WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN"

Transcriptie

1 WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN DOOR LEDEN VAN MET WISKUNDIG GENOOTSCMAP TER SPREUKE VOERENDE LEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TB BOVEN Ia~~;o_ IO~~4 NEGENTIENDE DEEL

2 BOEKBINDERrJ K I ~ V I T ST R.15 TELEF HENGEL.C Di Be volgende vroeger versehenen uitgaven van het Cenootschap zijn tegen de daaxbij aangegeven prijzen te ontbieden bij den uitgever P. Noordhoff te Croningen of bij den secretaris Dr..1. P. van R.ooyen, Amsterdam, p/a Heerengracht 475 bij wien men zich ook ala lid kan opgeven ) en bij wien men ldachten kan inbrengen over eventueele onregelmatigheden in de toezending der uitgaven: Feestgave van het Wiskundig Cenootsehap ter gelegenheid van zijn honderdjarig bestaan, bevattende de herdruk van twee zeldzame, mark waardige Hoflandsche werken: Cone onderriclitinghe dienende tot hat maecken van de recluctien van de jaercustingen tot gereedd penningen (1598) en Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten, ge teekend Johan cia Win, 1871 in den handel 1 6,3*... voor do leden 13,15. Register naar cone wetenschappelijke verdeeling op de waken van hot Wiskundig Genootachap, Amsterdam, 1885 in den handel 13, voor de loden 11,55. Register op do Wiskundige Opgaven uitgegeven door het Wiskundig Genootschap gedurende het tijdsverloop Amsterdam 1911 in den handel voor do loden 13,15. Systematisehe Catalogus van de boekerij van het Wiskundig Genoot schap, tevens bevattende de wiskundige waken, toebehoorende aan de Universiteitsbjbliotheejc der Cemeente Amsterdam, uitgave 197, geb. 16,3. Nieuw Archief voor Wiskunde, aerate reeks, twintig deelen, tweede reeks, een en twintig deelen. in den handel f 8,4.... voor de leden 14,2. Wlskundlge Opgaven met de oplossingen, nieuwe reeks, per deel in de handel 16,3.... veer de leden 13,15. Revue semestrielle des publications mathématiques, per dccl van elk twee stu]dcen a f 6,3 ea bij overcomplete stuicken per stuk f 3,15. Tables des matleres des volumes I V /5,25. VI X /5,25 XI XV /5,25. XVI XX /5,25. XXI XXV 1 5,25. 9 Be jaarlljkse contributte bedraagt 17,5 (entree f 1,). Voor bijzonderheden aver do werkzaamheden van hot Genoatachap worth men verwezen naar Dr. M. TEN RAAFTEN. Ret Wiskundig Genootsohap, z~n ondste geschledenjs, $jn werkzaamheden en ZUn betcekenis nor bet verkeerawezen, P. Noordhoff, Gtonlngen Prija 1 2,g. De opbrengst streict ten bate van het Genootsohap.

3 WISKUNDIGE OPGA VEN. DEEL XIX. Vraagstuk I. Bepaal de onderste grens van 3 ff(x) dx, als f(x) aile mogelijke functies doorloopt, die in het interval ;;;;;; x ;;;;;; 3 positief en 3 keer continu differentieerbaar zijn, terwijl I /"'(x) I < 6, f(o) = 14, f'(o) = 14, f"(o) = 4. De functie (Mevr. Dr. T. van Aardenne-Ehrenfest). p 1 o s sin g. ) {xa + 2x2-14x + 14 voor ;;;;;; x ;;;;;; 1 tp(x = - (x 2)3 2(x 2) 2 voor I ;;;;;; x ;;;;;; 3 is in het interval ;;;;;; x ;;;;;; 3 niet negatief en 2 keer continu differentieerbaar, terwijl "'(x) = {+ 6 voor ;;;;;; x < 1 'P - 6 voor l < x ;;;;;; 3, tp(o) 14, tp'(o) - 14, tp"(o) = 4. tp(x) kan benaderd worden door functies f(x) met de vereiste eigenschappen, zodat de gevraagde onderste grens in elk geval niet grater is dan 3 /tp(x) dx We zullen bewijzen dat 3 3 f f(x) dx > f q;(x) dx, 37 en dat dus die onderste grens gelijk is aan 4. Stel 37 4 <5(x) f(x) q;(x).

4 2 WISKUNDIGE Dan is b(o) d'(o) b"(o) =, <)'"(x) { < voor ~ x < I > voor 1 < x ~ 3, d(2) >, (I) (2) {3} want <p(2) = en /(2) > (van het gegeven, dat f(x) positief is, gebruiken we slechts /(2) > ). Te bewijzen is 3 Wegt'ms (I) is f d(x) dx > ] o(x) dx terwijl (3) te schrijven is als Uit (5) en (6) volgt: f (3- x) 3 o'" dx, 2 J (2- xr~ o'" dx > J b(x) dx > J (3 - x) 3 o'" dx / (2- x) dx = f {(3- x) 3-8(2- x) 2 } o"' dx + f (3- x) 3 l/" dx {7) 2 Nu is (3 x) 3 8 ( 2 _ x) 2 { < voor < x < 1 > voor 1 < x < 2. Uit (7) en (2) volgt dus (4). No. 2. Vraagstuk II. Bewijs dat de rationale syrnmetrische functies van a,_, a:a,... am (en evenzo die van f/1> {1 2, {1.,) rationaal uit te drukken zijn in ul> u 2, Um+n als gesteld is. m n uk = E a~ - E {I~ i=l i~l (Mevr. Dr. T. van Aardenne-Ehrenfest). (4) (5) (6)

5 OPGAVEN. N. 1 EN 2. 3 p g e 1 o s t door Mevr. Dr. T. VAN AARDE:NNE-EHRENFEST en C. VAN DER LI~WEN. Oplossing van C. VANDER LINDEN. R is een symbool voor rationale functie. m Gegeven is : I: a~ i=l Het is mogelijk m + n getallen Yi (i = I, 2,... m + n) m+n te vinden, waarvoor geldt: I: y~ = P,~c (k =I, 2,..., m n}, 1 immers de elementaire symmetrische functies der y i zijn te bepalen als R(.u~c), er is dus een (m + n)de graadsvergelijking op te stellen, waarvan 'Yi (i = 1, 2,..., m 1~) de wortels zijn. Zij deze xm+n Wij definieren nu : Cm+n-txm+n-1 ci = R(p,k) am+i = (i = 1,2,... 2n),f1n+i De gegeven gelijkheden gaan dan over in : m+2n m+2n Yi (i = I,2,... m +n). I: a~= I: {J~ (k = I, 2,... m + n}. i=l i=l Daaruit volgt, dat de eerste m + n elementaire symmetrische functies der ai gelijk zijn aan de overeenkomstige der Pi Maken we de eerste coefficient en gelijk aan I, dan zullen de eerste m + n l coefficienten in de vergelijking der ai gelijk zijn aan de overeenkomstige in die der Pi In de vergelijking der ai zijn de coefficienten van x en alle lagere machten van x gelijk aan, er zijn immers 2n der ai gelijk aan. Daar in de vergelijking der pi de coefficienten tot aan die van xn- 1 met die in de vergelijking der ai overeenkomen, zijn dus de coefficienten van x 2 n-l, x 2 n- 2 X 11 gelijk aan. De vergelijking der {Ji kan geschreven worden in de vorm (xn Bn-lxn-1 + Bn-2xn B 1 x + B ) (xm+n + Cm+n-txm+n C 1 x +Co)=, waarin B 11 _ 1, B 11 _ 2, B de elementaire symmetrische

