Universiteit Gent naam: Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur voornaam: de Bachelor Ingenieurswetenschappen richting: Opties C,, TN en W prof. Kristiaan Neyts Academiejaar 015-016 erste xamenperiode Opleidingsonderdeel: lektrische Schakelingen en Netwerken XAMNFOLR maandag 5 januari 016 Oplossingen Controleer of het je naam is die op het etiket staat! Controleer en verbeter indien nodig je richting 1. Het examen wordt afgesloten om 1.30 uur. Ten laatste dan moet je deze examenfolder afgeven.. Je mag tijdens het examen geen ander papier gebruiken dan deze folder. Achteraan zijn een paar extra bladen voorzien (p.5-8). Staat een deel van de oplossing op de bladzijden achteraan, zet dan een verwijzing bij de passende paragraaf. Op p4 van deze folder staat een beperkt formularium. Het examen is met gesloten boek. 3. Gebruik je tijd efficiënt: Bij iedere vraag is een richtwaarde voor de benodigde tijd aangegeven. Het totaal van de richttijden is 00 min = 3u 0min. Het examen duurt maximaal 4u. e puntenwaarde (op een totaal van 0) is aangegeven, en is evenredig met de richttijd. Wees dus efficiënt: Blijf in je antwoorden kort en terzake. Gebruik zoveel mogelijk de vóórgedrukte figuren, assenroosters, antwoordkaders, circuitschema's In de antwoordkaders komt het resultaat bovenaan; de berekeningen en de uitleg komen erna. e achterkant van de bladzijden kan je als kladpapier gebruiken. Schrijf duidelijk leesbaar! 1
Vraag 1: en gelijkstroomnetwerk (30 minuten - 3 punten) Het bovenstaande netwerk bevat 1 gelijkspanningsbron en 13 weerstanden met aangegeven weerstandswaarden. Bepaal de inwendige weerstand R i en de openklemspanning V ok voor het Theveninequivalent van dit netwerk tussen de knooppunten A en B. Antwoord : R i = 4/3 Ω V ok = 0.5 V Om de inwendige weerstand te berekenen wordt de spanningsbron nul gesteld. Het netwerk is heeft een horizontaal spiegelvlak, tussen A en B. e knopen in dit vlak hebben dezelfde potentiaal en mogen we met elkaar verbinden. Het netwerk vereenvoudigt dan tot: Om de weerstand tussen A en C te vinden werken we van links naar rechts: Ω en Ω in parallel, samen 1Ω, dat in serie met 1Ω dat is Ω, die in parallel met Ω levert 1Ω, die in serie met Ω, levert Ω. Ten slotte staan 3 weerstanden van Ω in serie, dat levert /3 Ω. Tussen A en B is de totale inwendige weerstand dan 4/3 Ω. Om de openklemspanning te vinden, moeten we de spanning berekenen tussen A en B met de bron aanwezig. We gebruiken dezelfde symmetrie als hierboven. Links komt een spanningsbron van 6V en we berekenen de spanning tussen A en C.
We berekenen eerst de totale weerstand gezien door de spanningsbron. at is (nu doen we de berekening vanuit de rechterkant) in totaal 3 Ω. Spanningsdeling laat toe om de spanning over AC te vinden: het hoekpunt linksboven staat op 1V, het hoekpunt bovenaan op 0.5 V, A staat op 0.5 V e open klemspanning V AB is dan 0.5V. Vraag : en netwerk met transient (30 minuten - 3 punten) In het netwerk hierboven is een sinusoïdale bron e(t)= 0.cos(ωt) initieel verbonden met de condensator in de middelste tak. Op t=0 wisselt de schakelaar en wordt de condensator verbonden met de C bron. e waarden van R en C zijn gekend. We zoeken de spanning v over de condensator..1. Bereken de transferfunctie V/ in sinusregime voor t < 0 en v(0-) Antwoord Transferfunctie V/ : V = 1 1 + jωrc v(0-)= 1 1+ ω R C 0 3
