CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1
Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20 deelnemers zijn? Oplossing Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers kosten voor de gids: 122 euro prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 20 deelnemers: voor iedereen 2 euro korting per persoon voor elke extra deelnemer 20 deelnemers prijs per persoon is 80 euro samen = 80 x 20 = 1600 kosten voor de gids: 122 euro totaal te betalen is (80)(20) + 122 = 1722 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers kosten voor de gids: 122 euro prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 20 deelnemers: voor iedereen 2 euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 26 deelnemers zijn? Oplossing 26 deelnemers 6 méér dan minimaal aantal 20 deelnemers 6 x 2 = 12 euro vermindering per persoon prijs per persoon is 80 12 = 68 euro totaal te betalen: (26)(68) + 122 = 1890 Tweede-graadsfuncties 2
Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers kosten voor de gids: 122 euro prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 20 deelnemers: voor iedereen 2 euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 32 deelnemers zijn? Oplossing 32 deelnemers 12 méér dan minimaal aantal 20 deelnemers 12 x 2 = 24 euro vermindering per persoon prijs per persoon is 80 24 = 56 euro totaal te betalen: (32)(56) + 122 = 1914 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers kosten voor de gids: 122 euro prijs bij 20 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 20 deelnemers: voor iedereen 2 euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Algemeen: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er x deelnemers zijn? Oplossing x deelnemers x 20 méér dan het minimaal aantal 20 2(x 20) euro vermindering per persoon prijs per persoon is 80 2(x 20) = 120 2x totaal te betalen is x(120 2x) + 122 Tweede-graadsfuncties 3
Besluit : als er x mensen aan de uitstap deelnemen, dan moet je aan het reisagentschap x(120 2x) + 122 = 2 x 2 + 120 x + 122 euro betalen. Anders gezegd, als er x deelnemers zijn, dan moet je f (x) = 2 x 2 + 120 x + 122 euro betalen. Dit definieert een functie, namelijk input x output f (x) = 2 x 2 + 120 x + 122 Formeel, f : : x f (x) = 2 x 2 + 120 x + 122 een tweedegraadsfunctie Drie manieren om de functie voor te stellen (1) functievoorschrift: f (x) = 2 x 2 + 120 x + 122 (2) vergelijking: y = 2 x 2 + 120 x + 122 (3) grafiek totaal bedrag 2000 Y > y = 2 x 2 + 120x + 122 1500 1000 500 0 X > 10 20 30 40 50 60 aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 4
Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? (2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode 1: aflezen van de grafiek Methode 2: berekenen Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode 1: aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > 2000 1872 y = 2 x 2 + 120x + 122 1500 1000 500 0 X > 10 20? 30? 40 50 60 aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 5
Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode 2: berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) = 1872 Welnu, f (x) = 1872 2 x 2 + 120 x + 122 = 1872 2 x 2 + 120 x 1750 = 0 een tweede-graadsvergelijking Te onthouden De oplossingen van een tweede graadsvergelijking a x 2 + b x + c = 0 met a, b, c en a 0 worden gevonden door eerst de discriminant discr = b 2 4 a c te bereken en vervolgens (1) als discr > 0 dan heeft f twee verschillende oplossingen, namelijk b + discr 2 a en b discr 2 a (2) als discr = 0 dan heeft f slechts één oplossing, namelijk b 2 a (3) als discr < 0 dan heeft f geen oplossingen Tweede-graadsfuncties 6
Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 1872 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode 3: berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) = 1872 Welnu, f (x) = 1872 2 x 2 + 120 x + 122 = 1872 2 x 2 + 120 x 1750 = 0 Besluit: er zijn 2 mogelijkheden voor het aantal deelnemers, namelijk 25 of 35 Tweede-graadsfuncties 7
Oefening 2 Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: (a) 11x 2 + 2 (19x 12) = 0 (b) x 2 x = (c) (d) (e) (f) 17 6 1 2 Tweede-graadsfuncties 8
Vragen (2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode 2: 3: berekenen aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > 2000 MAX hoogste punt y = 2 x 2 + 120x + 122 1500 1000 500 0 X > 10 20 30 40 50 60 aantal deelnemers De grafiek van een tweede graadsfunctie f : : x a x 2 + b x + c met a,b,c en a 0 Tweede-graadsfuncties 9
De grafiek van een tweede graadsfunctie f : : x a x 2 + b x + c met a,b,c en a 0 a > 0 a < 0 De grafiek van een tweede graadsfunctie f : : x a x 2 + b x + c met a,b,c en a 0 2 nulpunten 1 nulpunt geen nulpunten discr. > 0 discr. = 0 discr. < 0 Tweede-graadsfuncties 10
Te onthouden de grafiek van een tweede graadsfunctie f (x) = a x 2 + b x + c is een parabool als a > 0, dan is het een dalparabool als a < 0, dan is het een bergparabool de parabool heeft haar top in x top = b 2 a de oplossingen van de vergelijking a x 2 + b x + c = 0 geven de snijpunten van de parabool met de x as Tweede-graadsfuncties 11
Vragen (2) Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode 2: berekenen Besluit: bij 30 deelnemers zullen wij aan het reisagentschap het hoogste bedrag moeten betalen, namelijk f(30) = 2 (30) 2 + 120 (30) + 122 = 1922 Oefening 1 Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies. f 1 : y = x 2 5x + 6 f 2 : y = x 2 4x + 4 f 3 : y = x 2 4x + 6 f 4 : y = x 2 + 5x 6 f 5 : y = x 2 + 4x 4 f 6 : y = x 2 + 4x 6 Tweede-graadsfuncties 12
