pgdld in n stunfas n n zwaaifas.([10]) D cyclus wrdt tlkns wr drlpn n bpaalt dus vlldig ns lppatrn. D bwging van ht massamiddlpunt vrlpt nit vlgns n prfct rcht lijn n bvndin lpn w nit aan n cnstant snlhid. En blangrijk paramtr m d psiti van ns lichaam t dfiniërn is ht massamiddlpunt. Vrmits d bwging van ht massamiddlpunt afglid kan wrdn uit d richting n grtt van d krachtn di p ht lichaam inwrkn, is ht duidlijk dat d bwging van dit punt blangrijk infrmati kan vrschaffn. Ht massamiddlpunt van n lichaam waarp intrn n xtrn krachtn wrkn, bwgt altijd alsf d hl massa van ht lichaam in dit punt gcncntrrd is n all xtrn krachtn hirp inwrkn. Figuur 1.20 gft ns n bld van d bwging van ht massamiddlpunt (mmp) tijdns ht wandln. W stlln hir tw afwijkingn van n rcht lijn vast: ns lichaam stijgt n daalt n paar cntimtr n ht wigt wat hn n wr. Als ht lichaam vr ht stunbn bwgt brikt ht zijn hgst punt juist bvn d stunvt, daarna daalt ht trug tt d andr vt vrnmt. Ht hgst punt kmt vrn mt d laagst snlhid n ht laagst punt mt d hgst snlhid. Dit is lgisch als mn gn nrgivrlis ndrstlt. D hgt bpaalt d ptntiël nrgi, d snlhid d kintisch n vrmits d sm cnstant mt blijvn (gn nrgivrlis) mt ht maximum van d n wl samnvalln mt ht minimum van d andr (dit is als w d rtatinl kintisch nrgi k cnstant ndrstlln). Tijdns d stunfas slingrt ht lichaam naar buitn vr ht stunbn mdat ht massamiddlpunt ndgdwngn bvn d stunvt mt liggn. Op figuur 1.21 kunnn w d snlhid van ht lichaam valurn n zals al gzgd is di nit cnstant. Om dit t visualisrn zal mn n punt latn bwgn aan d 15

25 Figuur 1.20: D bwging van ht massamiddlpunt van ns lichaam tijdns d wandlcyclus. a. prjcti p ht transvrsaal vlak. b. prjcti p ht sagittaal vlak. c. prjcti p ht frntaal vlak.([1]) Figuur 1.21: D gprjctrd psiti van ht massamiddlpunt p ht transvrsaal vlak tn pzicht van n fictif massamiddlpunt dat cnstant aan d gmiddld vrtbwgingssnlhid zu bwgn. RR: richting van vrtbwging. D dikk lijn duidt d dubbl stunfass aan.([2]) gmiddld wandlsnlhid n tn pzicht hirvan d psiti van ht massamiddlpunt in ht transvrsaal vlak bkijkn. Ons lichaam mt vrtragn n wr vrsnlln mdat d ndrstunnd kracht nit stds ndr ns lichaam blijft. Onz stunvt stkt bij ht bgin van d stunfas vr ns lichaam uit n zal ht lichaam vrtragn, trwijl p ht ind van d stunfas ht lichaam trug zal vrsnlln. Mn kan dit fnmn gmakklijk vaststlln wannr mn n km watr draagt (ht watr zal als gvlg van d nit cnstant snlhid naar vr n naar achtr klutsn). Opvallnd aan d curvs van ht massamiddlpunt is dat w hirin gn bruusk variatis vaststlln, d curvs vrlpn zr vlind (zi figuur 1.20 n 1.21). D vt lvrt hirin n grt bijdrag Ontlding van d bwging W zulln nu n mdl vr ht ndrlichaam van d mns pstlln. Ht is d bdling ht systm stap vr stap t vrbtrn tt w uitindlijk tt n mdl kmn dat d bwging van d mns z gd mglijk bnadrt. Bschuw rst n systm waar nkl ht hupgwricht aanwzig is (zi figuur 1.22). Ht pad van ht massamiddlpunt zal dan n pnvlging van bgn zijn (hirbij hbbn w ndrstld dat ht massamiddlpunt cntraal in d hup ligt). Wannr d n bg indigt n d vlgnd bgint, is r n plts richtingsvrandring van ht massamiddlpunt, wat n ngunstig schk tt gvlg hft. Om ht pad van ht massamiddlpunt wat af t vlakkn is r n gcördinrd bwging van al d ndrst ldmatn ndzaklijk. En rst stap in di richting is d transvrsal rtati van d hup (zi figuur 1.23). Dz zal d indn van d bgn wat vrhgn n dus ht pad afvlakkn. Bij ht wandln zal d hup k rtrn in ht frntaal vlak. Aan d kant van ht stunbn zal d hup wat hgr liggn dan aan d kant van ht bn in d zwaaifas 16

26 Figuur 1.22: En nvudig mdl vr twbnig vrtbwging. In ht middn van d hup stlt ht blkj ht mmp vr. D tw bnn zijn via d sfrisch hupgwrichtn aan d hup gbndn. D bnn zijn hir rcht stavn zndr kni, nkl f vt.([1]) Figuur 1.23: Effct van d rtati van d plvis (hup). D vll lijn bvnaan stlt d baan vr gvlgd in figuur 1.22.([1]) Figuur 1.24: Effct van d plvic list. Ht rsultaat is dat ht mmp nit zvl stijgt als ht lichaam vr ht stunbn passrt. D vll lijn bvnaan stlt d curv vr gvlgd in figuur 1.23.([1]) Figuur 1.25: Effct van ht buign van d kni in d stunfas. Dit fnmn hft tw gvlgn: nrzijds zal ht n dl van d impact bij ht nrkmn absrbrn n andrzijds zal ht mmp mindr stijgn als mn vr d stunvt passrt. D vll lijn bvnaan stlt d baan vr gvlgd in figuur 1.22.([1]) 17

27 (zi figuur 1.24). D kni van ht bn in d zwaaifas mt dan wl buign m van d grnd t blijvn. Dr dz plvic list zulln d tppn van d bgn wat naar bndn gdrukt wrdn. En drd fnmn dat w ng aan ns mdl mtn tvgn is ht buign van d kni in d stunfas. Dit vrlaagt, nt als d vrig rtati, d tppn van d bgn (zi figuur 1.25). Dz dri lmntn vrlagn d grtt van d vrtikal vrplaatsing van ht massamiddlpunt. Dch, indin r gn andr mchanism aanwzig zu zijn, zu d baan van ht massamiddlpunt ng altijd uit n rks van bgn bstaan. D wrklijk bwging van ht massamiddlpunt (zi figuur 1.20) zit r sinusïdaal uit. In ns mdl wrdn d bgn puntsgwijs vrbndn. In dz puntn vrandrt ht massamiddlpunt bruusk van richting. Dit gaat gpaard mt n grt schk wat zr ngunstig is vr ht lichaam. D vlind aannsluiting van dz bgn is dus van grt blang. Figuur 1.26: Effct van d vt p ht pad van d kni: A. zndr vt B. mt vt, zndr nklgwricht C. nklgwricht als nit-gacturd scharnir.([1]) Dz laatst aanpassing wrdt vrwznlijkt dr bpaald bwgingn in d kni, nkl n vt. D aanwzighid van d vt splt hirbij d vrnaamst rl. Wannr r gn vt aan ht bn is vastghcht bschrijft ht pad van d kni n nvudig bg. Wannr w n vt vastmakn aan ht bn krijgn w tw bgn (zi figuur 1.26). In n drd mdl nmn w r n nit gacturd nklgwricht bij n krijgn w wr praktisch n bg. D rël situati ligt rgns tussn ht twd n ht drd mdl n nigt vral naar ht twd. W mtn dus slchts n klin bwging in d nkl tlatn. En schts van d rël bwging van nz vt is t zin p figuur Bij hilcntact (bgin van d stunfas) is ht mmp dalnd. Tijdns dz dalnd bwging ndrgaat d vt plantairflxi rnd ht cntactpunt van d vlr. D rtati rnd dit punt vrrzaakt n rlativ vrkrting van ht bn n laat d nkl n vrwaarts bwging ndrgaan tt d vt p d grnd staat. Dz bwging wrdt vrtraagd dr d btrkkn spirn waardr ht valln van ht mmp wrdt afgrmd. Nadat ht mmp vrbij d blast vt is gpassrd, wrdt d daling rvan vrtraagd dr ht vrlngn van ht bn mt bhulp 18

28 Figuur 1.27: Effct van n dr spirn gcntrlrd nklbwging p ht pad van d kni.([1]) van ht strkkn van d kni, plantairflxi van d nkl n supinati van d vt. Dit alls lidt tt ht afvlakkn van d baan van ht mmp. Ok d hrizntal bwging van ht mmp wrdt zvl mglijk bprkt. W kunnn gmakklijk inzin dat d grtt van dz bwging zal tnmn wannr mn mt d vtn vrdr uit lkaar lpt. Daarm zulln d bvnbnn wat naar binnn gplid staan zdat d kniën n bijgvlg k d vtn dichtr bij lkaar staan (zi figuur 1.28). Mn nmt dit fnmn kni valgus. En andr blangrijk fnmn is d transvrsal rtati van ht dij- n ndrbn. Dz rtati van d ndrst ldmatn nmt t van plvis naar tibia. Z draait ht ndrbn gmiddld dri kr mr dan d plvis (zi figuur 1.29). In d zwaaifas van ht bn draain d ldmatn inwaarts n tijdns d stunfas trug naar buitn. Vrmits d vt in d stunfas aan d grnd gbndn is (gn slip), mt dz rtati in d vt pgvangn wrdn. Dit wrdt vrwznlijkt dr d nkl n ht subtalair gwricht. D bijdrag van d nkl hangt af van d schuinhid van haar as n d mat van flxi n xtnsi di r plaatsgrijpt (zi figuur 1.6). Nittmin is ht vral ht subtalair gwricht di d transvrs rtati van ht bn pvangt (zals bsprkn in paragraaf 1.2.2). Z zal n intrn rtati van ht bn via ht subtalair gwricht mgzt wrdn in vrsi van d vt n n spl vt (zi k paragraaf 1.2.3). Andrzijds zal xtrn rtati van ht bn lidn tt n stvigr vt. Dz rtati is chtr nit ht nig mchanism dat d vt stvigr maakt. Ok ht samntrkkn van bpaald spirn n d aanwzighid van n aantal ligamntn hlpn d vt stabilisrn. D stabilisrnd functi is zlfs d blangrijkst functi van d spirn in d vt (zi rf [11]). Daarnaast hlpn z k wat bij ht afrmmn n vrsnlln van ht lichaam. W zulln nu ng vn d pnvlgnd bwgingn van d vt in zijn stunfas samnvattn. Bij initil cntact draain d ndrst ldmatn inwaarts (in ht transvrsaal vlak) tt na 15 prcnt van d cyclus d vt vlldig p d grnd stunt. D hil 19

29 Figuur 1.28: Links: Mn lpt mt d vtn wat mr uit lkaar waardr d hrizntal vrplaatsing van ht mmp zal tnmn. Rchts: Effct van n small stunbasis. Dr ht mdl n hvlhid aan kni valgus t gvn zal d latral vrplaatsing van ht mmp vrmindrn.([1]) Figuur 1.29: Rtati in ht transvrsaal vlak van d plvis (hup), fmur (bvnbn) n tibia (schnbn). Maximal intrn rtati wrdt brikt na ngvr 15 prcnt van d wandlcyclus n maximal xtrn rtati hft plaats bij ind cntact.([10]) ndrgaat vrsi trwijl d spl vrvt zich aan d grnd aanpast. In ht middn van d cntactfas krt d draairichting van d ndrst ldmatn m naar xtrn rtati n d hil invrtrt, wat zrgt vr n tnmnd stabilisati van d lngitudinal bg tt ht ind van cntact. Evn latr, nt vr ind cntact, zijn r n aantal fnmnn di d stvighid van d vt in d hand wrkn: d ndrst ldmatn brikn maximal xtrn rtati, d invrsi van d hil is maximaal, d intrinsik (in ht lichaamsdl zlf glgn) spirn van d vt zijn p ht tppunt van hun activitit n d assn van ht transvrsaal tarsaal gwricht divrgrn. Op dit mmnt is d stabilisati van d lngitudinal bg ptimaal. Zdra d tnn van d grnd zijn, krn al dz mchanismn m: intrn rtati van d ndrst ldmatn, vrsi van d hil n ht dblkkrn van ht transvrsaal tarsaal gwricht rsultrn in n flxibl vtstructuur tt mn trug 15 prcnt van d niuw wandlcyclus brikt Grndractikrachtn In d vrig paragrafn wrdn d ractikrachtn van d grnd n ht blang van d vt in ht vrwrkn hirvan rds aanghaald. Ovr d grtt n ht vrlp rvan wrd chtr ng nit gsprkn. Alhwl d karaktristikn ng aanghaald wrdn in ht vlgnd hfdstuk (waar z mtn vrglkn wrdn mt di vr ht lpn), zulln w hir tch al n aantal grafikn knmrknd vr d wandlcyclus bsprkn. W zulln d vrtikal ractikracht, d hrizntal ractikracht (in d vrtbwgingsrichting) n ht kppl in ht transvrsaal vlak, bkijkn. Vr d rst tw zal k d invld van 20

30 Figuur 1.30: D grndractikrachtn (hrizntaal n vrtikaal) di ingrijpn p d vt. (B.W. staat vr Bdy Wight, CV staat vr Cfficint f Variatin.)([17]) Figuur 1.31: Ht ractikppl in ht transvrs vlak uitgfnd dr d grnd.([10]) d snlhid van d wandlcyclus naggaan wrdn. Figuur 1.30 tnt d vrtikal (nrmal) ractikrachtn n d lngitudinal cmpnnt van d hrizntal (tangntiël) ractikrachtn vr n nrmal snlhid. Dz grafikn wrdn pgmtn mt bhulp van n frc platfrm (zi [5]). D ractikrachtn zijn d sm van d massa-vrsnllingsprductn van all lichaamsdln als d vt in cntact is mt d grnd. D grafik van d vrtikal ractikracht vrtnt tw maxima. Ht rst maximum wrdt gasscird mt d gwichtsndrstuning wannr d nrwaarts snlhid van ht lichaam tt nul grducrd wrdt (rf [17]). D maximal waard stijgt its bvn ht lichaamsgwicht (Bdy Wight) uit. D twd tp is t wijtn aan ht gvn van n pwaarts snlhid aan ht lichaam vr ht ind van cntact. In dz grafik is r gn initiël pik (drd maximum) aanwzig. Dit is nrmaal wl ht gval n d rzaak hirvan is d schk bij ht nrkmn. Immrs, w kunnn pas na n bpaald tijd anticiprn p d btsing mt d grnd. In grafik 1.34(a), waar w d curvs vr wandln, jggn n lpn vrglijkn, is dz rst stil pik duidlijk t zin. D hrizntal kracht (figuur 1.30) hft n ngatif rst dl waarin d vrwaarts bwging van ht lichaam wrdt afgrmd. Tijdns ht twd dl van d stunfas wrdt d snlhid van ht lichaam daarntgn wr wat vrhgd, wat rsultrt in n psitif gdlt p d grafik. Mrk p dat in grafik 1.30 initil n klin psitiv hrizntal 21

31 kracht wrdt uitgfnd wat rp wijst dat d hil n klin achtrwaarts snlhid bzat. In figuur 1.31 zin w ht ractikppl dat d trsi van d vt zal tgngaan. Dit kppl is dus n gvlg van d transvrs rtatis van d ndrst ldmatn. Mrk p dat figuur 1.31 ht kppl uitgfnd dr d vt p d grnd vrstlt n mn dus d curv m d x-as dint t spigln wil mn ht ractikppl van d grnd p d vt bkmn. W stlln dan vast dat n initil xtrn gricht grndractikppl gvlgd wrdt dr n intrn gricht ractikppl tt ht ind van ht cntact. Ht vrlp van dit ractikppl kmt indrdaad gd vrn mt d transvrs rtatis bschrvn in figuur D tnmnd intrn rtati bij initil cntact in d hup, fmur n tibia brikt na ngvr 15 tt 20 prcnt van d cyclus zijn maximum, waarna xtrn rtati zich pdringt tt ind cntact. In figurn 1.32(a), 1.32(b) n 1.32(c) zit mn d grndractikrachtn vr dri vrschillnd wandlsnlhdn. In d dri gvalln was d gmiddld vrtikal kracht tijdns d stunfas ngvr dzlfd: ngvr 90 prcnt van ht lichaamsgwicht. D pak-tpak waardn nmn chtr drastisch t mt d snlhid. Dz grt vrschilln wrdn vrrzaakt dr rlatif klin vrschilln in buiging van d kni tijdns hilcntact n ht middn van d stunfas (rf [17]). Z gvn d tgnmn vrtikal vrsnllingn van ht lichaam wr. D hrizntal ractikrachtn nmn, zals t vrwachtn, t mt d snlhid. 22

32 (a) Traag stappn (b) Natuurlijk snlhid (c) Snl stappn Figuur 1.32: D grndractikrachtn uitgfnd p d vt vr vrschillnd wandlsnlhdn.([17]) 23

33 Figuur 1.33: Als d snlhid van d cyclus tnmt, ntstaat r naast d standfas (stanc) n d zwaaifas (swing) n niuw prid: d zwffas (flat). Tijdns dz fas raakt ht lichaam d grnd nit. Als d snlhid ng tnmt, zal binnn d cyclus d stunfas vrklinn.([10]) 1.4 Vt bij ht lpn Inliding D basismchanismn di zich in d vt vrdn bij ht lpn zijn dzlfd als di bij ht wandln. D wandlcyclus bgint wannr d hil van n vt cntact maakt mt d grnd n indigt als d hil pniuw cntact maakt mt d grnd. D lpcyclus wrdt analg gdfinird n lpt dus van d landing van d vt p d grnd tt d vlgnd landing van dzlfd vt. Er dn zich tw grt vrandringn vr bij ht lpn: Ht vrkrtn van d standfas van 60 prcnt naar 20 prcnt n n grtr ractikracht van d grnd. En rst punt waarin d lpcyclus strk vrschilt is dus d cyclustijd. Binnn d lpcyclus is d snlhid n zr blangrijk paramtr n daarm maakt mn ng n pdling in functi van d snlhid. Z gbruikt mn als standaardsnlhid vr jggn 3,31 m/s, vr lpn 4,77 m/s n vr sprintn 10,8 m/s (daartgnvr gbruikt mn vr wandln 1,32 m/s als nrm). In figuur 1.33 is ht cyclusvrlp vr wandln, jggn n lpn wrggvn. D cyclustijd van n wandlaar is één scnd, di van d lpr is grducrd tt 0,6 scndn. D stunfas is chtr mt n factr dri vrmindrd. Dz pvallnd vrkrting van d stunfas maakt van ht lpn n blssurgvlig activitit vrmits al d mchanismn (schk absrpti, afrmmn, transvrs rtatis van d ndrst ldmatn, vt stabilisati, vrsnlln) in dz krt tijd mtn gburn. D cyclustijd zal nit nkl n stuk krtr zijn maar k d fasn van d cyclussn vrschilln. Als d bwgingssnlhid tnmt, vrdwijnn d prids waarin d tw vtn tglijk p d grnd stunn n r ntstaat n zwffas gdurnd dwlk ht lichaam nit in cntact is mt d grnd (k t zin p figuur 1.33).Wannr d cyclustijd vrdr afnmt, vrmindrt d prid van d stunfas n nmt d fas waarin d vt gn cntact maakt mt d grnd (zwffas n zwaaifas) in grtt t (zi figuur 1.33). 24

34 (a) (b) (c) Figuur 1.34: D krachtn uitgfnd dr d vt p d grnd tijdns wandln, jggn n lpn. (a) d vrtikal ractikracht. (b) D lngitudinal cmpnnt van d hrizntal ractikracht. (c) D latraal-mdial cmpnnt van d hrizntal ractikracht.([10]) En twd grt vrandring is d grtr ractikracht van d grnd. Aan d hand van figuur 1.34(a) zulln in d vlgnd paragraaf d vrtikal n hrizntal grndractikrachtn alsk d ractikppls in ht transvrsaal vlak bsprkn wrdn bij wandln, jggn n lpn Ractikrachtn n kppls D ractikracht van d grnd bij ht wandln is n gd rprducrbar mting, trwijl bij lpn f jggn r vl mr variati is van stap tt stap. Tch zijn r k hir vast patrnn trug t vindn. D vrtikal kracht in figuur 1.34(a) vrtnt bij ht jggn n duidlijk tnam in d initiël pik, di d impact van d vt p d grnd wrgft. Tijdns ht wandln is dz zldn grtr dan 70 tt 80 prcnt van ht lichaamsgwicht. Tijdns ht jggn lpt d pik p tt bijna tw maal ht lichaamsgwicht. Mrk p dat d initiël pik in grafik 1.34(a) vr ht lpn vrdwnn is. Dit is mstal ht gval bij mnsn di landn p d middnvt f d vrvt. D twd pik in ht vrlp van d vrtikal ractikracht nmt t van 110 tt 115 prcnt naar ngvr 275 prcnt tijdns jggn n lpn. Ht minimum halfwg d standfas in d wandlcyclus is nit aanwzig tijdns ht lpn. Dit is waarschijnlijk t wijtn aan ht fit dat tijdns ht lpn r nit mr dan één vt tglijk p d grnd stunt, trwijl r bij ht wandln prids zijn waar d tw vtn stunn (rf [10]). D curvs bij ht lpn zijn vl 25

35 Figuur 1.35: En vrglijking van ht vrlp van d vrtikal ractikracht bij ht lpn tussn mnsn mt n fl gbgn vt (dnkr lijn) n mnsn mt n zwakk bgstructuur (licht lijn).([15]) stilr vanwg ht snll ladn n ntladn van d vt. D curvs in figuur 1.34 zijn ht rsultaat van n uitmiddling van d ractikrachtncurvs van vrschillnd prsnn. Dit hft als bdling d curvs t bkmn vr n gmiddld vt. D curvs kunnn immrs significant vrschilln vrtnn van prsn tt prsn. Z is d grtt van d initiël pik is strk afhanklijk van d starhid van d vt: h stvigr d vt, h hgr d pik zal zijn. Z zal di pik bij prsnn mt n strk uitgsprkn bgstructuur in d vt grtr zijn dan bij mnsn mt platvtn (zi figuur 1.35). Dit bnadrukt ng ns d invld van d vtbgn p d starhid van d vt. Ht bld van d lngitudinal grndractikrachtn is glbaal gzin htzlfd bij lpn n wandln, maar d amplitud nmt wat t bij ht lpn (zi figuur 1.34(b)). D transvrsal ractikrachtncurvs vrtnn htzlfd basispatrn tijdns lpn n wandln (zi figuur 1.34(c)). Tijdns d impactfas is d kracht van d vt p d grnd naar d middlijn gricht, tijdns d middnstandsfas n d prpulsifas zal ht bn n latraal gricht kracht uitfnn. Bij ht lpn mrkn w ng n laatst dl p waar d kracht naar binnn gricht is, maar d vrklaring hirvr is ng nit duidlijk (rf [10]). Nu hbbn w nkl maar d grtt van d ractikracht p lk mmnt van d stunfas bkkn. W wtn dus ng nit waar in d vtzl d kracht aangrijpt. Dit kunnn w ht bst bstudrn aan d hand van mtingn mt n frc platfrm. Aan d hand hirvan kunnn w ht middlpunt van d druk (Cntr Of Prssur) bpaln vr lk tijdstip. Ht middlpunt van d druk is k ht gmiddld aangrijpingspunt van d grndractikracht. W mrkn wl p dat dz uitmiddling n vrkrd bld zu kunnn gvn. Vrmits d krachtn vrdld wrdn vr d vtzl is ht cncpt van n puntkracht mglijk mislidnd. Ht gmiddld cp patrn vr d stunfas van n grp van 12 lprs is wrggvn in figuur D grnzn van d schn gvn d gmiddld psiti van d vt 26

36 Figuur 1.36: Ht vrlp van ht middlpunt van d druk in n rchtrvt vr twaalf vrschillnd lprs. D kruisjs stlln ht gmiddld patrn vr (mtingn m d 2 miliscndn) n ht garcrd gbid is ht gbid waarin all patrnn zich bvndn.([1]) Figuur 1.37: Ht vrlp van ht cp tijdns d wandlcyclus. Ok hir liggn d bltjs dichtr bij lkaar in d vrvt wat btknt dat d grndractikrachtn gdurnd n lang tijd in d vrvt aangrijpn. Dit patrn varirt naarglang ht vttyp n ht wandlgdrag van ht individu.([21]) tijdns d stunfas wr. Elk kruisj stlt ht middlpunt van d druk p n bpaald tijdstip vr. Ht grijz pprvlak rnd d kruisjs stlt ht gbid vr waarin d mtingn van d vrschillnd prfprsnn lagn. Vrmits d mtingn van ht cp m d tw milliscndn gnmn zijn, kunnn w uit d figuur k infrmati haln vr d snlhid van vrplaatsing van ht aangrijpingspunt. Waar d kruisjs duidlijk gschidn zijn, is r n snll vrandring van ht cp. Daar waar d kruisjs chtr nit mr t ndrschidn zijn, is d situati stabilr n vrandrt ht aangrijpingspunt nit vl. W mrkn p dat ht rst punt buitn d schngrnzn valt, wat rp wijst dat d vt bij ht landn vn vr d grnd schuift (initil n mdial kracht van d vt p d grnd (zi figuur 1.34(c)). Aangzin d rst aangrijpingspuntn duidlijk in ht achtrst dl van d vt liggn, nmn w dit typ lpr n achtrvt-landr (zi [9]). Krt na ht initil cntact, migrrt ht middlpunt van d druk snl naar ht middn van d vt tt ht zich na ngvr 50 milliscndn in ht middn tussn d hil n d vttip bvindt. Vanaf dit punt tt ind cntact is r praktisch gn zijwaarts vrplaatsing van ht cp mr. Er hft tvns n pvallnd vrtraging van d vrandring van ht aangrijpingspunt plaats n d puntn kunnn nit mr van lkaar gschidn wrdn. Dit gdlt bslaat tw drd van d hl cyclus, wat d rl van d vrvt bij ht lpn bnadrukt. Ht vrlp van ht cp in d wandlcyclus vrtnt nkl vrschilln mt dat van d lpcyclus (zi figuur 1.37). D ractikrachtn in ht bgin van d stunfas grijpn latraal achtr in d vt aan (mr naar achtr dan in d lpcyclus). Vrvlgns lpt ht cp langs d cubid naar d vrvt m daar, nt als in d lpcyclus, n hl tijd t blijvn (zi rf [21]). Tnsltt vrlaat ht cp via d rst tw mtatarsaln n d dikk tn d vt, wat nit ht gval is in d lpcyclus. Dr d ggvns van ht cp t kppln aan d grafikn van d ractikrachtn kunnn w vctrn tknn di d ractikracht uitgfnd dr d grnd vrtgnwrdign (figuur 1.38). Dz vctrn vattn dri blangrijk ggvns samn: 27

37 Figuur 1.38: D ractikrachtn van d grnd uitgfnd p d vtzl tnn d richting waarin d kracht wrkt, d grtt n ht aangrijpingspunt tijdns hl d stunfas.([1]) D lngt van d vctr is n maat vr d grtt van d kracht. Ht indpunt van d vctr duidt ht cp aan. D richting van d vctr bpaalt d vrdling van d kracht in zijn vrtikaal n hrizntaal gdlt. D figuur tnt ndr andr dat d grtst kracht p d vrvt ingrijpt. Dit bnadrukt ng ns ht blang van ht vrmn van n starr vt bij ht ind van ht cntact. Ht patrn van ht cp dat w al bhandld hbbn was dat van n achtrvtlandr. Echtr, vr dzlfd lpsnlhdn bstaan r ng andr typs lprs. Op figuur 1.39 zin w dat r naast achtrvt-landrs k middnvt n vrvt-landrs zijn. Figuur 1.39: D cp patrnn van dri vrschillnd prfprsnn di aan éénzlfd snlhid lpn. A. achtrvt-landr. B. middnvt-landr. C. vrvt-landr. Hun manir van lpn blijkt ttaal vrschillnd t zijn.([1]) 28

38 Dz pdling wrdt gmaakt aan d hand van ht punt waar ht rst cntact mt d grnd wrdt gmaakt. D strik-indx gft wr hvr dit punt van d hil vrwijdrd is. Zals t zin is p figuur 1.39 varirt dz indx van 11 prcnt vr n achtrvtlandr tt 60 prcnt vr vrvt-landrs. Dz vrschillnd lppatrnn bzittn k vrschillnd grndractikrachtncurvs. Dankzij dz cp-figurn stlt mn dus vast dat ht aangrijpingspunt van d ractikrachtn tijdns ht lpn nit gwn van d hil naar d vttip vrplaatst. Alhwl d drukvrdling, zlfs bij glijk snlhid, grt vrschilln vrtnt tussn d vrschillnd lprs, hbbn z allmaal n gmnschapplijk patrn, namlijk ht LMF-patrn. D lpr maakt rst cntact mt d latral (L) zijd van d vt, waarna ht aangrijpingspunt nmiddlijk naar d middllijn (M) van d vt bwgt m vanaf dan ng n hl tijd in d vrvt (F) t blijvn. Figuur 1.40: D drukvrdling in d vt tijdns d stunfas bij ht lpn mt tw vrschillnd typs schnn. (rlativ waardn uitgdrukt in prcnt)([13]) Ondanks d vl nuttig cnclusis di d cp-grafikn brngn, gvn z in bpaald pzichtn n vrkrd bld. Dr d uitmiddling van d drukpsiti kan ht gmiddld aangrijpingspunt sms in n gbid kmn t liggn waar hlmaal gn druk aanwzig is. Daarm is ht k nuttig m d vlldig drukvrdling t bkijkn p n bpaald mmnt f gsmmrd vr d hl stunfas zals in figuur In dz figuur is d druk in n aantal crucial puntn van d vtzl gmtn. D druk is k hir ht hgst in d vrvt. In ht punt ndr d dikk tn is r n hg druk aanwzig di ttaal nit tt uiting kwam in d cp-grafikn. 29

