Wiskunde in functie van economie 1
Symbolen in de cursus Wiskunde Economie Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Even herhalen... 3 1.1 Functies... 3 1.2 Eerstegraadsfuncties... 4 1.3 Tweedegraadsfuncties... 5 1.4 Tweedegraadsvergelijking... 6 1.5 Oefeningen... 8 1.6 Bedrijfsanalyse... 11 1.7 Oefeningen... 12 Hoofdstuk 2: Wiskunde in functie van economie... 17 1.1 Uranus... 17 2.1 T-shirts... 20 2.2 Meubels... 24 Hoofdstuk 3: Bronvermelding... 27 2
Hoofdstuk 1: Even herhalen 1.1 Functies 1.1.1 Definitie Een functie is een verband tussen twee veranderlijke x en y, waarbij voor elke x-waarde hoogstens één y-waarde bestaat. Zijn de twee veranderlijken reële getallen, dan spreken we van reële functies. a) Zijn volgende verbanden functies? Ja / Nee Ja / Nee Ja / Nee Ja / Nee 3
1.2 Eerstegraadsfuncties 1.2.1 Definitie Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = mx + q met m R 0 en q R. a) Bepaal van volgende functies het functievoorschrift in de vorm y = mx + q. Volg de verschillende stappen. Functie Rico: m Snijpunt met y-as : q Functievoorschrift f a 1 0 y = x + 0 f b 2 5 y = 2x + 5 f c 0 3 y = 3 f d 1 2 1 y = 1 2 x 1 4
b) Welke naam geven we aan functie c? Constante functie 1.3 Tweedegraadsfuncties 1.3.1 Theorie Definitie Een tweedegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f(x) = ax 2 + bx + c waarbij a, b en c gegeven reële getallen zijn en a 0. Grafiek Domein Beeld De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool. Dom f = R Is a > 0, dan is de opening naar boven gericht; we hebben een dalparabool. Is a < 0, dan is de opening naar onder gericht; we hebben een bergparabool. Is a > 0, dan is bld f = [β, + [ met β de y coördinaat van de top. Is a < 0, dan is bld f = ], β] met β de y coördinaat van de top. Top Een parabool bereikt ofwel een minimum ofwel een maximum. We noemen deze waarden de top van de parabool. Is a > 0, dan heeft deze functie een minimum. Is a < 0, dan heeft deze functie een maximum. De coördinaat van de top vinden we als volgt: T(α, β) = T ( b, b2 +4ac 2a 4a ) = T ( b 2a, f ( b 2a )) Symmetrieas Nulwaarden x = b 2a De nulwaarden van een functie zijn de x-waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt. De nulwaarden zijn de oplossingen van de vergelijking f(x) = 0. Tekenverloop x f(x) = 0 + f(x) Verschillend toestandsteken van a 0 Toestands teken van a 5
Stijgen en dalen x f(x) a > 0 a < 0 b 2a + x b 2a f ( b ) f(x) f ( b 2a 2a ) + 1.4 Tweedegraadsvergelijking 1.4.1 Theorie Het bepalen van de nulpunten van een functie is belangrijk. In economie geeft het nulpunt van een winstcurve het tijdstip aan waarop een bedrijf haar winst ziet veranderen in verlies en omgekeerd. Definitie Een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 met a 0 noemt men een tweedegraadsvergelijking in x. We noemen een tweedegraadsvergelijking ook een kwadratische vergelijking of een vierkantsvergelijking. Algemene vorm ax 2 + bx + c = 0 is de algemene vorm van een tweedegraadsvergelijking in x. Oplossen Een vergelijking oplossen, betekent alle mogelijke waarden van de onbekende zoeken die voldoen aan de vergelijking. Een onvolledige tweedegraadsvergelijking Als in de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 de coëfficiënten b of c gelijk zijn aan nul, krijg je een onvolledige tweedegraadsvergelijking. Een onvolledige tweedegraadsvergelijking kan je oplossen door gekende rekenregels toe te passen. Een onvolledige tweedegraadsvergelijking heeft twee, één of geen oplossingen. Voorbeeld 2x 2 10x = 0 2x (x 5) = 0 2x = 0 en x 5 = 0 x = 0 en x = 5 De oplossingen van de vergelijking 2x 2 10x = 0 zijn 0 en 5. OPMERKING: De oplossingen van 2x 2 10x = 0 zijn de nulwaarden van f(x) = 2x 2 10x. (0,0) en (5,0) zijn dus de nulpunten van de functie. 6
