Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie 10 4.3. Enkele eigenschappen van de cosinus-functie 11 4.4. Een eigenschap van de tangens-functie 13 4.5. Stelling van Pythagoras voor de goniometrie 13 5. Functiewaarden 15 Appendix I 16 Appendix II 18 Opgaven 22 G.L.M. de Jongh
1. Sinus-functie We gaan uit van een cirkel met straal 1 waarvan het middelpunt op de x-as ligt (eenheidscirkel). De omtrek van de cirkel is dus gelijk aan 2. Op de cirkel kiezen we een punt A dat tegen de wijzers van de klok in over de cirkel beweegt. Het startpunt van A is het punt O (zie figuur 1). We kiezen nu een punt X op de x-as waarvoor geldt dat OX = lengte van de boog OA. Het punt X legt daardoor op de x-as dezelfde afstand af, als het punt A op de cirkel. figuur 1 We meten nu de afstand van het punt A tot de horizontale middellijn van de cirkel. Dat is dus de lengte van het lijnstuk AB, waarbij we de afstand negatief rekenen als A onder de horizontale middellijn ligt. P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Het punt P beschrijft nu een kromme lijn, een zogenoemde sinusoïde. Dit is de grafiek van de functie f(x) = sin x. G.L.M. de Jongh 1
We hebben dus gevonden voor waarden van x tussen 0 en 2 figuur 2a We breiden het domein van de sinusfunctie uit tot alle reële waarden van x door de functie periodiek te maken. Een dergelijke uitbreiding verkrijgen we door de definitie sin(x + k. 2 ) = sin x voor k = ±1, ±2, ±3,... Het getal 2 heet de periode van de functie. De grafiek van sin x heeft daardoor dus de volgende gedaante: figuur 2b f(x) = sin x G.L.M. de Jongh 2
2. Cosinus-functie figuur 3 Voor het verkrijgen van de functie cos x gaan we op dezelfde manier te werk als bij de sinusfunctie. Echter nu nemen we voor AB de afstand van het punt A tot de verticale middellijn van de cirkel. Daarbij kiezen we deze afstand positief als A rechts van die middellijn ligt en negatief als A er links van ligt (zie figuur 3). In dit geval beschrijft het punt P ook een kromme lijn. Deze is gelijkvormig met die welke we gevonden hebben bij de sinusfunctie. Het is dus eveneens een sinusoïde. Het is in dit geval echter de grafiek van de functie f(x) = cos x. Hier vinden we dus, eveneens voor waarden van x tussen 0 en 2 : figuur 4a G.L.M. de Jongh 3
Ook van deze functie breiden we het domein uit tot alle reële getallen met cos(x + k. 2 ) = cos x voor k = ±1, ±2, ±3,... De cosinus-functie is dus eveneens een periodieke functie. Het getal 2 heet de periode van de functie. Daardoor heeft de grafiek van cos x de volgende gedaante: figuur 4b f(x) = cos x Opmerking De sin-functie en de cos-functie behoren tot de verzameling zogenoemde goniometrische functies. G.L.M. de Jongh 4
3. Tangens-functie Naast de sin- en cos-functie definiëren we op dezelfde manier als hierboven nog een derde goniometrische functie, nl. de tangens-functie of kortweg de tan-functie. figuur 5 We trekken nu een lijn door het middelpunt van de eenheidscirkel en het variabele punt A. Deze lijn snijdt de yas in het punt A'. Als y-coördinaat van het punt P nemen we dit keer de lengte van het lijnstuk A'O. Als A' boven de x-as ligt nemen we de positieve waarde; ligt A' daarentegen onder de x-as dan kiezen nemen we de y-coördinaat negatief. Ook nu beschrijft het punt P een kromme lijn (dit is echter geen sinusoïde!).. Dit is de grafiek van de functie f(x) = tan x. We hebben dus gevonden voor waarden van x tussen 0 en 2 G.L.M. de Jongh 5
