CT-scan met zo min mogelijk projecties

Transcriptie

1 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics CT-scan met zo min mogelijk projecties Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE door Melissa de Koning Delft, Nederland Mei 2011

2 Copyright c 2011 door Melissa de Koning. Alle rechten voorbehouden. 2

3

4 BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE CT-scan met zo min mogelijk projecties (Engelse titel: CT-scan with least amount of projections ) Melissa de Koning Technische Universiteit Delft Begeleider Dr.ir. M.B. van Gijzen Overige commissieleden Dr. J.L.A. Dubbeldam Prof.dr.ir. C. Vuik Dr. J.G. Spandaw Mei, 2011 Delft

5 Inhoudsopgave 1 Voorwoord 5 2 Inleiding Indeling verslag Medische tomografie 8 4 Geschiedenis van computer tomografie generaties van scanners Wiskundige probleembeschrijving en onderzoeksvraag Reeksontwikkeling Kleinste kwadraten methode en de pseudo-inverse ART Numerieke experimenten Testproblemen Horizontale projecties Horizontale en verticale projecties Random of gericht horizontale en verticale projecties Waaierstralen Waaierstraal met de pseudo-inverse van de projectiematrix A voor een foto van Waaierstraal vanuit beginpunt x = 0, y = 0.5n Waaierstraal vanuit beginpunten x [ 3,..., 0], y = 0.5n Conclusie voor de pseudo-inverse met de waaierstraal Waaierstraal met ART Volgorde van de projecties Nauwkeurigheid met ART Benodigde precisie van de fout voor een scherpe foto Overeenkomsten tussen de pseudo-inverse en ART Conclusie voor waaierstraal met ART Validatie Strategie om de parameters van te voren te kiezen Projectiestrategie voor een foto van 11x Projectiestrategie voor een foto van 100x Projectiestrategie voor een foto van Conclusie 53 A Waaierstraal met de pseudo-inverse 55 A.1 Waaierstraal vanuit beginpunten x = 0, y [1, 2, 3] A.2 Waaierstraal vanuit beginpunten x [ 3,..., 0], y [1, 2, 3] A.3 Waaierstraal vanuit beginpunt x = 0, y = A.4 Waaierstraal vanuit beginpunten x [ 3,..., 0], y =

6 B Matlab code 63 B.1 Grafieken met de pseudo-inverse: B.2 Grafieken met de pseudo-inverse: B.3 Grafieken met ART: B.4 Grafieken met ART: B.5 Reconstructie met de pseudo-inverse B.6 Reconstructie met ART

7 1 Voorwoord Voor het Bacheloreindproject van de studie Technische Wiskunde mogen de studenten zelf een richting kiezen en heb ik voor de Numerieke Wiskunde gekozen. Dit verslag is dan ook gemaakt bij de Numerieke Wiskunde op de afdeling van Toegepaste Wiskundige Analyse op de faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica. De begeleiding van dit project werd gedaan door Martin van Gijzen. Ik wil hem heel erg bedanken voor zijn uitgebreide begeleiding. Hij heeft me heel veel vrijheid gegeven en hij heeft veel geduld gehad om mij op mijn eigen manier de tijd te laten nemen om te kunnen ontdekken, experimenteren en een eigen kant op te gaan met het onderwerp. Hierdoor heb ik heel veel geleerd over het maken van keuzes bij het aanpakken, verdiepen en uitvoeren van een onderwerp voor een project. Ook heeft dit project opeens de gehele bacheloropleiding een plaats en afgerond geheel gegeven en nog meer mijn interesse gewekt in de studie. Ik heb als voorkennis vooral de vakken Numerieke Wiskunde 1 en Lineaire Algebra 1 nodig gehad uit het eerste en tweede jaar van de studie Technische Wiskunde. 5

8 2 Inleiding CT is de afkorting van Computerized Tomography en wordt gebruikt in de medische wereld om foto s te maken van dwarsdoorsneden van het menselijk lichaam. Dit is erg handig omdat het lichaam van binnen kan worden bekeken zonder dat deze hoeft worden open gemaakt. Dit apparaat werkt echter met röntgenstraling wat schadelijk is voor de menselijke gezondheid. Het is dus van extreem belang dat de röntgenstraling minimaal wordt gehouden zonder dat dit de scherpte van de foto (reconstructie) van de dwarsdoorsnede van het lichaam aantast. Als deze foto niet scherp genoeg is kan deze belangrijke details missen waar iemands leven vanaf kan hangen. Bijvoorbeeld bij het vaststellen van de exacte plaats van een tumor om de bestraling op de juiste plek te richten. Het is dus belangrijk dat er zo min mogelijk röntgenstraling wordt toegepast met een zo hoog mogelijke scherpte van de reconstructie van de dwarsdoorsnede en dit is waar de focus van deze scriptie ligt. Bij het onderzoek maken we gebruik van reeksontwikkeling om het probleem te discretiseren. En bij het reconstrueren gebruiken we de pseudo-inverse en het ART algoritme. We gaan er van uit dat de gemeten data geen ruis bevatten. 6

9 2.1 Indeling verslag In Hoofdstuk 3 wordt er verteld over het medisch gebruik van de CT-scan. In Hoofdstuk 4 wordt er verteld over de geschiedenis van de CT-scan met de verschille projectietechnieken die door de jaren heen zijn gebruikt. In Hoofdstuk 5 wordt uitgelegd hoe we de numerieke oplossing als reeks ontwikkelen met behulp van discretisatie dat leidt tot een lineair stelsel. Ook wordt uitgelegd hoe we de reeks kunnen oplossen met de pseudo-inverse die voortkomt uit de kleinste kwadraten methode. En tot slot wordt uitgelegd hoe en waarom we voor de reeks het ART algoritme gebruiken. In Hoofdstuk 6 zijn de numerieke experimenten voor verschille projectiestrategiën. Hier zullen we het hebben over de waaierstraal in combinatie met de pseudo-inverse en daarna in combinatie met het ART algoritme om tot een projectiestrategie te komen. In Hoofdstuk 7.1 passen we een projectiestrategie toe op afbeeldingen. 7

10 3 Medische tomografie (De volge informatie komt uit [1] en [6].) Tomografie is het proces om met een tomograaf (= apparaat) een tomogram (foto) te maken. Een CT-scan (Computerized Tomography) wordt ook wel een CAT-scan (Computerized Axial Tomography) genoemd. Het woord tomografie komt uit het Grieks van tomos: een stuk, sectie of laag; graphein: schrijven, opnemen, tekenen of omschrijven, en axial komt uit het Latijn van om de as beweg. De CT-scan heeft van alle toepassingen van beeldreconstructie uit projecties het grootste effect gehad op de wereld en heeft een revolutie teweeggebracht in de radiologie, vooral omdat de rekencapaciteit van computers toenam. Binnen de radiologie wordt naast röntgenstraling (röntgenfoto, CT-scan) ook gebruik gemaakt van beeldvorming door middel van geluidsgolven (echografie) en magnetische velden (Magnetic Resonance Imaging-scan) (zie Figuur 1). Figuur 1: Echografie (links) en MRI-scan (rechts). Een tomograaf maakt een tomogram van een dwarsdoorsnede van een lichaam door röntgenstralen door het lichaam te sturen. Een röntgenstraal wordt ook wel een projectie genoemd. Het verschil in energie tussen de uitgaande röntgenstraal, uit de röntgenbron, en de gemeten energie, door de röntgetector in de detectoreenheid, is de absorptie waarmee gerek wordt. Elk weefsel heeft een andere absorptiecoëfficiënt, wat de mate van absorptie aangeeft. De absorptiecoëfficiënt wordt uitgedrukt in Hounsfieldeenheden (hu). Wit in Figuur 7 correspondeert met een hoge Hounsfieldeenheid (bot) en zwart correspondeert met een lage Hounsfieldeenheid (lucht). In Figuur 2 is te zien dat lucht een CT-getal van 1000 hu heeft, zacht weefsel een CT-getal in de buurt van 0 hu en bot een CT-getal van 1000 hu. Gegeven de verzwakkingscoëfficiënt µ, dan is het CT-getal, gedefinieerd als CT getal = µweefsel µ water µ water (hu). In een tomogram worden vooral de grenzen van de verschille weefsels goed gezien, waardoor bijvoorbeeld gezonde weefsels worden onderscheiden van tumoren. Een tomogram kan hierdoor 8