39 1.5 Bsluit Uit d vrig paragrafn kunnn w d blangrijkst functis van d vt haln, alsk d vrnaamst mchanismn di hirvr aangsprkn wrdn. D vrnaamst functis kunnn w samnvattn als: ndrstuning van ht lichaam hfbmwrking bij tnn-ls schkabsrpti bij hilcntact Hiruit vlgt dat d vt nrzijds spl mt zijn m d schk bij hilcntact t kunnn absrbrn (n zich aan t kunnn passn aan ruw pprvlakkn) n andrzijds star gng m n stabil basis t bidn m ht lichaam t ndrstunn n als starr hfbm t kunnn wrkn bij ind cntact. Uitgaand van d structuur van d vt hbbn w d vrnaamst mchanismn di d gd wrking van d vt vrzkrn, aangduid. D prnati/supinati bwging van ht subtalair gwricht zrgt via d invrsi f vrsi van d calcanus vr n klinr f grtr stabilitit van ht transvrsaal gwricht (zi paragraaf 1.2.2). Als r in d blast vt prnati rnd ht subtalair gwricht plaats hft, gaat d calcanus in vrsi waardr d assn van ht transvrsaal tarsaal gwricht vnwijdig kmn t liggn (figuur 1.10). Dit rsultrt in n spl vt. Ht structurl gwlf in d vt maakt van d vt n stabil basis. Dit gwlf wrdt ndrstund dr vrschillnd ligamntn n spirn (zi paragraaf 1.2.7). D plantair apnurs splt hir n blangrijk rl. Bij ind cntact zal d plantair apnurs d lngitudinal bg in d vt pspannn via ht windas-ffct. D mtatarsal brak, gvrmd dr d kpjs van d middlvtsbndrn, laat d vt t n srt rlbwging t makn. Trwijl d hil rds van d grnd kmt, hudn d tnn ng cntact mt d grnd. Bvndin is d vt p dat mmnt star md dankzij ht in ht vrig punt vrmld windas-ffct waarin d mtatarsal brak cntraal staat. Dz mchanismn makn dat d vt in grt mat ht wandln n lpn vrgmakklijkt. In ht vrvlg van dz thsis zal aan d hand van vrschillnd mdlln (in Mchanica Mtin) ht nut van d vt bnadrukt wrdn. Dz mdlln zulln 2D-mdlln zijn (in ht vlak van d vrtbwging) mt als gvlg dat vrschillnd 3D-mchanismn bschrvn in vrig paragrafn vr dz mdlln nit rlvant zijn (bvb.: prnati/supinati). 30

40 Hfdstuk 2 Mdllring van n sprng in Mchanica Mtin In ht vrig hfdstuk kwamn nkl blangrijk bsluitn in vrband mt d wrking van d vt naar vr. Mt dz cnclusis in ht achtrhfd, zal in d vlgnd hfdstukkn n pging gdaan wrdn ht nut van d vt aan d hand van cncrt mdlln aan t tnn. En rst mdl vrt n val- n pvrbwging uit. Dz bwging zal zwl aan d hand van n thrtisch uitwrking als mt bhulp van n mdllring in Mchanica Mtin gëvalurd wrdn vr n mchanism mt n zndr vt. Ht twd mdl (k zndr n mt vt) vrt n stapbwging uit (hfdstuk 4). Dz stapbwging wrdt vnns gmdllrd in Mchanica Mtin. D sprng wrdt als vlgt gsimulrd: ht mdl hft n initiël hgt n dus n initiël ptntiël nrgi. Vrvlgns laat mn ht mdl ls. Dankzij d trsivrn aanwzig in d scharnirn (kni n vntul nkl) zal ht mdl dan na n cntactfas mt d grnd trugvrn tt n bpaald hgt. Wannr ht mdl tt d maximal hgt is truggvrd is d cyclus vlldig. Ht vrschil in hgt tussn d bgintstand n indtstand gft ns n id van ht vrlis aan nrgi tijdns dz bwging. En rst brn van vrlis in dz bwging ntstaat bij d impactfas bij ht nrkmn. Wannr ht mdl trug van d grnd kmt, ntstaat r n twd schk vanwg d vrtikal gliding di vnns vrlis aan nrgi inducrt. Bij ht trugvrn van ht mdl wrdt r n hvlhid rtatinl nrgi in d gldingn gstpt. Dz nrgi zal chtr nit bijdragn tt ht mhgkmn van ht mdl n wrdt bschuwd als n drd brn van vrlis aan nrgi. In Mchanica Mtin wrdt r rst n mdl zndr vt pgstld n in n vlgnd fas wrdt r n vt aan tgvgd. D tw mdlln wrdn dan vrglkn. En rst vrglijkingscritrium is lgischrwijz d hgt van d sprng (wat n id gft vr d nrgtisch fficiënti van ht mdl). Ht vrlp van d ractikrachtn is vnns n blangrijk critrium. Opdat d wrking van d mdlln vrglkn zu kunnn wrdn, mt mn bid mdlln z glijk mglijk hudn, p d vt na na- 31

41 tuurlijk. Aan ht mdl zndr vt wrdt in d nkl n puntmassa tgvgd, zdat bid mdlln dzlfd massa hbbn. Ok d initiël hgt van ht mmp van ht mdl wrdt in bid dzlfd ghudn. Z wrdn bid mdlln vrglkn in h z n bpaald massa p n bpaald hgt (=n bpaald ptntiël nrgi), ht bst dr n val- n pvrbwging hlpn. 2.1 Mdl zndr vt Y Z X Y X Z Y Y Z X X Y Z X Figuur 2.1: Ht mdl zndr vt. Ht mdl zndr vt bstaat uit tw gldingn, scharnirnd vrbndn, di ht bvn- n ndrbn vrstlln (zi figuur 2.1). In d hup n nkl zijn r puntmassa s aanwzig. D puntmassa in d hup kan bschuwd wrdn als ht bvnlichaam n vrmijdt z ht invrn van n bijkmnd vrijhidsgraad. D puntmassa in d nkl vrn w in m d prstatis van ht mdl vrglijkbaar t makn mt ht mdl mt vt (zi latr). D hup n d nkl latn w p nzlfd vrtikal gliding bwgn. Bijgvlg hft ht mdl ng slchts tw vrijhidsgradn vrmits d psiti van ht mdl vlldig bpaald is dr d hgt van d hup n d knihk. 32

42 2.1.1 Dimnsinring van ht mdl D massa s, lngts, inrtimmntn n massamiddlpuntn van d gldingn, alsk d puntmassa in d hup, zulln w basrn p ht mdl dat nkl jarn gldn gbwd wrd in ht lab (zi [23]). Zdnd kunnn d rsultatn hir bkmn vrglkn wrdn mt d rsultatn uit d thsis van Tm Fabri. massa hup = kg massa ndrbn = kg lngt ndrbn = 0.4 m massa bvnbn = kg lngt bvnbn = 0.4 m D inrtis n massamiddlpuntn van d tw gldingn kunnn w brknn aan d hand van d tchnisch tkningn uit d thsis van Tm Fabri (zi A.1). D waardn di daaruit vrtvlin zijn: G b = (0, 175) (in mm) G = (0, 250) (in mm) I zz G b = 0, kg m 2 I zz G = 0, kg m 2 Zals al gzgd wrdt r in d nkl n puntmassa aangbracht di vrnkmt mt d massa van d vt in ht mdl mt vt. massa vt = 0.2 kg Implmntati van ht mdl Mt dz ggvns kunnn w ht mdl in Mchanica Mtin implmntrn. Ht mdl wrdt pgbuwd uit tw gldingn ( bdis ), di ht bvnbn n ht ndrbn vrstlln ( bdis mt d ignschappn bschrvn in d vrig paragraaf), n tw puntmassa s di w in Mchanica Mtin k als bdis invrn (zi figuur 2.1). Tussn ht bvnbn n ht ndrbn is r n scharnirvrbinding ( Pin jint ) di d kni vrstlt. Dz jint bvat n trsivr waarvan d rusthk vrn kmt mt d initiël hk tussn d gldingn. Om dz hk als paramtr t gbruikn mt d knihk als dsign variabl gdfinird wrdn, htzlfd gburt mt d vrstijfhid in d kni. Om d tw puntmassa s in ht mdl t brngn, dfinirt mn tw niuw bdis di slchts uit één punt bstaan n dr n scharnirvrbinding mt rspctivlijk d hup n d nkl vrbndn wrdn. Nu ht mdl vlldig is, mt r ng vr gzrgd wrdn dat ht d gwnst bwging zal bschrijvn dr d juist rand- n bginvrwaardn in t vrn. En rst randvrwaard bstaat rin dat ht mdl twdimnsinaal mt zijn. Vandaar dat r ng n aantal planar jints ingvrd wrdn di rvr zrgn dat d nkl, kni n hup in ht vlak blijvn. Vrts mtn d nkl n d hup p nzlfd vrtikal rcht 33

43 bwgn. Dz laatst randvrwaardn vrt mn in via drivrs di rvr zrgn dat r gn bwging van nkl n hup in d x-richting plaatsvindt. D bginvrwaardn lggn d initiël hgt van ht mmp n d initiël knihk (mtn k d rusthk van d knivr) vast. Dz vrwaardn wrdn gïmplmntrd via initial cnditins p d btrffnd jint axis. D vrwaard p d hgt van ht massamiddlpunt is chtr nit rchtstrks implmntrbaar in Mchanica Mtin. Dz vrwaard zt mn dan m naar n vrwaard p d hgt van d hup di mn wl kan plggn. α Figuur 2.2: Ht mdl zndr vt. D g b lngts van ht bvnbn n ht ndrbn zijn glijk waardr k d ab- κ slut hkn van d tw gldingn α glijk maar tgngstld in tkn zijn. D massamiddlpuntn van d gldingn zijn mt puntn aanggvn. g Ht vrband tussn d hkn van dit mdl is: Ok gldt: 2α + κ = π. l = l b = l. D hgt van ht massamiddlpunt brknt mn uit: Mn vrnvudigt: h mmp = h hm h + h b m b + h m + h v m v m h + m b + m + m v h b = h h l b cs α h = h h l b cs α l cs α h v = h h l b cs α l cs α h b = h h 7 16 l cs α h = h h 11 8 l cs α h v = h h 2l cs α D frmul vr d hgt van ht massamiddlpunt wrdt dan: h mmp = h hm h + (h h 7 16 l cs α)m b + (h h 11 8 l cs α)m + (h h 2l cs α)m v m h + m b + m + m v. 34

44 Dz frmul kunnn w mvrmn naar n uitdrukking vr h h : h h = h mmp lm b cs α lm cs α+2lm v cs α m h +m b +m +m v = h mmp + ( 7 16 m b+ 11 m+2mv)l cs α 8 m h +m b +m +m v Vrdr ggvns vr h mn ht mdl prcis in Mchanica Mtin invrt zijn t vindn in bijlag A.2. W zulln ht mdl initil n bpaald hgt n knihk gvn. Dz initiël knihk is k d rusthk van d trsivr di in d kni aanwzig is. Z zal d nrgi bij aanvang nkl ptntiël nrgi zijn n bpaald wrdn dr d hgt van ht mmp. D vrcnstant van d trsivr vrmt ng n bijkmnd paramtr. Wannr ht mdl dan vanp n zkr hgt wrdt lsglatn, zal ht p n bpaald mmnt d grnd rakn. In Mchanica Mtin is r chtr nit zits als n grnd f vlr aanwzig. Dz mt kunstmatig ingvrd wrdn in d puntn di d grnd zulln rakn. In dz puntn wrdn krachtn ingvrd di d ractikrachtn van d grnd vrvangn. Als mdl vr d grnd wrdt r uitggaan van n vr-dmpr mdl zwl in d hrizntal (X) als in d vrtikal (Y) richting. D krachtn wrdn ingvrd als cnditinal lads di p d puntn inwrkn van zdra ht punt tr hgt van d fictiv vlr kmt (hir Y=0). In dit mdl is ht vldnd m dz krachtn aan t brngn in d nkl n d kni. D ractikrachtn van d grnd zijn bijgvlg d sm van d krachtn uitgfnd dr d vr (F v ) n d dmpr (F d ). F G = F v + F d (2.1) Dz frmul gldt zwl vr d vrtikal als d hrizntal ractikracht van d grnd (F GY ). D frmuls vr d hrizntal krachtn van d vr n dmpr vrschilln wl van di vr d vrtikal krachtn. Vrmits d vlr gpsitinrd is p Y=0, is d vrtikal ractikracht van d vr: F vv = K V Y f waarbij K V d vrtikal vrstijfhid van d vr in d grnd is n Y f d y-psiti van d vt. Dz kracht mag vnwl nkl wrkn als Y f klinr is dan 0. Als waard vr K V nmn w 10 7 N m 1. D vrikal ractikracht van d dmpr zit r als vlgt uit: F dv = C V Ẏf C V staat vr d vrtikal dmpingscnstant n Ẏf stlt d vrtikal snlhid vr van ht punt dat d grnd raakt (hir d vt (f )). In dit mdl krijgt C V d waard 10 6 N s m 1. 35

45 Hiruit kan mn dan d vrtikal ractikracht bpaln vlgns frmul 2.1. Ht bpaln van d hrizntal ractikrachtn is chtr nit z nvudig. W mtn immrs d x-psiti waarp d vt d grnd raakt vastlggn (vr d vrtikal ractikracht was dit gwn Y=0). Dit wrdt gdaan aan d hand van d cmputd masur X impact di w hir als X I zulln ntrn n waarvan d xact uitwrking in Tabl 2.1 is wrggvn. Mrk wl p dat vr d nkl d X-psiti in fit k stds nul is vrmits dz p n gliding ghudn wrdt. Tch zulln w d grndractikrachtn hir invrn vr n algmnr gval zdat w dit grndmdl k kunnn tpassn in andr puntn (bvb. d kni) n in andr mdlln (zi hfdstuk 4). F vh = K H (X f X I ) waarbij K H d hrizntal vrstijfhid van d vr in d grnd is n X f d x-psiti van d vt. F dh = C H Ẋ f waarbij C H d hrizntal dmpingscnstant in d grnd is n Ẋf d hrizntal vrsnlling van d vt. D masurs di w in MM zulln implmntrn m dz ractikrachtn t kunnn brknn zijn in d vlgnd tablln wrggvn. In n rst tabl vindt mn d masurs di d psiti, vrsnlling f acclrati van n punt mtn. In d klm Evaluatin gft mn aan h d mting uitgvrd wrdt (ETS slaat vr Each Tim Stp). D laatst tw klmmn gvn aan in wlk rfrntirstr d mting uitgvrd (masurd) n uitgdrukt (xprssd) wrdt. Nam Pint Typ Evaluatin Cmpnnt Masurd: Exprssd: ps vt x vt Psitin ETS X grund grund ps vt y vt Psitin ETS Y grund grund vl vt x vt Vlcity ETS X grund grund vl vt y vt Vlcity ETS Y grund grund acc vt x vt Acclratin ETS X grund grund acc vt y vt Acclratin ETS Y grund grund Vanuit dz mtingn kan mn via zgnaamd cmputd masurs (brknd grthdn) d ractikrachtn van d grnd brknn. D masurs di hirvr ingvrd wrdn zijn wrggvn in tabl 2.1. Tnsltt wrdn d grndractikrachtn als n Plynmial lad in d nkl ingvrd (zi bijlag A.2). 36

46 Tabl 2.1: D masurs ingvrd m d grndractikrachtn t brknn. Nam Typ Frmula k gnd hr ETS 107 k gnd vr ETS 107 C gnd hr ETS 106 C gnd vr ETS 106 bl y vt ETS ps vt y >= 0 X impact ng min ps vt x bl y vt X impact ps max ps vt x bl y vt X impact ETS X impact ng (ps vt x <= 0) + X impact ps (ps vt x > 0) hr damp gnd ETS C gnd hr vl vt x hr spr gnd ETS k gnd hr (ps vt x X impact) blsgn vr f ETS (vr spr gnd + vr damp gnd) >= 0 hr frc gnd ETS hr damp gnd + hr spr gnd vr damp gnd ETS C gnd vr vl vt y vr spr gnd ETS k gnd vr ps vt y vr frc gnd ETS (vr spr gnd + vr damp gnd) blsgn vr f (!bl y vt) Mtingn n rsultatn Aan d hand van ht mdl dat nu in Mchanica Mtin gïmplmntrd is, is ht mglijk m ht nrgivrlis n d ptrdnd krachtn tijdns d val- n pvrbwging t bstudrn. Om ht nrgivrlis tijdns d val- n pvrbwging t kunnn valurn, wrdn r n aantal masurs ingvrd di trug t vindn zijn in d ndrstaand tabl. bl tim Cmputd ETS tim > 0.4 mmp y init Ttal Mass Cntr Y ST Y grund mmp sys y Ttal Mass Cntr Y ETS Y grund V rl h mmp Cmputd MIN (mmp y init (mmp sys y bl tim)) In d laatst masur wrdt ht vrschil gmtn tussn d initiël hgt van ht massamiddlpunt n d maximal hgt van ht massamiddlpunt bij ht trugvrn. Dit is van n maat vr ht vrlis aan nrgi tijdns d val- n pvrbwging. 37

47 Ht is d bdling m dit mdl t vrglijkn mt ht mdl mt n vt. Daar ht nrgivrlis afhanklijk is van d knihk n in mindr mat van d vrstijfhid van d kni (zi latr), zal di waard van d knihk gzcht wrdn waarvr ht nrgivrlis ht laagst is. D rdnring di hir achtr zit is dat d mdlln vrglkn wrdn p basis van hun hgst haalbar prfrmanti. Dit wil zggn dat in d tw mchanismn bpaald paramtrs, di nit vastglgd zijn, z ingstld wrdn dat ht mdl ptimaal functinrt. D vrij paramtrs van dit mchanism zijn d hgt van ht mdl, d knihk n d vrstijfhid in d kni. D hgt van ht mdl zal bpaald wrdn dr d vrwaard dat d initiël hgt van ht massamiddlpunt n bpaald waard hft (hir één mtr). Z wrdt rvr gzrgd dat d initiël nrgi (ptntiël nrgi) n cnstant is. Pr/MECHANICA MOTION Rsults ps_vt_y M a s u r Y Z X Tim Figuur 2.3: D y-psiti (m) van d vt als r gn dmping in d kni aanwzig is. Op d X-as is d tijd wrggvn in scndn. Vralr d invld van d vrblijvnd paramtrs (vrstijfhid n knihk) wrdt bkkn, zal vr n bpaald waard van dz paramtrs n val- n pvrbwging gsimulrd wrdn ( Mtin Analysis ). Mtn blijkt r ng n prblm t zijn. Bij ht trugvrn van ht mdl, blijvn d tw gldingn trilln. Dit is gd t zin p figuur 2.3, waar d hgt van d nkl gdurnd d val- n pvrbwging is wrggvn. Dz scillatis kmn bij d mns nit vr. Vrmits dz trillingn, di n rstant zijn van d rtatinl nrgi dat ht mdl tijdns d stunfas gkrgn hft, nit bijdragn tt ht winnn van ptntil nrgi bij ht trugvrn van ht mdl, zijn w dz livr kwijt dan rijk. Om dz rdn wrdt r n dmpr in d kni ingvrd di dz trillingn uitdmpt. Dz mag chtr pas wrkn van zdra ht mdl trug van d 38

48 grnd kmt. D dmpingscnstant wrdt z gkzn dat d trillingn snl gng zijn uitgdmpt m n nrmaal vrlp van d trugvrfas t krijgn. Pr/MECHANICA MOTION Rsults ps_vt_y M a s u r Y Z X Tim Figuur 2.4: D y-psiti (in m) van d vt mt n dmpr in d kni (Tijd in s). Pr/MECHANICA MOTION Rsults mmp_sys_y M a s u r Y Z X Tim Figuur 2.5: Ht vrlp van ht massamiddlpunt tijdns d val- n pvrbwging. D dimnsi van d Y-as is mtr n di van d X-as scndn. Ht vrlp van d hgt van d vrschillnd puntn van ht mdl is nu vl vlindr (zi fig. 2.4). D maximal trugvrhgt is n maat vr d maximal nuttig nrgi di pniuw brikt kan wrdn na n val (zi figuur 2.5). D nrgi van d nndig trillingn wrdt gabsrbrd dr d dmpr. Om na t gaan f d dmpr gn nrgi absrbrt di bijdraagt tt ht winnn van hgt bij ht trugvrn, kunnn w 39

49 ht vrlp van ht massamiddlpunt vr ht mdl zndr n mt dmpr vrglijkn. Uit d simulatis blk dat ht vrlp van ht mmp vr bid mdlln idntik is, wat rp wijst dat d dmpr indrdaad nkl d trillingn van d gldingn, di swis nit zulln bijdragn tt ht winnn van ptntiël nrgi, uitdmpt. In n vlgnd stap kan mn nu d invld van d vrschillnd paramtrs p d trugvrhgt bstudrn. D rst n mst vr d hand liggnd paramtr is d knihk. Als d knihk vrandrt, hft dit n duidlijk invld p ht nrgivrlis. In Mchanica Mtin kan mn dit ht bst bstudrn aan d hand van n snsitivititsanalys ( Snsitivity Analysis ). Tijdns d snsitivititsanalys laat mn d val- n pvrbwging uitvrn vr n 30-tal waardn vr d knihk gaand van n minimal n maximal waard di mn zlf in kan stlln (k ht aantal intrvalln kan mn kizn). Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X knihk_init Figuur 2.6: Ht vrschil in hgt (in m) van ht mmp tussn ht bgin van d bwging n ht maximum na ht grndcntact in functi van d knihk (in rad). H grtr knihk init, h mr gplid ht bn is. Ht rsultaat van dz snsitivititsanalys is t zin p figuur 2.6. Mrk p dat d maat vr d knihk di w in Mchanica Mtin gbruikn m d grtt van d knihk t bschrijvn (knihk init) nit vrnkmt mt d hk κ in figuur 2.2. knihk init is d hk tussn d assnstlsls vrbndn aan ht bvnbn n ht ndrbn. Ht vrband tussn dz vrschillnd hkn is wrggvn in vlgnd frmul: knihk init α = = π κ 2 2 H grtr knihk init wrdt, h klinr κ n h mr ht bn dus gplid wrdt. Op figuur 2.6 stlt mn vast dat ht nrgivrlis zr hg is wannr d knihk 40

50 praktisch nul gradn is, dit wil zggn dat ht bn ngvr gstrkt is (bvnbn ligt in ht vrlngd van ht ndrbn). Naarmat dat ht bn initil mr gplid staat, daalt ht nrgivrlis duidlijk. Rnd d waard 1.5 vr knihk init brikt d curv vr ht hgtvrschil van ht MMP n minimum. Bij dz waard van d knihk zal ht mdl ht hgst trugvrn. Bij zr grt waardn van knihk init (2.4) zin w n plts stijging van ht nrgivrlis. Dit is n gvlg van ht rakn van d grnd dr d kni (n vrmits ht bvnbn n ndrbn glijk lngts hbn k d hup). Immrs, bij n zlfd vrstijfhid zal d kni vr n initil mr gbgn bn lagr bij d grnd kmn tijdns d val. Op n bpaald mmnt zal d kni dan k d grnd rakn. Om dit in Mchanica Mtin vr t stlln, mt mn dus k grndractikrachtn in d kni invrn (uitwrking zi bijlag A.2). Opmrklijk is dat ht minimum van d curv nit ligt waar d kni d grnd ng nt nit raakt. Ht is dus nit z dat d hk van ht ndrbn z grt mglijk mt zijn zlang d kni d grnd nit raakt. Nchtans zu dit nit nlgisch zijn daar ht nrgivrlis tijdns d impact afnmt wannr ht ndrbn hrizntaal kmt t liggn (zi latr in hfdstuk 3). Bij n klinr knihk (κ) is r chtr k mr rtatinl nrgi in ht mdl aanwzig bij ht afsttn. Dz zal dr d dmpr gabsrbrd wrdn n nit bijdragn tt ht mhgkmn van ht mdl. Ht mr plin van ht bn zrgt dus k vr xtra nrgivrlis in d vrm van rtatinl nrgi. Wannr d stijging van ht vrlis aan rtatinl nrgi d daling van ht vrlis aan nrgi tijdns impact vrtrft, is ht nit langr intrssant ht bn vrdr t plin. Pr/MECHANICA MOTION Rsults KE_max m a s u r Y Z X knihk_init Figuur 2.7: D hvlhid kintisch nrgi (in J) aanwzig in ht mdl nt vr ht landn in functi van d knihk (knihk init in rad). H grtr knihk init, h mr gplid ht bn is n h hgr d nkl initil van d grnd vrwijdrd is (d hgt van ht mmp bij d start ligt immrs vast). Vandaar dat ht mdl dan k mr kintisch nrgi kan pbuwn alvrns d nkl d grnd raakt. 41

51 Er is chtr ng n fnmn waarm mn dint rkning t hudn. Dit hft mr btrkking p d randvrwaardn van d val- n pvrbwging dan p d fysisch ignschappn rvan. D randvrwaard m initil ht mmp p dzlfd hgt t hudn is misschin gd m nzlfd nrgi bij d start van d val t hbbn, maar zrgt r wl vr dat d kintisch nrgi bij impact andrs zal zijn vr andr hkn, vrmits d vt al rdr f latr d grnd zal rakn (zi figuur 2.7). Mn mt dus kizn tussn n vast ptntiël nrgi bij ht bgin van d val- n pvrbwging f n vast kintisch nrgi bij impact. Pr/MECHANICA MOTION Rsults vrsch_ke_imp m a s u r Y Z X knihk_init Figuur 2.8: Ht vrlis aan kintisch nrgi (in J) tijdns d impactfas in functi van d knihk (knihk init in rad). Hir is vr d rst pti gkzn vrmits w ht mchanism willn valurn p basis van h ht n bpaald massa p n bpaald hgt (= n bpaald nrgi) dr n val- n pvrbwging hlpt. Bvndin zulln bid ptis p htzlfd nrkmn als mn ht mchanism van nindig hg zu latn valln. Daar dit in d praktijk nit ht gval is, zulln w stds d vrgaand pmrking in gdacht mtn hudn. Om d vrlizn btr t kunnn lkalisrn, wrdt r k n masur gcrërd di ht vrlis aan kintisch nrgi tijdns impact wrgft, namlijk vrsch KE imp (zi figuur 2.8). Ok p dz curv is n minimum trug t vindn. Als w daarntgn ht rlativ vrlis aan kintisch nrgi bkijkn (R vrl KE imp) dr d vrig masur dr d kintisch nrgi bij impact t dln, wrdt d curv mntn dalnd (zi figuur 2.9). Dit is k wat w zulln trugvindn als w ht vrlis tijdns impact thrtisch zulln brknn. Naast ht vrlis aan nrgi tijdns d val- n pvrbwging, zal nu k gkkn 42

52 Pr/MECHANICA MOTION Rsults R_vrl_KE_imp m a s u r Y Z X knihk_init Figuur 2.9: Ht rlativ vrlis aan kintisch nrgi (in J) tijdns d impactfas in functi van d knihk (knihk init in rad). Pr/MECHANICA MOTION Rsults vt_gnd_y FMag F r c M a g Y Z X Tim Figuur 2.10: D vrtikal grndractikracht (in N) di inwrkt p d nkl tijdns d val- n pvrbwging (Tijd in s). wrdn naar d ptrdnd krachtn. En gd mchanism zal rvr zrgn dat d krachtn di p d hup inwrkn z klin mglijk ghudn wrdn. In figuur 2.10 is d vrtikal ractikracht van d grnd tijdns d val- n pvrbwging t zin. D maximumwaard ligt rnd 210 N. Om dz maximumwaard t kunnn 43

53 Pr/MECHANICA MOTION Rsults Fmag_hup Fmag_hup_max M a s u r Y Z X Tim Figuur 2.11: D kracht (in N) di p d puntmassa in d hup inwrkt tijdns d val- n pvrbwging (F mag hup) n d masur F mag hup max, di r ht maximum van nmt (Tijd in s). valurn makn w n niuw masur aan di simplwg ht maximum van d vrtikal grndractikracht is. Ht maximum van d krachtn di p ht bvnlichaam (d puntmassa) inwrkn wrdt analg bpaald (zi fig 2.11). Mt bhulp van dz functi kan mn nu d invld van d knihk p d maximum waard van d ptrdnd krachtn nagaan. In figuur 2.12 zit mn dat k vr dit critrium d ptimal waard van knihk init rnd 1.5 rad ligt. Ok d invld van d twd vrij paramtr, namlijk d vrstijfhid, kan mn p dzlfd manir nagaan. Ht rsultaat van d snsitivititsanalys mt d vrstijfhid als paramtr is t zin p figuur D vrstijfhid van d kni blijkt zr winig invld t hbbn p ht nrgivrlis bij d landing, zlang z maar grt gng is m t vrmijdn dat k d kni d grnd raakt (zals duidlijk blijkt uit d rst tw puntn van d grafik). Op grafik 2.14 is ht vrlis aan nrgi tijdns impact in functi van d vrstijfhid van d kni uitgzt. Dit rsultaat is nigszins ignaardig vrmits d variati van d vrstijfhid nagng gn invld had p ht ttal vrlis aan nrgi. Bijgvlg wil dit zggn dat naarglang d vr in d kni stijvr wrdt, ht vrlis aan nrgi tijdns d impactfas stijgt trwijl ht vrlis aan nrgi dr d schk bij ht trugvrn n dr mztting naar rtatinl nrgi ngvr vnvl daalt zdat ht ttal vrlis glijk blijft. 44

54 Pr/MECHANICA MOTION Rsults Fy_hup_max Fmag_hup_max m a s u r Y Z X knihk_init Figuur 2.12: D maximal vrtikal kracht (F y hup max in N) n d maximal grtt van d krachtvctr (F mag hup max) di p d puntmassa in d hup inwrkt tijdns d val- n pvrbwging in functi van d knihk (knihk init in rad). Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X K_kni Figuur 2.13: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht mdl in functi van d vrstijfhid (in N m 1 ) in d kni (knihk init is hir 1.5 rad). D invld van d vrstijfhid p d grndractikrachtn n d krachtn inwrknd p ht bvnlichaam kan mn k via n Snsitivty Analysis nagaan. H grtr d vrstijfhid wrdt, h grtr d maximal waard van d grndractikrachtn (Fig. 45

55 Pr/MECHANICA MOTION Rsults vrsch_ke_imp m a s u r Y Z X K_kni Figuur 2.14: Ht vrlis aan kintisch nrgi (in J) tijdns d impactfas in functi van d vrstijfhid (in N m 1 ) in d kni (knihk init is k hir 1.5 rad). Pr/MECHANICA MOTION Rsults vr_frc_maxb m a s u r Y Z X K_kni Figuur 2.15: D maximum waard van d vrtikal grndractikrachtn (in N) inwrknd p d nkl tijdns d stunfas in functi van d vrstijfhid (in N m 1 ) van ht mdl (knihk init = 1.5 rad). 2.15). Dit is lgisch aangzin d cntactfas k krtr zal zijn. Ht vrlp van d krachtn inwrknd p d hup is analg (zi Fig 2.16). Vanuit dit pzicht is ht dus bst d vrstijfhid in d kni z laag mglijk t nmn. Mn mt hirbij wl in bschuwing nmn dat d drbuiging dan k vl grtr zal zijn n d kni dus mglijk d grnd zal rakn, wat nit d bdling is. D waard di w tt nu t gbruiktn 46

