De Kwantummechanica. Inleiding

Transcriptie

1 De Kwantummechanica Inleiding De kwantummechanica behoort ongetwijfeld tot een van de boeiendste en meest intrigerende theorieën van de moderne fysica. Haar ontstaan gaat terug tot de jaren De klassieke fysica, die in de loop der eeuwen stap voor stap was opgebouwd, werd rond deze eeuwwisseling met grote problemen geconfronteerd waarvoor de toen gekende natuurkundige theorieën geen oplossing meer boden. Door de vooruitgang van de techniek was, bijvoorbeeld, vastgesteld dat bepaalde fenomenen uit de microscopische wereld niet konden verklaard worden met de klassieke theorieën. De klassieke vertrouwde fysica stond dus op losse schroeven. Om uit die patsituatie te geraken was Max Planck ( ), een Duits fysicus uit Berlijn, in 1900 als eerste met een onwaarschijnlijke veronderstelling voor de dag gekomen. Hij veronderstelde namelijk dat het licht uit kleine deeltjes bestond, die hij kwanta noemde. Deze veronderstelling zou gedurende jaren de inzet zijn een belangrijke controverse tussen voor- en tegenstanders van zijn theorie. Tussen 1900 en 1930 werden onder fysici hevige discussies gevoerd. Er was een soort dertigjarige oorlog. Dit is ook niet te verwonderen want Planck had door zijn veronderstelling alle vertouwde wetten van de fysica in vraag gesteld. Mensen als Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Pauli en Dirac hebben, meestal vanuit een eigen invalshoek, hun volle gewicht gelegd in de zoektocht naar oplossingen voor de nieuwe problemen. Hun discussies waren doorslaggevend. Ondermeer in het métropole hotel in Brussel stonden deze punten op de agenda van de Solvay conferenties van 1927 en ( Zie foto hieronder) Sindsdien heeft de kwantummechanica zich, met vallen en opstaan, verder ontwikkeld. Zij biedt oplossingen aan voor vele problemen van de fysica maar voor andere aspecten blijft het nog tasten in het duister. Het laatste woord is nog niet gezegd! 1. Het klassiek wereldbeeld vóór 1900 Enkele jaren voor de eeuwwisseling van 1900 hadden nieuwe ontdekkingen in de fysica het klassiek wereldbeeld zwaar in de problemen gebracht. Toch was, bij gebrek aan andere theorieën, dit beeld nog steeds overheersend. Het was niet te verwonderen dat veel eminente wetenschappers er alles aan deden om het klassiek wereldbeeld te verdedigen. Het was door de eeuwen heen opgebouwd en had zijn uiteindelijke bekroning gevonden, in de persoon van Isaac Newton ( ), die op een geniale wijze de klassieke fysica in enkele zeer eenvoudige wetten had samengevat. 1

2 De uitstraling van Newton was enorm en aan zijn persoon raken was niet evident. De uitspraak van Michelson, een nobelprijswinnaar - en dus niet de eerste de beste geeft een beeld van het aanzien dat Newton ten dele viel. Michelson beweerde noch min noch meer dat de fysica, zoals die door Newton was samengevat, volmaakt was en dat er dus op dit gebied niets meer uit te vinden was,. behalve misschien nog hier en daar het zesde cijfer na de komma van een of andere natuurconstante nauwkeuriger berekenen. De wetten, die Newton had opgesteld, waren afgeleid uit de volgende principes: -Het universum was een reusachtige machine die ingebed lag in een absolute tijd en in een absolute ruimte. -Elke beweging was het gevolg van een oorzaak. De wereld was, met andere woorden, onderworpen aan een strikt determinisme. -Men kon alles meten, zo nauwkeurig als men maar wou. Men hoefde alleen maar aangepaste meettechnieken te ontwerpen. Elke afwijking tussen een theoretisch bekomen resultaat en een waargenomen resultaat was dus te wijten aan foutieve of onnauwkeurige metingen. Newton was er toe gekomen om aan de hand van enkele eenvoudige formules zowat alles te verklaren wat er in de klassieke mechanica te verklaren viel. Specifiek voor de visie van Newton was dat de wetten van de natuurkunde aan een strikt deterministische logica beantwoordden. Voor alles was er een oorzaak-gevolg - principe. Zo men de krachten kent, die op een voorwerp inwerken, dan is het met de wetten van Newton mogelijk om de bewegingstoestand van een voorwerp correct te berekenen. Het is dus perfect mogelijk om te berekenen hoe vlug een appel van een boom zal vallen of welke baan planeten rond de Zon beschrijven. In beide gevallen kent men immers de krachten die op het systeem inwerken. Maar, zoals reeds gezegd in de inleiding, zat de klassieke fysica toch opgescheept met enkele levensgrote problemen! Het eerste en wellicht belangrijkste van deze problemen was dit van de natuur van het licht. Was het licht een materiedeeltje of was het daarentegen een golf? Eeuwen lang beheerste deze vraag het wetenschappelijk debat en, bij gebrek aan een correct antwoord was men wel verplicht met deze anomalie te leven. Tot aan het einde van de negentiende eeuw werden bepaalde natuurverschijnselen uitgelegd door aan te nemen dat het licht een materiedeeltje was; andere natuurverschijnselen werden dan uitgelegd door het licht als een golf te beschouwen. Al naargelang van de problemen beschouwde men het licht dus nu eens als een materiedeeltje, dan eens als een golf. Voor elk van de twee visies over de natuur van het licht was er een grote roerganger. De Nederlander Huygens ( ) had, aan de hand van interferentieproeven, aangetoond dat het licht zich als een golf gedroeg. Newton daarentegen kon heel wat natuurverschijnselen van het licht verklaren door aan te nemen dat het licht gewoon een corpusculair karakter had. In de loop van de eeuwen, was het nu eens de theorie van Huygens en dan weer deze van Newton, die de voorkeur genoot. 2

3 In de 19 de eeuw kende de visie van Huygens een grote aanhang. Het succes van de vier vergelijkingen, die de Schot J.C. Maxwell ( ) had opgesteld om het gedrag van elektromagnetische golven te beschrijven, was daar zeker niet vreemd aan. Ook hij was uitgegroeid tot een monument van de fysica; zijn wetten zijn ook nog vandaag niet weg te denken uit ons leven van elke dag. Er was nog een andere fundamentele wijziging opgetreden in de benadering van bepaalde fysische problemen. We zagen reeds dat, volgens Newton, elk probleem in de fysica moet worden aangepakt volgens een strikt deterministische logica. Welnu, deze visie had een flinke deuk gekregen. Boltzmann ( ) had immers, volgens een niet deterministisch concept, een nieuwe gastheorie ontwikkeld, met name de kinetische gastheorie. Het was theoretisch zeker mogelijk om, volgens de klassieke mechanica van Newton, het gedrag van een gas te bestuderen door de krachten te beschouwen, die op elk van de afzonderlijke moleculen inwerken. Dergelijke aanpak is in de praktijk wel beperkt. Elk gas bestaat immers uit een quasi oneindig aantal moleculen. Boltzmann bestudeerde gassen vanuit een volledig andere invalshoek. Aangezien een gas uit een enorm aantal moleculen bestaat gebruikte hij de wet van de grote getallen en benaderde het gas volgens statistische methodes. En zijn benadering leverde correcte resultaten op. Eigenlijk nam Boltzmann op deze manier afstand van het strikt determinisme van Newton. beschreven. Ongetwijfeld heeft de aanpak van de studie van gassen door Boltzmann meegespeeld in de gedachtengang van Planck, die hieronder wordt 2 Twee bijzonder moeilijke problemen De twee problemen die, eind van de 18 de eeuw, de directe aanzet zouden zijn van de ontwikkeling van de kwantummechanica zijn de ultraviolet catastrofe en het foto-elektrisch effect. Bij het eerste probleem speelde Planck een eersterangs rol; bij het tweede Einstein. 2.1 De ultraviolet catastrofe Niet zelden ontstaan nieuwe theorieën wanneer de problemen zich beginnen op te stapelen. Dit was niet anders met de kwantumtheorie. In de 19 de eeuw had men grondig de straling bestudeerd die door de wanden van een gesloten donkere ruimte wordt uitgezonden, de zogeheten straling van een zwart lichaam. Deze benaming is historisch gegroeid en is tot heden blijven bestaan. In het algemeen wordt een zwart lichaam gedefinieerd als een lichaam dat de energie die erop valt opslorpt. De wetten, die voor de straling van zwarte lichamen toepasselijk zijn, mogen ook gebruikt worden voor de meeste andere lichamen. 3

