Paragraaf 10 De standaard normale tabel Opgave 1 a Er geldt 20,1 16,6 = 3,5 C. Dit best wel een fors verschil, maar hoeft niet direct heel erg uitzonderlijk te zijn. b Er geldt 167 150 = 17. Dat valt buiten 1 keer de standaardafwijking. Best veel, maar niet uitzonderlijk. c Het verschil is 18 gram. Best veel, maar niet uitzonderlijk. Opgave 2 a Het verschil is 3,5 C. Er geldt 3,5 / 1,4 = 2,5. De waarneming wijkt dus 2,5 keer de SD af. Dit is misschien best wel uitzonderlijk. b Het verschil is 18 gram, dus 1,8 keer de SD. Dit is niet heel uitzonderlijk. Opgave 3 a De z-waarde van de jongen is: (waarneming gemiddelde) / SD = (196 176) / 12 = 1,67. De z-waarde van het meisje is: (waarneming gemiddelde) / SD = (186 164) / 10 = 2,2. Het meisje is de grootste uitschieter. b Dan moet ze precies even lang zijn als het gemiddelde. c Als we de formule omwerken, dan volgt: waarneming = gemiddelde) + z-waarde SD. Dat wordt hier: waarneming = 164 1,6 10 = 164 16 = 148 cm. Opgave 4 a Φ(-3) = 0; dit is al ingevuld. Tussen -2 en +2 is de oppervlakte gelijk aan 0,955. De oppervlakte links en rechts daarvan is dus 0,045. De helft daarvan ligt links van -2, dus Φ(-2) = 0,0225. Op soortgelijke wijze volgt Φ(-1) = 0,16 (de helft van 1 0,68). De grafiek is symmetrisch rond 0, dus de helft van de oppervlakte ligt links van 0, dus Φ(0) = 0,5. Vanwege symmetrie volgt Φ(1) = 1 - Φ(-1) = 1 0,16 = 0,84. En ook Φ(2) = 1 - Φ(-2) = 1 0,0255 = 0,9775. En als laatste: Φ(3) = 1 - Φ(-3) = 1. In een tabel geeft dat: z-waarde -3-2 -1 0 1 2 3 Φ(3) 0 0,0225 0,16 0,5 0,84 0,9775 1
b De grafiek wordt: Opgave 5 NB: De tabel staat op pagina 87, 88 en niet op 153 en 154. Φ(-0,43) = 0,3336 Φ(0,43) = 0, 6664 Φ(1) - Φ(-1,5) = 0,8413 0,0668 = 0,7745 Φ(1,62) - Φ(0) = 0,9474 0,5 = 0,4474 Opgave 6 Eén manier is: Opp = 1 - Φ(1,3) = 1 0,9032 = 0,0968. Een andere manier is: Opp = Φ(-1,3) = 0,0968. Opgave 7 Hier ontbreekt een plaatje. Dat had moeten zijn: Zoek in de tabel de waarde 0,6 op. Daar komt het dichtste bij: z = 0,25. Dus Φ(0,25) 0,6. Opgave 8 Opzoeken in de tabel geeft: Φ(-0,84) 0,20, dus z = -0,84. Φ(0,67) 0,75, dus z = -0,67. Φ(0,84) 0,80, dus z = 0,84. Φ(-0,39) 0,35, dus z = -0,39.
