TU-Delft - Faculteit werktuigbouwkunde - Afdeling P&E Tentamen Stromingsleer (wb10) 17 januari 008, 14.00-17.00 uur Lees het geheel eerst aandachtig door voor een evenwichtige tijdsbesteding. Dit tentamen bestaat uit twee delen: Deel 1 en Deel. Deel 1 bestaat uit zes korte vragen. Dit deel staat voor 40% van uw tentamencijfer. Voor Deel 1 geldt: graag invullen op het apart bijgeleverde formulier. U heeft daarin per vraag een vakje voor uw numerieke antwoord, en enkele regels ruimte voor een toelichting. Géén lange verhalen dus; maak deze vragen eerst op klad. Deel bestaat uit drie open vragen met deelproblemen a, b, c... Dit deel staat voor 60% van uw tentamencijfer. - Graag op het voorblad naam en studienummer invullen, en het aantal ingeleverde vellen papier (open vragen). - Graag alles als één dichtgevouwen boekje inleveren. - Bij een numeriek antwoord is het aan te bevelen ook het gebruikte formulewerk (kort!) op te schrijven. - Maak eventueel een schets zodat ik kan zien dat u een duidelijk idee heeft wat er gebeurt. - De punten die u per (deel) opgave kunt halen staan er bij vermeld. Géén boeken, kopieën overheadsheets, of eigen formuleblad gebruiken: u krijgt een formuleblad uitgereikt door de surveillanten. Géén mobiele telefoons op tafel; graag uitzetten en in tas laten. Tenzij anders vermeld, geldt: Water: dichtheid en dynamische viscositeit bedragen resp. ρ = 1000 kg/m 3 en µ = 1.0*10-3 Pa.s Lucht: dichtheid en dynamische viscositeit bedragen resp. ρ = 1. kg/m 3 en µ = 1.8*10-5 Pa.s. 1 Pa.s = 1 kg/(m.s) (Bedankt, Jeroen!). De zwaartekrachtsversnelling is 9.81 m/s. Deel 1: 40 punten Vraag 1a: (7) (Gezien op National Geographic). Een bedrijf bouwt drijvende huizen in serie in een grote hal (een droogdok). Een bepaald model huis is vierkant van vorm (8 bij 8 meter), en staat op een evengrote drijver (een blok piepschuim ). Het geheel heeft een massa van 64 ton. Om het huis op z n plek te krijgen wordt het huis met een sleepbootje versleept. De C D -waarde van de drijver bedraagt 0.7, en de sleepsnelheid.5 m/s. Als het sleepbootje per kn trekkracht 5.3 kwatt vermogen moet leveren, bepaal dan het motorvermogen van het sleepbootje in kwatt. Hint: bepaal eerst hoe diep de drijver onder water steekt. Met een massa van 64 ton is de waterverplaatsing (Archimedes) eveneens 64 ton = ρ Water. Volume = 64 m 3 water. Met het gegeven platte vlak steekt de drijver dus 1 m onder water. Bij slepen is het aangestroomde oppervlak (van opzij!) dus 8*1 = 8 m. De weerstand die het huis ondervindt bedraagt 0.5ρV *A*C D = 17.5 kn. Het benodigd vermogen bedraagt dus 91.5 kw. Ter begrip van de cijfers: Gegevens zijn van Motorsleepboot Antonie II: 150 pk = 113 Kwatt; trekkracht. ton = 1.6 kn = 5.3 kw/kn. Snappen we dit getal? Voor een uitgeworpen straal geldt stuwkracht = ρv *A; het benodigd vermogen bedraagt: 0.5ρV 3 *A, dus vermogen/kracht = 0.5*V. Voor deze boot geldt dus een uitwerpsnelheid van *5.3 = 10.5 m/s, wat alleszins redelijk lijkt.
