Eindwerk Wiskunde: Hypocycloïden. Cedric Brouwers - Charlotte Verbruggen. 6WeWIi

Eindwerk Wiskunde: Hypocycloïden Cedric Brouwers - Charlotte Verbruggen 6WeWIi 2013-2014

Inhoudsopgave 1 Inleiding... 3 2 Hypocycloïde... 4 2.1 Geschiedenis... 4 2.2 Constructie... 4 2.3 Bewijs: parametervergeling hypocycloïde... 5 2.4 Invloed van k... 7 2.5 Toepassing... 8 3 Epicycloïde... 10 3.1 Geschiedenis... 10 3.2 Constructie... 10 3.3 Bewijs: parametervergelijking epicycloïde... 11 3.4 Invloed van k... 13 4 Spirograafspel... 14 5 Hypotrochoïde... 15 5.1 Constructie... 15 6 Epitrochoïde... 16 6.1 Constructie... 16 7 Rollende hypocycloïden... 17 7.1 Bewijs: rollende hypocycloïden... 18 7.2 Toepassing... 22 8 Besluit... 23 9 Bronvermelding... 24 2

1 Inleiding Allemaal zijn we wel vertrouwd met figuren als deltoïden en asteroïden, maar weinig van ons hebben ooit stilgestaan bij de vraag: hoe vorm je zulke figuren? Nog minder hebben we ons afgevraagd welke wiskundige eigenschappen deze bezitten. Al sinds de 15 de eeuw hielden vele wiskundigen als van Cusa, Mersenne en Galilei zich bezig met cycloïden en hun eigenschappen. Ook grote namen als Blaise Pascal, Isaac Newton en l Hôpital bogen zich over deze figuur. De hypocycloïde echter heeft doorheen de geschiedenis minder aandacht gekregen. Nochtans zijn haar schoonheden en toepassingen eindeloos. In dit verslag maken we kennis met de wiskundige schoonheid van hypocycloïdische systemen. Zowel op analytisch als op ruimtemeetkundig vlak zullen we ons hierin verdiepen. De belangrijkste vragen die we ons zullen stellen zijn: Welke soorten cycloïden zijn er? en Hoe kunnen we deze construeren?. We zullen ook hun toepassingen kort bespreken. Daarbij bestuderen we nog een spirograafspel en bespreken we wat er gebeurd als een hypocycloïde in een andere hypocycloïde begint te rollen. 3

2 Hypocycloïde Een hypocycloïde is een figuur die de baan van een punt op een cirkel rollend in een grotere cirkel weergeeft. De kleinere cirkel glijdt hierbij niet. Een hypocycloïde is dus zeer gelijkend met een gewone cycloïde, alleen rolt de kleine cirkel dus niet op een rechte maar in een grotere cirkel. 2.1 Geschiedenis Het woord hypocycloïde is afkomstig uit het Grieks: Hupo staat voor onder, kuklos voor cirkel en eidos voor vorm. Het betekent dus vorm onder een cirkel. De hypocycloïde is een resultaat van bewegingen in de wiskunde. Het illustreert namelijk het spoor van een punt dat volgens een bepaald patroon beweegt. Die interesse naar beweging is een typisch fenomeen dat we tegenkomen in de vooruitgang van de wetenschap tijdens de Renaissance (16 de -17 de eeuw). De vorm werd ontdekt in 1599 door Galileo Galilei. Ook Albrecht Dürer, Rømer en Bernoulli bestudeerden deze figuur. 2.2 Constructie In dit verslag nemen we als middelpunt van de grote cirkel de oorsprong en de straal noemen we. We geven deze grote cirkel de naam. Als middelpunt van de kleine cirkel nemen we de variabele en als straal nemen we. We noemen de kleine cirkel. Het beginpunt van de hypocycloïde noemen we en plaatsen we altijd op het snijpunt van de grote cirkel met de positieve x-as. Het punt waar de twee cirkels elkaar raken noemen we en het punt dat de baan van de hypocycloïde beschrijft noemen we. In de beginpositie liggen en beiden op. Aangezien de kleine cirkel niet glijdt, zal de cirkelboog altijd even lang zijn als de cirkelboog. De draaihoek van ten opzichte van de oorsprong noemen we en de draaihoek van ten opzichte van noemen we. Het punt P ondergaat een dubbele rotatie, namelijk een rotatie rond de oorsprong over de hoek en een rotatie rond M over de hoek. De grafiek van een hypocycloïde met k de verhouding tussen R en r, wordt weergegeven met volgende parametervergelijking: { [ ] [ ] 4

