Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben oktober 9
Inleiding In dit rapport zal gekeken worden naar verschillende problemen die een chemicus tegenkwam bij zijn werk Er zal worden gekeken hoe een oplossing zoutzuur van een bepaalde concentratie zo goedkoop mogelijk kan worden verkregen Verder bestuderen we of en hoe een aantal stoffen (enkel natuurkundig gezien) kunnen reageren en hoe de verhoudingen van de reactieproducten afhangen van de beginverhoudingen van de stoffen Deze problemen zullen we oplossen met behulp van lineaire algebra Eerst zal in meer detail op het probleem worden ingegaan, waarna in hoofdstuk voor dit probleem een model opgesteld zal worden Dit model zal uitmonden in een aantal matrixvergelijkingen die in hoofdstuk 4 verder geanalyseerd zullen worden Uiteindelijk kan hier een oplossing voor het probleem uit worden afgeleid, die in hoofdstuk besproken zal worden Hoofdstuk 6 geeft nog een extra terugblik op het verslag en hier zullen de verkregen resultaten nog een keer worden samengevat Probleem en concrete vragen Het probleem is opgesplitst in drie afzonderlijke vragen, die we dan ook afzonderlijk zullen bekijken De eerste gaat over het mengen van oplossingen met verschillende concentraties en de tweede en derde gaan over reacties tussen stoffen vraag : Ten eerste zal worden gekeken hoe een oplossing zoutzuur van een bepaalde concentratatie zo goedkoop mogelijk gemaakt kan worden Hierbij staan drie oplossingen zoutzuur van verschillende concentraties en prijs ter beschikking Er is een oplossing met % zoutzuur voor e,- per liter, een oplossing met % zoutzuur voor e4,- per liter en een oplossing met 6% zoutzuur voor e9,- per liter Deze oplossingen kunnen wel met elkaar worden gemengd, maar niet met andere vloeistoffen omdat er dan misschien vervuilde mengsels ontstaan Hierdoor kunnen alle concentraties tussen de % en 6% verkregen worden Het is nu nog de vraag op welke manier een bepaalde concentratie zo goedkoop mogelijk gemaakt kan worden Verder rijst er nog de vraag of het misschien goedkoper is om er nog een oplossing van een andere concentratie bij te kopen Er is namelijk ook een oplossing met een concentratie van % zoutzuur die e8,- per liter kost Daarom zal ook worden gekeken hoe duur het is om deze eerste drie oplossingen te mengen tot een oplossing van procent zoutzuur, zodat deze prijs vergeleken kan worden met de inkoopprijs vraag : Het tweede probleem bekijkt de verhouding waarin stoffen bij elkaar gevoegd moeten worden, zodat, theoretisch gezien, een scheikundige reactie kan verlopen en een aantal gewenste reactieproducten kunnen ontstaan Dit probleem moet opgelost worden voor vier reactie Deze vier deelproblemen noemen we in het vervolg de vragen,, en 4: - Vraag : De reactie waarbij Ca(OH) (gebluste kalk) en KNO (kaliumnitriet) als enige eindstoffen worden verkregen met de beginstoffen CaO (gebrande of ongebluste kalk), HNO (salpeterzuur) en KNO (kali-salpeter of kaliumnitraat) - Vraag : De reactie met dezelfde eindproducten als bij, maar met beginstoffen H O (water), CaO (gebrande of ongebluste kalk), en KNO (kali-salpeter of kaliumnitraat) - Vraag : De reactie van KCl, ClO en H O tot HCl en KClO - Vraag 4: De verhouding waarin Cu S, H + en NO kunnen reageren tot Cu+, NO, S 8 en H O vraag : De derde vraag lijkt op de tweede, er is nu echter bekend dat HCl en KClO in verschillende verhoudingen reageren tot KCl, Cl en ClO Er zal worden uitgezocht in welke verhoudingen deze zelfde beginproducten (HCl en KClO ) kunnen reageren tot KCl, Cl en H O en hoe de opbrengst van Cl en ClO afhangt van de samenstelling van het beginmengsel