11 Figuur 2: Hounsfieldschaal van CT-nummers. worden gebruikt om de bestraling te plannen voor de vernietiging van een tumor. Het doel hierbij is om een zo hoog mogelijke dosis straling te geven aan het beoogde volume zonder dat de risicovolle organen deze schadelijke dosis krijgen. Ook wordt het verschil tussen weefsel en bot goed gezien, waardoor botbreuken kunnen worden vastgesteld. Door de hoge snelheid van de 6e generatie scanners (33 seconden per omwenteling, 120 plaatjes per seconde) wordt de beweging van het hart zeer nauwkeurig weergegeven (3D-beeld). De preciese locatie in het hart van de hartafwijking kan hierdoor worden vastgesteld. Hartafwijkingen kunnen erfelijk zijn en patie nten krijgen preventief medicijnen toegedient. Als er geen hartafwijking bij de patie nt is vastgesteld hoeft deze niet langer medicijnen te slikken. Doordat er naast breedte ook diepte wordt gezien wordt met een druk op de knop bepaald weefsel, zoals bijvoorbeeld bot (met een CT-getal van 1000 hu), onzichtbaar gemaakt, zodat er achter het verwijderde weefsel gekeken kan worden (zie Figuur 3). Figuur 3: Het CT-getal van omligg weefsel kan worden verwijderd. Een nadeel van een CT-scan is dat de ro ntgenstraling, dat wordt gebruikt voor de verzameling van de benodigde data, elektronen losslaat van atomen. Hierdoor kan DNA beschadigd worden en eiwitten kunnen worden afgebroken. Nog een nadeel is dat een CT-scan niet nauwkeurig genoeg details in e e n bepaald stuk weefsel kan weergeven. Hiervoor wordt de MRI-scan gebruikt. 9

12 4 Geschiedenis van computer tomografie (De volge informatie komt uit [3], [5] en [6].) Op 8 november 1895 ontdekte Conrad Ro ntgen Ro ntgenstraling (X-ray) waardoor ro ntgenfoto s konden worden gemaakt. Ro ntgenstraling is ionisere straling, omdat het genoeg energie heeft om een elektron uit de buitenste schil van een atoom weg te slaan. De straling is het gevolg van radioactiviteit. Een van de eerste foto s maakte Ro ntgen van de hand van zijn vrouw (zie Figuur 4). Figuur 4: Ro ntgenfoto. In 1930 publiceerde de Italiaanse radioloog Alessandro Vallebona het eerste fotomateriaal van een klinische dwarsdoorsnede van een lichaam met een Axiale Transversale Scanning-methode op een ro ntgenfilm (zie Figuur 5). De ro ntgenbuis en ro ntgenfilm waren aan een as verbonden met een staaf en ze bewogen synchroon, om de as, in tegenovergestelde richting. Het pivot-punt van de staven (de as) was het focuspunt van het te reconstrueren plaatje. Er werd ro ntgenstraling uitgezonden van de ro ntgenbuis naar de ro ntgenfilm en met de absorptie, die door de tussenligge weefsels optrad, werd een plaatje van het focuspunt (de weefsels) gereconstrueerd. Het proces van deze methode stond bek als Tomografie. Figuur 5: Scan van Vallebona. Betere Transversale Axiale Tomografie-methoden werden hierna onafhankelijk ontwikkeld door: Bernhard Ziedses des Plantes (1932), William Watson (1937), Jean Kieffer (1938) en Shinji Takahashi (1947). De Zuid-Afrikaan Allan McLeod Cormack van Tufts Universiteit in Massachusets, had in 1963 een wiskundig model beschreven voor absorptie van ionisere straling door weefsel. Sir Godfrey Hounsfield werkte voor EMI (Electrical and Music Industries) Central Research Laboratories in Hayes in Engeland. Daar ontwikkelde hij de Transversale Axiale Tomografie methoden tot de Algebraı sche Reconstructie Techniek (ART) (zie Paragraaf 5.3) door gebruik te maken van de computer. ART is een heruitvinding van Kaczmarz s methode gepubliceerd in Hounsfield beschreef ook de ro ntgenabsorptiecoe fficie nt voor weefsel en met het model van Cormack ontwikkelde hij in 1967 de CT-machine. De absorptiecoe fficie nt werd van nu af aan gemeten in Hounsfield eenheden (zie Hoofdstuk 3) en de naam Tomography veranderde in Computerized Axial Tomography (CAT). 10

13 Het originele prototype (1 e generatie scanner) van 1968 nam 160 parallelle projecties in 180 hoeken, elk 1 graad verschil. Het duurde 9 dagen om de informatie van de scans te verzamelen en het duurde 2.5 uur om van de verzamelde data, met ART, een foto te reconstrueren. De eerste CT machine werd geïnstalleerd en in gebruik genomen in het Atkinson Morley Hospital in Wimbledon, Engeland op 1 oktober 1971 en het werd de EMI-scanner genoemd (zie figuur 6). Hiermee werd de eerste hersenscan gemaakt (zie Figuur 7: links). Figuur 6: EMI-scanner Het duurde 4 minuten om de data voor twee naast elkaar ligge plakken te scannen en de rekentijd was 7 minuten per foto van Het gebruik van ART werd al snel opgevolgd door Filtered Back Projection. FBP werd uitgevonden door Chris Lemay en werd gepatenteerd door Hounsfield, waardoor een foto van met dezelfde computer werd berek in 30 seconden. Nu wordt ART weer meer populair door krachtiger computers. Figuur 7: Hersenscan gemaakt met EMI-scanner (links) en de Siemens Somatom Emotion (rechts). In 1979 deelden Hounsfield en Cormack de Nobelprijs voor medicijnen. In juni 1980 konden, met de 3 e generatie scanner, volume scans worden gemaakt van pixels (= vierkantjes waaraan een uniforme grijswaarde is gekoppeld). Er wordt gezegd dat EMI Central Research Laboratories dankzij het succes van The Beatles via EMI-records het onderzoek kon bekostigen en de eerste EMI-scan modellen kon bouwen voor medisch gebruik. 11

14 In de 80-er jaren werd door Willie Kaler de spiraal-scan CT (4 e generatie, zie Paragraaf 4.1) ontwikkeld toen hij voor Siemens Medical Systems werkte, waardoor 3D-beelden sneller werden weergegeven met minder straling. In 1995 was het bek dat de Mayo Clinic een röntgen-ct (Dynamic Spatial Reconstructor) had gebouwd waarmee in 20 seconden meer dan een miljard (10 9 ) projecties werden verzameld, waarmee de grijswaarden van meer dan 10 6 punten (reconstructies voor cm 3 ) 60 keer per seconde werden gereconstrueerd [6]. Om nog gedetailleerdere en snellere beelden te maken nam het aantal rijen detectoren (= aantal plakken per scan) toe tot 16 detectoren in 2001 en 64 in Als we naar Figuur 7 kijken zien we de ontwikkeling van de CT-scan terug in het verschil in scherpte van een hersenscan gemaakt met de EMI-scanner (1971, links) en de Siemens Somatom Emotion (2010, rechts). 12

15 4.1 6 generaties van scanners Om absorptiecoe fficie nten in de pixels van een tomogram te berekenenen hebben we meerdere projecties nodig. Het systeem om de projecties te nemen is steeds veranderd, waardoor er een onderscheid kan worden gemaakt in 6 generaties van systemen: 1e generatie. Een enkele ro ntgenbron en een enkele detector verzamelen alle data voor 1 enkele plak. De bron en de detector bewegen samen en de straal wordt getransleerd over de patie nt om een set parallelle projecties te krijgen in 1 hoek. Het bron-detector paar wordt dan een klein beetje geroteerd en soortgelijke metingen worden opnieuw uitgevoerd tijdens het opnieuw transleren over de patie nt. Dit proces wordt voor elke projectiehoek herhaald tot een maximale hoek van 180 graden. Dit wordt ook wel de translatie/rotatie-scanner genoemd. 2e generatie. Er wordt een array van detectoren gebruikt die tegenover de ro ntgenbron liggen, waardoor de ro ntgenbron een waaier van stralen uit kan zen. Door hetzelfde translatie/rotatie principe van de 1e generatie krijgen we door de translaties meerdere parallelle projecties. De maximale rotatie is 180 graden. Door de meerdere projecties per translatie is deze translatie/rotatie-scanner efficie nter. Figuur 8: 1e generatie CT-scan (links) en 2e generatie CT-scan (rechts). 3e generatie. Er wordt in e e n keer een waaierstraal projectie van de gehele dwarsdoorsnede van de patie nt gemaakt. Door de grootte van de detectorarray hoeft deze niet meer te transleren, maar alleen te roteren rond het te reconstrueren object. De maximale rotatie is 360 graden. Omdat de ro ntgenbron en de detector beiden roteren wordt deze scanner ook de rotatie/rotatie-scanner genoemd. Figuur 9: 3e generatie CT-scan. 13

