oorkennis: Conflitlijnen ladzijde 0 -a T l m = d(, ) + r en d(, m) = T = + T = d(, l) + r. ls d(, ) = d(, l) dan is = d(, ) + r = d(, l) + r = d(, m). De onflitlijn van en l (irkel en lijn) kan dus worden teruggeraht tot de onflitlijn van en m (punt en lijn). Kies een punt T op m, riht in dat punt een loodlijn op en snij die loodlijn met de middelloodlijn van en T. Je krijgt op die manier punt. De andere punten gaan op gelijke wijze. T T 3 T 3 l m -a Er geldt d(, ) = en d(, ) =. ls d(, ) = d(, ) dan is dus = en ligt op de middelloodlijn van. 0
De lijn door en snijdt de irkel in punten en. Deze lijn snijden met de middelloodlijnen van en levert de gevraagde punten en op. 4 3 4 3 6 5 5 6 d Kies punten,,, en op de irkel, teken de lijnstukken 3 4 5 6,,, en en snijdt deze respetievelijk met de middelloodlijnen 3 4 5 6 van,,, en en je krijgt punten,,, en. 3 4 5 6 3 4 5 6 ekijk ijvooreeld punt 3 in het plaatje hieroven. Er geldt: = 3 3 3 + = r, deze som heeft dus steeds dezelfde waarde r. 3 3 + = r 3 3 3 03
ladzijde 03-3a m Q r R l Neem een willekeurig punt op lijn l (zie oven). ls dit punt wordt afgeeeld op punt Q, dan snijden Q en l elkaar loodreht in een punt dus: = Q R = QR = 90 R QR R = QR R = R Dus ligt op de issetrie van ( l, m ) en dus is r dus de issetrie van deze hoek. -4a W N inds hoofdstuk 3 weet je dat zowel d(, ) als d(, ) moeten worden gemeten langs een lijn die door het middelpunt van ijehorende irkel gaat. Dus d(, ) = en d(, ) = W. U 3 W N d (, ) = U = + = W + = d(, ) + = d(, ) + = N 3 04
d e De onflitlijn van een irkel en een punt innen die irkel is een ellips met randpunten en N. 3 N Een lijn door snijdt 3 in U. De middelloodlijn van UN snijdt U in een punt van de onflitlijn. -5a De onflitlijn van de irkel met middelpunt en straal en een lijn l door en zonder gemeenshappelijke punten met is identiek met de onflitlijn van punt en een lijn r die ten opzihte van l over een afstand vershoven is van weg. Een dergelijk irkel-lijn-ominatie heeft als onflitlijn een paraool met rihtlijn r en randpunt. De onflitlijn van een lijnstuk en de irkel is dus minimaal voor een deel gelijk aan deze paraool. Deze afstand is gelijk aan de straal van de irkel, dus. r N d De loodlijn op in snijdt de lijn r in. Het snijpunt van deze loodlijn met de middelloodlijn van is het gezohte punt ( ). oven de loodlijn op in is de afstand van een punt tot gelijk aan de afstand tot. Dat gedeelte van de onflitlijn komt overeen met (een gedeelte van) een hyperooltak. Iets dergelijks geldt voor het gedeelte van de onflitlijn dat eneden de in opgerihte loodlijn op. 05
e r U U W Om ijvooreeld een punt te vinden in het hyperoolgedeelte aan de kant van kies je een punt op, trek je de halfrehte en snijd je deze met ijehorende middelloodlijn van. Om het paraoolgedeelte te vinden kies je een punt U op, teken je de loodlijn op in U, die r in een punt U snijdt. Neem dan het snijpunt van de loodlijn in U met de middelloodlijn van U. 4. Kegelsneden ladzijde 04 a Het vlak staat dan loodreht op as a. Het vlak maakt dan preies een hoek α (halve tophoek) met as a. Het vlak maakt dan een hoek met as a die groter is dan α. d De doorsnijdingsfiguur is een punt wanneer de hoek van as en vlak groter is dan 0 α of een tweetal lijnen die elkaar onder een hoek van α ( en 80 α) snijden wanneer de hoek van as en vlak kleiner is dan α. ladzijde 05 a In deze opgave ga je dus de omkaderde stelling ewijzen. Neem een raaklijn uit met de ol, het raakpunt is R. ls het middelpunt van de ol is dan is R = 90 en geldt: sin R = R = onstant. Dus geldt dat alle raaklijnen door aan de ol dezelfde hoek vormen met. R 06
