Moduliruimten van krommen en hun cohomologie

Moduliruimten van krommen en hun cohomologie Carel Faber 30 maart 2015

Inhoudsopgave Inleiding Krommen Families van krommen De universele kromme en de moduliruimte Cohomologie Punten tellen Modulaire vormen Een toepassing Het Langlandsprogramma

Inleiding De zogeheten moduliruimten van krommen en hun cohomologie vormen mijn belangrijkste onderzoeksonderwerp.

Inleiding De zogeheten moduliruimten van krommen en hun cohomologie vormen mijn belangrijkste onderzoeksonderwerp. Dit is een deel van de algebraïsche meetkunde, het gebied binnen de wiskunde dat de meetkunde van oplossingsruimten van systemen van algebraïsche (d.w.z. polynomiale) vergelijkingen bestudeert.

Inleiding De zogeheten moduliruimten van krommen en hun cohomologie vormen mijn belangrijkste onderzoeksonderwerp. Dit is een deel van de algebraïsche meetkunde, het gebied binnen de wiskunde dat de meetkunde van oplossingsruimten van systemen van algebraïsche (d.w.z. polynomiale) vergelijkingen bestudeert. Laat ik beginnen met een poging uit te leggen wat de zojuist gebruikte woorden betekenen.

Krommen

Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen.

Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen. Krommen spelen een fundamentele rol, bijvoorbeeld omdat elke ruimte opgebouwd kan worden met behulp van krommen.

Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen. Krommen spelen een fundamentele rol, bijvoorbeeld omdat elke ruimte opgebouwd kan worden met behulp van krommen. Voorbeeld: laat n een positief geheel getal zijn. Dan is x n + y n = 1 de vergelijking van een vlakke kromme van graad n, de Fermatkromme.

Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen. Krommen spelen een fundamentele rol, bijvoorbeeld omdat elke ruimte opgebouwd kan worden met behulp van krommen. Voorbeeld: laat n een positief geheel getal zijn. Dan is x n + y n = 1 de vergelijking van een vlakke kromme van graad n, de Fermatkromme. De enige invariant van een kromme is zijn geslacht g, een geheel getal groter dan of gelijk aan nul. De Fermatkromme heeft geslacht g = (n 1)(n 2)/2.

Complexe krommen Wanneer men een reële afbeelding maakt van een complexe kromme ziet men een oppervlak; het geslacht van de kromme is het aantal gaten in het oppervlak.

Complexe krommen Wanneer men een reële afbeelding maakt van een complexe kromme ziet men een oppervlak; het geslacht van de kromme is het aantal gaten in het oppervlak.

Complexe krommen Wanneer men een reële afbeelding maakt van een complexe kromme ziet men een oppervlak; het geslacht van de kromme is het aantal gaten in het oppervlak. Complexe krommen heten wel Riemannoppervlakken.

Families van krommen We willen niet alleen individuele krommen bestuderen, maar alle krommen van een bepaald geslacht. We beginnen met het variëren van bepaalde coëfficiënten in een vergelijking.

Families van krommen We willen niet alleen individuele krommen bestuderen, maar alle krommen van een bepaald geslacht. We beginnen met het variëren van bepaalde coëfficiënten in een vergelijking. Voorbeeld: De vergelijking y 2 = x(x 1)(x a), waar a een complexe variabele is, representeert oneindig veel krommen van geslacht 1. Dit heet een familie van krommen over een basis.

Families van krommen We willen niet alleen individuele krommen bestuderen, maar alle krommen van een bepaald geslacht. We beginnen met het variëren van bepaalde coëfficiënten in een vergelijking. Voorbeeld: De vergelijking y 2 = x(x 1)(x a), waar a een complexe variabele is, representeert oneindig veel krommen van geslacht 1. Dit heet een familie van krommen over een basis. De complexe getallen vormen hier de basis van de familie.

De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme.

De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat...

De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat...... doch niet als een gewone oplossingsruimte, maar alleen als stack.

De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat...... doch niet als een gewone oplossingsruimte, maar alleen als stack. De basis van de universele kromme heet de moduliruimte.

