Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B het ontwerp Eindopdracht van wiskunde onderwijs in perspectief september 2016 transformaties het ontwerp
Wat is de aanleiding voor de cursus? De transformaties van grafieken is lastig. Mijn leerlingen in de 5e klas hebben dat vorig jaar niet echt goed gehad, maar bij de goniometrie is het wel een belangrijk onderdeel dus er moet zeker iets aan gebeuren. Voor welke leerlingen? Op de korte termijn is het voor 5 HAVO wiskunde B. Later in het jaar is deel 1 (hoofdstuk 4 en 5) ook bruikbaar voor 4 HAVO wiskunde B. Deel 2 (hoofdstuk 8) kan mogelijk aan het einde van de 4e klas. Welke voorkennis is nodig? Uit klas 4: hoofdstuk 4 - werken met formules met name de voorkennis en wortelformule. hoofdstuk 5 met een overzicht van transformaties, exponentiele functies en logaritmische functies. Subdomein B1: Standaardfuncties De kandidaat kan standaardfuncties (machtsfuncties, exponentiële en logaritmische functies en goniometrische functies) hanteren, interpreteren binnen een context, de grafieken beschrijven en in een functievoorschrift vastleggen en werken met eenvoudige transformaties. Subdomein B4: Periodieke functies De kandidaat kan periodieke verschijnselen beschrijven door middel van sinus- of cosinusfuncties, de bijbehorende sinusoïden tekenen en de karakteristieke eigenschappen ervan benoemen en alle oplossingen van een goniometrische vergelijking op een gegeven interval bepalen. Welk bronnen heb je nodig? Ik ga wiskundeleraar.nl gebruiken, in combinatie met DWO, Desmos grafieken programma, PHET interactieve applet en de grafische rekenmachine. Zie hulpmiddelen op wiskundeleraar.nl Ik heb al een aantal documenten uit voorraad leverbaar: - formules maken in een notendop - overzicht transformaties van grafieken Ik heb wel 's een poging gedaan om zoiets te maken. Zie transformaties van grafieken Hoe past de cursus in het (examen-)programma? Zie 't examenprogramm HAVO wiskunde B
Expliciteren van de leerdoelen B1: Standaardfuncties Hanteren, interpresteren en beschrijven. Functievoorschrift opstellen en werken met eenvoudige transformaties: Machtsfuncties Exponentiele functies Logaritmische functies Goniometrische functies B4: Periodieke functies Periodieke verschijnselen beschrijven als sinus- en cosinusfunctie Sinusoiden tekenen Karakteristieke eigenschappen benoemen Alle oplossingen van goniometrische verlijkingen op een gegeven interval bepalen Welke producten gaan de leerlingen maken? Leerlingen maken opdrachten. Zowel op papier, via de website (?) en DWO. Wat zijn de beschikbare hulpmiddelen? Website, DWO, GR en Magister. Te maken lesmateriaal Deel 1: bij hoofdstuk 4 en 5 uit deel 1 en 2 uit de 4e klas: standaardfuncties en eenvoudige transformaties Deel 2: bij hoofdstuk 8 uit deel 2: goniometrie en transformaties Hoeveel tijd hebben leerlingen nodig? Vier instructieuren met taakgerichte instructie Begeleidingsuren voor het maken van de opdrachten Eindtoets 40 minuten. Beoordelingscriteria vaststellen Geselecteerde examenopgaven maken uit oude examens Resultaten van het SE in november Bronnen Getal en ruimte HAVO wiskunde B, 11e editie deel 1, 2 en 3. Examenblad.nl Wiskundeleraar.nl DWO GR handleiding
De inhoud vaststellen Subdomein B1 standaardfuncties Subdomein B4 periodieke functies Bedenken en ontwikkelen leerlingactiviteiten en lesmateriaal maken Deel 1 - goniometrische functies 32 pagina's Zie Transformaties van grafieken deel 1 Deel 2 - goniometrische functies 19 pagina's Zie Transformaties van grafieken deel 2 Beschikbaar maken van het lesmateriaal Op wiskundeleraar.nl is alle informatie voor leerlingen te vinden. Bestanden e.d. kunnen eventueel via Magister beschikbaar worden gesteld aan leerlingen. Het wordt een verzamelingn van losse opdrachten, deels op papier met GR of Desmos, ofwel via DWO. Ik heb voor leerlingen al accounts gemaakt in DWO en gekoppeld aan de module functies raden. Leerlingen kunnen via het studiecentrum een laptop lenen. Ga je je werk delen? Met andere docenten? Buiten school? Lesmateriaal kan (t.z.t.) worden gedeeld via mijn website. Ik maak dat soort dingen kenbaar via Twitter of via mijn weblog. Lesbrieven Weblog WisFaq Magister Bronnen Subdomein B1 standaardfuncties Subdomein B4 periodieke functies
Uitrollen van de cursus Het is handig om het materiaal te gebruiken in week 9/10 als voorbereiding op het schoolexamen in week 11. Naast de transformaties en de goniometrie kunnen leerlingen eventueel nog andere vaardigheden oefenen in DWO. Mogelijk is er nog off spin...:-) Uitaard hebben we ook nog een verzameling oefentoetsen.:-) Uitproberen in de les Het lesmateriaal moet klaar zijn in week 7/8 Uitproberen kan in week 9/10. In week 11 maken de leerlingen een SE. Handleiding of aanwijzingen voor leerlingen maken