16 4e generatie. De ro ntgenstralen worden uitgezonden naar een stationaire, 2-dimensionale, array van detectoren die geheel rondom de patie nt zijn. De detectorring ligt buiten het circulaire pad van de ro ntgenbron. De maximale rotatie is 360 graden. De stralen worden, in plaats van in een waaiervorm, ook wel in een kegelvorm (spiraal) uitgezonden. Het lichaam wordt met een constante snelheid door het focuspunt bewogen. Deze scanner staat bek als de rotatie/stationaire-scanner. 5e generatie. Hetzelfde als de 4e generatie, maar de detectorring ligt binnen het circulaire pad van de ro ntgenbron en wijkt uit als de ro ntgenbron langs komt. Deze scanner staat ook bek als de rotatie/uitwijk-scanner. Figuur 10: 4e en 5e generatie CT-scan (links, midden) en 3D opname darm (rechts). 6e generatie. Ook wel de cine CT, milliseconde CT, ultrasnelle CT of elektronenstraal CT genoemd. Deze methode heeft geen mechanische scan beweging meer. Een elektronenstraal maakt dezelfde beweging als de ro ntgenbron bij de 4e generatie. De elektronen worden versneld richting een anode die om de patie nt heen is en in de anode worden de elektronen tot stilstand gebracht waardoor er ro ntgenstraling ontstaat. De ro ntgenstralen maken dezelfde beweging als de ro ntgenstralen bij de 4e generatie. De tijd om data te verzamelen voor 1 plak is seconde. Figuur 11: 6e generatie CT-scan. 14

17 5 Wiskundige probleembeschrijving en onderzoeksvraag (De volge informatie komt uit [6], [9], [1].) Er zijn verschille computer-algoritmen voor de reconstructie van foto s voorgesteld door vele auteurs. Ze hebben allen als input de beschikbare projectiedata en als output een schatting van de originele structuur (dichtheid door middel van absorptiecoe fficie nten uitgedrukt in grijswaarden). We kijken naar de 3e generatie CT-scanners. Hier worden 2-dimensionale secties uit het 3-dimensionale object genomen en per 2-dimensionale sectie (e e n plak) worden alle straal-sommen verzameld voor een serie ro ntgenstralen. Elke plak wordt onafhankelijk van de andere verschille plakken gereconstrueerd en de verschille plakken worden op elkaar gestapeld om het 3-dimensionale object te reconstrueren (zie Figuur 5). Figuur 12: links: 3e generatie scanner (zie hst. 4.1), rechts: projecties door e e n plak We zijn dus geı nteresseerd in het reconstrueren van een klinische dwarsdoorsnede van bijvoorbeeld 3 mm dik. Deze doorsnede kunnen we onderverdelen in kleine vierkante blokjes die allemaal dezelfde afmeting hebben. Deze blokjes worden meestal naar verwezen als volume elementen of afgekort voxels. Een CT-getal (zie Hoofdstuk 3) is proportioneel aan de gemiddelde lineaire absorptie in een voxel. Elke voxel heeft dus een absorptiecoe fficie nt met een CT-getal waaraan een uniforme grijswaarde is gekoppeld. Deze kleine vierkantjes worden foto elementen genoemd of afgekort pixels (van picture elements). Het probleem is om de grijswaarde per pixel van de geprojecteerde beelden te reconstrueren. Het reconstructieprobleem wordt: gegeven een set projecties van een 2-dimensionaal object, schat de dichtheid per pixel. Het algemene gebied van het bepalen van de distributie van parameters in een structuur die invloed heeft op de metingen wordt binnen de toegepaste wiskunde een inverse probleem genoemd [6]. Het reconstrucieprobleem is dus een inverse probleem. Ee n klinische dwarsdoorsnede noemen we e e n plak en deze heeft de volge aannamen: De plakken zijn oneindig dun; Alle ro ntgenfotonen bewegen in dezelfde rechte lijn (die in de oneindig dunne plak liggen)[6]; De absorptiecoe fficie nt hangt alleen af van het weefsel waar het doorheen gaat; Er is geen onderscheid tussen voxels en pixels; Door de oneindig dunne plak is de grijswaarde in elke punt y 0 (x0 ) proportioneel aan de relatieve absorptiecoe fficie nt in dat punt. 15

18 Daarom wordt de theorie achter de reconstructiealgoritmen ook wel fotoreconstructie van projecties genoemd. Nu bestaat ons reconstructieprobleem uit het bepalen van de n n digitale versie van een foto uit de straal-sommen van de grijswaarden van de foto. Er komen verscheidene wiskundige en rekenkundige moeilijkheden naar boven in de reconstructie, doordat de projectiedata ontoereik zijn en ruis bevatten. De precisie van al de reconstructie algoritmen worden hierdoor beïnvloed. In Hoofdstuk 4.1 hebben we gezien dat er bij de verschille generatie scanners verschille projectiestrategiën worden toegepast. De projecties worden parallel, in een waaierstraal of in een kegelvorm genomen. Als de projecties zijn genomen moet uit deze projecties de foto worden gereconstrueerd. Onderzoeksvraag: Wat is de beste strategie om de projecties te kiezen? Dat wil zeggen, hoe moeten de projecties worden gekozen om met zo min mogelijk projecties een reconstructie van voldoe kwaliteit te maken? 16

19 5.1 Reeksontwikkeling Bij het bepalen van de grijswaarden in pixel x j van een foto gebruiken we reeksontwikkeling [6], waarbij de (x, y)-coördinaten worden uitgedrukt in de j e pixelcoördinaat. De i e projectie-som is dan: projectie-som i = a i,j x j Hierbij is x j de te bepalen grijswaarde van de j e pixel uit de gemeten projectie-sommen (1 i n 2 ). En a i,j is de lengte door een pixel j in de i e meting, die 1 is als deze door de pixel x j gaat en anders 0 is. Bekijk het volge voorbeeld van een foto van 2 2: F = [ Als we aannemen dat de beschikbare projecties twee rij-sommen en twee kolom-sommen zijn dan krijgen we 5 (= 2 + 3), 9 (= 4 + 5), 6 (= 2 + 4) en 8 (= 3 + 5). Deze input data noemen we de projectie-som-vector b. Met b (= gemeten) reconstrueren we [ ] a b F =. c d De 4 onbeken in F vinden we door het systeem a + b = 5, c + d = 9, a + c = 6, b + d = 8, n 2 j=1 ]. in matrixvorm te schrijven: a b c d = (1) en op te lossen. De 4 4 matrix is de projectiematrix en als we deze A noemen krijgen we in het algemeen de vergelijking Ax = b, waarbij alle pixels van de fotomatrix F per rij onder elkaar gezet zijn in wat de kolomvector x oplevert. [10] Bekijken we nu als voorbeeld een foto van 3 3: F =

20 en nemen we aan dat de beschikbare projecties 3 rij-sommen en 3 kolom-sommen zijn dan reconstrueren we met b opnieuw matrix F, ditmaal dus: a b c F = d e f. g h i We lossen weer het stelsel Ax = b op om de 9 onbeken in F te vinden. In matrixvorm hebben we ditmaal: a b c d e f g h i = (2) Als we nu een foto van 4 4 bekijken en we nemen aan dat de beschikbare projecties 4 rij-sommen en 4 kolom-sommen zijn dan krijgen we een systeem met 8 beschikbare projecties en 4 4 = 16 onbeken in F. De projectiematrix A heeft in dit geval 8 rijen en 16 kolommen. De projectiematrix A kan in geen van de 3 gevallen volgens de normale manier geïnverteerd worden om een unieke oplossing te krijgen, want deze is 1. Onderbepaald (rang < n 2 ), de oplossing is niet uniek. De 3 systemen hebben een unieke oplossing als ze consistent zijn en de rang van A is n 2. Als we de projectiematrix A in echelonvorm zetten zien we dat in systeem (1) rang 3 < 4. Omdat het systeem consistent is heeft deze wel een oplossing, maar geen unieke oplossing. Zoals we in Tabel 1 kunnen zien neemt bij een grotere fotomatrix F het aantal pixels sneller toe dan de rang. De rang van deze systemen zullen dus nooit in de buurt komen van rang n 2 om een unieke oplossing te krijgen voor F. Foto s met n 2 pixels hebben geen unieke oplossing, maar oneindig veel oplossingen. 2. Niet vierkant (voor systeem (2): determinant bestaat niet). beschikbare projecties: n rij-sommen en n kolom-sommen systeem Foto pixels projecties rang A (1) onderbepaald en wel vierkant (2) onderbepaald en niet vierkant onderbepaald en niet vierkant onderbepaald en niet vierkant onderbepaald en niet vierkant Tabel 1: Eigenschappen systeem Ax=b voor verschille afmetingen foto s. 18

