Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit.

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. 1 Wet van Ohm. Volledigheidshalve vermelden we hier nog eens de wet van Ohm: Elektriciteit U R. I of U I of R U R I 2 Wetten van Kirchhoff. Kirchhoff heeft 2 wetten opgesteld: een stroom en een spanningswet. Deze wetten kunnen toegepast worden om de stromen in elke elektrische schakeling te berekenen. Een knoop is een punt van de schakeling waarin minimum 3 geleiders samenkomen. Een tak is een verbinding tussen 2 knopen. 2.1. De eerste wet van Kirchhoff: de stroomwet (KCL). De som van de toekomende stromen in een knooppunt is steeds gelijk aan nul. Hou rekening met de zin: een stroom die het knooppunt verlaat wordt beschouwd als een negatieve toekomende stroom. 2.2. De tweede wet van Kirchhoff: de spanningswet (KVL). De som van de spanningen, in een gesloten lus, is steeds gelijk aan nul. Hierbij moet je rekening houden met de spanningszin. ls je stijgt in potentiaal (van naar ) dan wordt de spanning opgeteld, als je daalt in potentiaal dan wordt de spanning afgetrokken. 3 Toepassing op de wetten van Kirchhoff. Door de 2 wetten toe te passen bekom je voldoende vergelijkingen om alle onbekende stromen te berekenen. Het volstaat om de eerste wet (KCL) toe te passen in elk knooppunt en de tweede wet (KVL) voor elke lus. Je bekomt dan wel te veel vergelijkingen. ls je een netwerk hebt met K knopen en T takken kan er aangetoond worden dat er K1 onafhankelijke vergelijkingen zijn volgens de eerste wet (KCL) en T(K1) onafhankelijke vergelijkingen volgens de tweede wet (KVL). lle andere vergelijkingen zijn dus afhankelijke, overbodige vergelijkingen. lgemeen: K knopen T takken (onbekenden) K1 KCLvgl en T(K1)) KVLvgl. KHBO 3.1

3.1. Voorbeeld 1. B 4k Figuur 1: opgave Kirchhoff vb1 Bepaal alle stromen in deze schakeling? Vermits de stroomzin hier niet is opgegeven, mag je ze willekeurig aanduiden, zonder rekening te houden met de elementen die in de kring zitten. Hieronder zie je een mogelijke keuze. I1 I2 B 4k I3 Figuur 2: aanduiden van de te zoeken stromen. KHBO 3.2

Rekening houdend met de zo pas gekozen stroomzin kunnen de spanningen over de weerstanden worden aangeduid en kan de waarde hiervan er in formulevorm worden aangeduid. Ook de (hoog) en (laag) tekens van de potentialen (Upijltjes) worden best aangeduid..i1 I1 I2.I2 B 4k 4k.I1 I3.I3 Het aantal knopen K=2. Het aantal takken T=3. Welke? Figuur 3: aanduiden van de spanningen. Met de eerste wet (KCL) kan je slechts K1=21=1 onafhankelijke vergelijkingen opschrijven. Dat is ofwel de vergelijking in knoop ofwel deze in knoop B. Kies je bvb. voor de vergelijking van dan schrijf je: KCL (): I1I2I3= (1) Met de tweede wet (KVL) kan je de andere onafhankelijke vergelijkingen opschrijven. Er blijven nog T(K1)=31=2 vergelijkingen over. Schrijf je bvb de vergelijkingen op voor lus 1 en lus 2, dan noteer je: KVL 1 wijzerzin :.I114K.I1I25= (2) KVL 2 wijzerzin : 5.I2.I3= (3) We beschikken nu over evenveel (3) vergelijkingen als onbekenden. Dat betekent dat er juist 1 oplossing is. Dat stelsel kan opgelost worden op verschillende methodes, bvb. substitutie, vertaling naar een matrixproduct of vertalen naar een matrix waarop je vervolgens de functie rref (Row Reduced Echelon Form) uitvoert. De 2 laatste methodes worden hieronder besproken. KHBO 3.3