Vraag 1b: (7) een van onderen afgesloten cilindrische fles met diameter 10 mm bevat een gasvormig lucht-brandstofmengsel van kamertemperatuur, T = 300 K. Het mengsel wordt bij de hals (halsdiameter 30 mm) aangestoken. Er loopt (door het 10 mm brede gedeelte) een vlamfront (de plaats waar de verbranding optreedt) naar beneden, met snelheid V Vlam = 0.40 m/s. Er stroomt verbrande lucht uit de flessenhals naar buiten. De gasconstante van in- en uitstromend gas mogen als identiek genomen worden, en de druk mag overal als atmosferisch beschouwd worden. Als de temperatuur van het verbrande mengsel 1500 K bedraagt, bepaal dan de snelheid van de uit de hals stromende lucht, V Hals in m/s. V Hals D Hals V Vlam Hint: maak een massabalans voor een controlevolume dat meebeweegt met het vlamfront. De hint volgend... We reizen met V Vlam naar beneden. We maken een massabalans. De massainstroom bedraagt Φ In = AFles ρ0 VVlam, de uitstroom bedraagt Φ Uit = AFles ρ1150 VVlamUit. Omdat de twee massastromen gelijk aan elkaar zijn geldt dus ρ0 VVlam = ρ1150 VVlamUit VVlamUit = VVlam ρ0 ρ1150 = VVlam T1150 T0, waarbij de ideale gaswet is gebruikt. Invullen: VVlamUit = VVlam 1500 300 =.0 m/s. Nu moeten we nog bedenken dat we naar beneden aan het reizen waren met 0.4 m/s. T.o.v. de fles stroomt het gas dus met een snelheud van (.0-0.4) m/s = 1.6 m/s. Om tot de uitstroom-snelheid uit de hals te komen, passen we nogmaals de massabalans toe: Φ 1150 1150 ( / ).( ) Uit = AFles ρ VVlamFles = AHals ρ VHals VHals = VVlamFles AFles AHals = VVlamFles DFles DHals Invullen levert mij 5.6 m/s. Vraag 1c: (6) Door een lange buis met een binnendiameter van 3 mm stroomt olie laminair met een volumedebiet van 14 ml/s = 0.014 l/s. Hoeveel m/s bedraagt de stroomsnelheid juist in het centrum van de buis? De gemiddelde stroomsnelheid V = 4Q π d = 1.98 m/s. Echter, het is een laminaire stroming, met 1 p p parabolisch snelheidsprofiel (fb): u( r) = ( r ) C ( 1 r ). Hierbij is C = 4µ x 4µ x dus de snelheid in het midden, r = 0. Snelheid integreren om gemiddelde snelheid te krijgen: 1 1 π u C 3 V = u ( r) πr dr u C ( 1 r ) πr dr ( r r ) dr π = 0 π = 0 π 0 π u 3 1 1 4 C uc uc uc V = ( r r ) dr 0 r 4r 0 π = = = ; of gemiddelde snelheid is 4 helft van snelheid in midden; we vinden daarmee U C = *1.98 = 3.96 m/s. D Fles Vraag 1d: (7) Het geschetste vat is tot 1 m hoog gevuld met water dat hier als wrijvingsloos beschouwd mag worden. Het vat wordt eerst dichtgehouden door de stop tegen de uitstroomtuit (van 10 mm diameter) aan te duwen. De benodigde kracht is F 1. Vervolgens wordt de stop een eindje weggetrokken, waardoor het water uit het vat tegen de stop aan stroomt. De kracht op de stop bedraagt nu F. Bepaal de verhouding F 1 /F. De conische stop heeft zoals geschetst een tophoek α van 150 graden, dus een halve tophoek van 75 graden. H = 1 m Water g d = 10 mm F 1 F
Bij 1) Hydrostatische druk op stopje; p = ρ.g.h. Kracht F 1 is F 1 = A tuit.p = A tuit.ρ.g.h. Bij ) Water stroomt wrijvingsloos uit; derhalve met wet van Bernoulli: V =.g.h. Een impulsbalans in de x-richting: (we bedenken dat in absolute zin in- en uitstroomsnelheid identiek zijn voor deze wrijvingsloze stroming): 0 = F + instromende impuls - uitstromende impuls X-richting X-richting ( tuit ) ( ρ ) ( tuit ) ( ρ cos( 150 ) ) ρ tuit ( ( )) ρ tuit ( ( )) F = A V V A V V F = A V 1 cos 75 = A gh 1 cos 75 = 1.48 F 1 Vraag 1e: (6) water stroomt door een ronde pijp met een bocht er in. We willen de drukdaling p over de bocht weten. Deze blijkt afhankelijk te zijn van: - de diameter van de buis, d - de kromtestraal van de bocht, d - de hoek waarover de stroming afgebogen wordt, α - de stroomsnelheid, U α - de dynamische viscositeit van de vloeistof, µ - de dichtheid van de vloeistof, ρ U We zoeken met behulp van het Π-theorema een dimesnsieloze uitdrukking voor p. Uit hoeveel Π-parameters zal deze formulering bestaan? Geef een mogelijke verzameling op je