21 Het aantal beschikbare projecties van de foto s breiden we uit door het toevoegen van diagonaalsommen, die precies door het middelpunt van de pixels gaan. De onbeken in F voor een foto 2 2 en 3 3 vinden we door de systemen in matrixvorm (3) en (4) te schrijven en op te lossen: Ax = b : a b c d = (3) Ax = b : a b c d e f g h i = (4) De projectiematrix A kan met de diagonale projecties nog steeds niet volgens de normale manier geïnverteerd worden om een unieke oplossing te krijgen, want deze is 1. Overbepaald (beschikbare projecties > n 2 ) Als we naar Tabel 2 kijken zien we dat voor de systemen (3) en (4) geldt: rang= n 2, dus deze hebben wel een unieke oplossing. Ook zien we dat bij een grotere fotomatrix F het aantal pixels sneller toeneemt dan de rang. De rang van de systemen n 4 zullen dus nooit in de buurt komen van de rang n 2 om een unieke oplossing te krijgen voor F. Foto s met n 4 pixels hebben geen unieke oplossing, maar oneindig veel oplossingen. 2. Niet vierkant. Projectiematrix A heeft rang n 2 in systemen (3) en (4), dus deze twee systemen hebben een unieke oplossing. 19

22 beschikbare projecties: n rij-sommen, n kolom-sommen en 4n-6 diagonaal-sommen systeem Foto pixels projecties rang A (3) overbepaald en niet vierkant (4) overbepaald en niet vierkant over- en onderbepaald en niet vierkant onderbepaald en niet vierkant onderbepaald en niet vierkant onderbepaald en niet vierkant onderbepaald en niet vierkant Tabel 2: Eigenschappen systeem Ax=b voor verschille afmetingen foto s. 20

23 5.2 Kleinste kwadraten methode en de pseudo-inverse Om een oplossing van niet vierkante stelsels te bepalen gebruiken we de kleinste kwadraten methode. De standaard oplossing onder alle oplossingen van A x = b is degene met minimale norm van het residu: r minimaal = b b = A x b We zijn op zoek naar een oplossing die voldoet aan de normaalvergelijking, dus voor x die r minimaliseert: A T A x = A T b. De oplossing voor x is niet uniek als A T A niet inverteerbaar is. We zoeken dus de oplossing x, waarbij bovien geldt x minimaal. We moeten onthouden dat de rij-ruimte en null-ruimte van de projectiematrix A loodrecht op elkaar staan in R n2. Dit betekent dat elke x kan worden opgedeeld in twee loodrecht op elkaar staande stukken, x k Kol(A T )en w Null(A). We nemen aan dat x 0 een van de kleinste kwadraten oplossingen is voor de vergelijking A x = b. Nemen we x k in de rij-ruimte en w in de null-ruimte dan krijgen we Nu hebben we drie belangrijke punten: x 0 = x k + w. 1. Omdat Aw = 0 is component x k op zichzelf een oplossing van A x = b. A x k = A ( x k + w) = A x 0 = b 2. Alle oplossingen van A x = b delen dezelfde component x k in de rij-ruimte en verschillen alleen in de null-ruimte component w. 3. Voor de lengte van een oplossing x k + w gebruiken we de wet van Pythagoras, omdat de twee componenten loodrecht op elkaar staan: x k + w 2 = x k 2 + w 2. Hieruit concluderen we dat de x minimaal = x gelijk is aan x k. Als we de null-ruimte component gelijk stellen aan 0, blijft er een oplossing over die geheel in de rij-ruimte ligt. x k wordt de kleinste kwadraten minimum norm oplossing genoemd. De matrix die de kleinste kwadraten minimum norm oplossing van het systeem Ax = b optimaal bepaalt is de pseudo-inverse 1 A + [8]: x k = A + b. 1 A + wordt ook wel de Moore-Penrose inverse genoemd, naar zijn ontdekkers, maar staat beker onder de naam gegeneraliseerde inverse. Er zijn matrices die een aantal van dezelfde eigenschappen delen als die voor A +, die ook gegeneraliseerde inverse heten. Om verwarring te voorkomen gebruiken we de term pseudo-inverse. 21

24 Voor elke A is er een unieke pseudo-inverse A +, die voldoet aan de volge 4 voorwaarden: 1. ( AA +) T = AA + 2. ( A + A ) T = A + A 3. A + AA + = A + 4. AA + A = A We kunnen de volge gevallen voor A onderscheiden: Als A inverteerbaar dan AA 1 = A 1 A = I (=eenheidsmatrix) waardoor A 1 = A + [10]. Als A een p n 2 matrix met p > n 2 en A T A is inverteerbaar dan A + = (A T A) 1 A T [3]. Als A en A T A geen van beide inverteerbaar dan AA + b = A x = b = Pb met P de orthogonale projectie van R n2 op de Kol(A T ), waaruit volgt P=AA + = A(A T A) + A T. Uit de 4 voorwaarden kunnen we o.a. afleiden dat: ( A +) + =A [10]. Kol(A + )=Rij(A) en Rij(A + )=Kol(A), waaruit volgt rang(a + )=rang(a). Aldus AA + en A + A zijn symmetrisch (AA + A + A) en rang(a) = rang(aa + ) = rang(a + A). Als A een p n 2 matrix, waarvan p de dimensie van b en n de orde van de fotomatrix F, dan is A + een n 2 p matrix. En dus is A + b een n 2 1 vector [10]. 22

25 5.3 ART Om medisch bruikbare informatie te krijgen moeten de gereconstrueerde foto s gedetailleerd zijn. De precisie gebeurt ongeveer in 1 pixel per millimeter. Als we bijvoorbeeld menselijke hersens in een doos doen van cm 3, dan moeten we de grijswaarden van pixels berekenen. Om dit te doen hebben we dus onafhankelijke projecties nodig en moeten we een aantal miljoen data punten berekenen uit een aantal miljoen projecties. Voor een stationair object als de hersens kunnen we het probleem versimpelen door data te verzamelen per plak waardoor de projectiematrix data punten krijgt met minstens projecties (A is ) [6]. Vanwege de grote afmetingen van de projectiematrix A werken bijna alle algoritmen, voor een oplossing van een lineair systeem van vergelijkingen, met iteratieve technieken die geen pseudoinverse van matrix A nodig hebben. Dit zou anders een te grote rekenkracht van de computer eisen [3]. De Algebraïsche Reconstructie Techniek (ART) is zo n iteratieve techniek. ART werkt door de informatie te gebruiken van 1 projectie-som b i (= 1 element uit de projectiesom-vector b). Dan worden de pixels gecorrigeerd die hebben bijgedragen aan de projectie-som b i. Hierna wordt dezelfde procedure toegepast op de volgen projectie. ART wordt ook wel de ray-by-ray reconstructiemethode genoemd. Voor de allereerste projectie-som wordt voor x de nulvector genomen. De oude, benaderde pixelwaarden x oud worden gecorrigeerd per projectie: x nieuw = x oud + x correctie. Voor het systeem A x = b schrijven we per rijvector ā i en kolomvector x; a i x = a i ( x oud + x correctie) = a i x oud + a i x correctie = b i. Dit levert, met behulp van de pseudo-inverse van één projectie a i, voor de correctie op de oude pixelwaarden: x correctie = a + ( i bi a i x oud) = ( a i a T ) + ( i a T i bi a i x oud) = ( a i a T ) 1 ( i a T i bi a i x oud). = at i a i a T i (b i a i x oud ) Als we x correctie invullen in x nieuw krijgen we het ART algoritme: at i x nieuw = x oud + a i a T i (b i a i x oud ). Het nemen van ART iteraties breken we af als de reconstructie op het oog acceptabel is. 23

26 6 Numerieke experimenten Bij de reconstructie van een dwarsdoorsnede van een lichaam hebben we de pseudo-inverse en het ART algoritme nodig. Om een zo scherp mogelijke reconstructie te maken is het ook belangrijk dat we weten hoe de projecties genomen moeten worden zodat ze, samengevoegd tot een projectiematrix A, deze projectiematrix een rang van n 2 krijgt. Als doel hierbij hebben we de volge onderzoeksvraag. Onderzoeksvraag: Hoe moeten de projecties worden gekozen om met zo min mogelijk projecties een reconstructie van voldoe kwaliteit te maken? 6.1 Testproblemen In de experimenten drukken we de kwaliteit van een reconstructie uit in de fout: n 2 i=1 x nieuw i x i n 2. De fout gebruiken we om te meten hoe ver de benaderde pixelwaarden x nieuw i zijn geconvergeerd naar de echte pixelwaarden x i. (In de praktijk weten we de echte pixelwaarden niet, maar de projectiestrategie staat dan al vast. We willen nu juist onderzoeken welke projectiestrategie we moeten nemen.) Om onze projectiestrategie te testen definiëren we een aantal testproblemen (zie Figuur 13): Kleine testproblemen: Foto van random kleuren: 2 2, 3 3, 4 4 en pixels: De kleuren zijn in RGB grijswaarden met een precisie van 10 4 ; Voor een foto van n n zijn minstens n 2 projecties nodig. Grote testproblemen: Foto van een gezicht: , Foto van een hersenscan: ; De kleuren zijn in RGB grijswaarden met een precisie van 10 4 ; De berekening van de pseudo-inverses neemt te veel tijd bij het bepalen van de optimale hoek voor een minimum aan projecties; Voor een acceptabele reconstructie voor een foto van n n hebben we minder dan n 2 projecties nodig. 24

