CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Rekenkundige en meetkundige rijen Rekenkundige en meetkundige rijen 1
Kapitaal op samengestelde interest Een kapitaal van 10 000 euro staat uit aan een samengestelde interest van 2% per jaar bij storting heeft men K 0 = 10000 ( 102 ) 0 = 10000 over 1 jaar geeft dit K 1 = 10000 ( 102 ) = 10200 over 2 jaar geeft dit K 2 = 10000 ( 102 ) 2 = 10404 over 3 jaar geeft dit K 3 = 10000 ( 102 ) 3 = 1061208 over n jaar geeft dit K n = 10000 ( 102 ) n Besluit: dit genereert een meetkundige rij getallen rij met reden 102 10000, 10 200, 10 404, 1061208,, 10000 (102) n, x 102 x 102 x 102 x 102 x 102 1 Definitie Een meetkundige rij met reden q is een rij getallen waarbij t 0, t 1, t 2, t 3,, t n, t n +1, t 0 t 1 t 2 Terminologie t n = t 0 q n t 0 = t 0 q = t 1 q t 3 = t 2 q t n = t n 1 q Meetkundige rij = t 0 q 0 = t 0 q 1 = ( t 0 q ) q = t 0 q 2 = ( t 0 q 2 ) q = t 0 q 3 = ( t 0 q n 1 ) q = t 0 q n noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm Rekenkundige en meetkundige rijen 2
Oefening 1 Een wagen kost bij aankoop 20 000 EUR Elk jaar verliest de wagen 20 % van zijn waarde Dit betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 080 vermenigvuldigd wordt De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door W n (a) Druk W n uit in functie van n (b) Welk soort rij vormen de getallen W 1, W 2, W 3,? Oefening 4 Een blad papier heeft een dikte van 01 mm We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door d n (a) Druk d n uit in functie van n (b) Welk soort rij vormen de getallen d 1, d 2, d 3,? Oefening 5 De rij t 0, t 1, t 2, is een meetkundige rij met reden 3 Wat kan je dan zeggen over de rij t 0, t 2, t 4,? Rekenkundige en meetkundige rijen 3
Oefening 3 Het BBP ( Bruto Binnenland Product ) van een land neemt elk jaar met 25 % toe Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor 1025 In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard EUR Het BBP ( in eenheden van 1 miljard EUR ) in jaar n stellen we voor door B n (a) Druk B n uit in functie van n (b) Welk soort rij vormen de getallen B 1, B 2, B 3,? Rekenkundige en meetkundige rijen 4
bij afsluiting Kapitaal op enkelvoudige interest Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2% per jaar over 1 jaar is men de bank 10 000 euro verschuldigd is men de bank K 1 = 10000 + ( 2% van 10000 ) = 10000 + (002) 10 000 = 10000 + 200 = 10 200 euro verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft Kapitaal op enkelvoudige interest Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2% per jaar bij afsluiting over 1 jaar over 2 jaar is men de bank 10 000 euro verschuldigd geeft dit is men de bank K 1 = 10000 + 200 = 10200 K 2 = 10200 + ( 2% van 10000 ) enkelvoudige interest = 10200 + (002) 10000 = 10000 + 200 + 200 = 10000 + 2 (200) = 10 400 euro verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft Rekenkundige en meetkundige rijen 5
bij afsluiting is men de bank 10 000 euro verschuldigd over 1 jaar geeft dit K 1 = 10000 + 200 = 10200 over 2 jaar Kapitaal op enkelvoudige interest Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2% per jaar over 3 jaar geeft dit K 2 = 10000 + 2 (200) = 10400 is men de bank K 3 = 10400 + ( 2% van 10000 ) = 10400 + (002) 10000 = 10000 + 2 (200) + 200 = 10000 + 3 (200) = 10 600 euro verschuldigd bij afsluiting heeft men K 0 = 10000 + 0 (200) = 10000 over 1 jaar geeft dit K 1 = 10000 + 1200 (200) = 10200 = 10200 over 2 jaar geeft dit K 2 = 10000 + 2 (200) = 10400 over 3 jaar Kapitaal op enkelvoudige interest Een lening van 10 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van 2% per jaar geeft dit K 3 = 10000 + 3 (200) = 10600 over n jaar geeft dit K n = 10000 + n (200) Besluit: dit genereert een rekenkundige rij getallen rij met verschil 200 10000, 10 200, 10 400, 10600,, 10 000 + n (200 ), + 200 + 200 + 200 + 200 + 200 Rekenkundige en meetkundige rijen 6
Definitie Een rekenkundige rij met verschil v is een rij getallen waarbij t 0, t 1, t 2, t 3,, t n, t n +1, t 0 t 1 t 2 t 3 Terminologie t n = t 0 + nv t 0 = t 0 + v = t 1 + v = t 2 + v t n = t n 1 + v Rekenkundige rij = t 0 + 0 v = t 0 + 1 v = ( t 0 + v ) + v = t 0 + 2 v = ( t 0 + 2 v ) + v = t 0 + 3 v = ( t 0 + (n 1) v ) + v = t 0 + n v noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm Rekenkundige en meetkundige rijen 7