6 4 WISKUNDIGE functies der {3; (i = 1, 2,... n) zijn. Het wegvallen der termen met x 2 "- 1, x~' levert de volgende vergelijkingen op: CnBn-1 Cn+1Bn-2 Cn-lBn-1 CnBn-2 + C2n-1B =, '' + C2n-2BO =, (Voor m < n komen hierin C' s met index hoger dan m n I voor, we moeten dan stellen Cm+n = 1, en Cm+n+i, i > ). Dit zijn n lineaire vergelijkingen voor de n onbekenden B. Door ze op te lassen vinden we B; = R(C C 2 n_ 1 ) = = R(uk) Hieruit volgt, dat ook een willekeurige rationale symmetrische functie der p, R(uk) is. Op dezelfde manier gaat het bewijs voor de ai. Vraagstuk III. Bewijs dat de commutatorgroep van een discrete groep niet holoedrisch isomorph kan ZlJn met de symmetrische permuatiegroep van 3 objecten. (Mevr. Dr. T. van Aardenne-Ehrenfest). p g e 1 o s t door Mevr. Dr. T. VAN AARDENNE-EHREN FEST en Dr. L. LIPS. p l o s s i n g van Dr. L. LIPS. \Vas de symmetrische permutatiegroep Sa isomorf met de commutatorgroep K van een discrete groep G, dan zouden de volgende 4 beweringen tot een tegenspraak leiden : 1) De commutatorgroep van Sa is de alternerende groep A 3, dus een echte ondergroep van S 3. 2) S 3 is afgesloten, dus een daarmee isomorfe groep ook. 3) Van twee isomorfe groepen zijn de commutatorgroepen isomorf. 4) Als de commutatorgroep K van een discrete groep G afgesloten is, is de commutatorgroep K' van K identiek met K.

7 OPGAVEN. N. 2 EN 3. 5 We zullen deze beweringen bewijzen. De elementen van Sa zullen we voorstellen door e, a, a 2, b, ab, en a 2 b, waarbij geldt: ab = ba 2, a 2 b = ba, terwijl a en a 2 de orde 3 en b, ab en a 2 b de orde 2 hebben. I) Bewijs: A 3 (e, a, a 2 ) is normaaldeler van S 3 met index 2, dus is de factorgroep Sa: As Abels, zodat As de commutatorgroep C van S 3 bevat. Maar C bevat behalve e, ook aba- 1 b- 1 = = ba 2 a- 1 b-1 = bab- 1 = a 2 bb- 1 =a 2, dus ook de door a 2 voortgebrachte groep A 3 Dus is C A 3 2) Sa is afgesloten betekent: ieder automorfisme van Sa is een inwendig automorfisme van S 3 en het centrum van Sa bestaat uit het eenheidselement alleen. Bewijs: (uit collegedictaat Prof. KLOOSTERMAN). Zij a een automorfisme van Sa. Daar Sa door a isomorf op zichzelf wordt afgebeeld, kan a een element van Sa aileen in een element van dezelfde orde overvoeren. a is volkomen bepaald, als men weet, waarin a de elementen a en b overvoert. Dus a a a of a a a 2 Neem eerst het eerste geval. We hebben dan verder 3 mogelijkheden: I) ab = b, II) ab = ab, III) ab = a2b. I) dan is a het identieke automorfisme, dus a= i. II) aa =a= a 2.aa-2, ab=ab = eab aa. ab=a 2 a 2 b= a 2 ba=a 2 ba- 2, zodat a=ia 2 III) aa =a= aaa- 1, ab = a 2 b = a.ab aba2 aba-1, zodat a ia. In het eerste geval is a dus steeds een inwendig automorfisme. In het tweede geval, dus als aa a 2, beschouwen we (Ja = (iaa)a = ib(aa) = ba 2 b-1 abb- 1 a. Dan is dus f3 een inwendig automorfisme iu (zo juist bewezen), dus is ook a= il/iu = ib-lu een inwendig automorfisme. Alle automorfismen van S 3 zijn dus inderdaad inwendig. Verder is het eenvoudig na te gaan, dat geen enkel element, behalve e, met aile elementen van Sa verwisselbaar is (daar.ab # ba), zoodat het centrum van Sa uit e aileen bestaat. Het tweede deel van bewering 2 is triviaal, evenals bewering 3.

8 6 WISKUNDIGE 4) a) We bewijzen eerst, dat G = K X Z (direct product), waarbij Z de centralisator van K in G is. Bewijs: daar K normaaldeler in G is, is voor elke g E G de toevoeging h-+ ghg- 1, voor alle h E Keen automorfisme van K, dus een inwendig; er is dus een k in K zodanig, dat ghg-1 = khk- 1 voor alle h uit K, dus k- 1 gh h. k- 1 g,,,,,. k- 1 g is dus met alle elementen van K verwisselbaar, dus is k- 1 g een element z van de centralisator Z van K in G, dus k- 1 g = z, dus g = k.z. Daarmee is bewezen, dat G K.Z. Dat dit product direct is, volgt uit het feit, dat de doorsnede van Ken Z het centrum van K is, dus het eenheidselement (K afgesloten), terwijl verder K en Z normaaldelers van G zijn. b) We bewijzen nu, dat de commutatorgroep K' van K met K samenvalt. Bewijs: Daar G = K X Z, is G : K (f) Z en daar G : K Abels is, is Z dat ook. Van elk tweetal elementen van Z is de commutator dus het eenheidselement e. Neem nu twee willekeurige elementen uit G, nl. k 1 z 1 en k~ 2 ; hun commutator c is dan.k 2z 2 (k 1.z 1 )- 1 (k 2 z 2 )- 1. Daar elk element van Z met elk element van K verwisselbaar is, is c=k 1 k 2 k1 1 k2 1.z 1 Z#1 1 Z2 1 = k 1 k 2 k1 1 k2\ dus een element van K'. Dus K E K' en daar natuurlijk K' E K, is K = K'. Vraagstuk IV. Bewijs, dat A geen oneven volmaakt getal is, indien: 1. A=p 1 2o. A Pi!P~ 3o. A Pi 1 P~ 2 P1. p, Pv P2. Ps priem. (Een volmaakt getal A heeft de eigenschap, dated= 2A). a/a (L. D. Boomsma). p g e 1 o s t door L. D. BOOMSMA, H. J. A. DUPARC, Dr. L. DE jong, Dr. L. KUIPERS, C. VAN DER LINDEN en Dr. J. G. VAN DE PUTTE.