4 Men had toen een vrij goed idee hoe dergelijke straling in elkaar zat. Zo wist men dat elk zwart lichaam energie uitstraalt in alle golflengten 1 van het elektromagnetisch spectrum en dat de totale energie die bij deze straling vrijkomt evenredig is met de 4 de macht van de absolute temperatuur T 2. Deze relatie werd reeds in 1817 door Stefan ( ) gevonden. Ze ziet er dus als volgt uit: E = σ. T 4 Waarin : - E de energie voorstelt - σ is de constante van Stefan (σ = 5, ) - T is de absolute temperatuur. In verband met de straling van zwarte lichamen had Wien ( ) nog een andere uiterst belangrijke vaststelling gedaan, die nu gekend is als de Verschuivingswet van Wien. Deze wet bepaalt dat de hoeveelheid vrijgekomen straling niet even groot is voor alle golflengten van het spectrum. In sommige golflengten is de straling relatief belangrijker, in andere relatief kleiner. Concreet had Wien vastgesteld dat : - wanneer een voorwerp verhit wordt tot een bepaalde temperatuur T, er steeds één welbepaalde golflengte, λ p, is waarbij de straling maximaal is. - naarmate de absolute temperatuur T hoger wordt, de golflengte λ p, waar dit maximum van de straling zich voordoet, zich systematisch naar de kortere golflengten verplaatst. Wat voorafgaat wordt geïllustreerd in de grafiek hiernaast. Deze grafiek geeft voor verschillende temperaturen het verloop van de straling die in de verschillende golflengten vrijkomt. Men merkt een duidelijk verschil in de vorm van de temperatuurcurven bij resp , 5270 en 7000 Kelvin. Naarmate de temperatuur hoger is verplaatst het maximum van de curve zich naar links. Het maximum van de straling van een voorwerp, dat een temperatuur van 7000 K. heeft, ligt dus beduidend méér bij de kortere golflengten - d.i. bij hogere frequenties- dan het maximum van de straling van een voorwerp, met een 1 De golflengte is de afstand die gedurende een volledige golfbeweging wordt afgelegd. De frequentie is gelijk aan het aantal golfbewegingen die per seconde worden afgelegd. Voor het licht, waarvan de snelheid c gelijk is aan km. per seconde, is : λ.ν = c 2 De absolute temperatuur T, of de temperatuur van Kelvin, is gelijk aan de temperatuur t van Celsius

5 temperatuur van 5270 K; dit laatste maximum ligt dan op zijn beurt weer méér naar de linkerkant dan het maximum van een voorwerp met een temperatuur van 4000 K. De bovenstaande grafiek leert ons dus dat de elektro-magnetische straling van een lichaam, bij gewone temperaturen, miniem is en dat het maximum van deze straling zich in dit geval bij de langere golflengten situeert. Wij merken er dan ook bijna niets van. Maar bij hogere temperaturen, b.v. bij 1000 K, zal het maximum van de straling zich in de grafiek méér naar de linkerzijde verplaatsen. Voorwerpen met deze temperaturen zullen roodgloeiend worden. Dit is, bijvoorbeeld, het geval bij een kachel of een broodrooster. Eenmaal boven 2000 K zullen voorwerpen - zoals een draad van een gloeilamp - in een geelwitte kleur gloeien. Bij nog hogere temperaturen zal de straling zich vooral voordoen in het ultraviolet gedeelte van het spectrum. W. Wien heeft deze relatie als volgt in een formule gegoten : waarbij: λ p. T = 2, m.k - λ p de golflengte voorstelt, in meter uitgedrukt, waar zich de piek van de uitstraling voordoet - T de absolute temperatuur, in graden Kelvin, voorstelt Deze wet is belangrijk omdat ze de mogelijkheid biedt, wanneer men de waarde van λ p kent, de temperatuur van het bestudeerde voorwerp eruit af te leiden. De verschuivingswet van Wien wordt dan ook veelvuldig gebruikt in de sterrenkunde. Wanneer men het spectrum van een ster kent dan kan men, met de verschuivingswet van Wien, gemakkelijk de temperatuur van de buitenlaag van deze ster bepalen. Zo ligt voor de Zon het maximum van de straling, λ p, in het optisch venster bij 500 nm. De oppervlakte temperatuur T van de Zon is dus gelijk aan: T = (2, m.k ) / m = +/ K De verschuivingswet van Wien kan uiteraard ook in omgekeerde richting worden gebruikt. Uit de temperatuur van een voorwerp is het mogelijk om de waarde van λ p te berekenen. Maar er was iets heel bijzonders aan deze experimenteel vastgestelde curven voor zeer hoge temperaturen. Het lukte maar niet om, op grond van de toen gekende wetten van de fysica, een formule te vinden, die correct aansloot bij de resultaten die men via waarnemingen bekwam. De klassieke fysica liet het afweten en de straling van zwarte lichamen werd een van de grote vraagstukken in de laatste decennia van de 19 de eeuw. Wien van zijn kant en Raleigh en Jeans van hun kant hadden wel gepoogd om formules op te stellen op grond van de theorie van Maxwell. Maar ze behaalden maar een gedeeltelijk succes. Wien had een formule opgesteld die goed aansloot bij de waarnemingen die men in de kleinere golflengten waarnam maar de formule, die hij had opgesteld, voldeed spijtig genoeg niet voor de grotere golflengten. Het omgekeerde deed zich voor met een formule die Raleigh 5

6 en Jeans hadden bedacht. Deze formule klopte wel goed met de waarnemingen wanneer het om grotere golflengten ging maar voldeed niet voor kleinere golflengten. Het drama was dat de vrijgekomen hoeveelheid energie die men met alle klassieke formules bekwam bij zeer korte golflengtes quasi oneindig moest worden. Maar dit is - en gelukkig maar niet zo. Mochten de klassieke formules kloppen met de realiteit dan zouden wij door de ultraviolet stralen gewoon verbrand worden telkens wij in de nabijheid van een zeer heet voorwerp zouden komen. Deze anomalie kreeg de naam van de UV catastrofe. Men zat dus in een impasse. De doorbraak kwam van Planck. Om uit die impasse te geraken maakte hij, in het jaar 1900, een revolutionaire veronderstelling, waarvan hijzelf niet eens de volledige draagwijdte inzag. Volgens Planck doet elke vorm van energie zich voor in kleine pakketjes. Elk pakje energie noemde hij een kwantum. Deze veronderstelling was in flagrante tegenspraak met de toen geldende theorieën, die er steeds van uitgegaan waren dat de energie overdracht op een continue manier gebeurde. Planck veronderstelde ook dat die energiekwanta niet allemaal aan elkaar gelijk zijn. De hoeveelheid energie van een kwantum hangt af van de frequentie ν van de uitgestraalde energie. Hoe groter de frequentie is des te groter ook de energie van het kwantum zal zijn. De energiekwanta van blauw licht zullen met andere woorden groter zijn dan de energiekwanta van rood licht omdat de frequentie van blauw licht groter is dan die van rood licht. Een energiekwantum E wordt als volgt voorgesteld: E = h.ν Waarin : - h een constante waarde is, die de constante van Planck wordt genoemd ( h = 6, J.s. ) - ν de frequentie van het licht voorstelt. Volgens Planck kan elke hoeveelheid energie alleen maar welbepaalde discrete waarden aannemen, die de volgende vorm hebben: hν, 2hν, 3hν, 4hν, 5hν, De totale vrijgekomen of opgeslorpte energie ( E n ) moet dus noodzakelijk een geheel aantal keren (n) de waarde ven het elementair energiepakket ( hν ) aannemen : E n = n.h.ν 6