e transferfunctie in sinusregime vinden we door spanningsdeling over de weerstand en de condensator (de condensator links speelt geen rol). 1 V jωc 1 = = 1 + R 1 + jωrc jωc e fasor voor de bron is 0 e fasor voor de spanning V is dan: 0 1+ jωrc = 0 1+ jωrc 1+ ω R C 1 Op t=0- is de spanning dan (de sinus is nul op t=0): 0 1+ ω R C. Bereken de spanning voor t > 0 Vanaf t=0+ is de condensator verbonden met de gelijkspanningsbron. Bereken het verloop van het overgangsverschijnsel. Antwoord : 1 1 t 1 v(t) = 0 C exp 1 ω R C + + RC C voor t>0 e spanning over een condensator maakt geen sprongen, dus de beginvoorwaarde is 1 v(0 + ) = 1 + ω R C 0 e differentiaalvergelijking voor t>0 is bepaald door het rechterdeel van het netwerk. r zijn drie paralelle (vertikale) takken. e som van de drie stromen (naar beneden geteld) moet nul zijn (knoopwet van Kirchoff): dv v v C + + C = 0 dt R R dv Standaardvorm van de V : RC v C dt + = Oplossing van de eerste orde V (som van algemene oplossing van de homogene vgl en particuliere oplossing): t 1 v = B exp + RC C Met de beginvoorwaarde kunnen we de constante B vinden. 1 1 1+ ω R C 0 = B + C 1 1 t 1 e oplossing is dan: v = 0 C exp 1 ω R C + + RC C 4
Vraag 3: Bode diagram (30 minuten - 3 punten) e volgende transferfunctie is gegeven: sτ T ( s) = met 10s τ + sτ + 10 1 µ s τ = π 3.1 Bereken de polen en nullen voor deze transferfunctie. Indien nuttig mag je benaderingen doorvoeren (nauwkeurigheid tot op 1% is voldoende). Antwoord : 1 1 1 1 polen: + j en + j 0τ τ 0τ τ nullen: + τ e teller heeft een nul, de noemer heeft twee polen die complex toegevoegd zijn. Je vindt ze door de karakteristieke vergelijking op te lossen. 10z τ + zτ + 10 = 0 = τ 400τ 400τ τ 0τ 1 1 z = ± j = ± j 0τ 0τ 0τ τ 3. Teken het polen en nullen diagram Kies zelf welke grootheden je in de assen schrijft van het diagram. 5
3.3 Teken het Bode diagram met in de horizontale as de frequentie f voor de gegeven transferfunctie. Vermeld de eenheden. Berekeningen om het Bode diagram te tekenen Bij lage frequenties is de limiet voor T=-1/5, bij hoge frequenties 1/(10jωτ) Voor de noemer ligt de resonantiefrequentie bij f 1 1 = = = 1MHz, daarna wordt de helling - πτ 1µ s e Q factor is gelijk aan 10, dus de amplitude verhoogt met een factor 10 bij de resonantiefrequentie. Voor de nul ligt de breekfrequentie bij f 1 ω1 1 1. π = = = = = MHz, daarna wordt de helling -1 π π τ π 1µ s 1µ s e fase is voor lage frequenties constant en gelijk aan 180 o (T=-1/5). Ze begint te dalen bij 0. MHz door de werking van de nul in de teller. e fase maakt een sprong bij 1 MHz door de resonantie in de noemer (daling van 180 o ) en stopt met dalen bij 0 MHz (dan is het effect van de teller uitgewerkt). 6
7
Vraag 4: Netwerk met gekoppelde spoelen (40 minuten - 4 punten) In het netwerk hierboven is een bron verbonden met twee gekoppelde spoelen en twee gelijke weerstanden R. e zelfinductie L en de wederzijdse inductie M zijn gegeven. 4.1 Onderstel dat de spanningsbron sinusoïdaal is met amplitude en hoekfrequentie ω. Stel de netwerkvergelijkingen op in sinusregime. Bereken de transferfunctie I 1 / Antwoord Transferfunctie I 1 / : = R + sl ( ) ( 3 ) s L M + s RL + RM + R We stellen de netwerkverglijkingen op in sinusregime. We gebruiken de twee stromen en twee spanningen als onbekenden. We vinden een stelsel van 4 vergelijkingen met 4 onbekenden. e gekoppelde spoelen zijn in het verbruikersreferentiestelsel gedefinieerd en hebben een positieve coëfficiënt omdat de stroompijlen overeenkomen. V = sli + smi 1 1 V = smi + sli 1 V V + RI = I 1 1 V + I = R 1 it stelsel van 4 vergelijkingen met 4 onbekenden kunnen we oplossen door eliminatie van de spanningen (met de vergelijkingen 1 en ), en I (met de laatste vergelijking). We vinden: I1 R + sl = s L M + s RL RM + R ( ) ( 3 ) 8