Oefening 3 Gegeven zijn de functies f : y = 2x + 4 en g : y = x 2 + 4x + 5. (a) Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. (b) Teken de grafieken van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. Oefening 4 Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x 2 + bx + c van de functie f zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4. Oefening 5 De functie f(x) = 2x 2 + 2x + p 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. Tweede-graadsfuncties 13
Vragen (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode 2: aflezen van de grafiek totaal bedrag 2000 1850 1500 Y > y = 2 x 2 + 120x + 122 1000 500 X > 10 20 30 40 50 60 aantal deelnemers 0?? Vragen (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode 3: berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) 1872 Welnu, f (x) 1872 2 x 2 + 120 x + 122 1850 2 x 2 + 120 x 1728 0 Tweede-graadsfuncties 14
Besluit: het aantal deelnemers moet minstens 24 bedragen en mag niet hoger zijn dan 36 Tweede-graadsfuncties 15
Oefening 2 Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: (a) 11x 2 + 2 (19x 12) = 0 17 6 1 2 (b) x 2 x = (c) 4x 2 + 3x + 1 > 7x 2 + x + 3 (d) (6 3x)(2 + 9x) 0 (e) 100 x 2 (f) 3x(x 3) < 5(x 3) Tweede-graadsfuncties 16
Oefening 6 Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 euro per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van méér dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling met 0.01 euro verlaagd. (a) Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. (b) Maak een grafiek van de functie TO(x). (c) Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale ontvangsten TO(x) van de wijnhandelaar maximaal? (d) Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van de bestelling opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Oefening 7 Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 euro per persoon. Om meer mensen aan te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer verlaagd met 5 euro telkens er zich een persoon extra (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn ) aanmeldt. (a) Bij welk aantal deelnemers zijn de totale ontvangsten van het reisbureau maximaal? (b) Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Tweede-graadsfuncties 17
Oefening 8 Een firma van elektronische onderdelen verkoop maandelijks 5000 stuks van een bepaalde component tegen 15 euro per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 euro verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een zo hoog mogelijke omzet te realiseren? Tweede-graadsfuncties 18
CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 2 : de cirkel De stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek geldt: a 2 = b 2 + c 2 a b Voorbeeld 12 5 l =? 2 2 2 Pythagoras: l = 5 + 12 = 25 + 144 = 169 l = 169 = 13 c Tweede-graadsfuncties 19
de afstand tussen twee punten Y de afstand d tussen de punten (2,1) en (5,5) voldoet aan de stelling van Pythagoras x = 3 X d y = 4 d 2 = x 2 + y 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 en dus d = 25 = 5 of kortweg, d = x 2 + y 2 = ( 5 2 ) 2 + ( 5 1 ) 2 = 9 + 16 = 5 de afstand tussen twee punten Y te onthouden : de afstand d tussen 2 punten (x 1,y 1 ) en (x 2,y 2 ) wordt d y gegeven door x X d = x 2 + y 2 = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 Tweede-graadsfuncties 20
de vergelijking van een cirkel Definitie een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r is de verzameling van alle punten die op afstand r van het middelpunt verwijderd liggen cirkel mpt r de vergelijking van een cirkel Voorbeeld de cirkel met middelpunt ( 3, 2 ) en straal 5 heeft vergelijking Y X (3, 2) 5 (x, y ) [ x 3 ] 2 + [ y ( 2) ] 2 = 5 of equivalent [ x 3 ] 2 + [ y ( 2) ] 2 = 5 2 of nog [ x 3 ] 2 + [ y + 2 ] 2 = 25 Tweede-graadsfuncties 21
de vergelijking van een cirkel Algemeen : een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] 2 + [ y y 0 ] 2 = r 2 (0,0) Y r X In het bijzonder, een cirkel met middelpunt (0,0) en straal r heeft als vergelijking x 2 + y 2 = r 2 ( x, y ) de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] 2 + [ y y 0 ] 2 = r 2 standaardvorm van de vergelijking [ x 2 2 x 0 x + x 02 ] + [ y 2 2 y 0 y + y 02 ] = r 2 x 2 + y 2 2 x 0 x 2 y 0 y + x 02 + y 02 r 2 = 0 een vergelijking van de 2 de graad in x en y Besluit De algemene vergelijking van een cirkel in 2 is dus van de vorm x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 Tweede-graadsfuncties 22
de vergelijking van een cirkel Vraag : stelt de vergelijking 4 x 2 + 4 y 2 16 x 24 y 12 = 0 een cirkel voor? Zo ja, wat zijn dan het middelpunt en de straal van die cirkel? de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] 2 + [ y y 0 ] 2 = r 2 [ x 2 2 x 0 x + x 02 ] + [ y 2 2 y 0 y + y 02 ] = r 2 x 2 + y 2 2 x 0 x 2 y 0 y + x 02 + y 02 r 2 = 0 een vergelijking van de 2 de graad in x en y Tweede-graadsfuncties 23
Te onthouden : een vergelijking in 2 veranderlijken stelt een cirkel voor als en slechts als een vergelijking van de 2de graad in x en y geen term in x y de coëfficiënt van x 2 = de coëfficiënt van y 2 na herwerking tot de vorm moet c 0 [ x x 0 ] 2 + [ y y 0 ] 2 = c In dat geval, een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal c Oefening 9 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2 x 2 y 2 = 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + 2 y = 0. Tweede-graadsfuncties 24