7 De hypothese die Planck, die hierboven is uitgelegd, werd oorspronkelijk beschouwd als een soort curiosum; maar wel een soort curiosum dat in staat was om de UV-catastrofe uit te leggen. Immers bij een kleiner wordende golflengte werd ook de energie van het kwantumpakket groter en werd dan minder straling vrijgegeven. De hypothese van Planck was dus een handig middel om een realiteit te kunnen uitleggen, die door geen enkele andere klassieke theorie te verklaren was. Er was gewoon geen betere verklaring voorhanden om de verschuivingswet van Wien uit te leggen. Dat ook Planck zelf het gissen had naar het waarom van zijn veronderstelling blijkt uit de volgende zin, die hij in een artikel neerpende: kurz zusammen gefasst kan ich die ganze Tat als einen Akt der Verzweiflung bezeichnen. Op grond van zijn veronderstelling stelde Planck een formule op die nu op perfecte wijze de verdeling van de energiedichtheid van de straling van een zwart lichaam weergaf. Deze formule ziet er als volgt uit: 2πhc 2 λ -5 I(λ,T) = e hc/ktλ - 1 waarin : I(λ,T) de intensiteit van de straling bij een bepaalde golflengte en bepaalde T is k de constante van Boltzmann c de lichtsnelheid (c = km/s.) h de constant van Planck ( h = 6, J.s. ) Planck had dus het probleem van de straling van zwarte lichamen met succes opgelost. De kwantumtheorie was geboren en zou een fundamentele factor zijn in de verdere evolutie van ons denken over de fysica. Meteen kreeg de theorie van het golfkarakter van het licht weer een ferme deuk. Het licht bleek opeens weer geen golf meer te zijn maar gewoon pakjes materie. Maar alle problemen waren verre van opgelost 2.2 Het foto elektrisch effect In 1899 had P. Lenard ( ) een belangrijke ontdekking gedaan bij monochromatisch licht, dit is licht dat alleen in één bepaalde golflengte straalt. Lenard stelde vast dat monochromatisch licht, wanneer het op een metalen plaat invalt, uit deze plaat elektronen losmaakt. Op de tekening hiernaast ziet men hoe invallende fotonen (rode straal) uit de metalen plaat elektronen losweekt (blauwe deeltjes). Volgens de klassieke theorie van Maxwell zou bij dergelijk experiment het aantal vrijgekomen elektronen evenredig moeten zijn met de intensiteit van het invallend licht, ttz. met de amplitude van de golfbeweging. Maar ook hier blijkt de realiteit anders te zijn. Lenard komt tot een andere vaststelling en ontdekt dat de energie van de vrijgekomen elektronen niet afhankelijk is van de amplitude maar wel van de 7

8 frequentie van de invallende stralen. Een nieuwe moeilijkheid dus waartegen de klassieke fysica weer niet opgewasen was. Hier is het Einstein ( ) die de kastanjes uit het vuur haalt en om dit te doen maakt hij gebruik van dezelfde hypothese die Planck had gebruikt, met name dat het licht uit energiekwanta bestaat, die hij fotonen noemde. Einstein stelt een vrij eenvoudige formule op om de energie te berekenen, die nodig is opdat een foton - een invallend lichtdeeltje dus- een elektron zou kunnen vrijmaken uit een metalen plaat. Deze energie moet logischer wijze minstens gelijk zijn aan de energie, P, die het elektron aan de metalen plaat bindt. Nu is de energie, die een foton met zich meedraagt, volgens de formule van Planck, gelijk aan h.ν. Om een elektron uit de metalen plaat los te weken moet een foton dus een energie hebben die groter is dan P. Uitgedrukt in een formule: h. ν > P De kinetische energie (K.E.) die het vrijkomend elektron nog zal overhouden, nadat het uit de plaat is vrijgekomen, zal gelijk zijn aan het verschil tussen de energie van het foton en de energie, die nodig is, om het elektron vrij te maken. Met andere woorden: K.E. = h. ν - P De kinetische energie van een vrijkomend elektron kan men dus, op grond van de formule van Planck, gewoon vergroten door de frequentie van het invallend licht te verhogen. Dit alles werd in 1916 bevestigd door de proeven van Millikan. De grafiek hiernaast geeft het verloop weer van de energie KE dat een vrijgekomen elektron bezit in functie van de frequentie van het gebruikte licht ν. Aangezien de bindingsenergie P, die een elektron aan de plaat bindt, verschillend is al naargelang van de materie, waaruit de plaat is gemaakt, zal men dus ook voor elke soort stof een specifieke curve bekomen. In de grafiek is duidelijk te zien dat elektronen van een magnesiumplaat (Mg) steviger aan de plaat gebonden zijn dan deze van een natriumplaat (Na). Onder een bepaalde frequentiewaarde ν 0, waarvoor h.ν 0 < P, zal geen enkel elektron nog kunnen vrijkomen uit de metalen plaat. Niet alleen de U.V.- catastrofe maar ook het foto-elektrisch effect scheen dus op zijn beurt te wijzen dat het licht niet een golfbeweging maar een materiedeeltje was. 8

9 3. Eerste pogingen om de atoomstructuur te ontcijferen Nu weten wij, anno 2004, hoe de atoomstructuur eruitziet. Maar dit was in het begin van de 20 ste eeuw niet het geval. Het inzicht in de atoomstructuur was toen in volle ontwikkeling. Het bleef voortdurend zoeken in het licht van steeds maar nieuwe ontdekkingen. Men heeft lange tijd het atoom gezien als het kleinste constituerend deel van een molecule. Elke molecule was opgebouwd uit atomen die, zoals het woord het aanduidt (ατεµνειν), niet meer verder konden worden gesplitst. Het is pas op het einde van de 19 de eeuw dat Thomson ( ) in Cambridge ontdekt dat het atoom niet zó elementair en zó onsplitsbaar was als men wel dacht. Hij ontdekt namelijk een deeltje, het elektron, dat deel uitmaakt van een atoom. Thomson stelt dan ook een nieuw atoommodel voor, dat er volgens hem moet uitzien als een soort kramiek met rozijntjes. Men noemt dit model het plumpudding model, waarin de rozijntjes elektronen voorstellen. ( Zie afbeelding hiernaast) Maar de zaken evolueren snel en reeds in 1907 komt Rutherford met een meer realistisch atoommodel voor de dag. Volgens Rutherford is een atoom gevormd uit een kern met er rond draaiende elektronen. Men kan een atoom dus vergelijken met een mini zonnestelsel, waarin de Zon de kern voorstelt en de planeten de elektronen voorstellen. De kern zelf van het atoom is op zijn beurt samengesteld uit protonen en neutronen. Protonen en neutronen hebben een gelijke massa, m, terwijl de massa van een elektron verwaarloosbaar klein is. Het elektron heeft een negatieve elektrische lading, die men voorstelt door e. De lading van een proton is even groot als de lading van elektron maar is positief. Aangezien het atoom, als geheel, elektrisch neutraal is zal het aantal elektronen in een atoom steeds gelijk zijn aan het aantal protonen. 4. Een Zwitsers onderwijzer en lijnenspectra van atomen Het model van Rutherford ( Zie afbeelding hiernaast) gaf bevredigende resultaten maar stelde de wetenschappers toch nog voor grote problemen. Zo had men geen antwoord op de volgende fundamentele vraag. Wanneer een elektron rond de kern van een atoom beweegt dan ondergaat dit elektron, zoals elk voorwerp dat een cirkelvormige beweging uitvoert, een versnelling. Het zendt bijgevolg ook elektromagnetische straling uit. Dit elektron zou dus zijn energie moeten verliezen en uiteindelijk op de kern van het atoom terechtkomen. Welnu dit gebeurt niet! Hoe valt dit uit te leggen? Het antwoord op de vorige vraag zal gegeven worden door de ontdekking van een Zwitsers onderwijzer. Maar eerst iets over het elektromagnetisch lichtspectrum. Wanneer een vast voorwerp verhit wordt zal het beginnen gloeien en licht uitstralen. Veronderstel nu dat wij deze lichtstralen door een prisma laten passeren, dan zien wij dat ze ontbonden worden in de kleuren van de regenboog. Het licht vertoont dan een spectrum dat 9