27 Figuur 13: Illustraties van de testproblemen. Hierbij onderzoeken we de fout bij het nemen van gerichte projecties en random projecties voor: Horizontale projecties (voor verticale projecties geldt hetzelfde); Horizontale en verticale projecties; Waaierstraal projecties; Pseudo-inverse van de projectiematrix A; ART. 25

28 6.2 Horizontale projecties We onderzoeken met ART wat er gebeurt met het residu bij het nemen van één projectie en of het mogelijk is om met alleen horizontale projecties een foto te reconstrueren. Figuur 14: De originele foto van 2 2 Bij iedere ART iteratie wordt het residu van de projectie 0 gemaakt. Dit betekent dat het residu evenredig over de pixels wordt verdeeld. Als we twee keer achter elkaar dezelfde projectie nemen kan het residu van deze projectie niet minder worden en zal de fout dus ook niet veranderen (minder worden). De fout van de pixels kunnen zowel in de projectie als in de hele foto nog heel erg groot zijn. Bij het nemen van alleen horizontale projecties (maakt niet uit in welke volgorde) kan het residu per projectie, na alle n rijen te hebben gehad, ook niet minder worden, omdat het residu van elke rij op 0 is gesteld en verdeeld is over de pixels. (Hetzelfde geldt voor verticale projecties.) In Figuur 15 zien we een foto en grafieken van foto s van 2 2 waarbij 50 keer 2 horizontale projecties (= 100 ART iteraties) zijn genomen. De grijswaarden worden evenredig over de horizontale pixels verdeeld waardoor er maar twee kleuren te zien zijn. Er zijn dus maar twee grijswaarden, ongeacht hoeveel projecties er worden genomen. De fout gaat niet naar 0, maar blijft na de tweede projectie constant. Figuur 15: Bij het nemen van 50 keer 2 horizontale projecties (= 100 ART iteraties) zien we in de reconstructie van de foto 2 strepen. De pixelwaarden convergeren dus niet naar de originele pixelwaarden. Dit kunnen we ook zien in de grafiek van de fout doordat de fout niet naar 0 gaat. Conclusies: Door met ART alleen horizontale projecties te nemen voor een foto van n n zullen we n verschille strepen van grijswaarden zien in de foto en kunnen we dus geen foto reconstureren. In Hoofdstuk 5.1 hebben we gezien dat als de projectiematrix A onderbepaald is we geen foto kunnen reconstrueren met de pseudo-inverse van A. Hier hebben we twee projecties bij 4 pixels, dus de projectiematrix is 26

29 zeker onderbepaald. Het aantal projecties is n voor een foto van n n en dus altijd onderbepaald. 27

30 6.3 Horizontale en verticale projecties We onderzoeken met ART of we een foto kunnen reconstrueren met alleen horizontale en verticale projecties. Figuur 16: Originele foto s van 2 2 (links) en 3 3 (rechts). Als we nu alleen horizontale en verticale projecties nemen krijgen we de reconstructie van de foto, de grafieken van de grijswaarden per pixel en de grafiek van de fout in Figuur 17. De fout blijft constant na twee horizontale en twee verticale projecties. In Figuur 18 zien we dat voor een foto van 3 3 na 6 projecties (3 horizontale en 3 verticale projecties) de fout ook weer constant blijft. Figuur 17: 25 keer 4 projecties levert 100 ART iteraties. Figuur 18: 17 keer 6 projecties levert 102 ART iteraties. Conclusies: Bij een foto van n n zullen we n 2 verschille lijnen zien in de grafieken voor de grijswaarde per pixel. 28

31 In de tabel in Hoofdstuk 5.1 hebben we al gezien dat de matrix A voor alleen horizontale en verticale projecties onderbepaald is en er geen unieke oplossing is Random of gericht horizontale en verticale projecties We onderzoeken of het nemen van random projecties sneller gaat dan het nemen van een van te voren vastgestelde volgorde van de projecties. Als we naar Figuur 19 en 20 kijken zien we dat er meer ART iteraties nodig zijn als we ze random nemen, dan wanneer we ze gericht nemen om tot een minimale fout te komen en de pixelwaarden niet verder convergeren. Maar het aantal te nemen projecties blijft 4 (en 6 voor een foto van 3 3) voor gericht en random genomen projecties. Figuur 19: 100 ART iteraties van de 4 projecties gericht (linker twee Figuren) en random (rechter twee Figuren). Figuur 20: 100 ART iteraties van de 6 projecties gericht (linker twee Figuren) en random (rechter twee Figuren). Conclusies: Als we de horizontale en verticale projecties random nemen zijn er meer ART iteraties nodig voordat de fout minimaal is. We kunnen de projecties dus beter in een vastgestelde volgorde nemen en deze volgorde herhalen. 29

32 6.4 Waaierstralen We hebben in Paragraaf 4.1 gezien dat de projectiestrategiën, voor één plak, de waaierstraal als basis hebben. De waaierstraal neemt vanuit een vast punt opeenvolge projecties met een vaste hoek tussen elke projectie. We passen de waaierstraal toe op de pseudo-inverse van de projectiematrix A (zie Hoofdstuk 5.2) en op de methode van reeksonwikkeling met ART (zie Hoofdstuk 5.3). In Hoofdstuk 5.1 hebben we gezien dat een foto van n n een rang van n 2 moet hebben om de foto te reconstrueren. Om de rang te verhogen moet elke, aan de projectiematrix A toegevoegde projectie, 1 pixel verschil hebben met alle projecties die al zijn genomen. Dit is wat de waaierstraal doet bij een juiste hoek tussen de projecties. Voor een foto van n n kunnen we een waaierstraal nemen vanuit de punten van de linker, boven, rechter en onder ribbe. Omdat de pixels van een foto discrete waarden hebben en de projecties continue functies zijn maken we deze functies discreet door alle reëele waarden tot en met het eerstvolge gehele getal dit eerstvolge gehele getal te maken. Als we een projectie uitgedrukt als functie y(x) hebben en een foto als y (x ) dan krijgen we voor x (0,..., 1] x = 1, x (1,..., 2] x = 2,..., x (n 1,..., n] x = n. Hetzelfde geldt voor y. Zie Figuur 21. Voor de boven, rechter en onder ribbe geldt dezelfde discretisatie van functie y(x) naar foto y (x ) bij een rotatie van 90 graden rond het middelpunt (0.5n, 0.5n). In Figuur 23, 24 en 25 zijn de twee verschille schalen samengevoegd tot de schaal van de foto en zien we welke delen van de projecties in welke pixel terecht komen. Figuur 21: Links: Waaierstralen kunnen we nemen vanuit de linker, boven, rechter en onder ribbe van een foto. rechts: Drie waaierstralen met 30 graden tussen de projecties. De schaal van de foto (links: y (x )) is anders dan de schaal van de projecties (rechts: y(x)). 30

33 6.5 Waaierstraal met de pseudo-inverse van de projectiematrix A voor een foto van 3 3 Om te kijken hoe we het beste een waaierstraal met zo min mogelijk projecties kunnen nemen gebruiken we een foto van 3 3. Om de foto te reconstrueren nemen we de pseudo-inverse van de projectiematrix A en kijken we bij welk aantal waaierstraalprojecties de fout van de reconstructie voldoe klein wordt. Dit doen we met 3 verschille varianten bij de experimenten voor het toepassen van een waaierstraal. We nemen een waaierstraal vanuit elke pixel y [1, n], vanuit y = 1 of vanuit y = 0.5n. Ook kijken we of we het aantal projecties nog verder kunnen verkleinen door het beginpunt x van de waaierstraal te variëren van x = 3 tot en met x = 0. Figuur 6.5 is de originele foto waarmee we experimenteren. Figuur 22: De originele foto. 31

34 In Figuur 23, 24 en 25 is als voorbeeld een foto van 3 3 genomen met 30 graden als hoek tussen de projecties. Voor y [1, 2, 3] Voor y = 1 Figuur 23: Links: x = 0, midden: x = 1, rechts: x = 2. Voor y = 0.5n Figuur 24: Links: x = 0, midden: x = 1.5, rechts: x = 2.5. Figuur 25: Links: x = 0, midden: x = 0.5, rechts: x = 2. We presenteren hier de resultaten voor y = 0.5n. In de Appix A presenteren we de resultaten voor y [1, n] en y = 1. 32