9 OPGAVEN. N''. 3 EN 4. 7 p 1 o s sing van H. J. A. DUPARC. 1. Gegeven: A= p 1 ; A oneven. Te bewijzen: A is geen volmaakt getal. pt+l_j Bewijs: 1: d dlpl p pt, indien p 1 een volmaakt getal was. Dus p~+i I = 2pt+l_ 2p1, waaruit volgt pt(p 2) -I. Daar het rechterlid negatief is en p 1 > zou p < 2 zijn, wat uitgesloten is. In dit geval is A derhalve geen volmaakt getal. 2. Gegeven: A= ptqm; A oneven. Te bewijzen: A is geen volmaakt getal. Bewijs : Was A een volmaakt getal, dan gold pt+l_ 1 qm+l_j 1: d = = 2ptqm, a[plqm p I q I dus dus ~) pt (q -~-) qm 2(p ~ l) (q 1)' pq>2(p l)(q I) ofwel (1 -})(t-~)<t. Wij mogen veronderstellen p < q. Daar A oneven is, is p ;;;;;; 3; q ;;;;;; 5, waaruit volgt (t ;)(~-~);;;;;;~.~>~ in strijd met ( 1 -- ; ) ( 1- ~) < t. Ook in dit geval is A dus geen volmaakt getal. 3. Gegeven: A ptqmrn;. A oneven. Te bewijzen: A is geen volmaakt getal. Bewijs: Was A wel vomaakt, dan gold

10 8 WISKUNDIGE Dus (P ;,)(q q~)(r r~) 2(p-l) (q-1) (r-1), waaruit volgt pqr> 2(p-1) (q-1) (r 1). Stel P ( 1- ~ ) ( 1- ~ ) ( 1- ~ ). Dan gold dus P < t. Onderstel weer p < q < r. A is oneven, dus p ~ 3; q ~ 5; r ~ 7. Is r ~ 17, dan is: P 2 "' ~ IV5 17 = 255 > 2 in strijd met P < t. Dus r = 7, 11 of 13. Is r = 13 en q ~ 7, dan is P --.._ ,;;; >z wederom in strijd tnet P < {-. Dus als r = 13 dient aileen het geval q = 5 en p 3 nader te worden onderzocht. Is r 11 en q = 7, dan is P ~ ~ ~ M = ~> t. hetgeen alweer in strijd is met P < t. Dus als r 11, dient te worden onderzocht q -5; p 3. De nader te onderzoeken gevallen zijn derhalve p = 3, q = 5, r = 7, I I of 13. We gebruiken nu verder de relatie (p~+l-1) (qm+l-1) (rn+l-1) 2plqmrn (p-1) (q-l) (r-1). (1) a) Beschouwen wij eerst het geval p 3; q 5; r 7. Het linkerlid L van (I) is dan deelbaar door 7. Was 7 deelbaar op de eerste factor 3Hl 1, dan was 6/l 1, dus 3 6 ~-1 /3Hl 1, dus 13/ L, maar 13 is niet deelbaar op het rechterlid R van (I), zodat dit geval buitengesloten is. Was 7 deelbaar op de tweede factor Sm+l_ 1 van L, dan was 6/ m + 1, dus 56 I /Sm+I_J, dus 31/ L, maar 31 %R, zodat dit geval eveneens buitengesloten is.

11 OPGA VEN. N. 4 EN 5. 9 b) Beschouwen wij thans het geval p = 3; q 5; r = 11. Was ll! sm+ 1 -l,danwas5\ m 1,dus5 5 - l\5m+l_l, dus 7IIL,maar71 /1/R,zodathetonmogelijkis, dat ll\5m+ 1 -I. Was I, dan was 5!l + 1, dus 3!+ 1-1 deelbaar door Derhalve n ;;;;; 2. Ware n = 2, dan was L, dus 7 1 L, wat buitengesloten is, want 7 /1/R. Dus n ;;;;; 3. We vinden dus 11 8 I R. Wegens II /v 5m-l_J is dus 11 3 I Dns 55 ll + l. Dus I L, dus 23 I L, wat eveneens buitengesloten is. c) p = 3; q 5; r 13. Is 5 deelbaar op de factor 13"+1- I van L, dan is n + I een 4-voud, dus het linkerlid deelbaar door 13 4 I, dus door 7, wat echter met R niet het geval is. Is 5 deelbaar op de factor van L, dan is l + l een 4-voud, dus deelbaar door = 8, dus Daar 4j5m+l_J en4113"+ 1-1, was \L, dus 2561 R. Echter bevat in dit geval R = slechts 6 factoren 2. Ook het geval c) is dus buitengesloten. Hiermee is het gestelde aangetoond Sm13"' p m e r k i n g van Dr. L. DE ] ONG. Uit (1 +P1+P~ +... P~) (l +P2+ P~... P~ 2 )... 2P? P~... volgt, als men op de deelbaarheid door 2 let, dat alle l op I na even moeten zijn en dat de enige oneven exponent voorkomt bij een priemfactor van de vorm 4k + I. Een eventueel bestaan? oneven volmaakt getal is dus nimmer kwadraatvrij en ook nimmer een kwadraat. V erder vindt men: een oneven volmaakt getal, deelbaar door 4, 5 of 6 verschillende priemgetallen, is steeds deelbaar door 3. Vraagstuk V. Ontwikkel ~ in een reeks van FouRIER (c> 1). (c cos x) 2 (Dr.. Bottema).

12 1 WISKUNDIGE p g e 1 o s t door Dr.. BoTTEMA, Dr. L. DE ]ONG, Dr. L. KuiPERs en C. VAN DER LINDEN. p 1 o s sing van Dr. L. DE jong. Ik onhvikkel algemener --.. ~-- ; n ;;;;;; 1 ; c > l. (c +cos x)n Daartoe beginnen wij bij n 1. I "" Men heeft --- I: A~c cos kx, waarin C COS X k=o 2! 71' cos kxdx en Ak = -- voor k ;;;;;;!. n c cosx N u verifieert men gemakkelijk:! 71' cos k!!_ dx = f zkdz ~ C +COS X z2 + 2cz 1 over de eenheidscirkel om. De laatste integraal is te berekenen, door te bedenken, dat er een pool, nl-c+vc 2 -t 7T cos kx dx binnen de contour ligt. Men heeft dus = 2n X / c + cosx het residu (j. ~)k c==:--- en ten slotte : 1 De reeks convergeert. 1 Daar = (c cos x)n (c cos x)n , geldt dus voor COS X en (-1)n-1 (!n Ak = ===---- (n -1)! ocn k;;;;;;i. In het bijzonder voor: 1 c c+kvc:lj : A= ; Ak=2 (-c+vc2_!)k; k;;;;;; 1. (c+cosx) 2

