Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde bij) Logica 1 p.1/17
2005 De beste wensen voor het nieuwe jaar Logica 1 p.2/17
2005 De beste wensen voor het nieuwe jaar Waar gaan we in het nieuwe jaar naar toe? Logica 1 p.2/17
Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Logica 1 p.3/17
Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Afronden propositie logica Logica 1 p.3/17
Vandaag Positiebepaling: waar staan we? Afronden propositie logica Introductie predicatenlogica Logica 1 p.3/17
Waar staan we? Missie (beginnen met proposities (compositionaliteit + bepaaldheid)) Logica 1 p.4/17
Waar staan we? Missie (beginnen met proposities (compositionaliteit + bepaaldheid)) Redeneren gemodelleerd via natuurlijke deductie ϕ Logica 1 p.4/17
Waar staan we? Missie (beginnen met proposities (compositionaliteit + bepaaldheid)) Redeneren gemodelleerd via natuurlijke deductie ϕ Structurele eigenschappen van waarheid gemodelleerd via waarheidstabellen = ϕ Logica 1 p.4/17
Waar staan we? Missie (beginnen met proposities (compositionaliteit + bepaaldheid)) Redeneren gemodelleerd via natuurlijke deductie ϕ Structurele eigenschappen van waarheid gemodelleerd via waarheidstabellen (en ook via valuaties) = ϕ Logica 1 p.4/17
Waar staan we? Missie (beginnen met proposities (compositionaliteit + bepaaldheid)) Redeneren gemodelleerd via natuurlijke deductie ϕ Structurele eigenschappen van waarheid gemodelleerd via waarheidstabellen (en ook via valuaties) = ϕ Correctheidsstelling Logica 1 p.4/17
Waar staan we? Missie (beginnen met proposities (compositionaliteit + bepaaldheid)) Redeneren gemodelleerd via natuurlijke deductie ϕ Structurele eigenschappen van waarheid gemodelleerd via waarheidstabellen (en ook via valuaties) = ϕ Correctheidsstelling Gevolgen van de correctheidsstelling: Logica 1 p.4/17
Waar staan we? Missie (beginnen met proposities (compositionaliteit + bepaaldheid)) Redeneren gemodelleerd via natuurlijke deductie ϕ Structurele eigenschappen van waarheid gemodelleerd via waarheidstabellen (en ook via valuaties) = ϕ Correctheidsstelling Gevolgen van de correctheidsstelling: ϕ Logica 1 p.4/17
Propositielogica Volledigheidsstelling (geen bewijs) Logica 1 p.5/17
Propositielogica Volledigheidsstelling (geen bewijs) Dus, afleidbaarheid ( ) valt samen met semantische gevolgtrekking ( =) Logica 1 p.5/17
Propositielogica Volledigheidsstelling (geen bewijs) Dus, afleidbaarheid ( ) valt samen met semantische gevolgtrekking ( =) Afleidbaarheid is beslisbaar Logica 1 p.5/17
Propositielogica Volledigheidsstelling (geen bewijs) Dus, afleidbaarheid ( ) valt samen met semantische gevolgtrekking ( =) Afleidbaarheid is beslisbaar Waarheidstabellen zijn simpel, maar lang (pinpas) Logica 1 p.5/17
Beperkingen propositielogica Alle mensen zijn sterfelijk, Socrates is een mens, dus Socrates is sterfelijk. Logica 1 p.6/17
Beperkingen propositielogica Alle mensen zijn sterfelijk, Socrates is een mens, dus Socrates is sterfelijk. ϕ ψ σ Logica 1 p.6/17
Quantificatie en predicaten Socrates is een mens Logica 1 p.7/17
Quantificatie en predicaten Socrates is een mens M(s) Logica 1 p.7/17
Quantificatie en predicaten Socrates is een mens M(s) Predicaten en objecten Logica 1 p.7/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Logica 1 p.8/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: Logica 1 p.8/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Logica 1 p.8/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: Logica 1 p.8/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) Logica 1 p.8/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) En wegens Logica 1 p.8/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) En wegens M(s) Logica 1 p.8/17
Redeneren met quantificatie We kunnen universele uitspraken instantiëren Voorbeeld: x (M(x) S(x)) Via een instantiatie komen we tot: M(s) S(s) En wegens M(s) krijgen we via Modus Ponens, S(s) Logica 1 p.8/17
Predicatenlogica Aristoteles heeft een zeer beperkt deel van de predicaten logica in kaart gebracht met zijn syllogismen. Logica 1 p.9/17
Predicatenlogica Aristoteles heeft een zeer beperkt deel van de predicaten logica in kaart gebracht met zijn syllogismen. Wij zullen een grotere en betere kaart maken Logica 1 p.9/17
Predicatenlogica Aristoteles heeft een zeer beperkt deel van de predicaten logica in kaart gebracht met zijn syllogismen. Wij zullen een grotere en betere kaart maken Hiertoe zullen we eerst heel erg nauwkeurig onze taal specificeren Logica 1 p.9/17
Predicatenlogica We quantificeren alleen over objecten Logica 1 p.10/17
Predicatenlogica We quantificeren alleen over objecten Dit ligt besloten in de term eerste orde logica Logica 1 p.10/17
Predicatenlogica We quantificeren alleen over objecten Dit ligt besloten in de term eerste orde logica We kunnen dus uitspraken als Ieder object heeft een eigenscap NIET uitdrukken in eerste orde logica! Logica 1 p.10/17
Predicatenlogica We quantificeren alleen over objecten Dit ligt besloten in de term eerste orde logica We kunnen dus uitspraken als Ieder object heeft een eigenscap NIET uitdrukken in eerste orde logica! x P P(x) Logica 1 p.10/17