10 samengesteld is uit een continue reeks van verschillende kleuren of, wat op hetzelfde neerkomt, van verschillende golflengten. Bij elke kleur hoort een bepaalde golflengte. Hetzelfde verschijnsel doet zich ook voor bij vloeistoffen of bij gassen, die onder zeer hoge druk staan. Het licht, zoals wij het zien, is dus samengesteld uit verschillende componenten. Maar wat wij zien is maar een klein deel van het spectrum. Wij kunnen alleen kleuren zien, die overeenkomen met frequenties waarvoor onze ogen gevoelig zijn. Maar ook in de frequenties, waarvoor onze ogen niet gevoelig zijn, worden elektromagnetische stralen uitgezonden. De foto hierboven toont hoe wij eigenlijk maar een zeer klein deel van het spectrum rechtstreeks met onze ogen kunnen waarnemen ( zie tekening punt 2.1). Wil men delen van het spectrum waarnemen, die buiten het zichtbaar licht vallen, dan zal men zijn toevlucht moeten nemen tot aangepaste apparaten. Bij het begin van de negentiende eeuw werd niet alleen onderzoek verricht naar straling van gassen onder hoge druk. Ook de straling van ijle gassen werd onderzocht. Wanneer dergelijk gas sterk verhit wordt en via een dunne spleet door een prisma wordt gestuurd dan bekomt men geen continu spectrum meer. Het gas zendt nu enkel licht uit bij welbepaalde frequenties, die specifiek zijn voor elk gas. Zo een spectrum wordt een emissiespectrum genoemd. Ieder gas heeft zijn eigen karakteristiek lijnenspectrum dat als het ware de vingerafdruk is van het gas. Het omgekeerde kan zich ook voordoen: wanneer het licht met een continu spectrum door een kouder gas passeert komen er in het spectrum van het uittredend licht donkere lijnen voor die precies op die plaatsen liggen, waar anders emissielijnen van dit gas liggen. Men spreekt dan van een absorptiespectrum. Fraunhofer was de eerste die, in 1814, donkere absorptielijnen heeft waargenomen in het spectrum van de Zon. Inderdaad, de oppervlaktetemperatuur van de zon, al bedraagt die +/ K, is toch koud vergeleken met de temperatuur van de kern van de Zon, waar onder hoge druk een temperatuur heerst van om en bij de K. Deze ontdekking was van groot belang voor de sterrenkunde want door de absorptiespectra van de Zon te vergelijken met lichtspectra van gassen op de aarde kon men op een tamelijk eenvoudige manier de samenstelling van de zonneoppervlakte bepalen. 10

11 Ängstrom van zijn kant ontdekte in het zichtbaar gedeelte van het Zonnespectrum 4 specifieke absorptielijnen van waterstof, met als golflengten resp. 656 nm., 486 nm., 434 nm. en 410 nm. De vraag was toen wel of er een of andere relatie bestond tussen deze op het eerste gezicht toch eigenaardige getallenreeks. Dit was ook de vraag die een Zwitsers onderwijzer, J.J. Balmer ( ), zich in zijn vrije tijd stelde. Balmer was geïntrigeerd door de waarde van die waargenomen golflengten. Zonder te beseffen waarover het juist ging vond hij een nogal rare formule waarmee hij de vier waarden van de absorptielijnen kon terugvinden. 1/λ = R. ( 1/2 2-1/n 2 ) In deze formule is R = 1, m -1 en wordt de constante van Rydberg genoemd. Om de gezochte golflengten van waterstof terug te vinden moet men voor n resp. de aarden 3,4,5 en 6 invoeren. Met deze waarden van n in de formule bekomt men de vier door Angström ontdekte absorptielijnen. Maar dit was maar het begin. In het Zonnespectrum werden nog tal van andere lijnen ontdekt, zowel in het infrarood als in het ultraviolet gebied van het spectrum. Deze nieuwe lijnen kon men gewoon terugvinden door de formule van Balmer als volgt te veralgemenen: 1/λ = R. ( 1/n 2 f - 1/n 2 i ) waarin nu : - n f : de waarden 1,2,3, kan aannemen. - n i : gehele getallen voorstelt die groter zijn dan n f Bij elke waarde n f hoort dus een reeks van verschillende lijnen, die overeen komen met de verschillende waarden van n i. Concreet bekomt men met de veralgemeende formule van Balmer de volgende resultaten: - voor n f = 1 kan n i de waarden 2, 3, 4, aannemen. Men bekomt dan een reeks spectraallijnen die men de Lymanreeks noemt. - voor n f = 2 kan n i de waarden 3, 4, 5,.aannemen. Deze reeks spectraallijnen wordt de Balmerreeks genoemd. Men vindt hier uiteindelijk de oorspronkelijke formule van Balmer terug. - voor n f = 3 en n i = 4, 5, 6, bekomt men de Paschenreeks - voor n f = 4 en n i = 5, 6, 7,.. de Bracketreeks. Maar wat zat er achter al die mysterieuze getallen? Welk geheim zat er achter die formule? Het antwoord op deze vraag zou van Bohr komen. 5. Het atoommodel van Bohr Bohr ( ) begint zijn wetenschappelijke carrière aan de Cambridge universiteit. Maar deze duurt er niet lang. Wegens onenigheid met een van zijn professoren verhuist hij in 1912 naar Manchester, waar hij in contact komt met Rutherford, toen een grote naam in het onderzoek naar de atoomstructuur. Wanneer Bohr in Manchester komt kent hij reeds de theorieën van Planck en van Einstein over de kwantumdeeltjes. Ook heeft hij 11

12 reeds kennis van de formule van Balmer om spectraallijnen van een atoom te berekenen. Aan de hand van deze kennis stelt Bohr een vernieuwd atoommodel op. Hiervoor poneert Bohr de volgende twee postulaten: - Postulaat 1 : Elektronen bewegen rond de kern en hebben een impulsmoment gelijk aan L = m.v.r n Waarin :L het impulsmoment voorstelt, m de massa van het elektron, v de snelheid en r n de straal van de baan, waarop het elektron zich rond de kern bevindt. Bohr veronderstelt in zijn eerste postulaat dat het impulsmoment van het elektron alleen een geheel veelvoud van h/2π kan zijn. De kwantumvoorwaarde, die Bohr voor een atoommodel invoert, is dus dat: L = m.v.r n = n. h/2π, met n = 1, 2, 3, De waarde n duidt de rangorde aan van de toegestane elektronenbanen. Aan elkeen van die elektronenbanen, ook elektronenschillen genoemd, kent Bohr een letter toe : K, L, M, N, O, P, Q.., die resp. de elektronen van de 1 ste, de 2 de, de 3 de,.elektronenschil aanduiden. Men noemt n het hoofdquantumgetal. Wij zullen verder zien dat er nog andere quantumgetallen bestaan. - Postulaat 2 : Wanneer een elektron overgaat van een schil E i, met een hogere energietoestand, naar een schil E f, met lagere energietoestand, dan zal dit gepaard gaan de emissie van een aantal energiekwanta; in het tegenovergestelde geval gaat dit gepaard met de absorptie van een aantal energiekwanta E i - E f = n. h. ν De onderstaande tekeningen beelden beide op een verschillende manier hetzelfde principe uit. Ze tonen wat er zich afspeelt in een waterstofatoom wanneer een elektron van een gegeven baan naar een andere baan verspringt. De tekening aan de linkerkant toont hoe elektronen van een welbepaalde baan naar een andere baan kunnen verspringen en hierdoor een absorptie of emissie van een bepaalde hoeveelheid energie veroorzaken. Wanneer een elektron naar een baan verspringt, die dichter bij de kern ligt, dan zal er een emissie van energie zijn. In het tegenovergestelde geval, wanneer een elektron naar een baan verspringt die verder van de atoomkern ligt zal hiervoor energie nodig zijn. Dan heeft men te doen met absorptie. De afbeelding aan de rechterkant toont hetzelfde maar de toegelaten energieniveaus worden nu door horizontale lijntjes weergegeven. Al naargelang van de banen waartussen deze elektronenovergangen zich voordoen zal men reeksen lijnen bekomen waaraan men de namen gegeven heeft van de personen, die ze ontdekt hebben: de Balmerreeks, de Paschenreeks, de Brackettreeks, de Lymanreeks,. Deze afbeelding toont ook hoe de toegebrachte energie zó groot kan zijn dat het elektron niet meer naar een hoger gelegen baan verspringt maar gewoon uit het atoom ordt geslingerd. Men heet dan te doen met ionisatie. Het atoommodel van Bohr kende een groot succes. Men beschikte nu over een concrete atoomvoorstelling en met de hypothesen die hij geformuleerd had was Bohr zelfs in staat om 12