13 OPGAVEN. N. 5 EN p mer k in g. Uitgaande van de reeks van FouRIER voor kan men ook In (c +cos x) ontwikkelen. C +COS X Men heeft: In (c+cos x) -Inc=-{(-~~_! -_!_)de = w C +COS X C c. -}~{~- _I_+--= 2 = E (-c+v'~2+l)"'coskx-_l_}dc. = v'c2-l k=t c c oo (-c+v'c2 1)"' 1 = { In (c-vc2_j)+ Inc } I, 2 f k cos kx = c oo (-'c+v'c2=.1)"' =-ln 2---.:ln c -In (c -v' c 2 -l )-2 E cos kx 1 k en dus voor In (c +cos x): In c v'c2-1 (-c A ; Ak = -2 2 Bewijs Vraagstuk VI. sin sin a sin a 1 sin a 1 sin (a 1 + a 2 ) sin a 1 sin a 1 sin a 2 sin a. 2 -~ aa) sin a 2 sin a 2 sin a 3... "... * c sin sin a,._ 1 sin a,. sin a, (Dr.. Bottema). p g e 1 o s t door Dr.. BoTTEMA, H. J. A. DUPARC, Dr. C. ]. VAN GRUTING, DR. L. DE JoNG, Dr. L KuiPERS, C. VANDER LINDEN, H. W. LEMSTRA, H. PLEYSIER, Dr. j. G. VAN DE PUTTE, Dr. L. SWEERTS en Dr. E. TROST.

14 12 WISKUNDIGE p 1 o s sin g. Wordt de determinant met A, aangeduid, dan volgt door ontwikkeling naar b.v. de laatste kolom sin (an-i a,) A,=.. An-I Sill an-i Sill a, In de veronderstelling, dat de betrekking geldt voor indices kleiner dan tt vinden wij A = sin... a,_ 1 ) n. sm an-l sm an sin a sin a 1 sin an-i... an-2). I I... ~.~ -- {sin(an_ 1 +a,) sin (a +a a,)- Sln a s1n a 1 Slll an Sln an-i -sin a,. sin (a + a an_ 2 )} Voor de laatste factor vindt men t cos (a + a an_2-a.. ) t cos (a +a an a.. _1 + a.. ) t cos (a + a1... a,._ 2 an) + +t COS (ao+al+... an_ 2 + a,)= Sin (ao+at+... an) Sin an-1 Dus sin (a + a a,.) sin a sin a 1 sin a,. Daar de formule juist is voor n = l, geldt zij algemeen. Vraagstuk VII. Als de wisselwerkingsenergie van twee eenheidsmassapunten (onderlinge afstand r) gegeven is door de functie V(r), bewijs dan dat de wisselwerkingsenergie van twee homogene cirkelvormige schijven, in eenzelfde vlak gelegen en beide met een massa l, gegeven wordt door U(a, b; c)= 4 I' jg(a, b; c; r) V(r) r dr, ab., ()

15 OPGA VEN. N. 6 EN waarbij de gewichtsfunctie G gedefinieerd is door ~. dt G(a, b; c; r) = j ] 1 (at)j 1 (bt)j (ct)] (rt) t.. J is het gewone symbool voor de Besselfunctie van de eerste soort, a en b de stralen der schijven, en c de afstand der middelpunten. (Dr. C. ]. BMtwkamp). p 1 o s sin g. De potentiaalfunctie V (r) = J (rt) heeft de bijzondere eigenschap dat voor deze de energie der schijven gegeven is door rp(a, b) V (c), waarin rp een symmetrische functie van de stralen a en b is welke niet van c afhangt. Dat wil zeggen, onder deze speciale potentiaalwet is de wisselwerking der schijven juist, alsof er in de middelpunten zekere gereduceerde massa's, onafhankelijk van de afstand der middelpunten, geconcentreerd waren. Het bewijs van deze stelling is eenvoudig. Zij R de afstand van een eenheidsmassapunt tot het middelpunt der schijf a. De wederzijdse energie is dan gelijk aan a 2,. ;;~ 2 Js ds J J (tvs 2-2sR cos rp R2) dgy a 2 2 a 2 J (Rt) j J (st) s ds =at ] 1 (at) J (Rt). Inderdaad is het alsof een massa rp(a, ) = 2] 1 (at)jat geconcentreerd is in het middelpunt. Door dit reductieproces twee keer achter elkaar toe te passen, vindt men voor de energie der schijven bij de speciale wet V (r) J (rt) : 4 U (a, b; c) ""ib ] 1 (at)] 1 (bt)j (ct) t~ 2 Verder kan, onder zekere voorwaarden, de gegeven functie V(r) geschreven worden als een Fourier-Besselintegraal: V(r) = J f(t) J (rt) t dt,

16 14 WISKUNDIGE waarbij, omgekeerd, de beleggingsfunctie f(t) gegeven is door f(t) (v(r) J (rt) r dr. "o Daar energie additief is, volgt direct 4 /~ dt U(a, b; c) = ~ f(t) ] 1 (at)] 1 (bt)] (ct)- ab.; t 4 I' ( dt = ~j V(r)rdr.Mat)] 1 (bt)j (ct)j (rt) ab., t 4. = b j G(a, b; c; r) V(r) rdr. a. p m e r k i n g e n. 1. Om physische redenen is het duidelijk, dat de bovenste grens in de integraal ( 1) vervangen kan worden door c + a b; de functie G is dus zeker nul voor r > c + a + b (iedere parameter positief of nul verondersteld). 2. De eindformule (I) geldt ook voor elkaar overdekkende schijven. Liggen ze buiten elkaar (c > a + b) dan is de onderste integratiegrens in (I) steeds vervangbaar door c-a-b. Formule (1) geldt in dit geval voor alle functies V(r) die Riemann-integreerbaar zijn op elk segment van de positieve r-as. (I) Vraagstuk VIII. Als a, b, c de zijden zijn van een driehoek met hoeken A, B, C en oppervlakte S, dan geldt J ]1(at)]1(bt)] (ct) ~t = 2 ~ (~A : B ~~ ); deze integraal is nul voor c ~ a + b, en gelijk aan. (a b) t mm b, --;;, voor ::s;; c ::s;; Ia- b!. Bewijs dit. (Dr. C. ]. Bouwkamp).

