Doorbuiging in de GTB

Vervorming van gewapend-betonconstructies volgens de Eurocodes Doorbuiging in de GTB In de GTB 010, afgestemd op NEN-EN 199-1-1 (EC, zijn tabellen opgenomen waarmee de fictieve buigstijfheid van een gewapendbetonconstructie eenvoudig kan worden berekend. Tabelwaarden zijn ontleend aan formules die zijn afgeleid voor de EC-rekenmethodiek voor vervormingsberekeningen. In deze bijdrage worden de rekenmethodiek, de formules en de tabelwaarden toegelicht. Aan de verticale vervorming van betonconstructies kunnen uit verscheidene oogpunten eisen worden gesteld: esthetica; voorkomen van schade aan scheidingswanden; voorkomen van ongewenste trillingen; voorkomen van wateraccumulatie op daken. Om ongewenste gevolgen te voorkomen, zijn in NEN 670 vervormingseisen geformuleerd. Deze hebben betrekking op diverse onderscheiden vormen van doorbuiging, zoals de direct optredende en bijkomende doorbuiging en de doorbuiging in de eindtoestand. Voor elk type doorbuiging is een belastingscombinatie beschreven en is aangegeven of het een kortdurende of een langdurende belasting betreft. De vervormingseisen in NEN 670 zijn vermeld in de toelichting bij NEN 670, art. 4..1 en 8.6.1. Het berekenen van de doorbuiging heeft plaats aan de hand van M-N-κ-diagrammen. Als aan bepaalde voorwaarden met betrekking tot de geometrie van de doorsnede wordt voldaan en sprake is van buiging zonder normaalkracht, mag NEN 670, art. 8.6. worden toegepast, waarin de buigstijfheid direct wordt berekend uit de ongescheurde buigstijfheid van de doorsnede. Een reductiefactor α verwerkt hierbij de invloed van de betonsterkteklasse, het belastingsniveau, de eventuele kruip, de wapeningsverhouding en de aard van de berekende doorbuiging (korteduur/langeduur. Met het verschijnen van de Eurocodes hebben op het gebied van de vervormingseisen en de rekenmethodiek aanzienlijke wijzigingen plaatsgehad. Vervormingen in de Eurocodes NEN-EN 1990 (EC0 onderscheidt in bijlage A (fig. A1.1; zie fig. 1 diverse vormen van verticale vervormingen, hier doorbuigingen genoemd. EC0 geeft aan dat de belastingscombinatie quasi-blijvend uit de BGT zich leent voor toetsingen met langeduureffecten. Als deze belastingscombinatie wordt gebruikt om de doorbuiging te berekenen, dan zouden daarvoor de volgende stappen in aanmerking komen: onmiddellijk optredende doorbuiging door blijvende belastingen; 80 7 0 10 Doorbuiging in de GTB

Doorbuigingseisen en belastingscombinaties in de GTB 010 Op grond van deze bevindingen is door de GTB-stuurgroep besloten de doorbuigingseisen uit NEN 670 te hanteren. Omdat de eisen niet los kunnen worden gezien van de bijbehorende belastingscombinaties, is ook besloten de EC-combinaties aan te passen. Dit houdt in dat de doorbuiging in de einddr.ir.drs. René Braam TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV 1 Vervormingscomponenten zoals onderscheiden in EC0 Relatie tussen doorbuiging en bijbehorende belasting w c w 1 w w tot G + w max w G + ψ G w c zeeg van het onbelaste element (c = camber; w 1 doorbuiging onder de blijvende belasting (G; w langetermijn doorbuiging onder blijvende belastingen (G; w bijkomend deel van de doorbuiging onder veranderlijke belastingen (ψ ; kortdurend en langdurend; w tot totale doorbuiging = w 1 + w + w ; 1 w max blijvende totale doorbuiging rekening houdend met de zeeg. belasting w on w tot,k w bij doorbuiging w bijkomende, onmiddellijk optredende doorbuiging door het kortdurend aanwezig zijn van het blijvend deel van de veranderlijke belastingen; tijdsafhankelijke bijkomende doorbuiging door het langdurend aanwezig zijn van de blijvende belastingen en het blijvend deel van de veranderlijke belastingen. EC0 stelt geen eisen aan de vervormingen; deze zijn nader overeen te komen tussen opdrachtgever en opdrachtnemer (EC0, A1.4. (. Opgemerkt wordt wel, dat deze in de nationale bijlage (NB kunnen zijn voorgeschreven. In de NB:007 bij EC0 wordt opgemerkt dat de strengste criteria volgens NEN 670, hoofdstuk 10 en NEN-EN 199 t.m. NEN-EN 1999 moeten worden gebruikt. EC geeft in 7.4.1 (4 en (5 een indicatie van de grenswaarden van de doorbuiging die in het algemeen leiden tot voldoende prestaties van gebouwen als woningen, openbare gebouwen en fabrieken: een doorbuiging in de eindtoestand (inclusief zeeg 0,004 l; een bijkomende doorbuiging 0,00 l. De eerste eis heeft betrekking op het uiterlijk en de bruikbaarheid van de constructie; de tweede eis op het voorkomen van beschadigingen aan aansluitende constructiedelen (bv. scheidingswanden. De belastingscombinatie die van toepassing is, is de quasi-blijvende combinatie: G + ψ In de terminologie van de NEN 6700-serie is dat de permanente belasting plus de momentane veranderlijke belasting. EC geeft in 7.4. uitdrukkingen voor de grenswaarde voor de slankheid waarbij aan de twee voorgaande doorbuigingseisen wordt voldaan en berekeningen achterwege mogen blijven. Doorbuigingen; EC versus NEN670/670 Doorbuigingen Uit het voorgaande overzicht blijkt dat EC0 de constructeur/ ontwerper voor doorbuigingseisen verwijst naar nader te maken afspraken met de opdrachtgever en dat de NB hieraan toevoegt dat ten minste moet worden uitgegaan van de criteria volgens NEN 670. De twee geadviseerde eisen zoals opgenomen in EC zijn in lijn met de eisen zoals in NEN 670 vermeld met betrekking tot: de doorbuiging in de eindtoestand; de bijkomende doorbuiging bij vloeren die weinig vervormbare (steenachtige scheidingswanden dragen. Met betrekking tot de bijkomende doorbuiging is het hanteren van slechts één grenswaarde echter een aanzienlijke beperking ten opzichte van de aanpak volgens NEN 670. Belastingen Ook op het gebied van de belastingscombinatie is er een verschil tussen EC en NEN 670. EC kiest namelijk voor het berekenen van de doorbuiging in de eindtoestand voor de quasi-blijvende belastingscombinatie. Ten opzichte van NEN 670 wordt dan de stap van de momentane naar de incidentele veranderlijke belasting niet gemaakt. Dit is toegelicht in figuur, waar de stap van (in Eurocode-terminologie G + ψ naar G + door EC dus niet wordt gemaakt. Doorbuiging in de GTB 7 0 10 81

toestand wordt berekend voor de karakteristieke BGT-belastingscombinatie uit EC0 (G +. Voor het in rekening brengen van tijdsafhankelijke effecten wordt in de GTB wel de combinatie zoals gebruikt in EC gekozen: G + ψ. Het in figuur getoonde schema is dus aangehouden. Berekenen van de doorbuiging In NEN 670 wordt de optredende kromming afgelezen uit een M-κ-diagram (NEN 670, fig. 7. Om de tension stiffening (de bijdrage van beton onder trek in rekening te brengen, wordt verondersteld dat de relatie een rechtlijnig verloop heeft tussen het scheurmoment en het moment waarbij de trekwapening de vloeigrens bereikt. EC beschrijft de tension stiffening op een andere manier en wel zodanig dat de werkelijke buigstijfheid direct wordt berekend uit de ongescheurde en gescheurde buigstijfheid. Bij zuivere buiging volgt: (EI f = ζ (EI II + (1 ζ (EI I waarin: (EI f is de werkelijke (fictieve buigstijfheid; (EI I is de ongescheurde buigstijfheid; (EI II is de gescheurde buigstijfheid; ζ = 1 β ( σ sr σ s β is de invloed van de belastingsduur (1,0 bij kortdurend; 0,5 bij langdurend; σ s is de staalspanning in de trekwapening in een gescheurde doorsnede bij de aanwezige belasting; σ sr is de staalspanning in de trekwapening in een gescheurde doorsnede bij het scheurmoment. Er is voor gekozen in de GTB 010, evenals in NEN 670, de werkelijke buigstijfheid uit te drukken in de korteduur buigstijfheid van de ongescheurde en ongewapend veronderstelde betondoorsnede, (EI 0 : (EI f = (EI 0 waarin : is een coëfficiënt waarmee de invloed van de wapeningsverhouding, de belastingsduur en het al dan niet gescheurd zijn van het beton in rekening wordt gebracht. In de uitdrukking wordt uitgegaan van de korteduur elasticiteitsmodulus van beton, E cm (EC, tabel.1. Bij een langdurende belasting worden tijdsafhankelijke effecten in rekening gebracht door uit te gaan van een fictieve elasticiteitsmodulus: E cm E cm, = 1 + φ(, t 0 Ongescheurd stadium In het ongescheurd stadium (subscript I wordt bij een kortdurende belasting (subscript 0 de invloed van de buigtrekwapening op de buigstijfheid verwerkt door de coëfficiënt: δ I,0 = 1 + α ρ e l 1 + α e waarin: α e is de verhouding tussen de elasticiteitsmoduli van staal en beton, α e = E s / E cm ; is de wapeningsverhouding voor de buigtrekwapening, betrokken op de nuttige hoogte van de doorsnede; = A s bd Voorgaande uitdrukking is ontleend aan [1] en verondersteld is dat de excentriciteit van de buigtrekwapening e s = 0,4 h. Bij een langdurende belasting (subscript is de coëfficiënt: 1 δ I, = 1 + φ(, t 0. 1 + α ρ e l 1 + α e Gescheurd stadium In het gescheurd stadium (subscript II heeft de grootte van de elasticiteitsmodulus invloed op de relatieve drukzonehoogte. De GTB-tabellen zijn afgeleid voor een rechthoekige betondoorsnede. Dan geldt voor de relatieve drukzonehoogte in het gescheurd stadium, t = 0 en t = : x 0 d = - α ρ + e l ( α e + α e x d = - α [1 + φ(, t ] ρ + e 0 l ( α e [1 + φ(, t 0 ] + α e [1 + φ(, t 0 ] De buigstijfheidcoëfficiënt in het gescheurd stadium (II volgt uit de verhouding tussen de buigstijfheid in het gescheurde en het ongescheurde stadium. In het gescheurde stadium geldt [1]: (EI II = ½ E cm b x (d ⅓ x Voor de rechthoekige doorsnede met breedte b, hoogte h en nuttige hoogte d leidt deze uitdrukking voor t = 0 en t = tot de volgende buigstijfheidcoëfficiënten: δ II,0 = (EI II,0 (EI = 6 0 ( d h δ II, = (EI II, (EI = 6 0 ( d h ( x 0 ( 1 1 x 0 d d ( x d ( 1 1 x 1 d 1 + φ(, t 0 De uitdrukkingen voor de buigstijfheidcoëfficiënt zijn nu voor de vier mogelijke combinaties van toestanden bekend (ongescheurd of gescheurd in combinatie met korteduur of langeduur. Ook zijn uitdrukkingen gegeven voor de dan optredende drukzonehoogte. Met de EC-interpolatieformule voor 8 7 0 10 Doorbuiging in de GTB

Tabel 1 Waarden van ; doorbuiging in de eindtoestand, ligger altijd niet-gescheurd, + 0,00 0,005 0,010 0,015 0,00 λ = 0,5 λ = 0,7 λ = 0,9 φ(,t 0 φ(,t 0 φ(,t 0 0 1 0 1 0 1 1,0 1,1 1,18 1,4 0,70 0,80 0,85 0,90 0,5 0,58 0,64 0,4 0,54 0,6 1,0 1,1 1,18 1,4 0,6 0,66 0,71 0,77 0,81 0,49 0,54 0,6 0,5 0,9 0,49 0,5 1,0 1,1 1,18 1,4 0,65 0,70 0,4 0,5 0,56 0, 0,4 Tabel Waarden van ; doorbuiging in de eindtoestand, ligger altijd niet-gescheurd bij + ψ en altijd gescheurd bij + 0,00 0,005 0,010 0,015 0,00 λ = 0,5 μ = 0,6 μ = 0,9 λ = 0,7 λ = 0,9 φ(,t 0 φ(,t 0 φ(,t 0 φ(,t 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0,60 0,80 0,88 0,97 0,54 0,6 0,68 0,75 0,9 0,5 0,58 0,6 0, 0,50 0,9 0,98 1,05 1,11 1,17 0,65 0,76 0,81 0,86 0,50 0,61 0,66 0,71 0,4 0,46 0,5 0,61 0,9 0,98 1,05 1,11 1,17 0,58 0,6 0,68 0,79 0,4 0,5 0,6 0,4 0,4 0,5 1,0 1,1 1,17 1, 0,64 0,4 0,5 0, 0,4 de buigstijfheid (incl. tension stiffening kan nu de uitdrukking voor de buigstijfheid in de diverse te onderscheiden belastingstadia worden afgeleid. + ψ M κ tot,k = ( EI + (1 ψ I, ( EI * Fictieve buigstijfheid: = + (EI f Doorbuiging in de eindtoestand Doorsnede altijd niet-gescheurd In deze toestand is M karakteristiek = + < = W f ctm. De optredende kromming wordt gevonden door het quasi-blijvende deel van de belasting langdurend aanwezig te laten zijn. De belastingsverhoging tot de karakteristieke belastingscombinatie heeft kortdurend plaats. De totale (subscript: tot kromming ten gevolge van de karakteristieke belastingscombinatie (subcript: k is dan: + ψ M κ tot,k = ( EI + (1 ψ I, = + (EI f ( EI I,0 Voor de fictieve of gewogen buigstijfheid volgt: (EI I,0 (EI I, + (EI f = (EI I, M + ( EI M (1 ψ I,0 G+ψ zodat de buigstijfheidcoëfficiënt is te schrijven als: δ I,0. δ I, M = λ δ I,0 + (1 λ δ met λ = G+ψ _ I, + Doorsnede niet-gescheurd in de quasi-blijvende toestand met het langeduureffect Nu is M karakteristiek, maar M quasi-blijvend < Onder de langdurende belasting is de doorsnede niet gescheurd; deze scheurt wel als de belasting kortdurend wordt verhoogd tot de karakteristieke waarde. De buigstijfheid onder langdurende belasting is dus bekend; de buigstijfheid bij de kortdurende belastingsverhoging volgt na interpoleren tussen de toestanden ongescheurd en gescheurd. Laatstgenoemde buigstijfheid wordt (EI * genoemd: ( EI f = (EI * ( EI I, + ( EI I, M (1 ψ + (EI* + ψ Omdat de doorsnede scheurt tijdens het verhogen van de belasting, moet, zoals vermeld, de bijbehorende buigstijfheid (EI * worden gevonden door interpolatie tussen de ongescheurde en gescheurde buigstijfheid: (EI * = (1 ζ (EI I,0 + ζ( EI II,0 waarin: ζ = 1 ( + Omdat hierbij sprake is van een kortdurende belasting, is in de voorgaande uitdrukking de tension stiffening niet gereduceerd (β = 1. Met μ = M (μ < λ < 1,0 kan dit worden geschreven als: G+ (EI * = μ ( EI I,0 + (1 μ ( EI II,0 Buigstijfheidcoëfficiënt: = δ I, ( μ δ I,0 + (1 μ δ II,0 (1 λ δ I, + λ ( μ δ I,0 + (1 μ δ II,0 +ψ λ = _ M en μ = G+ + Doorsnede altijd gescheurd Nu is M quasi-blijvend Ook onder de langdurende belasting is de doorsnede nu gescheurd. Dit betekent dat zowel voor de langdurend als de Doorbuiging in de GTB 7 0 10 8

Tabel Waarden van ; doorbuiging in de eindtoestand, ligger altijd gescheurd, + ψ 0,00 0,005 0,010 0,015 0,00 μ = 0, μ = 0,4 μ = 0,6 μ = 0,8 φ(,t 0 φ(,t 0 φ(,t 0 φ(,t 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0,1 0, 0,7 0,46 0,10 0,0 0, 0,09 0,19 0,6 0,44 0,09 0,18 0,8 0,4 0,1 0,1 0,5 0,64 0,15 0,5 0,6 0,4 0,5 0,1 0, 0, 0,11 0,0 0,5 0,41 0, 0,4 0,6 0,7 0,1 0,16 0,5 0,4 0,14 0, 0,1 0,6 0,4 0,49 0,68 0,75 0,84 0,8 0,6 0,46 0,5 0,1 0,8 0,7 0,4 0,17 0,4 0, 0,7 0,4 kortdurend aanwezige belasting moet worden geїnterpoleerd tussen de ongescheurde en de gescheurde buigstijfheid. Daarbij moet dan ook nog rekening worden gehouden met een verschil in belastingsniveau. Als hulpvariabelen worden de buigstijfheden (EI * en (EI ** gebruikt: + ψ κ tot,k = + ( EI ** Fictieve buigstijfheid: M (1 ψ (EI * = + (EI f (EI * ( EI ** + ( EI f = ( EI ** M + (1 ψ (EI* + ψ Omdat de doorsnede altijd gescheurd is, moeten, zoals vermeld, de buigstijfheden (EI * en (EI ** worden berekend uit de ongescheurde en gescheurde buigstijfheid. De buigstijfheid (EI * is eerder berekend. Deze behoort bij de kortdurende belastingsverhoging van de quasi-blijvende tot de karakteristieke waarde. Aanvullend is de buigstijfheid (EI** die hoort bij de langdurend aanwezige quasi-blijvende belasting. Ook nu wordt weer geschreven: (EI ** = (1 ζ (EI I,0 + ζ( EI II,0 waarin nu: ζ = 1 1 M _ ( cr +ψ Omdat nu sprake is van een langdurende belasting, is in voorgaande uitdrukking de tension stiffening gereduceerd (β = 1 /. Onmiddellijk optredende doorbuiging De onmiddellijk optredende doorbuiging wordt berekend voor de blijvende belasting. Omdat de kortdurend optredende doorbuiging wordt berekend, behoeven geen langeduureffecten in de berekening te worden betrokken. Doorsnede ongescheurd Nu is < = W f ctm. Optredende kromming: κ on = ( EI = I,0 ( EI f De buigstijfheidcoëfficiënt is direct te schrijven als: = δ I,0 Doorsnede gescheurd Omdat is de optredende kromming: κ on = ( EI = *** ( EI f Omdat de doorsnede gescheurd is, wordt de buigstijfheid (EI *** weer berekend door interpoleren tussen de ongescheurde en gescheurde buigstijfheid. Beide behoren bij de toestand waarin sprake is van een kortdurend aanwezige blijvende belasting. Dan volgt: (EI *** = (1 ζ (EI I,0 + ζ( EI II,0 Met μ = _ +ψ (μ > μ is dit te schrijven als: (EI ** = ½ μ ( EI I,0 + (1 ½ μ ( EI II,0 Buigstijfheidcoëfficiënt: (½ μ = δ + (1 ½ μ δ ( μ δ + (1 μ δ I,0 II,0 I,0 II,0 _ (1 λ(½ μ δ + (1 ½ μ δ + λ ( μ δ + (1 μ δ I,0 II,0 I,0 II,0 +ψ λ = _ M ; μ = G+ M en μ = M _ cr (μ G+ M < μ en λ < 1,0 G+ψ GTB 010 De GTB 010 Complete uitgave wordt op de Betondag (18 november 010 gepresenteerd en is te bestellen bij de Betonvereniging (www.betonvereniging.nl > publicaties. Vanaf september 010 is ten behoeve van het onderwijs al de Beperkte Uitgave beschikbaar. De GTB 010 is door en onder verantwoordelijkheid van een stuurgroep opgesteld. De samenstelling van die groep is opgenomen in het Woord vooraf. 84 7 0 10 Doorbuiging in de GTB