Een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 oplossen. Om de nulwaarden van een functie te berekenen, los je de vergelijking f(x) = 0 of ax 2 + bx + c = 0 op. Een tweedegraadsvergelijking lossen we op met de discriminantmethode. 1. Herleid de vergelijking tot de algemene vorm ax 2 + bx + c = 0. 2. Bereken de discriminant D = b² 4ac. - Als D < 0, dan heeft de tweedegraadsvergelijking geen oplossing. - Als D > 0, dan heeft de tweedegraadsvergelijking twee oplossingen: x 1 = b D 2a en x 2 = b+ D 2a - Als D = 0, dan heeft de tweedegraadsvergelijking één oplossing: x = b 2a Voorbeeld 4x² 12x + 5 = 0 D = b² 4ac = ( 12) 2 4 4 5 = 144 80 = 64 De vergelijking 3x² 12x + 5 = 0 heeft bijgevolg twee oplossingen. x 1 = b D 2a = ( 12) 64 2 4 = 12 8 8 = 4 8 = 1 2 x 2 = b+ D 2a = ( 12)+ 64 2 4 = 12+8 8 = 20 8 = 5 2 De oplossing van de vergelijking 4x² 12x + 5 = 0 zijn 1 2 en 5 2. OPMERKING: De oplossingen van 4x² 12x + 5 = 0 zijn de nulwaarden van f(x) = 4x² 12x + 5. ( 1, 0) en ( 5, 0) zijn dus de nulpunten van de functie. 2 2 7
1.5 Oefeningen a) Los volgende tweedegraadsvergelijkingen op: 3x² 192 = 0 3 (x 2 64) = 0 3 (x 8) (x + 8) = 0 x = 8 of x = 8 45x² 9 = 0 ( 45x 3) ( 45x + 3) = 0 (3 5x 3) (3 5 + 3) = 0 x = 3 3 of x = 3 5 3 5 2 3 x² 3x = 0 3x ( 2 x 1) = 0 9 x = 0 of 2 9 x = 1 x = 0 of x = 9 2 3x² 5x + 1 = 0 D = b 2 4ac D = ( 5) 2 4 3 1 D = 25 12 D = 13 x 1 = b D 2a x 1 = 5 13 6 x 2 = b+ D 2a x 2 = 5+ 13 6 6x² 7x 3 = 0 D = ( 7) 2 4 6 ( 3) D = 49 + 72 D = 121 x 1 = ( 7) 11 12 x 1 = 4 = 1 12 3 x 2 = ( 7)+11 12 x 2 = 18 12 = 3 2 8
4x² = x 3 4x² + x + 3 = 0 D = 1² 4 4 3 D = 1 36 D = 35 Geen oplossing want D < 0. b) Bereken alles wat van de functie f(x) = x² 8x + 7 gevraagd wordt. Ga na of de grafiek een berg- of een dalparabool is. a > 0 dus een dalparabool. Geef de coördinaat van de top. T(α, β) = T ( b, f ( b 2a 2a )) α = ( 8) 2 1 = 8 2 = 4 β = 4 2 8 4 + 7 = 16 32 + 7 = 9 T(4, 9) Geef de vergelijking van de symmetrieas. x = b 2a = ( 8) 2 1 = 8 2 = 4 Bepaal het domein en het beeld. Domf = R Bld f = [β, + [ = [ 9, + [ Bepaal de nulwaarden. x² 8x + 7 = 0 D = ( 8) 2 4 1 7 D = 64 28 D = 36 x 1 = ( 8) 6 2 1 x 2 = ( 8)+6 2 1 x 1 = 2 2 = 1 x 2 = 14 2 = 7 Geef het tekenverloop. x 1 7 + f(x) + 0 0 + 9
Geef aan waar de functie stijgt of daalt. a > 0 x 4 + f(x) 9 Teken de grafiek. 10
1.6 Bedrijfsanalyse 1.6.1 Enkele begrippen Totale variabele kosten (TVK) = Kosten die veranderen door een toe- of afname in de productieomvang. Denk aan zaken als grondstofkosten, energiekosten, transportkosten,... Gemiddelde variabele kosten (GVK) Totale constante kosten (TCK) = Totale variabele kosten gedeeld door de geproduceerde hoeveelheid. = Kosten die niet variëren met de omvang van de productie. Denk aan zaken als kosten van het bedrijfsgebouw, afschrijvingen, personeel dat vast in dienst is,... Gemiddelde constante kosten (GCK) Totale