17 OPGAVEN. N. 7 EN 8. IS p g e 1 o s t door Dr. C. ]. BoUWKAMP efb C. VAN DER LINDEN. p 1 S sing van C. VAN DER LINDEN. We gaan uit van een formule van SoNINE, o.a. voorkom:nde in WATSON: Besselfunctions:. Als W m J m(at)j.,.(bt)j m(ct) p.-m dt (a, b, c :2:) Dan is: W m, als a, b, c geen driehoek vormen 52.m-l2m-l r.(m+i) We definieren nu f(c) als volgt: c :2: a f b, f(c) = j ] 1 (at)] 1 (bt)j (ct) -i "' dt Ja-b\,$. c,$.a+b, f(c)= ] 1 (at)j 1 (bt)j (ct) t - ja-bj :2;c :2:, f f(c)= J, als 5 opp. L1 ABC. (1) dt _l_ (!!_A+ ~B- 25) 2:n: a b ab ]1(at)J 1 (bt)j (ct) ~t -tmin (:, ~ ). Men overtuigt zich gemakkelijk dat de zo gedefinieerde functie continu is. Voor c>a+ b} la-bl >c>o geldt: I" f'(c) ='-j ] 1 (at)j 1 (bt)j 1 (ct)dt, volgens (1). Voor [a- bl < c <a b geldt: 'f(c) f 1 ( b oa a ob 2 3S) ] 1 (at)] 1 (bt)] 1 (ct) dt n aoc boc aboc

18 16 WISKUNDIGE Nu is: boa a ob --+aoc boc 2 as a cos c aboc a bcosc + ccos BoB 2 o(t ab sin C) - b oc ab oc oa ob) c o sin A c a sin B = cos c (- + -;:; a sin c ~-- oc oc a oc b oc oc a b. 8-sinC o smc ac c c cc =-cosc +- --~ oc a b a sin C c [ a a a sin CJ sinc de a c 2 c oc a sin c oc c [--!! sin b osincj _ 3sinC=-~sinC=-- 4S. b c 2 c oc oc c abc Volgens (1) is: I ]1(at)J 1 (bt)j 1 (ct) dt = o Dus is I'( c) = ~~be-~ (- :~) =. 2S ~abc Dus f'(c) is overal gelijk aan nul; aangezien f(c) continu is, is f(c) voor alle waarden van c constant. Om deze constante te bepalen, laten we c over alle grenzen groeien. Dan is c > a b, dus want lim ] (ct) = en j JJ 1 at)(j 1 (bt)l c,..oo Dus is f(c) /' dt t convergeert., waaruit 't gestelde onmiddellijk volgt. 2 I Gevraagd te bewijzen: Vraagstuk IX. ( ) ( ()) dt 1 1. ] 1 (t)j tv'2sm- J h/2cos- - -=-- E(smO), 2 2 t 4 ~ 2

19 OPGAVEN. N. 8 EN waarin E de complete elliptische integraal van de tweede soort, en ;;;;;; () ;;;;;; n. (Dr. C. ]. Bouwkamp). p g e 1 o s t door Dr. C. J. BouwKAMP en C. VAN DER LINDEN. p 1 S sing van C. VAN DER LINDEN. I N eem voorlopig ;;;;;; {} ;;;;;;!n. A. & I = j Ji(t)J (ty'2 sin??/2)j (ty'2 cos fj/2) t 1T l. f'f dt = -;;} Ji(t)J (tv2(1- sin{} coso/) t dfp. Immers J (ty'2 sin fj/2)j (ty2 cos fj/2) 'lr ~ f J o(tv2 ( 1-sin{} cos r:p) dr:p en de integratievolgorde mag verwisseld worden. Volgens vraagstuk VIII is deze integraal gelijk aan; 1T -~~f(~a +~B- 2. S)drp, 2n;2 a b ab waarin b =a= I, c = v2(1- sin cos A, B, S hoeken en oppervlak van 6 ABC. # We voeren nu als nieuwe integratieveranderlijke in A=B=tp Dan is: S = tab sin C =! sin 2tp 2( 1-sin{} cos rp) =c 2 =4 cos 2 'P dus dq;= ----:====== dtp. 2v> Vullen we dit in, dan komt er: i'll'+it?- 1 = ~2 J(2VJ- sin 2tp). ----;:::===== t'~'~'-td 2

20 18 WISKUNDIGE + tw gaat dit over in: {} coswdw 1 j'" If cosru)... = +- = Vsin 2 t?-sin 2 ru 2n 2 2n 2 -{} cos w dw w- cos w) ----;::===== + sin 2 w {} 1 f coswdw t?- sin 2 w +,.,_ 2 (in- w -cos w) --;::=====,e;,;;~ {} 1 f coswdw 2,.. (n - 2 cos w) ---r====--== 2 t?- sin 2 w Met sin w = sin t? sin g gaat dit over in: f 11/2 = t - If 1 2 VI- sin 2 t? sin 2 $ d,; = t - 2 E (sin t?). n n Vervangen we nu aan beide zijden t? door n- t?, dan vinden we dezelfde formule voor tn :;:;;; D :;:;;; n. Bewijs dat geldt J 1 (t)j (xt) t 2 2 dt als Vraagstuk X. 1 [ 1 +x J t-- x+t(j-x2) log- +2.i.(x), n 2 1-x 1 (O:;:;;;x:;:;;;l) 2 [x+ t(l-x2 ) log x+ 1-2il(l/x)J, (x:;:;;; 1) :n: x-1 x2n+l il.(x) = I --- :;:;;; x :;:;;; I. n-o (2n 1) 2 ' (Dr. C. f. Bouwkamp). p g e J s t door Dr. C, ]. BOUWKAMP en C. VAN DER LINDEN.

21 OPGAVEN. N. 9 EN p 1 s S i n g van C. VAN DER LINDEN. dt Voor x ~ I geldt: R(x) = Ji(t)]~(xt) t, R'(x) 'TTOO R(x) = ~~ Ji(t)] (2xtsintq;) ~dq;. '" ~ J f J~ (t)] 1 (2 x t sin trp) 2 sin tip dt dq; '" 1 f 2x sin tip x 2 sin 2 tq;. d sm tq; q; = n n.2x sm trp ' volgens de formule van SoNINE = -- 2!'" smtq; n2 We voeren de nieuwe variabele t = X. -x2 ~- 2 f -~ -- 2Vl- x 2 R'(x)=- VI- x2 + t2(i- x2).- dt n 2 X X v'l-x' co:; i q; m I (l-x 2 I+ x ) =- --lg +2 n 2 x 1-x L(x) = t -- x 1[ t(i- x 1+x J 2 ) lg ~ - + 2J.(x) n 2 1-x, I { I+x ( I 1 ) L (x)=- l-xlg.-+t(i-x 2 ) -+ ~- n2 1-x l+x 1-x

