Szemerédi s regulariteitslemma

Szemerédi s regulariteitslemma Yara van Schaik 18 juli 014 Bachelorscriptie Wiskunde Begeleiding: dr. Guus Regts Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

Samenvatting In dit verslag wordt Szemerédi s regulariteitslemma behandeld (hoofdstuk ). Dit lemma vertelt dat alle grafen gepartitioneerd kunnen worden in een begrensd aantal gelijke verzamelingen, zodanig dat de meeste zijden tussen verschillende delen lopen en de zijden tussen twee delen uniform verdeeld zijn. Vervolgens gaan we kijken naar toepassingen binnen de getaltheorie (hoofdstuk 3) De stelling van Van der Waerden, stelling van Roth en Corner s stelling komen aan bod. Tot slot behandelen we een aantal toepassingen binnen de extremale grafentheorie (hoofdstuk 4). De stelling van Turán en de stelling van Erdös-Stone worden behandeld. Titel: Szemerédi s regulariteitslemma Auteur: Yara van Schaik, yaravanschaik@gmail.com, 106458 Begeleiding: dr. Guus Regts Einddatum: 18 juli 014 Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math

Inhoudsopgave 1 Introductie 4 Szemerédi s regulariteitslemma 5.1 Definities................................... 5. Een stukje lineaire algebra.......................... 7.3 Bewijs van Szemerédi s regulariteitslemma................. 10 3 Getaltheorie 13 3.1 Stelling van Van der Waerden........................ 13 3. Stelling van Roth............................... 16 3.3 Corner s stelling................................ 0 4 Extremale grafentheorie 4.1 Deelgrafen................................... 4. Bewijs van Erdös en Stone.......................... 5 5 Reflectie 30 6 Populaire samenvatting 31 Bibliografie 33 3

1 Introductie De beroemde wiskundigen Paul Erdös en Paul Turán vermoedden in 1936 dat als A = {a 1, a,... } een verzameling is binnen de natuurlijke getallen en 1 a i =, dan moet A voor een willekeurig grote n een deelverzameling van de vorm {a, a + b, a + b,..., a + (n 1)b} bevatten. Een deelverzameling van deze vorm noemen we een arithmetische progressie. Dit vermoeden blijkt lastig om te bewijzen en tot op de dag van vandaag staat dit probleem open. Er zijn ook veel verwante problemen. In 004 hebben Ben Green en Terrence Tao bewezen dat de verzameling van alle priemgetallen willekeurig lange arithmetische progressies bevat. Zij baseerden hun bewijs op een lemma dat structuur in kaart brengt, Szemerédi s regulariteitslemma. Szemerédi s regulariteitslemma is een belangrijk lemma binnen de (extremale) grafentheorie. Het is een uiterst sterk hulpmiddel voor het analyseren van de structuur van dichte grafen. Dit lemma zegt dat elke graaf benaderd kan worden door de vereniging van een begrensd aantal random bipartiete grafen, waardoor de structuur van de graaf beter kan worden afgeleid. Het regulariteitslemma heeft toepassingen in veel verschillende gebieden van de wiskunde. Zoals eerder gezegd is dit lemma erg belangrijk in de extremale grafentheorie, maar het komt ook terug in onder andere de Ramsey theorie, getaltheorie en functionaalanalyse. Zo n 30 jaar geleden werd het regulariteitslemma uitgevonden als een hulp lemma in het bewijs van een ander vermoeden van Erdös en Turán, aangaande arithmetische progressies in dichte deelverzamelingen van de gehele getallen. In deze bachelorscriptie ga ik mij bezighouden met Szemerédi s regulariteitslemma. Daarnaast ga ik kijken naar toepassingen van dit lemma binnen verschillende gebieden van de wiskunde. In sectie.1 maakt de lezer kennis met het regulariteitslemma zoals het gedefinieerd wordt door Reinhard Diestel in Graph Theory [1]. In sectie.3 formuleer ik een bewijs voor het lemma en vergelijk ik het met het regulariteitslemma zoals het gedefinieerd wordt door Alexander Schrijver in A Pythagoras proof of Szemerédi s regularity lemma []. In hoofdstuk 3 ga ik in op enkele toepassingen van het regulariteitslemma binnen de getaltheorie, waaronder de stelling van Van der Waerden. Vervolgens hou ik mij in hoofdstuk 4 bezig met toepassingen binnen de extremale grafentheorie. In dit hoofdstuk komt onder andere de stelling van Erdös en Stone aan bod. Afsluitend wil ik deze ruimte gebruiken om Guus Regts te bedanken voor het begeleiden van mijn project. Hij heeft mij geënthousiasmeerd voor dit onderwerp en ik heb onze samenwerking als prettig ervaren. Yara van Schaik Juli 014 4

Szemerédi s regulariteitslemma Ruwweg zegt het regulariteitslemma dat elke graaf gepartitioneerd kan worden in een (van boven- en onderen) begrensd aantal partitieverzamelingen, waarbij de verzamelingen dezelfde cardinaliteit hebben, zodanig dat de zijden tussen twee verschillende partitieverzamelingen uniform verdeeld is. We zullen in dit hoofdstuk voornamelijk gebruik maken van definities en lemma s die beschreven zijn door Alexander Schrijver in A Pythagoras proof of Szemerédi s regularity lemma []. Daarnaast gebruiken we voor een enkele definitie Reinhard Diestels Graph Theory [1]..1 Definities In deze sectie introduceren we definities die ons zullen helpen Szemerédi s regulariteitslemma beter te begrijpen. Aan het eind van deze sectie volgt een formulering van het regulariteitslemma. Definitie.1 (Partitie, verfijning). Zij A een eindige verzameling. Een partitie P = {P 1,..., P k } van A is een collectie disjuncte niet-lege verzamelingen,klassen genaamd, met k i=1 P i = A. Een partitie P van A is een verfijning van P als elke klasse van P bevat is in een klasse van P. Vanaf nu bekijken we G = (V, E) een graaf, waarbij V de verzameling punten en E de verzameling zijden van G aanduidt. Definitie. (Dichtheid). Laat X en Y disjuncte deelverzamelingen van V zijn. Dan wordt de dichtheid van het paar (X, Y ) gegeven door d(x, Y ) := e(x, Y ) X Y, waarbij e(x, Y ) het aantal zijden van G tussen X en Y aanduidt. Er geldt dat 0 d(x, Y ) 1. Definitie.3 (ε-evenwichtig). Zij ε > 0. Een partitie P van V is ε-evenwichtig als P een deelcollectie C bevat zodanig dat alle verzamelingen in C dezelfde cardinaliteit hebben en V \ C ε V. Definitie.4 (ε-regulier paar). Laat I, J V niet-lege verzamelingen zijn. Het paar (I, J) is ε-regulier als voor alle X I en Y J met X ε I en Y ε J 5

geldt dat d(x, Y ) d(i, J) ε. Aan de hand van bovenstaande definitie kunnen we een ε-reguliere partitie introduceren. We geven de definitie zoals Schrijver hem geformuleerd heeft in A Pythagoras proof of Szemerédi s regularity lemma []. Met een ε-irregulier paar bedoelen we een paar dat niet ε-regulier is. Definitie.5 (ε-reguliere partitie, Schrijver). Zij P = {V 1,..., V k } een partitie van V. Dan is P ε-regulier als het voldoet aan: I J ε V. I,J P (I,J) ε-irregulier Reinhard Diestel formuleert in Graph Theory [1] een ε-reguliere partitie als volgt. Definitie.6 (ε-reguliere partitie, Diestel). Laat P = {V 0, V 1,..., V k } een partitie van V zijn, waarbij V 0 een exceptionele verzameling (het mag leeg zijn) is. Deze partitie is ε-regulier als het voldoet aan de volgende drie eigenschappen: (i) V 0 ε V ; (ii) V 1 = = V k ; (iii) op een aantal van εk na zijn alle paren (V i, V j ) met 1 i < j k ε-regulier. We merken hierbij op dat bovenstaande definities van elkaar afwijken. Nu is het zo dat Diestels definitie van een ε-reguliere partitie overeen komt met de omschrijving van een partitie die ε- evenwichtig en regulier is van Schrijver. Dit is op de volgende manier te zien: Schrijver Diestel: Stel dat P een partitie is van een graaf G = (V, E) die voldoet aan de omschrijving van Schrijver van een ε- evenwichtige en reguliere partitie. Dus voor een ε > 0, is er een verfijning Q van P die een deelcollectie C = {C 1,..., C k } bevat zodanig dat C 1 = = C k, V \ C i ε V en I J ε V. I,J Q (I,J) ε-irregulier We kunnen schrijven Q = {C 1,..., C k, D 1,..., D l }. Dan is D i = V \ C i ε V, waarmee we aan (i) voldoen. We zien ook dat aan (ii) is voldaan. Verder is het aantal ε-reguliere paren van G gelijk aan I,J Q (I,J) ε-irregulier ε V I J = εn ( V ε V k ) = εk ( 1 ε ) = ε k, 6