R N Ga weer uit van de raaklijn van onderdeel a. Trek nu de andere raaklijn aan de doorsnijdingsirkel ehorend ij het vlak door, R en (zie oven). Uit onderdeel a volgt niet alleen dat de hoeken die de raaklijnen R en met maken gelijk zijn, maar ook dat de afstanden van tot de raakpunten gelijk zijn vanwege R, dus o.a. ook R =. Omdat de driehoeken en RN en N tenslotte N gemeenshappelijk heen, zijn ze ongruent (ZHZ) en is de hoek ij N reht. Neem nu een willekeurige andere raaklijn. Je krijgt dan te maken met een driehoek R N. Omdat RN = R' N ', N = N = 90 0 en R = R is RN R N (HZH) en N = N én dus ook N = N. erder is de afstand tot van R en R tot N steeds gelijk. Omdat de laatste raaklijn willekeurig is gekozen volgt dus dat de afstanden van alle raakpunten tot N gelijk zijn. Omdat alle raakpunten ook in één vlak liggen, namelijk het vlak door N en loodreht op N, liggen alle raakpunten op eenzelfde irkel. Uit de ongruentie van R en R uit onderdeel a volgt dat R = R en dus ook dat de afstand van tot alle raakpunten gelijk is. 3a is natuurlijk raaklijn vanuit aan de grote ol en verder is raaklijn aan de kleine ol. Omdat ook raaklijn aan de kleine ol is, geldt volgens de omkaderde stelling ij opgave dat =. Omdat raaklijn aan de grote ol is, geldt verder dat Omdat en eide op de lijn door en T liggen, is = + en volgt uit onderdeel a verder dat = + Omdat = en en onstant zijn, niet afhangen van de keuze van op de doorsnijdingsfiguur van met de kegel. d De punten op de groene kromme voldoen preies aan de definitie van een ellips: d(, ) + d(, ) = onstant. 4a De doorsnede estaat slehts uit één punt, namelijk de top van de kegel. Je kunt de doorsnijdingsfiguur opvatten als een ellips met = = top en met assen die gelijk zijn aan 0. 5a De doorsnede estaat uit twee lijnen die elkaar snijden in de top van de kegel. De toppen vallen samen in en de randpunten liggen op oneindig. 07
4. araolen ladzijde 06 6a R ligt op de paraool dus d( R, l) = d( R, ) dan geldt R = R dus R op de lijn m. Er geldt Q = Q Omdat Q hypothenusa is in de rehthoekige driehoek QQ, geldt dat Q > QQ. d Uit en volgt dat voor willekeurige Q op m anders dan geldt dat d( Q, l) = QQ < Q = Q = d( Q, ) en dus heeft m maar één punt gemeenshappelijk met de paraool en ligt Q steeds aan de dezelfde kant van de onflitlijn (.q. paraool), namelijk in het geied van de rihtlijn. et andere woorden, m raakt aan de paraool. e Laat het snijpunt zijn van m met. Er geldt R R (ZZZ) en dus is R = R. f Elke lijn loodreht op de rihtlijn heeft maar één punt gemeen met de paraool, maar is geen raaklijn. 