22 2 WISKUNDIGE 1 [ 1 =- 1-xlg n 2 1 X X +I ~E x2n+l J x 2n+I = x 2 lg-1 _x]. X 1 X Dus R'(x) = L'(x), R(x) L(x) + C. J 2 dt J(' dt L(O) = t, R(O) = J 1 (t) t = } 1 (t)jt(t). J o(o. t) t - -1 [n-+ n + J volgens de fonnule van vraagstu kviii. -n L(O) R(O) dus C =, R(x) = L(x). Voor x ~ l krijgen we: R'(x) = 1T 1 ( ( Ji(t)J1 (2xt sin Jcp) 2 sin tcp dt dcp :Jf;.;,) 1T - ~ J K.2sin dcp. Volgens de formule van So NINE is: 1 K=O, als 2x sin,j,m > 2, dus sin ~m > -, ~'~' -'~' X K Hieruit volgt: n. 2x sin tcp 1 sm!cp < 2 arc sin!. a; 2 (' R'(x) = - 2 / sin t cp n.. Nieuwe variabele t = --- -cost cp, ~ R'(x) =- j n2 X X n xz sin 2 Jcp, als

23 OPGAVEN. N xl-1 [ - -t lg (t :n;2 X v't2-l)+i tv't 2 -=i]:x'~l I (. x 2 1 X+ I) -- 2 lg --. :n;2 X X 1, 1 [" x+ 1 x-2n-2] L (x) =- 1-xlg-- 1+2E- :n;2 x-1 2n+ I 2 x-2n-1] 1 [ x+l =- 2 X lg. E- :n: 2 x-1 x 2n+l L'(x) = R'(x) dus L(x) R(x) + C. dt I :n; :n; dt R(1)= Ji(t)Jg(t)- = Ji(t)J (ty'2.sin -) J (ty'2 cos-) t. 4 4 t f 1 i --E(l) :n;2 volgens vraagstuk IX. 1Ti2 I ~'.. ~-~i j sin 2 ~ d~ = i :n;2 L(l) = 1[. x+i oo 1 J I+ hmt(l-x 2 ) lg 2E --- n2 :x--?1 x I o (2n + 1) 2 ~ -~{I 2 [ E ~ E - 1 J} = n 2 1 n 2 1 4n 2 I { l-2- (:n;2 :n;2 6 :n;2)} I 24 =-:n:2 L(I) R(I) dus C, L(x) = R(x). Dit laatste gaat ook gemakkelijk door L( oo) en R( oo) uit te rekenen. X p 1 s sin g van Dr. C. j. BOUWKAMP. De gevraagde integraal is gelijk aan G( I, 1 ; x; x) (zie vraagstuk VII), en de berekening hiervan is geheel analoog aan

24 22,WISKUNDIGE die van de G-functie uit vraagstuk VII. We kunnen dus kort zijn. In het onderhavige geval is en dus u 2x sin tp, 2 G(l,l;u;O) ~[arccos(xsin ~)-xsin~ v'l-x 2 sin 2 {rli)]. Bij de integratie over tp is het algebraisch gedeelte van de integrand handelbaar, daar toch <p -/sin ~ v' I x 2 sin 2 (tp/2) dtp = cos ~ x 2 sin 2 {tp/2) 1- x2 { tp } ---log x cos- v' 1- x 2 sin 2 (tp/2). X 2 De arccosinus functie is niet elementair integrabel, doch na een kleine omvorming komt men gemakkelijk tot het in de opgave aangegeven resultaat. Vraagstuk XI. Te bewijzen voor p =1= E (-I)k (/:) {P(k -1) +a} {p(k Tc. 2; a}... (p +a) a k- p.k. (pn-a){p(n-1)-a}... (p-a) - pn.n! (Dr. H. Bremekamp). p g e I o s t door Dr. H. BREMEKAMP, H. ]. A. DUPARC. Dr. C.]. VAN GRUTING, Dr. L. DEjONG en C. VANDER LINDEN, p 1 o s singe n van Dr. L. DE JoNG. I. Het eerste lid is de coefficient van xn in de ontwikkea ling (lxl < 1) van (1 + x)n. (I + xf P en die is =~\(n-;)(n-1-;)... ( ;).

25 OPGAVEN. N. 1 E:N l r. 23 II. Voor het linkerlid is t? schrijven: r(.:.:+k) i (-!)'(~) () ~-( 1 -) E (-l)k(~)~e- ~, dt = k~o r.:.:. k 1 r.:.: o o p p oo 1 ~+k-1 ~ 1 f ~ -1 n tk I ( ~ -1 ~ r (~)',_.. t:p ~ (-1 l.! ~,, dt~ r(~)(. t:p L.(t) dt L..(t) is de veelterm van LAGUERRE van de orde, of van ABEL, en dus: tu L..(t) is de coefficient van u" in e u 1 u Men vindt dus: ~-1 -~- _-t ~-1 l ~e-t f:p e u 1 fel-'u f:p r(~t, 1-u dt~ ;(~r-, 1-u dt a (.:.:-1) c=-2 )... (.:.:--n+l)- =Cun.(l--u)P-l (~1)". p p p - n! (p - a) (2p 1) p - a} - n! III. Het eerste lid is de hypergeometrische functie: u.. F (-n,;, 1, 1 ). Uit een door GAuss voor de functie F(a, p, y, x) afgeleide identeit: {y 2a-(fJ-a)x}F+a(I-x)F(a+!,... ) -(y-a)f(a-1,... )= volgt voor a a n;p=-:p;r a n+! p ----.u... n+i l;x=l:

26 24 WlSKUNDIGE Daar u = 1, heeft men: (n- ;)(n-1-~)... (t-~ ) Un = n! Men kan, als men in de identeit van GAuss, voor y i.p.v. de waarde {3 neemt, de iets algemenere betrekking bep Te bewijzen: 2) + a}... (p a). a ~ ~ ~ ) + {3}.. (P + {3). f3 -a) Vraagstuk XII. 2n-(n~I) 2n-2+ (n-;-2) 2n-4 {3 ( n-3) 3 2n-6+.. (De laatste term van de veelterm in het linkerlid is, voor n n-1 even n, (-1) 2 en, voor oneven n, (- 1)- 2 -(n 1). (Dr. H. Bremekamp). p g e 1 o s t door Dr. H. BREMEKAMP, H. J. A. DUPARC, Dr. C. J. VAN GRUTING, Dr. L. DE JONG, H. W. LEMSTRA, C. VAN DER LINDEN en Dr. E. TROST. Men heeft pi o s sing van Dr. L. DE JoNG. (1 x) 2 x). Voor < x < 1, is ook < x(2 x) < I en kan men beide leden in convergente reeksen ontwikkelen. Stelt men de coefficienten van xn in de reeksontwikkelingen l E xk (2 x)k (! lc=o gelijk, dan vindt men n 1 = 2n ( n 1 l) 2n+2 ( n -;- 2 ) 2n-4