voor ε := ε. Omdat ε ε, geldt (i) ook met ε. We zien dat we voldoen aan (1 ε) Diestels omschrijving van een ε -reguliere partitie. Diestel Schrijver: Stel dat we een partitie P van een graaf G = (V, E) hebben, die ε-regulier is volgens de definitie van Diestel. Dus voor een ε > 0, kunnen we schrijven P = {V 0, V 1,..., V k }, waarbij het volgende geldt: V 0 ε V, V 1 = = V k en alle behalve maximaal εk van de paren van P zijn ε-regulier. Deze partitie P heeft een deelcollectie C := {V 1,..., V k } waarvoor V 1 = = V k en V \ V i = V 0 ε V. Dit maakt van P een ε-evenwichtige partitie. Daarnaast is I J = V i V j + V 0 V i I,J P (I,J) ε-irregulier i,j {1,...,k} (V i,v j ) ε-irregulier ) + εn = εn i {1,...,k} (V 0,V i ) ε-irregulier εk ( n k = ε n, voor ε := ε. We zien dat P een ε -reguliere partitie is volgens de definitie van Schrijver. Daarnaast is P ε -evenwichtig (wegens ε ε ). Nu we alle definities hebben geïntroduceerd kunnen we overgaan op de formulering van Szemerédi s regulariteitslemma, zoals Diestel hem beschrijft in Graph Theory [1]. Lemma.7 (Szemerédi s regulariteitslemma, Diestel). Voor elke ε > 0 en elke m N is er een geheel getal M zodanig dat elke graaf G = (V, E) met V m een ε-evenwichtige en reguliere partitie P heeft met m P M. Omdat we nu nog over te weinig informatie beschikken, zullen we dit lemma pas in sectie.3 gaan bewijzen. Naast de definitie van ε-regulariteit formuleren Diestel en Schrijver ook Szemerédi s regulariteitslemma op verschillende wijzen. In sectie.3 zullen we ook zien dat beide formuleringen op hetzelfde neerkomen.. Een stukje lineaire algebra Voordat we verder kunnen kijken naar het bewijs van Szemerédi s regulariteitslemma, volgt nu een stuk uit de lineaire algebra. De lemma s die we hier behandelen zullen van pas komen in de volgende sectie (sectie.3), waarin we een bewijs voor het regulariteitslemma zullen geven. We beschouwen matrices en hun orthogonale projectie. Laat V een eindige verzameling zijn en bekijk de matrixruimte R V V, die we zien als de ruimte van V V -matrices. Op de matrixruimte R V V hebben we de Frobenius norm M := T r(m M) 1 = ( n i=1 m i, m i ) 1. 7

Voor niet-lege deelverzamelingen I, J V, laat L I,J de 1-dimensionale deelruimte van R V V zijn, bestaand uit alle matrices die op I J constant zijn en buiten I J identiek 0 zijn. Voor een matrix M R V V bekijken we de orthogonale projectie van M op L I,J. We noteren deze orthogonale projectie als M I,J. Als P een partitie is van V, laat L P dan de som zijn van alle ruimtes L I,J met I, J P. Schrijf M P voor de orthogonale projectie van M op L P. Nu geldt M P = M I,J. I,J P We merken op dat als Q een verfijning is van P, dan vinden we de inclusie L P L Q. In de drie claims die volgen laten we een aantal berekeningen aangaande orthogonale projecties van matrices zien, die van pas komen in de bewijzen van lemma s die we later in dit hoofdstuk zullen behandelen. De orthogonale projectie van een matrix M op L I,J neemt op I J een constante waarde aan. De eerste claim vertelt ons wat deze waarde precies is. Claim.8. De elementen van M I,J waarde van M op I J. op I J zijn allemaal gelijk aan de gemiddelde Bewijs. M I,J is de orthogonale projectie van M op L I,J, dus voor alle K I,J L I,J hebben we 0 = M M I,J, K I,J = M, K I,J M I,J, K I,J. Dit geeft ons M, K I,J = M I,J, K I,J. Voor matrices A, A R V V geldt A, A = T r(a A ). Dit is gelijk aan de som van het puntsgewijze product van A en A. Kies { 1 op I J K I,J = 0 buiten I J. Dan is M I,J, K I,J = I J a, waarbij a de constante van M I,J is op I J. Gelijkstellen van de twee inproducten geeft Dus we vinden I J a = i I j J a = 1 I J m i,j. m i,j. i I j J We zien dat a gelijk is aan de gemiddelde waarde van M op I J. 8

De volgende claim beschrijft een gevolg binnen de orthogonale projecties van een matrix. We gaan dit niet wiskundig bewijzen, omdat het in woorden makkelijker uit te leggen en beter te begrijpen is. Claim.9. (M Q ) Xi,Y i = M Xi,Y i. Bewijs. Het komt er op neer dat het nemen van de gemiddelde waarden over kleine hokjes binnen een matrix, en dan het gemiddelde nemen van alle gemiddeldes, hetzelfde is als gelijk het gemiddelde nemen van het grote hok dat bestaat uit alle kleine hokjes. Een simpel voorbeeld dat we kunnen nemen is een 4 4-matrix, die we verdelen in vier vakjes van elk bij. Als we eerst het gemiddelde nemen van de waarden in de vakjes apart, krijgen we vier aparte waarden. Vervolgens nemen we hier het gemiddelde van en komen we uit op één waarde. Deze eindwaarde krijgen we ook door gelijk in één keer het gemiddelde te nemen van de waarden uit de hele matrix. Nu zijn nu aangekomen bij de laatste claim van deze sectie. Claim.10. Voor een graaf G = (V, E) met verbindingsmatrix A en een willekeurige partitie Q van V geldt A Q A V. Bewijs. Laat Q een willekeurige partitie van V en R = {{1},..., {n}} de triviale partitie zijn. Dan is L Q L R. Stel dat (q 1,..., q k ) een orthonormale basis is van L Q en (q 1,..., q k, q k+1,..., q l ) een orthonormale basis van L R. We willen bekijken wat Proj LQ (a), de orthogonale projectie van a op L Q, is voor a L R. Voor alle q L Q geldt a Proj LQ (a), q = 0 en Proj LQ (a) L Q. Dit geeft a, q = Proj LQ (a), q. Omdat q L Q willekeurig gekozen was, geldt ook dat a, q i = Proj LQ (a), q i voor i = 1,..., k. We kunnen a = l i=1 λ iq i en Proj LQ (a) = k i=1 δ iq i schrijven met λ i, δ i R. Dan krijgen we voor j = 1,..., k: l a, q j = λ i q i, q j = i=1 l λ i q i, q j = λ j q j, q j = λ j, i=1 met als gevolg k λ j = a, q j = Proj LQ (a), q j = δ i q i, q j = δ j q j, q j = δ j. Zo krijgen we Proj LQ (a) = Proj LQ (a), Proj LQ (a) = i=1 i=1 i=1 k δi i=1 k l = λ i λ i = a, a = a. 9