antwoordblad. Het Buckingham Pi-theorema... We hebben naast de 6 genoemde parameters ook nog de drukval zelf; 7 parameters dus. Het aantal basisdimensies is 3, namelijk kg, meter, en seconde. De hoek (in graden of radialen) is dimensieloos van zichzelf. We kunnen dus zeven - drie = vier Pi-parameters vormen; bijvoorbeeld: p ρu = f ( d, α, ρ Ud µ ). Op het voorblad was de dimensie van dynamische viscositeit fout gegeven. Antwoorden daarop gebaseerd worden ook goed gerekend. Vraag 1f: (7) gegeven een twee-dimensionaal snelheidsveld ( uv, ) van een niet-samendrukbare vloeistof in het positieve kwadrant (het vlak x 0, y 0 ). De u-snelheid bedraagt 0.4*x*y. Bepaal de v-snelheid in het punt p = ( xy, ) = (,3) in m/s. Als randvoorwaarden geldt dat op de randen van het domein, de snelheid loodrecht op die wand nul is (géén stroming dóór de y p x wand, ofwel géén massaflux door de wand). u v Hint: massabehoud in differentiële vorm luidt hier: + = 0 x y v Invullen u: = 0.4 y. Integreren: v( x, y) = 0. y + f ( x). y andvoorwaarde toepassen voor v-snelheid, dus op wand y = 0: v(y=0) dus f(x) = 0. Invullen op het v x, y =,3 = -1.8 m/s. betreffende punt: (( ) ( )). v (u,v)(x,y) u
Deel : 60 punten Opgave : 0 punten In de praktijk zijn pijpleidingen zelden recht. Het voorbeeld hiernaast in Mongolië is een leiding die water van een warmwaterbron aanvoert naar een openluchtbad. De leiding bestaat uit 100 stukken buis van telkens 3 meter lengte, met een binnendiameter van 60 mm. Door kalkafzetting is de wandruwheid effectief 0.6 mm. Doordat de buissegmenten niet zo netjes aan elkaar zitten, is er per overgang ( fitting ) een extra verlies, en wel met een K-waarde van 0.. De bron (instroom) bevindt zich 35 meter hoger dan de uitstroom. Bij de hoge watertemperatuur bedragen dichtheid en dynamische viscositeit resp. ρ = 970 kg/m 3 en µ = 0.35*10-3 Pa.s. Bij deze opgave mogen we in- en uitstroomverliezen verwaarlozen. a) (11) Bereken het waterdebiet dat door de leiding gaat (resultaat = ongeveer 5 liter per seconde). (1) Hoeveel m/s bedraagt de stroomsnelheid ongeveer in het centrum van de buis? 1 1 1 Energiebalans (fb): ( p1+ ρv1 + ρgz1) ( p + ρv + ρgz) = ρv ( f L d +Σ Ki ) De druk is aan in- en uitlaat atmosferisch. In- en uitstroomverliezen verwaarlozen. Snelheid en eynoldsgetal onbekend, verlies op fittingen bekend; invullen 1 ρg ( z1 z) = ρv ( f 300( meter ) 0.06 + 99( fittingen) 0.) Dimensieloze ruwheid van buiswand = 0.6/60 = 0.01 is erg hoog; eerste schatting uit Moody diagram: f = 0.038 voor eynolds > 1*10 5. Invullen: 35 9.81 = V ( 0.038 5000 + 19.8) = V ( 190 + 19.8), waaruit V = 1.81 m/s. eynolds getal voor deze stroming: e = ρ.u.d/µ. e = 970 x 1.81 x 0.06 / 0.35*10-3 = 3.0*10 5. Turbulente stroming dus, en meer dan voldoende hoog. Verdere iteratie niet nodig. Het debiet bedraagt Q = 5.1 liter warm water per seconde. - Door de sterke doormenging in een turbulente stroming is de snelheid in het midden van de buis slechts weinig hoger dan de gemiddelde, maar typisch zo n 5%, afhankelijk van eynoldsgetal en ruwheid. Zo n.5 m/s dus. b) (8) Een Mongool wil berekenen of hij met een kleine turbine in zijn pijpleiding ter plekke electriciteit kan opwekken om de omkleedhokken van het badhuis te kunnen verlichten. Als voor dit betreffende systeem het optimaal rendement behaald wordt bij een doorstroming van 3.0 liter water per seconde en het rendement van de turbine 84% bedraagt, hoeveel electrisch vermogen wekt de turbine dan op? 1 Energiebalans met een turbine: 35 ρg = ρv ( f 5000 + 19.8) + Powerturb Q. De frictiefactor zal bij benadering hetzelfde blijven (e halveert ongeveer), maar is ook uit te rekenen, met Haaland: Bij dit debiet, V = 1.06 m/s, e = 1.8*10 5. Invullen Haaland: 0.038, inderdaad, onveranderd. 1 Vermogen wordt: Powerturb = Q ( 35 ρg ρv ( 190 + 0) ) = 655 Watt. Met het rendement van 84% blijft er 550 Watt over, voldoende voor bijvoorbeeld tien flinke halogeenlampen.