2.3 Bewijs: parametervergeling hypocycloïde Te Bewijzen: { Gegeven: en met en in, rakend aan het punt waar en elkaar raken α de draaihoek van M een vast punt op de draaihoek van P Bewijs: De cirkelboog is even lang als de cirkelboog. Hieruit volgt: 5

( ) ( ) ( ) { 6

2.4 Invloed van k De verhouding tussen de grote en de kleine straal geven we zoals hierboven weer met gevallen: 1.. We kunnen de invloed die deze verhouding heeft op de figuur opdelen in drie Hierbij krijgen we een gesloten hypocycloïde met hoekpunten 1. Tusi Couple Deltoïde Astroïde Dit kunnen we gemakkelijk verklaren aangezien de straal van de grote cirkel een geheel veelvoud van de straal van de kleine cirkel is. Daaruit volgt dat de omtrek van de grote cirkel een geheel veelvoud van de omtrek van de kleine cirkel is. Omdat de kleine cirkel rolt zonder te glijden, zal ze een geheel aantal keer volledig afgerold zijn als ze terug in het beginpunt is. 2. met in zijn meest vereenvoudigde vorm. Hierbij krijgen we een gesloten hypocycloïde met hoekpunten. 3. Hierbij krijgen we een open grafiek die oneindig doorgaat en de oppervlakte tussen de grote cirkel en zijn concentrische cirkel met straal opvult. 1 In dit verslag benoemen we de punten van een hypocycloïde waar 2 krommen elkaar kruisen hoekpunten en verruimen we de definitie van een hoekpunt (normaal enkel tussen rechten) dus tijdelijk. 7

2.5 Toepassing Slinger van Foucault De slinger van Foucault is een experiment waarmee Foucault meer dan honderd jaar geleden aantoonde dat de aarde om zijn as draait zonder gebruik te maken van astronomische waarnemingen. Hij maakte wel gebruik van de eigenschap dat een slinger nooit van richting verandert als er geen extra kracht op uitgeoefend wordt. Het vlak waarin de slinger beweegt lijkt traag te draaien, maar omdat we weten dat het vlak zijn stand in de ruimte behoudt, kunnen we afleiden dat het de aarde is die onder de slinger beweegt. Enkel op de polen zal het slingervlak 360 draaien in 24 uur. Bij ons draait het vlak 280. De figuur die de slinger in het zand tekent is een hypocycloïde en kan weergegeven worden door volgende vergelijking: 1 (q = straal grote cirkel, n = straal kleine cirkel) 1 vergelijking en afbeelding uit BROMWICH, T. J. I A., on the theory of foucault s pendulum, and of the gyrostatic pendulum, p.225-226 8

Tusi Couple Aan de hand van de hypocycloïde met kan men gemakkelijk een roterende beweging omzetten naar een lineaire beweging door gebruik te maken van twee tandwielen. Dit wordt onder andere gebruikt bij high-speed-printing. 9