Hieruit concluderen we dat A Q A. Laat V = n. Dan geldt er A = T r(a A) = n n a ij i=1 j=1 n n 1 = n = V. i=1 j=1 Dus voor een willekeurige partitie Q van V geldt dat A Q A V. De claims die we nu gezien hebben zullen alledrie van pas komen in de volgende sectie, waarin het regulariteitslemma wordt bewezen..3 Bewijs van Szemerédi s regulariteitslemma In deze sectie formuleren en bewijzen we een aantal lemma s uit Schrijvers A Pythagoras proof of Szemerédi s regularity lemma [], waarna we Szemerédi s regulariteitslemma op een iets andere manier verwoorden en bewijzen. Lemma.11. Elke partitie P van V heeft een ε-evenwichtige verfijning Q zodanig dat Q (1 + ε 1 ) P. Bewijs. Deel elke klasse van P op in klassen van elk cardinaliteit t, behalve voor maximaal één klasse die minder dan t elementen bevat. Deze verzamelingen vormen samen een partitie die we Q zullen noemen. We willen nu een geschikte t kiezen, zodat Q ε-evenwichtig is. Schrijf Q 1,..., Q k voor de klassen van Q van grootte t. Er volgt dat V \ k i=1 Q i < t P. Als we nu t = ε V kiezen, dan vinden we de afschatting P V \ k i=1 We zien dat Q ε-evenwichtig is. Verder geldt Q i < t P = ε V P = ε V. P Q P + V t = P + V P ε V = P + P ε = (1 + ε 1 ) P. Lemma.11 vormt samen met het komende lemma een opstap naar het bewijs van Szemerédi s regulariteitslemma. Als we deze twee lemma s begrepen hebben, dan zijn we al een heel eind op weg naar het bewijs waar deze sectie om draait. Lemma.1. Laat ε > 0 en G = (V, E) een graaf zijn, met verbindingsmatrix A. Dan heeft elke ε-irreguliere partitie P van V een verfijning Q met Q P 4 P en A Q > A P + ε 5 V. 10

Bewijs. We bekijken de ε-irreguliere paren van P en willen die onderverdelen in deelpartities, om zo een verfijning Q te creëren. Laat (I 1, J 1 ),..., (I n, J n ) alle ε-irreguliere paren in P zijn. We kunnen nu, wegens de definitie van ε-regulariteit, voor alle i = 1,..., n deelverzamelingen X i I i en Y i J i met X i > ε I i en Y i > ε J i kiezen zodanig dat d(x i, Y i ) d(i i, J i ) > ε. Bekijk K P. Als K {I 1,..., I n }, dan is er een partitie Q K van K zodanig dat elke X i, met K = I i, een vereniging van klassen van Q K is en Q K P. De laatste ongelijkheid krijgen we omdat één klasse (zeg K) uit P met maximaal P 1 andere klassen een ε-irregulier paar kan vormen. Voor elk van die paren maken we een tweesplitsing binnen onze klasse K. Al die splitsingen vormen samen een partitie Q K van K. Dan hebben we Q K P 1 < P. Hetzelfde geldt voor K {J 1,..., J n } met Y i. Omdat Y j ook deel kan zijn van een K = I i, kan het zijn dat we alles dubbel moeten splitsen. Dan geldt er Q K P = 4 P. Als K P \ {I 1,..., I n, J 1,..., J n }, dan maakt K geen deel uit van een ε-irregulier paar en kiezen we Q K = K. Neem nu Q = K P Q K. Dan is Q een verfijning van P en elke X i en Y i is een vereniging van klassen in Q. Daarnaast geldt er Q = K P Q K P max{ Q K : K P } P 4 P. We weten dat A Xi,Y i en A P constant zijn op X i Y i en respectievelijk gelijk aan d(x i, Y i ) en d(i i, J i ). Ze nemen namelijk de gemiddelde waarde van A aan op X i Y i en P respectievelijk. Omdat A een verbindingsmatrix is, is de gemiddelde waarde van A op X i Y i gelijk aan d(x i, Y i ). Aangezien X i I i en Y i J i (dus X i Y i I i J i ), zien we dat (A P ) Xi,Y i op X i Y i de gemiddelde waarde van A op I i J i aanneemt. Dit is gelijk aan d(i i, J i ). Nu weten we dat (A Q A P ) Xi,Y i = (A Q ) Xi,Y i (A P ) Xi,Y i = A Xi,Y i (A P ) Xi,Y i = ( X i Y i (d(x i, Y i ) d(i i, J i )) > ε I i ε J i ε = ε 4 I i J i. (.1) De vierde vergelijking volgt uit het feit dat (I i, J i ) een ε-irregulier paar is. Er geldt dat A Q (A Q ) P orthogonaal is ten opzichte van A P. Verder is (A Q ) P = A P, want Q verfijnt P. Dus A Q A P A P. Met de stelling van Pythagoras vinden we nu dat A P + A Q A P = A Q. Zo krijgen we A Q A P = A Q A P n (A Q A P ) Xi,Y i i=1 n ε 4 I i J i > ε 5 V. i=1 Alle X i s en Y i s zijn paarsgewijs disjunct, waardoor de ruimtes L Xi,Y i paarsgewijs orthogonaal zijn en daardoor geldt de eerste ongelijkheid. De een-na-laatste ongelijkheid volgt uit vergelijking (.1). De laatste ongelijkheid geldt, omdat P ε-irregulier is. Voordat we beginnen met de herformulering en het bewijs van Szemerédi s regulariteitslemma, definiëren we voor ε, x > 0 de afbeelding f ε (x) := (1 + ε 1 )x4 x. Voor n N noteren we de n-de iteratie van f ε met f n ε. 11

Lemma.13 (Szemerédi s regulariteitslemma, Schrijver). Voor elke ε > 0 en graaf G = (V, E) heeft elke partitie P van V een ε-evenwichtige en reguliere verfijning Q met Q f ε 5 ( ε (1 + ε 1 ) P ). Bewijs. Laat A de verbindingsmatrix van G zijn en P een ε-irreguliere partitie van V. Nu passen we lemma.11 en lemma.1 afwisselend toe. Bij elke gebruik van lemma.11 neemt A P niet af. Bij elke toepassing van lemma.1 neemt A P toe met meer dan ε 5 V. Voor een partitie Q van V weten we dat A Q A V. We kunnen concluderen dat we na maximaal ε 5 iteraties een ε-evenwichtige en reguliere partitie hebben. We hebben nu twee verschillende formuleringen van Szemerédi s regulariteitslemma gezien. Net als bij de definitie van een ε-reguliere partitie komen beide omschrijvingen op hetzelfde neer. Lemma.13 impliceert lemma.7 op de volgende manier: Laat ε > 0 en m 1. Laat verder G = (V, E) een graaf zijn met G m en P een partitie van V. Volgens lemma.13 heeft P een ε- evenwichtige en reguliere (naar de definitie van Schrijver) verfijning Q met Q f ε 5 ε ((1 + ε 1 ) P ). Dan is Q, zoals we eerder hebben gezien, ε -regulier (volgens de definitie van Diestel) voor ε := ε. (1 ε) Laat f ε 5 ε ((1 + ε 1 ) P ) =: M. Dan is Q M. Daarnaast is, omdat we G punten over maximaal G niet-lege verzamelingen kunnen verdelen, Q G m. We hebben dus een ε -reguliere partitie Q (volgens de omschrijving van Diestel), met m Q M. We concluderen dat lemma.7 een gevolg is van lemma.13. We hoeven ons dus in het vervolg niet druk te maken over welke definitie van ε- regulariteit of welke formulering van Szemerédi s regulariteitslemma we gebruiken, beide omschrijvingen komen neer op hetzelfde. Nu we Szemerédi s regulariteitslemma hebben bewezen, zitten we aan het eind van dit hoofdstuk. In de komende hoofdstukken houden we ons bezig met toepassingen van het lemma. 1

