1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand AB = MN = Formules: Gegeven A ( x 1, y 1 ) en B (x 2, y 2 ) x1 + x2 y1 + y2 Dan heeft het midden van [A B] coördinaat : M (, ) 2 2 Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1.2 Rechten De algemene vergelijking van een rechte is: ax +by +c =0 Overzicht: a b c Besluit a 0 b 0 c 0 Schuine rechte a 0 b 0 c = 0 a = 0 b 0 c 0 a = 0 b 0 c = 0 a 0 b = 0 c 0 a 0 b = 0 c = 0 a = 0 b = 0 ( 2 1 2 y1 Praktisch: a y = mx + q wordt de vergelijking van een schuine rechte met rico m b y = k wordt de vergelijking van een horizontale rechte (// met de x-as) met rico 0. c x = l wordt de vergelijking van een verticale rechte (// met de y-as) de rico is niet gedefinieerd. Analytische meetkunde 3 de graad IW 1
Vergelijking van een rechte l door een punt A ( x 1, y 1 ) en met gegeven rico m: l y y = m ( x 1) 1 x Vergelijking van een rechte l door twee gegeven punten A ( x 1, y 1 ) en B (x 2, y 2 ) y2 y1 l y y1 = ( x x1) x x Opmerkingen: 2 Dus de rico van een rechte door twee punten = 1 (voorwaarde:..) Formules: Gegeven: a met rico m 1 en b met rico m 2 a // b m = m 1 a b m1 m2 = 1 (Waarvoor moet je opletten?) 2 Zoekopdracht: wat is de meetkundige betekenis van de rico van een rechte? Oefening: 1. Bepaal de vergelijking van AB 2. Bepaal de vergelijking van l door C en loodrecht op AB 3. Bepaal de coördinaat van het snijpunt van l en AB 4. Bepaal de vergelijking van MN onderzoek of MN // BC 1 5. Controleer of d( M, N) = d( B, C) 2 1.3 Oefeningen 1. P is het midden van [AB]. Zoek de coördinaat van B als de coördinaten van A en P gegeven zijn. 1.1 A(-4,1) P(0, 3) 1.2 A(6,-4) P(2,1) 2. Toon aan dat de driehoek met hoekpunten A (4, 10) B (10, 2 ) en C (-4, 4 ) rechthoekig en gelijkbenig is. 3. Bepaal de coördinaten van de punten die het lijnstuk [AB] in drie gelijke delen verdelen. A (-2, 4) B (10, 7) 4. Bewijs analytisch dat de zwaartelijn uit het hoekpunt van de rechte hoek van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de helft van de schuine zijde. Analytische meetkunde 3 de graad IW 2
5. ABCD is een rechthoek. Bewijs analytisch dat voor een willekeurig punt P geldt: PA ² + PC ² = PB ² + PD ² 6. ABC is een rechthoekige driehoek met rechte hoek in A. De lengten van de schuine zijde en de zwaartelijnen uit B en C zijn resp. a, m B, m C.Bewijs analytisch dat 4 a ² = ( m B ² + mc ²). 5 7. Bepaal een vergelijking van de loodlijn m uit P op de rechte l als gegeven is: 7.1 co( p) = ( 2,3) l 3x 4y 2 = 0 7.2 co( = (4, 2) 7.3 co( = (3,2) 7.4 co( = (2, 2) l x 2y + 1 = 0 l x = 4 l y = 3 1 1 1 3 7.5 co( = (, ) l x y + 8 = 0 2 2 2 4 8. Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn m van [PQ] als gegeven is: 8.1 co( = (6,4) co( Q) = ( 2,8) 8.2 co( = (2,1) co( Q) = (3,2) 8.3 co( = (2,3) co( Q) = (2,5) 8.4 co( = (4,3) co( Q) = ( 4,3) 9. Gegeven de driehoek met de hoekpunten A (0, 4), B (-2, 0), C(6, 0) 9.1 Stel de vergelijkingen op van de drie hoogtelijnen. 9.2 Bepaal de coördinaat van het hoogtepunt H. 9.3 Stel de vergelijkingen op van de drie zwaartelijnen. 9.4 Bepaal de coördinaat van het zwaartepunt Z. 9.5 Stel de vergelijkingen op van de drie middelloodlijnen. 9.6 Bepaal de coördinaat van het snijpunt M 9.7 Toon aan dat H, M, Z collineair zijn, bepaal de vergelijking van de rechte van Euler. 10. Zelfde vraag met A (-5, -3), B( 1, 5), C(7, 3) Analytische meetkunde 3 de graad IW 3
2 Afstand van een punt tot een rechte 2.1 Taak Bovenstaand plannetje stelt een nieuw industrieterrein voor langs de weg N236. Een bedrijf wil zich vestigen in O. Er moet een weg aangelegd worden vanaf het bedrijf naar de weg N236 : x + 2y - 5 = 0. Deze weg moet zo kort mogelijk zijn, d.w.z. dat hij haaks (loodrecht) op de weg N 236 moet staan. Aan de landmeters van IW worden volgende vragen gesteld: Wat is de vergelijking van de nieuwe weg? Bepaal de coördinaat van het punt waar de nieuwe weg aansluit op de N 236. Hoe lang is de nieuwe weg? 2.2 Definitie De afstand van een punt P tot een rechte l is de afstand tussen P en het voetpunt van de loodlijn uit P op l. Notatie: d( P, l ) = PS Tekening: Analytische meetkunde 3 de graad IW 4