56 (K kni = 100 N m 1 ) gft n ralistisch drbuiging n bprkt d krachtn p d hup tt 160 N. Pr/MECHANICA MOTION Rsults Fy_hup_max Fmag_hup_max m a s u r Y Z X K_kni Figuur 2.16: D maximum waard van d krachtn (in N) inwrknd p d puntmassa (di ht bvnlichaam vrstlt) tijdns d stunfas in functi van d vrstijfhid (in N m 1 ) van ht mdl (knihk init = 1.5 rad) Bsluit Uit d vrschillnd snsitivititsanalyss kunnn w bsluitn dat vr ht mdl mt tw gldingn (n tw puntmassa s) d ptimal knihk κ rnd 94 ligt (knihk init = 1.5 rad) n d waard van d vrstijfhid nit vl uitmaakt zlang d kni d grnd nit zal rakn. Om d krachtn nit t grt t latn wrdn, mag dz vrstijfhid tch nit t grt zijn. In n laatst stap zal d waard van d knihk gzcht wrdn waarvr ht nrgivrlis minimaal is. Via n ptimisatin study kan mn immrs d waard van n paramtr zkn di n bpaald masur minimaal f maximaal maakt. D waard di hiruit vlgd was: rad (vr K kni wrd als waard 100 N m 1 gnmn). Ht minimaal vrlis aan hgt dat mt dz waardn van d paramtrs gpaard gaat is : m. 2.2 Mdl mt vt Ht mdl mt vt bstaat uit dri gldingn (bvnbn, ndrbn n vt) di scharnirnd vrbndn zijn (zi figuur 2.17). In d hup is r n puntmassa aanwzig di als bvnlichaam dint. D hup n d vttip bwgn p nzlfd rcht zdat r n 47

57 Y Z X Y Z X Y Z Y Y Z X X Figuur 2.17: Ht mdl mt vt. Z X vrglijkbar val- n pvrbwging gmaakt wrdt. Ht mdl hft aldus dri vrijhidsgradn, namlijk d hgt van ht mdl, d knihk n d nklhk Dimnsinring van ht mdl D massa s, lngts, inrtimmntn n massamiddlpuntn van ht bvnbn n ht ndrbn nmn w vr van ht vrig mdl. Ok d puntmassa in d hup n d massa van d vt wrdt dzlfd gnmn m d tw mdlln gd t kunnn vrglijkn. Ht nig vrschil mt ht vrig mdl is dus d aanwzighid van ht vtglid. D lngt n traaghidsmmnt van dit glid mtn ng gkzn wrdn. Hirvr nmt mn initil aannmlijk waardn waarvan mn latr d invld p d rsultatn kan nagaan. lngt vt = 0.15 m massa vt = 0.2 kg 48

58 Als w als mdl vr d vt n balkj nmn (d brdt van ht balkj is nt als bij d tw andr gldingn 20 mm), wrdt ht traaghidsmmnt alsvlgt brknd: I v = m v a2 +b 2 12 = = Nm. Ht massamiddlpunt ligt in ht middn van d vt. Naast ht bijkmnd glid is r in dit mdl k n twd scharnirgwricht (in d nkl) aanwzig mt n trsivr. D vrstijfhid van dz trsivr vrmt ng n bijkmnd paramtr. Vrlpig nmn w als stijfhid 40 (K nkl = 40 N m 1 ). D vrstijfhid van d kni laat mn zals in ht vrig mdl (K kni = 100 N m 1 ). Dr d dmprs in d kni n d nkl zal mn rvr zrgn dat d trillingn bij ht trugvrn vldnd snl uitgdmpt wrdn (C kni = 100 N s m 1 n C nkl = 60 N s m 1 ). D hk van ht scharnirgwricht in d nkl is één van d dri vrijhidsgradn van ht systm n wrdt dus k als paramtr mgnmn Implmntati van ht mdl Mt d ggvns uit d vrig paragraaf, kan mn aan ht vrig mdl n vt tvgn. D scharnirvrbinding in d nkl wrdt vlkmn analg aan ht knigwricht ingvrd. D drivr di d nkl p n vrtikal rcht hild wrdt wggnmn n in d vttip gplaatst zdanig dat d hup n d vttip p éénzlfd vrtikal rcht bwgn. Vrmits d vttip cntact zal makn mt d grnd, mt mn k daar d grndractikrachtn invrn. H dit gburt, wrd rds bschrvn in ht vrig mdl (d invrggvns van d masurs n d lads in Mchanica Mtin zijn trug t vindn in bijlag A.3, alsk d ggvns vr ht invrn van d lads ). Als mn nu k ng d bgincnditis plgt, kan k dit mdl gëvalurd wrdn in Mchanica Mtin. En rst paramtr di mt vastglgd wrdn, is d hgt van ht mdl. Ok hir zal mn ht mmp p n cnstant hgt hudn, namlijk één mtr. Vrmits d ttal massa dzlfd is als in ht mdl zndr vt, zal bij glijk hgt van ht massamiddlpunt d nrgi bij d start van d bwging dzlfd zijn. Dit is nt d bdling daar w d mdlln willn vrglijkn in h z n bpaald nrgi dr n val- n pvrbwging hlpn. D vrwaard p ht mmp zulln w pniuw via n aantal frmuls naar n vrwaard p d hgt van d hup mzttn, di dan gmakklijk in Mchanica Mtin gïmplmntrd kan wrdn. D frmuls wrdn pgstld aan d hand van figuur En pmrking di mtn gmaakt mt wrdn is dat d frmul nit gldig zulln zijn als d cnfigurati van ht mdl nit vrnstmt mt di in d figuur. Dit wil zggn dat als bijvrbld d nklhk zdanig is dat ht nklgwricht rchts van d y-as kmt t liggn, d brkning van d hgt van d hup m ht massamiddlpunt p één mtr hgt t hudn, nit mr gldig zal zijn. D hgt van ht mmp wrdt bpaald uit d hgt van d massamiddlpuntn van d vrschillnd gldingn: 49

59 Figuur 2.18: Ht mdl mt n vt. D lngts van ht bvnbn n ht ndrbn zijn glijk. Ht vrband tussn d abslut hkn van d gldingn n d nkl- n knihk is chtr nit mr z nvudig als in ht vrig mdl (zi brkningn). D massamiddlpuntn van d gldingn zijn mt puntn aanggvn. Mn bschikt k vr: h mmp (m h + m b + m + m v ) = h h m h + h b m b + h m + h v m v h b = h h cs γ l b h = h h l b cs γ l cs β h v = h h l b cs γ l cs β 1 2 l v cs α W cmbinrn d vrglijkingn n bkmn: h mmp (m h + b b + m + m v ) = h h (m h + m b + m + m v ) l bm b cs γ m (l b cs γ l cs β) m v (l b cs γ + l cs β + l v 2 cs α) W willn nu n uitdrukking vrkrijgn vr h h (instlln als cmputd paramtr) zdat w dz als initial cnditin kunnn plggn. h h = h mmp + Mn rknt vrdr uit: 7 16 l bm b cs γ + m (l b cs γ l cs β) + m v (l b cs γ + l cs β + l v 2 cs α) m h + m b + m + m v h h = h mmp + ( 7 16 m bl b + m l b + m v l b ) cs γ + ( 3 8 l m + m v l ) cs β + m v l v2 cs α m h + m b + m + m v 50

60 Tnsltt: h h = h mmp + ( 7 16 m b + m + m v )l b cs γ + ( 3 8 m + m v )l cs β + m v l v2 cs α m h + m b + m + m v D abslut hkn γ, β n α mtn nu ng uitgdrukt wrdn in functi van d nklhk ɛ n d knihk κ. Wannr mn in Mchanica Mtin n paramtr dfinrt via n frmul, mag di frmul nkl nafhanklijk paramtrs bvattn. Vandaar d ndzaak d abslut hkn uit t drukkn in functi van d nafhanklijk paramtrs knihk n nklhk. Uit figuur 2.18 vlgt d btrkking: Hrwrkn lvrt: waaruit n dus l b sin γ + l v sin α = l sin β. (2.2) l b sin(α + ɛ κ) + l v sin α = l sin(π (α + ɛ)) = l sin(α + ɛ) (2.3) l b (sin α cs(ɛ κ) + cs α sin(ɛ κ)) + l v sin α = l (sin α cs ɛ + cs α sin ɛ) tan α = Vrglijking 2.2 kan k gschrvn wrdn als : n hiruit l b sin(ɛ κ) l sin ɛ l cs ɛ l v l b cs(ɛ κ) l b sin γ + l v sin(γ + κ ɛ) = l sin(π (γ + κ))) = l sin(γ + κ) (2.4) tan γ = Tnsltt zin w uit d figuur dat : l v sin(κ ɛ) l sin κ l cs κ l b l v cs(κ ɛ) β = π (α ɛ) Hirm kunnn w h h aan d hand van d knihk, nklhk n h mmp bpaln. D andr bgincnditis lggn d waard van d knihk n d nklhk vast (Kh, Eh in Mchanica Mtin). Immrs, ht systm hft dri vrijhidsgradn n d bgincnfigurati ligt dus vast als w d hgt van ht mmp n d waard van d knihk n nklhk vastlggn. 51

61 2.2.3 Mtingn n rsultatn. D val- n pvrbwging vr n mchanism mt n vt kan nu in Mchanica Mtin gsimulrd wrdn. D rsultatn kunnn dan vrglkn wrdn mt ht mdl zndr vt. Z kan d bijdrag van d vt in kaart gbracht wrdn. W makn k hir gbruik van d ndig masurs m d rsultatn t visualisrn (V rl h mmp). Bij ht mdl zndr vt hbbn w n ptimalisati van d vrblijvnd paramtrs uitgvrd. Ok in dit mdl zulln d vrij paramtrs ptimaal ingstld wrdn. Vralr dz ptimalisati drgvrd wrdt, zal d val- n pvrbwging al ns uitgvrd wrdn vr n willkurig instlling van d vrij paramtrs. Dit gft ns al n id f ht mdl n ralistisch wrgav is van n val- n pvrbwging. Ht rst wat pvalt is dat d frqunti van d scillati in d nkl n stuk hgr ligt dan d natuurlijk frqunti van d kni. Hirdr zal d hil vrschillnd minima vrtnn tijdns d bwging (mrdr prids van d scillati in ht nklgwricht tijdns één prid van ht knigwricht zi figuur 2.19). Pr/MECHANICA MOTION Rsults kni_b Y nkl_vt Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 2.19: D y-psiti (in m) van d nkl n d kni. D nkl vrtnt tw minima tijdns d stunfas wat d scillati van d vt wrgft. Dit trwijl d psiti van d kni maar één minimum vrtnt (Tijd in s). Dit fnmn maakt dat d bwging nit vrnstmt mt n natuurlijk sprng. Als d mns springt, gaat dit gpaard mt één prid van ht nklgwricht n ht knigwricht. Ht bn ragrt alsf ht één nkl vr is. In ht mdl in Mchanica Mtin kunnn w d vrstijfhid van d nkl wat vrlagn m d scillatifrqunti van ht nklgwricht naar bndn t haln. Maar als w dan d hkn van d kni f nkl vrandrn kmt htzlfd prblm wr pduikn. Bij d mns is d vrstijfhid van d 52

62 nkl gn cnstant. Z is ndrmr afhanklijk van d psiti van d nklhk (zi rf [24]). Dit is chtr nit zmaar in t vrn in ns mdl in Mchanica Mtin. W zulln d K-waard van d nkl nrzijds nit t grt nmn zdat dit fnmn zich nit t strk manifstrt n andrzijds k nit t klin zdat ht mdl nit nmiddllijk mt d hil p d grnd kmt t staan. Zals in ht vrig mdl zulln w k hir dmprs plaatsn di d scillatis van d gldingn bij ht trug mhg springn mtn attnurn. Hirvr wrdt dus zwl in d kni als in d nkl n dmpr gplaatst di pas in wrking trdt wannr d vttip d grnd vrlaat. En twd pmrking di nu al gmaakt kan wrdn is dat ht mdl al n stuk hgr trugvrt dan ht mdl zndr vt (95% tn pzicht van 80%).(zi fig 2.20) Pr/MECHANICA MOTION Rsults mmp_sys_y M a s u r Y Z X Tim Figuur 2.20: D hgt (in m) van ht massamiddlpunt van ht mchanism tijdns d val- n pvrbwging (Tijd in s). D prfrmanti van ht mdl kan chtr ng vrbtrd wrdn dr d vrij paramtrs btr in t stlln. D mst invldrijk paramtrs zijn d nklhk n d knihk. En snsitivititsanalys in Mchanica Mtin kan slchts d invld van één paramtr p d wrking van ht mchanism nagaan. D invld van d knihk is chtr afhanklijk van d waard van d nklhk n ht is dus nmglijk n gd bld t krijgn als mn dz afzndrlijk valurt. Daarm zal r vr n rang van waardn van knihkn n snsitivititsanalys p d paramtr nklhk uitgvrd wrdn. D rsultatn van dz snsitivititsanalyss wrdn wrggvn in figuur 2.21 waar ht vrlis aan hgt van ht mmp (V rl h mmp) in functi van d knihk n d nklhk uitgdrukt staat (d tabl is t vindn in bijlag B.4). Mrk p dat r p d figuur vr klin waardn van d nklhk n vlakj aanwzig 53

63 Figuur 2.21: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht massamiddlpunt van ht mchanism tijdns d val- n pvrbwging vr vrschillnd hkn (in ) van d nkl n d kni. is mt d waard 0.1 m. Dit zijn gn gmtn waardn, vr di waardn van d nklhk n knihk kmt d cnfigurati van ht mdl nit mr vrn mt figuur 2.18 n hft ht dus gn zin mtingn uit t vrn. Bvndin kmn dz waardn van hkn in d praktijk nit vr. Om al d pgmtn waardn p d grafik t kunnn wrgvn, is aan d ntbrknd puntn d waard 0.1 m ggvn. Er is gn nduidig minimum p d grafik aanwzig. D puntn van minimaal nrgivrlis liggn p n lijn. Als mn r mr p inzmt, vindt mn tw minima trug mt als waardn 0, m n m (zi tabl in bijlag B.4). Rnd d waardn van hkn di hirm vrnstmmn vrt mn n ptimisati-analys uit di dan d gunstigst hkn wat btrft ht nrgivrlis zal plvrn. Ht laagst nrgivrlis trdt p vr n nklhk Eh = rad n Kh = rad n bdraagt m. Ht twd minimum wrdt gptimalisrd tt m vr n waard van Eh = rad n Kh = rad. D lijn van ht minimum nrgivrlis kmt vrn mt n wrking waarbij d hil d grnd nt nit zal rakn tijdns d val- n pvrbwging. Hiruit kan mn bsluitn dat mn r all blang bij hft ht mchanism gng t plin ttdat d hil d grnd nt nit raakt. Vanuit één van d tw minima kan nu d invld van vrschillnd paramtrs di d ignschappn van d vt bpaln, naggaan wrdn. Mrk p dat r één paramtr 54

64 gwijzigd wrdt trwijl d andrn cnstant blijvn ( ctris paribus ) En rst vr d hand liggnd paramtr is d massa van d vt. Ht lgisch rsultaat (zi Fig. 2.22) luidt: h klinr d massa, h klinr ht vrlis aan nrgi (mindr nafgvrd massa). Mrk p dat als d massa stijgt, d nkl hgr kmt t liggn want d hgt van ht mmp h mmp = 1 m, wat dus n tnam aan kintisch nrgi bij impact btknt n n twd nadlig ffct p d vrlizn zal hbbn. D curv vrtnt n knik nt p d plaats waar d ptimalisati vr d hkn was uitgvrd. Di ptimalisati blk immrs zdanig t zijn dat d hil d grnd nt nit raakt. Als d massa van d vt grtr wrdt dan 0.2 kg dan zal d hil nt wl p grnd kmn wat ng xtra vrlizn zal mbrngn. Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X mv Figuur 2.22: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht mdl in functi van d massa (in kg) van d vt. Ok d invld van ht traaghidsmmnt van d vt is duidlijk (zi Fig. 2.23). H grtr ht traaghidsmmnt, h grtr d vrlizn. Lt wl, d massa van d vt wrd cnstant ghudn. Fysisch kan mn dz variati dus intrprtrn als n vrandring van d vrm van ht vtglid waardr ht traaghidsmmnt vrandrt maar d psiti van ht massamiddlpunt n d massa dzlfd blijft. Zals in ht vlgnd hfdstuk gïllustrrd zal wrdn, gft n grtr traaghidsmmnt immrs aanliding tt grtr vrlizn bij impact. D lngt van d vt kan mn k latn varirn. Ht rsultaat hirvan (zi fig 2.24) is milijk t intrprtrn. Als w d lngt vrklinn zal d hil snl d grnd rakn n dus vr vl xtra vrlizn zrgn (in ht xtrm gval, namlijk l v = 0 m, raakt d hil al mtn d grnd). Wannr d vt dan wr grtr gmaakt wrdt, zal d vttip zich initil al vl dichtr bij d grnd bvindn wat swis n vrlaging van ht abslut nrgivrlis bij impact btknt. Als d vt zr lang is, kan ht immrs zijn dat d 55

65 Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X Izz_vt X 1E-003 Figuur 2.23: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht mdl in functi van ht traaghidsmmnt (in 10 3 kg m 2 ) van d vt. Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X lv Figuur 2.24: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht mdl in functi van d lngt (in m) van d vt. vt initil al p d grnd staat n is r hlmaal gn nrgivrlis mr. Bvndin is d lngt van n glid nlsmaklijk vrbndn mt d hkn tussn d gldingn n hft ht dus winig zin dz afzndrlijk t gaan valurn. D lgisch cnclusi is dan k dat d lngt di d vt had bij d ptimalisati van d hkn, hir als bst uitkmt. Opmrking: Bij d vrandring van d lngt van d vt wrdt ht massamiddlpunt 56

66 vnns vrplaatst zdanig dat ht stds in ht middn van d vt blijft liggn. Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X ps_mmpv_ Figuur 2.25: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht mdl in functi van d psiti (in m) van ht massamiddlpunt van d vt. D psiti van ht massamiddlpunt van d vt latn w variërn van d hil tt d vttip (zi Fig. 2.25). Ht minimum van ht nrgivrlis dt zich vr wannr ht massamiddlpunt dichtr bij d hil ligt dan bij d vrvt. Thrtisch is ht vrlis bij impact (zi hfdstuk 3) ht klinst wannr ht massamiddlpunt in d hil ligt. Z is d nafgvrd massa immrs minimaal. Hir stijgt ht vrlis chtr trug als mn t dicht bij d hil kmt. Dit is t wijtn aan ht fit dat wannr ht massamiddlpunt zr dicht bij d hil kmt t liggn, d hil d grnd zal rakn n z d ttal vrlizn d hgt in jagn. Als nkl ht nrgivrlis bij impact in bkkn wrd, blf ht nrgivrlis indrdaad daln als ht mmp van d vt naar d hil vrschvn wrd. Rst ns ng, nt als bij ht mdl zndr vt, d invld van d vrstijfhid van d trsivrn na t gaan. Ht vrlp van ht nrgivrlis in functi van d vrstijfhid in d nkl is t zin in figuur Als d vrstijfhid t klin is, stijgn d vrlizn frs mdat d hil dan d grnd zal rakn. Vanaf ht punt dat d vr stijf gng is m t zrgn dat d hil d grnd nit raakt, stijgn d vrlizn wr bij n vrhging van d stijfhid. Dit hft alls t makn mt ht fit dat d vr van d nkl afgstmd mt zijn p d trsivr in d kni. Als mn afwijkt van d idal vrhuding zulln d vrlizn stijgn. Op n bpaald punt brikt mn n maximum, waarna d vrlizn trug zakkn tt d waard van ht rst minimum (dit fnmn trdt k p in figuur 2.21 vr grt nklhkn n rdlijk klin knihkn). D bwging di gmaakt wrdt in dit twd minimum 57

67 Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X K_nkl Figuur 2.26: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht mdl in functi van d vrstijfhid (in N m 1 ) van d trsivr in d nkl. is chtr nit mr natuurlijk. Vanaf ht punt dat d vttip d grnd raakt, zakt d hil praktisch nit mr, intgndl d vt draait in d andr richting zdat d kni, di strk drbuigt, naar vr gduwd wrdt. Op n bpaald punt draait d bwging zich m, n stt ht mchanism zich trug af. D nklhk ndrgaat dus winig drbuiging (stijv vr). Ht mchanism kmt dsndanks dz vrmd bwging gd mhg mdat d vrn van d scharnirn gd p lkaar afgstmd zijn in dz andr bwging. Dit dl van d curv hft dus gn waard. D invld van d vrstijfhid in d kni is nt als bij ht mdl zndr vt bprkt (zi figuur 2.27). Mn mt r vnwl vr zrgn dat d trsivr in d kni hg gng is m rvr t zrgn dat d hup nit t vl zakt. In ht rst punt zijn d vrlizn immrs zr hg vrmits daar dr d lag vrstijfhid in d kni, d hup zdanig zakt, dat z zlfs ndr d hil kmt t liggn. D vrstijfhid van d knihk bij ht ptimalisrn van d hkn was 100 N m 1. Als mn d vr ng stijvr maakt, is r n duidlijk stijging van d vrlizn mrkbaar. Dit mdat d hil dan d grnd wr nt zal rakn. Ok hir zijn dzlfd pmrkingn als bij d vrstijfhid in d nkl gldig. Ht punt dat was gkzn vr d ptimalisati van d hkn is ht minimum van d curv. Als d vrstijfhid chtr vrklint vrschijnt r n twd minimum (K kni = 40 N m 1 ) di staat vr d ptimal vrhuding van d vrstijfhdn in kni n nkl vr d nnatuurlijk bwging rds vrmld in d vrig alina. Vrschillnd vaststllingn wijzn rp dat ht d vrhuding van d vrstijfhdn in kni n nkl is di blangrijk is m d vrlizn t minimalisrn. Dz ndrstlling wrdt ng ns gttst via n laatst snsitivitits-analys. Figuur 2.28 gft ht vrlis 58

68 Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X K_kni Figuur 2.27: Ht vrlis aan hgt (in m) van ht mdl in functi van d vrstijfhid (in N m 1 ) van d trsivr in d kni. Pr/MECHANICA MOTION Rsults Vrl_h_mmp m a s u r Y Z X K_nkl Figuur 2.28: Ht vrlis aan hgt van ht mdl (in m) in functi van d vrstijfhid (in N m 1 ) van d trsivr in d nkl. D vrstijfhid in d kni is 250 N m 1. aan nrgi vr vrschillnd vrstijfhdn van d nkl trwijl d vrstijfhid van d kni 250 N m 1 is gnmn. D vrwachting is dan k dat d ptimal waard hgr zal zijn dan in ht gval dat d stijfhid van d knivr 100 N m 1 was (figuur 2.26). Dit is indrdaad ht gval. En als mn d bwging bkijkt di gmaakt wrdt vr dz waard, dan kmt dz hl natuurlijk vr, r is zlfs gn xtra scillati in d nkl 59

69 t zin. Drdat d stijfhdn n stuk grtr zijn gwrdn zal d hil in gn gval d grnd rakn (vandaar d vlind curv, d hil zal vr gn nkl punt p d curv d grnd rakn). Als mn vr dz waard van stijfhdn n ptimalisati van d hkn zu uitvrn, kmt mn waarschijnlijk wr tt n situati waarbij d hil d grnd nt nit zal rakn. Ht is dus nigszins bdriglijk m al d paramtrs afzndrlijk t variërn vrmits smmign duidlijk van lkaar afhanklijk zijn. Mchanica Mtin laat chtr nit t d vrschillnd paramtrs tsamn t valurn Bsluitn n pmrkingn Ht mdl mt n vt rbij vrt vl hgr trug dan dat zndr vt (ruim 96% tn pzicht van ampr 80%). Ht nrgivrlis van ht mdl mt n vt wrdt gminimalisrd dr di cnfigurati t kizn waarbij d hil d grnd nt nit raakt. Bijkmnd mtn vr ht mdl mt n vt d tw vrn p lkaar afgstmd wrdn zdat mn n natuurlijk trugvring vrwznlijkt. D hkn, lngts n vrstijfhdn spln hirin n blangrijk rl. Vrts mt mn d massa n ht traaghidsmmnt van d vt minimalisrn. Ht massamiddlpunt van d vt ligt bst wat dichtr bij d hil. Opmrking: ctris paribus vrndrstlling gft nit altijd gd rsultatn vrmits ht wijzign van n andr paramtr wl n invld kan hbbn p d invld van d paramtr di mn bstudrt. Ht duidlijkst vrbld daarvan is d invld van d hkn p d ptimal waard van d vrstijfhdn. Om d vrglijkbaarhid tussn d tw mdlln t bvrdrn is rvr gkzn d waardn van d paramtrs van ht mdl zndr vt (massa s, lngts, massamiddlpuntn n traaghidsmmntn van d gldingn alsk d vr- n dmpingscnstant in d kni) t bhudn vr ht mdl mt vt. D vrandring van ht mdl vraagt chtr m n hrinstlling van all paramtrs m n ptimal wrking t vrkrijgn (n gd vrbld hirvan is d vrstijfhid van d kni). Mn kan d structuur van d vt ng vrdr aanpassn dr r tnn aan t zttn. Ht ffct hirvan zal analg zijn als ht bijplaatsn van d vt. D studi hirvan zal chtr n stuk cmplxr wrdn. 60

70 Hfdstuk 3 Thrtisch uitwrking van d schk tijdns d valbwging Tijdns d mdllring van d val- n pvrbwging in Mchanica Mtin wrd r rds gwzn p d vrlizn di ptrdn vanwg d impact bij d landing. Ht is d bdling m dz impactfas vanuit n thrtisch hk t bnadrn. Dit hft als vrdl dat d invld van d talrijk paramtrs in ht systm gmakklijkr bstudrd kan wrdn. In ht mdl in Mchanica Mtin bstnd d grnd uit n vr-dmpr systm. Hir ndrstlln w n vlldig inlastisch btsing van ht landingspunt mt d grnd. D stlling van d kintisch rsultant n d stlling van ht kintisch mmnt wrdn in ht gval van n schk: m(v + G v G ) = π (3.1) µ + G µ G = GF π G is ht massamiddlpunt van ht glid n F ht punt waar π aangrijpt. π is d prcussi. Ht mintkn in v G n µ G gft aan dat ht d grthid btrft vóór d schk, ht plustkn staat bij d grthid na d schk. µ G vindt mn uit vlgnd frmul: µ G = I G ω Vrmits d mdlln twdimnsinaal zijn, vrnvudigt d vrglijking zich tt: 3.1 Mdl zndr vt µ G = I zz G ω 1 z In ndrstaand figuur is ht mdl zndr vt gschtst p ht mmnt van impact. Op dat gnblik bzittn d gldingn n vrtikal snlhid v = v 0 1 y di afhangt van d hgt waarvan ht mdl is gvalln: v 0 = 2gh 0. D hkrtati van d gldingn 61

71 is nul (ω = 0). Y q α g b κ k α g X D lngts van ht bvnbn n ht ndrbn wrdn nt als in ht mdl in Mchanica Mtin glijk gnmn. Dit btknt immrs n grt vrnvudiging in d brkning (d abslut hkn van ht bvnbn n ht ndrbn zijn hirdr glijk in grtt) n bvndin kmt dz vrndrstlling gd vrn mt d wrklijkhid. D hk α is d abslut hk van ht ndrbn. Dit is d hk di ht ndrbn maakt mt d y-as van ht vast assnstlsl (zi bvnstaand figuur). Dankzij d vrig vrndrstlling is d knihk κ nvudig t schrijvn in functi van α : κ = π 2α. Evnals bij d mdllring in Mchanica Mtin hft dit mdl tw bgincnditis, namlijk d initiël hgt van ht mdl (in v 0 vrvat) n d knihk (via α pglgd). Vrts zijn d ignschappn van d gldingn (massa, lngt, traaghidsmmnt, psiti van ht massamiddlpunt) in d brkningn als paramtrs pgnmn. W zulln nu d impactvrglijkingn glid pr glid uitschrijvn (k vr d puntmassa s in d nkl n d hup). Dz vrglijkingn lvrn ns dan d impactkrachtn n d hksnlhdn van d gldingn na impact. D hksnlhdn bpaln d kintisch nrgi van ht mdl na d schk. Vrmits d kintisch nrgi vr d schk gknd is (uit v 0 ), kan ht nrgivrlis tijdns d impactfas brknd wrdn. 62

72 3.1.1 D schkvrglijkingn A. Puntmassa in d nkl. Y π π X π is d prcussi van d grnd p d puntmassa in d nkl n π is d rprcussi van d rst van ht mdl p d puntmassa in d nkl. D nig paramtr di aan d puntmassa vrbndn is, is d massa m. D vrglijkingn di d schk bschrijvn (3.1) zijn triviaal in dit gval n hrlidn zich tt: π X + π X = 0 n: B. Ondrst glid (ndrbn). Y π Y + π Y = m v 0 ω = 0 π ω k k g α k X -π D vlgnd paramtrs bpaln d ignschappn van dit glid: d massa m d lngt l ht traaghidsmmnt I zz G d psiti van ht massamiddlpunt k 63

73 D paramtr k is 0 als ht massamiddlpunt van ht ndrbn (G ) in d nkl ligt n wrdt 1 als G in d kni kmt t liggn. D gnblikklijk hksnlhid van ht glid is: ω = ω 1 z. Ht vrband tussn d hksnlhid n d abslut hk van ht glid vlgt uit d figuur: ω = ω 1 z = α 1 z D schkvrglijkingn (3.1) vr dit glid wrdn: m v + G m v G = π + π k M + G M (3.2) G = G O π + G K π k D snlhdn van ht massamiddlpunt vr n na d schk vlgn uit d figuur: v G X = 0 v G Y = 2gh 0 = v 0 v + G X = ω k l cs α v + G Y = ω k l sin α Bijgvlg wrdt d rst vrglijking uit 3.2: m ω k l cs α = π X + π kx m ω k l sin α + m v 0 = π Y + π ky D twd vrglijking uit 3.2 kan mn schrijvn als: M + G M G = I zz G ω 1 z = G O π + G K π k Uit d figuur haalt mn: G O = k l sin α 1 X k l cs α 1 Y G K = (1 k )l sin α 1 X + (1 k )l cs α 1 Y Mn vrkrijgt tnsltt : I zz G ω = +k l sin α π Y k l cs α π X + (1 k )l sin α π ky (1 k )l cs α π kx C. Bvnst glid (bvnbn). Y π h q α g b k b -π k k ω b X D vlgnd paramtrs bpaln d ignschappn van dit glid: 64