Modelleren naar stelsels lineaire vergelijkingen In dit hoofdstuk zal aangegeven worden hoe de vragen uit het vorige hoofdstuk vertaald zullen worden naar wiskundige vergelijkingen Hierbij zal hoofdzakelijk gebruik worden gemaakt van stelsels lineaire vergelijkingen en matrices Het model bestaat uit twee delen Het eerste deel behandelt vraag, over het mengen van vloeistoffen met verschillende concentraties Het tweede deel behandelt de vragen en Omdat het in beide vragen gaat om het oplossen van chemische vergelijkingen, kunnen beide vragen met hetzelfde model opgelost worden Mengen van vloeistoffen met verschillende concentraties Er is sprake van mengsels met verschillende concentraties HCl die gemengd moeten worden om een mengsel te verkrijgen met een andere concentratie dan de beginstoffen We introduceren de volgende variabelen: x, x, x : de hoeveelheden van de mengsels, en c, c, c : de concentraties van de mengsels, en : respectievelijk, en 6 p, p, p : de prijzen van mengsels, en per liter vloeistof, respectievelijk: e, e4 en e9 p e : de prijs van het gemaakte mengsel per liter vloeistof V n en V t : respectievelijk het nuttige volume (volume HCl) en het totale volume vloeistof c gew : gewenste concentratie, dus V n /V t, liggend tussen de en 6 De volgende formules zijn geldig: p e = x p + x p + x p () V n = x c + x c + x c, () V t = x + x + x () V n = c gew V t (4) met de vergelijkingen, en hebben we een stelsel vergelijkingen In parametrische vector vorm: x p c + x p c + x p c = p e V n V t In matrixnotatie en met gebruik van 4 : p p p x p e c c c x = c gew V t () x V t Dit is een vergelijking in de vorm Ax=b en kan worden opgelost Analyse van de oplossingsmogelijkheden volgt in het volgende hoofdstuk, aangezien de oplossingen afhankelijk zijn van de ingevulde waarden
Oplossen van reactievergelijkingen De manier om vergelijkingen op te lossen wordt getoond aan de hand van een voorbeeld Als voorbeeld wordt vraag gebruikt Voor de overige vragen wordt alleen de reactievergelijking en de matrixvergelijking gegeven Vraag : We beginnen met de reactievergelijking: x CaO + x KNO + x HNO x 4 Ca(OH) + KNO De stoffen kunnen geschreven worden als vectoren Elk element uit de vector betekent het aantal keer voorkomen van het scheikundige element dat links in die rij staat aangegeven De getallen zijn de coëfficiënten van het scheikundig element: Ca O K N H x + x + x = x 4 +, x 4 en naar de linkerkant halen geeft: Ca O K x N + x + x + x 4 + x = H In matrix- vectorproduct: Ca O K N H x x x x 4 = Deze vergelijking in de vorm Ax=b kan worden opgelost Anders gezegd komt het er op neer om de nulruimte van de bovenstaande matrix te vinden Vraag : Reactievergelijking: x CaO + x KNO + x H O x 4 Ca(OH) + KNO In matrix- vectorproduct: Ca O K N H x x x x 4 =