3.1.1. Oplossen met matrixproduct. De 3 vergelijkingen moeten gegroepeerd worden zodat de onbekenden zich bvb. in het rechter lid bevinden: Voor de eerste vergelijking moet er niets gedaan worden, bij de andere wel. =I1I2I3 (1) 1 5=.I14k.I1I2 (2) 5 =.I2.I3 (3) Herschrijf deze vergelijkingen in matrixvorm: 1 1 5 4k 5 1 1 I1. I 2 I3 Deze vergelijking kan opgelost worden met behulp van het rekentoestel. B I B 1.. I Om de matrix I te vinden moet de matrix voorvermenigvuldigd worden 1 met B. Om matrixen in te geven in het rekentoestel Texas TI83 moet je eerst 2nd MTRIX indrukken. Kies EDIT (met de pijltjes naar rechts) om de matrix te kunnen ingeven. Selecteer de matrix die je wil ingeven bvb [] en druk op ENTER. Geef in hoeveel rijen en hoeveel kolommen je matrix heeft bvb 3 x 1 voor. Vul nu de getallen in telkens gescheiden door ENTER. Doe hetzelfde voor B. Beeindig met 2nd QUIT en (of) ga (rechtstreeks) naar 1 2nd MTRIX en selecteer [B] gevolg door ENTER. Druk op x, X en selecteer []; druk op ENTER. Op het rekentoestel staat nu de kolommatrix I. Het eerste getal is I1, het tweede I2 enz. Merk op: 1. je kan [] ook invullen door het rechtstreeks in te geven [ staat bij 2nd X 2. Matrixbewerkingen zijn niet commutatief. 3.1.2. Oplossen met de functie rref. Schrijf je vergelijkingen in de volgende vorm: 1.I1 1.I2 1.I3= (1) (4k).I1.I2.I3= 1 5 (2).I1.I2.I3 = 5 (3) Definieer een matrix met evenveel rijen als onbekenden (hier 3) en 1 kolom meer (hier 4). Noteer de coëfficënten van de stromen in de eerste 3 kolommen en rijen (LET OP DE JUISTE PLTS!). In de laatste kolom vul je de getallen in van het rechter lid. Toegepast op ons stelsel wordt dat: KHBO 3.4

1 4K 1 1 1 5 5 Definieer je de matrix bvb. in C dan moet je nu via 2nd MTRIX MTH selecteren en ga met het pijltje naar beneden tot je rref tegen kom (op plaats B) en druk op ENTER. Merk op je kan er vlugger geraken met het pijltje naar boven of door op LPH B te drukken. Vervolledig tot je rref([c]) op het scherm krijg en druk op ENTER. 1 1,78E 3 Het resultaat is: 1 1,291E 3 1,416E 3 Lees dat als I1=1,78m, I2=1,291m en I3=,416m Merk op: 1[V]=1[].1[] en 1[V]=1[m].1[k]. Indien je de weerstand in de matrix ingeef in [k], dan krijg je de stromen uitgedrukt in [m]. Dat scheelt in typwerk en het resultaat is overzichtelijker. 3.1.3. Oplossen met de TINspire Kies een rekenblad menu 3: gebra 6: Stelsel vergelijkingen oplossen 1: Stelsel vergelijkingen oplossen enter. Je krijgt een venster waarin je het aantal vergelijkingen kan ingeven (hier 3) en de onbekenden. ls onbekenden wordt er bij 3 vergelijkingen x, y, en z voorgesteld. Je mag dat veranderen in i1, i2 en i3. Merk op: verkies je hoofdletters (I1, I2 en I3) dan kan dat ook, maar dan zal je meer toetsen moeten intypen. bevestig je keuze op de OK toets. Nu verschijnt er het volgende op het scherm: solve, i 1, i2, i3 Het volstaat om hierin de vergelijkingen in te typen. Merk op: in plaats van of 5 kan je 5 EE 3 intypen. i1 i2 i3 solve1e3i11 4E3i1 5E3i2 5, 55E3i2 3,5E3i3 i 1, i2, i3 Na het ingeven klik je op enter of ctrl enter. KHBO 3.5

De oplossing verschijnt op het scherm: i1=1,7833 E 3 and i2=1,29167 E 3 and i3=416,667 E 6 Merk op: mogelijk staat i3 niet volledig op het scherm. Ga dan met naar de oplossing en klik dan op. De eenheid is in [] omdat alle grootheden in de SIeenheden werden ingegeven. Merk op: Geef je de weerstand in [k] in, dan is de oplossing in [m]. i1 i2 i3 solvei11 4i1 5i2 5, 55i2 3,5i3 i1=1,7833 and i2=1,29167 and i3=416,667 in [m] i 1, i2, i3 3.2. Voorbeeld 2. C B 4k 5m D Figuur 4: opgave Kirchhoff voorbeeld 2 Het aantal knopen van deze schakeling is. 3!!! Dat komt omdat B en D het zelfde punt is: V B =V D. Na het aanduiden van de onbekende stromen zie je dat er slechts.. 4 onbekende stromen zijn. De stroom door tak met de stroombron is namelijk gekend. K=3 en T=4 KCL: 2 vgl. en KVL: 2 vgl. Hieronder staan alle onbekenden en de spanningen aangeduid. KHBO 3.6