35 6.5.1 Waaierstraal vanuit beginpunt x = 0, y = 0.5n We onderzoeken wat het minimum aantal projecties is bij het nemen van een waaierstraal vanuit punt (0, 0.5n). Deze waaierstraal nemen we vanuit één ribbe, vanuit twee opeenvolge ribben, vanuit twee tegenover elkaar staande ribben en vanuit alle ribben. We zien per genomen ribbe in de middelste grafiek het aantal projecties per hoek en in de rechter grafiek de log van de fout per hoek. Hierdoor kunnen we per hoek aflezen bij welk aantal projecties er een minimum fout is. Er zijn in de grafiek van de log van de fout per hoek pieken te zien. Dit komt doordat de projecties bij verandering van de hoek verschuiven. Bij zo een verschuiving kan de manier waarop de pixels per projectie worden meegenomen veranderen en dit kan net het verschil uit maken tussen bijvoorbeeld een rang van 8 en een rang van 9 voor de projectiematrix. Bij een rang van 9 hebben we een minmale fout en dus een unieke oplossing. Bij een rang van 8 niet. Het minimum aantal projecties is 10 (zie Figuur 26, 27 en 28). Het maakt niet uit of we 1 of 2 ribben nemen. Bij 4 ribben hebben we een minimum aantal projecties van 12 (zie Figuur 29). Eén ribbe We zien in de grafiek dat er bij een hoek van 16 graden en groter het aantal projecties kleiner wordt dan 10, maar de fout is hier niet minimaal. Voor een hoek groter dan 14 graden is er dus geen unieke oplossing. Figuur 26: Minimum aantal projecties = 10, hoek = 14 graden. 33

36 Linker en boven ribbe We zien in de grafieken dat er voor 28 en 32 graden een minimum aantal projecties van 10 is. Tussen 28 en 32 graden is er ook een minimum aantal projecties van 10, maar hier is de fout te groot voor een unieke oplossing. We zien ook dat het minimum aantal projecties naar 8 gaat voor 33, 34 en 35 graden, maar hier is de fout ook te groot. De rang van de projectiematrix kan hier nooit 9 worden en er is dus geen unieke oplossing mogelijk. Figuur 27: Minimum aantal projecties = 10, hoek = 32 graden. Linker en rechter ribbe Voor een hoek van 29 graden en groter zien we dat het minimum aantal projecties van 10 naar 8 gaat, maar de fout is voor een hoek groter dan 29 graden te groot om een unieke oplossing te krijgen. Figuur 28: Minimum aantal projecties = 10, hoek = 29 graden. 34

37 Alle ribben In de grafiek van de fout zien we ook weer pieken met een hele grote fout. Ook hier komt dit weer door de verschuiving van de projecties waardoor de pixels per projectie zodanig verschillen dat de rang kleiner wordt dan 9 en er geen unieke oplossing mogelijk is. We zien een gat in de grafiek van het aantal projecties per hoek, omdat het aantal projecties hier kleiner is dan 10. Figuur 29: Minimum aantal projecties = 12, hoek = 50 graden. In de grafieken met het aantal projecties hebben we de dubbele projecties niet meegeteld. Als er meerdere hoeken mogelijk zijn hebben we de grootste hoek genomen om zo min mogelijk dubbele projecties door een foto te krijgen. Conclusie ribbe minimum projecties hoek (graden) één ribbe twee opeenvolge ribben tegenover elkaar ligge ribben vier ribben Tabel 3: Conclusie voor waaierstralen vanuit beginpunt (0, 0.5n). We kunnen het aantal projecties nog verkleinen door de x-coördinaat van de waaierstraal verder van de foto te plaatsen. 35

38 6.5.2 Waaierstraal vanuit beginpunten x [ 3,..., 0], y = 0.5n In Paragraaf hebben we gezien wat het minimum aantal projecties met de waaierstraal is (met bijbehore hoek) vanuit één ribbe, vanuit twee opeenvolge ribben, vanuit twee tegenover elkaar staande ribben en vanuit alle ribben. Het aantal projecties proberen we nu nog verder te verkleinen door de afstand van de waaierstraal tot de foto te vergroten. Dit doen we door de x-waarde van het beginpunt van de waaierstraal te variëren van x = 3 tot en met x = 0. Eén ribbe met een hoek van 14 graden voor de waaierstraal. De hoek voor minimum aantal projecties per waaierstraal is 14 graden voor x = 0. Variëren we het beginpunt van de waaier van x = 3 tot en met x = 0, dan zien we in Figuur 30 dat het minimum aantal projecties 10 blijft. Als we de hoek 13 graden maken (zie Figuur 31) in plaats van 14 graden kunnen we het aantal projecties wel verminderen. Figuur 30: Minimum aantal projecties = 10, hoek = 14 graden, x = 0. Figuur 31: Minimum aantal projecties = 9, hoek = 13 graden, x = [ 0.4, 0.3]. Linker en boven ribbe met een hoek van 32 graden voor de waaierstraal. De hoek voor minimum aantal projecties per waaierstraal is 32 graden voor x = 0. Variëren we het beginpunt van de waaier van x = 3 tot en met x = 0, dan zien we in Figuur 32 dat het minimum aantal projecties 10 blijft. Het minimum aantal projecties in Figuur 32 is 10 voor x [ 0.1, 0]. 36

39 Figuur 32: Minimum aantal projecties = 10, hoek = 32 graden, x [ 0.1, 0]. Linker en rechter ribbe met een hoek van 29 graden voor de waaierstraal. De hoek voor minimum aantal projecties per waaierstraal is 29 graden voor x = 0. Variëren we het beginpunt van de waaier van x = 3 tot en met x = 0, dan zien we in Figuur 33 dat het minimum aantal projecties 10 blijft. Het minimum aantal projecties in Figuur 33 is 10 voor x [ 0.1, 0]. Figuur 33: Minimum aantal projecties = 10, hoek = 29 graden, x [ 0.1, 0]. Alle ribben met een hoek van 50 graden voor de waaierstraal. De hoek voor minimum aantal projecties per waaierstraal is 50 graden voor x = 0. Variëren we het beginpunt van de waaier van x = 3 tot en met x = 0, dan zien we in Figuur 34 dat het minimum aantal projecties 12 blijft. Het minimum aantal projecties in Figuur 34 is 12 voor x [ 0.7, 0]. Figuur 34: minimum projecties = 12, hoek = 50 graden, x [ 0.7, 0]. 37

40 Conclusie ribbe minimum projecties hoek (graden) x één ribbe 9 13 [ 0.4, 0.3] twee opeenvolge ribben [ 0.1, 0] tegenover elkaar ligge ribben [ 0.1, 0] vier ribben [ 0.7, 0] Tabel 4: Conclusie voor waaierstralen vanuit beginpunten met y = 0.5n. Conclusies voor de waaierstraal vanuit beginpunten x [ 3,..., 0], y = 1 en x [ 3,..., 0],y [1, 2, 3] De conclusies voor y = 1, 2, 3 en y = 1 staan in onderstaande tabellen. De uitwerkingen gaan op dezelfde manier als voor y = 0.5n en deze zijn te vinden in de Appix A. Conclusie ribbe minimum projecties hoek (graden) x één ribbe 9 40 [ 0.6, 0.5] twee opeenvolge ribben [ 0.6, 0] tegenover elkaar ligge ribben [ 0.6, 0] vier ribben [ 2.8, 1.9] Tabel 5: Conclusie voor waaierstralen vanuit beginpunten met y = 1, 2, 3. Conclusie ribbe minimum projecties hoek (graden) x één ribbe 9 10 [ 0.7, 0.6] 0 twee opeenvolge ribben tegenover elkaar ligge ribben [ 0.4, 0] vier ribben [ 0.4, 0] Tabel 6: Conclusie voor waaierstralen vanuit beginpunten met y = 1. 38

41 6.5.3 Conclusie voor de pseudo-inverse met de waaierstraal. Om een minimum aantal projecties voor een foto van 3 3 te krijgen (zie Hoofdstuk 5.1) hebben we in Tabel 7 de projectiestrategiën met bijbehore hoek en preciese afstand tot de foto voor het beginpunt van de waaierstralen gegeven. Restricties voor de waaierstraal bij een foto van 3 3 ribbe y x hoek (graden) één ribbe [1, 2, 3] [0.5, 0.6] 40 één ribbe 1 0 [0.6, 0.7] 10 twee opeenvolge ribben één ribbe 1.5 [0.3, 0.4] 13 Tabel 7: Minimum aantal projecties van 9 voor het gebruik van waaierstralen met de 3 verschille projectiestrategiën. Voor de drie projectiestrategiën krijgen we als conclusie voor een foto van n n Tabel 8. De coördinaten voor de beginpunten van de waaierstralen kunnen we omrekenen naar het algemene geval voor een foto van n n. Maar als we dit toepassen op foto s van n n dienen deze waarden eerder als richtlijnen dan als kwantitatieve conclusies. Wat we weten is dat het aantal projecties voor een vaste hoek minder wordt als het beginpunt van de waaierstraal verder van de foto wordt gezet. Ook weten we dat de hoek voor de waaierstraal kleiner moet worden genomen als de afmeting van de foto groter wordt om per projectie een pixel toe te kunnen voegen zodat er een projectiematrix A van rang n 2 gevormd kan worden. Hierdoor kunnen we wel gerichter zoeken naar een juiste hoek bij een van te voren bepaalde afstand tot de foto. Restricties voor de waaierstraal bij een foto van n n ribbe y x één ribbe y [1, 2,..., n 1, n] [ 1 5 n, 1 6 n] één ribbe 1 [ 7 30 n, 1 5 n] 0 twee opeenvolge ribben n één ribbe 0.5n [ 2 15 n, 1 10 n] Tabel 8: Minimum aantal projecties van n n voor het gebruik van waaierstralen met de 3 verschille projectiestrategiën. 39