Opgave 3 : 0 punten Water stroomt met debiet Q zoals geschetst vanuit het linkervat door een convergerend-divergerend kanaal (een Venturi-buis ) kort na de inloop, via een gladde buis van 5 meter lengte naar het rechtervat. De gemiddelde snelheid over de doorsnede bij p C bedraagt 1 m/s. - (5) Schets snelheidsprofielen in de buisdoorsnede bij p C, p E, p F. e = ρ.u.d/µ. e = 1000 x 1 x 0.05 / 1*10-3 = 50000. Dit is dus een stroming met een hoog eynoldsgetal, en de stroming zal zeker turbulent worden. Echter, bij c) zitten we pas net in de buis; de inlooplengte voor deze stroming bedraagt (fb) wel 50 D =.5 meter. Bij c) hebben we dus na de mooi afgeronde inlaat nog een vlak snelheidsprofiel, met dunne grenslagen aan de wand. Bij f) zal er dus wél een volledig ontwikkeld turbulent profiel zijn. Bij e) is er weinig over te zeggen, dat hangt af van details in de vorm van de verwijding. H=1m g H, m Water d=50mm d=50mm p B p C p D p E p F p G d=5mm Q p B p C p D p E p F p G - (5) Beschrijf in woorden en in schetsen, waarom met de hier aanwezige infornmatie p D wél, maar p E nauwelijks te bepalen is. Zolang er geen loslatingen in de stroming optreden, is het drukverloop goed voorspelbaar. Bij loslatingen, zoals in die diffusor, wordt dat een stuk lastiger omdat er in de stroming in een klein gebied grote verliezen optreden. De mate hiervan hangt in detail af van de vorm van de diffusor. Voor alle mogelijke \stromingen zie boek of collegemateriaal. - (5) Schets het drukverloop op de stippellijn in kwalitatieve zin, met aandacht voor de gemarkeerde punten p B, p C, p D, p E, p F, p G. - (5) Geef gerichte schattingen voor p D en p F., en schat hieruit H. - Ten opzichte van de hydrostatische druk ρ.g.h = 9800 Pa gauge bij b) zal de druk in de mooi afgeronde inlaat bij c) met een hoeveelheid 0.5*ρ.(V=1) = 500 Pa dalen (9300 Pa gauge).
- Bij d) is de diameter twee maal zo klein, het doorstroomoppervlak is dus vier maal zo klein, met massabehoud is de snelheid vier maal zo groot. De druk in de mooi afgeronde inlaat bij c) met een hoeveelheid 0.5*ρ.(V=4) = 8000 Pa dalen t.o.v. a), dus (1800 Pa gauge). - Bij e) zal de stroming weer vertragen; en zal de druk oplopen. Afhankelijk van de geometrie van de venturi is dat veel of weinig. Voor de ideale verliesvrije Venturi is dat weer de druk van punt c); in de praktijk zal je dat zeker niet halen; denk aan het college over diffusoren. Laten we maar een stellen dat hij heel redelijk is, en dat de pressure recovery zo n 50% is (volgens boek voor deze diamterverhouding, Area ratio=4 maximaal 66%, maar bij gebrek aan informatie...). We vinden dan een druk na de diffusor van p e = p d + 0.5*0.5*ρ 4 = 9800-8000 + 4000 = (5800 Pa gauge). - Bij f) zal door wrijving de druk gedaald ziin, met zo n 0.5*ρ.(V=1) *5m/0.05m* f. De frictiefactor f uit het Moodydiagram zal wel weer zo n 0.0 zijn, dus drukdaling van 1000 Pa, 4800 Pa gauge. - Bij g) zal er een volledige loslating optreden, waarbij alle kinetische energie verloren gaat. De druk blijft onveranderd. De waterhoogte in het rechtervat zal dus zo n 4800/(1000*9.8) = 50 cm bedragen Opgave 4 : 0 punten De Eurocopter EC 155 is een moderne geluidsarme helikopter voor civiele doeleinden. Het hefvermogen van maximaal 4.8 ton wordt gegenereerd door een rotor bestaande uit vijf rotorbladen zoals geschetst. De