Opgave 9 a Links van het midden is dan 20 % gearceerd, dus voor de gezochte z 1 moet gelden: Φ(z 1 ) = 0,3. In de tabel zien we dan z 1 = -0,52. Vanwege de symmetrie volgt z 2 = 0,52. b Nee, dat kan niet, er zijn oneindig veel oplossingen. Opgave 10 Er geldt Φ(-0,43) = 0,33, dus z 1 = -0,43 en z 2 = 0,43. Er geldt Φ(-0,67) = 0,25, dus z 1 = -0,67, z 2 = 0 en z 2 = 0,67. Er geldt Φ(-0,84) = 0,20 en Φ(-0,25) = 0,40, dus z 1 = -0,84, z 2 = -0,25, z 3 = 0,25 en z 4 = 0,84. Opgave 11 a 192 is 10 meer dan het gemiddelde 182, dus precies 1 keer de SD. De z-waarde is dus 1. b Φ(1) is het deel dat korter is dan het gemiddelde plus 1 keer de z-waarde, ofwel 182 + 10 = 192 cm. Dan is dus 1 - Φ(1) het deel dat langer is dan 192 cm. In de tabel zien we dat Φ(1) = 0,8413. Dus 1 - Φ(1) = 1 0,8413 = 0,1587. Het percentage dat langer is dan 192 cm is dan 15,87 %. Opgave 12 We brengen de vraagstelling terug naar de standaard normale verdeling door te verminderen met het gemiddelde en te delen door de standaarddeviatie. Het percentage met een lengte tussen 160 en 180 cm komt overeen met het percentage tussen 160 170 = -10 en 180 170 = 10, bij een gemiddelde van 0 en σ = 8. Dit komt weer overeen met het percentage tussen -10/8 = -1,25 en 10/8 = 1,25 bij een gemiddelde van 0 en σ = 1. In de tabel lezen we af Φ(1,25) = 0,8944 en Φ(-1,25) = 0,1056. Het gevraagde deel is dus Φ(1,25) - Φ(-1,25) = 0,8944 0,1056 = 0,7888, ofwel 78,88%. Opgave 13 We stellen de machine af op g, dus het gemiddelde is g en σ = 10. Een waarneming 985, wijkt nu 985 g af en die is verdeeld met een gemiddelde van 0 en σ = 10. En dan is (985 g) / 10 standaard normaal verdeeld. Uit de tabel lezen we af dat Φ(-2,05) = 0,02. Daarom moet gelden: (985 g) / 10 = -2,05. Hieruit g oplossen geeft g = 1105,5.
Opgave 14 a Bij 28% hoort een z-waarde van -0,58. Dus -0,58 SD = 54 62 = 8. Dus SD = 8 / 0,58 = 13,79 b Om de grens voor de 20 % besten te bepalen kijken we voor welke z geldt dat Φ(z) = 0,8. Dat is voor z = 0,84. Om bij de beste 20 % te horen moet je z keer de standaarddeviatie meer hebben dan het gemiddelde, ofwel 0,84 13,79 + 62 = 73,58. Dus vanaf 74 punten hoor je de beste 20 %. Opgave 15 Er geldt Φ(-1,28) = 0,1. De z-waarde is dus -1,28. Vermenigvuldig 1,28 met de standaardafwijking 12, dat geeft 15,4. Het gemiddelde punten aantal is dan 15,4 + 54 = 69,4. Opgave 16 a Bereken de kans dat een waarneming hooguit 110 is bij een gemiddelde van 96 en SD gelijk aan 5: Φ((110 96) / 5) = Φ(14 / 5) = Φ(2,8) = 0,9974, ofwel 99,74 %. Dan is er in 0,26 % van de gevallen vertraging. b Nu geldt Φ((77 80) / s) = Φ(-0,84) = 0,2. Dus moet gelden (77 80) / s = -0,84. Hieruit volgt s = 3,57 c Nu geldt Φ((105 g) / 4) = Φ(2,41) = 0,992. Dus moet gelden (105 g) / 4 = 2,41. Hieruit volgt g = 96,36. Opgave 17 a Bij 91 % geldt voor de z-waarde: Φ(1,34) = 0,91. Er moet gelden: 170 160,4 = 1,34 σ. Uitwerken geeft σ = (170 160,4) / 1,34 = 7,2. b Voor de mediaan geldt dat er evenveel links als rechts van de mediaan liggen, dus 50 % is langer dan MED. c De helft van de 9 % vrouwen langer valt af, dus we kijken nu naar de grens 91 + 4,5 = 95,5 %. De z-waarde hiervan is 1,70. Daar hoort een lengte bij van 160,4 + 1,70 7,2 = 172,64. d 883 van 1000 vrouwen waren korter, ofwel 88,3 %. De z-waarde hiervan is 1,19, want Φ(1,19) = 0,883. Er geldt dus dat (172,6 g) / 7,2 = 1,19. Hieruit volgt dat g = 164,03. e Bereken Φ((170 164) / 7,2) = Φ(0,833) = 0,7967. Dus wordt nog steeds 79,67 % van de vrouwen afgewezen.
Opgave 18 a In de tabel lezen we af dat Φ(-0,60) = 0,275. Dit betekent dat 0,60 SD = 100 90, ofwel SD = 10 / 0,60 = 16,67. b In de tabel lezen we af dat Φ(1,96) = 0,975. Dit betekent dat 1,96 SD = 130 100 = 30, dus SD = 30 / 1,96 = 15,31. c Alleen als de verdeling normaal is, gelden de gebruikte relaties en waarden. We hebben hier dus waarschijnlijk niet met een normale verdeling te maken.