7a De raaklijn in R maakt gelijke hoeken met R en met een lijn loodreht op de rihtlijn zoals l, eide met grootte α 0. De deellijn verdeelt R in twee hoeken van β 0. Er geldt dat α + β = 80 0, dus is α + β = 90 0 en staat de raaklijn in R loodreht op de deellijn van R. Laat vanuit R een loodlijn neer op de rihtlijn, deze snijdt de rihtlijn in. Construeer vervolgens de middelloodlijn van. Dit is de raaklijn in R. Door geruik te maken de eigenshap die ij onderdeel a wordt genoemd. Teken het lijnstuk R, teken lijn l door R evenwijdig aan de symmetrie-as, onstrueer de deellijn van de hoek die door R en l wordt gemaakt (innen het geied van ), riht in R de lijn op loodreht op de deellijn en je het de gezohte raaklijn. ladzijde 07 8 Construeer een lijn m m door punt R en een loodlijn k op l in R. De lijn k hoort de issetrie te zijn van de hoek tussen m en R. Je vindt dus randpunt door de hoek ij R tussen m en k te verduelen en ijehorende een te snijden met symmetrie-as m. Kies een voetpunt van R op m zodanig dat de afstand van R tot dat voetpunt gelijk is aan R. Er zijn twee mogelijkheden. Loodlijn oprihten in de gevonden voetpunten levert de mogelijke rihtlijnen s en t. m t s k m R l 08
9 Laat het voetpunt zijn van op l. De punten en liggen eide op de middelloodlijn van, dus = = = = 90. = 0 0 De raaklijn in staat loodreht op de deellijn van, 3. Omdat 3 = 90 is, 0 0 0 0 = 45 en = 90 = 45. naloog is ook = 45 en is de hoek die de twee raaklijnen met elkaar maken gelijk aan 90 0. m m 4 3 a Omdat de deellijn van de ingaande en de uitgaande straal loodreht staat op de raaklijn. De undel estaat na terugkaatsing uitsluitend uit stralen die evenwijdig zijn aan de as van de spiegel, want de stralen zijn het omgekeerde van de stralen uit opdraht a. Het vlak door randpunt loodreht op de as van de spiegel snijdt de spiegel in punten die samen een irkel vormen. De evenwijdige stralen die op die irkel aankomen weerkaatsen onder een hoek van 90 0. ergelijk ook opgave 0. a Omdat zij elkaar op die manier versterken. ls de rihtlijn erij wordt gehaald, dan is het snel duidelijk. + = + = = = + = = alle stralen leggen dezelfde afstand af. 09
4.3 Ellipsen ladzijde 08 3a R = R = R + R R = R van. Omdat Q Q ligt op m dus Q, en niet op één lijn liggen is Q + Q >. = Q. en dus ligt R op de middelloodlijn m Dus geldt Q + Q = Q + Q > en ligt zo n punt Q uiten de ellips. d ls een punt Q over m eweegt, ligt het eerst uiten de ellips, in punt R op de ellips en daarna opnieuw uiten de ellips. De lijn m moet dus wel aan de ellips raken. m R 4 3 ewezen moet worden dat R = R 4. R = R R = R R R ( ZZR ) R = R. = = 90 Uit R = R (overstaande hoeken) volgt dan meteen dat R = R 4 4. 4a De hoeken die R en R met raaklijn l maken zijn gelijk, zeg α 0. De hoeken die m met R en R maakt zijn natuurlijk ook gelijk, zeg β 0. De hoek tussen l en m is α + β, terwijl α + β = 80 0. Hieruit volgt dat α + β = 90 0 en l en m staan dus loodreht op elkaar. Teken R en verleng dit lijnstuk met een stukje ter grootte van R. Je vindt dan punt op de rihtirkel met middelpunt. Construeer nu de middelloodlijn van en je het de raaklijn aan R te pakken. R Teken R en R, onstrueer de deellijn van R en riht vervolgens de loodlijn in R op m op en je het de raaklijn aan R te pakken. 0
