Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal is 00 60000 0 (GWh) De voorspelde maximale totale energiebehoefte is dus 50 000 (GWh) Opmerking Als een kandidaat met 50% in plaats van 0% heeft gerekend, voor deze vraag maximaal scorepunt toekennen. maximumscore Voor de groeifactor g per jaar geldt 9000 900 g = Beschrijven hoe hieruit g gevonden kan worden g,7 ( nauwkeuriger) Dus het gevraagde groeipercentage is 7,(%) maximumscore Na 0 is de groeifactor per jaar, Er geldt, = Beschrijven hoe hieruit de waarde van t gevonden kan worden t,5 ( nauwkeuriger) dus in het jaar 05 Na 0 is de groeifactor per jaar, In 0 geeft dit 000 (MW) ( nauwkeuriger) In 05 geeft dit 59 000 (MW) ( nauwkeuriger) ( 9 000 ( = 7 000) (MW) ligt tussen deze twee waarden in, dus) in het jaar 05 - -
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Op het voetbalveld maximumscore De afstand van S tot lijnstuk AB is 5,5 (m) Pythagoras in driehoek ASS' (met S' de loodrechte projectie van S op lijnstuk AB) geeft AS' = 9,5 5,5 (m) Dus AS' = BS' 7, (m) De gevraagde afstand tussen A en B is dus,6 (m) Een vergelijking van het cirkeldeel (ten opzichte van het assenstelsel met oorsprong S waarvan de x-as evenwijdig is aan KL en de y-as evenwijdig is aan KN (met op beide assen meter als eenheid)) is x + y = 9,5 De afstand van S tot lijnstuk AB is 5,5 (m) y = 5,5 invullen in x + y = 9,5 geeft x + 5,5 = 9,5, dus x 7, x 7, De gevraagde afstand tussen A en B is dus,6 (m) 5 maximumscore De grootte van hoek PTQ kan berekend worden met behulp van de cosinusregel (Toepassen van de cosinusregel op driehoek PTQ geeft) 7, = 5 + 5 cos( PTQ) Beschrijven hoe hieruit PTQ berekend kan worden PTQ 5( ) (dus de gevraagde hoekgrootte is 5( )) - -
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Debiet 6 maximumscore 5 A =,0,0=,0 P =,0+,0= 5,0 5, 0 A =, 0 en P = 5,0 invullen in de formule geeft Q = 0,7,6 ( 5,0 nauwkeuriger) dus het maximale debiet is (ongeveer),6 m per seconde 5000 m per uur komt overeen met 5000, 600 m per seconde ( nauwkeuriger) Conclusie: de goot zal niet overstromen 7 maximumscore 5 A=, 0 h P=, 0 + h 5 (, 0 h) (, 0 + h) De vergelijking 0,7 =,0 moet opgelost worden Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost h 0,7 (dus de gevraagde hoogte is 0,7 meter 7 centimeter) - -
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Raaklijnen aan twee parabolen maximumscore 6 De x-coördinaat van de top van de grafiek van f is De top van de grafiek van f is 7 (, ) De top van de grafiek van g is (0, 0) De afstand tussen deze punten is 7 ( 0) + ( 0) Het antwoord is 7 ( ) f' ( x) = x De x-coördinaat van de top van de grafiek van f is dus de oplossing van x = 0 De top van de grafiek van f is (, 7) De top van de grafiek van g is (0, 0) De afstand tussen deze punten is 7 ( 0) + ( 0) Het antwoord is 7 ( ) 9 maximumscore 6 f' ( x) = x Dit geeft f' ( ) =, dus rc k = l staat loodrecht op k, dus rc l rc l = g' ( x) = x Uit x = volgt ( x = B Dit geeft y = g( ) = (dus de coördinaten van B zijn (, ) ) B 9 9 Cosinus met lijnen 0 maximumscore Beschrijven hoe de gevraagde waarde van a gevonden kan worden a = ( a =,5 ) - -
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Zuinig inpakken maximumscore O= ( b+ h) (l+ h) Haakjes uitwerken geeft O = bl + bh + hl + h maximumscore 7 Er geldt l+ h= 0 en b+ h= 50 Uit de tweede vergelijking volgt h= 50 b Dit invullen in de eerste vergelijking geeft l+ (50 b) = 0 Haakjes uitwerken geeft l+ 00 b= 0 Hieruit volgt l = b+ 0 I= lbh geeft I = ( b+ 0) b (50 b) (en dit kan herschreven worden tot I = b ( b+ 0) (50 b) ) Er geldt l+ h= 0 en b+ h= 50 Uit de tweede vergelijking volgt h= 50 b Uit de eerste vergelijking volgt l = 60 h h= 50 b invullen geeft l = 60 50 + b dus l = 0 + b I= lbh geeft I = (0 + b) b (50 b) (en dit kan herschreven worden tot I = b ( b+ 0) (50 b) ) maximumscore 6 Haakjes uitwerken geeft I = b + 0b + 500b di Differentiëren geeft b 0b 500 db Beschrijven hoe de vergelijking b + 0b+ 500 = 0 opgelost kan worden (voor b > 0 ) b ( nauwkeuriger) Het antwoord ( I ) 9 ( 9) Raaklijn aan cirkel maximumscore x + y 0x y+ = 0 herschrijven tot ( x 5) 5 + ( y ) + = 0 ( x 5) 5 + ( y ) + = 0 herschrijven tot ( x 5) + ( y ) = 5 Dus de straal van c is 5-5 -