3 Getaltheorie Er zijn veel interessante toepassingen van Szemerédi s regulariteitslemma, binnen verschillende vakgebieden. Zo heb je in de getaltheorie de stelling van Roth, die zegt dat elke dichte deelverzameling van de natuurlijke getallen een arithmetische progressie van lengte 3 bevat. Een arithmetische progressie is een rij getallen, waar het verschil van een getal met zijn opvolger overal in het rijtje gelijk is. In dit hoofdstuk behandelen we drie toepassingen van het regulariteitslemma binnen de getaltheorie: de stelling van Van der Waerden, de stelling van Roth met een gevolg en tot slot Corner s stelling. Voordat we beginnen met een toepassing, volgt nu een precieze definitie van een arithmetische progressie (van Eric W. Weisstein [3]). Definitie 3.1 (Arithmetische progressie). Een arithmetische progressie van lengte k met verschil a is een verzameling getallen van de vorm {an + b : n = 0,..., k 1}. 3.1 Stelling van Van der Waerden Je kunt je afvragen of het mogelijk is om de eerste n natuurlijke getallen in k deelverzamelingen te partitioneren zonder dat één van de partitieverzamelingen een arithmetische progressie van lengte l bevat. De stelling van Van der Waerden laat zien dat dit mogelijk is tot een zekere waarde van n. De kleinste n waarvoor één van de deelverzamelingen een arithmetische progressie van lengte l bevat wordt het Van der Waerden getal W (k, l) genoemd. Op dit getal gaan wij verder niet in. We maken in deze sectie gebruik van definities en stellingen uit het artikel A short proof of Van der Waerden s theorem on arithmetic progressions van Graham en Rothschild [4]. Stelling 3. (Stelling van Van der Waerden). Voor positieve r, l Z >0 bestaat er een N zodanig dat als de gehelen {1,,..., N} gekleurd zijn met r verschillende kleuren, dan vinden we een arithmetische progressie van l gehelen die allemaal dezelfde kleur hebben. Deze stelling is een zwakkere vorm van de stelling die we hier onder gaan behandelen (stelling 3.6). We introduceren eerst de sterke versie, om vervolgens aan te tonen dat de stelling van Van der Waerden een speciaal geval hiervan is. Daarnaast geven we een bewijs voor stelling 3.6. Voordat we deze stelling formuleren beginnen we met twee definities. We noteren [a, b] voor de verzameling van gehele getallen x die tussen a en b liggen, dus waarvoor a x b. 13

Definitie 3.3 (l-equivalent). We noemen twee eindige rijen (x 1,..., x m ), (x 1,..., x m) [0, l] m l-equivalent als ze gelijk zijn tot en met het laatste voorkomen van l. We spreken van l-equivalente klassen als we deze equivalentie als equivalentierelatie zien op de verzameling [0, l] m. De definitie die nu volgt komt van pas bij het bewijzen van de stelling van Van der Waerden. Definitie 3.4 (S(l, m)). Met S(l, m) bedoelen we de volgende bewering: Laat l, m 1. Voor elke r bestaat er een getal N = N(l, m, r) zodanig dat voor elke functie van de vorm C : [1, N] [1, r], er positieve getallen a, d 1,..., d m bestaan zodanig dat C(a + m i=1 x id i ) constant is op elke l-equivalente klasse van [0, l] m. Lemma 3.5. De stelling van Van der Waerden komt overeen met de bewering S(l, 1). Bewijs. Laat r, l Z >0. Stel dat S(l, 1) waar is, dus er is een N = N(l, 1, r) zodanig dat voor een functie C : [1, N] [1, r] er positieve a, d bestaan zodanig dat C(a + xd) constant is op elke l-equivalente klasse van [0, l]. De functie C kunnen we zien als het kleuren van elk van de getallen in [1, N] met één van de r kleuren. Er zijn twee klassen, namelijk [α] = {0, 1,..., l 1} en [β] = {l}. Dus C(a + 0d) = C(a + 1d) = = C(a + (l 1)d) = p, voor een p [1, r]. Dus zijn de getallen a + 0d, a + 1d,..., a + (l 1)d allemaal gelijk gekleurd. Dit is een arithmetische progressie van lengte l, waarbij elk getal dezelfde kleur heeft. Stelling 3.6. De bewering S(l, m) is waar voor alle l, m 1. Bewijs. In dit bewijs gebruiken we inductie naar m en l. Dit doen we door de volgende drie punten te laten zien: 1. Basisstap: S(1, 1) is waar;. S(l, m) voor een m 1 impliceert S(l, m + 1); 3. S(l, m) voor alle m 1 impliceert S(l + 1, 1). Bewijs van 1: De uitspraak S(1, 1) is triviaal waar. Er zijn maar twee l-equivalente klassen, namelijk [0] = {0} en [1] = {1}. Dat betekent dat C(a + m i=1 x id i ) constant is op elke l-equivalente klasse van [0, l] m, aangezien elke klasse maar uit één element bestaat. Hiermee is de basisstap bewezen. Bewijs van : Kies r vast en zij M = N(l, m, r), M = N(l, 1, r M ). Verder is C : [1, MM ] [1, r] gegeven. Bekijk de vector v(k) := ( C(kM M + 1),..., C(kM) ) voor k = 1,..., M. Definieer C : [1, M ] [1, r M ] op zo n manier dat C (k) = C (k ) dan en slechts dan als v(k) = v(k ). Als we de inductiehypothese toepassen op C, dan vinden we dat er positieve a en d bestaan zodanig dat C (a + xd ) constant is voor elke l-equivalente 14

klasse van [0, l]. Aangezien we twee klassen hebben, namelijk [p] = {0,..., l 1} en [l] = {l}, is C (a + xd ) constant voor x [0, l 1]. We kunnen S(l, m) ook toepassen op een functie die als domein het interval [a M M + 1, a M] heeft. De lengte van dit interval is gelijk aan a M (a M M + 1) + 1 = M. Dit interval is dus een verschuiving van het interval [1, M], waardoor we ons nieuwe interval op dezelfde manier af kunnen beelden op [1, r] als in de bewering S(l, m) gebeurt. Er bestaan dus positieve gehelen a, d 1,..., d m met (a + m i=1 x id i ) [a M M + 1, a M] voor alle x [0, l] m en waarvoor geldt dat C(a + m i=1 x id i ) constant is op l-equivalente klassen. Neem nu d i := d i voor alle i [1, m] en d m+1 := d M. Dan is C(a + m+1 i=1 x id i) = C(a + m i=1 x id i + x m+1 d M). We willen aantonen dat dit welgedefinieerd is. Hierboven zagen we dat a + m i=1 x id i a M. Uit de definitie van C weten we dat a + xd M voor x [0, l]. Dit geeft a + m x i d i + x m+1 d M a M + x m+1 d M = (a + x m+1 d )M M M, i=1 wat de welgedefinieerdheid aantoont. Verder willen we aantonen dat C(a + m+1 i=1 x id i) constant is op elke l-equivalente klasse van [0, l] m+1. Laat x [0, l] m+1 waarvoor x m+1 = l. Elk element y [x] is l-equivalent aan x en is dus gelijk aan x tot het laatste voorkomen van l. Aangezien x m+1 = l, bevat de equivalentieklasse van x maar één element. Dus C(a + m+1 i=1 x id i) is constant op de klasse [x : x m+1 = l]. Bekijk nu x [0, l] m+1 waarvoor x m+1 l. Voor een y met y m+1 l en die l- equivalent is met x, geldt ook dat (x 1,..., x m ) l-equivalent is aan (y 1,..., y m ). Dus we i=1 y id i ). Wegens de definitie van C weten we hebben C(a + m i=1 x id i ) = C(a + m nu dat C(a + m i=1 x id i + x m+1 d m+1) = C(a + m i=1 y id i + y m+1 d m+1). Nu hebben we bewezen dat er voldaan is aan S(l, m + 1), wat stap aantoont. Bewijs van 3: Laat r vast en C : [1, N(l, r, r)] [1, r] gegeven. Volgens de inductiehypothese zijn er a, d 1,..., d r zodanig dat voor x i [0, l], a + r i=1 x id i N(l, r, r) en C(a + r i=1 x id i ) constant is op l-equivalente klassen van [0, l] r. We kunnen nu het zogeheten Duiventilprincipe gebruiken: er zijn u, v [0, r] met u < v zodanig dat C(a + u ld i ) = C(a + i=1 v ld i ). i=1 Schrijf a = a+ u i=1 ld i en d = v i=u+1 d i. Voor x [0,..., l 1] is C(a +xd ) constant, 15