2.3 Analytische uitdrukking Gegeven: P(x 1, y 1 ) en l : ax + by +c = 0 met a 0enb 0 Gevraagd: d(p, l) Oplossing: We zoeken een vergelijking van m, de loodlijn uit P op l We bepalen het snijpunt S van l en m We bepalen PS Analytische meetkunde 3 de graad IW 5
Analytische meetkunde 3 de graad IW 6
2.4 Normaalvergelijking Gegeven: l 3 x + 4y 7 = 0 a = 3, b = 4 a ² + b² = 5 3 7 7 l x + y = 0 is ook een vergelijking van l 5 5 5 Bereken nu d(p, l) met P (1, 2 ) 3 7 7 We noemen l x + y = 0 de normaalvergelijking vanl. 5 5 5 ax + by + c Algemeen: = 0 noemen we de normaalvergelijking van l ax + by + c = 0 a² + b² 2.5 Bissectrice van een rechtenpaar 2.5.1 Voorbeeld 1 a 3x 4y + 7 = 0 b 12x + 5y 6 = 0 Gevraagd de vergelijkingen van de bissectrices d 1 end 2 van a en b. Analytische meetkunde 3 de graad IW 7
2.5.2 Voorbeeld 2 Gegeven driehoek ABC met: co (A) = (-4, 6) co (B) = (1, -6) co (C) = (8, -3) Gevraagd: de binnenbissectrices d a van â. 2.6 Oefeningen 11. Bepaal een normaalvergelijking van de rechten met als vergelijking: 1. 3x 4y + 1 = 0 2. 2x 3y = 7 3. 4x + 4y 1 = 0 4. y = x + 5 5. y = 4 6. 7x + 4y = 0 12. Bepaal de afstand van de punten O(0, 0), A(2, 4) en B(-3, 1) tot de rechten met vergelijking: 1. 3x 4y + 8 = 0 5. y = 3 2. 2x + 3y + 1 = 7 3. 5x = 4y 4. x = 2 2 6. 3 7. 3 8 x y 1 = 0 3 x 2 y + 8 = 0 Analytische meetkunde 3 de graad IW 8
13. Bepaal de vergelijkingen van de bissectrices van volgende rechtenparen: 1. x = 0 en y = 0 2. x = 4en y = 5 3. 12x 5y + 13 = 0en3x + 4y 2 = 0 14. gegeven : a: 2x + y + 3 = 0 en b: 2x + y 2 =0 - bewijs dat a // b - bepaal d(a, b) 15. R mx y ( 5m + 2) = 0 stelt een familie rechten voor. Elke waarde van de parameter m bepaalt één rechte l van de familie. Verder is een punt P(8, -1) gegeven. Bepaal m zó dat: 1. d( P, l) = 2 2. d( P, l) = 0 3. d( P, l) = 6 16. Gegeven driehoek ABC met A(-2, 1), B(5, 4) en C(2, -3). Bereken de oppervlakte van driehoek ABC. 17. De lengte en de breedte van een rechthoek ABCD zijn l en b. Bewijs analytisch dat de l b afstand van het hoekpunt A tot de diagonaal [BD] gelijk is aan l² + b² 18. Bepaal een vergelijking van de middenparallel van de rechten: l 2 x y + 1 = 0en m 4x 2y + 7 = 0 19. Bepaal vergelijkingen van de rechten die door het punt P(4, -2) gaan en op een afstand 2 van de oorsprong. 20. Bepaal de punten die op rechte l liggen en op een afstand 3 van rechte m. l 5 x 12y + 15 = 0 en m 3x + 4y 12 = 0 Analytische meetkunde 3 de graad IW 9
3 De cirkel Zie nota s 4 De parabool Zie boek blz. 106 ev. 4.1 Definitie + vergelijking 4.2 Onderzoek Blz 107 4.3 Andere vormen van de topvergelijking 4.4 Constructie van de parabool Steunend op de definitie 4.5 Constructie met parametervergelijkingen Zie nota s + boek blz.110 4.6 Raaklijn in een punt van de parabool 4.7 Constructie van de raaklijn in een punt van de parabool 4.8 Normaal in een punt van de parabool 4.9 Hoofdeigenschap van de parabool 4.10 Optische eigenschap van de parabool 4.11 Raaklijnen uit een punt aan een parabool Analytische meetkunde 3 de graad IW 10
1 Herhaling... 1 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden... 1 1.2 Rechten... 1 1.3 Oefeningen... 2 2 Afstand van een punt tot een rechte... 4 2.1 Taak... 4 2.2 Definitie... 4 2.3 Analytische uitdrukking... 5 2.4 Normaalvergelijking... 7 2.5 Bissectrice van een rechtenpaar... 7 2.5.1 Voorbeeld 1... 7 2.5.2 Voorbeeld 2... 8 2.6 Oefeningen... 8 3 De cirkel... 10 4 De parabool... 10 4.1 Definitie + vergelijking... 10 4.2 Onderzoek... 10 4.3 Andere vormen van de topvergelijking... 10 4.4 Constructie van de parabool... 10 4.5 Constructie met parametervergelijkingen... 10 4.6 Raaklijn in een punt van de parabool... 10 4.7 Constructie van de raaklijn in een punt van de parabool... 10 4.8 Normaal in een punt van de parabool... 10 4.9 Hoofdeigenschap van de parabool... 10 4.10 Optische eigenschap van de parabool... 10 4.11 Raaklijnen uit een punt aan een parabool... 10 Analytische meetkunde 3 de graad IW 11