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II 5 maximumscore De lijn l (gaat door A (0, ) dus) heeft een vergelijking van de vorm y = ax Voor de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt van l en c geldt dus x + ( ax ) 0x ( ax ) + = 0 Dit uitwerken tot ( + a) x + ( 0 0 ax ) + 5 = 0 (l en c hebben één gemeenschappelijk punt, dus deze vergelijking heeft één oplossing voor x en hieruit volgt dat) voor de discriminant D van deze vergelijking geldt: D = 0 D= ( 0 0 a) ( + a ) 5 Beschrijven hoe de vergelijking ( 0 0 a) ( + a ) 5 = 0 op algebraïsche wijze opgelost kan worden De grootste oplossing is a = (dus een vergelijking van l is y = x ) De lijn l (gaat door A (0, ) dus) heeft een vergelijking van de vorm y = ax met a = rcl De gegeven vergelijking van c is te herschrijven tot ( x 5) + ( y ) = 5, dus de coördinaten van M zijn (5, ) en BM = 5 (,6 ( nauwkeuriger)) AM = (0 5) + ( ) dus AM = 50 ( 7,07 ( nauwkeuriger)) BM 5 (Omdat l raakt aan c geldt) ABM = 90 dus sin( BAM ) = = AM 50 (,6 7,07 ) ( 0,6 ( nauwkeuriger)) Hieruit volgt BAM, ( nauwkeuriger) (De richtingscoëfficiënt van de lijn AM is = dus) de hoek tussen 5 0 de lijn AM en de x-as is 5º De hoek tussen l en de x-as is dus (ongeveer) 5 +, = 6, ( nauwkeuriger) Dit geeft rcl tan(6, ) ( nauwkeuriger) dus rcl,00 ( rc l = ) (dus een vergelijking van l is y =,00x ( y = x )) - 6 -
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II De lijn l (gaat door A (0, ) dus) heeft een vergelijking van de vorm y = ax met a = rcl De gegeven vergelijking van c is te herschrijven tot ( x 5) + ( y ) = 5, dus de coördinaten van M zijn (5, ) en BM = 5 AM = (0 5) + ( ) dus AM = 50 (Omdat l raakt aan c geldt) ABM = 90 dus Pythagoras in driehoek ABM geeft AB = 50 5 = 5 en hieruit volgt dat B een snijpunt is van de cirkel c en de cirkel (met middelpunt A en straal 5 en dus) met vergelijking ( x 0) + ( y ) = 5 Beschrijven hoe x en y op algebraïsche wijze uit deze vergelijking en de gegeven vergelijking van c opgelost kunnen worden De oplossing die behoort bij de grootste richtingscoëfficiënt van l is x = en y = (dus de coördinaten van B zijn (, ) ) Dit geeft rc l = = (dus een vergelijking van l is y = x ) 0 Opmerking Ook bij de oplossing die hierboven beschreven is, mogen op algebraïsche wijze verkregen tussenantwoorden zijn afgerond zo dat hieruit het eindantwoord in de gevraagde nauwkeurigheid afgeleid kan worden en mag het eindantwoord dan ook in de vorm y =,00x gegeven zijn. - 7 -
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Wortel met raaklijn 6 maximumscore f' ( x) = ( een vergelijkbare vorm) x + 6 Dit geeft f' ( ) = (dus de helling van de grafiek van f in punt A is ) Opmerking Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal scorepunt toekennen. 7 maximumscore De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is, dus de raaklijn heeft een vergelijking van de vorm y = x+ b Invullen van de coördinaten van A (, 0) in y = x+ b geeft b = (S ligt op BC, dus) de x-coördinaat van S is x = invullen in y = x geeft y =, zodat S de coördinaten (, ) heeft (en dus is S het midden van BC) De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is De raaklijn gaat door A (, 0) dus een vergelijking van deze lijn is y 0 = ( x ) (S ligt op BC, dus) de x-coördinaat van S is x = invullen in y 0 = ( x ) geeft y =, zodat S de coördinaten (, ) heeft (en dus is S het midden van BC) De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is AB = Dus BS = AB = Samen met BC = geeft dit CS = = = BS (en dus is S het midden van BC) - -