kosten (TK) Gemiddelde totale kosten (GTK) Marginale kosten (MK) Totale opbrengst (TO) = Totale constante kosten gedeeld door de geproduceerde hoeveelheid. = Totale variabele kosten + totale constante kosten. = De totale kosten gedeeld door de geproduceerde hoeveelheid. = De extra kost die ontstaat door de productie van één extra product. = Wat je ontvangt uit de verkoop van producten. Marginale opbrengst (MO) = De extra opbrengst die ontstaat door de verkoop van één extra product. Winst = TO - TK Break - even = De totale opbrengsten zijn gelijk aan de totale kosten. Het bedrijf maakt geen winst en geen verlies. Break-evenafzet = De afzet waarbij de totale kosten gelijk zijn aan de totale opbrengsten. 11
1.7 Oefeningen 1.7.1 Bocadillo s Tegenover het Onze-Lieve-Vrouwinstituut is een klein winkelpand vrijgekomen. Voor Laurens De Strijcker is dit de uitgelezen plek om een broodjeszaak te beginnen: de school met 600 leerlingen betekent een belangrijke potentiële klantenkring, zonder nog maar te rekenen op het lerarenkorps. Stiekem droomt Laurens ervan te kunnen leveren op bestelling aan de cafetaria van de school, maar hij vreest terecht dat zuster Ludwina dit als moordende concurrentie voor haar wafelkraam zal opvatten. Laurens plant een uitgebreid assortiment bocadillo s, reuzenbroodjes met torenhoog beleg. Naast de traditionele ham, kaas, tonijn en kip, uiteraard met een massa groenten, biedt hij ook broodjes gezond en exotische smaken aan. De broodjes zullen kraakvers uit eigen oven komen. Hij denkt wekelijks maximaal 1200 bocadillo s de kunnen bakken. Een prijs van 3,20 euro per bocadilla lijkt hem, niettegenstaande de concurrentie van Panos, best haalbaar. De benodigde grondstoffen (voorgebakken diepvriesbroodjes, beleg, verpakking) schat hij op 2,00 euro per bocadillo. Voor zijn arbeid rekent hij 0,50 euro per stuk. De kosten voor huur van het winkelpand, de elektriciteit en de afschrijving van de inrichting, bedragen 420 euro per week. a) Welke kosten van de broodjeszaak zijn vast, welke variabel? Vast: Huur, elektriciteit en afschrijving inrichting Variabel: Grondstoffen en arbeid b) Vervolledig de tabel op basis van deze informatie. Q TO TVK TCK TK Resultaat 0 0 0 420 420-420 100 320 250 420 670-350 200 640 500 420 920-280 300 960 750 420 1 170-210 400 1 280 1 000 420 1 420-140 500 1 600 1 250 420 1 670-70 600 1 920 1 500 420 1 920 0 700 2 240 1 750 420 2 170 70 800 2 560 2 000 420 2 420 140 900 2 880 2 250 420 2 670 210 1 000 3 200 2 500 420 2 920 280 1 100 3 520 2 750 420 3 170 350 1 200 3 840 3 000 420 3 420 420 12
c) Hoeveel bedraagt de winst als Laurens 1000 bocadilla s verkoopt? 280 euro d) Hoeveel bocadillo s moet hij wekelijks verkopen om net uit de kosten te komen, zodat hij geen verlies maar ook geen winst maakt? 600 bocadillo s e) Stel het verloop van de TCK, de TVK, de TK, de TO en het resultaat voor in een grafiek. Benoem de assen. TCK,TVK,TK, TO, resultaat 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0-500 -1000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000110012001300 TCK TVK TK TO Resultaat Afzet 13
f) Hoe zie je wanneer er winst is? En wanneer is er verlies? Winst: TO > TK. Verlies: TO < TK. g) Wanneer neemt de winst toe? Wanneer de afzet groter wordt. h) Wat stel je vast in het punt waar de winst gelijk is aan nul? TO = TK. 14