Predicatenlogica We quantificeren alleen over objecten Dit ligt besloten in de term eerste orde logica We kunnen dus uitspraken als Ieder object heeft een eigenscap NIET uitdrukken in eerste orde logica! x P P(x) Tweede orde (en hogere orde) logica Logica 1 p.10/17
Predicaten logica Definitie: Taal en formules van predicaten logica (wij zullen zonder functies werken) Logica 1 p.11/17
Predicaten logica Definitie: Taal en formules van predicaten logica (wij zullen zonder functies werken) Voor later: hoe kunnen we redeneren in kaart brengen? Logica 1 p.11/17
Predicaten logica Definitie: Taal en formules van predicaten logica (wij zullen zonder functies werken) Voor later: hoe kunnen we redeneren in kaart brengen? Voor nu: uitdrukkingskracht van predicatenlogica verkennen Logica 1 p.11/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Logica 1 p.12/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Er is iemand die van iedereen houdt Logica 1 p.12/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Logica 1 p.12/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Logica 1 p.12/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Iedereen houdt van zichzelf Logica 1 p.12/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Iedereen houdt van zichzelf Er is iemand die van niemand houdt Logica 1 p.12/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Iedereen houdt van zichzelf Er is iemand die van niemand houdt Waarheid is afhankelijk van de interpretatie Logica 1 p.12/17
Vertalingen Kies een vertaalsleutel H(x,y) voor x houdt van y Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Iedereen houdt van zichzelf Er is iemand die van niemand houdt Waarheid is afhankelijk van de interpretatie (contingenties) Logica 1 p.12/17
Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Logica 1 p.13/17
Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Logica 1 p.13/17
Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein Logica 1 p.13/17
Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein (universum) Logica 1 p.13/17
Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein (universum) Interpretatie van de betreffende predicaten symbolen Logica 1 p.13/17
Semantiek Voor een fragment van de predicatenlogica kunnen we een model specificeren Dit model bestaat uit een tweetal ingrediënten Domein (universum) Interpretatie van de betreffende predicaten symbolen, relaties op het domein Logica 1 p.13/17
Semantiek We beschouwen verschillende modellen voor onze eerder voorbeelden Logica 1 p.14/17
Semantiek We beschouwen verschillende modellen voor onze eerder voorbeelden Er is iemand die van iedereen houdt Logica 1 p.14/17
Semantiek We beschouwen verschillende modellen voor onze eerder voorbeelden Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Logica 1 p.14/17
Semantiek We beschouwen verschillende modellen voor onze eerder voorbeelden Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Logica 1 p.14/17
Semantiek We beschouwen verschillende modellen voor onze eerder voorbeelden Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Iedereen houdt van zichzelf Logica 1 p.14/17
Semantiek We beschouwen verschillende modellen voor onze eerder voorbeelden Er is iemand die van iedereen houdt Haleluja! Iedereen houdt van iedereen Iedereen houdt van zichzelf Er is iemand die van niemand houdt Logica 1 p.14/17
Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Logica 1 p.15/17
Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Er is iemand die alleen van zichzelf houdt Logica 1 p.15/17
Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Er is iemand die alleen van zichzelf houdt Iedereen houdt van tenminste twee mensen Logica 1 p.15/17
Identiteit Meestal veronderstellen we dat we identiteit (=) als predicaat hebben Er is iemand die alleen van zichzelf houdt Iedereen houdt van tenminste twee mensen Wederom, semantiek Logica 1 p.15/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor :, Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie, Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor, Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie, Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie (via een soort assumptie), Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie (via een soort assumptie), introductie Logica 1 p.16/17
Redeneren met quantoren Universele kwantor : elimantie (instantiatie), introductie (generalisatie) Existentiële kwantor elimantie (via een soort assumptie), introductie (wegens een instantie) Logica 1 p.16/17
Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Logica 1 p.17/17
Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Het kunnen modelleren van gekwantificeerde uitspraken m.b.v. eerste orde predicaten logica Logica 1 p.17/17
Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Het kunnen modelleren van gekwantificeerde uitspraken m.b.v. eerste orde predicaten logica Het specificeren van modellen (semantiek) voor fragmenten van eerste orde predicaten logica Logica 1 p.17/17
Dit college Belangrijkste doelstellingen van dit college Het kunnen modelleren van gekwantificeerde uitspraken m.b.v. eerste orde predicaten logica Het specificeren van modellen (semantiek) voor fragmenten van eerste orde predicaten logica Het maken van afleidingen in natuurlijke deductie van predicaatlogische uitspraken Logica 1 p.17/17