5a Je kunt irkel uit irkel halen door met een fator te vermenigvuldigen vanuit punt. Het middelpunt van wordt afgeeeld op het midden tussen en en de straal van gelijk aan de lange as van de ellips, wordt de helft daarvan. wordt daarij afgeeeld op Q en dus is Q = en ook Q = Q. De raaklijn in R is de middelloodlijn van. Omdat Q = Q is Q het midden van en ligt dus op die middelloodlijn. Omdat R Q RQ (ZZZ) is RQ = RQ. Omdat deze hoeken samen 0 een gestrekte hoek vormen, is RQ = 90. d Uitgaande van en en rihtirkel met middelpunt kun je als volgt te werk gaan: ermenigvuldig ten opzihte van met fator, halveer de straal van en teken irkel. Kies nu een punt op, teken en epaal het snijpunt met en noem dat punt Q. Riht in Q een loodlijn op en snijdt deze lijn met. Dit snijpunt ligt op de ellips. 6a tel lihtstraal l komt vanuit op de spiegel aan in punt. De straal wordt weerkaatst volgens de regel hoek van inval is hoek van uitval. Omdat en voldoen aan die regel, gaat de teruggekaatste straal door. ls de straal vervolgens op de spiegel aankomt in punt Q wordt zij om vergelijkare redenen teruggekaatst rihting, enzovoort. Het punt waar de straal m de spiegel treft, verindt je met en de straal wordt teruggekaatst op aangegeven manier. ladzijde 09 7a Kies ijvooreeld de methode van opgave 4. Je krijgt dan:
De invallende straal maakt een kleinere hoek met de raaklijn in dan een straal langs. Dat etekent dat de hoek van uitval ook kleiner zal zijn dan de hoek die maakt met de raaklijn. De teruggekaatste straal gaat dus niet tussen en door, maar gaat uitenom. Dezelfde redenering kun je houden ij de volgende keer dat de straal op de spiegel tereht komt. T T Wanneer de lihtstraal steeds tussen de eide randpunten doorgaat moet de vertrekkende lihtstraal dat ook doen. 8a! Q d piegel in de vouwlijn. Je krijgt dan '. ' snijdt de vouwlijn in. Omdat ' (ZHZ) is = ' en ' =. Omdat + = + ' = ' = straal van een rihtirkel ligt op de ellips. Omdat = ' = Q (overstaande hoek) is de vouwlijn tegelijk raaklijn aan de ellips in. De lengte van de lange as is gelijk aan de straal van een rihtirkel. Dit is dus 0. De lengte van de kleine as vind je ijvooreeld door punt te ekijken. Dit punt ligt op de kleine as van de ellips en op de ellips zelf ( = = 5 en dus + = 0 ). Q = 5 ( 3 ) = 5 en de korte as heeft dus lengte 5. Q
9 tel is het snijpunt van met de rihtirkel waarvan het middelpunt is, dan is lijn l de middelloodlijn van en Q dus het midden van. Dan is dus ook =. is het midden van en Q is het midden van dus ( ) = ( + ) Q = = +. 0a G' = ' G = straal eide rihtirkels G' = ' ( op middelloodlijn ' G') G' G ' = G ( op middelloodlijn G) Omdat en R eide op de middelloodlijn van G liggen is = G en R = RG. erder is R = R en dus is R RG (ZZZ) en dus R = GR. Een gevolg van de ongruentie ewezen ij onderdeel a is G ' = G '. Ehter is G' = G ' = GR = R en dus issetrie van QR. G' Q = ' Q; G' Q = ' Q = ' R en GR = R = Q. 4.4 Hyperolen ladzijde 0 a erleng in de rihting van en snijdt deze lijn met de middelloodlijn van. Halflijn snijdt de middelloodlijn van nergens. d 0 ls = 90 lopen en de middelloodlijn van evenwijdig en snijden 0 ze elkaar dus niet. Wanneer < 90 dan snijden de middelloodlijn en elkaar in een punt dat dihter ij de irkel ligt dan ij, dus dat kan ook niet. e Construeer eerst punt midden tussen en. De irkel met als middelpunt door en snijdt de rihtirkel in en T. De lijnen door (tevens symmetriepunt van de hyperool) evenwijdig aan en T vormen de asymptoten van de hyperool. T 3