Beoordelen van het werk van leerlingen Feedback over de cursus verzamelen Voorstellen voor verbetering van het materlaal en de uitvoering 21e eeuwse vaardigheden niet een beetje gemiddeld redelijk veel Communiceren Creatief denken en handelen Digitale geletterdheid Computational thinking ICT-basis-vaardigheden Informatie-vaardigheden Media wijsheid Kritisch denken Probleem-oplossend denken en handelen Samenwerken Sociale en culturele vaardigheden Zelf-regulerend vermogen Er is ruimte om meer aandacht in te ruimen voor andere 21e eeuwse vaardigheden. Leerlingen zouden ook in wisfaq vragen kunnen stellen als ze ergens niet uitkomen. Waarschijnlijk hebben ze onderling ook wel 'contact' over de opgaven. Kortom... er is altijd ruimte voor verbetering. Uiteindelijk is het misschien niet zo gek om voor een modelleeropdracht te kiezen. Van daaruit kunnen leerlingen dan op zoeken naar de wiskundige vaardigheden die nodig zijn. Ideetjes Eb en vloed Ik moet voor wiskunde een theoretisch model maken waarin de getijdenbeweging volgens een regelmatig patroon verloopt. Maar hoe maak ik zo'n model? Of kan ik zo'n model ergens vinden? Getijbeweging Wat is een twaalfdelenregel en hoe gebruik ik die regel om de waterhoogte bij deze getijkromme te voorspellen?
Meer goniometrie... Zoeken in GOOGLE op goniometrie Periodieke functies Leuke bijkomstigheid... in de reactie staat iets over procenten...:-)... Eb en vloed Begeleiding Waar kan je zo aan denken omtrent het begeleiden van leerlingen: beperken/begrenzen van de taakgrootte (constraining) leerlingvoortgang zichtbaar maken (status updating) herinneren dat iets gedaan moet worden (prompting) vertellen hoe iets uitgevoerd moet worden (heuristics) uitleg geven en/of overnemen van moeilijke delen van de taak (scaffolding) exact uitleggen hoe iets gedaan moet worden (explaining). Deze technieken vallen volgens mij gewoon onder de noemer van instructie ofwel goed onderwijs geven. Wie kan daar tegen zijn? bron Naschrift Maar je zou ook iets heel anders kunnen doen: Andere ideeën Een ander voorbeeld...
Inleiding Voor de cursus Wiskundeonderwijs in perspectief heb ik een ontwerpopdacht gedaan. Die opdracht liep een beetje uit de hand. Inmiddels heb ik de plannen bijgesteld en besloten de transformaties van grafieken te gebruiken als eindopdracht. Dit project bestaat uit het ontwikkelen-uitproberen-delen van een onderwijsprototype dat voorbeeldig is voor het inzetten van de 21st century skills in de lespraktijk bij het vak wiskunde. bron: modulebeschrijving Aanpak Begin met het invullen van het werkschema. Beantwoord de vragen t.a.v. analyse, ontwerp, ontwikkelen, uitvoeren en evalueren. Dat geeft een groot deel van de randvoorwaarden weer. Het 'echte' ontwikkelwerk moet dan nog beginnen, maar dan weet je globaal wat je moet gaan doen. Het ontwerp, evaluatie en rapportage Lesmateriaal Inmiddels heb ik twee leerroutes gemaakt met lesmateriaal. Dat lesmateriaal bestaat uit een aantal opdrachten met antwoorden waarbij ICT wordt ingezet. Het PHET-applet, een online grafiekenprogramma, de grafische rekenmachine en DWO, de digitale wiskunde omgeving van het Freudenthal Instituut. Dat ontwerpen is een heen en weer bewergen tussen opdrachten en exameneisen. Ik heb geprobeerd de opgaven voldoende uitdagend te maken zonder de leerlingen te veel te frustreren. Je moet ook zorgen voor afwisseling en voldoende herhaling. Transformaties van grafieken deel 1 Transformaties van grafieken deel 2
Uitvoering en evaluatie 4. Uitvoeren 5. Evalueren Conclusies
Subdomein B1 standaardfuncties Parate kennis - de kandidaat kent: de grafiek en karakteristieke eigenschappen van de goniometrische functies: f(x) = sin(x) en f(x) = cos(x), evenals de begrippen radiaal, periode, amplitude en evenwichtsstand; de transformaties vermenigvuldiging ten opzichte van x- of y-as en translatie. Parate vaardigheden - de kandidaat kan: 8. op een grafiek een translatie en/of vermenigvuldiging ten opzichte van x- of y-as uitvoeren; 9. het functievoorschrift opstellen dat hoort bij een nieuwe grafiek die is ontstaan na transformatie van een gegeven grafiek; Subdomein B4 periodieke functies Parate kennis - de kandidaat kent: de exacte waarden van sin(x) en cos(x) waarbij x een veelvoud van 1 6 1 of 4 is. Parate vaardigheden - de kandidaat kan: 1. graden omrekenen in radialen en omgekeerd; 2. de grafiek tekenen van functies van de vorm: f(x) = d + a sin(b(x c)) en f(x) = d + a cos(b(x c)) ; vergelijkingen van het type f(x) = c oplossen in een gegeven interval met f een functie als in 3. B4.2. genoemd en daarbij gebruik maken van periodiciteit en symmetrie; 4. van een sinusoïde het bijbehorende functievoorschrift opstellen. Productieve vaardigheden - de kandidaat kan: 5. in een gegeven probleemsituatie voor een periodiek verschijnsel een functievoorschrift zoals bedoeld in B4.2 opstellen, daarmee berekeningen uitvoeren en de resultaten interpreteren.