figuur 6a Merk echter op, dat voor de waarden x = ½ (A heeft een kwart cirkel doorlopen) en x=1½ (A heeft driekwart cirkel doorlopen) de lijn door het middelpunt en A evenwijdig loopt met de y-as. In dit geval bestaat het punt A' dus niet. De tan-functie is niet gedefinieerd voor de waarden x = ½ en x=1½. Ook van de tan-functie breiden we het domein uit voor alle reële waarden van x. Dit keer met tan(x + k. ) = tan x voor k = ±1, ±2, ±3,... en uiteraard x + k. ½ en 1½. De tangens-functie is dus een periodieke functie met een periode gelijk aan. G.L.M. de Jongh 6
Daardoor heeft de grafiek van tan x de volgende gedaante: figuur 6b f(x) = tan x G.L.M. de Jongh 7
4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies We zullen hieronder nagaan welk verband er bestaat tussen de goniometrische verhoudingen die gedefinieerd zijn in een rechthoekige driehoek en de hierboven besproken functies. Deze goniometrische verhoudingen, die dezelfde namen hebben als de beschouwde functies, geven we aan met SIN, COS en TAN. figuur 7 In figuur 7 is de eenheidscirkel getekend met middelpunt O. De omtrek van de cirkel is dus 2. A is een punt van deze cirkel. We stellen de grootte van hoek AOX gelijk aan x (radialen). Nu is de lengte van boog AX gelijk aan x/2. 2 = x. In driehoek AOB is nu SIN x = AB/OA = AB/1 = AB COS x = OB/OA = OB/1 = AC TAN x = AB/OB = A'X/OX = A'X G.L.M. de Jongh 8
In de functies hebben we de lijnstukken AB, AC en A'X opvolgend gebruikt als functiewaarden voor de sinus, cosinus en tangens. Dus voor waarden van x uit het interval [0, ½ ] geldt: SIN x = sin x COS x = cos x TAN x = tan x De goniometrische verhoudingen en de goniometrische functies geven dus voor scherpe hoeken bij O dezelfde waarden. Ook voor andersoortige hoeken (A ligt dan in het 2e, 3e of 4e kwadrant van de cirkel) kunnen we goniometrische verhoudingen definiëren. We doen dat met behulp van de coördinaten (p, q) van het punt A op de eenheidscirkel. Definitie Als de grootte van de hoek AOX gemeten wordt over de boog die XA in tegenwijzerrichting waarbij bg(xa) = x, dan is SIN AOX = q COS AOX = p TAN AOX = q / p Uit deze definities volgt dat ook nu steeds geldt: SIN x = q = sin x COS x = p = cos x TAN x = q/p = tan x Hieruit volgt tevens, dat tan x = sin x / cos x. G.L.M. de Jongh 9
4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie figuur 8a Zie figuur 8a. Hierin is bg(xa) = x. Omdat A' gekozen is als spiegelbeeld van A in de x-as is ook bg(xa') = x. Daardoor is bg(xaa') = 2 - x. Nu is sin(-x) = sin(-x + 2 ) = (want de periode is 2 ) = sin(2 - x) = - sin x Dus: sin(- x) = - sin x figuur 8b G.L.M. de Jongh 10
Zie figuur 8b. Hierin is bg(xa) = x. Omdat A' gekozen is als spiegelbeeld van A in het punt O is bg(xaa') = x +. Nu is sin(x + ) = - sin x Verder is sin(x + ) = sin(x + - 2 ) = sin(x - ) = - sin x Dus: sin(x ± ) = - sin x. 4.3. Enkele eigenschappen van de cosinus-functie figuur 9a Het punt B komt overeen met x = ¼. Verder is bg(ba) = a. Het punt A komt dus overeen met x = ¼ + a. Het punt A' is het spiegelbeeld van A in de lijn l. Het punt A' komt dus overeen met x = 2¼ - a Nu is y(a) = x(a'), dit volgt uit de spiegeling, zodat sin(¼ + a) = cos(2¼ - a) = cos(¼ - a) G.L.M. de Jongh 11