3 Epicycloïde Een epicycloïde is erg verwant aan een hypocycloïde. Hier is het echter de grafiek weergegeven door het pad dat een punt op een cirkel aflegt, als die cirkel over de buitenkant van een grotere cirkel rolt. Bij de elementen van een epicycloïde gebruiken we dezelfde benamingen als bij die van een hypocycloïde. 3.1 Geschiedenis De naam epicycloïde komt van de Griekse woorden epi (bovenop), kuklos (cirkel) en eidos (vorm). Hij werd voor het eerst zo genoemd door Ole Rømer in 1674. Daarvoor gebruikten Aristoteles en Prolemaeus deze vormen al voor de bewegingen van de planeten in hun geocentrisch systeem te omschrijven. Later werd de kromme verder bestudeerd door onder andere Rømer, Bernoulli, L'Hôpital, Euler, en Isaac Newton. Cardioïde (rood): meest eenvoudige epicycloïde waarbij even groot is als 3.2 Constructie De grafiek van een epicycloïde wordt weergegeven met volgende parametervergelijking: { [ ] [ ] 10

3.3 Bewijs: parametervergelijking epicycloïde Te bewijzen: { [ ] [ ] Gegeven: en met en buiten, rakend aan het punt waar en elkaar raken α de draaihoek van M een vast punt op de draaihoek van P Bewijs: De cirkelboog is even lang als de cirkelboog. Hieruit volgt: 11

( ) ( ) ( ) { 12

3.4 Invloed van k De verhouding tussen de grote en de kleine straal geven we zoals hierboven weer met gevallen: 1.. We kunnen de invloed die deze verhouding heeft op de figuur opdelen in drie Hierbij krijgen we een gesloten epicycloïde met hoekpunten. Dit kunnen we verklaren op dezelfde manier als bij de hypocycloïde. k=1 k=2 k=3 k=4 2. met in zijn meest vereenvoudigde vorm. Hierbij krijgen we een gesloten epicycloïde met hoekpunten. k=1/2 k=3/2 k=7/3 k=6/5 3. Hierbij krijgen we een open grafiek die oneindig doorgaat en de oppervlakte tussen de binnenste cirkel en zijn concentrische cirkel met straal opvult. 13

4 Spirograafspel Een spirograafspel is een mechanisme waarbij je een tekening kan maken door je pen in een vast punt van een tandwiel te zetten, en dat tandwiel te laten rollen in een grotere cirkel. Dit lijkt erg hard op een hypocycloïde, maar dat is het niet omdat we geen punt op de rand van de kleine cirkel kunnen kiezen, maar een punt in de cirkel. Zo n figuur noemen we een hypotrochoïde. Een gelijkaardige figuur bekomen we als we de kleine cirkel buiten de grote cirkel laten rollen. Dit noemen we een epitrochoïde. 14

5 Hypotrochoïde Een hypotrochoïde is de figuur die de baan weergeeft van een punt op het verlengde van de straal van een cirkel die in een grotere cirkel rolt. 5.1 Constructie De grafiek van een hypotrochoïde wordt weergegeven met volgende parametervergelijking: { Hierbij ligt in en rolt langs de rand van. is de afstand van tot. kan groter of kleiner zijn dan. Een hypocycloïde kunnen we beschouwen als een speciale vorm van een hypotrochoïde, waarbij. 15

6 Epitrochoïde Een epitrochoïde is de figuur die de baan weergeeft van een punt op het verlengde van de straal van een cirkel die aan de buitenkant van een andere cirkel rolt. 6.1 Constructie De grafiek van een epitrochoïde wordt weergegeven met volgende parametervergelijking: { Hierbij is de afstand van tot. kan groter of kleiner zijn dan. Een epicycloïde kunnen we beschouwen als een speciale vorm van een epitrochoïde, waarbij. 16

7 Rollende hypocycloïden Een merkwaardig fenomeen bij hypocycloïden is dat een hypocycloïde met n=k en perfect past in de hypocycloïde. Zo lijkt in te rollen omdat beide figuren altijd minstens n punten gemeenschappelijk hebben. Dit fenomeen wordt hieronder bewezen. Hier zien we hoe 9 verschillende hypocycloïden met telkens 1 hoekpunt meer telkens per 2 onderling het rollende hypocycloïde fenomeen ondervinden. 1 1 voor animatie (aangeraden): http://johncarlosbaez.wordpress.com/2013/12/03/rolling-hypocycloids/ Animatie door EGAN, G. 17