Vraag : Reactievergelijking: x KCl + x ClO + x H O x 4 HCl + KClO In matrix- vectorproduct: x K Cl x O x x H 4 = Vraag 4: Reactievergelijking: x Cu S + x H + + x NO x 4Cu + + NO + x 6 S 8 + x 7 H O De lading wordt als aparte rij meegenomen Een positieve lading wordt met een positief getal aangegeven en een negatieve lading met een negatief getal In matrix- vectorproduct: Cu S H N O lading 8 x x x x 4 x 6 x 7 = Vraag : x HCl + x KClO x KCl + x 4 Cl + ClO + x 6 H O In matrix- vectorproduct: x H x Cl x K x 4 = O x 6 Wat moet er uitgerekend worden Bij het eerste probleem ging het erom zo goedkoop mogelijk een oplossing met een bepaalde concentratie te verkrijgen Deze kan verkregen worden door het mengen van andere oplossingen We willen hiervoor een oplossing van liter maken, omdat de koopprijs ook per liter is gegeven, dus V t = Samen met het invullen van de andere waarden, geeft dit de volgende vergelijking: 4 9 x p e 6 x = c gew x 4
Ten eerste moet er een formule voor p e worden gevonden vanuit dit model Aangezien de uitkomstvector mogelijk drie elementen met de p e daarin zal bevatten, zal de formule die de laagste waardes geeft voor p e gebruikt moeten worden Randvoorwaarde is natuurlijk dat er geen negatieve hoeveelheden van een oplossing gebruikt mogen worden Verder moet nog gekeken worden hoe duur het is om door middel van mengen een oplossing met een concentratie van % zoutzuur te verkrijgen Uit de waarde voor de prijs kan dan besloten worden of het goedkoper is om deze te kopen Om dit te berekenen zullen we dus in de formule van p e die hiervoor uit het model is bepaald invullen c gew = Voor het tweede en derde vraagstuk zal, zoals gezegd, de nulruimte gevonden moeten worden van de gegeven matrices Van de nulruimte weten we vooraf aan de berekening al dat alleen de volgende oplossingen kunnen voorkomen: de triviale oplossing Dit betekent in praktijk dat er niets gebeurt Er zijn immers geen begin en eindstoffen oneindig veel oplossingen in de vorm van een lineaire combinatie van tot 4 vectoren Er zal wiskundig gezien dus altijd een oplossing gevonden kunnen worden
4 Analyse: oplossen van stelsels vergelijkingen Nu in het vorige hoofdstuk voor alle vragen een wiskundig model is opgesteld, zullen hier de waarden ingevuld worden, zodat het model opgelost kan worden 4 Mengen van vloeistoffen met verschillende concentraties Om deze vergelijking op te lossen maken we een aangevulde matrix, die we vervolgens door middel van rijoperaties naar kanonieke rijvorm brengen: 4 9 p e + c gew p e 6 c gew 6 7 c gew + 4 p e + c gew p e De oplossing is dus: x = x x = + c gew p e 6 7 c gew + 4 p e (6) x + c gew p e In het model is de randvoowaarde gesteld dat x, x, x Onder deze voorwaarde moet p e zo klein mogelijk gekozen worden Om dit te bereiken moet x = x = x = opgelost worden en moet uit deze oplossingen moet de kleinste waarde p e worden gezocht x = + c gew p e = x = 6 7 c gew + 4 p e = x = + c gew p e = p e = + 6 c gew p e = + 7 c gew p e = + c gew In de grafiek is te zien, dat p e voor alle waarden van c gew het kleinste is, de formule die geldt is daarom: p e = + 7 c gew 6
Dit invullen in de oplossing 6 geeft: x c gew x = x = x + c gew Verder geeft het invullen van c gew = in de formule voor p e : p e = + 7 c gew = + 7 = 7 4 Oplossen van reactievergelijkingen Om de matrixvergelijkingen die in het model zijn opgesteld op te lossen, moet de nulruimte worden gevonden Om deze te vinden worden de matrices naar kanonieke rijvorm omgeschreven Vraag Deze matrix heeft dus alleen de nulvector als nulruimte Vraag Deze matrix heeft een vrije variabele en heeft hierdoor oneindig veel oplossingen in in R x x 4 x x = x x 4 = x 4 x 4 = x 4 = Span Vraag 6/ / 6/ Ook deze matrix heeft een vrije variabele en dus oneindig veel oplossingen in R x x 6 x 6 6 x = x = x = = Span x 4 6 x 6 6 7