27 OPGAVEN. N. 11, 12 EN p 1 o s s i n g van Dr. H. BREMEKAMP en Dr. E. TRosT. Noemen wij het eerste lid der te bewijzen identiteit a.,, dan is a.,+l = 2"+1_(7) 2n-l +(n ;- 1 ) 2n+3 _ (n 3 2 ) 2n-6 a.,_l = 2n-l_ (n ~ 2) 2n-3 + ( n--;- 3) 2n a + a = 2"+1 - (n- 1 ) 2n-l (n 2 ) 2n-a _ n+l n (n~3) 2n-5... = 2a... (Men overtuigt zich gemakkelijk, dat ook de laatste term in het linkerlid zowel bij even als bij oneven n met de laatste term in 2a.. overeenkomt). De getallen a., vormen dus een rekenkundige reeks en daar a 1 = 2, a 2 = 3, blijkt an= n I. Bereken: Vraagstuk XIII. oo ( 2k)! oo I E ---~ E ~--.~---~--. k=i 2 2 k (k!) 2 n=l n(n k + I) (Dr. H. Bremekamp). p g e 1 s t door Dr. H. BREMEKAMP, Dr. C. ]. VAN GRUTING, Dr. L. DE ]ONG, C. VAN DER LINDEN en Dr. L. SWEERTS. Opossing van Dr. L. SWEERTS. De gegeven vorm is te schrijven als :!+ k}-d 1 1 ( 1) ( 1 l) ( 1 I I) 2' :--4' '4' _ Beschouw de reeks:. 1 x 2 ( I ) I.3 xa ( S=-.- y+-y y+-y2+-ya I 1 ) I.3.5 x!i ( 1 1 I ) y+- y2+-y3+- y'

28 26 WISKUNDIGE 3 2 S ( l - x)-! y( 1 - xy)-! --=----~--1- ' OXOy l-y 1-y as - 2v1-=-'; 2v1-=~-y. ~ = -~-=;,--X +-l-=y + F(y). as Voor x = wordt =, zodat F(y) =. oy {VI--xy+VI x} 2 S=--xy-4V1-xy+2Vl-xlog --+G(x). - X Stel y =, dan is S =, waaruit volgt: {V1-xy+V1 x} 2 S=-xy-4 V1-xy+4+2 Vl-x log Vl-x Door x = y = 1 te stellen, verkrijgen we de waarde van de gegeven vorm. S ( 1,1) = 3. p 1 o s sing van Dr. L. DE JoNG. Voor de som laat zich schrijven : s =.E t.3... (2k-1).--~-- k k k + I I 2 k + 1 Nu heeft men: ;--- "" (2k- 1) xk+ 1-2 v l - x + 2- x = E k k +I waaruit, voor x 1: 1 = 1! en dus, door aftrekking: 2v1-=-x-1 en, door deling door 1 - x: (~+ t +... _L-). -1) (2k l) l +X+... xk ~=== - 1 = E X k k l Dus is: 1 S =/{-- 2 -l}dx = 3. Vl-x

29 OPGAVEN. N p mer kin g. In de onderstelling, dat aile reeksen convergeren, volgt in het algemeen uit U(x) = 1.: a~le en dus U(I) = 1.: a~e: V(I) = fa~c( ~ ~): U(l)- U(x) = 1.: a~e (1 xk) 1 1 U(l)- U(x) en dus V(1) = { dx. 1-x Zo, bijvoorbeeld, uit: e = E 1 k ""l (l I 1) 1 1 ; e-ere ~'I-e-t. I = dx=ej --dt=e {C-h(e- 1 )}. 1 k! 1 2 k 1-x t p 1 o s sing van Dr. H. BREMEKAMP. Dus: =! = E _!_j'" xn+le dx X _x_n+_k dx. 1.: n=l n(n + k l) n=l n n=l n Om de omzetting van sommatie en integratie te recht~ vaardigen, merken we op, dat voor - I < h < l h ( xn+k dx =; _I_ {xn+k dx, " n=l n n=l n " daar de reeks onder het integraalteken in het gehele inte~ gratievak uniform convergeert. Dus: 1 h f :f ~-n;t-~ dx=lim ~-j" xn+k dx =lim X- hn_:'"k+1 -- n=l n h-+1 n=l n h-+1 n=1 n(n + k + I) h (I)

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer Algebra III 1 Syllabus Algebra 3 voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Korteweg-de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Science Park 904 1098 XH Amsterdam Versie: 2014 Algebra III 1 1. Symmetrische

Nadere informatie

3 Rekenen aan lijnen

3 Rekenen aan lijnen 3 Rekenen aan lijnen Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten lok Lijnen, richtingen en waaiers van ad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (015) wiskunde vwo. pgaven met dit merkteken

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Inleiding tot de incidentiemeetkunde

Inleiding tot de incidentiemeetkunde HOOFDSTUK 3 Inleiding tot de incidentiemeetkunde Incidentiemeetkunde is een theoretisch kader waarin bijna elke vorm van meetkunde past. Wij zullen onder andere zien hoe affiene en projectieve meetkunde

Nadere informatie

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A 2 jan dezider kees koomen-majernik Fundamentele vergelijkingen De Schrödingervergelijking:

Nadere informatie

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde

Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Havo wiskunde D Vectoren en meetkunde Inhoudsopgave Vectoren en meetkunde 1 Vectoren 1 2 Vectoren in een assenstelsel 7 3 Vlakken en lijnen in de ruimte 13 4 Rekenen in de ruimte 17 5 De cosinusregel 27

Nadere informatie

De Geometria non- Euclides liber. Pascal Wissink & Jelmer Mulder

De Geometria non- Euclides liber. Pascal Wissink & Jelmer Mulder De Geometria non- Euclides liber Pascal Wissink & Jelmer Mulder I Wat is niet-euclidische Meetkunde? Om uit te leggen wat niet-euclidische meetkunde, een specifieke tak in de wiskunde, precies inhoudt

Nadere informatie

Constructies met passer en liniaal, origami en meccano. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht

Constructies met passer en liniaal, origami en meccano. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht Constructies met passer en liniaal, origami en meccano Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht Deze module is in ontwikkeling en wordt uitgeprobeerd in het najaar

Nadere informatie

Niet-euclidische meetkunde

Niet-euclidische meetkunde Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 15 februari 2013 Een Wiskunde D-module voor HAVO/VWO 5 leerlingen die: Meer willen weten over Niet-euclidische meetkunde

Nadere informatie

Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck. Logica in actie

Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck. Logica in actie Logica in actie Johan van Benthem Hans van Ditmarsch Jan van Eijck Logica in actie Dit boek bevat de teksten van de cursus Logica in actie. De volledige cursus is beschikbaar op www.spinoza.ou.nl. Meer

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

Formules in Word 1032

Formules in Word 1032 032 Formules in Word Colofon: Uitgave.0 : M.M. Witkam, december 2000 Nummer : 032 Auteur : drs. M.M. Witkam Profieldeel : Profiel : Wiskunde Prijs : Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar

Nadere informatie

Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut De Bilt

Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut De Bilt Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut De Bilt Klimaat van Nederland CA. Velds Zonnestraling in Nederland met medewerking van: P.C.T. van der Hoeven J.M. Koopstra W.R. Raaff W.H. Slob THIEMEBAARN