Voor a = x - ¼ vinden we dus hieruit: sin x = cos(½ -x) Vervangen we x door ½ - x dan is dus: cos x = sin(½ - x) figuur 9b Zie figuur 9b. Voor het punt A geldt x(a') = x(a), terwijl verder bg(xaa') = 2 - x. Dus cos(2 -x ) = cos(-x) = cos x We hebben dus gevonden cos(-x) = cos x figuur 9c Zie figuur 9c. G.L.M. de Jongh 12
Hierin is bg(xa) = x. Omdat A' gekozen is als spiegelbeeld van A in het punt O is bg(xaa') = x +. Nu is cos(x + ) = - cos x Verder is cos(x + ) = cos(x + - 2 ) = cos(x - ) = - cos x Dus: cos(x ) = - cos x. 4.4. Een eigenschap van de tangens-functie Door gebruik te maken van de onder 3 genoemde eigenschap van de tangens-functie, tan x = sin x / cos x, kunnen we eenvoudig via de eigenschappen van de sinus- en cosinus-functie laten zien, dat tan(- x) = - tan x Immers, tan(-x) = sin(-x) / cos(-x) = - sin x / cos x = - tan x. 4.5. Stelling van Pythagoras voor de goniometrie figuur 10 G.L.M. de Jongh 13
Voor elk punt A (p, q) van de eenheidscirkel geldt dat p = cos x en q = sin x, waarbij bg(xa) = x. Zie figuur 10. Voor de afstand van A tot O geldt dus volgens de stelling van Pythagoras, dat p 2 + q 2 = 1; zodat sin 2 x + cos 2 x = 1 G.L.M. de Jongh 14
5. Functiewaarden In het volgende overzicht staan enkele belangrijke functiewaarden voor de goniometrische functies en de tekens van de functiewaarden voor x in de verschillende kwadranten. Tabel van functiewaarden en tekenoverzicht X = (in radialen) 0 1/4 X = (in graden) 0 30 45 60 90 x in kwadrant I II III IV sin x 0 1/2 1/2 2 1/2 3 1 sin x + + - - cos x 1 1/2 3 1/2 2 1/2 0 cos x + - - + tan x 0 1 / 3 1 3? tan x + - + - De waarden kunnen worden afgeleid met behulp van de stelling van Pythagoras een driehoek met hoeken van 45, 45 en 90 graden en in een driehoek met hoeken van 30, 60 en 90 graden. De tekens volgen onmiddellijk uit de definities van de functies. G.L.M. de Jongh 15
APPENDIX I Een rechthoekige driehoek is een driehoek die één reche hoek heeft. De schuine zijde, ook altijd de langste, zit altijd tegenover de rechte hoek. Via de stellng van Pythagoras kunnen we de lengte van een zijde in een rechthoekige driehoek berekenen, als er twee andere zijden bekend zijn. De stelling van Pythagoras luidt: (rechthoekszijde a)² + (rechthoekszijde b)² = (schuine zijde)² Voorbeeld Hieronder zie je een rechthoekige driehoek staan. Om de schuine zijde uit te rekenen kun je gebruik maken van een rekenschema: G.L.M. de Jongh 16
Eerst vul je de zijden die je weet in en bereken je de kwadraten: Je weet dat de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk moet zijn aan het kwadraat van de schuine zijde. Daarmee kan je het ontbrekende kwadraat uitrekenen. Je kent nu het kwadraat van de schuine zijde. De schuine zijde is de wortel van 25 en dat is 5. De schuine zijde is 5. Oefeningen Bereken bij de driehoeken hieronder de onbekende zijde. G.L.M. de Jongh 17