4. Overgangsverschijnsel i 1 (t) voor een bron met een stapfunctie (t) e spanningsbron is initieel nul en wordt 0 =5V op t=0. e netwerkelementen voldoen aan de volgende relaties: L M = τ ; = τ ; τ = 1 ms ; R = 1 kω R R e transferfunctie gevonden in 4.1 kan nu vereenvoudigd worden. Als je de oplossing in 4.1 niet hebt gevonden kan je werken met deze oplossing: I 1+ sτ 1 = 1+ 4sτ + 3s τ R Bereken i 1 (t) en gebruik hierbij de opgegeven parameters R, τ en 0. Antwoord : i 1 (t) = 1 t 1 t 5 ma 1 exp exp 1 ms 3 ms Om de stroom te vinden bij een overgangsverschijnsel gebruiken we het Laplace formalisme. en stapfunctie voor de bron levert een Laplace transformatie: 0 /s e berekening van de stroom gebeurt door splitsen in partieelbreuken: I I 1 1 1+ sτ 1 = 0 1+ 4sτ + 3s τ R s A B = + + s 1+ sτ 1+ 3sτ R 0 Identificatie van deze twee uitdrukkingen levert de waarden van de constanten A, B, : τ 3τ A = 1 ; B = ; C = 1 1 τ 1 3τ I1 = s 1+ sτ 1+ 3sτ R Inverse Laplace transformatie levert dan de tijdsafhankelijkheid: 1 t 1 t i1 ( t) = 1 exp exp 3 τ τ R 1 t 1 t i1 ( t) = 5 ma 1 exp exp 1 ms 3 ms 0 0 9
4.3 Maak een tekening van de stroom in functie van de tijd. Bepaal de getalwaarden van de stroom i 1 voor de limieten bij t=0 en t naar oneindig. Maak een schets van de stroom in functie van de tijd en duid de getalwaarden en eenheden aan. Limietwaarden: Beginvoorwaarde i 1 (0) = 0 Afgeleide bij t=0: di 1 /dt = 10 / 3 ma/ms Limiet voor lange tijd i 1 ( ) 5 ma Vraag 5: Netwerk (30 minuten 3 punten) en driefasige generator levert een effectieve sterspanning V S = 5 Volt bij een frequentie f = 50 Hz. r zijn twee symmetrische belastingen aangesloten op de generator: weerstanden R 1 in serie met spoelen L (verbruiker 1) en weerstanden R (verbruiker ). e condensatoren zijn initieel niet aangesloten. e getalwaarden zijn: VS = 5 V ; R1 = 30 Ω ; L = H ; R = 50 Ω 5π 10
5.1 Bereken het actief (P) en reactief (Q) vermogen dat wordt opgenomen door de twee verbruikers. Bereken eerst de symbolische formule (met V S, R 1, L, R ). Bereken daarna de getalwaarden. Antwoord : Symbolisch / Getalwaarde (met eenheid) P Q / P Q verbruiker 1: 1 R1 + ω L R 3 V L ωl 3 V L R1 + ω L /.7 W 3.6 VAR verbruiker : V 3 S R 0 / 0.3W 0 Verbruiker 1 : Complexe schijnbare vermogen tussen de lijnspanning L L 1 + ω L Z R 1 jωl R1 + ω L V V R j L S = 3V I = 3 = 3 = 3 V L R1 = 30 Ω ; ωl=40 Ω ; V L = 5 3 V ; Verbruiker : reëel vermogen 3 weerstanden met spanning V S 5. Aanpassing van de belasting Bereken de som van de vermogens P tot en Q tot van de twee verbruikers samen. Bereken de waarde voor de condensator die moet toegevoegd worden zoals aangeduid op de figuur (verbruiker 3) om de arbeidsfactor te laten toenemen tot cos ϕ tot =. Bereken de effectiefwaarde van de lijnstroom I lijn als ook de condensatoren zijn toegevoegd. 11
Antwoord : Som van vermogens: P tot= 3.0 W Q tot = 3.6 VAR capaciteit (verbruiker 3): C = 80 µf/π effectiefwaarde lijnstroom ( voor verbruikers 1++3): I lijn = Ilijn = 5 A Verbruiker 3 Moet ervoor zorgen dat de P en Q even groot worden. us de condensatoren moeten -0.6 VAR opnemen. VS S = 3V S I = 3 = 3 VS jωc = j0.6 VAR C = 0.6 VAR V ω 3 S Z ffectieve lijnstroom? P = 3V S Ilijn cosϕ I lijn = P 3W 3V cosϕ = 3 5V = 5 S A 1
Vraag 6: Schakeling met MOSFT (40 minuten 4 punten) In de schakeling hieronder is V B = 8 V een gelijkspanningsbronnen die samen met de weerstanden R 1 en R de dc-instelling van de transistor (een MOSFT) verzorgt. e spanningsbron v in is een kleine, laagfrequente ingangsspanning, en v uit is de uitgangsspanning. R 1 = 3 MΩ R = 8 kω C = 1 µf G V B = 8 V v in R = 1 MΩ v G S v uit e transistor wordt analytisch goed beschreven door de kwadratische karakteristieken (conventionele referentiepijlen voor V en I ): I = 0 V < V G T V I = K V VG VT VG > VT en V < VG VT K I ( ) = VG VT VG > VT en V > VG VT Hierin is V T = 1 V de drempelspanning en K = 1 ma/v een parameter. e karakteristieken van de MOSFT-transistor, met deze getalwaarden, zijn hieronder getekend. 6.1 Bepaal de rustinstelling of dc-instelling (dus bij v in = 0) grafisch Teken hieronder het dc-vervangcircuit van deze schakeling. Teken de belastingslijn op de grafiek op de volgende bladzijde. uid het werkpunt (V, I ) aan. Bij de dc instelling is de ac bron nul en de condensator een open keten. 13