bladen lopen radiaal van r = 1 = 0.84 meter (de bladwortel ) tot r = = 6.3 meter (de rotortip ). De heli hangt stil in lucht met een temperatuur van 3 o C = 76 K. a) (4) Als gegeven is dat de rotortip een maximaal Mach-getal van 0.75 mag bewegen, bepaal dan de bijbehorende maximale tipsnelheid U tip en laat zien dat de bijbehorende maximale hoeksnelheid Ω van de rotor ongeveer 40 radialen per seconde bedraagt. Geluidsnelheid (fb): c = κ T => c = 333 m/s. Mach 0.75 = 0.75*333 = 50 m/s. De tangentiële snelheid u(r) van een roterend lichaam is Ω.r, met r de afstand loodrecht gemeten t.o.v. de rotatieas. Met de limiet volgt dat Ω = U tip / = 39.7 rad/s = 6.31 omw/s (= 379 rpm). Het rotorblad is breed bij de naaf, en wordt steeds smaller naar de tip toe. Voor de breedte van onze b r = b r. bladen geldt: ( ) tip b) (4) Vanwege de geluidsproductie moet de stroming over de bladen laminair blijven; als gegeven is dat het eynolds getal voor transitie 1.10 6 bedraagt, laat dan zien dan b tip slechts 6 cm bedraagt, en dat e op elke plaats langs het blad hetzelfde is. Het eynoldsgetal is U tip.b.ρ/ν; om omslag naar turbulentie te voorkomen (weerstand en gelduidsproductie zouden dan sterk toenemen), moet deze onder het transitiepunt blijven; ofwel b = 1.10 6.µ / (ρ.u tip ) = 0.06 m, ofwel 6 cm. Voor deze breedte verdeling geldt dat e overal gelijk is: e = ρ u( r) b( r) µ = ρ Ω r btip r µ = ρ Ωbtip µ f ( r) Breedte bij de naaf = 45 cm, is niet helemaal realistisch meer. Omdat de bijdrage aan de lift dicht bij de bladwortel gering wordt (zie c) wordt het blad daar weer smaller. c) (8) De (verstelbare) bladen hebben een maximale liftcoëfficiënt van 1.36. Beschouw een elementje van het rotorblad op positie r, van lengte dr. Bepaal de liftkracht op zo n stukje
blad, en laat hieruit zien dat het maximale hefvermogen voor deze helikopter 47. kn bedraagt. Lift wordt gegenereerd door de stroming langs de bladen, die als vleugels werken. De lift df L van een element rotorblad met breedte b in stromingsrichting en lengte dr in de loodrechte spanwise 1 richting, is ρ ( ) ( ) dfl = u r CL b r dr. De totale lift voor een enkel rotorblad komt hiermee op, na invullen: ( ) ( ) ρ ( ) 1 1 L ρ L L tip 1 1 F = u r C b r dr = Ω r C b r dr ( ) 1 1 ρ CL btip r dr 4ρ CLbtip 1 1 = Ω = Ω Met vijf rotorbladen is dit 47. kn, = (na invullen) 9.44 kn d) (4+4bonus) We beschouwen de rotorbladen als mooi afgeplatte vleugelprofielen. De weerstandscoëfficiënt van zo n profiel is afhankelijk van de hoek waaronder hij aangestroomd wordt en daarmee afhankelijk van C L : CD = 1.33 e + 0.05 CL. Bij een hoge C L : benaderen we dit als: CD 0.05 CL. Bepaal nu hiermee het vermogen benodigd om de maximale hefkracht te leveren. Lift levert geen bijdrage aan het te leveren vermogen: De liftkracht staat immers loodrecht op de bewegingsrichting van het blad, dus er wordt geen arbeid verrricht. Echter, het blad heeft dus wel luchtweerstand. De C D waarde bij deze hoge C L is C D = 0.046. d(vermogen) is hoeksnelheid maal d(koppel) = hoeksnelheid maal d(kracht) maal arm 1 dpower =Ω ρ u r C b r r dr = d(kracht) maal snelheid: ( ) ( ). D ( ) ( ) ρ ( ) 1 1 ρ D L tip 1 1 ρ ( 1 ) P =Ω T =Ω u r C b r r dr =Ω Ω r C b r r dr = ρω C b r dr = Ω C b 1 3 1 3 1 3 3 L tip L tip 3 1 = (invullen van de getallen) 54.3 kwatt/rotorblad. In totaal dus 71 kwatt.