13 bepaalde berekeningen over atomen te maken. Hij berekende, bijvoorbeeld, de straal van een waterstofatoom. Toch gaf dit atoommodel nog geen antwoord op de vraag of licht nu eigenlijk een golf of een materiedeeltje was. Aan deze discussie kwam geen einde en al had Einstein in 1905 met een gezaghebbend artikel zijn fotonentheorie gekoppeld aan de kwanta van Planck en aldus een flinke deuk bezorgd aan de voorstaanders van de golftheorie toch kon men de resultaten van een aantal zeer indringende proeven van Huygens en van Young niet negeren. Deze proeven wezen ondubbelzinnig op het golfkarakter van het licht. En, misschien subtieler, maar men kon er toch ook niet naast kijken dat Bohr, om zijn atoommodel op te stellen, vertrokken was van de formule van Planck. Nu staat er in de formule van Planck een frequentie ν en een frequentie heeft toch iets te maken met een golf. Bohr geloofde wel in het corpusculair karakter van het licht maar hoe viel dit allemaal te rijmen? De dualiteit bleef dus bestaan en Bohr had op zekere manier zijn onmacht erkend. Om uit de impasse te geraken had hij in die tijd het principe van de complementaire voorstelling geformuleerd. Dit principe van Bohr betekende dat men, om een experiment te begrijpen, al naargelang van het geval ofwel de golftheorie ofwel de corpusculaire theorie moest gebruiken. Het licht had dus twee gezichten. Het was een erkenning van niet weten. 6. De rol van de Franse prins de Broglie. Wij hebben hierboven gezien hoe Bohr de banen van de elektronen heeft gekwantiseerd. Bohr wist evenwel niet waarom die banen gekwantiseerd waren. Hij kon alleen maar vaststellen dat het zo was. Het waarom zou pas tien jaar later door de Broglie ( ) worden gegeven. De Broglie was een Franse prins en een jong talent aan de Parijse Sorbonne. Hij was al op zeer jeugdige leeftijd op de hoogte van de visies van Bohr en van Einstein over het licht. Hij was vooral 13

14 geïntrigeerd door die aloude dualiteit golf-materie, waarvoor er nog geen bevredigende uitleg bestond De Broglie zal de stelling van Bohr in een eerste fase gewoon aanvullen. Hij poneert gewoon dat alle elementaire deeltjes - elektronen, fotonen en andere kleine deeltjes - naast een corpusculair aspect ook nog een golf aspect vertonen. Hij paste dan de volgende eenvoudige redenering toe: - elk deeltje - bijvoorbeeld een foton - heeft een massa m - volgens de door iedereen gekende formule van Einstein zijn massa en energie gelijkwaardig. E = m. c 2 = p. c ( voor licht is het impuls p = mc ) - maar, volgens Planck, impliceert energie dan weer een frequentie E = h. ν - waaruit de Broglie besluit dat elk deeltje ook zal vibreren met een frequentie Of, anders uitgedrukt: E = p. c = h. ν p = h. ν / c = h / λ ( want voor het licht is λ.ν = c ) Volgens de Broglie moet men deze trilling op twee manieren interpreteren. Elk deeltje heeft, naast zijn massa, ook een soort inwendige trilling. Een elementair deeltje kan dus vergeleken worden met een soort kloppend hart. De trilling van het deeltje propageert zich ook, als een soort begeleidingsgolf, naar buiten toe. Zoals vaak gebeurt krijgt ook de Broglie in het begin veel tegenwind te verwerken. Maar in 1924 behaalt de Broglie met zijn werk toch een doctorstitel. Een gekke anekdote in dit verband is wel dat het de zoon van J.J. Thomson is die de stelling van de Broglie experimenteel zal bewijzen. Nu was het juist de vader van deze laatste die in 1897 het elektron als deeltje had ontdekt en dus ook een hevig voorstaander was van het corpusculair karakter van licht. De theorie van de Broglie maakt het mogelijk om trillingen van materiedeeltjes te berekenen. Hieronder volgen twee extreme voorbeelden: - (a) In een eerste voorbeeld berekenen wij de golflengte van een hoeveelheid materie met massa m = 0.2 kg. en een snelheid v = 15 m/s. Wanneer men niet met licht te maken heeft moet in de formules de c vervangen worden door de snelheid v van het voorwerp. Men bekomt dan: λ = h/p = h/ mv = 6.6 x / (0,20.15) = 2, m 14

15 Dit is een trilling met een uiterst kleine golflengte. Dergelijke kleine golflengtes kunnen gewoon niet worden waargenomen. - (b) In het tweede voorbeeld nemen wij een elektron ( massa = 9,1 m -31 kg; lading = C. ), dat versneld wordt door een potentiaalverschil van 100 Volt. De kinetische energie, die het elektron erbij krijgt, is gelijk aan het verlies aan potentiële energie, zodat: We vinden in dit geval : ½ mv 2 = e.v. of nog v = (2.e.V/m) 1/2 = 5, m/s. λ = h/m.v = 6, / (9, )(5, ) = 1, m. of 0,12 nm. Dergelijke golflengten kunnen wel worden gedetecteerd Maar de Broglie gaat verder en past zijn theorie ook toe op een elektron dat zich rond een atoomkern beweegt. een onvolledig aantal golvende bewegingen uitvoeren. Men bekomt dus de volgende betrekking : n. λ = 2 π r n Als een elektron zich rond de kern van een atoom beweegt dan zal het daar ook met een welbepaalde golflengte oscilleren. Maar dit oscilleren zal enkel mogelijk zijn als dit elektron een geheel aantal keren oscilleert. Het elektron kan onmogelijk rond de kern waarin r n de straal van de baan voorstelt en n een geheel getal. Met behulp van bovenstaande vergelijking van de Broglie vindt men de twee formuleringen van het eerste postulaat van Bohr terug. L = m.v.r n = p.r n = h. r n / λ = n.h /2 π De formulering in kwanta, die Bohr instinctmatig had ingevoerd om zijn atoommodel op te stellen, wordt hier op een vrij eenvoudige manier, dankzij de Broglie, bewezen. 7. Nieuwe quantumgetallen zijn nodig. Het atoommodel van Bohr was een definitieve stap in de goede richting. Het gaf goede resultaten en men kon er het lijnenspectrum van een eenvoudig atoom als waterstof mee verklaren. Maar met dit ene kwantumgetal van Bohr was het helaas onmogelijk lijnenspectra van meer ingewikkelde atomen te verklaren. Hier schoot de theorie van Bohr tekort. 15