Nadere informatie

Wegen als correctie ctie voor non-respons0o

Wegen als correctie ctie voor non-respons0o 07 Wegen als correctie ctie voor non-respons0o s Jelke Bethlehem Statistische Methoden (08005) Voorburg/Heerlen, 2008 Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer x = geheim = nihil

Nadere informatie

Meten aan melkwegstelsels

Meten aan melkwegstelsels Meten aan melkwegstelsels " Plots realiseerde ik me dat die kleine, mooie blauwe 'erwt' de Aarde was. Ik stak mijn duim op, sloot één oog, en mijn duim bedekte de Aarde volledig. Ik voelde me niet als

Nadere informatie

Golven en tsunami s. universiteit Twente. Wiskunde in wetenschap vwo D

Golven en tsunami s. universiteit Twente. Wiskunde in wetenschap vwo D Wiskunde in wetenschap vwo D Golven en tsunami s Wiskundig modelleren: Golven en tsunami s 1. Golven en tsunami s 2. Golfsnelheid 2.1.De snelheid van watergolven 2.2.Korte golven 2.3.ange golven 3. Verandering

Nadere informatie

Waarover gaat de syllogistiek van Aristoteles? Een reflectie op het object van Aristoteles syllogismeleer aan de hand van twee moderne reconstructies

Waarover gaat de syllogistiek van Aristoteles? Een reflectie op het object van Aristoteles syllogismeleer aan de hand van twee moderne reconstructies 1 Waarover gaat de syllogistiek van Aristoteles? Een reflectie op het object van Aristoteles syllogismeleer aan de hand van twee moderne reconstructies G.J.E. Rutten 1. Inleiding In het traktaat Analytica

Nadere informatie

5 Niet-lineaire regressie

5 Niet-lineaire regressie 5 Niet-lineaire regressie Als laatste van de soorten regressie zullen we in dit hoofdstuk de niet-lineaire regressie bespreken. Dit zijn modellen waarin de modelparameters(meestal aangegeven met β i )

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Logica voor alfa s en informatici. Jan van Eijck & Elias Thijsse

Logica voor alfa s en informatici. Jan van Eijck & Elias Thijsse Logica voor alfa s en informatici Jan van Eijck & Elias Thijsse Academic Service, Schoonhoven 1989 Inhoud 1 Algemene inleiding 1 1.1 Doelstelling........................... 1 1.2 Gebruiken en noemen van

Nadere informatie

Alles wat mogelijk waar is, is kenbaar Het modaal-epistemisch argument

Alles wat mogelijk waar is, is kenbaar Het modaal-epistemisch argument Alles wat mogelijk waar is, is kenbaar Het modaal-epistemisch argument Emanuel Rutten In ons dagelijks leven doen we allerlei beweringen. We zeggen dingen als In Nederland is de binnenlandse consumptie

Nadere informatie

HET RECHT OP NIET WETEN

HET RECHT OP NIET WETEN HET RECHT OP NIET WETEN I I I I I I I I HET RECHT OP NIET WETEN meer dan een quidproquo Tiffi RIGHT NOT TO KNOW more than a quidproquo PROEFSCHRIFT ter verkrijging van de graad van doctor aan de Erasmus

Nadere informatie

PE-Tijdschrift voor de bedrijfsopvolging. Waarom winst. waardemaatstaf kan zijn. 38 Nummer 2 april 2013 www.pe-bedrijfsopvolging.

PE-Tijdschrift voor de bedrijfsopvolging. Waarom winst. waardemaatstaf kan zijn. 38 Nummer 2 april 2013 www.pe-bedrijfsopvolging. PE-Tijdschrift voor de bedrijfsopvolging Waarom winst waardemaatstaf kan zijn 38 Nummer 2 april 2013 www.pe-bedrijfsopvolging.nl Financieel PE-artikel geen Punten FFP: zie PER Samenvatting In deze bijdrage

Nadere informatie

Eigen gegevens, eigen regie?

Eigen gegevens, eigen regie? ? advies over de juridische en organisatorische consequenties van 'eigenaarschap' van persoonsgegevens die binnen de overheid worden verwerkt adviseurs: drs. E.B.M Schoenmakers CMC mr. W.E.H. Sloots mr.dr.

Nadere informatie

Handleiding Dit moet je weten! - 1 Lereniseenmakkie Werkboek

Handleiding Dit moet je weten! - 1 Lereniseenmakkie Werkboek Handleiding Dit moet je weten! - 1 Inhoud Rekenen en Leren Leren... 2 Rekenportfolio... 3 Leren Leren pijlers... 3 Zelfbeeld... 3 Motivatie... 5 Memoriseren in plaats van leren... 6 Strategieën... 7 Globale

Nadere informatie

Experimenten voor in de klas Veertig basisexperimenten voor het economie-onderwijs op havo en vwo

Experimenten voor in de klas Veertig basisexperimenten voor het economie-onderwijs op havo en vwo Veertig basisexperimenten voor het economie-onderwijs op havo en vwo Prof. dr. J. Hinloopen Dr. A. R. Soetevent December 2006 U I T T R E K S E L De nu volgende tekst is een uittreksel uit het boek Experimenten

Nadere informatie

Aansprakelijkheid en verhaal bij Fondsen voor Gemene Rekening

Aansprakelijkheid en verhaal bij Fondsen voor Gemene Rekening Aansprakelijkheid en verhaal bij Fondsen voor Gemene Rekening Reactie op prof. mr. W.A.K. Rank en mr. B. Bierman, Aangaan van verplichtingen voor rekening van een FGR: aansprakelijkheid en verhaal, FR

Nadere informatie

Het verschijnsel vrijheid

Het verschijnsel vrijheid Het verschijnsel vrijheid het verschijnsel vrijheid Jos Verhulst rothbard instituut Het Murray Rothbard Instituut bedankt graag alle personen die met hun bijdrage de uitgave van dit werk mogelijk hebben

Nadere informatie

E.M. Iritié, 5 augustus 2010. Van 1-D tot 3-D, een serie van vier actieve meetlessen voor leerlingen van de eerste klas van het VMBO

E.M. Iritié, 5 augustus 2010. Van 1-D tot 3-D, een serie van vier actieve meetlessen voor leerlingen van de eerste klas van het VMBO E.M. Iritié, 5 augustus 2010 Van 1-D tot 3-D, een serie van vier actieve meetlessen voor leerlingen van de eerste klas van het VMBO Dankwoord Deze lessenserie had niet ontworpen kunnen worden zonder de

Nadere informatie

Programmeren op de Casio fx-9860g

Programmeren op de Casio fx-9860g Programmeren op de Casio fx-9860g Praktische opdracht september 2007 1 2 Inleiding Een programma is een reeks instructies die aangeven wat de computer, en in ons geval de grafische rekenmachine (GR), moet

Nadere informatie