Tomografie in Flatland. Jan Brandts. Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam. Amsterdam, 9 september 2008

Transcriptie

1 Tomografie in Flatland Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Amsterdam, 9 september 2008

2 Tomografie Tomografie is de kunst van het bekijken van het inwendige zonder het betreffende object te openen. Vooral bij medische toepassingen is dit vaak erg plezierig.

3 Tomografie Tomografie is de kunst van het bekijken van het inwendige zonder het betreffende object te openen. Vooral bij medische toepassingen is dit vaak erg plezierig.

4 Rokende Flatlanders met Bekende Anatomie Rokende Flatlanders hebben roet in hun organen. Door medische experimenten kennen Flatlanders hun eigen anatomie, oftewel, de ligging van hun organen. Ieder orgaan heeft zijn eigen mate van roetverzadiging. Deze bepaalt hoeveel straling door het orgaan wordt doorgelaten.

5 Rokende Flatlanders met Bekende Anatomie Rokende Flatlanders hebben roet in hun organen. Door medische experimenten kennen Flatlanders hun eigen anatomie, oftewel, de ligging van hun organen. Ieder orgaan heeft zijn eigen mate van roetverzadiging. Deze bepaalt hoeveel straling door het orgaan wordt doorgelaten.

6 Roetverzadiging als grijstint 0 C 1 De roetverzadiging van een bepaald orgaan wordt aangeduid met een variabele, C = 0 is volledige verzadiging: zwart van het roet; C = 1 staat voor helemaal geen roet, alles gaat erdoorheen; 0 < C < 1 zijn tussenliggende waarden van roetverzadiging. Voor het gemak zullen we het hebben over zwart als C = 0, over wit als C = 1, en grijs als 0 < C < 1.

7 Roetverzadiging als grijstint 0 C 1 De roetverzadiging van een bepaald orgaan wordt aangeduid met een variabele, C = 0 is volledige verzadiging: zwart van het roet; C = 1 staat voor helemaal geen roet, alles gaat erdoorheen; 0 < C < 1 zijn tussenliggende waarden van roetverzadiging. Voor het gemak zullen we het hebben over zwart als C = 0, over wit als C = 1, en grijs als 0 < C < 1.

8 Roetverzadiging als grijstint 0 C 1 De roetverzadiging van een bepaald orgaan wordt aangeduid met een variabele, C = 0 is volledige verzadiging: zwart van het roet; C = 1 staat voor helemaal geen roet, alles gaat erdoorheen; 0 < C < 1 zijn tussenliggende waarden van roetverzadiging. Voor het gemak zullen we het hebben over zwart als C = 0, over wit als C = 1, en grijs als 0 < C < 1.

9 Roetverzadiging als grijstint 0 C 1 De roetverzadiging van een bepaald orgaan wordt aangeduid met een variabele, C = 0 is volledige verzadiging: zwart van het roet; C = 1 staat voor helemaal geen roet, alles gaat erdoorheen; 0 < C < 1 zijn tussenliggende waarden van roetverzadiging. Voor het gemak zullen we het hebben over zwart als C = 0, over wit als C = 1, en grijs als 0 < C < 1.

10 Roetverzadiging als grijstint 0 C 1 De roetverzadiging van een bepaald orgaan wordt aangeduid met een variabele, C = 0 is volledige verzadiging: zwart van het roet; C = 1 staat voor helemaal geen roet, alles gaat erdoorheen; 0 < C < 1 zijn tussenliggende waarden van roetverzadiging. Voor het gemak zullen we het hebben over zwart als C = 0, over wit als C = 1, en grijs als 0 < C < 1.

11 Het effect van de roetverzadiging op de straling Als straling van intensiteit A over een lengte l door een orgaan met roetverzadiging C gaat, blijft er slechts M van over, waarbij M = C l A

12 De driehoekige en de vierkante Flatlander Je kan de roetgehaltes in de vierkante Flatlander heel eenvoudig bepalen door stralen schuin door zijn hoeken te sturen. Iedere straal door de driehoekige Flatlander gaat echter door minstens twee organen. Directe bepaling van de roetgehaltes is hier dus niet mogelijk!

13 De driehoekige en de vierkante Flatlander Je kan de roetgehaltes in de vierkante Flatlander heel eenvoudig bepalen door stralen schuin door zijn hoeken te sturen. Iedere straal door de driehoekige Flatlander gaat echter door minstens twee organen. Directe bepaling van de roetgehaltes is hier dus niet mogelijk!

14 De driehoekige en de vierkante Flatlander Je kan de roetgehaltes in de vierkante Flatlander heel eenvoudig bepalen door stralen schuin door zijn hoeken te sturen. Iedere straal door de driehoekige Flatlander gaat echter door minstens twee organen. Directe bepaling van de roetgehaltes is hier dus niet mogelijk!

15 Een mogelijke oplossing Stuur als volgt drie stralen door de driehoekige Flatlander: Dit geeft drie meetwaarden M 1, M 2, M 3. Volgens ons model geldt nu dat M 1 = C k D k, M 2 = D k E k, M 3 = C k E k.

16 Een mogelijke oplossing Volgens ons model geldt dat M 1 = C k D k, M 2 = D k E k, M 3 = C k E k. Herinner je nu de volgende rekenregels voor logaritmes: log(ab) = log(a) + log(b) en log(a p ) = p log(a) dan kunnen we bovenstaande modelvergelijkingen herschrijven tot k log(c) + k log(d) = log(m 1 ) k log(d) + k log(e) = log(m 2 ) k log(c) + k log(e) = log(m 3 ) De onbekenden log(c), log(d), log(e) kunnen we hieruit oplossen!