16 Waterstof bestaat uit een proton met daar rond één elektron. Het is het eenvoudigste atoom en het lijnenspectrum ervan is samengesteld uit enkelvoudige lijnen die op een zekere afstand van elkaar liggen. Maar andere atomen, wanneer men ze van dichtbij analyseert, vertonen in hun spectrum meestal reeksen zeer dicht bij elkaar liggende lijnen. Deze fijnstructuur van lijnen kan men niet verklaren met dit ene kwantumgetal dat Bohr had ingevoerd. Er ontstond dus een behoefte aan een bredere, een meer algemene theorie. Nieuwe kwantumgetallen werden ingevoerd om de meer complexe realiteit van minder eenvoudige atomen te beschrijven. De eerste persoon die verbeteringen aan het model van Bohr aanbrengt is Sommerfeld ( ). Tot nu toe had Bohr vooropgesteld dat de elektronen zich rond de kern van het atoom op cirkelvormige banen bewegen. Het zijn deze banen die met dit ene kwantumgetal worden geïdentificeerd. Sommerfeld voert nu nieuwe berekeningen uit en komt tot het besluit dat de elektronen zich niet op cirkelvormige maar wel op ellipsvormige banen bewegen en deze banen kunnen een grotere of kleinere graad van excentriciteit hebben. Sommerfeld ontdekt dat er met elke waarde van het hoofdkwantumgetal van Bohr - ttz. het nummer van de schilverschillende elliptische banen kunnen overeen komen. Die verschillende elliptische banen identificeert hij met een tweede quantumgetal, dat hij met de letter l voorstelt. Concreet betekent dit : Voor elke waarde n van het eerste kwantumgetal, kan het bijhorend tweede kwantumgetal n verschillende waarden aannemen, die resp. aangeduid worden als: l = 0 ; l = 1 ; l =2 ; l =3 ;..l = (n-1) Dit tweede kwantumgetal wordt het neven- of het baankwantumgetal genoemd. Ze worden gewoonlijk als volgt met letters geïdentificeerd: s, p, d, f, g,. Voor de eerste schil K (n=1) kan l dus enkel de waarde 0 aannemen. Men heeft m.a.w. slechts één nevenkwantumgetal, l = 0. Dit ene nevenkwantumgetal wordt aangeduid met de letter s. Het ene elektron dat zich op de eerste schil bevindt wordt dan als 1s geïdentificeerd. Voor de tweede schil L ( n=2) kan l de waarde 0 of 1 aannemen. De twee nevenkwantumgetallen worden dan als s en p voorgesteld. Deze twee elektronen worden als 2s en 2p geïdentificeerd. Voor de derde schil M (n=3) kan l de waarde 0, 1 of 2 aannemen. Volgens dezelfde gedachtengang worden deze drie toestanden dan resp. 3s, 3p en 3d genoemd. Men gaat op dezelfde manier doorgaan voor andere elektronenschillen. Om de fijnstructuur van het lijnenspectrum van atomen te verklaren voert Sommerfeld aan de twee voorgaande kwantumgetallen er nog een derde aan toe. Dit derde kwantumgetal, dat men met de letter m aanduidt wordt het magnetisch kwantumgetal genoemd en geeft de oriëntatie aan van het vlak waarin het elektron zich rond de kern beweegt. Ook m kan, voor een gegeven kwantumsituatie, verschillende waarden aannemen. Hier is de regel de volgende: voor elke 16

17 kwantumsituatie (n, l) kan m alle gehele waarden aannemen tussen l en +l. Voor elke waarde van l zullen er dus (2l + 1) verschillende m waarden mogelijk zijn. Nemen wij als voorbeeld een elektron dat zich op de derde schil bevindt. Het nevenkwantumgetal kan hier dus een van de waarden l = 0, l = 1 of l = 2 aannemen. Zo l = 2 zal m een van de vijf volgende waarden kunnen aannemen: -2, -1, 0, +1, +2 Ten slotte werd door Pauli nog een vierde kwantumgetal ingevoerd. Elk elektron voert rond zijn eigen as een rotatie uit. In functie van die draairichting krijgt het elektron nog een vierde kwantumgetal toegewezen. Draait het in één richting dan zal het een waarde +1/2 worden toegekend; draait in de andere richting dan wordt het de waarde toegewezen. Dit vierde kwantumgetal wordt het spinkwantumgetal genoemd. Pauli introduceerde niet alleen een vierde kwantumgetal maar hij voegde er nog een uiterst belangrijke regel aan toe, die men het uitsluitingsprincipe van Pauli noemt. Volgens dit principe is het onmogelijk dat er zich in een bepaald atoom méér dan één elektron in éénzelfde kwantumtoestand bevindt. Samengevat kan men dus stellen dat elke kwantumtoestand van een elektron kan worden voorgesteld worden door vier getallen, met name ( n, l, m, s ). De regels waaraan deze vier kwantumgetallen onderworpen zijn worden in de hierna volgende tabel nog eens kort samengevat. -Eerste kwantumgetal n : is het hoofdkwantumgetal en geeft het nummer van de schil. n = 1, 2, 3, 4, 5, 6,.of K, L, M, N, O, P, Q, -Tweede kwantumgetal l : is het nevenkwantumgetal en heeft betrekking op de elliptische vorm van de elektronenbanen. l = 0, 1, 2, 3,.., (n-1) of s, p, d, f, g,.. - Een derde kwantumgetal m : is het magnetisch kwantumgetal en heeft betrekking op de richting van het baanvlak: Voor elke l heeft men (2 l + 1) verschillende m - waarden, gaande van l tot +l. -Het vierde kwantumgetal s : is het spin en heeft betrekking op de draairichting van het deeltje. Het kan enkel een van de 2 volgende waarden aannemen, +1/2 of ½. Met deze vier kwantumgetallen is men nu gewapend om de kwantumtoestand van een atoom volledig te beschrijven. Men kan het lijnenspectrum volledig verklaren, ook de fijnstructuur van complexe atomen. De twee onderstaande diagramma s visualiseren deze lijnenstructuur voor het atoom helium en het atoom lithium. Het aantal lijnen is er uiteraard complexer dan het gelijkaardig diagram met één kwantumgetal. 17

18 Ook de tabel op de volgende bladzijde geeft een volledig overzicht van alle kwantummogelijkheden. Men krijgt nu ook een inzicht in de systematische opbouw van de tabel van Mendeljeff. 8. Heisenberg en Schrödinger. Twee personen, die een uiterst belangrijke bijdrage zouden leveren tot de verdere wiskundige behandeling van de veralgemeende kwantumtheorie, waren Heisenberg ( ) en Schrödinger ( ). Ze deden dit volledig onafhankelijk van elkaar en volgens volledig verschillende methodes. Maar al snel zou blijken dat zij uiteindelijk tot dezelfde resultaten waren gekomen. Ze gaven dus beide, onafhankelijk van elkaar, een bewijs voor de degelijkheid van de uitgewerkte kwantummodellen van atomen. 8.1 Heisenberg W. Heisenberg was een stille, eenzame natuur die veel van zijn gedachten opdeed tijdens lange wandeltochten in de bergen. Na een ontmoeting met Bohr probeert Heisenberg de berekening van de kwantumtoestanden uit te voeren op een gans originele manier. Hij gaat namelijk de kwantumtoestanden koppelen aan waarden van twee tijdsgebonden grootheden p(t) en q(t). De eerste grootheid, p(t), heeft betrekking op de impuls van de deeltjes; de tweede, q(t), op de plaats. Op zijn élan ontdekt Heisenberg in 1927 het onbepaaldheidsprincipe. Hierin bewijst hij dat er in de natuur fundamenteel een onbepaaldheid is ingebakken, die wij nooit zullen kunnen omzeilen. Elk deeltje zal steeds een onnauwkeurigheid vertonen ofwel in de gemeten impuls ofwel in de plaats dat het inneemt. 18

19 Globaal overzicht van kwantumgetallen bij atomen Hoofd kwantumgetal Neven kwantumgetal Magnetischkwuantumgetal Spin Notatie Elementen per schil n = 1 l = 0 m = 0 1/2 n = 2 l=0 m = 0 1/2 l = 2 m = -1, 0, 1 1/2 n = 3 l = 0 m = 0 1/2 l = 1 m = -1,0,1 1/2 l = 2 m = -2, -1, 0, 1,2 1/2 n = 4 l = 0 m = 0 1/2 l = 1 m = -1,0,1 1/2 l = 2 m = -2, -1, 0, 1,2 1/2 l = 3 m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 1/2 n = 5 l = 0 m = 0 1/2 l = 1 m = -1,0,1 1/2 l = 2 m = -2, -1, 0, 1,2 1/2 l = 3 m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 1/2 l = 4 m = -4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4 1/2 n = 6 l = 0 m = 0 1/2 l = 1 m = -1,0,1 1/2 l = 2 m = -2, -1, 0, 1,2 1/2 l = 3 m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 1/2 l = 4 m = -4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4 1/2 l = 5 m = -5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4,5 1/2 n = 7 l = 0 m = 0 1/2 l = 1 m = -1,0,1 1/2 Voor andere l : geen elementen gekend 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 6 3 d 10 4 s 2 4 p 6 4 d 10 4 f 14 5 s 2 4 p 6 5 d 10 5 f Geen elementen gekend 6 s 2 6 p 6 6 d 10 6 f 14 Geen elementen gekend. 18 Geen elementen gekend.. 22 Geen elementen gekend 6 s 2 6 p 6 90 Geen elementen gekend 19