De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat...... doch niet als een gewone oplossingsruimte, maar alleen als stack. De basis van de universele kromme heet de moduliruimte. De moduliruimte wordt geconstrueerd met behulp van het Hilbertschema. Er bestaan diverse technieken om de meetkunde van de moduliruimte te bestuderen.

Cohomologie De cohomologie van een ruimte vormt een van haar diepste en subtielste invarianten;

Cohomologie De cohomologie van een ruimte vormt een van haar diepste en subtielste invarianten; niettemin heeft de cohomologie zeer goede eigenschappen en is zij verbazingwekkend goed berekenbaar.

Cohomologie De cohomologie van een ruimte vormt een van haar diepste en subtielste invarianten; niettemin heeft de cohomologie zeer goede eigenschappen en is zij verbazingwekkend goed berekenbaar. Om deze redenen is het een goed idee de cohomologie van moduliruimten van krommen te bestuderen.

Punten tellen

Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden

Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p).

Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p). Voorbeeld: Beschouw de kromme x 3 + y 3 = 1. Als we rekenen modulo 7 zijn (2, 0) en (0, 2) punten van de kromme.

Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p). Voorbeeld: Beschouw de kromme x 3 + y 3 = 1. Als we rekenen modulo 7 zijn (2, 0) en (0, 2) punten van de kromme. Modulo 5 zijn (2, 2) en (3, 4) punten van de kromme.

Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p). Voorbeeld: Beschouw de kromme x 3 + y 3 = 1. Als we rekenen modulo 7 zijn (2, 0) en (0, 2) punten van de kromme. Modulo 5 zijn (2, 2) en (3, 4) punten van de kromme. Als we de vergelijkingen van een ruimte kennen, is het bepalen van zijn aantal punten modulo p in principe eenvoudig.

Krommen tellen

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet.

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen.

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan).

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na.

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N,

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is.

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is. De uitkomst is niettemin een geheel getal.

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is. De uitkomst is niettemin een geheel getal. Het tellen van krommen is tamelijk lastig.

Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is. De uitkomst is niettemin een geheel getal. Het tellen van krommen is tamelijk lastig. Voor laag geslacht g is het echter mogelijk.

Modulaire vormen

Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden.

Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden. In geslacht 1 zien we de gewone elliptische modulaire vormen.

Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden. In geslacht 1 zien we de gewone elliptische modulaire vormen. In geslacht 2 zien we de zogeheten Siegel modulaire vormen verschijnen.

Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden. In geslacht 1 zien we de gewone elliptische modulaire vormen. In geslacht 2 zien we de zogeheten Siegel modulaire vormen verschijnen. In geslacht 3 zien we voor het eerst de zogeheten Teichmüller modulaire vormen, over welke nog erg weinig bekend is.

Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden.

Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort

Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort verschillende dimensies kan hebben:

Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort verschillende dimensies kan hebben: bijvoorbeeld 4, 6, of 8.

Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort verschillende dimensies kan hebben: bijvoorbeeld 4, 6, of 8. Een belangrijke vraag is of we deze dimensies op de een of andere manier kunnen begrenzen.

Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm.

Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm. Dit resultaat was de laatste stap in het bewijs (na 357 jaar) van de Laatste Stelling van Fermat.

Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm. Dit resultaat was de laatste stap in het bewijs (na 357 jaar) van de Laatste Stelling van Fermat. De stelling zegt dat de vergelijking x n + y n = 1

Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm. Dit resultaat was de laatste stap in het bewijs (na 357 jaar) van de Laatste Stelling van Fermat. De stelling zegt dat de vergelijking x n + y n = 1 voor n 3 geen rationale oplossingen heeft met xy 0.

Het Langlandsprogramma De stelling van Wiles wordt vaak beschouwd als een van de belangrijkste resultaten tot nu toe binnen het grote (en grootse) Langlandsprogramma.

Het Langlandsprogramma De stelling van Wiles wordt vaak beschouwd als een van de belangrijkste resultaten tot nu toe binnen het grote (en grootse) Langlandsprogramma. Het Langlandsprogramma speelt een prominente rol in de Nederlandse Wetenschapsagenda (KNAW, 2011) en het visiedocument van het Platform Wiskunde Nederland (2014).