Transformaties van grafieken 1 In de leerroute transformaties van grafieken deel 1 gaat het om de karakteristieke eigenschappen van standaardfuncties. De kennis en vaardigheden omtrent de eigenschappen van functies en grafieken is belangrijk voor het tekenen van grafieken, herkennen van verbanden, het opstellen van formules en het oplossen van vergelijkingen. PDF downloaden transformaties deel 1 31 pagina's ONLINE: Transformaties van grafieken deel 1 Transformaties van grafieken 2 In de leerroute trnsformaties van grafieken deel 2 gaat het om goniometrische functies. Je gaat een aantal opdrachten doen. Dat is deels op papier bij een applet, maar ook deels met DWO, de digitale wiskundeomgeving. Er zijn opdrachten voor je grafische rekenmachine of met een grafiekenprogramma. PDF downloaden transformaties deel 2 19 pagina's ONLINE: Transformaties van grafieken deel 2
Eén van de lastige hoofdstukken in 4 HAVO wiskunde A is het hoofdstuk over handig tellen: voorkennis vermenigvuldigingsregel en somregel tellen met en zonder herhaling permutatie en combinaties combinaties toepassen Je zou zo'n hoofdstuk ook achterstevoren kunnen doen. Begin met een lastig probleem en werk gaandeweg het hoofdstuk door waar je gebruikt wat je nodig hebt. Je komt dan als snel achter dat je dan wel moet weten wat er nu precies in het hoofdstuk staat. Maar misschien kan je soms al dingen zelf ontdekken... dat is dan de vraag! Voorbeeld Op hoeveel manieren kan men 8 kaarten trekken uit een spel van 52 kaarten als er precies 3 azen en 4 harten in moeten zitten? Maar dit werkt niet... Andere ideeën Wat is in de file de beste snelheid Bij welke snelheid is het aantal auto s dat per seconde een bepaald punt passeert het grootst? Fileprobleem Welke oplossingen zijn er voor het fileprobleem Hoe berekent een GR nulpunten? Ik ben bezig met het onderzoeken van nulpunten berekenen en ik vroeg me af hoe een rekenmachine dat doet. Er staat altijd 'Guess?' wanneer je de Zero-knop gebruikt, dus het maakt een benadering. Weten jullie ook hoe? Tetrapak Ik heb een rechthoekig karton van 33 cm bij 54 cm. Daarvan kun je verschillende Tetrapakken maken. Welk pak heeft de grootste inhoud?
Kortste route We want to build a road between two cities, A and B, that are separated by a river. We can build a bridge, but it must be perpendicular to the river s banks, as shown. Where along the river s length should we place the bridge if we want to minimize the total length of the road? Kortste route II Handelsreizigersprobleem Ik moet voor wiskunde een eindwerk maken over het handelsreizigersprobleem, en dit probleem economisch gezien benaderen. Een trimmer op het strand Een trimmer op het strand Een trimmer loopt over het strand. Hij loopt over het harde zand langs de vloedlijn. in de verte ziet hij de duinovergang waar hij over moet. Als hij schuin het mulle zand oversteekt, legt hij minder grote afstand af dan wanneer hij helemaal doorloopt over het harde zand tot ter hoogte van de duinovergang en dan dwars oversteekt. Minimale aanlegkosten berekenen Aan de oever van een rivier met een breedte van 600 meter is een elektriciteitscentrale E gebouwd. Aan de andere oever 2000 meter stroomafwaarts wordt een fabriek F gevestigd. Voor de energievoorziening wil men een kabel van E naar F leggen. De aanlegkosten over land zijn 20 per meter, in de rivier zijn de kosten 25 per meter. Onderzoek welk tracé men moet kiezen voor de kabel om de kosten minimaal te krijgen. Woefwoef Can you de-abstract (recontextualize? concretize?) the context? Describe a task that would allow students to learn about the process of abstraction rather than just encounter its result.