20 Het onbepaaldheidsprincipe houdt dus in dat, wanneer wij een bepaalde meting uitvoeren, deze meting steeds gepaard gaat met een graad van onnauwkeurigheid. Het is zeker mogelijk om met fijner ingestelde meetinstrumenten de nauwkeurigheid van de meting verbeteren maar aan het verbeteren van deze nauwkeurigheid is door de natuur een grens ingebouwd. Men kan niet onbeperkt doorgaan met het verfijnen van de meetresultaten. Hoe fijn meetinstrumenten ook ingesteld zijn, steeds zal er een grens zijn aan de nauwkeurigheid van de bekomen meetresultaten. Dit leert ons het onbepaaldheidsprincipe van de kwantumtheorie. Het onbepaaldheidsprincipe van Heisenberg begrijpen is zeker niet eenvoudig maar, met een beetje fantasie - en de nodige voorzichtigheid bij de interpretatie - kan men wel de volgende vergelijking maken. Stel dat je, in een donkere ruimte, de opdracht krijgt om al tastend de juiste plaats van een pingpongballetje te bepalen. Eigenlijk kan men ook hier zeggen dat het quasi onmogelijk is om deze opdracht tot een goed einde te brengen. Immers, telkens jij het pingpongballetje aanraakt en dus denkt de plaats ervan gevonden te hebben, zal het balletje zich, onder invloed van de kracht die uw bewegende hand uitoefent, in en of andere richting verplaatsen. Wanneer men dus denkt te weten waar het balletje zich bevindt zal het pingpongballetje zich reeds op een andere plaats bevinden. Eigenlijk kun je dus nooit weten waar het balletje bal zich juist bevindt op het ogenblik dat jij het aanraakt want wanneer je het denkt te weten dan bevindt het zich reeds op een andere plaats. Welnu er gebeurt iets gelijkaardigs wanneer men een elementair deeltje bekijkt. Want om een dergelijk deeltje te kunnen waarnemen moet er op een of andere manier naar dit deeltje worden gekeken, met andere woorden, fotonen worden gestuurd. Het elementair deeltje zal, net als het pingpongballetje, van de fotonen een impuls ondervinden, waardoor het zich zal verplaatsen. Kijken betekent automatisch een impuls overdragen aan het voorwerp dat men bekijkt. Kijken veroorzaakt dus automatisch een plaatsonnauwkeurigheid. Welke rol speelt hierin de dualiteit golf - deeltje? De nauwkeurigheid, waarmee men iets kan waarnemen, kan nooit groter zijn dan de golflengte van het gebruikte licht. Ook bij het waarnemen van een elektron zal, naarmate de golflengte van het gebruikte licht kleiner wordt, ook de meting nauwkeuriger worden. Dit is een gekende wet uit de natuurkunde. Logischerwijze zou men nu kunnen denken dat het aangewezen is te werken met fotonen die een zo klein mogelijke golflengte hebben om zo doende de nauwkeurigheid van de meting te vergroten. Maar dan worden wij met een ander fenomeen geconfronteerd. Immers naarmate de golflengte kleiner is zal, volgens de formule van Planck (E= h/λ), ook de energie van het foton groter worden. De impuls, die aan het elektron wordt afgegeven, zal groter worden. Ook de plaatsonnauwkeurigheid zal dus toenemen. Waarnemen houdt dus intrinsiek een onbepaaldheid in! Men zal steeds op een onbepaaldheid botsen hetzij bij de plaatsbepaling hetzij bij de impuls. Men kan met andere woorden nooit tegelijkertijd én de plaats én de snelheid nauwkeurig waarnemen. Deze onbepaaldheid van Heisenberg wordt als volgt uitgedrukt: x. p = h/2π Waarin x de onbepaaldheid op de plaats en p de onbepaaldheid op de impuls voorstelt 20

21 8.2 Schrödinger E. Schrödinger was een gans ander type mens dan Heisenberg. Schrödinger was iemand die graag van de goede kanten van het leven profiteerde. Hij was ten andere niet ongevoelig voor vrouwelijk schoon. Maar ook de kwantumtheorie liet hem niet onverschillig. Zelf stond Schrödinger nogal kritisch tegenover het corpusculair karakter van het licht. Wanneer hij in de kwantumtheorie berekeningen zal maken over het licht vertrekt hij daarom van de gedachte dat licht een golfkarakter heeft. In die geest stelt Schrödinger een nieuwe golffunctie Ψ op, die de vergelijking van Schrödinger wordt genoemd (zie hiernaast de vorm van deze formule in een één-dimensionale ruimte). Schrödinger bekomt, door toepassen van de Fourieranalyse, oplossingen voor zijn vergelijking maar de interpretatie die achter deze resultaten moeten gezocht worden lijken niet zo evident. Welke betekenis moet men aan de amplitude of de uitwijking van deze golffunctie toekennen? De interpretatie van de resultaten blijkt niet zo evident te zijn. 9. Terug naar Bohr. Het is nogmaals Bohr die een oplossing suggereert. Wanneer men de golfvergelijking Ψ van Schrödinger toepast op een atoom dan moeten, volgens Bohr, de waarden die men als oplossing bekomt voor de amplitudes, probabilistisch worden geïnterpreteerd. De amplitude heeft te maken met de waarschijnlijkheid om een elektron op een bepaalde plaats in de ruimte te vinden. Volgens Bohr is de golffunctie van Schrödinger in feite een waarschijnlijkheidsfunctie. Een atoom mag dus niet langer als een louter stabiel iets worden beschouwd. Elektronen draaien niet rond een atoomkern, zoals in een soort miniatuur zonnestelsel. Ze gedragen zich dus niet zoals wij het zouden kunnen verwachten op grond van onze dagelijkse waarnemingswereld. Het enige dat wij over dit elektron weten is dat het zich, met een zekere waarschijnlijkheid, die ons door de vergelijking van Schrödinger gegeven wordt, op één van de gekwantiseerde banen van het atoom bevindt. De afbeelding links hieronder geeft een schematisch overzicht van de toegestane elektronenbanen maar rechts wordt op een meer realistische manier een elektronenwolk afgebeeld, die de mogelijke plaatsen van een elektron op een wel bepaalde baan geeft. Deze statistische visie van elementaire deeltjes in de kwantumwereld wordt ook de Kopenhaagse interpretatie genoemd, dit ter ere van Bohr, die deze visie hoofdzakelijk vanuit zijn woonplaats Kopenhagen heeft ontwikkeld 21