74 d massa m b d lngt l b = l ht traaghidsmmnt I zz G b d psiti van ht massamiddlpunt k b D paramtr k b is 0 als ht mmp van ht bvnbn in d kni ligt n wrdt 1 als ht mmp in d hup kmt t liggn. D gnblikklijk hksnlhid van ht glid is: ω b = ω b 1 z. Ht vrband tussn d hksnlhid n d abslut hk van ht bvnbn vlgt uit d figuur: ω b = ω b 1 z = α 1 z Uit dz vrglijking vlgt: ω b = ω. D vrglijkingn zulln mtn gschrvn wrdn in functi van d paramtr ω. D schkvrglijkingn (3.1) wrdn vr dit glid: m b v + G b m b v G b = π k + π h M + G b M G b = G b K ( π k ) + G b Q π h (3.3) D snlhdn van ht massamiddlpunt vr n na d schk vlgn uit d figuur: v G bx = 0 v G by = 2gh 0 = v 0 v + G bx = ω b k b l b cs α ω l cs α v + G by = ω b k b l b sin α + ω l sin α = (1 k b )ω l cs α = (1 + k b )ω l sin α Dz frmul vr v + G bx vindt mn nmiddllijk trug als mn d hrizntal snlhid van ht massamiddlpunt na d schk brknt vanuit ht punt Q (nu vanuit K pgbuwd). Bijgvlg wrdt d rst vrglijking uit 3.3: m b (ω (1 k b )l cs α) = π kx + π hx m b v 0 + m b ω (1 + k b )l sin α = π ky + π hy D twd vrglijking uit 3.3 kan mn schrijvn als: M + G b M G b = I zz G b ω b 1 z = G b K ( π k ) + G b Q π h Uit d figuur haalt mn: G b K = k b l b sin α 1 X k b l b cs α 1 Y G b Q = (1 k b )l b sin α 1 X + (1 k b )l b cs α 1 Y Na ht nmn van ht vctril prdukt wrdt d twd schkvrglijking: I zz G b ω b = I zz G b ω = k b l b sin α π ky k b l b cs α π kx (1 k b )l b sin α π hy (1 k b )l b cs α π hx 65

75 D. Puntmassa in d hup. Y q -π h π q X Vrmits d gliding vrtikaal staat bzit d rprcussi π q nkl uit n hrizntal cmpnnt. Ht punt Q kmt vrn mt ht punt H n is vnns ht massamiddlpunt van d puntmassa (G h ). D nig paramtr di aan dit glid vrbndn is, is d massa m h. Ht bhud van impuls wrdt hir: m h v + G h m h v G h = π q π h (3.4) D snlhdn vr n na d schk vlgn uit bvnstaand figuur: v G hx = 0 v G hy = 2gh 0 = v 0 v + G hx = 0 v + G hy = 2ω l sin α Bijgvlg wrdt 3.4: π hx + π qx = 0 2m h ω l sin α + m h v 0 = π hy (π qy = 0) Bhud van impulsmmnt is hrlid tt ω h = 0 htgn triviaal is. E. Ht vlldig mchanism. Al dz vrglijkingn kunnn gschrvn wrdn als n stlsl van 8 vrglijkingn in 8 nbkndn. D vrglijkingn π X + π X = 0 n π hx + π qx = 0 wrdn immrs nit in ht stlsl pgnmn vrmits z afzndrlijk bhandld kunnn wrdn. Vrts wrdn d paramtrs vr d lngt van ht ndrbn n ht bvnbn vrvangn dr één 66

76 nkl paramtr l (l = l b = l). π Y + π Y = m v 0 π X + π kx = m ω k l cs α π Y + π ky = m ω k l sin α + m v 0 I zz G ω = +k l sin α π Y k l cs α π X + (1 k )l sin α π ky (1 k )l cs α π kx π kx + π hx = m b (ω (1 k b )l cs α) π ky + π hy = m b v 0 + m b ω (1+k b )l sin α I zz G b ω = k b l sin α π ky k b l cs α π kx (1 k b )l sin α π hy (1 k b )l cs α π hx π hy = 2m h ω l sin α + m h v 0 D nbkndn in ht stlsl zijn: ω, π X, π kx, π hx, π Y, π ky n π hy. D vrig variabln zijn d paramtrs di d bgincnditis van ht mchanism vastlggn (v 0 n α) n d paramtrs di d ignschappn van d gldingn bpaln (m h, m b, m, m v, k b, k, l, IG zz b n IG zz ). D waardn van π X n π qx vlgn mtn uit di van π X n π hx Ht stlsl kan aan d hand van ht wiskundig prgramma Mapl gmakklijk pglst wrdn (zi fil imp vrg zv.mws in bijlag). Vr d hksnlhid van ht ndrst glid bkmt mn alz: ω = l sin α (k b m b v 0 + 2m h v 0 + k m v 0 + m b v 0 ) IG zz b + 4l 2 sin 2 α k b m b + l 2 m b 2l 2 k b m b + l 2 k b m b + l 2 kb 2m b + 4l 2 sin 2 α m h + IG zz + l 2 km 2 Dz uitdrukking kan ng vrnvudigd wrdn tt: ω = ((1 + k b )m b + 2m h + k m )lv 0 sin α IG zz b + IG zz + 4l 2 sin 2 α (k b m b + m h ) + l 2 m b (1 k b ) 2 + l 2 km 2 En vrmits ω = ω b is hirm d vlldig bwging van ht mchanism na d schk gknd. D frmuls vr d impactkrachtn π X, π kx, π hx, π Y, π ky n π hy zijn t vindn in d Mapl-fil in bijlag Enrgivrlis tijdns d schk Ht is d bdling n frmul t bkmn vr ht vrlis aan nrgi tijdns d schk. Mn drukt bijgvlg d kintisch nrgi van ht mdl na d schk uit in functi van ω (di gknd is uit bvnstaand frmul). 67

77 A. Puntmassa in d vt D kintisch nrgi nt vr d schk is: ε v = m vv 2 G v 2 = m vv Vrmits d nkl plts tt stilstand kmt is d kintisch nrgi na d schk nul: B. Ondrbn D kintisch nrgi nt vr d schk is: ε + v = 0 Nt na d schk wrdt dit: ε = m v 2 G 2 = m v ε + = 1 2 m v +2 G Izz G ω 2 Uit v + G = ω k l, vlgt: ε + = 1 2 m ω 2 k 2 l Izz G ω 2 C. Bvnbn Kintisch nrgi vr d schk: Nt na d schk: Uit d vrig paragrafn blk: Kwadratrn gft: ε b = m bv ε + b = 1 2 m bv +2 G b Izz G b ω 2 b v + G b = ( (1 k b )ω l cs α, (1+k b )ω l sin α) v +2 G b = (1 k b ) 2 ω 2 l 2 cs 2 α + (1+k b ) 2 ω 2 l 2 sin 2 α = (1+k 2 b )ω2 l 2 + 2k b ω 2 l 2 (sin 2 α cs 2 α) = (1+k 2 b )ω2 l 2 2k b ω 2 l 2 cs 2α D kintisch nrgi van ht bvnbn na d schk is bijgvlg: ε + b = 1 2 m bω 2 l 2 (1+k 2 b 2k b cs 2α) Izz G b ω 2 68

78 D. Puntmassa in hup D kintisch nrgi van d puntmassa in d hup nt vr d schk is: Nt na d schk wrdt dz: ε h = 1 2 m hv 2 0 ε + h = 1 2 m hv 2 G h Izz G h ω 2 h Vrmits ω h = 0 valt d laatst trm in d vrglijking wg. D snlhid van d puntmassa nt na d schk wrdt ggvn dr (zi vrgr): v + G h = (0, 2ω l sin α) En dus: ε + h = 2m hl 2 ω 2 sin 2 α E. Ttaal D kintisch nrgi van ht vlldig mchanism is d sm van d kintisch nrgi van d gldingn di hirvr brknd wrdn. D kintisch nrgi nt vr d schk is dus: ε = ε v + ε + ε b + ε h = 1 2 v2 (m v + m + m b + m h ) Nt na d schk: ε + = ε + v + ε + + ε + b + ε+ h Gbruik maknd van d frmuls vr d kintisch nrgi van d gldingn nt na d schk, vindt mn: ε + = 1 2 ω2 (m k 2 l 2 + I zz G + m b l 2 (1+k 2 b 2k b cs 2α) + I zz G b + 4m h l 2 sin 2 α) Ht nrgivrlis dr d schk bstaat nkl uit vrlis aan kintisch nrgi (d ptntiël nrgi blijft immrs glijk). Om ht rlativ vrlis aan kintisch nrgi t bkmn, dlt mn ht vrlis aan nrgi dr d kintisch nrgi aanwzig nt vr d schk. ( ε) rl = ε ε = 1 ε+ ε D frmul vr ht vrlis aan nrgi bvat als nbkndn nkl ng d paramtrs di d ignschappn van d gldingn bpaln n d tw paramtrs di vrn kmn mt d vrijhidsgradn van ht mdl. Ht rlativ vrlis aan nrgi is zlfs nafhanklijk van v 0 (ε + is vnrdig mt ω n dus k mt v 0, ε is vnns vnrdig mt v 0 ). Nu kunnn w d paramtrs di w wnsn t valurn als nbkndn latn n d andr paramtrs n bpaald waard tknnn. In Mapl is ht k mglijk grafikn p t makn uitgaand van d bkmn frmuls. 69

79 3.1.3 Rsultatn Allrrst wrdt r n grafik pgstld di tlaat dz thrtisch bnadring t vrglijkn mt d mdllring in Mchanica Mtin. D paramtrs di in Mchanica Mtin n vast waard haddn, mtn dzlfd waard krijgn vr ht pstlln van dz grafik. D grafik waarm vrglkn wrdt, is dign di ht rlativ vrlis aan kintisch nrgi tijdns d impact gft in functi van d knihk (figuur 2.8). Vrmits ht rlativ nrgivrlis nafhanklijk is van v 0 hft d waard van dz paramtr gn blang. D nig vrij paramtr is d knihk di vrnkmt mt d hk α. D vrig paramtrs krijgn d waardn: m v = 0.2 kg m = kg m b = kg m h = kg I zz G b = N m 1 I zz G = N m 1 k b = k = l = 0.4 m Figuur 3.1: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl zndr vt in functi van d hk (in ) van ht ndrbn (alfa). Als mn dit in Mapl invrt krijgt mn grafik 3.1. Dz kmt zr gd vrn mt d grafik in figuur 2.8. Ht vrlis is daar its klinr n dit is t wijtn aan ht fit dat d btsing in ht mdl in Mchanica Mtin nit vlldig inlastisch is. Wannr d hk van ht ndrbn (alfa) dicht bij nul ligt is ht rlativ nrgivrlis van ht mdl praktisch nul Dit is lgisch vrmits ht mdl dan n hrizntal staaf bnadrt n bijgvlg bijna gn kintisch nrgi mr zal bzittn na d schk. Wannr d hk 70

80 van ht ndrbn wat vrgrt, daalt ht nrgivrlis frs. Bij grtr hkn wrdt dz daling stds mindr strk n strft d curv naar n asympttisch waard di rnd 0.2 ligt. Mrk p dat ht laatst gdlt van d grafik nit bruikbaar is mdat d kni dan bijna nmiddllijk d grnd zal rakn. Mn hft in Mapl k d mglijkhid d curv mrdr maln t latn tknn vr vrschillnd waardn van n twd paramtr (zi Mapl-fil in Bijlag). Z kan mn d vrig grafik hrtknn vr vrschillnd waardn van k (zi figuur 3.2). Ht intrssant gbid is dat waar α grtr is dan 35 vrmits andrs ht nrgivrlis swis t hg is (zi figuur 3.1). In dat gbid stijgt ht nrgivrlis als k klinr wrdt. Dit wil zggn dat ht massamiddlpunt bst z vr mglijk van d nkl ligt (in d kni). Figuur 3.2: Ht rlativ vrlis aan kintisch nrgi tijdns d schk van ht mdl zndr vt in functi van d hk (in ) van ht ndrbn (alfa) vr vrschillnd psitis van ht massamiddlpunt van ht ndrbn (G ). En vlgnd grafik tnt dzlfd curv vr vrschillnd massa s van ht bvnbn (3.3). Naarmat d hk van ht ndrbn grtr wrdt, zal d invld van d massa van ht bvnbn stijgn. H grtr d massa van ht bvnbn, h klinr ht rlativ vrlis aan nrgi. Dit is lgisch vrmits ht rlativ vrlis aan nrgi van ht bvnbn in dat gbid klinr is dan ht rlativ nrgivrlis van ht hl mchanism. Als d massa van ht bvnbn stijgt, zal ht bvnbn strkr drwgn p ht nrgivrlis van ht mdl n dit z wat mlaag trkkn. Vrdr is k d invld van m b p ω licht psitif (ω stijgt mt m b ). In grafik 3.4 variërt m h van 1 kg tt 10 kg. H grtr d puntmassa in d hup, h klinr ht rlativ nrgivrlis. Ok d vrm van d curv vrandrt. Bij grtr hupmassa s daalt ht nrgivrlis snllr tt d minimal waard. Daardr wrdt ht 71

81 Figuur 3.3: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl zndr vt in functi van d hk van ht ndrbn (alfa in ) vr vrschillnd massa s van ht bvnbn (m b varirt van 1 tt 10 kg). Als α grt is, stijgt ht nrgivrlis bij dalnd m b. Figuur 3.4: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl zndr vt in functi van d hk van ht ndrbn (alfa in ) vr vrschillnd massa s van d puntmassa in d hup (m h ). Ht nrgivrlis daalt bij stijgnd m h. mdl k bruikbaar vr klinr hkn van ht ndrbn. 72

82 3.2 Mdl mt n vt Y q=h γ g b β k g α g v X Op dzlfd wijz als vr ht mdl zndr vt kan mn k d impactvrglijkingn van ht mdl mt n vt uitschrijvn. Dit mdl bstaat uit n vtglid, n ndrbn, n bvnbn n n puntmassa in d hup. Opdat d brkningn nit t ingwikkld zudn wrdn, zulln k hir d abslut hkn van d gldingn gbruikt wrdn. D abslut hkn van d vt, ht ndrbn n ht bvnbn zijn rspctivlijk α, β n γ. Zals rds in ht hfdstuk vr d mdllring in MM aangtnd wrd, zijn dz hkn nit nafhanklijk. Mn kan z brknn uit d rlativ hkn van ht mchanism (knihk n nklhk) vlgns d frmuls pgstld in hfdstuk 2. Ht mdl hft dri vrijhidsgradn, namlijk d starthgt (h 0 ), di d snlhid nt vr d schk vastlgt (v 0 = 2gh 0 ), n tw hkn (bvb. α n β). In d mdllring in Mchanica Mtin wrdn d nklhk n d knihk pglgd maar mn kan dz k mrknn naar tw abslut hkn. D schkvrglijkingn wrdn nu glid pr glid uitgschrvn. Dz vrglijkingn zulln gcmbinrd wrdn m r d hksnlhdn van d gldingn nt na d schk uit t haln. 73

83 3.2.1 D schkvrglijkingn A. Ht vtglid. Y π α g v π ω v X D schkvrglijkingn wrdn uitgwrkt mt dzlfd systmatik als in paragraaf Ht vrband tussn d hksnlhid n d abslut hk van ht glid vlgt uit d figuur: ω v = ω v 1 z = α 1 z D schkvrglijkingn vr dit glid wrdn: m v v + G v m v v G v = π + π M + G v M (3.5) G v = G v O π + G v E π D snlhdn van ht massamiddlpunt vr n na d schk vlgn uit d figuur: v G vx = 0 v G vy = 2gh 0 = v 0 v + G vx = ω v k v l v cs α v + G vy = ω v k v l v sin α Bijgvlg wrdt d rst vrglijking uit 3.5: m v ω v k v l v cs α = π X + π X m v ω v k v l v sin α + m v v 0 = π Y + π Y D twd vrglijking uit 3.5 kan mn schrijvn als: M + G v M G v = I zz G v ω v = G v O π + G v E π Uit d figuur haalt mn: G v O = k v l v sin α 1 X k v l v cs α 1 Y G v E = (1 k v )l v sin α 1 X + (1 k v )l v cs α 1 Y Mn vrkrijgt tnsltt : I zz G v ω v = k v l v sin α π Y + k v l v cs α π X (1 k v )l v sin α π Y (1 k v )l v cs α π X 74

84 B. Ht ndrbn. Y π k β k g -π ω X Ht vrband tussn d gnblikklijk hksnlhid n d abslut hk van ht glid vlgt uit d figuur: ω = ω 1 z = β 1 z D schkvrglijkingn vr ht ndrbn wrdn: m v + G m v G = π + π k M + G M (3.6) G = G E ( π ) + G K π k D snlhdn van ht massamiddlpunt vr n na d schk vlgn uit d figuur: v G X = 0 v G Y = 2gh 0 = v 0 v + G X = ω k l cs β ω v l v cs α v + G Y = ω k l sin β ω v l v sin α Bijgvlg wrdt d rst vrglijking uit 3.6: m (ω k l cs β + ω v l v cs α) = π X + π kx m v 0 + m (ω k l sin β ω v l v sin α) = π Y + π ky D twd vrglijking uit 3.6 kan mn schrijvn als: M + G M G = I zz G ω = G E ( π ) + G K π k Uit d figuur haalt mn: G E = k l sin β 1 X k l cs β 1 Y G K = (1 k )l sin β 1 X + (1 k )l cs β 1 Y Na ht nmn van ht vctril prdukt vrkrijgt mn: I zz G ω = k l sin β π Y k l cs β π X + (1 k )l sin β π ky (1 k )l cs β π kx 75

85 C. Ht bvnbn (bvnst glid). Y π h h γ g b k -π k ω b X Ht vrband tussn d gnblikklijk hksnlhid n d abslut hk van ht glid vlgt uit d figuur: ω b = ω b 1 z = γ 1 z D schkvrglijkingn (3.1) vr ht bvnbn wrdn: m b v + G b m b v G b = π k + π h M + G b M G b = G b K ( π k ) + G b H π h (3.7) D snlhdn van ht massamiddlpunt vr n na d schk vlgn uit d figuur: v G bx = 0 v G by = 2gh 0 = v 0 v + G bx = ω b k b l b cs γ ω l cs β v + G by = ω b k b l b sin γ + ω l sin β ω v l v cs α ω v l v sin α D frmul vr v + G bx kan ng vrnvudigd wrdn dr gbruik t makn van d btrkking tussn d dri abslut hkn. Mn bkmt: v + G bx = ω b l b cs γ ω b k b l b cs γ = ω b (1 k b )l b cs γ Dz frmul vindt mn nmiddllijk trug als mn d hrizntal snlhid van ht massamiddlpunt na d schk brknt vanuit ht punt H. Bijgvlg wrdt d rst vrglijking uit 3.7: m b (ω b (1 k b )l b cs γ) = π kx + π hx m b v 0 + m b ( ω b k b l b sin γ + ω l sin β ω v l v sin α) = π ky + π hy 76

86 D twd vrglijking uit 3.7 kan mn schrijvn als: M + G b M G b = I zz G b ω b = G b K ( π k ) + G b H π h Uit d figuur haalt mn: G b K = k b l b sin γ 1 X k b l b cs γ 1 Y G b H = (1 k b )l b sin γ 1 X + (1 k b )l b cs γ 1 Y Na ht nmn van ht vctril prdukt vrkrijgt mn: I zz G b ω b = k b l b sin γ π ky k b l b cs γ π kx (1 k b )l b sin γ π hy (1 k b )l b cs γ π hx D. Puntmassa in d hup. Y q -π h π q X D schkvrglijkingn wrdn p idntik wijz uitgwrkt als in paragraaf Bhud van impuls gft dus: π hx + π qx = 0 Uit d stlling van ht kintisch mmnt: E. Ht vlldig mchanism 2m h ω l sin α + m h v 0 = π hy (π qy = 0) ω h = 0 Ok dz brkningn kunnn w grprn in n stlsl vrglijkingn. D dri abslut hkn di gbruikt wrdn zijn chtr van lkaar afhanklijk via d btrkking di rds in hfdstuk 2 wrd pgstld (frmul 2.2): l v sin α + l b sin γ = l sin β (3.8) Dz vrglijking mt dus ng aan ht stlsl tgvgd wrdn. Om ht stlsl nit t grt t makn, zal dz vrglijking tch afzndrlijk bhandld wrdn. Uit dz 77

87 btrkking vlgt dat k d hksnlhdn van d dri gldingn van lkaar afhanklijk zijn. Aflidn van d btrkking gft: l v α cs α + l b γ cs γ = l β cs β Hirin substiturn w α, β n γ dr d hksnlhdn ωv, ω n ω b vlgns d frmuls di rds pgstld wrdn: D vrglijking wrdt: α = ω v β = ω γ = ω b l v ω v cs α + l b ω b cs γ = l ω cs β Als dz vrglijking ng aan ht stlsl wrdt tgvgd, krijgt mn n stlsl mt 12 vrglijkingn n 12 nbkndn: l v ω v cs α + l b ω b cs γ = l ω cs β π X + π X = m v ω v k v l v cs α π Y + π Y = m v ω v k v l v sin α + m v v 0 I zz G v ω v = k v l v sin α π Y + k v l v cs α π X (1 k v )l v sin α π Y (1 k v )l v cs α π X π X + π kx = m (ω k l cs β + ω v l v cs α) π Y + π ky = m v 0 + m (ω k l sin β ω v l v sin α) I zz G ω = k l sin β π Y k l cs β π X + (1 k )l sin β π ky (1 k )l cs β π kx π kx + π hx = m b (ω b (1 k b )l b cs γ) π ky + π hy = m b v 0 + m b ( ω b k b l b sin γ + ω l sin β ω v l v sin α) I zz G b ω b = k b l b sin γ π ky k b l b cs γ π kx (1 k b )l b sin γ π hy (1 k b )l b cs γ π hx π hx + π qx = 0 π hy = 2m h ω l sin α + m h v 0 D nbkndn zijn: d abslut hksnlhdn ω v, ω n ω b d impactkrachtn π X, π X, π kx, π hx, π qx, π Y, π Y, π ky n π hy. D vrig variabln bstaan nrzijds uit d paramtrs di d bgincnditis van d valbwging plggn, mt nam d vrtikal snlhid bij impact v 0 n tw abslut hkn (bvb α n β), n andrzijds uit d paramtrs di d ignschappn van d gldingn vastlggn (l v, l, l b, m v, m, m b, m h, k v, k, k b, IG zz v, IG zz n IG zz b ). D drd abslut hk 78

88 (bvb γ) wrd rds brknd uit frmul 3.8. Gzin d mvang van d analytisch uitdrukking van d plssing van dit stlsl wrd ht prblm numrik pglst dr matrix-invrsi in Matlab (zi fil in bijlag B.2). Wannr d hksnlhdn van d gldingn brknd zijn, kan hiruit d kintisch nrgi van d gldingn nt na d schk brknd wrdn Enrgivrlis tijdns schk Analg aan paragraaf wrdt hir d frmul vr ht nrgivrlis van ht mchanism dr d schk brknd. A. Vtglid Mn vindt: ε + v = m vv 2 G v 2 = m vv ε + v = 1 2 m vv +2 G v Izz G v ω 2 v ε + v = 1 2 m vω 2 vk 2 vl 2 v Izz G v ω 2 v B. Ondrbn ε = m v ε + = 1 2 m v +2 G Izz G ω 2 (3.9) Bij ht pstlln van d schkvrglijkingn wrd vlgnd frmul gvndn: Dit gft: v + G = ( ω k l cs β ω v l v cs α, ω k l sin β ω v l v sin α) v +2 G = ω 2 k 2 l 2 + ω 2 vl 2 v + 2ω k l ω v l v cs β cs α 2ω k l ω v l v sin β sin α Vrglijking 3.9 wrdt dan: = ω 2 k 2 l 2 + ω 2 vl 2 v + 2ω k l ω v l v cs(α + β) ε + = 1 2 m (ω 2 k 2 l 2 + ω 2 vl 2 v + 2ω ω v k l l v cs(α + β)) Izz G ω 2 79

89 C. Bvnbn ε b = m bv Uit d vrig paragrafn blk: ε + b = 1 2 m bv +2 G b Izz G b ω 2 b v + G b = ( ω b k b l b cs γ ω l cs β ω v l v cs α, ω b k b l b sin γ + ω l sin β ω v l v sin α) Kwadratrn gft: v +2 G b = ω 2 b k2 b l2 b + ω2 l 2 + ω 2 vl 2 v + 2ω b k b l b ω l cs γ cs β + 2ω l ω v l v cs β cs α +2ω b k b l b ω v l v cs γ cs α 2ω b k b l b ω l sin γ sin β 2ω l ω v l v sin β sin α +2ω b k b l b ω v l v sin γ sin α = ω 2 b k2 b l2 b + ω2 l 2 + ω 2 vl 2 v + 2ω b ω k b l b l cs(γ + β) +2ω ω v l l v cs(α + β) + 2ω b ω v k b l b l v cs(γ α) D kintisch nrgi van ht bvnbn na d schk is bijgvlg: ε + b = 1 2 m b( ωb k b l b (ω b k b l b + 2ω v l v cs(γ α)) + ω l (ω l + 2ω b k b l b cs(γ + β)) D. Puntmassa in hup ω v l v (ω v l v + 2ω l cs(α + β)) ) Izz G b ω 2 b Vrmits ω h = 0 n: ε h = 1 2 m hv 2 0 v + G h = (0, ω b l b sin γ + ω l sin β + ω v l v sin α) is: ε + h = 1 2 m h( ω b l b sin γ + ω l sin β + ω v l v sin α) 2 E. Ttaal D kintisch nrgi van ht vlldig mchanism wrdt analg brknd als in paragraaf

90 3.2.3 Rsultatn D frmuls di ht vrlis aan kintisch nrgi tijdns d schk wrgvn, wrdn k in d Matlab-fil ingvrd. Z is ht mglijk vr n willkurig waard van d paramtrs ht vrlis aan kintisch nrgi tijdns d schk t brknn. Dr n aantal lussn in ht Matlab-prgramma in t vrn, kunnn d gwnst grafikn pgstld wrdn. Om d situati btr t visualisrn zal mn vnns ht mchanism latn tknn p ht mmnt van impact (zi bijlag B.2). En rst grafik gft ht rlativ vrlis aan nrgi in functi van d bginhkn van ht mdl (3.5). Ok hir zit mn dat vr klin hkn van d vt n ht ndrbn ht nrgivrlis strk d hgt in gjaagd wrdt Rlatif nrgivrlis Hk ndrbn (b) hk vt (a) Figuur 3.5: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl mt vt in functi van d hk van d vt (a) n d hk van ht ndrbn (b) (hkn in ). Vrdr kan mn k vaststlln dat d hk van d vt d grtst invld hft p ht rlativ nrgivrlis. Nt als bij ht mdl zndr vt zal ht gbid mt zr grt vthkn praktisch nit bruikbaar zijn. D ptimal waardn van d hkn van d vt n ht ndrbn liggn dus rnd π 3, waarbij vral d vthk z grt mglijk mt zijn (mt d bprking dat d nkl tijdns d val- n pvrbwging d grnd nit mag rakn). Na ht bpaln van d ptimal cnfigurati van ht mdl, wrdt nu d invld van vrschillnd andr paramtrs van ht mchanism naggaan, waarbij in d rst plaats d ignschappn van d vt aan bd kmn. 81

91 In grafik 3.6 wrdt d invld van d psiti van ht massamiddlpunt n d massa van d vt p ht rlativ nrgivrlis wrggvn. D hkn van ht ndrbn zijn grt gng gkzn zdat w in ht intrssant gbid (α n β ngvr π 3 ) zittn. H klinr d vtmassa n h grtr k v (ht massamiddlpunt dichtr bij d nkl), h klinr ht vrlis aan nrgi. Als d vtmassa rdlijk grt is, is ht blangrijk dat zijn massamiddlpunt dicht bij d nkl ligt Rlatif nrgivrlis massa vt (mv) psiti mmp vt (kv) 0 Figuur 3.6: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl mt vt in functi van d massa (in kg) n d psiti van ht massamiddlpunt van d vt. Nm bijvrbld n vt van 1 kg mt k v = 0.2. Ht rlativ nrgivrlis is dan ngvr (zi figuur 3.7). Als mn nu in d hil d vt mt 1 kg vrzwaart, dan wrdn d ignschappn van d vt: k v =0.6 n m v = 2 kg (zi figuur 3.7). Ht nrgivrlis wrdt dan: n is dus lagr als vr d vt van 1 kg. Mn zit k p d grafik dat d massa van d vt n klinr invld hft als ht massamiddlpunt van d vt dichtr bij d hil ligt. Mrk p dat d vrig paramtrs cnstant wrdn ghudn. Bijgvlg blf k ht traaghidsmmnt van d vt cnstant. Nchtans als d massa tnmt, zal nrmaal gzin k ht traaghidsmmnt tnmn. Bijgvlg zal ht plaatsn van xtra massa in d hil nit z gunstig zijn als blijkt uit d grafikn. D invld van ht traaghidsmmnt n d lngt van d vt wrdt gïllustrrd p figuur 3.8. H klinr ht traaghidsmmnt, h btr. Dit was k wat d mdllring in Mchanica Mtin aantnd. D lngt van d vt wrdt gvarird van praktisch nul tt d maximal waard m ndr d ggvn hkn ng binnn d cnfigurati waarin d brkningn gldig zijn t blijvn. Dit wrdt naggaan aan d hand van d schts van 82

92 kv = mv = 2 kg Rlatif nrgivrlis vr vrschillnd kv Rlatif nrgivrlis vr vrschillnd mv mv = 1 kg 0.05 kv = massa vt (mv) psiti mmp vt (kv) Figuur 3.7: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl mt vt in functi van d massa n d psiti van ht massamiddlpunt van d vt. Rchts: k v varirt linair van 0.1 vr d bvnst curv tt 1 vr d ndrst. Links: Variati van d massa van d vt van 0 kg tt 2 kg. ht mdl bij impact, di vnns dr ht Matlab-prgramma ggnrrd wrdt (zi bijlag B.2). W zin dat ht vrlis maximaal is als d lngt van d vt naar nul gaat. In dat gval vlurt ht mdl mt vt immrs naar dat zndr vt. Mn zit k dat vanaf n zkr lngt, ht vrlis praktisch nit mr afnmt, ht nmt zlfs trug t vr klin waardn van ht traaghidsmmnt van d vt. Op d grafikn wrggvn in figuur 3.9 zit mn dat d invld van k v vl gunstigr is vr grt hkn van d vt. Dit wil zggn dat naarmat d hk van d vt stijgt, mn r mr vrdl uit haalt m ht massamiddlpunt van d vt dicht bij d hil t plaatsn. Ht is zlfs z dat bij zr klin vthkn ht massamiddlpunt btr in d vttip ligt. Dit fnmn dd zich k vr bij ht mdl zndr vt. Figuur 3.2 tnt dat vr zr klin hkn van ht ndrbn, ht nrgivrlis daalt als ht massamiddlpunt dichtr bij d nkl kmt t liggn. Mn mt hirbij vnwl bschuwn dat ht vrlis aan nrgi vl lagr is vr grt hkn van d vt. Om di rdn mt stds d invld van d paramtrs in dit gbid naggaan wrdn. Bijgvlg is ht dus bst ht massamiddlpunt van d vt z dicht mglijk bij d nkl t brngn zals rds blk in figurn 3.6 n

93 Rlatif nrgivrlis vr vrschillnd lv Rlatif nrgivrlis vr vrschillnd Iv traaghidsmmnt vt (Iv) x lngt vt (lv) Figuur 3.8: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl mt vt in functi van ht traaghidsmmnt (in kg m 2 ) van d vt n d lngt (in m) van d vt Rlatif nrgivrlis vr vrschillnd kv Rlatif nrgivrlis vr vrschillnd a hk vt (a) psiti mmp vt (kv) Figuur 3.9: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl mt vt in functi van d hk (in ) van d vt n d psiti van ht massamiddlpunt van d vt. D massa van d hup n ht bvnbn is bst z hg mglijk (3.10). D invld van m h is ng grtr dan d invld van d massa van ht bvnbn. Uit d simulatis blk zlfs dat ht absluut vrlis aan nrgi praktisch nit stg wannr massa in d hup tgvgd wrd. 84