Vraag 4 8 /8 / /4 / /64 Deze matrix geeft als oplossing (in R ): x = x x x x 4 x 6 x 7 = 8 x 7 x 7 x 7 4 x 7 x 7 64 x 7 x 7 = x 7 8 4 64 = Span 8 4 64 Vraag / / / / / Deze matrix heeft meerdere vrije variabele en dus oneindig veel oplossingen in R x = x x x x 4 x 6 = x 6 + x 6 + x 6 + x 6 x 6 = + x 6 = Span, 8
Betekenis van de resultaten in praktijk In dit hoofdstuk zullen we met behulp van de oplossingen van het model gaan kijken wat dit in de praktijk betekent voor de oplossingen van het probleem Mengen van vloeistoffen met verschillende concentraties Als wordt gekeken naar het maken van een oplossing met een bepaalde concentratie, blijkt dat dit het goedkoopst is als er alleen gebruik wordt gemaakt van de oplossingen met % en 6% zoutzuur Om de precieze hoeveelheden die van deze twee oplossingen gebruikt moeten worden te weten te komen, moeten twee redelijk eenvoudige formules ingevuld worden: - aantal liter oplossing met een concentratie van % = - gewenste concentratie, - aantal liter oplossing met een concentratie van 6% = - + gewenste concentratie Voor de gewenste concentratie mag enkel een getal tussen de en 6 worden ingevuld Andere oplossingen zijn niet te maken met de gegeven beginconcentraties Daarnaast volgt uit de analyse dat het e7, per liter kost om een oplossing met een concentratie van % zoutzuur te verkijgen Het is dus goedkoper om deze oplossing te maken door middel van mengen dan om hem te kopen voor e8,- per liter Oplossen van reactievergelijkingen Vraag Bij deze vergelijking kwam er als oplossing dat alle hoeveelheden nul moeten zijn Bij de hoeveelheid nul voor begin- en eindstoffen gebeurt er echter helemaal niets en dus geldt dat deze reactie nooit kan plaatsvinden Met CaO, KNO en HNO als beginstoffen, kunnen nooit Ca(OH) en KNO als eindproducten worden verkregen Vraag Er is wel een oplossing voor de tweede reactie, deze is namelijk: CaO + KNO + H O Ca(OH) + KNO Dit betekent wel dat één van de beginstoffen niet nodig is voor de reactie en dat één van de eindstoffen niet ontstaat De reactie wordt dus: CaO + H O Ca(OH) Dus ook met CaO KNO en H O als beginstoffen kunnen Ca(OH) en KNO niet als enige eindproducten worden verkregen Vraag Voor de derde reactie is een oplossing te vinden, KCl + 6 ClO + H O 6 HCl + KClO Aangezien er in reactievergelijkingen echter nooit met gebroken coëfficiënten wordt gewerkt, is de echte oplossing: KCl + 6 ClO + H O 6 HCl + KClO Deze beginproducten kunnen dus wel reageren tot de gevraagde eindproducten Vraag 4 Voor de vierde reactie geldt hetzelfde als voor de derde, ook hier moeten de breuken weggewerkt worden De verhouding waarin de beginproducten tot de eindproducten reageren is dan: 4Cu S + 8H + + NO 48Cu+ + NO + S 8 + 64H O 9