.I1 I1 2 1 I2.I2 C 4k 4k.I4 B I4 3 5m I3.I3 D Figuur 5: opgave 2 met aangeduide takstromen en spannigen Om zo klein mogelijke vergelijkingen te krijgen is het best de knooppunten te kiezen waarin zo weinig mogelijk takken toekomen. Zowel in B als in komen er 3 onbekende takstromen toe, in C komen er slechts 2 onbekende takstromen toe (de derde stroom is bekend!). We noteren de vergelijkingen: KCL C: I1I45m= (1) KCL : I1I2I3= ( je kan natuurlijk ook de vergelijking in B opschrijven) (2) KVL lus 1 :.I114k.I4.I25= (3) KVL lus 2 B:.I35.I2= (4) Deze vergelijkingen kan je rechtstreeks in je TINspire invoeren. Werk je met een ouder toestel, dan moet je het oplossen via matrices. Daarvoor moet je als volgt te werk gaan: Na het hergroeperen van de onbekenden bekom je: (1) I1.I2.I3 I4 = 5m (2) I1 I2 I3.I4 = (3).I1.I2.I3 4k.I4 = 51 (4).I1.I2.I3.I4 = 5 Bereken nu het volgende (R ingevuld in [k], waardoor I in [m] zal staan): KHBO 3.7

1 1 rref 1 1 5 5 1 3,5 1 4 5 15 5 ls resultaat vind je dat I1=1,125m; I2=,125m; I3=1,25m en I4=3,875m. Je zal opgemerkt hebben dat ik de vergelijking van lus 3 (door de stroombron) niet gebruikt heb. Mocht ik dat wel gedaan hebben dan zou ik een extra onbekende in het stelsel hebben ingevoerd, nl. de spanning over de stroombron! Dat betekent dat er nog een vergelijking bij moet (5 i.p.v. 4). chteraf kan je nog steeds die vergelijking opstellen om hiermee de spanning uit te rekenen die staat over de stroombron. I1 C.I1 4k 4k.I4 1 B I4 U I2.I2 3 2 I3 D.I3 KVL lus 3 C: U4k.I4= U=4k.I4=4k.(3,875m)=15,. 5m Je kan deze extra vergelijking bijvoegen in het stelsel dat reeds in je TINspire zit. Voeg eerst een extra onbekende (u) toe gescheiden van de reeds bestaande onbekenden met de grijze toets,. Ga op het einde van de laatste vergelijking staan en druk op de grijze toets. Er komt een plaats bij waarop je de extra vergelijking kan ingeven. Vul de vergelijking in en klik op enter of ctrl enter. KHBO 3.8

Welke invloed heeft het plaatsen van een weerstand van tussen de stroombron en punt C?.I1 I1 2 1 I2.I2 C 4k 4k.I4 B I4 U 3 5m I3.I3 Deze weerstand heeft geen enkele invloed op de vergelijkingen van de eerste wet van Kirchhoff, noch op de spanningsvergelijkingen van de 2 eerste lussen. Controleer! Bijgevolg blijven de gevonden stromen (I1 t/m I4) ongewijzigd. Deze weerstand heeft wel invloed op de spanningswet van de derde lus. KVL (3) C: Hierdoor wordt de spanning U=..V. Controleer de oplossing door de vergelijking op te lossen! KHBO 3.9

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. 1 Wet van Ohm. 3.1 2 Wetten van Kirchhoff. 3.1 2.1. De eerste wet van Kirchhoff: de stroomwet (KCL). 3.1 2.2. De tweede wet van Kirchhoff: de spanningswet (KVL). 3.1 3 Toepassing op de wetten van Kirchhoff. 3.1 3.1. Voorbeeld 1. 3.2 3.1.1. Oplossen met matrixproduct. 3.4 3.1.2. Oplossen met de functie rref. 3.4 3.1.3. Oplossen met de TINspire 3.5 3.2. Voorbeeld 2. 3.6 KHBO 3.1