Oefening 2 Een machine in een firma kost bij aankoop 20000 EUR Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar Elk jaar wordt hetzelfde bedrag afgeschreven De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door W n (a) Druk W n uit in functie van n (b) Welk soort rij vormen de getallen W 1, W 2, W 3,? Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende) rekenkundige rij vormen Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 240 maanden De eerste maand betaalt men 855 EUR Elke maand daalt het te betalen bedrag met 2 EUR (a) Bereken hoeveel men in de 61 ste maand moet betalen (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen Rekenkundige en meetkundige rijen 8
Partieelsom van een rekenkundige rij Om een lening af te betalen moet iemand aan het eind van elke maand een bedrag aan de bank storten Deze maand is dit bedrag 1000 en voor elke volgende maand wordt het bedrag verminderd met 20 Wat is het totaal bedrag dat die persoon na 2 jaar zal betaald hebben? Antwoord deze maand is het bedrag t 0 = 1000 volgende maand is het bedrag t 1 = 1000 1 (20 ) = 980 over 2 maanden is het bedrag t 2 = 1000 2 (20 ) = 960 over 3 maanden is het bedrag t 3 = 1000 3 (20 ) = 940 over 23 maanden is het bedrag t 23 = 1000 23 (20) = 540 Te onthouden de som van n opeenvolgende termen in een rekenkundige rij wordt gegeven door de formule S n = t 1 + t 2 + t 3 + + t n 1 + t n = ( t 1 + t n ) n 2 di de som van de eerste en de laatste term maal het aantal termen gedeeld door 2 1000 + 980 + 960 + + 560 + 540 = 24 termen ( 1000 + 540 ) 24 2 = 18 480 Rekenkundige en meetkundige rijen 9
Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende) rekenkundige rij vormen Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 240 maanden De eerste maand betaalt men 855 EUR Elke maand daalt het te betalen bedrag bedrag met 2 EUR (a) Bereken hoeveel men in de 61 ste maand moet betalen (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen Rekenkundige en meetkundige rijen 10
Partieelsom van een meetkundige rij Een persoon beslist op zijn 20 ste verjaardag om aan pensioensparen te doen Van zijn 20 ste tot en met zijn 65 ste verjaardag zal hij 1000 storten op een rekening die 10 % samengestelde interest opbrengt Welk bedrag zal er net na zijn 65 ste verjaardag op die rekening staan? Antwoord de storting op 20 ste verjaardag brengt 1000 ( 110 ) 45 op de storting op 21 ste verjaardag brengt 1000 ( 110 ) 44 op de storting op 22 ste verjaardag brengt 1000 ( 110 ) 43 op de storting op 64 ste verjaardag brengt 1000 ( 110 ) 1 op de storting op 65 ste verjaardag brengt 1000 op Algemeen Als q 1, dan 1 + q + q 2 + q 3 + + q n 1 + q n = 1 q n + 1 1 q Bewijs 1 + q + q 2 + q 3 + + q n 1 + q n = 1 + q + q 2 + q 3 + + q n 1 + q n 1 q [ ] 1 q = 1 + q + q 2 + q 3 + + q n 1 + q n 1 q q 2 q 3 q n 1 q n q n + 1 1 q = [ 1 q n + 1 ] 1 1 q = 1 q n + 1 1 q Rekenkundige en meetkundige rijen 11
Te onthouden de som van de n+1 eerste termen van de meetkundige rij 1, q, q 2, q 3, q 4,, q n 1, q n wordt gegeven door de formule S n = 1 + q + q 2 + q 3 + + q n 1 + q n = 1 q n + 1 1 q 1000 ( 1 + 110 + 110 2 + 110 3 + + 110 44 + 110 45 ) = 1000 1 110 45 + 1 1 110 = 791 79532 Rekenkundige en meetkundige rijen 12
Oefening 6 Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen mbv de formule voor de partieelsommen van een rekenkundige of een meetkundige rij? Bereken deze sommen mbv de gepaste formule (a) 1 + 2 + 3 + + 100 (b) de som van de eerste 20 termen van de rij 3, 9, 15, 21, (c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5, 25, 125, (d) 1 + 05 + 025 + 0125 + + 05 6 (e) 1 05 + 025 0125 + + 05 6 (f) 1 + 11 + 111 + 1111 + + 1111111111 (g) 1000 + 995 + 990 + + 100 (h) 4 + 12 + 36 + + 236196 Rekenkundige en meetkundige rijen 13
Alle termen in de som Het sommatieteken S = 1 + 110 + 110 2 + 110 3 + + 110 44 + 110 45 zijn van dezelfde vorm (dwz hebben dezelfde structuur ), namelijk 110 k waarbij k = 0, 1, 2,, 45 Dit wordt verkort genoteerd als 45 S = 110 k k = 0 Terminologie: noemt men het sommatieteken Alle termen in de som Het sommatieteken S = 1 + 110 + 110 2 + 110 3 + + 110 44 + 110 45 zijn van dezelfde vorm (dwz hebben dezelfde structuur ), namelijk 110 k waarbij k = 0, 1, 2,, 45 Dit wordt verkort genoteerd als 45 S = 110 k k = 3 Terminologie: noemt men het sommatieteken Rekenkundige en meetkundige rijen 14
Oefening Schrijf de volgende sommen uit oefening 6 met het sommatieteken (a) 1 + 2 + 3 + + 100 (b) de som van de eerste 20 termen van de rij 3, 9, 15, 21, (c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5, 25, 125, (d) 1 + 05 + 025 + 0125 + + 05 6 (e) 1 05 + 025 0125 + + 05 6 (f) 1 + 11 + 111 + 1111 + + 1111111111 (g) 1000 + 995 + 990 + + 100 (h) 4 + 12 + 36 + + 236196 Oefening Bereken ( indien mogelijk ) de volgende sommen: 100 (2 i + 1) i = 1 20 k = 1 7 5 k 40 j = 0 5 j 3 19 6 l = 3 2l 1 n ( 1) m m = 1 Rekenkundige en meetkundige rijen 15