want ze zijn hetzelfde tot het laatste voorkomen van l. Verder is C(a + ld ) = C((a + = C(a + u ld i ) + l( i=1 v i=u+1 u ld i = C((a + i=1 = C(a + 0d ). d i )) = C(a + u ld i ) + 0( i=1 v ld i ) i=1 v i=u+1 We zien dat C(a + xd ) dezelfde waarde aanneemt voor x = 0 en x = l. Hieruit concluderen we dat C(a + xd ) constant is op [0, l]. Als we nu de (l + 1)-equivalente klassen van [0, l + 1] bekijken, dan zijn dat [α] = {0,..., l} en [β] = {l + 1}. We hebben eerder gezien dat C(a + xd ) constant is op [0, l], dus deze functie is constant op elke (l + 1)-equivalente klasse van [0, l + 1]. Dit bewijst S(l + 1, 1) en daarmee hebben we de laatste stap aangetoond. Met het tweede punt hebben we laten zien dat voor een vaste l, S(l, m) waar is voor elke m 1. Met punt 3 hebben we vervolgens aangetoond dat als S(l, m) waar is voor alle m 1, dan is S(l + 1, 1) ook waar. Met punt kunnen we vervolgens uit S(l + 1, 1) halen dat S(l + 1, m) waar is voor alle m 1. Als we zo door gaan dan zien we dat S(l, m) waar is voor elke l en m 1. We weten dat de stelling van Van der Waerden overeen komt met de bewering S(l, 1). Daarnaast hebben we laten zien dat S(l, m) waar is voor alle l, m 1. Hiermee is de stelling van Van der Waerden bewezen. d i )) 3. Stelling van Roth In 1953 bewees de wiskundige Klaus Roth het eerste niet-triviale geval van de stelling van Szemerédi. Deze stelling moet niet verward worden met Szemerédi s regulariteitslemma. De stelling van Szemerédi zegt dat elke deelverzameling van de natuurlijke getallen met positieve bovendichtheid een arithmetische progressie van lengte k bevat. Dit geldt voor elke k. De stelling van Roth behandelt het geval k = 3. In deze sectie hebben we gebruik gemaakt van Applications of Szemerdi s regularity lemma: triangle removal lemma, Roth s theorem, corner s theorem and graph removal lemma uit Matheus Weblog [5]. Voor we de stelling van Roth definiëren, volgt het Triangle removal lemma, dat iets zegt over het minimale aantal driehoeken dat een graaf bevat. We noemen een graaf driehoekloos, als het geen driehoeken bevat. Lemma 3.7 (Triangle removal lemma). Voor elke ε > 0 is er een δ = δ(ε ) > 0 zodanig dat als we voor G = (V, E) minimaal ε V zijden moeten verwijderen om G driehoekloos te maken, dan bevat G minimaal δ V 3 driehoeken. 16

Bewijs. Laat ε > 0. Laat verder G zo dat we minimaal ε n zijden moeten verwijderen om G driehoekloos te maken, waarbij V = n. We passen Szemerédi s regulariteitslemma toe op G met ε, m, M, zodanig dat ε + 1 + 100ε 1 3 + ε < ε. De zo verkregen m ε-reguliere partitie van G noteren we met P = {V 1,..., V k }. Laat G de graaf zijn die we verkrijgen door: 1. alle zijden in V 0 te verwijderen. Dit zijn er maximaal 1 εn(εn 1) < (εn) ;. alle zijden in V 1,..., V k te verwijderen. Dit zijn er maximaal k( n k ) = n k ; 3. alle zijden tussen ε-irreguliere paren te verwijderen. Dit zijn er maximaal εk ( n k ) = εn ; 4. alle zijden tussen paren met dichtheid lager dan 100ε 1 3 te verwijderen. Dit zijn er maximaal ( ) k 1 100ε 3 ( n k ) < 100ε 1 3 n ; 5. alle zijden tussen de paren (V 0, V i ) te verwijderen, voor i = 1,..., k. Dit zijn er maximaal εnk( n k ) = εn. In totaal hebben we minder dan (εn) + n k + εn + 100ε 1 3 n + εn = n (ε + 1 k + 100ε 1 3 + ε) n (ε + 1 m + 100ε 1 3 + ε) < ε n. zijden verwijderd. Dit betekend dat G nog een driehoek bevat. Claim: Als G een driehoek bevat, dan bevat het minimaal ε( n k )3 driehoeken. Bewijs: Stel dat G een driehoek bevat, dan is elk hoekpunt van de driehoek bevat in een andere partitieverzameling, zeg V 1, V en V 3. Voor deze drie partitieverzamelingen geldt dat ze onderling ε-regulier zijn en een minimale dichtheid van 100ε 1 3 hebben. Bekijk de verzameling A := {v V 1 : e(v, V ) < (d 1 ε) V 1 }. Voor v A geldt dan e(v,v ) V 1 d 1 > ε. Wegens ε-regulariteit van V 1, V is A ε V 1 = ε V. Als we nu de verzameling A 3 := {v V 1 : e(v, V 3 ) < (d 13 ε) V 1 } bekijken, vinden we op dezelfde manier dat A 3 ε V 1 = ε V 3 moet gelden. Voor v V 1 \ (A A 3 ), i =, 3 geldt N i (v) := e(v, V i ) (d 1i ε) V 1 (100ε 1 3 ε) V1 = (100ε 1 3 ε) Vi. Wegens ε-regulariteit van V en V 3 volgt hieruit dat e(n (v), N 3 (v)) d 3 ε, dus N (v) N 3 (v) e(n (v), N 3 (v)) (d 3 ε) N (v) N 3 (v) (100ε 1 3 ε) 3 V 1 (99ε 1 3 ) 3 V 1 = 99 3 ε V 1. 17

Een lijn tussen een buur van v in V en een buur van v in V 3 zorgt voor een driehoek in G. Het aantal driehoeken van G is dan groter dan V 1 \ (A A 3 ) 99 3 ε V 1 ( V 1 ε V 1 ) 99 3 ε V 1 wat de claim bewijst. Dus G bevat minimaal ε( n k )3 driehoeken. Kies δ = driehoeken. = 99 3 ε(1 ε) V 1 3 ε V 1 3 ( ) 3 n = ε, k ε M 3, dan bevat G minimaal δn 3 Nu we het Triangle removal lemma bewezen hebben, kunnen we ons richten op de stelling van Roth. Voor het bewijs van deze stelling maken we gebruik van het Triangle removal lemma. Om de stelling te kunnen begrijpen volgt eerst een definitie. Definitie 3.8 (Bovendichtheid). De bovendichtheid d(a) van een verzameling A N definiëren we als {1,,..., n} A d(a) = lim sup. n n Dan volgt nu de stelling van Roth, die iets vertelt over het vinden van een arithmetische progressie van lengte 3 in een deelverzameling van de natuurlijke getallen. Lemma 3.9 (Stelling van Roth). Als een verzameling A N positieve bovendichtheid heeft, dan bevat het een arithmetische progressie van lengte 3. Bewijs. Onze aanname zegt dat de verzameling A een positieve bovendichtheid heeft, dus dat er een ε > 0 is zodanig dat voor oneindig veel n geldt dat A {1,..., 3n} 3εn. We construeren een graaf G = (V, E) met V = V 1 V V 3, waarbij elke verzameling precies 3n punten bevat die elk genummerd zijn van 1 tot en met 3n. Kies n zodanig dat er geldt n > 81 1 δ 1 en A {1,..., 3n} 3εn, waarbij δ afkomstig is van het Triangle removal lemma. Verder lopen er lijnen tussen de drie verzamelingen op de volgende manier: 1. Er loopt een zijde tussen i V 1 en j V j i A.. Er loopt een zijde tussen j V en k V 3 k j A. 3. Er loopt een zijde tussen i V 1 en k V 3 k i A. Op deze manier vormen i, j, k een driehoek dan en slechts dan als 1. a 1 := j i A,. a 3 := k j A, 3. a := k i A. 18