a 3 4 3 4 Je vindt een punt van de hyperool door op de irkel een punt te kiezen. Het snijpunt van en de middelloodlijn van is een punt van fde hyperool. De geonstrueerde punten liggen allemaal op een tak van de hyperool. R 3 4 R Het midden van lijnstuk is natuurlijk symmetriepunt van de hyperool. De asymptoten van de hyperool gaan dus door dit punt. De irkel met middelpunt door snijden de rihtirkel met middelpunt in R en R. De lijnen door evenwijdig aan R en R vormen de asymptoten van de hyperool. 3a Laat r de straal van zijn. Er geldt dan r = d( R, ) d( R, ) De twee driehoeken waarin m de driehoek R verdeelt zijn ongruent (ZZZ) en dus maakt m gelijke hoeken met R en R en dus ook met R en R. Neem een willekeurig punt Q op m anders dan R. Omdat Q op de middelloodlijn m ligt geldt d( Q, ) = d( Q, ). erder is dan d( Q, ) < d( Q, ) + d(, ) = d( Q, ) + r en dus is d( Q, ) d( Q, ) < r. fgezien van R liggen alle punten van m dus aan dezelfde kant van de hyperooltak, dus moet m de raaklijn in R zijn. 4a ij een hyperolishe spiegel worden stralen vanuit een randpunt terugegkaatst alsof ze uit het andere randpunt komen. 4
ladzijde 5a R T W as een afstand ter grootte R af op R en ontrueer de rihtirkel met middelpunt. Teken daarna het lijnstuk en epaal het snijpunt W met. De top T ligt nu midden tussen en W. R R Construeer rihtirkel met als middelpunt met de straal die je ij onderdeel a vond. De raaklijnen vanuit staan loodreht op de straal van de irkel naar ijehorend raakpunt. Construeer een irkel die als middellijn heeft en snijdt deze met in R en R. Lijnen vanuit door R en R getrokken staan loodreht op de stralen R en R en zijn dus de gezohte raaklijnen. Een van de asymptoten is de lijn door evenwijdig aan R. De middelloodlijn van R staat evenals R loodreht op R en omdat R = gaat die middelloodlijn ook door. Deze middelloodlijn heeft dezelfde rihting en gaat door hetzelfde punt als de asymptoot. Het moet dus gaan om dezelfde lijn. oor de andere asymptoot geldt iets dergelijks. 6 R piegel in de raaklijn en noem dat punt. erleng lijnstuk R en snijdt ijehorende lijn met de symmetrieas. Het snijpunt is en is de straal van eide rihtirkels. Je hoeft alleen maar deze lengte naar over te rengen om de gevraagde rihtirkel te kunnen onstrueren. 5
7a R erleng R en snij de lijn met de symmetrieas. Dit snijpunt is. R as een lijnstuk R op R af ter grootte R gevraagde rihtirkel (onderdeel )., dan is de straal van de Construeer vervolgens de middelloodlijn van en je het de raaklijn in R aan de hyperooltak. 8a unt is 6 = km verder van punt verwijderd dan de punten en C. 3 C N Je kunt het punt epalen met ehulp van twee onflitlijnen. Eén onflitlijn hoort ij zinsnede in en C wordt op exat hetzelfde tijdstip..., dit is de middelloodlijn van C. Een andere onflitlijn die je kunt kiezen hoort ij punt ligt km verder van punt dan punt en resulteert in de getekende hyperooltak. Het snijpunt in noordelijke\ rihting ligt preies 3 km ten noorden van punt. 6