e poortspanning vinden we door spanningsdeling (de stroom naar de poort is nul) over de 1M Ω weerstanden R 1 en R. at levert VG = 8V = V. 3M Ω + 1M Ω e belastingslijn vinden we me t de luswet van Kirchoff (I is de stroom naar de afvoer ): V + R I = V B it is de vergelijking van een rechte (zie grafiek). Het werkpunt is het snijpunt van de rechte en de MOSFT karakteristiek bij V G =V (zwart): V = 4 V ; I = 0.5mA 6. Bepaal de rustinstelling of dc-instelling (dus bij v in = 0) analytisch Gebruik de gegeven waarden om de transistor in zijn correcte werkingsgebied te beschrijven (m.a.w. gebruik één van de opgegeven vergelijkingen, n.l. deze die op het werkpunt toepasselijk is). Bereken het werkpunt op basis van de analytische vergelijking. We gebruiken de formule voor saturatie, omdat het werkpunt daar ligt. I ( ) = K VG VT VT Met de opgegeven waarden voor V T = 1 V en K = 1 ma/v vinden we: K I ( 1 ) = V V = 0.5mA Met de vergelijking van de belastingslijn vinden we V = V R I = 8V 4V = 4V B 14
6.3 grafische kleinsignaalanalyse Teken hieronder het ac-vervangcircuit van de schakeling. Wat is het verband tussen de ingangsspanning v in en de poortspanning v G, als je weet dat de schakeling bedoeld is om een geluidsignaal te versterken, m.a.w. 0 Hz < f < 0 khz? (benader hier eventueel). Teken de belastingslijnen en werkpunten voor een kleine ingangsspanning v in = + 0.5 V en v in = - 0.5 V op de stroom-spanningskarakteristiek van de MOSFT blz. 4. v Bepaal de versterkingsfactor A = uit, waar zoals gebruikelijk een verschil tussen twee vin waarden voorstelt. Het ac vervangcircuit vind je door de C bron nul te stellen. Nu staan R 1 en R in parallel met elkaar. e RC tijdsconstante aan de gate is veel groter dan de periode van de geluidssignalen, dus is de impedantie van de condensator verwaarloosbaar. e kleinsignaalwaarde van v G is dus gelijk aan de kleinsignaalwaarde van v in. e belastingslijn (aan de drain) in het oorspronkelijk circuit blijft onveranderd: VB RI = 4V. e twee werkpunten zijn te vinden op de MOSFT krommen voor v G = 1.75 V en.5 V, ze zijn in het rood getekend. e overeenkomstige waarden voor v uit =v zijn respectievelijk 5.75 V en 1.75V. v 1.75 5.75 4 e versterkingsfactor is dan uit V V V A = = = = 8 v 0.5V 0.5V 0.5V in ( ) 15
6.4 analytische kleinsignaalanalyse Het ac-vervangschema van de transistor zelf is, in het rustpunt, hieronder gegeven (v G, i en v zijn kleine perturbaties op de rustinstelling V G, I en V ). Geluidsfrequenties zijn laag genoeg om de capaciteiten in het vervangcircuit van de transistor te kunnen verwaarlozen. Bereken de getalwaarden van g en van g m. Teken het ac-vervangschema van de hele schakeling. Toon aan dat de versterkingsfactor A gegeven wordt door: A = g R m Bereken A en vergelijk met de waarden bekomen op de grafische manier. I (ma) g = 0 ( ) g = K V V C C m G T GS G = = ZL 3 0 C i ZL = Ci ZL = Ci ( ) g = K V V V C C g G T m GS G = K V G v G i G C G i C GS g g m v G S v V G V T V (V) We vervangen de twee condensatoren door open ketens. Aangezien het werkpunt in het saturatiegebied ligt, gebruiken we deze formules om de g s uit te rekenen: g =0, g m = 1 ma/v. (V 1V) = 1 ms Het ac vervangschema kunnen we tekenen en verder vereenvoudigen: In de kring rechts zien levert de wet van Kirchoff: vuit = v = Ri = R gmvg. us is A = -R g m. Met de getalwaarde voor gm en R vinden we: A= -8, net als voor de grafische methode. 16