Dan geldt a a 1 = a 3 a, aangezien k i (j i) = k i j + i = k j + i = k j k + i = (k j) k i. Hieruit volgt dat (a 1, a, a 3 ) een arithmetische progressie is in A. We zien dat elke driehoek in G correspondeert met een arithmetische progressie van lengte 3 in A. Hieronder vallen ook de triviale driehoeken i, i+a, i+a, die verband houden met de arithmetische progressies van de vorm (a, a, a) voor a A en i V. Er zijn 3n A {1,..., 3n} > 3n 3εn = 9εn disjuncte triviale driehoeken. Omdat 3n A {1,..., 3n} 3n 3n = 9n, zijn er maximaal 9n disjuncte triviale driehoeken. Nu kunnen we het Triangle removal lemma gebruiken met ε = ε 9, want 9εn = 1 9 ε V = ε V. Het Triangle removal lemma geeft ons dat G minimaal δ V 3 = 79δn 3 driehoeken bevat. Hiervan zijn er maximaal 9n triviaal, wat een totaal geeft van minimaal 79δn 3 9n niet-triviale driehoeken. Deze niet-triviale driehoeken in G corresponderen met niet-triviale arithmetische progressies van lengte 3 in A. 79δn 3 9n = 9n (81δn 1) 1 81δn 1 > 0 n > 81 1 δ 1. We hadden n > 81 1 δ 1 gekozen, wat als gevolg heeft dat A een (niet-triviale) arithmetische progressie van lengte 3 bevat. De stelling van Varnavides is een sterkere vorm van de stelling van Roth, waarbij het aantal arithmetische progressies van lengte 3 wordt geteld. We gebruiken de stelling van Varnavides zoals hij geformuleerd is in Additive combinatorics: winter 007 van Soundararajan [6]. Stelling 3.10 (Stelling van Varnavides). Voor elke ε > 0 is er een C(δ) > 0 zodanig dat als A [1, N] met A δn, dan bevat A minstens C(δ)N arithmetische progressies van lengte 3. Bewijs. We beginnen het bewijs met de volgende claim. Claim: Één arithmetische progressie van lengte 3 correspondeert met G driehoeken in G. Bewijs: We bekijken de graaf G zoals we die in het bewijs van Roth hebben gedefinieerd, en laat G = n. Nu definiëren we de afbeelding f : G A, die een driehoek in G stuurt naar zijn bijbehorende arithmetische progressie van lengte 3 in A. Voor het triviale geval kunnen we makkelijk bekijken wat het inverse beeld is van een arithmetische progressie van lengte 3 onder f. Bekijk (a, a, a) met a A, een triviale arithmetische progressie van lengte 3. f 1 ((a, a, a)) = {i, i + a, i + a}, met i V. Dit geeft f 1 ((a, a, a)) = n. Voor het niet-triviale geval bekijken we de arithmetische progressie (a, a + b, a + b), met a A en b 0. 19

Het inverse beeld van (a, a + b, a + b) onder f is gelijk aan {i, j, k : a = j i, a + b = k i, a + b = k j}. We bekijken een vaste i V. Aangezien er j = a + i moet gelden, is er maar één mogelijkheid voor i. Op dezelfde manier, met k = a + b + i, zien we dat er voor k ook maar één mogelijkheid is. Dus voor een vaste i, hebben we maar één mogelijkheid voor de waarde van j en van k. Het gevolg is dat het inverse beeld van (a, a+b, a+b) onder f kardinaliteit G = n heeft. Dus één arithmetische progressie van lengte 3 correspondeert met n driehoeken. Dit bewijst de claim. Het Triangle removal lemma en de stelling van Roth samen geven ons dat G, de graaf behorend bij A zoals geconstrueerd in het bewijs van de stelling van Roth, minimaal δn 3 driehoeken bevat. Dit correspondeert met δn3 = n δn arithmetische progressies van lengte 3. 3.3 Corner s stelling Een andere toepassing binnen de getaltheorie is Corner s stelling. Deze stelling zegt iets over het voorkomen van een hoek binnen deelverzamelingen van een raster van n bij n punten. Naast het Triangle removal lemma en de stelling van Roth is ook onderstaand lemma afkomstig uit Applications of Szemerdi s regularity lemma: triangle removal lemma, Roth s theorem, corner s theorem and graph removal lemma van Matheus [5]. Lemma 3.11 (Corner s stelling). Voor elke ε > 0 is er een N zodanig dat voor alle n N, alle deelverzamelingen van minstens εn punten in het rooster {1,..., n} {1,..., n} een hoek hebben, d.w.z. drie punten van de vorm (x, y), (x + h, y), (x, y + h). Bewijs. Laat A een deelverzameling zijn van {1,..., n} {1,..., n} met A εn. Bekijk de tripartiete graaf G = (V, E), gedefinieerd als volgt: 1. De puntenverzameling is gedefinieerd als V = V 1 V V 3, waar V 1, V, V 3 de horizontale, verticale en diagonale lijnen van {1,..., n} {1,..., n} zijn respectievelijk. De diagonale lijnen lopen van linksboven naar rechtsonder.. Er is een zijde van een lijn in V i naar een lijn in V j dan en slechts dan als het snijpunt van de lijnen tot A behoort. Figuur 3.1 illustreert dit. Nu is het aantal punten van G gelijk aan V 1 + V + V 3 = n + n + n 3 = 4n 3. De driehoeken van G corresponderen met de hoeken van A, inclusief de triviale (x, y), (x, y), (x, y) hoeken. De tripartiete graaf G heeft meer dan A εn triviale driehoeken en ze zijn allemaal disjunct. We moeten dus minimaal εn zijden verwijderen om alle driehoeken uit G te verwijderen. Met het Triangle removal lemma zien we dat er een δ is zodanig dat G minimaal δn 3 driehoeken bevat. Omdat G maximaal n triviale driehoeken heeft, heeft hij in totaal minimaal δn 3 n niet-triviale driehoeken. 0

Figuur 3.1: Links is een 7 7 raster te zien. De horizontale en verticale lijnen zijn in het zwart genummerd. De blauwe getallen geven het nummer van de diagonale lijnen aan. De rode punten zijn punten die bevat zijn in A, deze vormen samen een hoek. Rechts is te zien hoe dat zich in G vertaalt in een driehoek. Als we n nu groot genoeg kiezen, geldt δn 3 n = n (δn 1) > 1. We concluderen dat G een niet-triviale driehoek bevat, wat betekent dat A een hoek heeft van de vorm (x, y), (x + h, y), (x, y + h) met h 0. We hebben nu onze laatste toepassing van het regulariteitslemma binnen de getaltheorie bekeken. In het volgende hoofdstuk gaan we kijken naar toepassingen binnen een ander vakgebied, de extremale grafentheorie. 1