42 6.6 Waaierstraal met ART Volgorde van de projecties We onderzoeken met ART of de volgorde van de projecties uit maakt bij het nemen van onafhankelijke projecties. Nemen we achtereenvolgens een projectie van de eerste pixel uit 1 rij en vullen de volge projectie aan met één pixel en doen dit tot we de hele rij met pixels hebben gehad dan krijgen we voor een foto van 3 3 bijvoorbeeld de projectiematrix (zie bijbehore Figuur 35) : A = (5) Van de projectiematrix A nemen we met ART eerst de eerste rij, dan de tweede rij en dan de derde rij. Hierna beginnen we weer met de eerste rij en gaan zo elke rij van de projectiematrix A af tot we 100 ART iteraties hebben gehad met de drie projecties. Dat de pixelwaarden, waar een projectie doorheen gaat, convergeren naar de originele pixelwaarden is te zien door de foto s met elkaar te vergelijken. De pixels waar geen projectie doorheen gaat blijven zwart. Dit is te zien in Figuur 35. Figuur 35: 3 projecties, achtereenvolgens: origineel, 3 ART iteraties, 15 ART iteraties, 99 ART iteraties. In Figuur 36 zien we dat bij genoeg herhaling van de drie projecties (100 ART iteraties delen door 3 projecties), de pixelwaarden waar de projecties doorheen gaan, convergeren naar de originele pixelwaarden. Als er geen projectie door een pixel gaat zal deze dus geen pixelwaarde krijgen en niet worden meegenomen in de foutcorrectie bij toepassing van ART. Dit is in Figuur 36 ook te zien doordat in de grafieken van de grijswaarde per pixel maar 3 grafieken te zien zijn. De andere zes blijven op waarde 0. De fout convergeert niet naar 0, omdat er nog een fout in de 6 pixels zit waar geen projectie doorheen gaat. Figuur 36: Twaalf keer 3 onafhankelijke projecties is 99 ART iteraties. De projecties gaan door één rij pixels in de foto. De gebroken lijnen zijn de originele pixelwaarden van de foto. 40

43 Vergelijken we in Figuur 37 de fout van de projecties vanuit links en vanuit rechts, dan zien we dat voor een minimale fout het aantal ART iteraties hetzelfde blijft. Het maakt dus niet uit of we vanuit links of rechts beginnen met de projecties en binnen een set projecties hangt de convergentie dus niet af van de kleur. Figuur 37: 1e en 2e grafiek: projecties van links naar rechts, 3e en 4e grafiek: projecties van rechts naar links. We vergelijken de minimale fout en de grijswaarden per pixel bij gericht en random genomen projecties. In Figuur 38 is te zien dat voor minimale fout meer ART iteraties nodig zijn bij het nemen van random projecties. Figuur 38: 3 projecties van links naar rechts, 1e en 2e grafiek: gericht, 3e en 4e grafiek: random. Conclusie: Elke pixel moet in minstens één van de n 2 onafhankelijke projecties zitten. Het maakt niet uit in welke volgorde deze groep projecties wordt genomen als het totaal aantal ART iteraties maar niet random wordt genomen. Binnen 1 projectie maakt het niet uit in welke volgorde de pixels worden genomen voor spreiding van het residu over de pixels. 41

44 6.6.2 Nauwkeurigheid met ART We onderzoeken wat er gebeurt met het minimum benodigde aantal projecties ten opzichte van de fout bij het vermeerderen van het aantal ART iteraties om een zo nauwkeurig mogelijke reconstructie van de foto te krijgen. We nemen een waaierstraal vanuit vier verschille x-waarden (0, 0.5, 1 en 2) en y = 0.5n = 1.5. Als we de hoek van de waaierstraal van 0 graden laten toenemen tot en met 90 graden, dan krijgen we de grafieken in onderstaande 3 Figuren (Figuur 39, 40 en 41). Hoe meer ART iteraties (30, 100, 300) er worden gebruikt hoe nauwkeuriger de grijswaarden van de pixels worden berek. Bij 300 ART iteraties zien we dat het minimum aantal projecties 11 is. Voor x = 1 zien we dat bij 9 projecties de fout ook afneemt. Nemen we 600 ART iteraties voor x = 1, dan zien we in Figuur 42 dat bij 9 projecties de fout ook naar de maximale machineprecisie van gaat. Figuur 39: 30 keer aantal projecties, achtereenvolgens: x = 0, x = 0.5, x = 1, x = 2. Figuur 40: 100 keer aantal projecties, achtereenvolgens: x = 0, x = 0.5, x = 1, x = 2. Figuur 41: 300 keer aantal projecties, achtereenvolgens: x = 0, x = 0.5, x = 1, x = 2. 42

45 Figuur 42: 600 keer aantal projecties, x = 1. Conclusie: Bij minstens n 2 projecties, die samen een projectiematrix van rang n 2 vormen, convergeert ART naar de exacte oplossing. 43

46 6.6.3 Benodigde precisie van de fout voor een scherpe foto. We onderzoeken wat de precisie van de fout moet zijn om een zo scherp mogelijke foto te krijgen. Nemen we 11 projecties met x = 0 en y = 1.5 voor een foto van 3 3 om een maximale convergentie van de grijswaarden per pixel te bepalen dan zien we in Figuur 43 dat hiervoor ongeveer 450 ART iteraties (41 keer 11 projecties) nodig zijn. Ook zien we dat er twee dubbele projecties worden genomen aan het begin van de waaier en aan het eind van de waaier. Dit maakt het minimum aantal projecties 11 2 = 9 projecties. Figuur 43: 300 keer 11 projecties met een waaierstraal vanaf punt x = 0 en y = 1.5. Herhalen we de 11 projecties 41 keer (= 450 ART iteraties), dan krijgen we een precisie van de fout van bijna 10 4 (zie Figuur 44). Figuur 44: Een precisie van de fout in de buurt van 10 4 is voldoe voor een scherpe foto van 3 3. In Figuur 45 zien we dat de pixelwaarden voor een foto van 4 4 maximale convergentie hebben voor ongeveer 2800 ART iteraties (97 keer 29 projecties). Dit levert een precisie van bijna Figuur 45: 100 keer 29 projecties met een waaierstraal vanaf punt x = 0 en y = 1.5. Een precisie van de fout in de buurt van 10 4 is voldoe voor een scherpe foto van 4 4. Conclusie: Een precisie van de fout in de buurt van 10 4 is voldoe om een scherpe foto te krijgen. De scherpte van de foto hangt af van de precisie van de RGB-waarden van de kleuren die de pixels hebben die ook een precisie van 10 4 hebben. 44

47 6.6.4 Overeenkomsten tussen de pseudo-inverse en ART. We onderzoeken de overeenkomsten tussen de pseudo-inverse en het gebruik van ART. Voor een scherpe reconstructie van een foto van 3 3 nemen we (x, y) = ( 2 15n, 0.5n) met een foutprecisie in de buurt van 10 4 (zie Paragraaf 6.6.2). In Figuur 46 is te zien dat de fout per hoek met de pseudo-inverse en ART hetzelfde is als voor de waaierstraal hetzelfde (x, y) startpunt en dezelfde hoek is gebruikt. Figuur 46: midden: Foutberekening per hoek met de pseudo-inverse, rechts: Foutberekening per hoek met ART (1000 keer per per hoek van de waaierstraal). In Figuur 47 en 48 zien we dat de reconstructie voor de pseudo-inverse en ART hetzelfde is als voor de waaierstraal hetzelfde (x, y) startpunt en dezelfde hoek is gebruikt. Bij een precisie van de fout, voor een hoek van 13 graden (9 projecties), in de buurt van 10 4 moeten we ongeveer 200 ART iteraties nemen (Zie Figuur 47). De reconstructie van de foto is scherp genoeg. Figuur 47: Links: Reconstructie met de pseudo-inverse bij een hoek van 13 graden met waaierstraalprojecties, midden: Foutberekening per hoek met 200 ART iteraties, rechts: Reconstructie met ART bij een hoek van 13 graden met waaierstraalprojecties. 45