N C d Teken irkels om van, 3, 4, 5 km en om en C van 0,,, 3 km en je vind ook op die manier punt. ls punt niet op een geheel aantal kilometers van zowel, als C had gelegen, dan was het op deze manier moeilijker te vinden geweest. N C e ovenstaande figuur laat zien dat de andere mogelijkheid voor punt wat verder weg ligt en wel in zuidoostelijke rihting ten opzihte van, en C. N R C R epaal de raakpunten R en R van punt aan de rihtirkel met middelpunt De middelloodlijn van R is de asymptoot die de hyperooltak in zuidoostelijke rihting het est enadert. Je vindt op deze manier ongeveer hetzelfde punt '. 7
4.5 Gemengde opdrahten ladzijde 9a l l T C oor de weerkaatste stralen van en geldt dat ze evenwijdig zijn aan de symmetrie-as. Er geldt verder α = α = ( -hoek ) = CT (overstaande hoek) en β = β = CT ( -hoek ). Dus is γ = CT + CT = α + β. Hoek innen vierhoek C is 0 0 0 360 α β ( α + β) = 360 ( α + β) = 360 γ. Dit implieert dat = γ. 30a D E C r d De raaklijn d in E aan een van de ellipsen staat loodreht op de deellijn van CE. De gevraagde hoek is ε groot. Omdat ε = 90 0 EC geldt ε = 80 0 EC. ia de osinusregel kun je EC vinden: C = E + EC E EC os EC ls = a dan is E = a 5, C = a en EC = a en dus is 0 0 os EC = 5 EC 6, 57 ε 63, 43. 5 8
D E C De lengte van de lange as voor eide ellipsen gelijk aan CE + E = 6 + 6 + = 6 + 6 5 9, 4. De lengte van de korte as is dan = = 8 5 8 9, 43. 3 l n m r m Trek door een lijn m' evenwijdig aan de symmetrieas m. Ergens op m' moet een voetpunt liggen. an de andere kant van lijn r ligt het randpunt zodanig dat de lijn r middelloodlijn van zijn. Dat etekent in ieder geval ook dat r deellijn is van. et andere woorden, =. Teken nu de halfrehte n zo dat =. De halfrehte snijdt de symmetrielijn in. Kies nu zo dat = en je vindt de rihtlijn l door een lijn door m' te tekenen. 9
3 m e e 3 W l Hieroven zijn de rihtirkels en van de ellipsen e en e getekend. en W liggen in het verlengde van op de rihtirkels. Raaklijn l is de middelloodlijn van en dus ook issetrie van. Raaklijn m is de middelloodlijn van 3 W en dus ook issetrie van W. Dus er geldt: 3 (, l) = ( W, l) (, m) = ( W, m) = (, l) + ( W, l) + ( W, m) + (, m) = 3 3 3 ( W, l) + ( W, m) = ( ( W, l) + ( W, m)) = α. ladzijde 3 33 e h e h e h Laat e een rihtirkel zijn van de ellips en h die van één van de hyperooltakken. De volledige hyperool en de ellips snijden elkaar in vier punten, waaronder in. De raaklijn h in aan de hyperooltak is issetrie van en de raaklijn e h in aan de ellips is issetrie van. Omdat, en op één rehte lijn e e h liggen volgt hieruit dat e h. Uit symmetrieoverwegingen valt te egrijpen dat de raaklijnen in de andere snijpunten ook loodreht op elkaar staan. 0
34a m k Raaklijn m is issetrie van. Door die eigenshap kun je lijn k vinden. Het snijpunt van k met de symmetrie-as levert randpunt. Door op een stukje ter grootte af te passen, vind je de straat van de rihtirkel met middelpunt. C d e Er is geen snijpunt van en de middelloodlijn van. Dit is het gevolg van het feit dat een rehte hoek is. Er is ook geen snijpunt van C en de middelloodlijn van C. Dit is het gevolg van het feit dat ook C een rehte hoek is. Er is geen snijpunt van en de middelloodlijn van omdat ze evenwijdig zijn. Dit is het gevolg van het feit dat een rehte hoek is. Er is ook geen snijpunt van C en de middelloodlijn van C. Dit is het gevolg van het feit dat ook C een rehte hoek is.