94 Rlatif nrgivrlis massa hup (mh) massa bvnbn (mb) Figuur 3.10: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl mt vt in functi van d puntmassa in d hup n d massa van ht bvnbn (massa s in kg) Rlatif nrgivrlis Hk ndrbn (t) Figuur 3.11: Ht rlativ vrlis aan nrgi van ht mdl zndr vt (blauw) n van ht mdl mt vt (grn) in functi van d hk van d vt f in ht gval van ht mdl zndr vt d hk van ht ndrbn (a). D frmuls di ht vrlis aan nrgi bschrijvn van ht mdl zndr vt kunnn k in d Matlab-fil ingvrd wrdn. Z is ht mglijk p één grafik d prstatis 85

95 van bid mdlln t vrglijkn. In grafik 3.11 wrdn bid mdlln vrglkn vr vrschillnd hkn van ht ndrst glid. In ht mdl mt n vt is dit glid d vt, in ht mdl zndr vt ht ndrbn (d vtmassa is in bid gvalln glijk). 3.3 Opmrkingn In dit hfdstuk wrdn d vrlizn van d mdlln tijdns d schk bstudrd. Er wrd dus nit gkkn naar andr vrlizn di tijdns d valbwging ptrdn (zi vrig hfdstuk). Bvndin hbbn w stds mt ht rlativ nrgivrlis gwrkt. Dit implicrt dat ht mdl gëvalurd wrdt alsf ht stds mt n cnstant kintisch nrgi p d grnd nrkmt. In ht vrig hfdstuk was dit nit ht gval. Daar was d ptntiël nrgi bij d start van d bwging n cnstant. Wannr ht mdl dan mr gplid wrd, rsultrd dit in n grtr kintisch nrgi bij impact n dus k n grtr vrlis dan wannr dz kintisch nrgi cnstant ghudn wrdt. Dz vrschilln wrdn rds in ht vrig hfdstuk aanghaald. 86

96 Hfdstuk 4 Mdllring van n stapbwging in Mchanica Mtin 4.1 Inliding In dit hfdstuk zal in Mchanica Mtin n mdl pgstld wrdn dat n stapbwging uitvrt. Ok hir zulln r tw mdlln mt lkaar vrglkn wrdn, één zndr vt n één mt vt, m z n id t krijgn van d functi van d vt tijdns d stapbwging. D stapbwging di gsimulrd wrdt is zuivr twdimnsinaal (in ht sagittal vlak). W gbruikn hirvr n zgnaamd Mastr-Slav mdl. Hirbij wrdt n vraf bpaald bwging pglgd aan d Mastr. D Slav is vrzin van d ndig actuatrn m d bwging van d Mastr t vlgn. Hirvr gbruikt mn PD-rglaars. In n rst fas wrdt n mdl pgstld zndr vt dat n nvudig stapbwging zal uitvrn. Vrvlgns zal hiraan n platvt tgvgd wrdn, d vt wrdt vrtdurnd hrizntaal ghudn. In n vlgnd fas zal d bwging wat aangpast wrdn zdat dz ralistisch wrdt n zal d stapbwging gsimulrd wrdn waarbij mn nrkmt p d hil n afstt via d vttip. D bwging wrdt pglgd aan n aantal puntn in ht mdl. D baan di dz puntn vlgn, wrdt bschrvn dr n plynm di rvr zrgt dat n aantal randvrwaardn vldaan zijn. Ens d mdlln in Mchanica Mtin gïmplmntrd zijn, kan d wrking rvan vrglkn wrdn. Hirvr wrdt d arbid di d actuatrn tijdns d stapbwging lvrn gmtn. D sm van d arbid van d vrschillnd actuatrn is n maat vr ht nrgivrbruik van ht mdl tijdns d stapbwging n is dus bst z klin mglijk. 87

97 4.2 Opbuw mdl in Mchanica Mtin Zndr vt Zals al gzgd cnstrurt mn in Mchanica Mtin tw mdlln, n Mastr n n Slav. Bid mdlln bstaan uit vir gldingn, n puntmassa in d hup n n puntmassa in lk nkl (zi fig). D stapbwging in Mchanica Mtin is zuivr twdimnsinaal. D vir gldingn kmn vrn mt d tw ndrbnn n d tw bvnbnn van n mns. D puntmassa in d hup vrvangt ht bvnlichaam, d puntmassa s in d nkls vrvangn d vtn. D lngts, massa s, massamiddlpuntn n traaghidsmmntn zijn gbasrd p d mnslijk anatmi (zi [16]). D ignschappn van d gldingn zijn wrggvn in d ndrstaand tabl. ndrbn bvnbn hup lngt (in m) mmp (in m) (0.247, 0) (0.232, 0) (0,0) IG zz ) massa (in kg) D psitis van d massamiddlpuntn zijn wrggvn in d lkal assnstlsls van d gldingn waarvan d rsprng in ht ndrst punt van ht glid ligt. Vrvlgns wrdn d mdlln vrzin van d ndig jints. D kni n d hup wrdn als pin jints gmdllrd. In d hup n d nkls hangn d puntmassa s mt bhulp van pin jints vast. Zals vr d spring- n pvrbwging in hfdstuk 2 zijn k in dit mdl d ndig planar jints aanwzig m d bwging tw-dimnsinaal t hudn. Tt hir zijn d Mastr n d Slav idntik. Nu kan mn aan één van d tw mdlln n stapbwging plggn. Dit mdl is dan d Mastr. D bwging wrdt pglgd via drivrs in n aantal puntn. Ht mdl zndr vt hft zs vrijhidsgradn n bijgvlg mtn r zs bann pglgd wrdn. Hir wrd gkzn m d x- n 88

98 y-psiti van d hup n d x- n y-psitis van d nkls van bid vtn p t lggn. D Mastr zal d pglgd bwging uitvrn. Ht is d bdling dat d Slav dz bwging prbrt t vlgn mt bhulp van actuatrn in d gwrichtn. Om dit mglijk t makn mtn w rst n vral ht Slav -mdl vrzin van grndractikrachtn in d puntn waar ht in cntact zal kmn mt d grnd (bij d Mastr was dit nit ndig vrmits di tch d pglgd bwging vlgt aan d hand van d drivrs ). D grnd wrdt hir nt als in hfdstuk 2 bij d mdllring van d sprng als n vr-dmpr systm gmdllrd. In dit mdl wrkn d grndractikrachtn in p d nkls. Immrs, tijdns n nrmal stapbwging zal ht mdl nkl mt d nkls in cntact kmn mt d grnd. Wannr ht mdl p d kniën zu trchtkmn is r tch al its mis mt d stapbwging n hft d bwging nit vrdr uitgvrd t wrdn. Ht Slav -mdl kan nu dus stds mt minstns één punt p d grnd stunn (tijdns d stapbwging is r immrs stds één bn in cntact mt d grnd). Ht punt dat p d grnd staat is ht rfrntipunt van ht mdl. Als mn r nu in slaagt vanuit dit punt all hkn van d gldingn van d Slav t latn vrnstmmn mt d hkn van d gldingn van d Mastr, dan zal d bwging van d Mastr prfct dr d Slav gvlgd wrdn. D hkn van d gldingn van d Slav kunnn grgld wrdn dr actuatrn in d gwrichtn. D kppls di d actuatrn mtn uitfnn m d bwging van d Mastr t vlgn zulln brknd wrdn aan d hand van n PD-rgling. Hirvr wrdn d hkn van d gldingn van d Mastr n d Slav gmtn. Vlgnd frmul gft dan ht kppl dat dr d actuatr glvrd mt wrdn: T = K p (θ θ) + K d ( θ θ) (4.1) Hirbij is K p d prprtinl rglcnstant n K d d diffrntiël rglcnstant. θ is d hk van d Mastr, θ d hk van ht glid van d Slav. Om rvr t kunnn zrgn dat d hk van ht ndrbn van d Slav vrnkmt mt d hk van ht ndrbn van d Mastr, wrdt ht mdl k vrzin van n actuatr in d nkl. Dz actuatr is aangschakld als d nkl in cntact is mt d grnd n wrdt uitgschakld zdra d nkl d grnd vrlaat. Vrmits in d stapbwging di ht mdl prbrt t ralisrn stds juist één nkl in cntact is mt d grnd zal r tlkns juist één nklactuatr actif zijn (dit is als d bwging prfct wrdt uitgvrd). In ndrstaand tabl vindt mn d masurs di ndig zijn m d kppls in d vrschillnd actuatrn t brknn. 89

99 trqu hup = bund(kp hup((hk bb L hk bb R) (S hk bb L S hk bb R)) +Kd hup((v hk bb L V hk bb R) (S V hk bb L S V hk bb R)), 500, 500) trqu kni L = bund(kp kni((hk b L hk bb L) (S hk b L S hk bb L)) +Kd kni((v hk b L V hk bb L) (S V hk b L S V hk bb L)), 500, 500) trqu kni R = bund(kp kni((hk b R hk bb R) (S hk b R S hk bb R)) +Kd kni((v hk b R V hk bb R) (S V hk b R S V hk bb R)), 500, 500) trqu nkl L = bund(kp nkl(hk b L S hk b L) +Kd nkl(v hk b L S V hk b L), 500, 500) trqu nkl R = bund(kp nkl(hk b R S hk b R) +Kd nkl(v hk b R S V hk b R), 500, 500) In thri is d Slav nu in staat d bwging van d Mastr na t btsn. Immrs, d nkl di p d grnd stunt wrdt p d juist plaats ghudn via d grndractikrachtn in x- n y-richting. Ht mdl hft dan ng vir vrijhidsgradn. Mt bhulp van d actuatr in d nkl, d tw actuatrn in d kni n d actuatr in d hup kan mn dus all gldingn van d Slav nzlfd bwging latn uitvrn als d gldingn van d Mastr. D bund -functi zal rvr zrgn dat in d actuatrn gn nralistisch hg kppls pglgd wrdn. D rglcnstantn mtn z gd mglijk ingstld wrdn. En rst vrwaard di grspctrd mt wrdn is di van kritisch dmping. In n gwricht hft mn: T = I θ Substiturt mn hirin T dr d frmul 4.1, dan vrkrijgt mn: I θ + K d θ + Kp θ = K d θ + K p θ Mn stlt C 1 = K p I n C 2 = K d I. θ + C 2 θ + C1 θ = C 2 θ + C 1 θ Kritisch dmping trdt p als d discriminant van d hmgn vrglijking nul is. Dit gft vlgnd vrwaard p d rglcnstantn: C 2 2 = 4C 1 n dus: K p = K2 d 4I 90

100 Om d rglcnstantn in t stlln vr n kritisch dmping, mt mn dus ht traaghidsmmnt I knnn. Dit traaghidsmmnt varirt chtr tijdns d stapbwging. D rglcnstantn zudn dus k variabl mtn zijn. Vrmits in dz n ptimal rgling van ht systm gn hfdzaak is, zal n schatting gmaakt wrdn van d traaghidsmmntn n dz waard zal dan vr hl d stapbwging gbruikt wrdn. Ht is immrs d bdling dat d Slav n ralistisch stapbwging uitvrt n dus is ht nit z blangrijk f dat nu prfct d bwging is di wrd pglgd aan d Mastr. D traaghidsmmntn wrdn ingschat vr ht mdl in gstrkt stand: Hup: 8 ( ) ( ) ( ) 2 +I zz G +I zz G b 2.5 dus K p = K2 d 10 Kni : Vr d kni maakt ht n grt vrschil f ht d kni btrft van ht stunbn f ht zwaaibn. Immrs, indin ht d kni van ht stunbn btrft, zal ht ndrbn van ht stunbn als vast ndrstld wrdn n d rst van d structuur (tw bvnbnn n ht andr ndrbn) als ht bwgnd glid. Vr d kni in ht zwaaibn wrdt nkl ht ndrbn van ht zwaaibn als bwgnd glid gnmn. Ht traaghidsmmnt in ht rst gval zal dus vl grtr zijn dan in ht twd gval. W brknn bid mmntn: stunbn: 8 2 (0.232) ( ) (0.435) (0.41) 2 + 2IG zz b + 2IG zz 10 zwaaibn: 3.72 ( ) (0.435) 2 + I zz G Vrmits gdurnd hl d bwging K p n K d cnstant blijvn n ht bn zwl n stunfas als n zwaaifas drlpt, zal ht traaghidsmmnt tussn dat van ht gval van ht stunbn n ht zwaaibn gnmn wrdn (tussn 10 n 0.5). Dit hft als gvlg dat d vrwaard van kritisch dmping nit vldaan is vr minstns één fas van d wandlcyclus. Dit is chtr nit z cruciaal vrmits w hir nkl n rdlijk bwging van d Slav wnsn t bkmn m di dan t analysrn. Dz bwging mt dus nit prfct di van d Mastr zijn. Enkl: d actuatr in d nkl wrkt nkl als ht bn p d grnd stunt n is dus swis in ht stunbn. Vr ht traaghidsmmnt krijgt mn dan: 8 2 ( ) ( ) ( ) 2 + 2IG zz b + 2IG zz 42. D vrhuding tussn d rglcnstantn wrdt dus: K p = K2 d 160. En laatst stap in d mdllisring van d Slav bstaat rin initial cnditins in t stlln zdanig dat p ht bgintijdstip (t=0) d psitis n snlhdn van d gldingn van ht Slav -mdl dzlfd zijn als di van ht Mastr -mdl (zi paragraaf 4.4). Tnsltt vrn w n aantal masurs in m ht nrgivrbruik van ht mdl t kunnn mtn (zi ndrstaand tabl). 91

101 arb hup = abs(trq hup m (S V hk bb L S V hk bb R)) arb kni L = abs(trq kn m L (S V hk bb L S V hk b L)) arb kni R = abs(trq kn m R (S V hk bb R S V hk b R)) arb nkl L = abs(trq nk m L (S V hk b L)) arb nkl R = abs(trq nk m R (S V hk b R)) arb slav = arb hup + arb kni L + arb kni R + arb nkl L + arb nkl R D masurs trq hup m, trq kn m L, trq kn m L, trq kn m L n trq kn m L zijn d kppls di dr d actuatrn p d Slav uitgfnd wrdn Mt vt Ht mdl mt vt bstaat uit zs gldingn n n puntmassa in d hup (zi fig). D zs gldingn stlln d vtn, d ndrbnn n d bvnbnn vr. D puntmassa in d hup vrvangt ht bvnlichaam. Om d vrglijkbaarhid mt ht mdl zndr vt t vrzkrn zijn d lngts, massa s, massamiddlpuntn n traaghidsmmntn k hir gbasrd p d mns. Dit bidt k ht vrdl dat d bwging zr gd vrglkn kan wrdn mt di van d mns. D ignschappn van ht ndrbn, ht bvnbn n d puntmassa in d hup zijn dzlfd als in ht mdl zndr vt (zi paragraaf 4.2.1). Di van ht vtglid zijn: vt lngt (in m) mmp (in m) (0, 0.098) IG zz ) massa (in kg) 1.16 Ok d plaats van d nkl in d vt mt gdfinird wrdn. Zals t zin is p d bvnstaand figuur, bstaat d vt uit één glid, d tnn zijn wgglatn. D nkl ligt tussn d hil n d vttip, vr d afstand van d hil tt d nkl nmn w 0.06 m. Ht nklgwricht bvindt zich in d wrklijkhid chtr nit p d lijn van d hil naar 92

102 d vttip maar n stuk hgr (d vt hft n drihkig vrm). Dz simplifiëring van ht mdl zal chtr winig invld hbbn p d wrking. Ht vtglid wrdt via n pin jint in d nkl aan ht ndrbn vastghcht. Zals hirbvn rds vrmld, ligt d nkl tussn d hil n d vttip. D vlgnd stap bstaat rin d gwnst bwging p t lggn aan d Mastr. Mn mt aan dit mdl acht trajctn plggn m d bwging éénduidig vast t lggn. Tw trajctn zijn alvast d x- n y-psiti van d hup. Vr d vrig zs trajctn kan mn bijvrbld d x- n y-psitis van d hil van bid vtn n d y-psitis van d vttippn plggn (zi paragraaf 4.3.2). D Slav zal dan dz bwging prbrn t vlgn. In dit mdl mtn d tip n d hil vrzin wrdn van grndractikrachtn (lads n masurs zi bijlag B.5) vrmits d vt via dz puntn in cntact zal kmn mt d grnd. Uit dz mdllring vlgt mtn n blangrijk bprking van ht mdl, drdat d vt slchts in cntact kmt mt d grnd via tw puntn kan ht afrlmchanism van d vt bij d mns hir slchts in bprkt mat gsimulrd wrdn. Ht Slav -mdl zal stds mt minstns één punt p d grnd stunn (hil f vttip). Ht punt dat p d grnd stunt, wrdt vastghudn via d grndractikrachtn. Ht mdl hft dus nu in fit tw vrijhidsgradn mindr. Er blijvn dan ng zs vrijhidsgradn vr. In lk gwricht is r n actuatr aanwzig (2 nklactuatrn, 2 kniactuatrn n één hupactuatr). Er rst nu ng één vrijhidsgraad. Vandaar dat r ng n actuatr in d vttip ndig is m d hk van d vt t kunnn sturn. Vanuit d vttip wrdn dus all hkn van d gldingn van d Slav in vrnstmming gbracht mt d hkn van d gldingn van d Mastr zdat d bwging van d Mastr prfct dr d Slav gvlgd wrdt. Nt als in ht mdl zndr vt wrdn d kppls di d actuatrn mtn lvrn, brknd aan d hand van masurs. Vr d hup n d kniën zijn dz masurs idntik aan di van ht mdl zndr vt. D masurs vr d actuatrn in d nkl n d vttip zijn ggvn in ndrstaand tabl. trqu nkl L = bund(kp nkl((hk vt L hk b L) (S hk vt L S hk b L)) +Kd nkl((v hk vt L V hk b L) (S V hk vt L S V hk b L)), 200, 200) trqu tip L = bund(kp tip(hk vt L S hk vt L) +Kd tip(v hk vt L S V hk vt L), 200, 200) Ok hir wrdn d rglcnstantn ingstld vr n kritisch dmping. K p = K2 d 4I Mn mt dus pniuw ht traaghidsmmnt I inschattn. Vr d hup n d kniën is dit ngvr htzlfd als bij ht mdl zndr vt (p IG zz v na). 93

103 Enkl: stunbn: 8 2 (0.65) (0.2) (0.8) 2 + 2I zz G b + 2I zz G + I zz G v 42 zwaaibn: 1.16 (0.03) 2 + I zz G v 0.02 Tip: wrkt nkl als tip p d grnd stunt n is dus swis in ht stunbn: 8 2 (0.65) (0.2) (0.1) (0.8) 2 + 2IG zz b + 2IG zz + 2IG zz v 42 Na ht invrn van d ndig initial cnditins vr d Slav, kan d simulati gstart wrdn. Tnsltt wrdn k hir masurs ingvrd m ht nrgivrbruik van ht mdl t kunnn mtn. D masurs vr d arbid glvrd dr d hup n d kniën uit ht mdl zndr vt kunnn k vr dit mdl gbruikt wrdn. Om ht nrgivrbruik van d actuatrn in d nkls n d vttippn t brknn gbruikt mn d masurs in d ndrstaand tabl. Ht ttaal nrgivrbruik tijdns d stapbwging wrdt wrggvn dr arb slav. arb nkl L arb nkl R arb tip L arb tip R arb slav = abs(trqu nkl L (S V hk b L S V hk vt L)) = abs(trqu nkl R (S V hk b R S V hk vt R)) = abs(trq tip m L (S V hk vt L)) = abs(trq tip m R (S V hk vt R)) = arb hup + arb kni L + arb kni R + arb nkl L +arb nkl R + arb tip L + arb tip R 4.3 Opstlln van d trajctn Nu ht mdl in Mchanica Mtin is ingvrd, rst ns ng ht pstlln van d trajctn van d vrschillnd puntn in ht mchanism di d bwging rvan vastlggn. D stapbwging di uitgvrd wrdt ligt p d rand van ht lpn vrmits w in d bwging gn vrlapfas zulln invrn. In dz paragraaf zulln stap pr stap d bann di aan vrschillnd puntn in ht mchanism pglgd wrdn, vrfijnd wrdn tt d simulati d bwging van d mns gd bnadrt Zndr vt Ht mdl zndr vt hft 6 vrijhidsgradn n dus mt mn 6 bann plggn. D x n y psiti van d hup karaktrisrn in grt mat d bwging vrmits ht massamiddlpunt ngvr in d hup ligt. Mn zal dz psitis dan k plggn n vrmn dus d rst tw bann. D andr vir trajctn di pglgd wrdn zijn d x n y psitis van bid nkls. D trajctn van dz puntn zijn immrs zr gd intrprtrbaar n bvndin zit mn k mtn f d pglgd bwging haalbaar is (tijdns d stunfas van ht bn in kwsti zal d y-psiti van d nkl immrs nul zijn trwijl d x-psiti cnstant blijft). Dit laatst zu vl milijkr zijn indin mn bijvrbld d x-psiti van d kni n d hk van ht ndrbn van bid bnn zu plggn. 94

104 Hup D vrtikal (y) psiti van d hup wrd rds bschrvn in hfdstuk 1. Daaruit blk dat di quasi sinusïdaal is. En sinusïdal curv is dan k d vr d hand liggnd baan vr d vrtikal cmpnnt van d hup. In n vlgnd fas zulln w d y psiti van d hup bschrijvn aan d hand van n plynm. En plynm laat immrs btr t d randvrwaardn naar wns in t stlln. D rst plynm is strk gbasrd p d sinusïdal curv. Vrtrkknd van ht tijdstip waarp d n vt zal landn n d andr van d grnd kmt (minimum van d sinus-curv), stijgt d curv naar n maximum waarna z trug zakt tt ht vlgnd minimum. D plynm is prfct symmtrisch (dit zit mn k in d randvrwaardn). D randvrwaardn zijn: t = 0 t = T Y H = h Ẏ H = 0 Ÿ H = ν2 ρ Y H = h Ẏ H = 0 Ÿ H = ν2 ρ D functi di d vrtikal psiti van d hup bschrijft wrdt Y H gntrd n is van d vlgnd vrm: Y H = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 D 6 randvrwaardn lidn tt n stlsl van 6 vrglijkingn n 6 nbkndn a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 n a 5 dat mn makklijk kan plssn. Z bkmt mn vlgnd frmul vr Y H : Y H = h + ν2 2ρ t2 ν2 ρt t3 + ν2 2ρT 2 t4 Hirin spln d vlgnd paramtrs n rl: ν, ρ, T n h. ρ is d krmtstraal p t = 0 s n t = T, ν is d snlhid in x-richting van d hup p t = 0 s n t = T, T is d prid van d hup n h is d bginhgt van d hup. In figuur 4.1 zit mn dat ht vrlp van d plynm aan d gstld vristn vldt. D hgt van d hup p t = T 2 is dan : Y H = h + ν2 T 2 32ρ. Vrmits ht intrssant is m d maximal hgt van d hup rchtstrks in t kunnn stlln, zal d krmtstraal ρ uit d vrig frmul brknn n Y H ( T 2 ) als paramtr bschuwn (Y H( T 2 ) = h + δ h). Dr ht invrn van d niuw paramtr kan mn schrijvn: ρ = ν2 T 2 32δ h. D plynm vr d vrtikal psiti van d hup wrdt dan: Y H = h + 16s T 2 t2 32s T 3 t3 + 16s T 4 t4 95

105 Figuur 4.1: D vrtikal psiti van d hup Y H (m) in functi van d tijd (s). Dz nvudig uitdrukking kn mtn bkmn wrdn als mn in d randvrwaardn van d plynm d vrwaard p t = T 2 pnmt n d vrwaardn p d vrsnlling laat valln (zi Mathmatica-fil pli hup.nb in bijlag B.3). En twd plynm vrtnt n hl andr vrm. Immrs, in ht gval van ht mdl zndr vt dat wandlt zndr vrlap (d n nkl vrlaat d grnd nt p ht mmnt dat d andr in cntact kmt mt d grnd) is ht wnslijk dat p ht mmnt van ht vrschakln van ht n stunbn p ht andr d vrsnlling van ht massamiddlpunt ngatif is n lifst z dicht mglijk bij g ([28]). In d rst plynm was dz psitif. Als w nkl ht tkn van d vrsnlling in d indpuntn van d plynm wijzign, zal dz halvrwg n minimum vrtnn n gn maximum zals gwnst is bij n stapbwging (mn krijgt dan n typisch vrlp vr n lpr). Mn mt d plynm dus n rd vrhgn n n bijkmnd vrwaard plggn: halvrwg mt d plynm n bpaald waard grtr dan d bginwaard brikn (dit zal dan autmatisch ht maximum zijn). Mrk p dat d bwging di ht mdl zal makn in fit tussn stappn n lpn ligt. Bij ht stappn krijgt mn n curv zals in figuur 4.1 mt één maximum, trwijl bij ht lpn mn één minimum hft (ht spiglbld van figuur 4.1 rnd d x-as). Ht trajct van d hup is ggvn in figuur 4.2 ligt in fit tussn d tw curvs in. D randvrwaardn zijn: t = 0 t = T t = T 2 Y H = h Ẏ H = 0 Ÿ H = ν2 ρ Y H = h Ẏ H = 0 Ÿ H = ν2 ρ Y H = h + δ h D functi di d vrtikal psiti van d hup bschrijft is dus van d zsd rd n wrdt Y H gntrd. Y H = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 + a 6 t 6 Mn bkmt n stlsl van 7 vrglijkingn n 7 nbkndn a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 n a 6 dat mn dan in Mathmatica kan latn plssn. Z bkmt mn n frmul vr Y H 96

106 in functi van d tijd n vlgnd paramtrs: ν, ρ, T, δ h n h (zi k d vrig plynm) Figuur 4.2: D vrtikal psiti van d hup Y H (m) in functi van d tijd (s). D vrsnlling p t = 0 s n t = 0.5 s is ngatif. D figuur 4.2 laat zin dat d ngativ vrsnlling in ht bgin- n indpunt van d plynm tw xtra minima vrrzakn. In ht bgin van d stunfas zal d hup dus rst lichtjs zakkn n daarna strk stijgn tt ht maximum halfwg d plynm. Ht hrizntal trajct dat d hup bschrijft kan mn k bst mt bhulp van n plynm bschrijvn. D randvrwaardn waaraan d plynm mt vldn zijn wrggvn in ndrstaand tabl. t = 0 t = T X H = λ 4 Ẋ H = ν Ẍ H = 0 X H = λ 4 Ẋ H = ν Ẍ H = 0 D plynm mt dus van d 5 d graad zijn. Mn ntrt dz als vlgt: X H = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 Uit d dri vrwaardn p t = 0 haalt mn mtn d nbkndn a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 n a 5 vindt mn dan uit ht rstrnd stlsl van dri vrglijkingn. Z bkmt mn vlgnd frmul vr X H : X H = λ νt + T 3 (λ 2 νt )t3 15 T 4 (λ 2 νt )t4 + 6 T 5 (λ νt )t5 2 ν is d snlhid in x-richting van d hup p t=0 n t=t, λ is d staplngt (d lngt di d vt aflgt tijdns d zwaaifas), T is d prid van d hup. Grafikn van dz functi vindt mn in figuur 4.3. ( λ 2T Als w d bginsnlhid ν glijk stlln aan d gmiddld snlhid tijdns n stap ), wrdt bvnstaand frmul hrlidt tt: X H = λ 4 + νt 97

107 D hrizntal snlhid van d hup is in dat gval dus cnstant (zi figuur 4.3(a)) (a) cnstant snlhid ν = 1.2 m s 1 (b) ν = 1.5 m s 1 Figuur 4.3: Ht vrlp van d plynm X H (m) in functi van d tijd (s) waarbij T = 0.5 s n λ = 1.2 m. Enkls Zals al gzgd kan mn in d baan van d nkls zr nvudig d stunfas n zwaaifas van ht bn dfiniërn. Tijdns d stunfas is d Y-psiti van d nkl nul n blijft d X-cmpnnt cnstant (d nkl glijdt nit vr d grnd). Bijgvlg dint mn nkl ng ht trajct vr d zwaaifas van ht bn (d nkl) t dfiniërn. En rst functi di hirvr gbruikt wrd was n cyclïd. Dz functi zrgt vr n zacht landing van d nkl (d snlhid in x- n y-richting zijn nul wannr θ = 2kπ). D paramtrvrglijking van d cyclïd is: { x = r(θ sin θ ) y = r(1 cs θ ) Om één prid van d cyclïd t bkmn laat mn θ gaan van 0 tt 2π. Ht trajct dat pglgd wrdt mt als variabl d tijd t hbbn n dus wrdt θ gsubstiturd dr T 2π t. Ht grt nadl van dz functi is chtr dat d maximal hgt van d nkl n d afstand dat tijdns d zwaaifas wrdt afglgd nit afzndrlijk rglbaar zijn. Dit hft als gvlg dat vr rdlijk staplngts d nkl vl t hg wrdt pghvn (zi figuur 4.4). Om dit t vrmijdn is ht dus ndzaklijk n plynm p t stlln vr d zwaaifas van d nkl. Op ht bgintijdstip mtn d psiti, snlhid n vrsnlling in y-richting nul zijn. Halfwg d plynm (t = T 2 ) brikt mn n bpaald hgt (d nkl wrdt tt n bpaald hgt pghvn). Op t = T is d psiti trug nul n vr d snlhid n vrsnlling gbruikn w n paramtr zdanig dat w dz kunnn latn variërn. Vanwg d vrschillnd randcnditis p t = 0 n t = T (als a f v nit nul zijn), zal ht maximum van d plynm nit p t = T 2 ptrdn. In ndrstaand tabl 98

108 Figuur 4.4: Ht functivrlp van n cyclïd wrggvn vr tw prids (t gaat van 0 s tt 2T ). vindt mn dz randvrwaardn trug. t = 0 Y = 0 Ẏ = 0 Ÿ = 0 t = T 2 Y = s t = T Y = 0 Ẏ = v Ÿ = a Y = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 + a 6 t 6 Uit d randvrwaardn p t=0 vlgt al mtn dat a 0 = a 1 = a 2 = 0. D vrig vir randvrwaardn lidn tt n stlsl van 4 vrglijkingn n 4 nbkndn a 3, a 4, a 5, a 6 n a 7 dat mn dan in Mathmatica kan latn plssn (zi fil plynmnzv Y 2.nb in bijlag B.3). D uitdrukking vr Y di hiruit vlgt hangt af van d vlgnd paramtrs: T, s, v n a. In figuur 4.5 is ht vrlp van dz plynm wrggvn vr vrschillnd waardn van d paramtrs (a) s = 0.01 m, v = 0.1 m s 1, a = 0.1 m s 2 (b) s = 0.1 m, v = 0.3 m s 1, a = 0.5 m s 2 Figuur 4.5: Ht vrlp van d plynm Y (m) in functi van d tijd (s). Ht vrschil tussn d grafikn ligt in d waardn van d paramtrs di d randvrwaardn bpaln. T is stds glijk aan 0.5 s 99