1.7.2 Kosten Sigrid Van Lebbeke heeft met veel zorg een tabel gemaakt met de productiekosten bij verschillende hoeveelheden. Een computervirus heeft echter lelijk huisgehouden in haar bestand en een aantal gegevens gewist. a) Vul de tabel verder aan. Q TCK TVK TK MK GK GVK 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 500,00 0 500,00 200,00 500,00 200,00 700,00 700,00 200,00 150,00 500,00 350,00 850,00 425,00 175,00 100,00 500,00 450,00 950,00 316,67 150,00 50,00 500,00 500,00 1 000,00 250,00 125,00 30,00 500,00 530,00 1 030,00 206,00 106,00 50,00 500,00 580,00 1 080,00 180,00 96,67 100,00 500,00 680,00 1 180,00 168,57 87,14 200,00 500,00 880,00 1 380,00 172,50 110,00 600,00 500,00 1480,00 1 980,00 220,00 164,44 b) Stel het verloop van de MK-curve, de GK-curve en de VK-curve voor in de grafiek. 15
16
Hoofdstuk 2: Wiskunde in functie van economie 1.1 Uranus Uitgeverij Uranus verkoopt het boek Gezellig samen, de memoires van Jenny de legbatterijkip voor de prijs van 30 euro. De variabele kosten bedragen 15 euro per boek. De vaste kosten worden geraamd op 60 000 euro. De uitgeverij denkt 5 000 exemplaren te verkopen. a) Vervolledig de tabel op basis van deze informatie. Q TO TVK TCK TK Resultaat 0 0 0 60 000,00 60 000,00-60 000,00 500 15 000,00 7 500,00 60 000,00 67 500,00-52 500,00 1 000 30 000,00 15 000,00 60 000,00 75 000,00-45 000,00 1 500 45 000,00 22 500,00 60 000,00 82 500,00-37 500,00 2 000 60 000,00 30 000,00 60 000,00 90 000,00-30 000,00 2 500 75 000,00 37 500,00 60 000,00 97 500,00-22 500,00 3 000 90 000,00 45 000,00 60 000,00 105 000,00-15 000,00 3 500 105 000,00 52 500,00 60 000,00 112 500,00-7 500,00 4 000 120 000,00 60 000,00 60 000,00 120 000,00 0 4 500 135 000,00 67 500,00 60 000,00 127 500,00 7 500,00 5 000 150 000,00 75 000,00 60 000,00 135 000,00 15 000,00 b) Stel het verloop van de TCK, de TVK, de TK, de TO en het resultaat voor in de grafiek. Benoem de assen. 17
TCK, TVK, TK, TO, resultaat 160.000 140.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0-20.000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 TCK TVK TK TO Resultaat -40.000-60.000-80.000 Afzet 18
c) Wat voor functie stelt elke curve voor? TCK: Constante functie. TVK,TK, TO en resultaat: Eerstegraadsfunctie. d) Bepaal van elke functie de richtingscoëfficiënt. TCK: Rico = 0 TVK: TK: TO: 1 000 eenheden naar rechts = 15 000 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 15 eenheden naar boven. 1 000 eenheden naar rechts = 15 000 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 15 eenheden naar boven. 1 000 eenheden naar rechts = 30 000 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 30 eenheden naar boven. Resultaat: 1 000 eenheden naar rechts = 15 000 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 15 eenheden naar boven. e) Hoe kan je verklaren dat de richtingscoëfficiënt van de TK-functie en de TVK-functie gelijk zijn? TK = TVK + TCK en aangezien TCK bij elke afzet even groot is, is het verschil tussen TK en TVK bij elke afzet even groot. f) Hoe zie je dit in de grafiek? De TK-curve en TVK-curve lopen evenwijdig. g) Stel van elke curve het functievoorschrift op. Functie Rico: m Snijpunt met y-as : q Functievoorschrift TCK 0 60 000 y = 60 000 TVK 15 0 y = 15x TK 15 60 000 y = 15x + 60 000 TO 30 0 y = 30x Resultaat 15 60 000 y = 15x 60 000 h) Wat weten we over de TO - en de TK - functie bij break-even? Deze zijn gelijk aan elkaar. i) Wat weten we over de resultaat-functie bij break-even? Deze is gelijk aan nul. 19