Vraag Bij deze reactie zijn er oneindig veel oplossingen mogelijk, deze kunnen worden samengevat als: c HCl + ( c + c ) KClO ( c + c ) KCl + ( c + c ) Cl + c ClO + c H O Waarbij je voor de constanten c en c alle mogelijke positieve waarden in kunt vullen, zolang er maar geldt: c c en c, c, zodat er geen negatieve coëfficiënten zijn Uit deze reactie is te zien, dat de hoeveelheid ClO die ontstaat alleen afhangt van de hoeveelheid KClO en niet van de hoeveelheid HCl De hoeveelheid Cl hangt daarentegen wel af van de hoeveelheid van beide beginstoffen Het kan dus ook dat een van de stoffen niet ontstaat, terwijl de reactie wel verloopt De verhouding tussen twee stoffen is gelijk aan de verhouding van de coëfficiënten: Ofwel: Cl ClO = c+c c Cl ClO = + c c, (c c ) (7) Door de conditie dat er geen negatieve coëfficiënten mogen zijn, is dus de verhouding c /c minimaal en dus elke verhouding Cl /ClO is te maken We gaan nu bepalen hoe deze verhouding gemaakt kan worden Daarvoor is eerst de verhouding van beginstoffen nodig: KClO HCl = c + c = c 6 + c, (c c ) (8) c Door 7 en 8 samen te nemen en om te schrijven volgt: KClO HCl = 6 + ClO 6Cl + ClO (9) Met formule 9 is bij elke gewenste hoeveelheid van de eindstoffen Cl en ClO de verhouding van beginstoffen te berekenen
6 De resultaten en aannames samengevat In dit rapport is gekeken naar concentraties van oplossingen en het verlopen van scheikundige reacties Bij het analyseren hiervan zijn slechts de natuurkundige aspecten van de reacties bestudeerd en zijn de scheikundige aspecten achterwege gelaten De oplossingen die op deze manier zijn verkregen, zijn voornamelijk in formulevorm Als eerste is gekeken hoe oplossingen van een bepaalde concentratie zo goedkoop mogelijk gemaakt kunnen worden, hierbij kon gebruik gemaakt worden van oplossingen met concentraties van %, % en 6% Hierbij zijn we er vanuit gegaan dat het mogelijk is om iedere concentratie te maken die ligt tussen de % en 6% Er bleek dat het goedkoper is om geen gebruik te maken van de oplossing met een concentratie van % Voor de twee overige oplossingen zijn formules gevonden waarmee berekend kan worden hoeveel liter er nodig is: - een concentratie van % = - gewenste concentratie, - een concentratie van 6% = - + gewenste concentratie Ook is een formule gevonden waarmee de prijs van het gemaakte mengsel kan worden berekend: - prijs = - + 7 gewenste concentratie Uit deze formule bleek dat het e7, kost om liter oplossing van % te maken, wat goedkoper is dan deze kopen voor e8,- voor liter Bij het oplossen van reactievergelijkingen met behulp van matrix vergelijkingen bleek dat de reactie CaO + KNO + HNO Ca(OH) + KNO niet kan plaatsvinden Als HNO vervangen wordt door H O kan de reactie wel plaatsvinden, maar is één van de beginstoffen niet nodig en kan één van de eindstoffen niet ontstaan: CaO + H O Ca(OH) De reactie die daarna is onderzocht kan wel helemaal kloppend gemaakt worden: KCl + 6 ClO + H O 6 HCl + KClO Ook voor de vierde reactie kan een oplossing worden gevonden, maar er geldt hier wel dat deze alleen op grote schaal kan plaatsvinden: 4Cu S + 8H + + NO 48Cu+ + NO + S 8 + 64H O Voor de laatste reactievergelijking die is onderzocht geldt inderdaad dat HCl en KClO in een aantal verhoudingen reageert tot KCl, Cl en ClO De hoeveelheid ClO die hierbij ontstaat is alleen afhankelijk van de hoeveelheid KClO, terwijl de hoeveelheid Cl van zowel de hoeveelheid KClO, als de hoeveelheid HCl afhangt De reactievergelijking hierbij is: c HCl + ( c + c ) KClO ( c + c ) KCl + ( c + c ) Cl + c ClO + c H O Hieruit volgt als verhouding tussen de hoeveelheden van begin- en eindstoffen: KClO HCl = 6 + ClO 6Cl + ClO