22 10. De subtiele realiteit van de kwantumwereld. De voorstelling van de realiteit in de kwantumwereld is nog iets subtieler. Elk elementair deeltje kan zich onder twee totaal verschillende gedaanten kunnen voordoen. Het kan zich enerzijds als een reëel deeltje voordoen en anderzijds als een deeltje dat een virtueel bestaan leidt en zich met een zekere waarschijnlijkheid op een bepaalde plaats bevindt. Welk van deze twee gedaanten het deeltje aanneemt zal afhangen of men dit deeltje al dan niet waarneemt. In de klassieke fysica werd de materie verondersteld zich te openbaren aan onze zintuigen. Dit klassiek verwachtingspatroon is niet meer toepasselijk wanneer men met de kwantummechanica de wereld van de kleine deeltjes bestudeert. In deze wereld leidt onze intuïtieve manier om de natuur te benaderen tot een impasse. Deeltjes zijn tegelijk materie én golf. Er is dus een golf-materie dualiteit, dat gewoon te maken heeft met het al dan niet waarnemen van het deeltje. Wordt een elektron, een foton of eender welk ander deeltje waargenomen dan zal het zich als een materiedeeltje voordoen; wordt het niet waargenomen dan zal het zich als een virtueel deeltje voordoen, dat beschreven moet worden door de golffunctie van Schrödinger. Waarnemen is dus het deeltje verplichten over te gaan van een virtueel bestaan naar een reëel bestaan. Wanneer men het waarneemt dan heeft het deeltje een klassiek gedragspatroon met een positie in de ruimte en een impulsmoment. Maar in de virtuele toestand doet die kwantumenergie zich enkel voor in een virtuele, probabilistische wereld. De positie van het deeltje kan dan alleen worden beschreven met een zekere waarschijnlijkheid; het kan met een zekere probabiliteit op verschillende plaatsen tegelijk aanwezig zijn. De golffunctie van Schrödinger beschrijft dus, achter de wereld zoals wij die observeren, een probabilistische wereld. Maar de mathematische formulering van die wereld is even rigoureus als die van de klassieke fysica. Schrödinger zelf heeft zijn probabilistische visie op de wereld ooit uitgelegd aan de hand van een klassiek geworden voorbeeld, die men de kat van Schrödinger noemt. Veronderstel dat een kat opgesloten is in een afgesloten ruimte en dat men niet kan gadeslaan wat binnen deze doos aan het gebeuren is. In deze doos wordt er nog, naast deze kat, een radioactieve substantie en een doosje gifgas geplaatst. Een mechanisme in de doos is zo afgeregeld dat het doosje met gifgas automatisch geopend wordt wanneer het geraakt wordt door een α-deeltje, dat door de radioactieve stof wordt uitgezonden. Dit betekent dan automatisch ook de dood van de kat. Wanneer juist α-deeltjes uit de radioactieve stof zullen vrijkomen kan men natuurlijk niet weten want men kan niet zien wat er binnen in de doos gebeurt. Zolang de doos gesloten blijft weet men dus niet of de kat nog leeft of niet. De kat in de doos leidt dus voor de waarnemer buiten de doos een virtueel bestaan. Ze is, met een zekere waarschijnlijkheid, evengoed dood en levend. Alleen als men de doos opent en erin kijkt zal de kat uit haar virtueel bestaan overgaan naar een reëel fysisch bestaan. Dan zal ze dood of levend zijn. Het duaal gedrag van de deeltjesfysica kan toegelicht aan de hand van enkele klassieke proeven, die wij aan Young te danken hebben. 22

23 Veronderstel vooreerst, zoals hiernaast afgebeeld, een kanon dat kleine balletjes één na één in alle richtingen afvuurt. De ballen gaan op een willekeurige wijze door één van de twee spleten H 1 of H 2. Na hun doorgang door één van deze spleten belanden ze op een derde wand, waarop de plaats wordt genoteerd waar de inslag plaats vond. Men kan dus, na een zekere tijd, voor elke plaats het aantal inslagen tellen. Op de tekening stelt P 1 (x) de waarschijnlijkheidsverdeling voor van het aantal inslagen van de ballen die door de opening H 1 gaan, wanneer de opening H 2 gesloten is; mutatis mutandis bekomt men een waarschijnlijkheidsverdeling P 2 (x) wanneer de opening H 2 afgedekt is. Wanneer de twee spleten open zijn dan bekomt men op de plaat achteraan een verdeling P 12 (x) van de inslagen. Wat opvalt is dat deze verdeling van de inslagen P 12 gewoon de som is van P 1 + P 2. Er treedt dus geen interferentie op. Elke bal zal zich, onafhankelijk van wat er met de andere ballen gebeurt, een weg kiezen ofwel door opening 1 ofwel door opening 2. We kunnen met een gelijkaardige opstelling ook een experiment uitvoeren met een watergolf. De intensiteit I(x) van de watergolf is gelijk aan het kwadraat van de amplitude h. De intensiteitsverdeling van de golf, met de spleet H 2 afgedekt, is dan gelijk aan h 2 1(x). Omgekeerd, wanneer spleet H 1 gesloten is, bekomt men een golfintensiteit door de spleet H 2, die gelijk is aan h 2 2(x). Wanneer beide spleten open zijn om de watergolven door te laten dan zal de intensiteitsverdeling gelijk zijn aan (h 1 (x) + h 2 (x)) 2. De verdeling van de intensiteit is dus anders dan bij het voorgaand geval. In het voorgaand geval gedroegen de afgevuurde ballen zich als materiële deeltjes; in het laatste geval heeft men te doen met een golf. 23

24 Wat gebeurt er nu wanneer men dergelijke proeven uitvoert met lichtdeeltjes. Twee gevallen kunnen zich voordoen al naargelang men de lichtdeeltjes al dan niet waarneemt. In de onderstaande figuur links worden de lichtdeeltjes waargenomen - men kan dit doen door, bijvoorbeeld, een detector te plaatsen achter het tweede scherm- dan stelt men vast dat deze zich als reële materie deeltjes gedragen. Men bekomt dezelfde waarschijnlijkheidsfunctie als deze uit het bovenvermeld voorbeeld met balletjes. Maar worden de lichtdeeltjes, zoals in de figuur hieronder rechts niet waargenomen dan zullen ze zich als virtuele deeltjes gedragen en zich alleen met een zekere waarschijnlijkheid op een bepaalde plaats bevinden. De amplitude van de waarschijnlijkheidsfunctie wordt nu gegeven door de functie van Schrödinger Ψ 2 (x). Men zal dus, net als in het geval met de watergolf, als resultaat, resp. bekomen een waarschijnlijkheid Ψ 2 A(x) wanneer de spleet B gesloten is en Ψ 2 B(x) wanneer spleet A gesloten is. Zijn beide spleten open dan bekomt men als waarschijnlijkheidsverdeling Ψ 2 AB = (Ψ A (x) + ΨB(x)) 2. Het niet waargenomen deeltje gedraagt zich nu als een virtueel deeltje waarvan men de plaats met een zekere waarschijnlijkheid kan aangeven. Deze manier van zien heeft al heel wat inkt doen vloeien. Ze was, ondermeer, de inzet van de Solvay conferenties in 1927 en Het is op deze conferentie dat de wetenschappelijke breuk zich tussen Einstein en Bohr zou voltrekken. Niet iedereen was het eens met de interpretatie van de natuurwetten, zoals Bohr die voorstelde. Ook Einstein wou zich niet verzoenen met het feit dat aan elektronen en fotonen een waarschijnlijkheid moest worden toegekend. Hij zou zich blijven verzetten tegen deze visie. Zo bedacht hij ondermeer, samen met Podolsky en Rosen, een experiment - de E.R.P paradox - dat de visie van Bohr moest weerleggen. Volgens Einstein dobbelt God niet en zijn de wetten van de natuurkunde op een of andere manier aan een determinisme gebonden. Men heeft tot nu toe evenwel geen enkele theorie kunnen vinden om de kwantumtheorie te weerleggen of te vervangen. Ze heeft tot vandaag de dag alle obstakels overwonnen, die men op haar weg heeft gelegd. Onder invloed van de kwantummechanica onderging de deterministische opvatting van het heelal dus een radicale verandering. De kwantummechanica kent geen exact deterministische wetten; ze kent alleen, op waarschijnlijkheid gebaseerde, statistische wetten. Waarschijnlijkheid is dus inherent aan de natuur. Al hebben verschillende elektronen, bijvoorbeeld, dezelfde voorgeschiedenis toch zullen ze niet dezelfde toekomst hebben. Hun toekomst is immers onvoorspelbaar. Men kan alleen beweren dat een elementair deeltje zich met een zekere waarschijnlijkheid op een plaats in de ruimte bevindt en dat de kwantummechanica in staat is om deze waarschijnlijkheid te bepalen. Onvoorspelbaarheid is dus inherent aan de natuur want de kwantummechanica leert ons dat het onmogelijk om van een bepaald voorwerp tegelijk de plaats en de snelheid ervan te bepalen. Men kan dus zeggen dat kleine deeltjes, bijvoorbeeld elektronen, niet zomaar deeltjes zijn. Ze hebben tegelijk eigenschappen van deeltjes en golfeigenschappen. 24