j) Bepaal algebraïsch op twee manieren hoeveel exemplaren de uitgeverij moet verkopen om net uit de kosten te komen. 1) TO = TK: 30x = 15x + 60 000 30x 15x = 60 000 15x = 60 000 x = 60 000 15 2) Resultaat = 0 15x 60 000 = 0 = 4 000 15x = 60 000 60 000 x = = 4 000 15 2.1 T-shirts Een klein pand in een zijstraat van een drukke winkelstraat in Gent staat leeg. Iljo Mosk heeft er plannen voor zijn kleine onderneming: T-shirts bedrukken. Zijn klanten zijn vooral jeugdbewegingen, sportclubs, ondernemingen Hij hoopt maandelijks 750 T-shirts te kunnen verkopen. Iljo hanteert een verkoopprijs van 6,30 euro per T-shirt. Zijn variabele kosten (materiaal, energie, werk ) schat hij op 5,00 euro per T-shirt. Zijn constante kost bestaat uit de huur van het bedrijfspand, 750,00 euro per maand. a) Vervolledig de tabel op basis van deze informatie. Q TO TVK TCK TK Resultaat 0 0 0 750,00 750,00-750,00 100 630,00 500,00 750,00 1 250,00-600,00 200 1 260,00 1 000,00 750,00 1 750,00-490,00 300 1 890,00 1 500,00 750,00 2 250,00-230,00 400 2 520,00 2 000,00 750,00 2 750,00-100,00 500 3 150,00 2 500,00 750,00 3 250,00 30,00 600 3 780,00 3 000,00 750,00 3 750,00 100,00 700 4 410,00 3 500,00 750,00 4 250,00 160,00 800 5 040,00 4 000,00 750,00 4 750,00 290,00 900 5 670,00 4 500,00 750,00 5 250,00 420,00 1 000 6 300,00 5 000,00 750,00 5 750,00 550,00 20
b) Stel het verloop van de TCK, de TVK, de TK, de TO en het resultaat voor in de grafiek. Benoem de assen. TO, TK, TVK,TCK, resultaat 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0-1000 -2000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 Afzet TO TVK TCK TK Resultaat 21
c) Wat voor functie stelt elke curve voor? TCK: Constante functie. TVK,TK, TO en resultaat: Eerstegraadsfunctie. d) Bepaal van elke functie de richtingscoëfficiënt. TCK: Rico = 0 TVK: TK: TO: 100 eenheden naar rechts = 500 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 5 eenheden naar boven. 100 eenheden naar rechts = 500 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 5 eenheden naar boven. 100 eenheden naar rechts = 630 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 6,3 eenheden naar boven. Resultaat: 100 eenheden naar rechts = 130 eenheden naar boven. Dus 1 eenheid naar rechts = 1,3 eenheden naar boven. e) Hoe kan je verklaren dat de richtingscoëfficiënt van de TK-functie en de TVK-functie gelijk zijn? TK = TVK + TCK en aangezien TCK bij elke afzet even groot is, is het verschil tussen TK en TVK bij elke afzet even groot. f) Hoe zie je dit in de grafiek? De TK-curve en TVK-curve lopen evenwijdig. g) Stel van elke curve het functievoorschrift op. Functie Rico: m Snijpunt met y-as : q Functievoorschrift TCK 0 750 y = 750 TVK 5 0 y = 5x TK 5 750 y = 5x + 750 TO 6,3 0 y = 6,3x Resultaat 1,3 750 y = 1,3x 750 h) Wat weten we over de TO en de TK-functie bij break-even? Deze zijn gelijk aan elkaar. 22
i) Wat weten we over de resultaat-functie bij break-even? Deze is gelijk aan nul. j) Bepaal algebraïsch op twee manieren hoeveel exemplaren de uitgeverij moet verkopen om net uit de kosten te komen. 1) TO = TK: 5x + 750 = 6,3x 5x 6,3x = 750 1,3x = 750 x = 750 1,3 = 576,92 2) Resultaat = 0 1,3x 750 = 0 1,3x = 750 x = 750 1,3 = 576,92 23
2.2 Meubels Miel Geubels heeft een ambachtelijke meubelmakerij die eikenhouten wandmeubels produceert. De meubels worden verkocht tegen een gemiddelde prijs van 3 000,00 euro per meubel. In onderstaande tabel geeft Miel een overzicht van het aantal meubels dat hij per maand kan produceren naarmate hij meer werknemers in dienst neemt en van de TK. a) Vervolledig de tabel op basis van deze informatie. Q TK TO GO MO GK MK Resultaat 0 10 000,00 0-10 000,00 3 000,00 2 600,00 5 23 000,00 15 000,00 3 000,00 3 600,00-8 000,00 3 000,00 2 250,00 10 34 250,00 30 000,00 3 000,00 3 425,00-4 250,00 3 000,00 2 050,00 15 44 500,00 45 000,00 3 000,00 2 966,67 500,00 3 000,00 2 100,00 20 55 000,00 60 000,00 3 000,00 2 750,00 5 000,00 3 000,00 2 300,00 25 66 500,00 75 000,00 3 000,00 2 660,00 8 500,00 3 000,00 2 700,00 30 80 000,00 90 000,00 3 000,00 2 666,67 10 000,00 3 000,00 3 400,00 35 97 000,00 105 000,00 3 000,00 2 771,43 8 000,00 b) Stel in de eerste grafiek het verloop van de TK en de TO voor. Stel in de tweede grafiek de GO, de MO, de GK en de MK voor. Benoem de assen. 24
TO en TK 110000 100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 TK TO 30000 20000 10000 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Afzet MO, GO, MK, GK 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 MO = GO GK MK 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Afzet 25
a) Wat voor functie is de GK-curve? Parabool b) Stel de vergelijking op van deze functie. Je mag gebruik maken van je GRM. We kiezen drie punten die element zijn van de curve. A (5,3600) B (10, 3425) C (15,2966,67) Dus: 3600 = a 5 2 + b 5 + c 25a + b + c = 3600 3425 = a 10 2 + b 10 + c 100a + 10b + c = 3425 2966,67 = a 15 2 + b 15 + c 225a + 15b + c = 2966,67 GRM: a = 642,3334 b = 16 150,001 c = 100 691,67 Besluit: GK: y = 642,3334 x² 16 150,001x + 100 691,67 26
Hoofdstuk 3: Bronvermelding (sd). Opgehaald van w: https://nl.wikipedia.org/wiki/gateway_arch Arch, G. (2016, mei 28). Gateway Arch. Opgehaald van Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/gateway_arch Bogaert, P., Geeurickx, F., Muylaert, M., Van Nieuwenhuyze, R., Willockx, E., Carreyn, B., et al. (2012). 3 VBTL MEETKUNDE leerweg 5. Brugge: Die Keure. Coppieters, A., Supply, N., & Van den Berghe, W. (2010). Economie Online 1e jaar van de 2e graad. Mechelen: Plantyn. D'hollander, R., Debels, J., De Bruyn, D., Lowyck, J., Mestdagh, J., & Van de Cruys, L. (2012). Economix 3 Leerwerkboek. Kalmthout: Pelckmans. D'hollander, R., Debels, J., De Bruyn, D., Lowyck, J., Mestdagh, J., & Van De Cruys, L. (2013). Economix 4 Leerwerkboek. Kalmthout: Pelckmans. Goedgebeur, J., Peiremans, J., Sadones, L., & Waerniers, H. (2011). Economie Online 2e jaar van de 2e graad. Mechelen: Plantyn. VVKSO. (2002, September 1). Leerplan secundair onderwijs WISKUNDE 2de graad ASO. Opgehaald van http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/wiskunde-aso-2002-047.pdf VVKSO. (2006, September). Leerplan secundair onderwijs ECONOMIE 2de graad ASO. Opgehaald van http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/economie-2006-050.pdf Wikipedia. (2016, mei 28). Gateway Arch. Opgehaald van Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/gateway_arch 27