APPENDIX II De sinus, cosinus en tangens kun je alleen maar toepassen in een rechthoekige driehoek. De schuine zijde, ook altijd de langste, zit altijd tegenover de rechte hoek. De formule voor de tangens is: tan B = overstaande rechthoekszijde : aanliggende rechthoekszijde De formule voor de sinus is: sin B = overstaande rechthoekszijde : schuine zijde De formule voor de cosinus is: cos B = aanliggende rechthoekszijde : schuine zijde Voorbeeld 1: een hoek berekenen. G.L.M. de Jongh 18
Opgave 1: Bereken A. Oplossen met behulp van de tangens, want ten opzichte van overstaande zijde (6) en de aanliggende zijde (11) dus: tan A = 6:11 A = 29 A weet je de Afspraak: Hoeken ronden we altijd af op hele graden, tenzij anders in de opgave staat aangegeven. Voorbeeld 2: een zijde berekenen. Opgave 2: Bereken x. Ten opzichte van de gegeven hoek, in dit geval A (50 ), gaat het om de overstaande zijde (7) en om de aanliggende zijde (x). Je moet dus de tangens gebruiken. tan 50 = 7:x x. tan 50 = 7 x = 7 : tan 50 BC = 5,87 Afspraak: Zijden ronden we altijd af op twee cijfers achter de komma (2 decimalen), tenzij anders in de opgave staat aangegeven. G.L.M. de Jongh 19
Voorbeeld 3: een hoek berekenen. Opgave 3: Bereken A. Oplossen met behulp van de cosinus, want ten opzichte van aanliggende zijde (3) en de schuine zijde (4), dus: cos A = 3:4 A = 41 A weet je de Voorbeeld 4: een zijde berekenen. Opgave 4: Bereken x. Het gaat nu, ten opzichte van A, om de overstaande zijde (x) en de schuine zijde (10). Dus oplossen met de sinus. sin 47 = x:10 x = 10. sin 47 x = 7,31 Regel: Zorg er voor dat je rekenmachine altijd op D of deg staat. G.L.M. de Jongh 20
Hoogtelijnmethode. Een hoogtelijn is een lijn (in een driehoek) vanuit een hoekpunt naar de zijde tegenover die hoek en staat tevens loodrecht op die lijn. Met die hoogtelijn kun je twee rechthoekige driehoeken maken in een niet rechthoekige driehoek, zodat je 'SOSCASTOA' weer kunt gebruiken. Goniometrische verhoudingen. Naast de formules voor de sinus, cosinus en de tangens zijn er ook nog tal van andere goniometrische verhoudingen, zoals: tan A = sin A : cos A (sin A)²+ (cos A)² = 1 G.L.M. de Jongh 21
1. Gegeven driehoek ACD. Hoek A is een rechte hoek. AB = 8, CD = 40 en ABD = 62. a. Bereken AD b. Bereken BD c. Bereken C d. Bereken BC 2. Hieronder zie je de voorgevel van een schuur Een schuur heeft een totale hoogte van 8 meter. Het dak van de schuur maakt een hoek van 18 met een horizontaal vlak. Het dak is 5 meter lang. Bereken de oppervlakte van de voorgevel. G.L.M. de Jongh 22
3. Ad ziet de voet van een boom onder een hoek van 3 met de horizon. Zijn ooghoogte is 1,5 meter. Hij ziet de top van deze boom onder een hoek van 11 met de horizon. a. Bereken de hoogte van de boom. Hij gaat nu op een kist (1 meter hoog) staan. b. Bereken onder welke hoek met de horizon hij de voet van de boom nu ziet. c. Bereken ook onder welke hoek met de horizon hij de top van de boom nu ziet. 4. a) sin 120º = sin..(in radialen) = (in 3 decimalen) b) tan 135º = tan..(in radialen) = (in 3 decimalen) c) cos 150º = cos.(in radialen) = (in 3 decimalen) G.L.M. de Jongh 23
5. Gegeven driehoek ABC (de twee hoeken bij D zijn recht). a. Geef een formule voor AD. b. Geef een formule voor DB. c. Geef een formule voor de oppervlakte van de driehoek. 6.. Gegeven een driehoek ABC (hoek C is recht) met tan A = 5 / 12. Bereken sin A, cos A, tan B, sin B en cos B. G.L.M. de Jongh 24