35a Q Neem een geluidsgolf Q die de wand ereikt in Q en teruggekaatst wordt naar. is een tweede geluidsgolf die de wand iets later ereikt in. Kies op Q zo dat Q = () Op het moment dat de wand ereikt, is de teruggekaatste straal uit Q in punt. Er geldt + = Q + Q + + = Q + Q + () Omdat natuurlijk ook geldt = Q (3). (), () en (3) geeft: = en dus liggen en op een irkel. Ook de golven van golffront Equation Chapter (Next) etion zijn even lang onderweg als die van '. Dat etekent dat r + r = l r = l r. d Test jezelf ladzijde 6 T-a In opdraht is de stelling ewezen dat wanneer je vanuit een punt uiten een ol raaklijnen tekent aan die ol de afstand tussen dat punt en de raakpunten gelijk is. Dus = C en = D Omdat D en C evenwijdige irkels doorlopen. + = C + D = DC = onstant d De doorsnede is een ellips met randpunten en.
T-a E G C C is middelloodlijn van E en C is middelloodlijn van G. is het midden van EG en is het midden van, dus is middenparallel in trapezium EG. Dus dan geldt // E en staat loodreht op EG. EG is middelloodlijn van EG en gaat dus door C. midden van EG d C staat loodreht op EG, dus op de rihtlijn en dus geldt C//as paraool T-3a x x o Q o De raaklijnen in en Q maken gelijke hoeken met en respetievelijk met Q en Q. reng dus de hoek tussen de raaklijn in en over. Het snijpunt van dit alles is punt. Omdat raaklijn l nu middelloodlijn van is voor zekere ligt dus op de rihtirkel met middelpunt. l Q De gespiegelde van in l verinden met en nemen als straal van de rihtirkel. 3
ladzijde 7 T-4a Q nijd het verlengde van Q met de middelloodlijn van Q en je vind punt. Q T epaal het midden van. De irkel met middelpunt en straal snijdt in en T. is evenwijdig met de middelloodlijn van en levert net geen punt meer op van de hyperooltak. Iets dergelijks geldt voor punt T. De oog tussen en T is vetgemaakt omdat daar overal voetpunten van de hyperooltak kunnen liggen (exlusief en T zelf dus). De asymptoten zijn de lijnen door die evenwijdig aan resp. T lopen. Zie hieroven. 4
T-5a R N Q N N 3 Kies een randpunt R, trek de lijn R en de middelloodlijn van R. Ze snijden elkaar in een punt N, dat als middelpunt kan worden genomen van een irkel die raakt aan en door gaat. Zie hieroven voor drie vooreelden. Het vermoeden rijst dat de meetkundige plaats van de middelpunten van de rakende irkels een ellips is met en als randpunten. ewijs: tel N 3 is het middelpunt van zo n inwendig rakende door gaande irkel. De irkels raken in punt. Dan ligt N 3 op de middelloodlijn van. Dus N = N. 3 3 Dan geldt: N + N = N + N = r Dus N 3 3 3 3 3 ligt op een ellips met randpunten en. 5
T-6a T is deel van de middelloodlijn van dus. Dus is = 90 naloog volgt uit het feit dat middelloodlijn is van T dat ook = 90. eide hoeken ij zijn reht dus = 80 en de stelling is ewezen. is (deel van) de middelloodlijn van, dus is ook issetrie van. naloog is issetrie van T. Dus en delen elk hoeken middendoor die samen 80 zijn en dus is = 90. T-7a k L L Trek een pijl van L naar, onstrueer vervolgens de raaklijn in, de loodlijn k op die raaklijn, spiegel L in k en trek de vervolgpijl van naar L '. ls de lihtron L op de symmetrieas niet samenvalt met is geplaatst, komen de lihtstralen na spiegeling niet door omdat dit slehts geldt voor stralen die parallel aan de symmetrieas naar de spiegel komen. T-8 Er estaat wel een raaklijn die 45 maakt met de hoofdas van de ellips. Een al die evenwijdig aan die hoofdas wordt afgestoten en tereht komt op ijehorende raakpunt, kaatst van de rand van het iljart terug en maakt een hoek van 90, zodat de al loodreht op de hoofdas verder eweegt. Uit symmetrieoverwegingen kan worden ingezien dat de al in een rehthoek rond kan gaan en dus steeds na vier maal kaatsen weer in hetzelfde punt op het iljart komt. 6