Het Langlandsprogramma De stelling van Wiles wordt vaak beschouwd als een van de belangrijkste resultaten tot nu toe binnen het grote (en grootse) Langlandsprogramma. Het Langlandsprogramma speelt een prominente rol in de Nederlandse Wetenschapsagenda (KNAW, 2011) en het visiedocument van het Platform Wiskunde Nederland (2014). Mijn onderzoek kan gezien worden als de eerste stappen op weg naar het Langlandsprogramma voor de moduliruimten van krommen.

Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0}

Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d

Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d ( ) a b voor alle z H en alle SL(2, Z). c d

Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d ( ) a b voor alle z H en alle SL(2, Z). In het bijzonder c d geldt f (z) = ( 1) k f (z), dus we nemen k even,

Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d ( ) a b voor alle z H en alle SL(2, Z). In het bijzonder c d geldt f (z) = ( 1) k f (z), dus we nemen k even, en f (z + 1) = f (z).

Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0

Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0 Als a 0 nul is, heet f een spitsenvorm (van gewicht k voor SL(2, Z)).

Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0 Als a 0 nul is, heet f een spitsenvorm (van gewicht k voor SL(2, Z)). Bekende voorbeelden van modulaire vormen zijn de Eisensteinreeksen E k voor k 4: E k (q) = 1 2k B k σ k 1 (n)q n n=1

Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0 Als a 0 nul is, heet f een spitsenvorm (van gewicht k voor SL(2, Z)). Bekende voorbeelden van modulaire vormen zijn de Eisensteinreeksen E k voor k 4: E k (q) = 1 2k B k en de discriminantspitsenvorm (q) = n=1 σ k 1 (n)q n n=1 τ(n)q n = q (1 q n ) 24 n=1 van gewicht 12 met zijn Jacobi-produktontwikkeling.

De ring k M k van modulaire vormen is gelijk aan C[E 4, E 6 ] and het ideaal k S k van spitsenvormen wordt voortgebracht door.

De ring k M k van modulaire vormen is gelijk aan C[E 4, E 6 ] and het ideaal k S k van spitsenvormen wordt voortgebracht door. Er bestaan natuurlijke Hecke operatoren T n op M k voor alle positieve gehele getallen n, die met elkaar commuteren en S k behouden. Bovendien heeft S k een basis van simultane eigenvormen. De T n -eigenwaarden van een genormaliseerde eigenvorm zijn gelijk aan zijn Fouriercoëfficienten.

De ring k M k van modulaire vormen is gelijk aan C[E 4, E 6 ] and het ideaal k S k van spitsenvormen wordt voortgebracht door. Er bestaan natuurlijke Hecke operatoren T n op M k voor alle positieve gehele getallen n, die met elkaar commuteren en S k behouden. Bovendien heeft S k een basis van simultane eigenvormen. De T n -eigenwaarden van een genormaliseerde eigenvorm zijn gelijk aan zijn Fouriercoëfficienten. De modulaire vormen die door Wiles e.a. aan elliptische krommen over Q toegevoegd worden zijn overigens eigenvormen van gewicht 2 voor ondergroepen Γ 0 (N) van SL(2, Z).

Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel.

Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel. Over de moduliruimten van krommen van geslacht g 2 en van abelse variëteiten van dimensie g leven natuurlijke vectorbundels van rang g.

Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel. Over de moduliruimten van krommen van geslacht g 2 en van abelse variëteiten van dimensie g leven natuurlijke vectorbundels van rang g. We hebben nu andere Schurfunctoren dan alleen de machten van de determinant. De sneden over de moduliruimte van krommen heten Teichmüller modulaire vormen (i.h.a. vectorwaardig).

Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel. Over de moduliruimten van krommen van geslacht g 2 en van abelse variëteiten van dimensie g leven natuurlijke vectorbundels van rang g. We hebben nu andere Schurfunctoren dan alleen de machten van de determinant. De sneden over de moduliruimte van krommen heten Teichmüller modulaire vormen (i.h.a. vectorwaardig). Voor g 3 vinden we sneden die niet van de moduliruimten van abelse variëteiten komen.