7.1 Bewijs: rollende hypocycloïden 1 Vooraf: In dit bewijs maken we gebruik van de complexe coördinaten van een hypocycloïde, in plaats van de parametervergelijking. Zo kunnen we { [ ] [ ] (we gebruiken hier r=1, als bewezen voor r=1, ook bewezen voor r ) complex noteren als: (formule van Euler) [ ] Ook schrijven we t als θ Voor geldt dus: Ook zullen we gebruik maken van speciale unitaire groepen. Een speciale unitaire groep van graad n ( = SU(n) ) is de groep van unitaire matrices met determinant 1. 1 Dit bewijs is gebaseerd op een bewijs van EGAN G., BHARDWAY S. en WOLBACH A. 18

Bewijs: Neem een matrix in SU(n+1). De n+1 eigenwaarden van deze matrix kunnen elk complex getal zijn zodat: Hun product gelijk is aan 1 Het spoor van de matrix de som van deze eigenwaarden is. Bv: ( ) ( ) ( ) ( ) De eigenwaarden zijn dan: We kunnen dus n van deze eigenwaarden gelijkstellen aan gelijkstellen aan. Hun som is dan gelijk aan: en de overblijvende Merk op: dit is gelijk aan de curve van een hypocycloïde waarvan k=n+1, namelijk. Omdat: ( ) kunnen we stellen dat: ( ) Bovendien is de grens van ( ). Bewijs De eigenwaarden van SU(n+1) kunnen geschreven worden als: (met willekeurige hoeken) Als alle hoeken gelijk zijn aan dezelfde hoek, dan geeft het spoor een punt weer in. Als we nu de afgeleide van het spoor berekenen met betrekking tot elke hoek, op een punt waar ze gelijk zijn, 19

dan is de afgeleide altijd rakend aan de hypocycloïde (want gelijk aan de raaklijn in dat punt aan de hypocycloïde), namelijk keer de afgeleide van (met betrekking tot θ). Behalve in de hoekpunten ligt een deel van de raaklijn in de hypocycloïde, waar dus uit volgt dat geen enkele verandering in je eruit kan halen. Aan de hoekpunten zou de raaklijn uit de cirkel gaan als je uit gaat, wat niet mogelijk is. grenst dus aan ( ). Bovendien is elk punt binnen de hypocycloïde een element van ( ). Bewijs merk op dat SU(n+1) enkelvoudig samenhangend is, waardoor zijn beeld een continue afbeelding is: tr( n ) Omdat zijn beeld een hypocycloïde omvat, die de verzameling homeomorf begrenst op een cirkel, zal zijn beeld de hele verzameling omvatten. In het kort: ( ) is precies de gesloten verzameling in het vlak begrensd door. Nu Stel de eigenwaarden van een matrix in SU(n) gelijk aan: (met willekeurige hoeken) Analoog aan de SU(n+1) matrix, omvat het spoor van SU(n) een hypocycloïde met k=n, namelijk. Langs de andere kant kunnen we de eigenwaarden van elk element van SU(n+1) schrijven als: (met en willekeurig) 20

Hieruit volgt: ( ) ( ) Als we hierin laten variëren van 0 tot 2π, dan krijgen we een op elke plaats in. Met andere woorden, door een matrix in SU(n) te nemen en de elementen in de diagonaal op te tellen, kan je elk getal krijgen in het complexe v lak dat in ligt. Dit geldt ook voor SU(n+1). Omdat we bewezen hebben dat SU(n) in SU(n+1) ligt, hebben we ook aangetoond dat altijd in zal liggen. 21