109 (a) s = 0.01 m, v = 0.4 m s 1, a = 0.4 m s 2 (b) s = 0.05 m, v = 0.2 m s 1, a = 0.4 m s 2 Figuur 4.6: Ht vrlp van d plynm Y (m) mt n xtra vrwaard p t = T 2 waarbij T = 0.5. in functi van d tijd (s) In dit trajct kmt d zwaaibwging van ht bn in d zwaaifas (di mn duidlijk pmrkt bij d mns) hlmaal nit tt uiting. En twd plynm pgt dit mr tt uiting t latn kmn dr t isn dat ht punt halvrwg d zwaaifas n xtrmum mt zijn (minimum t claranc bij d mns [12]). Daart vrhgt mn d vrig plynm mt één rd n lgt mn één randvrwaard xtra p, namlijk: Op t = 0 s mt Ẏ = 0 m s 1. Ht rsultaat hirvan is t zin in figuur 4.6(a). Indin d waard van s nit al t grt is (wat in d praktijk ht gval zal zijn), zal dit xtrmum n minimum zijn. Bijgvlg zal mn n maximum vr n na dit punt krijgn. Mrk p dat w hir mt ht mdl zndr vt t dn hbbn n dz bwging misschin hlmaal nit d natuurlijk bwging van dit systm is (a) s = 0.01 m, a m = 2 m s 2, v = 0.4 m s 1, a = 0.4 m s 2 (b) s = 0.05 m, a m = 5 m s 2, v = 0.2 m s 1, a = 0.4 m s 2 Figuur 4.7: Ht vrlp van d plynm Y (m) mt tw xtra vrwaardn p t = T 2 waarbij T = 0.5 s. in functi van d tijd (s) Als mn s grt nmt zal ht punt p t = T 2 n maximum zijn (zi grafik 4.6(b)). 100

110 Dit is t vrmijdn dr xplicit t isn dat dit punt n minimum van d plynm mt zijn (zi figuur 4.7). Mn dint dus ng n xtra randvrwaard p t lggn, namlijk : Ÿ ( T 2 ) = a m (waarbij a m ngatif is). Via d grtt van dz vrsnlling (a m ) kan mn bvndin d hgt van d tw maxima in d plynm bïnvldn. Mt dz plynm kunnn w ht trajct vr d vrtikal psiti van d nkls dus naar wns gnrrn. Via d paramtrs v n a kan mn d snlhid n vrsnlling tijdns d impactfas instlln, via s d hgt van d nkl p t = T 2 n via a m rglt mn d krmming van ht minimum p t = T Figuur 4.8: Ht functivrlp van n d x-psiti (in m) van d nkl vr n halv wandlcyclus (t gaat van 0 s tt T ). Ok vr d x-psiti van d nkl dint mn n plynm p t stlln. D randvrwaardn hirvr zijn: t = 0 t = T 2 t = T X = λ 2 Ẋ = 0 Ẍ = 0 D plynm zit r als vlgt uit: X = 0 X = λ 2 Ẋ = 0 Ẍ = 0 X = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 + a 6 t 6 In fit is d vrwaard p t = T 2 vrbdig vrmits d idntik vrwaard p d snlhid n vrsnlling p t = 0 n t = T d plynm symmtrisch zulln makn rnd ht middlpunt ( λ 2 λ 2 = 0). Bijgvlg zal X halvrwg d plynm autmatisch glijk zijn aan nul. Dit blijkt k als mn d vrglijkingn in Mapl invrt m d cëfficiëntn van d plynm van zsd rd t bkmn. a 6 is immrs nul waardr d plynm in fit slchts n plynm van vijfd rd is: X = λ λ T 3 t3 15 λ T 4 t4 + 6 λ T 5 t5 Op figuur 4.8 is dz plynm gplt vr n waard λ = 1.2 m. D plynmn vr d y- n d x-psiti van d nkl wrdn p éénzlfd grafik uitgzt in figuur

111 (a) s = 0.1 m, v = 0.3 m s 1, a = 0.5 m s 2 (b) s = 0.01 m, v = 0.1 m s 1, a = 0.1 m s 2, a m = 2 m s 2 Figuur 4.9: Ht vrlp van d plynm Y (m) in functi van d plynm X (m) waarbij T = 0.5 s n λ = 1.2 m Mt vt Ht mdl mt n vt hft acht vrijhidsgradn, tw mr dan ht mdl zndr vt. Er dinn dan k acht bann pglgd t wrdn. Hup Mglijk trajctn vr d hup wrdn al bsprkn bij ht mdl zndr vt. Ok vr ht mdl mt vt zulln w dz trajctn plggn. Z kunnn d vrschillnd mdlln vrglkn wrdn in h z n bpaald hupmassa dr n wlbpaald bwging hlpn. Vt Mn zu k vr dit mdl ht trajct van d nkl uit d vrig paragraaf kunnn gbruikn n r ng n trajct vr d hk van d vt aan tvgn zdat mn in ttaal acht bann plgt. Dit wrd dan k in rst instanti gdaan m ht mdl p n nvudig manir t tstn. D hk van d vt wrd hirbij stds p nul ghudn zdat mn mt platvtn wandlt. Ht wrdt chtr zr milijk via d psiti van d nkl n d hk van d vt n ralistisch stapbwging t bnadrn waarbij mn landt p d hil n afstt mt d tip. Mn mt immrs duidlijk kunnn dfiniërn wannr d hil p d grnd staat n wannr d tip cntact maakt mt d grnd. Ok mag mn gn bwging plggn waarbij n punt van ht mchanism dr d grnd zu gaan. Dit is nit z duidlijk zichtbaar als mn wrkt mt d hk van d vt n d psiti van d nkl. In plaats van n trajct p t lggn aan d nkl kan dus btr d hilbwging van bid vtn pglgd wrdn. D laatst tw vrijhidsgradn vult mn in dr d y-psiti van d tw vttippn p t lggn. In dz trajctn kan mn zr gd d mmntn waarp d hil n vttip cntact makn mt d grnd instlln vrmits mn zlf d vrtikal psitis van d hil n d vttip plgt. Mn mt wl plttn dat mn 102

112 gn nralistisch bann plgt vr d y-psiti van d vttip. Immrs, als ht vrschil in d y-cmpnntn van vttip n hil grtr is dan d lngt van d vt, dan zal dit nmglijk gralisrd kunnn wrdn. D hilbwging van bid vtn is idntik maar in fas vrschvn. Bijgvlg mtn w d plynm slchts vr één vt pstlln (nkl ht gdlt waarin d hil van d grnd is). D bwging di dr d hil (in d lucht) gmaakt wrdt bstaat in fit uit tw stukkn. Tijdns ht rst gdlt stunt d tip ng p d grnd trwijl d hil al van d grnd kmt. Ht laatst gdlt bgint vanaf ht mmnt dat d vttip d grnd vrlaat n duurt tt ht vlgnd hilcntact (kmt vrn mt d zwaaifas van ht bn). Ht rst gdlt van d baan bstaat uit n dl van n cirkl. D cirkl hft als straal d lngt van d vt n als middlpunt d vttip. D x- n y-psiti zijn via dz pglgd baan aan lkaar gkppld n kunnn bid gschrvn wrdn in functi van d hk van d vt. Mn zal dan k n plynm pstlln vr d hk α van d vt n daaruit d x- n y-psiti van d hil haln. D randvrwaard vr d plynm zijn: t = 0 t = T l α = 0 α = 0 α = 0 α = α l α = α l α = α l Dz 6 randvrwaardn lidn tt n stlsl van 6 vrglijkingn n 6 nbkndn a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 n a 6 dat mn dan in Mathmatica kan latn plssn. Z bkmt mn n frmul vr α in functi van d tijd n vlgnd paramtrs: T l, α l, α l n α l. D paramtr T l lggn w vast p T 4 mdat dit andrs d brkning van d plynmn zal bmilijkn. Ht vrlp van d plynm vr d hk α is gtknd in figuur 4.10 n wrdt brknd uit vlgnd frmul: α = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 Uit d randvrwaardn p t=0 vlgt al mtn dat a 0 = a 1 = a 2 = 0. D frmuls vr d andr cnstantn a 3, a 4 n a 5 zijn t vindn in d Mathmatica-fil plynmnmv c.nb in bijlag B.3. α l is d hk van d vt p ht mmnt dat d tnn d grnd vrlatn. α l n α l stlln rspctivlijk d snlhid n vrsnlling p dat mmnt vr. D paramtr T is d prid tussn ht mmnt waarp d hil d grnd vrlaat n d daarp vlgnd hilimpact (T l = T 4 ). Ht twd gdlt van d vluchtfas van d hil wrdt bschrvn dr tw plynmn, één vr d x-cördinaat n één vr d y-cördinaat. Ht bgin van dit gdlt stmt vrn mt ht ind van d vrig plynm (t = T 4 ). Om d frmuls nvudigr t makn stlln w dit tijdstip nu glijk aan nul (t = 0 s). D randvrwaardn stmmn 103

113 Figuur 4.10: Ht functivrlp van d plynm α wrggvn in functi van d tijd (s). Waardn van d paramtrs: T l = T 4 = s, α l = π 3, α l = 2 rad s 1 n α l = 0 rad s 2 dus vrn mt d waardn van d psiti, snlhid n vrsnlling in x- f y-richting van ht vrig gdlt p t = T 4. Vr d Y-psiti krijgn w dan vlgnd vrwaardn waaraan d plynm mt vldn: t = 0 Y fz = l v sin α l Ẏ fz = l v cs α l α l Ÿ fz = l v sin α l α 2 l + l v cs α l α l t = T T l Y fz = 0 Ẏ fz = v yt Ÿ fz = a yt t = T m Y fz = s h Ẏ fz = v ym Ÿ fz = a ym Om al t ingwikkld frmuls vr d cnstantn in d plynm t vrmijdn wrdn d tijdstippn T m n T l vastglgd in functi van d paramtr T. Z wrd hir in rst instanti T m = 5T 12 gnmn n zals rds vrmld T l = T 4. D plynm wrdt: Y fz = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + a 5 t 5 + a 6 t 6 + a 7 t 7 + a 8 t Figuur 4.11: Ht functivrlp van d plynm Y fz (m) wrggvn in functi van d tijd (s). Waardn van d paramtrs: T = 0.5 s, l v = m, α l = π 3, α l = 2 rad s 1, α l = 0 rad s 2, v yt = 1.1 m s 1, a yt = 0 m s 2, s h = 0.01 m, v ym = 0 m s 1 n a ym = 8 m s 2 D rst cnstantn a 0, a 1 n a 2 vlgn mtn uit d randvrwaardn p t=0. Mn bkmt aldus n frmul in functi van d paramtrs l v, α l, α l, α l, v yt, a yt, s h, a ym n 104

114 d tijd t (zi d Mathmatica-fil plynmn mv c4.nb in bijlag B.3). Dz functi is t zin in figuur T is d tijd ndig m n halv wandlcyclus t drlpn, l v is d lngt van d vt, v yt n a yt zijn rspctivlijk d snlhid n d vrsnlling bij hilimpact, s h is d hgt van d hil tijdns ht passrn van ht stunbn n dit punt kmt vrn mt n minimum in d baancurv (minimum t claranc), v ym n a ym stlln rspctivlijk d snlhid n d vrsnlling p dat mmnt vr. a ym laat t d krmtstraal in ht punt t rgln n alz d hgt van ht twd dl van d curv t bïnvldn. Vr d X-psiti krijgn w dan vlgnd vrwaardn waaraan d plynm mt vldn: t = 0 X fz = l v (1 cs α l ) Ẋ fz = l v sin α l α l Ẍ fz = l v (cs α l α 2 l + sin α l α l ) t = T T l X fz = λ Ẋ fz = v xt Ẍ fz = a xt t = T m X fz = λ 2 Ẋ fz = v xm Ẍ fz = a xm Figuur 4.12: Ht functivrlp van d plynm X fz (m) wrggvn in functi van d tijd (s). Waardn van d paramtrs: T = 0.5 s, l v = m, α l = π 3, α l = 2 rad s 1, α l = 0 rad s 2, v xt = 1 m s 1, a xt = 2 m s 2, λ = 1.2 m, v xm = 4 m s 1 n a xm = 2 m s 2 D plynm di aan dz randvrwaardn mt vldn hft vlgnd vrm: X fz = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + b 3 t 3 + b 4 t 4 + b 5 t 5 + b 6 t 6 + b 7 t 7 + b 8 t 8 D rst cnstantn b 0, b 1 n b 2 vlgn mtn uit d randvrwaardn p t=0. Mn bkmt aldus n frmul in functi van d paramtrs l v, α l, α l, α l, λ, v xt, a xt, v xm n d tijd t waarvan ht vrlp gschtst is in figuur 4.12 (d Mathmatica-fil is t vindn in bijlag B.3). λ is d lngt van n stap van d vt, v xt n, a xt zijn rspctivlijk d snlhid n d vrsnlling in x-richting bij hilimpact, v xm is d snlhid tijdns ht passrn van ht stunbn (X fz = λ 2 ) n a xm d vrsnlling p dat mmnt. D psiti van d hil ligt nu vlldig vast als w d plynmn Y fz n X fz gbruikn. In figuur 4.13 is ht trajct dat d hil zal vlgn in ht xy-vlak wrggvn. D laatst tw vrijhidsgradn wrdn vastglgd dr d vrtikal psiti van bid vttippn p 105

115 Figuur 4.13: Ht trajct van d hil vanaf ht mmnt dat d tip d grnd vrlaat (t = s) tt d impact van d hil. D plynm Y fz (m) is uitgzt tn pzicht van d plynm X fz (m). t lggn. Ok vr d tippn mt r maar één plynm pgstld wrdn di dan vr bid vtn gbruikt kan wrdn. D duur van d fas waarin d tip van d grnd is, is T. Op figuur 4.14 zit mn n schts van n gschikt trajct vr d y-psiti van d tip Figuur 4.14: Ht functivrlp van d plynm Y tz (m) wrggvn in functi van d tijd (s). Waardn van d paramtrs: T = 0.5 s, l v = m, α c = π 5, v ytt = 0 m s 1, a ytt = 0 m s 2, a y0 = 0.5 m s 2 n s t = 0.01 m D randvrwaardn vr dz plynm zijn: t = 0 t = T t = T m t = T T c Y tz = 0 Ẏ tz = 0 Ÿ tz = a y0 Y tz = 0 Ẏ tz = v ytt Ÿ tz = a ytt Y tz = s t Ẏ tz = 0 Y tz = l v sin α c Om al t ingwikkld frmuls vr d cnstantn in d plynm t vrmijdn wrdn k hir T m n T c vastglgd in functi van d paramtr T. Z wrd hir in rst instanti T c = T 4 n zals rds vrmld T m = 5T 12. Aangzin mn ngn randvrwaardn plgt, zal ht trajct dr n plynm van achtst rd bschrvn wrdn: Y fz = c 0 + c 1 t + c 2 t 2 + c 3 t 3 + c 4 t 4 + c 5 t 5 + c 6 t 6 + c 7 t 7 + c 8 t 8 106

116 D rst cnstantn c 0, c 1 n c 2 vlgn mtn uit d randvrwaardn p t=0. Mn bkmt aldus n frmul in functi van d paramtrs l v, α c, v ytt, a ytt, s t, v ym, a ym n d tijd t (zi d Mathmatica-fil in bijlag B.3). l v is d lngt van d vt, v ytt n, a ytt zijn rspctivlijk d snlhid n d vrsnlling p ht mmnt dat d tnn cntact makn mt d grnd, s t is d hgt van d tip tijdns ht passrn van ht stunbn n dit punt kmt vrn mt n minimum in d baancurv (minimum t claranc), a ym is d vrsnlling p dat mmnt n laat t d krmtstraal van ht minimum t rgln n alz d hgt van ht twd maximum t bïnvldn. 4.4 Simulatis Zndr vt In dz paragraaf zulln w aan d hand van n rst simulati d vrschillnd karaktristikn van d bwging zndr vt bsprkn. Vrvlgns zal d invld van d pglgd trajctn p d wrking van d Slav naggaan wrdn. D trajctn lgt mn p aan ht Mastr -mdl via drivrs in d dsbtrffnd planar jints. D Mastr zal dan dz bwging uitvrn. Opdat d Slav dz bwging zu kunnn vlgn, mtn w ng d juist bgincnditis plggn. Mn lgt dus d initiël psitis n snlhdn van d trajctn di d Mastr vlgt, p aan d Slav. D Slav zal dan d rst van ht trajct prbrn t vlgn mt bhulp van d actuatrn in d gwrichtn (zi paragraaf 4.2.1). En rst simulati D plynmn di gbruikt wrdn vr d trajctn di in dz simulati pglgd wrdn, zijn wrggvn in figuur D plynm vr d y-psiti van d hup hft n ngativ vrsnlling p t = 0 s n t = T (zi fig 4.15(a)). Dit hft als vrdl dat ht kppl in d nkl klin ghudn wrdt tijdns d vrgang van ht n bn naar ht andr. D x-psiti van d hup is zdanig dat d hrizntal snlhid tijdns d impactfas maximaal is n halfwg d stunfas minimaal. D y-psiti van d nkl tijdns d vluchtfas vrtnt één maximum (zi figuur 4.15(b)). In d litratuur wrdn d trajctn gkaraktrisrd aan d hand van n aantal dimnsilz gtalln (zi rf [25], [26] n [27]). En rst gtal, d duty factr β, is ht gdlt van d cyclus waarvr lk vt in cntact is mt d grnd, dz is grtr dan 0.5 vr wandln n klinr dan 0.5 vr lpn. In dit mdl is β = 0.5. Om d snlhid van d vrtbwging t karaktrisrn gbruikt mn Frud gtalln. Ht hrizntal Frud gtal wrdt gdfinird als: U = u2 gh. Hirbij is u d gmiddld snlhid in d x-richting n h d hgt van d hup. In dit gval wrdt ht hrizntal Frud gtal 107

117 (a) Y H (m) in functi van X H (m). ρ = 0.5 m, h = 0.75 m n ν = 1.32 m s 1 (b) Y (m) in functi van X (m). s = 0.02 m, v = 0.2 m s 1 n a = 0.2 m s 2 Figuur 4.15: Ht vrlp van d plynmn van n rst simulati (T = 0.5 s n λ = 1.2 m). dus: U = = Uit dz plynmn kan mn dan in Excll d numrik waardn van d trajctn di pglgd wrdn aan d mastr brknn. D Excll-fils zijn t vindn in bijlag B.4, d trajctn uitgvrd dr d Mastr zijn in grafik gzt in figurn 4.16, 4.17 n Als rst tst kan mn dz bwging nkl latn uitvrn dr d Mastr (d Slav wglatn). Mn laat ht prgramma dus lpn gdurnd één scnd, d tijd m één vlldig wandlcyclus uit t vrn. Ht rsultaat hirvan is t zin p figuur Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hup_bl Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.16: Ht trajct vr d y-psiti van d hup (in m) dat dr d Mastr uitgvrd wrdt (Tijd in s). 108

118 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) nkl_b_r X hup_bb_r X nkl_b_l X P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.17: D trajctn vr d x-psitis (in m) van d hup n bid nkls (Tijd in s). Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) nkl_b_r Y nkl_b_l Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.18: D trajctn vr d y-psitis (in m) van bid nkls (Tijd in s). D bwging di d Mastr uitvrt is wl dglijk d bwging di w wnsn n dus kan mn dz nu uitprbrn mt ht Slav -mdl rbij. Tijdns d simulatis lip ht prgramma vaak vast p ht mmnt van impact. En mglijk rzaak hirvan zijn d grt kppls in d actuatrn als gvlg van d schk. 109

119 Figuur 4.19: Eén vlldig stapbwging uitgvrd dr d Mastr. Pr/MECHANICA MOTION Rsults act_ut_r M a s u r Y Z X Tim Figuur 4.20: D masur di aangft wannr d actuatrn van ht rchtrbn uitgschakld mtn wrdn mdat d vt nt d grnd hft graakt (impactfas) (Tijd in s). Om dit t vrmijdn zulln d actuatrn tijdns d schk gdurnd vijf milliscndn uitgschakld wrdn. Hirvr wrdt n masur gcrërd di d schk zal dtctrn (zi figuur 4.20). Dankzij dz maatrgl lpt ht prgramma mindr vaak vast. Nadat ht prgramma d vlldig simulati drlpn hft, kan mn ht rsultaat valurn. Op ht rst gzicht wrdt d bwging van d Mastr gd nagbtst dr d Slav. Op figuur 4.21 zijn d hkn van ht linkrndrbn van d Mastr n d Slav t zin. D curvs zijn praktisch nit van lkaar t schidn wat btknt dat d Slav 110

120 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) S_hk_b_R hk_b_r M a s u r Y Z X Tim Figuur 4.21: D hk (in rad) van ht ndrbn van d Slav n d Mastr in ht mdl zndr vt (Tijd in s). d Mastr gd vlgt. In ht bgin van d bwging wijkt d Slav wl duidlijk af van d Mastr. D rzaak hirvan ligt vrnamlijk in n t klin rglcnstant vr d actuatr in d nkl (k d andr rglcnstantn zijn nit z grt). Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) grf_vt_y_l FMag grf_vt_y_r FMag F r c / T r q u Y Z X Tim Figuur 4.22: D vrtikal grndractikrachtn (in N) inwrknd p d linkr- n rchtrnkl tijdns één wandlcyclus (Tijd in s). D vrtikal grndractikrachtn zijn wrggvn in figuur Dz kmn zr 111

121 gd vrn mt d vrtikal grndractikrachtn bij d mns (zi hfdstuk 1). In d litratuurstudi warn dz krachtn tlkns vr n stunfas wrggvn. Hir zijn d grndractikrachtn van d linkr- n d rchtrvt p n grafik wrggvn n vrmits mn n vlldig wandlcyclus drlpt, hft mn hir tw maal d grndractikrachtn vr n stunfas (vr lk vt n kr). Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) trqu_hup TMag trq_kni_r TMag trq_kni_l TMag F r c / T r q u Y Z X Tim Figuur 4.23: D kppls (in Nm) uitgfnd dr d actuatrn in bid kniën n in d hup van d Slav (Tijd in s). Op figuur 4.23 vindt mn d kppls di uitgfnd wrdn dr d actuatrn in d kniën n d hup. Vr ht linkr- n rchtrbn zijn dz glijk maar in fas vrschvn (d stunfas van ht n bn is d zwaaifas van ht andr). Zals t vrwachtn vil, zijn d kppls van d kni vr ht zwaaibn vl klinr dan vr ht stunbn. D kppls uitgfnd dr d actuatrn in d nkls zijn t zin p figuur D maximal waardn van d kppls liggn tussn 200 n 300 Nm. En rst pvallnd bvinding van dz simulati kmt naar bvn als mn d y- psiti van d Slav vrglijkt mt di van d Mastr (zi figuur 4.25). D bwging di d Mastr uitvrt wrdt nit gd gvlgd dr d Slav. Trwijl r in d bwging van d mastr slchts één maximum vrkmt, hft ht trajct dat dr d Slav gvlgd wrdt tch tw maxima. In paragraaf wrd rds vrpgstld dat n bwging mt tw maxima natuurlijkr zu zijn mdat d zwaaifas van ht bn dan btr tt uiting zu kmn. Hir blijkt dus dat d Slav rds n bwging mt tw maxima uitvrt. Mn kan k d y-psiti van d hup van d Slav vrglijkn mt di van d Mastr (Fig. 4.26). D Mastr wrdt rdlijk gd gvlgd. Enkl rnd d vrgang van ht n stunbn naar ht andr vlgt d Slav d Mastr nit gd. 112

122 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) trq_nk_l TMag trq_nk_r TMag F r c / T r q u Y Z X Tim Figuur 4.24: D kppls (in Nm) uitgfnd dr d actuatrn in bid nkls van d Slav (Tijd in s). Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) nkl_b_r Y S_nkl_b_R Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.25: D Y-psitis (in m) van d nkl van d Slav n d Mastr (Tijd in s). D arbid di uitgvrd wrdt dr d Slav m d bwging t vrwznlijkn is n zr blangrijk paramtr in d valuati. Op figuur 4.27 zit mn d arbid di via d vrschillnd actuatrn in d gldingn glvrd wrdt. D sm van d arbid glvrd in d vrschillnd gwrichtn gft ns ht ttal nrgivrbruik van ht mchanism tijdns d stapbwging (zi figuur 4.28). 113

123 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hup_bb_l Y S_hup_bb_L Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.26: D Y-psitis (in m) van d hup van d Slav n d Mastr (Tijd in s). Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) arb_hup arb_kni_l arb_nkl_l arb_kni_r arb_nkl_r M a s u r Y Z X Tim Figuur 4.27: D arbid (in J) van d Slav (Tijd in s). 114

124 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) arb_slav M a s u r Y Z X Tim Figuur 4.28: Ht gaccumulrd nrgivrbruik (in J) tijdns één wandlcyclus (Tijd in s). Invld van d rglcnstantn Zals p figuur 4.21 t zin was wrdn d hkn van d Mastr rdlijk gd nagbtst dr d hkn van d Slav. Wannr mn chtr naar ht laatst punt in d ktn (d nkl van ht bn in d zwaaifas) kijkt, zit mn dat dz bwging tch nit z gd gvlgd wrdt. In dz paragraaf zulln d vrschillnd rglcnstantn systmatisch vrhgd wrdn tt d bwging vldnd gvlgd wrdt. En gd indicati hirvr is d psiti n d snlhid van d nkl in d zwaaifas (ht laatst punt in d ktn). Daarbij zal d invld p ht nrgivrbruik bkkn wrdn. D baan di w aan d nkl plggn is t zin in figuur 4.29(a). D rst waardn vr K d n K p zijn dzlfd als di gbruikt wrdn vr d simulati uit d vrig paragraaf: K p K d hup kni nkl Ht rsultaat hirvan vr d psiti n d snlhid in d Y-richting van d nkl is t zin p figuur Ht nrgivrbruik van d Slav tijdns dz simulati was: J. D baan wrdt ng nit z gd gvlgd, w vrhgn d waardn van d rglcnstantn: 115

125 X Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) nkl_b_r Y S_nkl_b_R Y nkl_b_r Y S_nkl_b_R Y P i n t 0.02 P i n t 0.0 P s i t i n 0.01 V l c i t y Y Y Z Z X Tim Tim (a) Psiti in d Y-richting van d nkl (b) Snlhid in d Y-richting van d nkl Figuur 4.29: Ht trajct van d Mastr n d Slav van d nkl bij bpaald waardn van d rglcnstantn. K p K d hup kni nkl Ht nrgivrbruik van d Slav tijdns dz simulati was: J. K p K d hup kni nkl Bij d waardn van d rglcnstantn in bvnstaand tabl was ht nrgivrbruik van d Slav: 549 J. D vrhuding van d rglcnstantn K p n K d in d kni is gbasrd p n traaghidsmmnt van 1 kg m 2 (K p = K2 d 4 ). In d stunfas ligt dit traaghidsmmnt chtr rnd d waard 10 kg m 2. In n vlgnd vrhging van d rglcnstantn nmn w als karaktristik traaghidsmmnt vr d kni 2 kg m 2. K p K d hup kni nkl

126 Ht nrgivrbruik van d Slav tijdns dz simulati was: J. D psiti van d nkl wrd al rdlijk gd gvlgd, w vrhgn ng n laatst kr: K p K d hup kni nkl Ht rsultaat hirvan vr d psiti n d snlhid in d Y-richting van d nkl is t zin p figuur Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) nkl_b_r Y S_nkl_b_R Y nkl_b_r Y S_nkl_b_R Y P i n t P i n t 0.1 P s i t i n V l c i t y Y Y Z X Z X Tim Tim (a) Psiti in d Y-richting van d nkl (b) Snlhid in d Y-richting van d nkl Figuur 4.30: Ht trajct van d Mastr n d Slav van d nkl bij bpaald waardn van d rglcnstantn. Ht nrgivrbruik van d Slav tijdns dz simulati was: J. Ht pglgd trajct wrdt nu z gd als prfct gvlgd dr d Slav. Ht nrgivrbruik is nu chtr hgr dan in d rst simulati maar wl lagr dan in d tussnliggnd simulatis. D schmmlingn van ht nrgivrbruik zijn ht gvlg van ht fit dat d Slav tlkns n licht andr bwging vlgt. D bwging van d Mastr is chtr nit vrandrd. Invld van ht trajct van d nkl Bij ht pstlln van ht trajct van d nkl kwamn al vrschillnd mglijkhdn naar vr. W zulln nu simulatis uitvrn vr n aantal vrschillnd trajctn van d nkl. 117

127 In n rst trajct brikt d nkl één maximum halfwg d zwaaifas (zi figuur 4.31). Ht nrgivrbruik tijdns dz simulati was: J. Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) nkl_b_r Y S_nkl_b_R Y S_hk_bb_L S_hk_b_L nkl_b_l Y S_nkl_b_L Y hk_b_l hk_bb_l P i n t M 0.2 P s i t i n a s u r Y Y Z X Z X Tim Tim (a) Psiti in d Y-richting (in m) van d nkl (b) D hkn (in rad) van ht ndrbn n bvnbn. Figuur 4.31: Ht trajct van d Mastr n d Slav waarbij ht trajct van d nkl slchts één maximum hft (Tijd in s). In n twd trajct brikt d nkl tw maxima n één minimum halfwg d zwaaifas. Ht nrgivrbruik tijdns dz simulati was: J. En drd trajct wrdt d hgt tt waar d nkl wrdt pghvn halfwg d zwaaifas vrlaagd van 0.02 m tt 0.01 m (zi figuur 4.32). Ht nrgivrbruik tijdns dz simulati was: J. In tal van andr simulatis waarbij ht trajct van d nkl stds vrandrd wrd, blf ht nrgivrbruik rnd d waard van 480 J hangn. Enkl indin mn d rglcnstantn wat naar bndn trk, zdat d Slav mindr strikt d Mastr vlgd, wrd r n simulati gvndn waarbij ht nrgivrbruik tt 408 J bprkt wrdn. D baan di d Slav dan vlgt, is chtr nit mr dign di aan d Mastr wrd pglgd n is dus nit gd gknd. Bijgvlg kunnn w hiruit gn bsluitn trkkn in vrband mt d invld van ht trajct p ht nrgivrbruik. Wl gft dit aan dat ht mglijk is m nrgtisch intrssantr bann t kizn. 118