48 Figuur 48: Links: Reconstructie met de pseudo-inverse bij een hoek van 16 graden met waaierstraalprojecties, midden: Foutberekening per hoek met 200 ART iteraties, rechts: Reconstructie met ART bij een hoek van 16 graden met waaierstraalprojecties. Conclusie: Voor de pseudo-inverse en ART geldt dezelfde scherpte voor de reconstructie van een foto als hetzelfde startpunt (x, y) met dezelfde tussenligge hoek is gebruikt voor de waaierstraal. Met andere woorden: De fout bij reeksontwikkeling met ART convergeert naar de oplossing met de pseudo-inverse van de projectiematrix A. 46

49 6.6.5 Conclusie voor waaierstraal met ART De fout bij reeksontwikkeling met ART, convergeert naar de oplossing met de pseudo-inverse van de projectiematrix A, als hetzelfde startpunt (x, y) met dezelfde tussenligge hoek is gebruikt voor de waaierstraal. Hiervoor moet, bij het gebruik van de waaierstraal om een foto van n n te reconstrueren, elke pixel in minstens één van de n 2 onafhankelijke projecties zitten. Anders zal de pixel geen correctiewaarde van ART krijgen en zal de ontbreke pixel waarde 0 blijven (= zwart). Binnen één projectie maakt het niet uit in welke volgorde de pixels worden genomen voor spreiding van het residu over de pixels. Het maakt ook niet uit in welke volgorde de groep n 2 onafhankelijke projecties, die samen dus een matrix van rang n 2 vormen, wordt genomen. De nauwkeurigheid van de grijswaarden van de pixels hangt af van het aantal keren dat de groep onafhankelijke projecties wordt herhaald met ART. De precisie van de fout om een zo scherp mogelijke foto te krijgen hangt hierbij af van de precisie van de RGB-waarden van de grijswaarden. Of het totaal aantal ART iteraties wel of niet random genomen kunnen worden hangt af van de afmeting van de foto die gereconstrueerd wordt. Hoe groter de foto hoe kleiner de kans dat één projectie twee keer na elkaar genomen wordt. En ook wordt de kans groter dat alle projecties even vaak worden genomen. Bij een vierkante foto maakt het niet uit vanuit welke ribbe de projectiestrategie genomen wordt. 47

50 7 Validatie 7.1 Strategie om de parameters van te voren te kiezen. We passen de projectiestrategie van de waaierstraal met y = 0.5n toe. Voor de afstand tot de foto nemen we als richtlijn 2 15n. De hoek voor een zo scherp mogelijke reconstructie kunnen we alleen voor een foto van 11 11, met behulp van de pseudo-inverse, optimaal berekenen. De foto van en nemen in matrixvorm te veel ruimte en rekentijd om een optimale hoek te berekenen. Hierdoor hebben we twee verschille projectiestrategiën: Een ideale projectiestrategie met de pseudo-inverse, waarbij de hoek exact wordt berek. Een practische projectiestrategie met ART, waarbij de hoek wordt geschat. Voor foto s waarbij geen optimale hoek bepaald kan worden bepalen we eerst de kleinst mogelijke hoek (zonder 0 graden) tussen twee opeenvolge projecties, vanuit het punt ( 2 15n, 0.5n), waarbij één pixel wordt toegevoegd. In Figuur 49 is dit hoek α. Voor een foto van is deze hoek te klein om aan te geven. Met hoek α als referentie proberen we een steeds kleinere hoek uit om met ART te kijken welke een scherpere reconstructie geeft. Bij de ART iteraties zijn de dubbele projecties ook meegeteld. Het werkelijk aantal projecties kan soms wel tot 1 e 3 deel van het getelde aantal projecties terug gebracht worden. Figuur 49: Links: α is de kleinste hoek tussen twee opeenvolge projecties waarbij één pixel wordt toegevoegd. rechts: De kleinste hoek tussen twee opeenvolge projecties voor een foto van is duidelijk kleiner dan die voor de foto van 3 3 (links). 48

51 7.2 Projectiestrategie voor een foto van 11x11 We vergelijken de ideale met de practische projectiestrategie voor een aanvaardbare reconstructie. Om een minimum aantal projecties te krijgen voor een foto van nemen we een waaierstraal vanaf punt ( , ). In de grafiek van Figuur 50 is te zien dat er een optimale hoek is van 0.29 graden. Omdat de rang bij een hoek van 0.29 graden 121 is geeft de pseudo-inverse van de projectiematrix A een exacte reconstructie en dus ART ook. Bij de practische strategie komen we op een hoek van 0.34 graden. In Tabel 9 is te zien dat bij de hoek van 0.34 graden de rang 119 is en de fout met de pseudo-inverse een precisie heeft van Omdat, bij genoeg iteraties met ART, we dezelfde oplossing krijgen zullen we nooit in de buurt van de benodigde precisie van 10 4 komen. De optimale berekening met behulp van Figuur 50 doet het dus beter, omdat het resultaat makkelijk af te lezen is. Een verschil in hoek van 1 e 10 kan een verschil maken in de fout van De optimale hoek is dus bijna niet te schatten. Dit maakt van het bepalen van de hoek met de practische strategie erg veel werk. Figuur 50: Er is een minimum aantal projecties bij een hoek van 0.29 graden (172 projecties met een rang van 121). ( , pinv(a) (x,y) hoek projecties rang fout 11, ) Tabel 9: De pseudo-inverse voor de hoek van 0.34 graden met de practische en de hoek van 0.29 graden met de ideale projectiestrategie. In de tabel hieronder kunnen we zien dat voor een precisie in de buurt van 10 4 het aantal ART iteraties meer dan moet zijn. Dan hebben we een exacte reconstructie zoals te zien in Figuur 52. Als we op het oog een acceptabele reconstructie kiezen, dan is er na ART iteraties ook een goede reconstructie. De precisie van 10 4 is dus niet nodig. ( , ART (x,y) hoek projecties ART iteraties fout tijd 11, ) sec sec sec Tabel 10: 100, 300 en ART iteraties bij een hoek van 0.29 graden. 49

52 Figuur 51: Pinv(A), links: origineel, midden: hoek = 0.34 graden, rechts: hoek = 0.29 graden. Figuur 52: ART iteraties, 0.29 graden, links: , midden: , rechts: Projectiestrategie voor een foto van 100x100 Om een minimum aan projecties te krijgen maken we gebruik van de practische projectiestrategie. We komen op een hoek van graden voor een waaierstraal vanuit punt ( , 50). Bij een grotere hoek van 0.01 graden zien we in Figuur 53 dat er met projecties ook al een duidelijke reconstructie is. Op het oog maakt het niet uit of we of ART iteraties nemen. Voor een kleinere hoek van graden (zie Figuur 54) is de korreligheid tegenover het beginpunt van de waaierstraal bijna verdwenen. Maar het aantal projecties is 10 keer meer ( ). ( , ART (x,y) hoek projecties ART iteraties fout tijd 100, ) sec min, 55 sec uur, 48 min min, 26 sec uur, 19 min, 53 sec Tabel 11: ART iteraties bij een hoek van 0.01 graden en een hoek van graden. 50

53 Figuur 53: Hoek = 0.01, ART iteraties = links: , midden: , rechts: Figuur 54: Hoek = 0.001, ART iteraties = links: , midden: , rechts: Projectiestrategie voor een foto van Om een minimum aan projecties te krijgen maken we gebruik van de practische projectiestrategie. We komen op een hoek van graden voor een waaierstraal vanuit punt ( , 195). Deze hoek hebben we voor alle reconstructies toegepast. 2 ( 15 (x,y) 390, ) hoek , ART projecties ART iteraties fout tijd 20 min, 4 sec 6 uur, 1 minuut, 26 sec Tabel 12: ART iteratgies bij een hoek van graden. Figuur 55: Hoek = , ART iteraties = links: origineel, midden: , rechts:

54 Voor de reconstructie van Figuur 56 hebben we, vanwege het vele zwart in de hoeken van de foto, de totale hoek van alle projecties in de waaierstraal van 180 graden verkleind naar 80 graden. Afgezien van de korreligheid is er duidelijk te zien om welke reconstructie het gaat. Er zijn, inclusief dubbele projecties, projecties gebruikt. Bij een rang van n 2 = is dit erg laag. Dit is een goeie reconstructie. ( , ART (x,y) hoek projecties ART iteraties fout tijd 390, ) min, 22 sec dagen, 1 uur, 34 min, 43 sec Tabel 13: ART iteraties bij een hoek van graden met een totale projectiehoek voor de waaierstraal van 80 graden. Figuur 56: Hoek = , ART iteraties = links: , rechts: