DOORSNEDE- BEREKENING
EENVOUDIGE LIGGERBEREKENING: Buiging Dwarskracht Vervorming
DWARSKRACHT Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
a F Zuivere buiging F A a l - 2a a B b A V=F l V=F B V-lijn c A M=Fa B M-lijn Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Parabolisch verloop schuifspanningen bij rechthoekige, homogene doorsnede.
Algemeen geldt voor de schuifspanning τ : V: de dwarskracht V S τ = b I S: het lineaire oppervlaktemoment van het af te schuiven gedeelte (het statisch moment) b: de balkbreedte I: het kwadratisch oppervlaktemoment van de doorsnede (het traagheidsmoment).
Scheurvorming, drukboog en trekband: Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Door de scheurvorming ontstaat als het ware een constructie bestaande uit een drukboog met een trekband. De veldwapening vormt de trekband en het ongescheurde beton, bovenin en tussen de schuine scheuren nabij de oplegging, de drukboog. Het zal duidelijk zijn dat het opnemen van schuifspanningen tengevolge van de dwarskracht nabij de oplegging nu niet meer in een eenvoudige formule kan worden weergegeven.
Het afschuiven van beton wordt tegengegaan door: - een verticale ontbondene van de kracht in de ongescheurde drukzone; - een kracht in de aanwezige afschuifwapening; - deuvelwerking door de langswapening; - de verticale ontbondene van de wrijvingskracht die in de schuine scheur ontstaat door het onregelmatige verloop van het breukvlak. De scheur zal in het algemeen grindkorrels vermijden, waardoor ter plaatse van de scheur een inhaking van materiaal onstaat, die veelal 'interlocking' wordt genoemd.
Krachtswerking in een op dwarskracht belaste balk: beugel 1 beugel 3 2 3 trekwapening trekwapening 1 ongescheurde drukzone: grote schuifkracht overdragen 2 wrijvingskrachten via vertanding (aggregate interlock) 3 deuvelwerking wapening Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
De schuifspanning is dan afhankelijk van: - de aanwezige hoeveelheid (hoofd-)wapening - de vorm van de drukboog, die onder meer afhankelijke is van de verhouding a/h: 'gedrongen liggers reageren anders dan slanke' liggers - de afmetingen van de drukzone en daarmee van de grootte van het buigend moment, de balkafmeting (vooral de balkhoogte) en de sterkteklasse van het toegepaste beton.
VBC-art. 8.2 schrijft voor hoe deze invloeden rekentechnisch kunnen worden verwerkt. Zoals bij het berekenen van opneembare momenten moet worden uitgegaan van de voorwaarde M, zo geldt voor het opnemen van d M u schuifspanningen tengevolge van de dwarskracht de voorwaarde. τ d τ u Hierin is τ d gedefinieerd als de rekenwaarde van de schuif-spanning volgens de formule: τ d = V d bd
τ d = V d :de rekenwaarde van de dwarskracht in de beschouwde doorsnede; b: de breedte van de betondoorsnede, voor T-en L-balken de breedte van het lijf; d: de nuttige hoogte van de doorsnede zoals eerder omschreven: de afstand tussen het zwaartepunt van de totale buigtrekwapening en de uiterste gedrukte vezel. Blijkbaar wordt er gerekend met de gemiddelde schuifspanning over de op de nuttige hoogte betrokken doorsnede. V d bd
De zo gevonden waarde van τ d moet kleiner zijn dan τ u. τ u is hierin de maximaal opneembare schuifspanning in de betondoorsnede, die wordt bepaald door: τ + τ τ 1 s u
τ 1 :de uiterst opneembare schuifspanning indien geen dwarskrachtwapening wordt toegepast: het betonaandeel in het opnemen van schuifspanningen; τ s :de uiterst opneembare schuifspanning door de dwarskrachtwapening: het aandeel van de wapening in het opnemen van schuifspanningen. Tezamen mogen τ 1 en τ s niet groter zijn dan τ 2. τ 2 is een grenswaarde die wordt ingevoerd om te voorkomen dat door toepassen van veel dwarskrachtwapening de betondruk-diagonaal bezwijkt.
De grenswaarde van τ 1 : Op basis van een groot aantal proeven is daaruit een empirisch formule voor ontwikkeld. We vinden deze formule in VBC-art. 8.2.3: τ 3 1 = 0,4fb k λ k h ω0 </ 0,4f b
De factor K λ : K λ houdt verband met het gedrongen zijn van de constructie. De mate van gedrongenheid van een ligger wordt bepaald door de verhouding l/d. Voor consoles, poeren en voor liggers met een geconcentreerde belasting dichtbij een vrije eindoplegging, is verhoging van τ 1 mogelijk, omdat een deel van de belasting via drukdiagonalen rechtstreeks naar de oplegging kan worden afgedragen. Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Grafiek voor λ v Poer met drukdiagonalen
De factor K h : K h is een schaalfactor. Uit proeven is gebleken dat de gemiddelde schuifspanning bij bezwijken voor hoge liggers kleiner is dan voor liggers met een geringe hoogte. In de VBC is de grens waarbij de schaalfactor van invloed is, gesteld op een balkhoogte van h = 600 mm. Voor liggers met h 0,6 m geldt: k h = 1,0; voor liggers met h < 0,6 m geldt: k h = 1,6 h, waarin h in m moet worden ingevuld.
Het wapeningspercentage ω 0 We hebben vastgesteld dat de aanwezige hoeveelheid wapening mede van invloed is op het betonaandeel in de opname van de schuifspanningen. Uit proeven is gebleken dat die invloed voor het bepalen van τ 1 gesteld 3 kan worden op, waarin ω ω 0 2,0: 0 nog hogere wapeningspercentages >/ bleken van weinig invloed op τ 1. ω 0 wordt bepaald door de aanwezige buigtrekwapening in de doorsnede waar τ 1 wordt bepaald. Dit wapeningspercentage behoefd dus niet hetzelfde te zijn als het wapeningspercentage voor M dmax
In deze collegereeks worden gedrongen constructies niet behandeld. De factoren k λ en k h hebben weinig tot geen invloed op slanke liggers. Derdemachts wortel alleen van invloed bij grote wapeningspercentages ( >1) Dus τ 3 1 = 0,4fb k λ k h ω0 </ 0,4f b vereenvoudigen tot: τ 0,4f 1 b
Waarden voor τ 1 = 0,4 f b in N/mm 2 : sterkteklasse 0,4 f b B 15 B 25 B 35 B 45 B 55 B 65 0,36 0,46 0,56 0,66 0,76 0,86
Waarden voor τ 2 (bovengrens) in N/mm 2 : sterkteklasse τ 2 B 15 B 25 B 35 B 45 B 55 B 65 1,8 3,0 4,2 5,4 6,6 7,8
Als τ d > τ 2 : of - Betonkwaliteit verhogen - Balkafmeting aanpassen
Beugels Dwarskrachtwapening kan worden bepaald met de vakwerkanalogie, wanneer voldaan wordt aan de voorwaarde dat: a. De onder- en bovenrand van het vakwerk evenwijdig lopen aan de onder- en bovenzijde van de ligger; b. de drukdiagonalen een hoek maken met de as van de ligger die ligt tussen 30 en 60.
Vakwerkanalogie: verticale beugels Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
De verticalen uit het vakwerk, de beugels in de balk, worden op trek belast. De benodigde beugeldoorsnede bedraagt: A s = V s /f s Omdat de beugels in dit vakwerk hart-op-hart z zijn aangenomen, is de benodigde beugeldoorsnede per lengte: A z s = V z s f s
Door de betondoorsnede zonder dwarskrachtenwapening wordt opgenomen: V 1 1 = τ b Door de beugels moet worden opgenomen: d τ d = V d bd ( τ τ ) b d Vs = Vd V1 = d 1
Per lengte wordt dan de benodigde beugeldoorsnede: ( ) s 1 d s f z d b z A τ τ = De totale beugeldoorsnede over een afstand y wordt dan: ( ) s 1 d s s bgls f z y d b y z A A τ τ = = Deze formule geldt voor een constante dwarskracht.
Constante dwarskracht: Verlopende dwarskracht: Bij puntlasten. Bij q-lasten.
Wanneer we voor z de waarde van z = 0,9 d invoeren, vinden we voor de beugelwapening: A s bgls = ( τ τ ) d 1 gem 0,9 f s b y ( τ d τ 1 ) gem ( d τ 1 ) Hierin is de gemiddelde waarde van τ over de afstand y, waarover τ d > τ 1
Beugelvormen Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
VBC-art. 9.5.2 geeft de voorwaarden waaraan de beugels moeten voldoen. De belangrijkste zijn dat de ombuigingen moeten worden uitgevoerd met een buigstraal van ten minste 2.5*Øk en dat de beugels een overlap moeten hebben van minimaal 15*Øk. Beugels die dienen als dwarskrachtwapening moeten tevens voldoende laslengte bezitten.
Omdat de wapeningskorven veelal worden geprefabriceerd in wapenings-centrales, moet om lastechnische redenen de verhouding tussen de kenmiddellijn van de beugels en de kenmiddellijn van de hoofdwapeningsstaaf bij voorkeur voldoen aan: beugel beugel beugel 6 8 10 : : : hw hw hw max imaal max imaal onbeperkt. 10; 25;
REKENVOORBEELD: Beton B25; staalsoort FeB 500; afmetingen b x h = 400 x 550 mm 2 ; d = 500 mm. Voor F d geldt: F d = 240 kn. Het eigen gewicht van de balk wordt verwaarloosd.
Berekening 1. Bereken de krachtsverdeling. R A = R B = 240 kn V A = V B = 240 kn
Bepaal τ d, τ 1 en τ 2 τ d = Vd bd = 240.000 400 500 = 1,20 N / mm 2 τ 1 = 0,46 N/mm 2 (tabel) τ 2 = 3,00 N/mm 2 (tabel) τ 1 < τ d < τ 2 ; er moet dwarskrachtwapening worden toegepast.
Bepaal de lengte y, waarover τ d > τ 1 en bereken de dwarskrachtwapening. Uit de dwarskrachtenlijn van voorgaande figuur blijkt dat V d constant is, zodat y = 2000 mm.
Toepassen van beugels: A s bgls = ( τ τ ) d 1 gem 0,9f s b y invullen: ( 1,20 0,46) 400 2000 2 A s bgls = = 0,9 435 1512 mm
Per meter wordt dit: A s bgls / y = 1512/2 = 756 mm 2 Hieraan voldoet Ø10 200 (tweesnedig) = 785 mm 2 Deze beugelafstand is kleiner dan 300 mm en kleiner dan 2/3 * h = 367 mm en voldoet derhalve.
Rekenvoorbeeld uit vorig (3 e ) college: q d = 42,92 kn/m 1 V d = ½ * 42,92 * 6 = 128,76 kn 128,76 kn Dwarskrachtenlijn (kn) 128,76 kn Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
V d 128,76 10 3 τ = = 0,58 N/ mm 2 d b d 400 554 Onder- en bovengrens bepalen: B35! tabel: ondergrens: τ 1 = 0,56 N/mm 2 bovengrens: τ 2 = 4,20 N/mm 2
τ s = τ d - τ 1 " τ s = 0,58 0,56 = 0,02 N/mm 2 Grafisch: 0,58 0,56 Schuifspanning (N/mm 2 ) 0,56 0,58
m.b.v. dwarskrachtenlijn: q d = 42,92 kn/m 1 V 1 = 0,56 * 400 * 554 = 124,10 kn Nulpunt: 124,10 / 42,92 = 2,891 m 128,76 124,10 2,891 124,10 Dwarskrachtenlijn (kn) 128,76 Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Indien uit de berekening volgt dat er geen wapening (beugels) moet worden toegepast, dan altijd minimale hoeveelheid beugels toepassen: 6 300 mm. of 8 300 mm. (praktische reden " prefabrikage wapeningskorf) Rekenvoorbeelden met een combinatie van beugels en opgebogen wapening staan in het dictaat. Ook voorbeelden met verlopende dwarskrachten, t.g.v. q-lasten, staan in het dictaat.
VERSCHUIVEN VAN DE MOMENTENLIJN Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
In het bezwijkstadium kan het gedrag van een gewapend-betonbalk worden vergeleken met het gedrag van een vakwerkligger. Nu blijkt dat in zo'n vakwerk niet in dezelfde verticale doorsnede gelijke trek- en drukkrachten optreden. De trekkracht in de onderregel van het vakwerk is in de verticale doorsnede steeds groter dan de drukkracht in bovenregel.
Vakwerkanalogie: verticale beugels Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Voor een betonbalk in het bezwijkstadium geldt dus, dat de trekkracht in de veldwapening nabij het steunpunt groter is dan drukkracht in de (beton-) drukstaaf ter plaatse. Om de trekspanning in de wapening ter plaatse te bepalen, kan dan niet meer worden uitgegaan van de momentenlijn, maar moet rekening worden gehouden met een verschuiving van die momentenlijn.
VERSCHUIVING VAN DE MOMENTENLIJN Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Bij lijnvormige ondersteuningen (bijv. metselwerk) is de verschuiving tot de dag van de oplegging. Bij puntvormige ondersteuningen (bijv. kolom) is de verschuiving tot het hart van de oplegging. Tijdens het tentamen hier alleen mee rekenen indien er nadrukkelijk om gevraagd wordt!
EINDE DWARSKRACHT
VERVORMING Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
De TGB onderscheidt de volgende doorbuigingen: u tot u tot u el is de totale doorbuiging, die wordt bepaald door: = u el + u kr, waarin: is de onmiddellijk, dus tijdsonafhankelijk optredende doorbuiging; u kr is de doorbuiging die het gevolg is van kruip en die dus tijdsafhankelijk is. (Onder kruip immers verstonden we een toenemende vervorming van beton in de tijd bij gelijkblijvende belasting).
u bij is de bijkomende doorbuiging, die wordt bepaald door: u bij = u tot -u on, waarin: u on is de onmiddellijk, dus tijdsonafhankelijk optredende doorbuiging ten-gevolge van de permanente belasting.
u eind is de doorbuiging in de eindtoestand, die wordt bepaald door: u eind = u tot -u ze, waarin: u ze is de zeeg. (onder een zeeg verstaan we een opwaartse ronding die met opzet tijdens de uitvoering wordt aangebracht en die dient om een deel van de doorbuiging te compenseren).
We zien twee maatgevende vormen van doorbuiging: de doorbuiging in de eindtoestand u eind, die uiteindelijk wordt bereikt; de bijkomende doorbuiging u bij, die in de loop van de tijd ontstaat. Aan beide doorbuigingen zullen begrenzende eisen worden gesteld.
Eisen m.b.t. de doorbuiging. Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Eisen voor de doorbuiging in de eindtoestand: u eind 0,004 l, indien de bruikbaarheid kan worden geschaad. Hierin is l de theoretische overspanning, die bij uitkragingen tweemaal de lengte is van de uitkraging. De grens geldt voor vloeren en daken, waarbij voor daken als aanvulling wordt gesteld, dat het afschot zodanig moet zijn, dat het water ook bij de doorbuiging in de eindtoestand kan worden afgevoerd naar de afvoerpunten.
Eisen voor de bijkomende doorbuiging: voor daken: u bij 0,004 l voor vloeren: u bij 0,003 l Voor vloeren die scheidingswanden dragen en waarbij scheurvorming niet wordt vermeden door de constructieve uitvoering van de wand: u bij 0,002 l. Voor de laatstgenoemde vloer wordt bovendien aanbevolen de bijkomende doorbuiging te beperken tot 15 mm bij tweezijdig opgelegde vloeren en 10 mm bij uitkragingen.
Met welke belastingen moeten we rekenen bij het bepalen van de doorbuigingen? Voor het bepalen van de doorbuigingen u tot en u eind gelden langdurig aanwezige (t = ) belastingen.
Daarnaast moet rekening worden gehouden met de langdurige aanwezigheid van 60% van de momentane veranderlijke belasting. De momentane belasting is die belasting die op een willekeurig tijdstip zeer waarschijnlijk zal worden aangetroffen. Bij deze belasting moet het kruipeffect in de berekening worden betrokken: we bepalen hiermee dus u kr. Dit deel van de veranderlijke belasting wordt geacht permanent aanwezig te zijn!
De buigstijfheid: Een constructie moet voldoende weerstand bieden tegen belastingen en vervormingen die gedurende de levensduur van het bouwwerk kunnen optreden. De weerstand tegen belastingen noemen we de sterkte. De weerstand tegen vervormingen noemen we de (buig-)stijfheid.
In het geval van zuivere buiging zullen we de buigstijfheid = EI (N/mm 2 ) van het constructie-onderdeel moeten bepalen. De buigstijfheid EI is de weerstand van een staaf tegen een kromming κ die optreedt wanneer we de staaf belasten met een buigend moment M.
In tegenstelling tot lineair elastische materialen (bijv. staal), waarbij de E-modulus en het A.K.O.M. constant zijn, is het bij beton gecompliceerder: een betonnen constructie-onderdeel is nagenoeg altijd een samengestelde doorsnede (beton+staal) verschillende E-moduli bij verschillende sterkteklassen geen constante doorsnede, omdat beton scheurt invloed van de kruip (korte- of langeduur belasting) hoeveelheid wapening
Verband tussen moment en kromming (Algemene methode)
Verband tussen moment en stijfheid (EI) Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
h x v ρ v v / v = ε (specifieke verlenging van de onderste vezel) (h x) / ρ = ε en κ = 1 / ρ! ε / (h - x)
Wet van Hooke: ε = σ / E De spanning in de onderste vezel: σ = M * (h x) / I κ = 1 / ρ! σ / E(h x)! M(h x) / EI(h x)! M / EI Hiermee is het verband tussen moment en kromming vastgelegd
M-K diagram voor lange- en korteduur belasting: α M tan α = = κ EI
Voor het bepalen van het scheurmoment: langdurende belastingen: M rt = 1,2 * W * f br kortdurende belastingen: M r = 1,4 * W * f br
Vervormings- en spanningsdiagram ten tijde dat M = M r, ongescheurde balk. b ' b <1,75 ' << f' b b balk ongescheurd h b <_ fb A s s< b f s E s s f bm <f s Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Vervormings- en spanningsdiagram ten tijde dat σ s = f s, gescheurde balk. b ' b <1,75 ' < f' b b balk gescheurd h A s f s s= E s= fs s b >f b
Kortdurende en langdurende belastingen i.v.m. de invloed van de kruip " E-modulus aanpassen! Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Methode met de equivalente buigstijfheid: Bij deze methode maken we gebruik van een representatieve waarde (EI) rep voor de buigstijfheid, die wordt bepaald met (EI) rep = α E ' b I. E' b : de elasticiteitsmodulus voor beton volgens tabel 6.1 I: het axiaal kwadratisch oppervlaktemoment van de ongescheurd en ongewapend gedachte doorsnede: voor een rechthoekige doorsnede geldt dus: 1/12 b h 3 α: een reductiefactor waarin de invloed van het al dan niet gescheurd zijn, de invloed van korte- en langeduur- belasting en de invloed van de wapening is verwerkt. Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Tabel met reductiefactoren α Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Er wordt een onderscheid gemaakt in α - factor voor de totale doorbuiging en voor de onmiddellijk optredende doorbuiging: Voor B25 in een droog milieu ( ϕ = 3,6 ) zal α voor de totale doorbuiging (lange duur) ongeveer 0,3 bedragen (indicatie). Voor de onmiddellijk optredende doorbuiging varieert α tussen de 0,5 (moment t.g.v. permanente belasting is groter dan het scheurmoment) en 1,0 (moment t.g.v. de permanente belasting is kleiner dan het scheurmoment! lineair elastisch gedrag).
Enorm verschil tussen de elasticiteitsmodulus uit de VBC-tabel (E' b ) en de fictieve elasticiteits-modulus E f (α E ' b ). Niet kundig omgaan met deze gegevens kan er voor zorgen dat de werkelijk optredende vervorming een factor 3 à 4 groter is dan berekend!
Voor het maken van een globale dimensioneringsberekening (voorlopig ontwerp) is het rekenen met een elasticiteitsmodulus gelijk aan 1 / 3 E' b een relatieve veilige en snelle methode om de doorbuiging in de eindtoestand te schatten. Controle achteraf moet plaatsvinden!
Rekenvoorbeeld uit vorig (3 e ) college: Vloer: q rep = 1,00 + 6,48 + 1,75 = 9,23 kn/m 1 E f 1 / 3 E b " 1 / 3 * 28500 = 9500 N/mm2 I = 1 / 12 * b * h 3 " 1 / 12 * 1000 * 270 3 = 1.640.250.000 mm4 δ = 384 5 9,23 6000 9500 1.640.250.000 4 = 10,0 mm.
Optredende doorbuiging δ is 10,0 mm. Eis: 0,004 * 6000 = 24,0 mm. (dakvloer) 0,003 * 6000 = 18,0 mm. (verdiepingsvloer) 0,002 * 6000 = 12,0 mm. (vloer met metselwerkwanden)
TENTAMENSTOF: zie website Com B (7P118)
Volgende week: Metselwerk door prof. Martens
EINDE BETON COM B (7P118)