7.2 Toepassing Cycloid Speed Reducor De Cycloid Speed Reducor is een mechanisme dat de roterende snelheid van een input kan beperken met een bepaalde graad. Het systeem is gebaseerd op een hypocycloïde rollend in een hypocycloïde met een grotere k (en dus een groter aantal hoekpunten). Werking De input stang staat excentriek op de hypocycloïde schijf. Door zijn excentrieke plaatsing zorgt de draaibeweging van de staaf voor een wiebelbeweging van de hypocycloïde. Deze rolt in de grotere hypocycloïde ring en drijft dankzij de aanwezige gaten de output stang aan. Deze krijgt een snelheid, kleiner dan die van de input staaf. De verhouding valt te berekenen aan de hand van volgende formule: Met P = k van de kleine hypocycloïde L = k van de grote hypocycloïde Het voordeel aan dit mechanisme is dat het zeer compact is en, in tegenstelling tot een tandwielsysteem, zeer stevig. 22

8 Besluit We hebben gezien dat de hypocycloïde een zeer ruime betekenis heeft. Gebaseerd op het principe van een cycloïde hebben we de verschillende soorten cycloïden gedefinieerd waarbij de kleine cirkel over een andere cirkel rolt (hypocycloïden, epicycloïden, hypotrochoïden en epitrochoïden). We hebben telkens even stilgestaan hoe ze geconstrueerd kunnen worden en we hebben zelfs een populair speelgoedstuk uitgediept. Ten slotte hebben we enkele toepassingen aangehaald die dagelijks terugkomen die verband houden met dit wiskundig fenomeen. Bij de leer over hypocycloïden hebben we gemerkt dat zelfs de mooiste vormen en figuren een wiskundige bodem bezitten en geanalyseerd en geordend kunnen worden. Ten slotte vonden we het de moeite waard om het programma Tinguely (geproduceerd door RekenWeb - Freudenthal Instituut) aan te halen waarmee je op creatieve wijzen zelf hypocycloïden, maar ook andere figuren, kan tekenen door een systeempje in elkaar te steken en dit te laten tekenen. Cedric Brouwers en Charlotte Verbruggen 23

9 Bronvermelding 1. WaybackMachine, internet, http://web.archive.org/web/20080322100737/http://www.technopolis.be/nl/ watkunjedoen/indekijker/exhibits%20vd%20week/slinger%20van%20foucault. htm, 2014-04-21. 2. Mathcurve, internet, http://www.mathcurve.com/courbes2d/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml, 2014-02-01. 3. Wikipedia, internet, http://nl.wikipedia.org/wiki/cyclo%c3%afde, 2014-02-05. 4. Wikipedia, internet, http://en.wikipedia.org/wiki/hypocycloid, 2014-02-05. 5. Hofstede, internet, http://hhofstede.nl/modules/cycloiden.htm, 2014-02-05. 6. WolframMathWorld, internet, http://mathworld.wolfram.com/hypocycloid.html, 2014-02-05. 7. Scientific American internet, http://blogs.scientificamerican.com/roots-ofunity/2013/12/04/hypocycloids-make-you-happy/, 2014-02-05 8. Wikipedia, internet, http://en.wikipedia.org/wiki/spirograph, 2014-02-07 9. WolframMathWorld, internet, http://mathworld.wolfram.com/hypotrochoid.html, 2014-02-07. 10. WolframMathWorld, internet, http://mathworld.wolfram.com/epitrochoid.html, 2014-02-07. 11. AmericanMathematicalSociety, internetarchief, BAEZ, J., Deltoid Rolling Inside Astroid, 2013-12-1. 12. Eekhoutcentrum, internetarchief, VAN DE WIELE, R. en DE LANGHE, J., Een duik in de geschiedenis van de wiskunde met Geogebra, 2011-11-19 13. BROMWICH, T. J. I A., On the theory of foucault s pendulum, and of the gyrostatic pendulum, Londen, 1914, p. 225-226. 24

25