1,40 1,0 μ 1 1,0 Onmiddellijk optredende doorbuiging, ligger geheel gescheurd, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0, 0, 0,1 1,00 0,80 0,60 0,0 0,00 0,004 0,006 0,008 0,01 0,01 0,014 0,016 0,018 0,0 LiteRatuuR 1 Bruggeling, A.S.G. & De Bruijn, W.A., Theorie en praktijk van het gewapend beton. TU Delft, 1985. Braam, C.R., Rekenvoorbeelden EC: Doorbuiging. Cement 010/1. waarin nu: ζ = 1 ( Omdat sprake is van een kortdurende belasting is in voorgaande uitdrukking de tension stiffening niet gereduceerd (β = 1. Met μ 1 = M : G volgt: (EI *** = μ 1 ( EI I,0 + (1 μ 1 ( EI II,0 Buigstijfheidcoëfficiënt: = μ 1 δ I,0 + (1 μ 1 δ II,0 met μ 1 = Tabellen Omdat de uitdrukkingen leiden tot rekenstappen zonder iteraties, verlopen de berekeningen relatief eenvoudig. Om de uitkomsten inzichtelijk te maken, is er voor gekozen in de GTB 010 tabellen met coëfficiënten voor de buigstijfheid op te nemen. Omdat het aantal variabelen zeer groot is, is gekozen voor benaderende waarden. Gezien de gevoeligheid van de doorbuiging voor aspecten die niet in de berekeningen zijn opgenomen (onder meer tijdstip van ontkisten; ouderdom bij aanbrengen van de belasting; belastingshistorie, zal een tabelwaarde vaak voldoende nauwkeurig zijn. Voor de buigstijfheid ten behoeve van de onmiddellijk optredende doorbuiging bleek een figuur geschikt te zijn om de resultaten te presenteren (fig.. Aanvullende opmerkingen De berekeningen zijn uitgevoerd voor een statisch bepaald opgelegde balk of vloer. De slankheidsregels van EC bieden de mogelijkheid andere statische systemen in rekening te brengen. Door de berekende doorbuiging te delen door de factor K (EC tabel 7.4N is het mogelijk de invloed van het statisch systeem in rekening te brengen. Een complicatie hierbij is dan wel, dat de wapeningsverhouding dan geheel wordt bepaald door de wapeningsverhouding in de velddoorsnede. In NEN 670 zijn rekenregels gegeven waarmee steunpunt- en veldwapening zijn te vertalen in een gemiddelde wapeningsverhouding over de gehele lengte van de ligger. Er wordt wel op gewezen dat deze rekenregels zijn gebaseerd op een spanning-rekrelatie voor beton in de UGT. EC voegt, anders dan NEN 670, de vervorming door krimp toe aan de doorbuiging. Omdat de berekening van deze doorbuigingscomponent een geheel ander type berekening vraagt dan de doorbuiging door opgelegde belasting, is deze niet opgenomen in de GTB 010. Deze component moet dus nog worden toegevoegd als de doorbuiging in de eindtoestand wordt berekend. De berekeningswijze is toegelicht met een rekenvoorbeeld []. Voor platen kan een bijdrage aan de doorbuiging van circa 10 mm niet ongebruikelijk zijn. Doorbuiging in de GTB 7 0 10 85