4 Extremale grafentheorie Ook in de extremale grafentheorie zijn tal van toepassingen van Szemerédi s regulariteitslemma te vinden. Wij gaan in dit hoofdstuk kijken naar de stelling van Turán en de stelling van Erdös en Stone. In dit hoofdstuk hebben we gebruik gemaakt van definities en lemma s uit Diestels Graph Theory [1]. 4.1 Deelgrafen We houden ons in deze sectie bezig met de vraag: Als we een graaf G op n punten en een graaf H met n H hebben, hoeveel zijden hebben we dan nodig om H als deelgraaf van G te vinden, ongeacht de manier waarop we de zijden rangschikken? We kunnen de vraag ook anders stellen: Wat is het grootst mogelijk aantal zijden dat een graaf kan hebben, zonder de deelgraaf H te bevatten? We gaan op zoek naar het antwoord op deze vragen. Eerst volgen een aantal definities. Definitie 4.1 (Extremale graaf). Laat H een graaf zijn. Een graaf G H op n punten met het grootst mogelijk aantal zijden is extremaal voor n en H. Met ex(n, H) noteren we het aantal zijden van G. Definitie 4. (Lijnmaximale graaf). Zij H een graaf. We noemen een graaf G lijnmaximaal met H G als G het grootst mogelijke aantal zijden bevat zonder H als deelgraaf te bevatten. Elke graaf G die extremaal is voor een n en een H is ook lijn-maximaal met H G. Andersom hoeft lijnmaximaliteit niet extremaliteit te impliceren. Het verschil tussen de twee begrippen wordt duidelijker met het volgende voorbeeld. Schrijf K r voor de volledige graaf op r punten. Als we het geval H = K r met r > 1 bekijken, dan is elke volledige (r 1)-partiete graaf G lijn-maximaal met K r G. We kunnen ons nu afvragen welke van deze grafen de meeste zijden bevat. Dit blijken de grafen te zijn waarvan de partitieverzamelingen qua grootte met maximaal één verschillen. Als we een volledige (r 1)-partiete graaf bekijken waarbij voor twee partitieverzameling V 1 en V geldt V 1 V, dan kunnen we het aantal zijden in de graaf vergroten door een punt van V 1 naar V te verplaatsen. De unieke volledige (r 1)-partiete grafen waarvan de partitieverzamelingen zo gelijk mogelijk zijn noemen we Turán grafen. Definitie 4.3 (Turán graaf). Een Turán graaf T r (n) is een volledige (r)-partiete graaf op n r punten waarvan de partitieverzamelingen qua grootte met maximaal één

verschillen. Turán grafen zijn uniek. We noteren het aantal zijden van deze grafen met t r 1 (n). Opmerking. Stel n < r. Dan kunnen we alle punten in een eigen partitieverzameling stoppen en zijn er één of meerdere partitieverzamelingen leeg (wat tegenstrijdig is met onze definitie van een partitie). In dit geval is T r (n) = K n voor alle n r. Het feit dat T r 1 (n) extremaal is voor n en K r zien we in de volgende stelling. Stelling 4.4 (Stelling van Turán). Voor alle gehele getallen n en r met r > 1, is elke graaf G K r met n punten en ex(n, K r ) zijden een T r 1 (n). Bewijs. We hebben net gezien dat van alle volledige k-partiete grafen op n punten de Turán grafen het grootste aantal zijden bevatten. Daarnaast weten we dat de graaf T r 1 (n) meer zijden heeft dan elke graaf T k (n) met k < r 1. Als we nu nog aantonen dat G een volledige multipartiete graaf is, dan zijn we klaar met het bewijs. We gaan dit doen aan de hand van een bewijs uit het ongerijmde. Stel dat G = (V, E) geen volledige multipartiete graaf is. Dan zijn er punten y 1, y, x V zodanig dat y 1 x, y x / E, maar y 1 y E. Schrijf d(y) voor de graad van een punt y. Als d(y 1 ) > d(x), dan kunnen we x verwijderen en y 1 kopiëren, zodat we een andere K r -vrije graaf krijgen die meer zijden heeft dan G. Dit is in tegenspraak met het feit dat G extremaal is voor n en K r. We vinden dus dat d(y 1 ) d(x). Op eenzelfde manier vinden we dat d(y ) d(x). Nu kunnen we y 1 en y verwijderen en x tweemaal kopiëren, zodat we een K r -vrije graaf krijgen die meer zijden bevat dan G. Dit zorgt opnieuw voor een tegenspraak met het feit dat G extremaal is voor n en K r. Als we bij de graaf T r 1 (n) een punt tekenen die we verbinden met alle punten uit T r 1 (n), dan onstaat er een nieuwe graaf die K r als deelgraaf heeft. De volgende stelling vertelt ons dat als we εn zijden (voor vaste ε > 0 en grote n) toevoegen, we niet alleen K r, maar K r s als deelgraaf krijgen. De graaf K r s is een volledige r-partiete graaf waarbij elke partitieverzameling s punten omvat. Stelling 4.5 (Stelling van Erdös en Stone). Voor alle gehele getallen r, s 1 en elke ε > 0 is er een geheel getal n 0 zodanig dat elke graaf met n n 0 punten en minimaal t r 1 (n) + εn zijden de deelgraaf K r s bevat. Het bewijs van deze stelling zal volgen in sectie 4.. De stelling van Erdös en Stone heeft een belangrijk gevolg. Dit gevolg heeft de stelling als een meta-stelling binnen de extremale grafentheorie voor dichte grafen gevestigd, wat de stelling beroemd heeft gemaakt. De dichtheid van een graaf G = (V, E) wordt gegeven door d := E / ( ) V. Het meet hoeveel zijden H heeft vergeleken met het maximum aantal zijden dat H kan hebben. Voor een graaf H en een geheel getal n staat h n := ex(n, H) ( n ) 3

voor de maximale dichtheid dat een graaf op n punten kan hebben zonder H te bevatten. Het gevolg vertelt dat de limiet van h n bepaald is door het chromatische getal van H. Het chromatische getal van H is het minimale aantal kleuren dat nodig is om H te kleuren en wordt genoteerd als χ(h)). Gevolg 4.6. Voor elke graaf H met ten minste één zijde, geldt ( ) 1 n lim ex(n, H) = χ(h) n χ(h) 1. Voor het bewijs van dit gevolg hebben we het volgende lemma nodig. Lemma 4.7. Er geldt dat lim t r 1(n) n ( n ) 1 = r r 1. Bewijs. We weten dat T r 1 (n) meer lijnen bevat dan elke T r 1 (k) met k < n. Dit heeft als gevolg dat ) ( ) t r 1 ((r 1) t r 1 (n) t r 1 (r 1). (4.1) n r 1 n r 1 De linkergrens van (4.1) heeft de grootte van de Turán graaf op r 1 gelijke partities van afmeting ( n r 1. Deze graaf bevat r 1 ) n r 1 zijden. Dus we kunnen schrijven ) ( ) n r 1 n t r 1 ((r 1) = r 1 r 1 (r 1)(r ) n = r 1 n r r 1. Hiermee vinden we dat ) n t r 1 ((r 1) r 1 Voor n is dit gelijk aan r r 1 lim n t r 1 ( (r 1) ( ) 1 n n. Dit betekent dat ) n r 1 r r 1 = r r 1 ( n n n 1. ) 1 = r r 1. ( ) 1 n Hetzelfde kunnen we doen voor de rechtergrens van (4.1), die de grootte heeft van de Turán graaf op r 1 partities van afmeting ( n r 1. Dan vinden we dat tr 1 (r 1) n ) r 1 ook als limiet r r 1 heeft. We concluderen dat t r 1 (n) wordt begrensd door twee waarden die allebei limiet r r 1 hebben, wat betekent dat ook lim n t r 1 (n) = r r 1. 4