17 Een mogelijke oplossing Volgens ons model geldt dat M 1 = C k D k, M 2 = D k E k, M 3 = C k E k. Herinner je nu de volgende rekenregels voor logaritmes: log(ab) = log(a) + log(b) en log(a p ) = p log(a) dan kunnen we bovenstaande modelvergelijkingen herschrijven tot k log(c) + k log(d) = log(m 1 ) k log(d) + k log(e) = log(m 2 ) k log(c) + k log(e) = log(m 3 ) De onbekenden log(c), log(d), log(e) kunnen we hieruit oplossen!

18 Een mogelijke oplossing Volgens ons model geldt dat M 1 = C k D k, M 2 = D k E k, M 3 = C k E k. Herinner je nu de volgende rekenregels voor logaritmes: log(ab) = log(a) + log(b) en log(a p ) = p log(a) dan kunnen we bovenstaande modelvergelijkingen herschrijven tot k log(c) + k log(d) = log(m 1 ) k log(d) + k log(e) = log(m 2 ) k log(c) + k log(e) = log(m 3 ) De onbekenden log(c), log(d), log(e) kunnen we hieruit oplossen!

19 Een mogelijke oplossing Volgens ons model geldt dat M 1 = C k D k, M 2 = D k E k, M 3 = C k E k. Herinner je nu de volgende rekenregels voor logaritmes: log(ab) = log(a) + log(b) en log(a p ) = p log(a) dan kunnen we bovenstaande modelvergelijkingen herschrijven tot k log(c) + k log(d) = log(m 1 ) k log(d) + k log(e) = log(m 2 ) k log(c) + k log(e) = log(m 3 ) De onbekenden log(c), log(d), log(e) kunnen we hieruit oplossen!

20 De praktijk In de praktijk is vaak de onderverdeling in gebieden van contante roetverzadiging onbekend. Het object wordt dan verdeeld in kleine stukjes met veronderstelde constante dichtheid of verzadiging, etc.

21 Rekentijd Een stelsel met twee maal zoveel onbekenden oplossen met Gauss-eliminatie duurt grofweg acht keer zo lang. De rekentijd is kubisch in het aantal onbekenden. Verdeel een hoofd van centimeter in kubusjes van millimeter. Stel dat het bijbehorende stelsel in 0.1 seconde op de computer wordt opgelost. Real-time dus. Hoe snel zou die computer dan een 2 2 stelsel oplossen? Het moet dus anders, en zeker niet met Gauss-eliminatie. wordt nog steeds veel onderzoek gedaan naar de vraag hoe. Er

22 Rekentijd Een stelsel met twee maal zoveel onbekenden oplossen met Gauss-eliminatie duurt grofweg acht keer zo lang. De rekentijd is kubisch in het aantal onbekenden. Verdeel een hoofd van centimeter in kubusjes van millimeter. Stel dat het bijbehorende stelsel in 0.1 seconde op de computer wordt opgelost. Real-time dus. Hoe snel zou die computer dan een 2 2 stelsel oplossen? Het moet dus anders, en zeker niet met Gauss-eliminatie. wordt nog steeds veel onderzoek gedaan naar de vraag hoe. Er

23 Rekentijd Een stelsel met twee maal zoveel onbekenden oplossen met Gauss-eliminatie duurt grofweg acht keer zo lang. De rekentijd is kubisch in het aantal onbekenden. Verdeel een hoofd van centimeter in kubusjes van millimeter. Stel dat het bijbehorende stelsel in 0.1 seconde op de computer wordt opgelost. Real-time dus. Hoe snel zou die computer dan een 2 2 stelsel oplossen? Het moet dus anders, en zeker niet met Gauss-eliminatie. wordt nog steeds veel onderzoek gedaan naar de vraag hoe. Er

24 Rekentijd Een stelsel met twee maal zoveel onbekenden oplossen met Gauss-eliminatie duurt grofweg acht keer zo lang. De rekentijd is kubisch in het aantal onbekenden. Verdeel een hoofd van centimeter in kubusjes van millimeter. Stel dat het bijbehorende stelsel in 0.1 seconde op de computer wordt opgelost. Real-time dus. Hoe snel zou die computer dan een 2 2 stelsel oplossen? Het moet dus anders, en zeker niet met Gauss-eliminatie. wordt nog steeds veel onderzoek gedaan naar de vraag hoe. Er

25 Rekentijd Een stelsel met twee maal zoveel onbekenden oplossen met Gauss-eliminatie duurt grofweg acht keer zo lang. De rekentijd is kubisch in het aantal onbekenden. Verdeel een hoofd van centimeter in kubusjes van millimeter. Stel dat het bijbehorende stelsel in 0.1 seconde op de computer wordt opgelost. Real-time dus. Hoe snel zou die computer dan een 2 2 stelsel oplossen? Het moet dus anders, en zeker niet met Gauss-eliminatie. wordt nog steeds veel onderzoek gedaan naar de vraag hoe. Er

26 Nederlandse bijdragen aan dit vakgebied H.A. van der Vorst (1992). Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM J. Sci. Statist. Comput. 13(2): Wereldwijd meest geciteerde wiskundige onderzoeksartikel over het decennium ! Een colablikje heeft pas karakter als er een bus overheen is gegaan