128 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) nkl_b_r Y nkl_b_l Y S_nkl_b_R Y S_nkl_b_L Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.32: Ht trajct van d nkl (in m) van d Mastr n d Slav mt tw maxima (Tijd in s). Invld van ht trajct van d hup Tijdns ht pstlln van d trajctn wrdn r dri bann vr d hup vrgstld. D rst tw brikn n minimum tijdns d vrgangsfas van ht n stunbn naar ht andr n zijn maximaal halfwg d stunfas (tijdns n vlldig wandlcyclus drgaat d curv dus tw maxima n tw minima). Ht laatst trajct drlpt vir minima n vir maxima vanwg d ngativ vrsnlling in d y-plynm tijdns d vrgangsfas ( ν2 ρ ). Op figuur 4.33 zit mn d vrtikal grndractikrachtn inwrknd p d Slav n d vrtikal vrsnlling van d hup van d Slav vr n trajct van d hup mt n ngativ vrtikal vrsnlling tijdns d vrgangsfas (ρ = 0.5 m). Ht patrn van d vrtikal hupvrsnlling is trug t vindn in d vrtikal grndractikrachtn van d hup. Dit is lgisch aangzin bij bnadring ht mmp in d hup ligt n vrmits d uitwndig krachtn van ht mchanism d vrsnlling van ht massamiddlpunt bpaln, zal d vrsnlling van d hup afhangn van d grndractikrachtn (naast d zwaartkracht zijn dit d nig uitwndig krachtn di inwrkn p ht mchanism). Wannr mn dus d baan van d hup plgt, lgt mn hirm k d vrist grndractikrachtn vast. In hfdstuk 1 wrdn vr vrschillnd wandlsnlhdn d grndractikrachtn inwrknd p één vt bsprkn. Daarin blk dat vr grtr snlhdn d schmmling vrgrtt, maar d gmiddld waard van d krachtn glijk blf. Dit vlgt k uit d vrgaand bschuwing. D cnstant trm is t wijtn aan ht phffn van d zwaartkracht n d variatis zijn t wijtn aan d vrsnllingn van d hup in d y-richting. 119

129 X Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) grf_vt_y_r FY grf_vt_y_l FY S_hup_bb_R Y F r c / T r q u X 1 E P i n t A c c l Y Y Z Z X Tim Tim (a) D grndractikrachtn in d Y-richting (in N) (b) D vrtikal vrsnlling van d hup (in m s 1 ) Figuur 4.33: D hupbaan hft n ngativ vrtikal vrsnlling tijdns d vrgangsfas (Tijd in s). Indin d wandlsnlhid vrgrt n w vrndrstlln ht vrschil tussn ht minimum n ht maximum in d hupcurv cnstant, dan zulln d vrsnllingn van d hup grtr wrdn n dus k d variati p d grndractikrachtn. D hupbwging di w in d litratuur trugvindn is sinusïdaal n dus zudn d grndractikrachtn mtn bstaan uit n cnstant trm mt daarrnd n sinusïdal variati. Dit is k ht gval, mn mt immrs d grndractikrachtn van bid vtn bij lkaar ptlln. Dr ht aanwzig zijn van n vrlapfas zal d uitwndig kracht dus nit nul wrdn (bij lpn is dit wl ht gval, d zwaartkracht buitn bschuwing glatn). Ht mdl zndr vt hft chtr gn vrlapfas. Daardr zal n sinusïdal bwging van d hup nit d grndractikrachtn gvn di w trugvindn bij d mns. Om dz t bnadrn mt mn rvr zrgn dat d vrsnlling van d hup tijdns d vrgangfas glijk n tgngstld is aan d zwaartkracht (dan gaat d ractikracht naar nul). Bij d simulati di n ngativ vrsnlling hft in d vrgangsfas lijkn d grndractikrachtn dan k strkr p di bij d mns. D ignlijk rdn waarm d plynm mt d ngativ vrsnlling pgstld wrd, was m ht kppl ndig in d tip tijdns d vrgangsfas t bprkn. Op figuur 4.34 is dit kppl t zin. In n twd simulati wrd vr d baan van d hup n sinuscurv gnmn. D grndractikrachtn n d vrtikal acclratis van d hup zijn uitgzt in figuur D kpplcurv van d actuatrn in d vttippn van dz simulati tnt dat ht kppl indrdaad its grtr wrdt wannr mn n sinusïdal baan vr d hup gbruikt. 120

130 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) trq_nk_l TMag trq_nk_r TMag F r c / T r q u Y Z X Tim Figuur 4.34: D kppls (in Nm) glvrd dr d actuatrn in d nkl (Tijd in s). Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) grf_vt_y_r FY grf_vt_y_l FY Cntr Y F r c / T r q u X 1 E P i n t A c c l Y Y Z X Z X Tim Tim (a) D grndractikrachtn in d Y-richting (in N) (b) D vrtikal vrsnlling van d hup (in m s 1) Figuur 4.35: D hupbaan is sinusïdaal (Tijd in s). Ht nrgivrbruik van bid simulatis lag zr dicht bij lkaar (515.7 J vr d rst n J vr d laatst simulati). 121

131 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) trq_nk_l TMag trq_nk_r TMag F r c / T r q u Y Z X Tim Figuur 4.36: D kppls (in Nm) glvrd dr d actuatrn in d nkl (Tijd in s) bij n sinusïdal curv vr d y-psiti van d hup Mt vt In n rst simulati kan mn uitgaan van ht mdl zndr vt n d vt stds hrizntaal hudn dr d vthk cnstant p nul t hudn (stappn mt platvtn). Dit laat t ht mdl mt vt t tstn mt dzlfd bwging als ht mdl zndr vt. D simulati vrlip nit altijd vn vlt (zi latr). D bwging di d Slav maakt wijkt p vrschillnd puntn af van di van d Mastr. En rst afwijking gburt nt na d impactfas, wannr d achtrst vt pghvn wrdt. Op dat mmnt kmt d tip van d vrst vt van d grnd n stunt ht mdl nkl ng p d hil (in ralitit kan dit kppl its grtr zijn mdat d nkl in fit hgr ligt, d hrizntal grndractikrachtn zulln r dan vr zrgn dat d tip mindr snl van d grnd zal kmn). In smmig gvalln vil d Slav zlf achtrvr. En twd afwijking dt zich vr nt vr d impactfas. Op dat mmnt hft d hil d niging van d grnd t kmn. Dit mag nit gburn mdat andrs d andr vt t vrg d grnd zal rakn. Immrs, vrmits d Slav d Mastr vlgt dr d hkn in d gwrichtn glijk t hudn, zal d fut p d hk van d stunvt zich prpagrn drhn hl ht mchanism n bijgvlg zal d vt in d zwaaifas nit p d juist plaats ghudn wrdn. Wannr d vt t vrg d grnd raakt, zal d afstand tussn d tw vtn ng nit crrct zijn n dus ntstaan r p dat mmnt grt krachtn in d actuatrn di wrdn tgngwrkt dr d hrizntal grndractikrachtn p d bid vtn. Dz situati wrdt vrmdn dr in d vttip n actuatr t vrzin (zi vrig paragraaf). Dz actuatr kan mn aanzin als vrvangr van d tnn (dz kun- 122

132 nn immrs via d vrtikal grndractikrachtn zrgn vr n xtra kppl in d nkl). In d vlgnd simulatis is ht d bdling d stapbwging van d mns btr t bnadrn. D bwging van d mns is trug t vindn in [17]. In bijlag B.4 vindt u k data van n aantal stappn di p d dinst Bimchanica wrdn pgmtn dr Fris Hagman. Figuur 4.37: D simulati van n stapbwging waarbij mn landt p d hil n afstt via d tip. D mns landt p d hil n stt af via d tnn. Dz bwging mtn w dan k aan d Mastr plggn (zi figuur 4.37). In d stapbwging is r n prid waar bid vtn d grnd rakn (zi 1). In rst instanti zulln w d trajctn z pstlln dat d hil van d achtrst vt nt van d grnd kmt wannr d hil van d vrst vt nt d grnd raakt (zi 4.38). D tip kmt van d grnd p ht mmnt dat d tip van d andr vt d grnd raakt. Prblmn van dz simulati: lpt gmakklijkr vast vanwg d vractuati tijdns d vrlapfas (kppl in tip, hrizntal n vrtikal grndractikrachtn). Om ht nadl van d vrig simulati t vrmijdn, namlijk d vractuati tijdns d vrlapfas, kunnn w d trajctn z samnstlln dat r gn vrlap aanwzig is. D bwging di dan uitgvrd wrdt, is ignlijk nt nit lpn. D hil van d vrst vt raakt d grnd p ht mmnt dat d tip van d andr vt d grnd nt vrlaat. Op ht rst zicht vrlpt d simulati nu vl vlindr. Dz simulati hft chtr k n grt gbrk. Wannr w immrs n andr plynm vr d y-psiti van d hil plggn blijkt ht prgramma wr vast t lpn. Dit is t wijtn aan ht fit dat d vttip nit p ht juist mmnt in cntact kmt mt d grnd (t vrg). Bijgvlg pgt d Slav aan d hand van ht kppl in d vttip 123

133 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hil_r Y hil_l Y mtatar_r Y mtatar_l Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.38: D trajctn vr d y-psitis (in m) van tip n hil vr d simulati mt vrlap (Tijd in s). Pr/MECHANICA MOTION Rsults hil_r Y hil_l Y mtatar_r Y mtatar_l Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.39: D trajctn vr d y-psitis (in m) van tip n hil vr d simulati zndr vrlap (Tijd in s). n d nkl alsng d hk van d vt trug juist t krijgn n dit zrgt vr grt kppls in ht mchanism n grt grndractikrachtn. D rzaak van dit prblm ligt in ht fit dat ht mdl ndrgacturd is p ht mmnt dat d hil van d vt rds in cntact is mt d grnd maar d tip ng nit. In d hil is r immrs gn actuatr aanwzig n dus kan d hk van d vt nit gcntrlrd wrdn. 124

134 Ht is nu d bdling d pglgd bann t latn variërn n d invld hirvan p ht nrgivrbruik t bkijkn. Vrmits dit zr milijk is mt ht mdl zndr vrlap zulln w mt ht andr mdl vrdrwrkn. Ht aantal mglijk trajctn is chtr nindig grt. Vrmits d mnslijk bwging zr fficiënt is, zulln w ns hirp basrn. Hirbij mtn w wl rkning hudn mt d bprkingn van ns mdl (bvb.: twdimnsinaal, gwrichtn vrvangn dr scharnirn, vt bstaat uit slchts één glid). D bwging di pglgd wrdt, is gbasrd p d plynmn vr d hup, hil n tip. Dz plynmn wrdn stds vrfijnd dr ht bijvgn f vrandrn van randvrwaardn zdanig dat mn stds dichtr bij d bwging van d mns kmt. In n twd fas mt mn d vrschillnd plynmn samnvgn tt één vlind stapbwging. Dit is chtr nit z vidnt als ht lijkt. En rst vrbld hirvan is d kuz m mt n vrlapfas (fas waarin bid vtn d grnd rakn) f zndr (nt nit lpn) t wandln. Indin w d plynmn samnstlln zdat r gn vrlap is, zal d duur van d bwging krtr zijn dan in ht gval dat w wl vrlap vrzin (zi k Excll-fils in bijlag B.4). Vrmits r bij ht mdl zndr vrlap n fas ntstaat waarin ht mdl ndrgacturd is, zulln w wl n vrlapfas vrzin. Mn zrgt r dus vr dat r stds één vttip in cntact is mt d grnd. D prid tussn hilcntact n cntact van d vttip hbbn w glijk aan één achtst van n wandlcyclus ( T 4 ) gnmn (zi paragraaf 4.3.2). Dit kmt k vrn mt d prid gdurnd dwlk d hil al van d grnd is n d tip ng cntact maakt mt d grnd (zi figuur 4.38 n 4.40). Daaruit vlgt dat d prids van vrlap 25 % van d wandlcyclus in bslag nmn. Figuur 4.40: D vrlapfas tijdns d simulati. Tijdns dz bwging is r dus stds één vttip n één hil in cntact mt d grnd 125

135 (zi Excll-fil in bijlag B.4). Ok d prid tussn t-ff n minimum t claranc hft n bpaald waard gkrgn, namlijk T m. In rst instanti wrd T m = 5T 12 (zi bijlag B.3) gnmn n daarna vrandrd naar T m = 3T 8 mt als dl ht vrlp van ht snlhidsprfil in d x-richting van d hil wat vlindr t makn (zals bij d mns ht gval is). Vrmits d hil ng stds d niging hft van d grnd t kmn alvrns d hil van d andr vt cntact maakt mt d grnd (wrdt vrhindrd dr d tipactuatrn), zal in n vlgnd simulati ht trajct van d hil z gkzn wrdn dat dz rds vrgr van d grnd kmt (dit is bij d mns k ht gval). Hirbij zrgt mn wl dat r altijd minstns één vttip in cntact blijft mt d grnd (zi figuur 4.42). D prid tussn hl-ff n t-ff wrdt dus grtr (zi figuur 4.41 n d Excll-fil in bijlag B.4) Figuur 4.41: Ht vrlp van d plynm vr d vthk waarbij d hil al van d grnd kmt alvrns d andr p d grnd stunt. Tnsltt mt mn ng ht trajct van d hup kppln aan d trajctn van d hil n d vttip. Bij ht mdl zndr vt bstnd hirvr gn twijfl, d y-psiti van d hup brikt n minimum wannr d zwaaifas van d vt indigt n d stunfas bgint. D x-psiti is aan d y-psiti gkppld dr d vrwaard dat ht punt van minimal ptntiël nrgi (bij bnadring ht minimum van d y-psiti van d hup) vrnkmt mt ht maximum aan kintisch nrgi (bij bnadring d maximal snlhid van d hup in d x-richting). Z zrgt mn r immrs vr dat r uitwissling mglijk is tussn d ptntiël nrgi van ht systm n d kintisch nrgi zdat ht nrgivrbruik z laag mglijk is. Bij ht mdl mt vt wrd in rst instanti ht minimum van d baan van d hup glijk gnmn mt d impact van d hil. Vrmits dit in d wrklijkhid nit ht gval is, wrd r k n simulati gmaakt waarbij ht minimum van d hupbaan vrnstmt mt d impact van d vttip. D ralitit ligt waarschijnljk rgns tussn bid gvalln in. Immrs, als mn uitgaat van d grndractikrachtn van bid vtn in d y-richting kan mn hiruit d vrsnlling van ht mmp haln. Vrmits ht patrn van d grndractikrachtn ngvr symmtrisch is, ligt ht maximum hirvan ngvr in ht middn van d vrlapfas. Ht massamiddlpunt ligt bij bnadring in d 126

136 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hil_r Y hil_l Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.42: D trajctn vr d y-psitis van d hil vr n stapbwging waarbij d hil al pghvn wrdt tijdns d zwaaifas van ht andr bn. hup n dus zal ht minimum van d hupbaan k zwat middn in d vrlapfas liggn. Mn zit dus dat r tal van paramtrs zijn di mn kan variërn n instlln m d stapbwging z dicht mglijk bij d mns t brngn. Er zijn chtr gn xact ggvns bschikbaar vr n typisch stapbwging. Mn is dus gndzaakt zlf dr ht plggn van bpaald randvrwaardn, trajctn t gnrrn, in Mchanica Mtin t implmntrn n aan d hand van d rsultatn van d simulatis uit t makn f dz bwging d mnslijk bwging gd bnadrt. Bij ht pstlln van d trajctn wrd gtracht z gd mglijk d curvs di t vindn zijn in [17] t vlgn. In figurn 4.43, 4.44, 4.45, 4.46 n 4.47 zit mn dan k d trajctn di uitindlijk wrdn bkmn naast dign uit [17] (zi bijlag B.4). 127

137 X Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hil_l Y P i n t P s i t i n Y Z (b) Bwging bij d mns ([17]). (Y-as in cm, D x-as lpt vr hl d wandlcyclus) Tim (a) Ggnrrd trajct aan d hand van plynmn (Yas in m, X-as in s) Figuur 4.43: D Y-psiti van d hil. Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hil_l Y P i n t V l c i t y Y Z X Tim (b) Bwging bij d mns ([17]). (Y-as in cm, D x-as lpt vr hl d wandlcyclus) (a) Ggnrrd trajct aan d hand van plynmn (Yas in m, X-as in s) Figuur 4.44: D Y-cmpnnt van d snlhid van d hil. 128

138 X Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hil_l X 5 4 P i n t V l c i t y Y Z (b) Bwging bij d mns ([17]). (Y-as in cm, D x-as lpt vr hl d wandlcyclus) Tim (a) Ggnrrd trajct aan d hand van plynmn (Yas in m, X-as in s) Figuur 4.45: D X-cmpnnt van d snlhid van d hil. Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) mtatar_l Y P i n t P s i t i n Y Z X (b) Bwging bij d mns ([17]). (Y-as in cm, D x-as lpt vr hl d wandlcyclus) Tim (a) Ggnrrd trajct aan d hand van plynmn (Yas in m, X-as in s) Figuur 4.46: D Y-psiti van d tip. 129

139 X Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) mtatar_l Y P i n t V l c i t y Y Z Tim (b) Bwging bij d mns ([17]). (Y-as in cm, D x-as lpt vr hl d wandlcyclus) (a) Ggnrrd trajct aan d hand van plynmn (Yas in m, X-as in s) Figuur 4.47: D Y-cmpnnt van d snlhid van d tip. Zals al wrd aanghaald lpn d simulatis in Mchanica Mtin chtr nit van n lin dakj. Ht prgramma lpt namlijk rglmatig vast. D rdnn hirvr zijn nit altijd duidlijk. Tch kan mn n aantal rzakn hirvan aanduidn: D schk bij ht rakn van d grnd zrgt vr zr grt ractikrachtn n zr grt kppls in d actuatrn. Daarm wrdn d actuatrn tijdns d schk (gdurnd vijf milliscndn) uitgschakld. Dit kn ht vastlpn van ht prgramma chtr nit altijd vrmijdn. D grndractikrachtn in d x-richting wrkn lkaar sms tgn. Op ht mmnt dat r slchts één vt p d grnd stunt, raakt di vt d grnd mt tip n hil. In bid puntn zijn r ractikrachtn in d x- n y-richting aanwzig. Indin ht n punt wat dipr in d grnd zakt, zulln d hrizntal grndractikrachtn d tip n d hil trug uit lkaar trachtn t trkkn vrmits d hrizntal afstand rtussn vrmindrd is. Dz krachtn zijn nit gwnst n zrgn mglijk vr ht vastlpn van ht prgramma. Daarm zulln w tlkns slchts in één van d tw puntn d hrizntal grndractikrachtn latn inwrkn. Op ht mmnt dat d bid vtn d grnd rakn is r n analg prblm drdat d hrizntal afstand tussn d bid cntactpuntn nit juist is, zulln d actuatrn in d gwrichtn dz via d rgling van d hkn juist prbrn t krijgn, trwijl d hrizntal grndractikrachtn dit tgnwrkn. D vractuati in smmig fasn van d bwging zrgt rvr dat r krachtn ntstaan di lkaar tgnwrkn n dus in fit gn nut hbbn. Dit is zkr ht gval in d vrlapfas. Buitn d vijf actuatrn in d gwrichtn (nkls, kniën n hup), wrkt dan ng d actuatr in één vttip n in d tw cntactpuntn 130

140 hudn d grndractikrachtn d x- n y-psitis vast. Mn hft slchts acht vrijhidsgradn n dus is mn in dz situati tw maal vrgacturd (2 maal hyprstatisch). Ht is vral d x-cmpnnt van d grndractikracht di hir ht nrmal vrlp van d simulati kmt vrstrn. D rglcnstantn hbbn k n grt invld p ht al dan nit vastlpn van ht prgramma. Zij zulln r immrs vr zrgn dat d baan van d Mastr gd gvlgd wrdt. Ht is zr blangrijk dat ht mmnt van d vtlanding van d Slav vrnkmt mt dat van d Mastr (zkr nit vrgr). Immrs, indin dit nit ht gval is zulln d grndractikrachtn in d x-richting ht vlgn van d hkn van d Mastr vrhindrn. Enrgivrbruik van d Slav Uit d vrschillnd simulatis di gmaakt wrdn aan d hand van d stds vrdr ntwikkld trajctn, blk dat d pglgd bwging n grt invld hft p ht nrgivrbruik. Bij d rst simulatis lag ht nrgivrbruik rnd 550 J. Als mn d bwging stds aanpast m dichtr bij di van d mns t kmn, bkwam mn tnsltt n simulati waarin ht nrgivrbruik slchts 352 J bdrg. Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) arb_slav M a s u r Y Z X Tim Figuur 4.48: D arbid (in J) glvrd dr d Slav (Tijd in s). Opvallnd is d invld van ht trajct vr d x-psiti van d hil. Dit is k nigszins lgisch vrmits ht dit trajct is dat in grt mat d zwaaibwging van ht bn cntrlrt. Ht bn in d zwaaifas zu immrs bijna zndr actuati mtn kunnn functinrn (slingrbwging). Dankzij d vt kan d nkl tt n zkr hgt gbracht wrdn zdat p ht mmnt dat d tip d grnd vrlaat, ht bn n slingr- 131

141 bwging kan uitvrn. Ok kn mn vaststlln dat h dichtr w bij d mnslijk bwging kwamn, h klinr ht nrgivrbruik wrd. Opmrklijk is wl ht grt nrgivrbruik nt vr n tijdns d vrlapfas. En mglijk rzaak hirvan is d slcht uitwissling van kintisch n ptntiël nrgi tijdns d bwging. Immrs, d hupbwging is nit d nig di hir n rl splt, k d bwging van ht bvnbn n ht ndrbn zulln d kintisch nrgi van ht systm bïnvldn. Grndractikrachtn n kppls in d actuatrn D grndractikrachtn in d y-richting kmn gd vrn mt di van d mns. Mn mt hir wl d grndractikrachtn van d tip n d hil van dzlfd vt samnvgn. In d vrlapfas mt mn d grndractikrachtn van bid vtn samntlln vrmits zwl d n als d andr d ndig ndrstunnd kracht kan lvrn. Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hil_gnd_y_r FY hil_gnd_y_l FY tip_gnd_y_r FY tip_gnd_y_l FY GRF_y_sum F r c / T r q u M a s u r Y Y Z X Z X Tim Tim (a) D grndractikrachtn (in N) inwrknd p d tip n d hil (Tijd in s) (b) D sm van d vrtikal grndractikrachtn (in N) inwrknd p d Slav (Tijd in s) Figuur 4.49: D vrtikal grndractikrachtn van d Slav Ht vrlp van d kppls in d actuatrn is zr grillig (zi figuur 4.50). Mn kan r tch n aantal trnds in hrknnn. Z flucturt ht kppl in ht hupgwricht rnd n sinusïdal curv. Dit is k wat w vrwachtn vrmits d hup tlkns ht zwaaibn naar vr mt slingrn. Ht kppl in d nkl stijgt strk tt mr dan 200 N m nt vr d impactfas. Dit duidt aan dat d bwging nt vr impact nit z natuurlijk is 132

142 als vrhpt (k ht grillig vrlp van d kppls gft dit al aan). D maximal waardn van d kppls in d actuatrn liggn rnd d 100 N m, bhalv nt vr impact (ht kppl in d nkl stijgt dan strk). Dit is dus n stuk lagr dan bij ht mdl zndr vt. Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) trqu_hup TMag trq_nkl_l TMag trq_kni_l TMag F r c / T r q u Y Z X Tim Figuur 4.50: D kppls (in Nm) glvrd dr d actuatrn in d nkl, kni n hup (Tijd in s) Ht vrlp van ht kppl in d tipactuatr is ggvn in figuur 4.51(a). Uit ht vrlp van ht kppl glvrd dr d actuatr in d tip kan mn wl bsluitn dat r ng stds n kppl ndig is nt vr ht landn van d andr vt m t vrhindrn dat d hil t fl van d grnd kmt (zi figuur 4.51). Dz functi wrdt bij d mns vrvult dr d tnn. Wannr mn d lngt van d vt grtr zu nmn, zu dit kppl mindr grt mtn wrdn. Dit wrd dan k gdaan (l v = 0.24) n ht kppl vrklind indrdaad maar was ng stds aanwzig. D bwging zal dus k nigszins aangpast mtn wrdn zdanig dat mn d actuati in d vttip nit mr ndig hft. 133

143 X Pr/MECHANICA MOTION Rsults Pr/MECHANICA MOTION Rsults trq_tip_l TMag trq_tip_l TMag T 80 T 40 r q r q u u M a M a g 40 g Y Y Z Z X Tim Tim (a) l v = m (b) l v = 0.24 m Figuur 4.51: Ht kppl (in Nm) glvrd dr d tipactuatr (Tijd in s) 4.5 Vrglijking van ht mdl zndr vt n ht mdl zndr vt Na al dz simulatis kunnn w nu n vrglijking makn tussn ht mdl zndr vt n ht mdl mt vt. In d vrig hfdstukkn wrd aangtnd dat d vt ht schk-ffct bij ht nrkmn vrmindrt. Dit kunnn w in dz simulatis nit trugvindn vanwg d vl schkkn di rds in ht mdl mt vt aanwzig zijn wannr r slchts één vt p d grnd stunt (als mn vrgaat van d hil als stunpunt naar d tip). Wat btrft ht nrgivrbruik kunnn w d tw mdlln gd vrglijkn. Bij ht mdl zndr vt wrd r uitindlijk n mdl gvndn waarvan ht nrgivrbruik 408 J bdrg. Na vl aanpassingn p d bann van ht mdl mt n vt, wrdn r vrschillnd simulatis bkmn waarvan ht nrgivrbruik n stuk ndr 408 J lag, tt 352 J. Wl mt mn hirbij d pmrking makn dat mn nit zkr kan zijn dat r gn bwging bstaat vr ht mdl zndr vt waarvr ht nrgivrbruik ng lagr is dan 408 J. Intgndl, dit is waarschijnlijk wl ht gval, maar d rdnring gldt vngd vr ht mdl mt vt. Wannr mn d kppls di glvrd mtn wrdn in d vrschillnd actuatrn vrglijkt, mrkt mn dat d maximal kppls di ndig zijn m mt n vt t bwgn (100 N m) n stuk lagr liggn dan di vr ht mdl zndr vt (200 N m). 134

144 4.6 Opmrkingn Tijdns ht uitvrn van d vrschillnd simulatis, blk dat r p ht bgintijdstip n grt ngativ kracht wrd uitgvrd dr d hrizntal cmpnnt van d grndractikrachtn p d puntn di rds cntact maaktn mt d grnd. Vr d simulatis wrd, zals rds vrmld, htzlfd grndmdl gbruikt als in hfdstuk 2. Wanr mn kijkt naar d masur X impact ps, dan zit mn dat dz bpaald wrdt dr d vlgnd frmul: X impact ps = ps vt x bl y vt Dz masur bpaalt d psiti van d vt p ht mmnt van impact (in dz mdllring zijn d puntn di in cntact kmn mt d grnd d vttip n d hil). Op tijdstip nul zal d masur bl y vt nul zijn vr d puntn di rds d grnd rakn. Bijgvlg is k d masur X impact ps nul. Dit wil zggn dat d grndractikrachtn inwrkn p dz puntn alsf z in cntact zudn zijn gkmn mt d grnd p psiti nul. Dit is d rzaak van d grt ngativ kracht p ht bgintijdstip. D masur mt dus als vlgt aangpast wrdn: X impact ps = (ps vt x I ps vt x) bl y vt + I ps vt x waarbij I ps vt x d initiël psiti is van ht punt dat cntact maakt mt d vt. D rgling van d Slav is van grtr blang als aanvanklijk wrd gdacht. Immrs, r wrd gstld dat ht nit van ht grtst blang was dat d Slav d Mastr prfct zu vlgn mdat d bwging van d Mastr in fit k maar n kuz uit d zvln is. Mn kan dan gwn d bwging di d Slav maakt analysrn. Tch blk d rgling wl van grt blang t zijn. In d rst plaats is n gd rgling ndig m t vrmijdn dat d hil, d tip f d nkl d grnd nit p ht juist mmnt zu rakn. Dit lidt immrs vaak tt ht vastlpn van ht prgramma. En twd rdn is ht fit dat mn dr d gd rgling zkr is dat d bwging di d Slav maakt n gd bnadring is van d bwging di mn hft pglgd. Dit laat btr t m d invld van d trajctn p d kppls in d actuatrn n ht nrgivrbruik na t gaan. Om d rgling t vrbtrn wrdn d rglcnstantn vl grtr gmaakt zdat mn gn vrschil mr zag tussn ht pglgd trajct n ht gvlgd trajct (zi figuur 4.52). En btr manir m d rgling t vrbtrn bstaat rin K p n K d andr waardn t gvn vr ht gval ht bn in d stunfas is f in d zwaaifas. Immrs, zals in paragrafn n wrd brknd, vrschilln d traaghidsmmntn n dus k d vrhuding van d rglcnstantn m n kritisch dmping t bkmn (vr d nkl in ht mdl mt vt is dit zr pvallnd). Mrk p dat zlfs indin mn d traaghidsmmntn andrs kist vr ht stunbn n ht zwaaibn, dit in fit ng nit d juist traaghidsmmntn zijn. D traaghidsmmntn variërn immrs wannr mn zich bwgt. 135

145 Pr/MECHANICA MOTION Rsults (Graph Data Thinnd) hil_r Y S_hil_R Y P i n t P s i t i n Y Z X Tim Figuur 4.52: D trajctn vr d y-psitis (in m) van d hil van d mastr n d Slav (Tijd in s). Om n bwging t vindn di nrgtisch gunstig is, zijn w uitggaan van d bwging van d mns. Dit mdat ht nit mglijk is m via Mchanica Mtin n ptimalisati uit t vrn p d bwging. Dit hft als gvlg dat mn nit kan uitsluitn dat r ng btr bwgingn bstaan. Ht vrglijkn van d prstatis van ht mdl zndr vt n ht mdl mt vt is nit gmakklijk vrmits z swis nit p éénzlfd manir kunnn bwgn. Mn kan d mchanismn dus nit vrglijking in h fficiënt z n bpaald pglgd bwging uitvrn vrmits z nit dzlfd bwging kunnn uitvrn. Hir hbbn w dan als vrwaard gnmn dat ht mchanism n wlbpaald hupmassa in n wlbpaald tijd vr n wlbpaald afstand mt vrplaatsn. 4.7 Bsluit In dit hfdstuk wrd n mdllring in Mchanica Mtin gmaakt van n stapbwging vr n mdl zndr vt n n mdl mt vt. Zwl vr ht mdl zndr vt als vr ht mdl mt vt wrd d bwging, di pglgd wrd aan d Mastr, ggnrrd via plynmn. Op di manir bkwamn w vr bid mdlln bwgingn di als natuurlijk aanschuwd wrdn. Z wrd bij ht mdl mt vt gstrfd naar ht z gd mglijk bnadrn van d mnslijk bwging. Ht rsultaat daaarvan is t zin in figurn 4.43, 4.44, 4.45, 4.46 n

146 Bij ht wijzign van d trajctn van ht mdl zndr vt stld mn vast dat d invld van ht trajct vr d x-psiti van d nkl van grt blang is. Dit splt n blangrijk rl in ht vlgn van d natuurlijk slingrbwging van ht bn. Bij ht mdl mt vt blk dat wannr d bwging dichtr bij di van d mns kwam, ht nrgivrbruik daald. Uitindlijk wrd n simulati bkmn waarbij ht nrgivrbruik van d Slav 352 J bdrg. Bij ht mdl zndr vt was ht minimal nrgivrbruik 408 J. Ok d kppls in d actuatrn van bid mdlln wrdn vrglkn. Bij ht mdl zndr vt lagn d maximal waardn n stuk hgr dan bij ht mdl mt vt (200 N m tn pzicht van 100 N m). 137

147 Hfdstuk 5 Cnclusis Uit d litratuurstudi kndn d vrnaamst functis van d vt ghaald wrdn. Dz zijn: ndrstuning van ht lichaam, hfbmwrking bij tnn-ls n schkabsrpti bij hilcntact. Hiruit vlgn tw schijnbaar tgnstrijdig isn p d ignschappn van d vt. Om d schk bij hilcntact t kunnn pvangn, mt d vt spl zijn n andrzijds mt hij star gng zijn m n stabil basis t vrmn m ht lichaam t ndrstunn n als starr hfbm t kunnn wrkn bij ind cntact. D vrnaamst mchanismn di rvr zrgn dat d vt aan d bvnvrmld isn vldt, zijn: d prnati/supinati bwging, ht structurl gwlf in d vt n d mtatarsal brak. Uit d mdllring van d val- n pvrbwging in ht twd hfdstuk vlgd dat n mdl mt vt vl hgr trugvrt dan n mdl zndr vt (ruim 96% tn pzicht van 80%). D vt zal dus n grt invld hbbn p d vrlizn bij impact. Ht nrgivrlis van ht mdl mt vt wrdt gminimalisrd dr di cnfigurati waarbij d hil d grnd nt nit raakt. D massa n ht traaghidsmmnt van d vt zijn bst z klin mglijk n ht massamiddlpunt mt z dicht mglijk bij d nkl liggn. D impactfas wrd k p thrtisch manir ganalysrd. Uit d schkvrglijkingn blk dat d vt ht vrlis aan kintisch nrgi tijdns d impact strk rducrt. Zals bij d mdllring in Mchanica Mtin mrktn w k hir dat ht nrgivrlis tijdns impact strk afhanklijk is van d cnfigurati van ht mchanism (d hkn tussn d vrschillnd gldingn). Tt slt wrd r n stapbwging gmdllrd in Mchanica Mtin. D trajctn van vrschillnd puntn van ht mdl mt vt wrdn vrgstld dr plynmn, dwlk z gkzn wrdn dat mn n stapbwging bkmt di gd lijkt p di van d mns. Bij ht mdl zndr vt wrd n stapbwging bkmn waarbij 408 J aan arbid glvrd wrd trwijl bij ht mdl mt vt mn tt n minimaal nrgivrbruik van 352 J kwam. 138

148 Ht bijvgn van n vt laat dus t n nrgtisch gunstigr bwging t makn. Dit is k wat w vrwachtn. Immrs, dr ht bijvgn van n vt crërt mn n mchanism mt tw xtra vrijhidsgradn. Dankzij dz vrijhidsgradn hft mn n grtr kuz in d bwging di gmaakt wrdt. Bijgvlg kan mn dz vrijhidsgradn gbruikn m n baan t bschrijvn di mindr nrgi vrbruikt. Ht mnslijk stappn is daar n mi vrbld van n daarm wrd gpgd dz bwging na t btsn. Vrmits ht mdl twdimnsinaal is, kan ht chtr nit xact bwgn zals d mns. In n vlgnd fas kan mn ht pstlln van d trajctn z latn gburn dat mn ht nrgivrbruik minimalisrt. Hir mst dz ptimalisati immrs p n intuïtiv wijz gburn mt als nig huvast d mnslijk stapcyclus. Ht trajct dat ns ht minimaal nrgivrbruik gaf, kan zkr ng vrbtrd wrdn. W mrktn immrs p dat nt vóór impact ht nrgivrbruik zr hg is, wat rp wijst dat d pglgd baan gn gd uitwissling van ptntiël n kintisch nrgi bwrkstlligt. Ok ht nrgivrbruik in d hup is grt. Dit kan ng grducrd wrdn dr d zwaaifas van ht bn natuurlijkr t latn vrlpn. D kppls di ndig zijn m d bwging bij ht mdl mt vt t vrwznlijkn, zijn n stuk lagr dan di vr ht mdl zndr vt (bv. vr d kni 100 N m max tgnvr 200 N m max). Dankzij d hfbmwrking van d vt wrdt d zwaaifas van ht bn vl btr inglid. Er wrd rds aanghaald dat ht tvgn van tw vtn zrgt vr tw xtra vrijhidsgradn. Ht mchanism mt vt is bijgvlg hl andrs van aard dan dat zndr vt. Dit maakt ht zr milijk n vrglijkingsbasis vr dz mchanismn t vindn. Vr d ééndimnsinal springr stld dit prblm zich rds. D initiël hgt van d mdlln zal immrs strk ht nrgivrlis bij impact bïnvldn. Hir wrd gkzn m d initiël hgt van ht massamiddlpunt glijk t nmn in bid mdlln mdat z dan kunnn vrglkn wrdn in h z n bpaald massa p n bpaald hgt (= n bpaald ptntiël nrgi) ht bst dr n val- n pvrbwging hlpn. Mn zu chtr k kunnn stlln dat d initiël hgt van ht ndrst punt glijk gnmn mt wrdn zdat d kintisch nrgi bij impact dzlfd is. Vr d stapbwging wrdt d vrglijking ng vl milijkr vrmits d bwging van d tw mchanismn ttaal vrschillnd is. Vr d vt wrd tt nu t n zr nvudig mdl gnmn (één glid). In n latr fas kan mn k d invld nagaan van d vrm van d vt (n drihkig vrm sluit btr aan bij d mnslijk vt). Ok d invld van ht bijvgn van tnn kan ng naggaan wrdn. 139

149 Wrdnlijst abducti van t lichaam af (naar buitn trkkn) (zi Fig. 1.5) achtrvt sprng- n hilbn adducti naar ht lichaam t (aantrkkn) (zi Fig. 1.5) calcancubid gwricht gwricht tussn d calcanus n ht trlingbntj (zi Fig. 1.9) calcanus hilbn (zi Fig. 1.1) cp Cntr Of Prssur, ht middlpunt van d druk p d vtzl in d stunfas. cubid trlingbntj (zi Fig. 1.1) cunifrm wigvrmig bntj (zi Fig. 1.1) distaal vrdr van d rmp vrwijdrd liggnd drsaal rugwaarts vrsi bwging rnd d lngitudinal as (zi Fig. 1.4) xtnsi strkking (zi Fig. 1.3) falangs tnktjs (zi Fig. 1.1) fmur bvnbn (zi Fig. 1.1) fibula kuitbn (zi Fig. 1.1) flxi buiging (zi Fig. 1.3) frntaal vlak vlak dat ht lichaam in n vrst n achtrst hlft dlt (zi Fig.1.2) hallux ktj van d dikk tn (zi Fig. 1.1) intrfalangaal gwricht gwricht tussn tnktjs invrsi bwging rnd d lngitudinal as (zi Fig. 1.4) kni valgus d kniën staan dichtr bij lkaar wat lidt tt n smallr stunbasis (zi Fig. 1.28). krt plantair bandn ligamntn di d vtbg ndrstunn (zi Fig. 1.13) latraal van ht middn af, van ht mdian vlak af ligamnt plantar lngum ligamnt dat d vtbg ndrstunt (zi Fig. 1.13) lngitudinal as as ldrcht p ht frntaal vlak, in d richting van d vrtbwging mdiaal naar ht middn t, naar ht mdian vlak t 140

150 mdian vlak dlt ht lichaam in tw bijna glijk hlftn, antimrn (k symmtrivlak f mdiaansagittaal vlak gnaamd). mtatarsaal middnvtsbntj (zi Fig. 1.1) mtatarsal brak (zi Fig. 1.12) gwricht tussn n middnvtsbntj n n prxi- mtatarsfalangaal gwricht maal ktj (zi Fig. 1.12(a)) middlvt cunifrm) d lijn di d vir latral mtatarsfalangal gwrichtjs vrbindt d vtwrtl-bndrn buitn ht sprng- n hilbn (cubid, navicular, navicular schpvrmig bntj (zi Fig. 1.1) plvic list rtati van d hup rnd d lngitudinal as waardr afwisslnd d linkrn rchtrhlft hgr kmt t liggn (zi Fig. 1.24) plvis hup (zi Fig. 1.1) plantair in f naar d vtzl t plantair apnurs apnursis plantaris, ligamnt dat lpt van d calcanus tt vbij d mtatarsal kpjs (zi Fig. 1.17) prnati bwging in d vt di bstaat uit abducti, vrsi n drsaalflxi van d calcanus tn pzicht van d talus prximaal sagittaal vlak naar d bvstiging van d ldmatn aan d rmp t dlt ht lichaam in n linkr- n rchtrhlft (zi Fig.1.2) spring ligamnt ligamnt calcannavicular plantar, ligamnt dat d vtbg ndrstunt (zi Fig. 1.13) stunfas fas in d wandl- f lpcyclus waarin d vt p d grnd stunt (zi Fig n 1.33) strik-indx d afstand van ht punt in d vtzl waarp mn landt tt d hil in vrhuding tt d vtlngt uitgdrukt in prcnt (zi Fig. 1.39). subtalair gwricht gwricht tussn d talus n d calcanus (zi Fig. 1.7) supinati bwging in d vt di bstaat uit adducti, invrsi n plantairflxi van d calcanus tn pzicht van d talus talnaviculair gwricht 1.9) gwricht tussn d talus n ht schpvrmig bntj (zi Fig. talus ktbn (k wl sprngbn gnmd) (zi Fig. 1.1) tarsmtatarsaal gwricht gwrichtslijn van Lisfranc, vrbindt d middnvtsbntjs mt ht trlingbntj n d wigvrmig bntjs (zi Fig. 1.11) tibia schnbn (zi Fig. 1.1) transvrsaal tarsaal gwricht gwrichtslijn van Chpart, vrmt d schiding tussn achtr- n middnvt. (zi Fig. 1.9) transvrsaal vlak vrtikal as dlt ht lichaam p in n ndrst n bvnst gdlt (zi Fig.1.2) as ldrcht p ht transvrsaal vlak 141

151 vrvt middlvtsbndrn n tnktjs zwaaifas fas in d wandl- f lpcyclus waarin d vt in kwsti d grnd nit raakt trwijl d andr wl p d grnd stunt (zi Fig n 1.33) zwffas fas in d lpcyclus waarin bid vtn van d grnd zijn (zi Fig. 1.33) 142

152 Bibligrafi [1] Jssica Rs, Jams G. Gambl. Human walking. Williams & Wilkins, Scnd Editin [2] Svn Carlsöö. Hw Man Mvs, [3] Arthur Stndlr. Kinsilgy. [4] Mark D. Grabinr. Currnt issus in bimchanics. Human Kintics Publishr, [5] Vladimir Mdvd. Masurmnt f human lcmtin. Bimdical Engnring, [6] Cynthia C. Nrkin, Pamla K. Lvangi. Jint structur and functin: A cmprhnsiv analys. F. A. Davis Cmpany, [7] Susan J. Hall. Basic bimchanics. Mc Graw-Hill, [8] Trvr Wstn. Atlas van d anatmi, Rb prductins, [9] Ptr R. Cavanagh. Th running sh bk. Andrsn Wrld, Inc., [10] Rbrt P. Mack. Th ft and lg in running sprts. Th C.V. Msby Cmpany, 1980 [11] Carl W. Chan, Andrw Rudins. Ft bimchanics during walking and running. May Clin Prc., vl 69, pp , [12] Michal W. Whittl. Gait analysis an intrductin. Buttrwrth-Hinmann, Oxfrd, [13] Ewald M. Hnnig, Thmas L. Milani. In-sh prssur distributin fr running in varius typs f ftwar. J. applid Bimchanics, vl 11, pp , [14] Ptr R. Cavanagh, Mari A. Lafrtun. Grund ractin frcs in distanc running. Vrgamn Prss Ltd., J. Bimchanics, vl 13, pp , [15] Drsy S. Williams, Irn S. McClay, Jsph Hamill, Thmas S. Buchaman. Lwr xtrmity kinmatic and kintic diffrncs in runnrs with high and lw archs. Human Kintics Publishrs, J. applid Bimchanics, vl 17, pp , [16] David A. Wintr. Bimchanics and mtr cntrl f human mvmnt. Jhn Wily & Sns, Inc.,

153 [17] David A. Wintr. Bimchanics and mtr cntrl f human mvmnt: Nrmal, Eldrly and Pathlgical [18] H; L. Du Vris. Surgry f th ft. 3rd d., Msby, St. Luis, [19] Dnald Nal. Vl vrkmnd vtklachtn. D tijdstrm, [20] Eric A. Fullr. Th windlass mchanism f th ft. J. Amrican Pdiatric Mdical Assciatin, vl. 90, nr. 1, pp 35-46, jan [21] Jsph Hamill, Kathln M. Knutzn. Bimchanical basis f human mvmnt. William & Wilkins, [22] W. Kahl, H. Lnhardt, W. Platzr. Ssam Atlas van d anatmi. Dl I : Bwgingsapparaat. Uitgvrij Wstland nv, Schtn, 13 druk, [23] Tm Fabri. Afstudrwrk : Ontwrp, ralisati n studi van n springnd pt mt n vrijhidsgraad gacturd dr n paar gvuwn balgactuatrn. Vrij Univrsitit Brussl, [24] Grald L. Gttlib, Gyan C. Agarwal. Dpndnc f human ankl cmplianc n jint angl, J. Bimchanics Vl. 11 pp , Prgamn Prss Ltd [25] R. McNill Alxandr. Walking and running. Amrican Scintist, vlum 72, pp [26] R. McNill Alxandr. Mchanics f bipdal lcmtin. Prcdings 50th annivrsary mting f th scity fr xprimntal bilgy: prspctivs in xprimntal bilgy (Vlum 1: zlgy), Prgamn Prss, pp [27] Faignt E. S. L., D Man H., Lfbr D., Influnc f Gait Paramtrs n th Dynamics f Bipdal Running. Prcdings f 3rd Natinal Cngrss n Thrtical and Applid Mchanics, Lièg, pp , [28] J. Vrmuln, B. Vrrlst, D. Lfbr. A cntrl stratgy fr a dynamic walking bipd with articulatd lgs. accptd fr prsntatin at CLAWAR 2003, Catania, Italy, sptmbr

154 Bijlag A Implmntati springmchanism in Mchanica Mtin A.1 Bpaling traaghidsmmnt n massamiddlpunt van d tw gldingn van ht mdl zndr vt D tchnisch tkningn van d gldingn van ht mdl in ht lab zijn t vindn in figurn A.1(a) n A.2(a)). Om d brkningn nit t ingwikkld t makn, wrdt r rst n vrnvudigd mdl van ht bvn- n ndrbn pgstld (zi Fig. A.1(b) n A.2(b)). Ht vrnvudigd mdl van ht bvnbn laat t ht traaghidsmmnt IG zz b p nvudig wijz t brknn. Ht mdl kan mn pdln in dri dln mt vlgnd afmtingn: dl 1 : 400 mm p 20 mm (langwrpig dl) dl 2 : 32 mm p 24 mm (één van d tw zijstukkn) dl 3 : 32 mm p 24 mm (ht andr zijstuk) Ht rfrnti-assnstlsl is gtknd p figuur A.1(b). D cördinatn van ht massamiddlpunt van d structuur wrdn in dit assnstlsl : zdat { GX = 0 mm G Y = 24 (20 400) (32 24) (38+ 2 ) (32 24) = 175, 839 mm G b = (0; 175, 839)(in mm) Ht traaghidsmmnt van ht bvnbn wrdt brknd dr d traaghidsmmntn van d vrschillnd dln bij lkaar p t tlln. Ht traaghidsmmnt van één dl 145

155 (a) (b) Figuur A.1: (a) Tkning van ht bvnbn gbruikt in d thsis van Tm Fabri. (b) Vrnvudiging van ht bvnbn m gmakklijk ht traaghidsmmnt t kunnn brknn. wrdt brknd mt bhulp van d frmul van Stinr: I Z = I Z + m d 2. Vrmits mn hir mt rchthkn wrkt, wrdt I Z als vlgt brknd: I Z = m(a2 + b 2 ), 12 waar a n b d zijdn van d rchthk zijn (m is d massa van ht dl n vlgt uit d frmul m = ρat). 146

156 Dit gft: ( ) I Z1 = m ( ) I Z2 = I z3 = m = m , 67 mm 2 = m 2 133, 33 mm 2 Mt Stinr krijgt mn: { I Z 1 = 13366, 67 m 1 + ( , 839) 2 m 1 = m , 42 mm 2 I Z 2 = 133, 33 m 2 + ((175, ) ) m 2 = m , 77 mm 2 D massa s van d gldingn wrdn als vlgt brknd: m = ρat, waar d dikt t = 24 mm n ρ = 2700 kg m 3 (dichthid vr aluminium). pprvlakt van d rchthk. Dit gft vr d vrschillnd dln: A is d m 1 = mm 2 24 mm 2700 kg/m 3 = 0, 5184 kg m 2 = mm 2 24 mm 2700 kg/m 3 = 0, kg Ht ttaal traaghidsmmnt wrdt dus: I Z = I Z 1 + 2I Z 2 = (0, , , , 77) kg mm 2 = 8888, 6 kg mm 2 = 0, kg m 2 Na afrnding bkmn w d waardn di in MM gbruikt zulln wrdn: n G b = (0, 175) (in mm) I zz G b = 0, kg mm Ok vr ht ndrbn wrdt n vrnvudigd schts gmaakt (zi figuur A.2(b)). Dz is als vlgt pgstld: Mn rducrt ht ndrbn tt tw rchthkn, namlijk n langwrpig n n schuinliggnd rchthk. D twd ligt ndr n hk van 142 gradn gdraaid tn pzicht van d langwrpig. D rchthkn zijn z gcnstrurd dat z vrnkmn mt d riginl tkning als mn daar all afrndingn wglaat. D rchthkn krijgn z d vlgnd afmtingn: Rchthk 1 : 370,566 mm p 20 mm Rchthk 2 : 95,025 mm p 35 mm 147

157 (a) (b) Figuur A.2: (a) Tkning van ht ndrbn gbruikt in d thsis van Tm Fabri. (b) Vrnvudiging van ht ndrbn m gmakklijk ht traaghidsmmnt t kunnn brknn. D massamiddlpuntn van d rchthkn haalt mn uit d figuur: { G 1X = 0 G 1Y = 370,566 2 = 185, 283 mm { G2X = (( 74, , 72) 27,58 2 tan(48)) = 5, 95 mm G 2Y = 370, cs(38) + 5, 95 tan(38) = 397, 422 mm Hiruit vlgt ht massamiddlpunt van ht ndrbn: { 5,95 (35 95,025) GX = , ,025 = 1, 843 mm G Y = (20 370,566) 185,283+(35 95,025) 397, , ,025 = 250, 994 mm 148

Geachte mevrouw/heer,

Geachte mevrouw/heer, Klant, Markt & Rlatis Blastingn Postbus 94127, 1090 GC Amstrdam Ondrwrp Tolichting kwijtschldingsformulir Gacht mvrouw/hr, Tam Inning & Invordring Doorkisnummr 020 608 21 99 U hft n kwijtschldingsformulir

Nadere informatie

Wat anderen zeggen over Hoe LinkedIn nu ECHT gebruiken

Wat anderen zeggen over Hoe LinkedIn nu ECHT gebruiken Wat anderen zeggen ver He LinkedIn nu ECHT gebruiken Eindelijk iemand die uitlegt waarm LinkedIn nuttig is. Als een typische Gen X er begn ik gefrustreerd te wrden wanneer ik meer en meer mensen hrde praten

Nadere informatie

Wmo-klanttevredenheidsonderzoek gemeente Losser

Wmo-klanttevredenheidsonderzoek gemeente Losser Wm-klanttevredenheidsnderzek gemeente Lsser De Wm dr de bril van de aanvrager Augustus 2010 Clfn Uitgave I&O Research BV Statinsplein 11 Pstbus 563, 7500 AN Enschede tel. (053) 4825000 Rapprtnummer 2010/

Nadere informatie

Kalender 2014-2015. Zo 5 april F.Z. Zo 12 april Halve Zo 19 april Halve + TAARTSLAG!! Zo 26 april Hele

Kalender 2014-2015. Zo 5 april F.Z. Zo 12 april Halve Zo 19 april Halve + TAARTSLAG!! Zo 26 april Hele Kalender 2014-2015 Zo 5 okt Halve (10u-13u) Zo 3 mei Hele Zo 12 okt F.Z. (familiale zondag) Zo 10 mei Halve Vr 17 okt DAG vd JEUGDBEWEGING Zo 17 mei Halve Zo 19 okt Halve Vr 22 mei KAMPINFOAVOND! Uniformenbank

Nadere informatie

FIETS-GEN studie Eindrapport

FIETS-GEN studie Eindrapport FIETS-GEN studie Eindrapprt 20 nvember 2012 Inhud Samenvatting... 1 1 Planprces en cnsultatierndes... 3 2 Uitgangspunten en Kwaliteitseisen fiets-gen... 6 2.1 Lange fietsverplaatsingen mgelijk maken...

Nadere informatie

REGENWATERWINNING EN -GEBRUIK

REGENWATERWINNING EN -GEBRUIK - - REGENWATERWINNING EN -GEBRUIK De uitvering van een systeem vr de pvang, de pslag en de distributie van regenwater vr beheften die geen drinkwaterkwaliteit vereisen (spreien van de tuin, schnmaak, spelwater

Nadere informatie

ZODAT WE NIEMAND VERGETEN!

ZODAT WE NIEMAND VERGETEN! ZODAT WE NIEMAND VERGETEN! In pdracht van het PlatfrmGGz dr haar werkgrep Langdurige zrg PERSPECTIEF VAN MENSEN IN DE LANGDURIGE VERBLIJFSZORG Visie p kwaliteit van langdurige geestelijke gezndheidszrg

Nadere informatie

DE LETTER EN DE GEEST

DE LETTER EN DE GEEST DE LETTER EN DE GEEST Adviezen vr versterking van de bestuurskracht in het vrtgezet nderwijs Eindrapprt Cmmissie Ged Onderwijsbestuur VO September 2014 INHOUD 1. INLEIDING... 3 1.1 Ged bestuur in het vrtgezet

Nadere informatie

- Overeenkomst op afstand: art. 2,21 WMPC

- Overeenkomst op afstand: art. 2,21 WMPC I. CONSUMENTENRECHT: OVEREENKOMSTEN OP AFSTAND = vereenkmsten waarbij de partijen zich vrafgaand aan en bij het sluiten van de vereenkmst niet in elkaars aanwezigheid bevinden. Schema Drie categrieën 1.

Nadere informatie

Gedragscode Goed Zorgverzekeraarschap. Bijlage - ZN-11-102

Gedragscode Goed Zorgverzekeraarschap. Bijlage - ZN-11-102 Gedragscde Ged Zrgverzekeraarschap Bijlage - ZN-11-102 Inhudspgave Pag. Vrwrd 3 Deel 1 Cde Ged Zrgverzekeraarschap 4 1.1 Inleiding 4 1.1.1 Verantwrdelijkheden van de zrgverzekeraar 4 1.1.2 Basiswaarden

Nadere informatie

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Inhoudsopgave Vectoren en meetkunde 1 Vectoren 1 2 Vectoren in een assenstelsel 7 3 Vlakken en lijnen in de ruimte 13 4 Rekenen in de ruimte 17 5 De cosinusregel 27

Nadere informatie

WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN

WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN DOOR LEDEN VAN MET WISKUNDIG GENOOTSCMAP TER SPREUKE VOERENDE LEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TB BOVEN Ia~~;o_ IO~~4 NEGENTIENDE DEEL BOEKBINDERrJ K I ~ V I T ST

Nadere informatie

Vergadertips voor bestuursvergaderingen: Vergader goed maar met mate

Vergadertips voor bestuursvergaderingen: Vergader goed maar met mate Vergadertips vr bestuursvergaderingen: Vergader ged maar met mate In de milieusectr wrdt er heel wat afvergaderd. Meer dan de helft van de werktijd kruipt in vergaderingen, waardr er minder tijd ver blijft

Nadere informatie

STEMMINGEN, SPECIAAL BIJ TOETSINSTRUMENTEN

STEMMINGEN, SPECIAAL BIJ TOETSINSTRUMENTEN STEMMINGEN, SPECIAAL BIJ TOETSINSTRUMENTEN Dr. J vn Bizn stihtin ntrum voor krkzn Woor voor In jrn zvnti vn vori uw shr Jn vn Bizn n hnzm rohur ovr stmminn, spil ij totsinstrumntn. Hirin wr n ntl stmminn

Nadere informatie

Hinder door geluid van windturbines

Hinder door geluid van windturbines TNO-rapprt 2008-D-R1051/B Dsis-effectrelaties p basis van Nederlandse en Zweedse gegevens Milieu en Leefmgeving Van Murik Brekmanweg 6 Pstbus 49 2600 AA Delft www.tn.nl T +31 15 269 68 02 F +31 15 276

Nadere informatie

TE-M80. Electronisch Kassaregister. Gebruiksaanwijzing

TE-M80. Electronisch Kassaregister. Gebruiksaanwijzing TE-M80 Electrnisch Kassaregister TE-M80-S TE-M80-M Gebruiksaanwijzing De pstart is SEL en SIMPEL! Eenvudig in het gebruik! 15 departementen Autmatische BTW-berekeningen Rekentestel ILEIDIG Hartelijk dank

Nadere informatie

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A 2 jan dezider kees koomen-majernik Fundamentele vergelijkingen De Schrödingervergelijking:

Nadere informatie

Europa 2020 moet ook sociaal en ecologisch

Europa 2020 moet ook sociaal en ecologisch Eurpa 2020 met k sciaal en eclgisch In april met België aan Eurpa een natinaal hervrmingsprgramma vrleggen in het kader van de nieuwe Eurpese middellangetermijnstrategie Eurpa 2020. Dat met in het bijznder

Nadere informatie

"Wie geen dromen heeft, heeft evenmin een werkelijkheid"

Wie geen dromen heeft, heeft evenmin een werkelijkheid "Wie geen drmen heeft, heeft evenmin een werkelijkheid" van uit die filsfie zijn wij enkele jaren geleden begnnen met het verkennen van de mgelijkheid vr het rganiseren van een hardlp Marathn, (42 km en

Nadere informatie

UITDAGING 1: Liliane moet blijven zitten

UITDAGING 1: Liliane moet blijven zitten Dit werkblaadje is van... UITDAGING 1: Liliane moet blijven zitten Wist je dat vele Burundese kinderen een lange tijd naar school gingen in Tanzania, een buurland van Burundi. Door oorlog en geweld vluchtten

Nadere informatie

TIPS BIJ HET VOORBEREIDEN EN AFLEGGEN VAN EEN TOETS / EXAMEN WISKUNDE

TIPS BIJ HET VOORBEREIDEN EN AFLEGGEN VAN EEN TOETS / EXAMEN WISKUNDE TIPS BIJ HET VOORBEREIDEN EN AFLEGGEN VAN EEN TOETS / EXAMEN WISKUNDE HOE BEREID IK ME HET BEST VOOR? Kijk na f je alles hebt m te studeren. Laat niks in je kluisje liggen! Cntrleer f je ntities vlledig

Nadere informatie

3 Rekenen aan lijnen

3 Rekenen aan lijnen 3 Rekenen aan lijnen Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten lok Lijnen, richtingen en waaiers van ad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (015) wiskunde vwo. pgaven met dit merkteken

Nadere informatie

1. Opmerking vooraf. 2. Omtrent de noodzakelijkheid van een MER-VR-reglement. 3. Omtrent het voorliggend ontwerp van MER-VR-reglement

1. Opmerking vooraf. 2. Omtrent de noodzakelijkheid van een MER-VR-reglement. 3. Omtrent het voorliggend ontwerp van MER-VR-reglement ADVIES VLAAMSE COMMISSIE VOOR RUIMTELIJKE ORDENING Advies inzake het ntwerp van besluit van de Vlaamse regering tt vaststelling van het Vlaams reglement inzake milieueffect- en veiligheidsrapprtage Ingevlge

Nadere informatie

Kan een patiënt prijsbewust kiezen in het ziekenhuis?

Kan een patiënt prijsbewust kiezen in het ziekenhuis? 1. Inleiding Onderzeksrapprt Kan een patiënt prijsbewust kiezen in het ziekenhuis? Via verschillende signalen van haar leden ndervindt CM dat patiënten meilijkheden hebben m prijsbewuste keuzes te maken

Nadere informatie

Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut De Bilt

Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut De Bilt Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut De Bilt Klimaat van Nederland CA. Velds Zonnestraling in Nederland met medewerking van: P.C.T. van der Hoeven J.M. Koopstra W.R. Raaff W.H. Slob THIEMEBAARN

Nadere informatie

Aanwezig: Pepijn, Thibaut, Reinout, Sebastian, Mike, Sofie, Rilana, Wietse Sophie, Ulrike, Janita, Kato, Yigit, Maarten

Aanwezig: Pepijn, Thibaut, Reinout, Sebastian, Mike, Sofie, Rilana, Wietse Sophie, Ulrike, Janita, Kato, Yigit, Maarten Beperkte hmeraadvergadering _: 02/03/2015 Aanwezig: Pepijn, Thibaut, Reinut, Sebastian, Mike, Sfie, Rilana, Wietse Sphie, Ulrike, Janita, Kat, Yigit, Maarten Afwezig: Alexandra Geëxcuseerd: Dimitri, Marie,

Nadere informatie

CFD-studie van rookbeweging bij brand in atria - Interpretatie en correct gebruik van resultaten uit schaalmodellen

CFD-studie van rookbeweging bij brand in atria - Interpretatie en correct gebruik van resultaten uit schaalmodellen CFD-studie van rookbeweging bij brand in atria - Interpretatie en correct gebruik van resultaten uit schaalmodellen Sophie Van de Vel Promotor: prof. dr. ir. Bart Merci Begeleiders: Nele Tilley, Pieter

Nadere informatie

G. Driessen J. Doesborgh. De feminisering van het basisonderwijs

G. Driessen J. Doesborgh. De feminisering van het basisonderwijs G. Driessen J. Doesborgh De feminisering van het basisonderwijs DE FEMINISERING VAN HET BASISONDERWIJS ii De feminisering van het basisonderwijs Effecten van het geslacht van de leerkrachten op de prestaties,

Nadere informatie

Wat is een Balanced ScoreCard?

Wat is een Balanced ScoreCard? Wat is een Balanced ScreCard? De Balanced Screcard (BSC) is een mdel waarmee de prestaties van een rganisatie, een team enzvrts p een evenwichtige manier kunnen wrden berdeeld. Meten staat daarbij centraal.

Nadere informatie

Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg? De invloed van vertrouwen en samenwerking op de organisaties binnen het Centrum voor Jeugd en Gezin.

Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg? De invloed van vertrouwen en samenwerking op de organisaties binnen het Centrum voor Jeugd en Gezin. Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg? De invloed van vertrouwen en samenwerking op de organisaties binnen het Centrum voor Jeugd en Gezin. Auteur: Eva Geesing 2 Het CJG, de oplossing voor de jeugdzorg?

Nadere informatie