Nu kunnen we gevolg 4.6 bewijzen. We gaan dit op eenzelfde manier doen als hierboven, door ex(n, H) van onder en van boven te begrenzen. Bewijs van gevolg 4.6. Laat r := χ(h). We hebben dus minimaal r kleuren nodig om H te kleuren. Aangezien χ(t r 1 (n)) = r 1, is H T r 1 (n) voor alle n N. Dus t r 1 (n) ex(n, H). Omdat het chromatische getal van H gelijk is aan r, is H Ks r genoeg zijn. Dus voor al deze s geldt er voor alle s die groot ex(n, H) ex(n, K r s ). Kies een s groot genoeg dat H K r s. Met stelling 4.5 weten we dat voor alle ε > 0 en n groot genoeg, een graaf met minimaal t r 1 (n) + εn zijden K r s als deelgraaf bevat. Dit betekent dat ex(n, K r s ) < t r 1 (n) + εn, voor alle ε > 0 en n groot genoeg. Voor grote n zien we nu het volgende: ( ) 1 ( ) 1 ( n n n t r 1 (n) ex(n, H) ex(n, Ks r ) ( ) 1 n < (t r 1 (n) + εn ) ( ) 1 n = t r 1 (n) + ε 1 1 n ( ) 1 n t r 1 (n) + 4ε, waarbij we aannemen dat n. Met lemma 4.7 weten we dat t r 1 (n) ( n 1 ) convergeert naar r. Nu weten we dat ex(n, H)( n 1 r 1 ) dezelfde limiet heeft. Er geldt dus lim ex(n, H) n ( n ) 1 = r r 1 = χ(h) χ(h) 1. ) 1 We zijn aangekomen bij het eind van deze sectie. stelling van Erdös en Stone bewezen. In de volgende sectie wordt de 4. Bewijs van Erdös en Stone We zijn bijna toegekomen aan het bewijs van Erdös-Stone, stelling 4.5. Er rest ons nog één lemma te introduceren. Voor dit lemma bekijken we eerst het volgende. 5

Laat G een graaf met een ε-reguliere partitie {V 0, V 1,..., V k } zijn, met exceptionele verzameling V 0 en l := V 1 = = V k. Voor gegeven d (0, 1], laat R de graaf met punten V 1,..., V k en waar punten met elkaar verbonden zijn alleen als zij in G een ε-regulier paar vormen van minimale dichtheid d. Deze graaf R noemen we de regulariteitsgraaf van G met parameters ε, l en d. Voor een gegeven s N vervangen we nu elk punt V i van R door een verzameling Vi s bestaande uit s punten. Daarnaast vervangen we elke zijde van R door een volledige bipartiete graaf tussen de corresponderende s-verzamelingen. De graaf die we nu hebben verkregen noteren we met R s. Het onderstaande lemma zegt dat deelgrafen van R s ook deelgrafen zijn van de oorspronkelijke graaf G, onder de voorwaarde dat ε klein genoeg en V i groot genoeg is. Feitelijk hangen de waarden van ε en l alleen af van d en de maximale graad van de deelgraaf. In onderstaand lemma gebruiken we de notatie (H), wat de maximum graad van een graaf H aanduidt. Lemma 4.8. Voor alle d (0, 1] en 1 is er een ε 0 > 0 met de volgende eigenschap: als G een graaf is, H een graaf met (H), s N en R is een regulariteitsgraaf van G met parameters ε ε 0, l s ε 0 en d, dan geldt H R s H G. Bewijs. Laat 0 < d 1 en 1 gegeven zijn. Kies ε 0 < d zodanig dat + 1 (d ε 0 ) ε 0 1. (4.) +1 We kunnen een ε 0 vinden die hier aan voldoet, want ε convergeert naar 0 voor (d ε) ε 0. Zij nu G, H, s en R zoals vermeld in dit lemma. Laat {V 0, V 1,..., V k } de ε-reguliere partitie van G waarbij R tot stand kwam. Dan is V (R) = {V 1,..., V k }, l = V 1 = = V k en ε ε 0. Laat H een deelgraaf van R s zijn met punten u 1,..., u h. Elk punt u i ligt in een van de verzamelingen Vj s van R s, wat een afbeelding σ : i j aanduidt. We willen een inbedding u i v i V σ(i) definiëren van H in G. Dan zijn alle v i verschillend voor i = 1,..., h en v i v j is een zijde van G als u i u j een zijde is van H. We gaan de punten v i inductief kiezen. Door dit hele bewijs zullen we, voor elke i, Y i V σ(i) aanduiden als de doelverzameling v i : de verzameling van alle mogelijke kandidaten voor de keuze van v i. Aan het begin is Y i V σ(i). Hoe verder het proces loopt, hoe kleiner de verzameling Y i wordt, tot het {v i } wordt als we v i hebben gekozen. Namelijk, als we een punt v j met j < i hebben gekozen en u j u i E(H), dan verwijderen we alle punten uit Y i die geen buur zijn van v j. Dan zien we dat de verzameling Y i zich ontwikkelt als V σ(i) = Yi 0 Yi 1 Yi i = {v i }, waar Y j i de versie van Y i aanduidt ná de definitie van v j en eventuele verwijderingen van punten uit Y j 1 i. 6

Voor een goed verloop van dit proces, moeten we er voor zorgen dat Y i niet te klein wordt. Als we u j willen inbedden, bekijken we alle punten i > j met u j u i E(H). Omdat (H), zijn er maximaal van zulke i. Voor elk van deze i, willen we v j zo kiezen dat Y j i = N(v j ) Y j 1 i (4.3) groot is, dat wil zeggen niet veel kleiner dan Y j 1 i. Onderstaande claim kunnen we hier bij gebruiken. Claim: Laat (A, B) een ε-regulier paar van dichtheid d en laat Y B met Y ε B. Dan hebben op een maximaal aantal van ε A na, alle punten in A elk minimaal (d ε) Y buren in Y. Bewijs: Laat X A de verzameling punten met minder dan (d ε) Y buren in Y zijn. We willen nu aantonen dat deze verzameling kleiner is dan ε A, dan is het bewijs klaar. Er geldt dat e(x, Y ) < (d ε) Y X, dus d(x, Y ) = e(x, Y ) X Y < (d ε) Y X X Y = d ε = d(a, B) ε. Stel X ε A. Omdat (A, B) een ε-regulier paar is, volgt nu dat d(a, B) d(x, Y ) ε. Dit is in tegenspraak met d(x, Y ) < d(a, B) ε. Nu hebben we de claim bewezen. Wanneer we A = V σ(j), B = V σ(i) en Y = Y j 1 i nemen, kunnen we als Y j 1 i > εl bovenstaande claim gebruiken. Dit lemma geeft ons dan, samen met (4.3), Y j i = N(v j) Y j 1 i (d ε) Y j 1 i. (4.4) Als we dit voor alle behalve de maximaal waarden van i doen, dan vinden we dat alle behalve maximaal εl keuzes van v j uit V σ(j), en in het bijzonder van Y j 1 j V σ(j), voldoen aan Y j j 1 i (d ε) Yi voor alle i. Nu willen we nog aantonen dat de verzamelingen Y j 1 i, die we nodig hebben om de claim toe te passen, inderdaad niet kleiner dan εl worden. Tot slot moeten we laten zien dat Y j 1 j εl s om zeker te weten dat er een geschikte keus voor v j bestaat. Er geldt namelijk σ(j ) = σ(j) voor s 1 van de punten u j met j < j. Daarom zal een keus tussen s verschillende geschikte kandidaten voor v j volstaan om v j verschillend van v 1,..., v j 1 te houden. We willen dus dat Y j 1 j εl s. Er is gegeven dat Yi 0 = l voor alle i en uit elke Y i verwijderen we zijden alleen als een v j met j < i en u j u i E(H) gedefinieerd is. Dit laatste gebeurt maximaal keer. Hieruit volgt dat Y j i (d ε) l, wat weer resulteert in Y j i εl (d ε) l εl (d ε 0 ) l ε 0 l ( + 1)ε 0 l ε 0 l = ε 0 l s als j < i. De eerste ongelijkheid is een gevolg van (4.4), en de derde volgt uit (4.). Dus in het bijzonder is Y j i ε 0l εl en Y j 1 j εl s. 7