Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 13 1 Onderzoeken 1.1 Inleiding Voorkennis 1 Grootheden Grootheid meetinstrument Eenheid spanning spanningsmeter V (volt) stroomsterkte stroommeter A (ampère) weerstand ohmmeter Ω (Ohm) massa balans kg (kilogram) tijd klok, stopwatch s (seconde) kracht krachtmeter N (newton) temperatuur thermometer C (graad Celsius) of K (kelvin) lengte liniaal - rolmaat m (meter) snelheid snelheidsmeter m/s (meter per seconde) of km/h (kilometer per uur druk drukmeter Pa (pascal) volume maatglas m³ (kubieke meter); L (liter = dm³) Formules Grootheid Formule Eenheid snelheid v = s t m/s (km/h) oppervlakte van een rechthoek A = l b m² (cm²) dichtheid van een stof ρ = m kg/m³ (g/cm³) V frequentie van een trilling f = 1 Hz T vermogen van een lamp P = U I W (= J/s) energieverbruik van een lamp E = P t = U I t J (kwh) 3 Meetmethode A De lengte bepaal je door te meten hoeveel keer de lat van 1 meter geheel past en te schatten welk deel van de meter er op het laatst nog overblijft. B De steen moet natuurlijk wel in het maatglas passen. Je doet eerst water in het maatglas en je leest het volume af. Vervolgens doe je de steen erbij (voorzichtig) en lees je voor de tweede keer het volume af. De toename van het volume is dan gelijk aan het volume van de steen. C De slingertijd meet je door bijvoorbeeld de tijdduur van 1 slingeringen meten. De gemeten tijdsduur deel je vervolgens door het gemeten aantal slingeringen. D De geodriehoek heeft een schaalverdeling die van links 7 cm tot rechts 7 cm loopt. Aan beide zijden steekt er nog een blanco gedeelte uit. Dit gedeelte blijkt 1 cm te zijn. De totale lengte van de lange zijde is 16 cm. Je kunt met deze lineaalzijde nagaan hoeveel gehele aantal keren je deze lange zijde in de hoogterichting kunt leggen. Van het laatste gedeelte moet je weer met de lineaal-zijde bepalen hoe lang het laatste gedeelte is rekening houdend met het blanco gedeelte van 1 cm.
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 14 1. Soorten onderzoek Kennisvragen 5 Eperimenteel onderzoek, literatuuronderzoek en ontwerpen. 6 1 Bevestigen of verwerpen van een theorie. 4 Eigenschappen vaststellen. Theorie bijstellen. 5 Materialen zoeken. 3 Effect optimaliseren. Oefenopgaven 7 Eperiment bedenken: voorbeeld bij A Eperiment: we laten een stuiterbal van een bepaalde hoogte (m.b.v. meetlint) los en meten vervolgens het aantal keren dat de bal stuitert in 1 seconden (stopwatch). Onderzoeksvraag: Hoe verandert het aantal keren dat een bal stuitert in 1 seconden als je de hoogte varieert waarop je de bal loslaat. Hypothese: Het aantal keren stuiteren in 1 seconden neemt af naarmate de hoogte toeneemt. Bespreek samen met één van je klasgenoten de door jullie uitgewerkte eperimenten. Ga bij elkaar na of het volgens jullie ook klopt. stopwatch Bij opgave 7 A hoogte meetlint 1 11 1 9 8 7 6 5 4 3 1 in cm 8 Bungeejumping a Hypothese: De trekkracht F t neemt evenredig toe met het kwadraat van de dikte d omdat de trekkracht evenredig zal zijn met de oppervlakte van de doorsnede van het elastiek. b Je moet de trekkracht F t en de dikte d meten. Hierbij kun je de dikte van te voren kiezen. De dikte meet je met een lineaal of (nauwkeuriger) met een schuifmaat. De trekkracht meet je met een veerunster. Tijdens het eperiment gebruik je alleen de veerunster. De lineaal (of schuifmaat) gebruik je vooraf. Je zorgt natuurlijk steeds voor dezelfde beginlengte. En tijdens het eperiment mogen bijvoorbeeld de temperatuur en de vochtigheid niet veranderen. Dit meet je met een thermometer en met een vochtigheidsmeter. De maatregelen zijn bijvoorbeeld dat je bescherming voor je ogen draagt, en dan je niet te dicht in de buurt bent met je handen en je hoofd op het moment dat het elastiek breekt. c Voorbeelden: Hoe ver rekken de elastieken bij verschillende diktes uit tot het moment van breken? Wat is de invloed van de temperatuur op de treksterkte? Enz. Vergelijk je antwoord met één van je klasgenoten. 1.3 Tabellen en diagrammen Kennisvragen 9 Een diagram heeft het voordeel dat je in één oogopslag een overzicht van een groot aantal afzonderlijke meetresultaten voor je ziet. Je kunt ook gemakkelijker ontdekken of er een bepaald opvallend verband tussen de grootheden bestaat. 1 Interpoleren : stel je hebt de temperatuurdaling gemeten van een beker met heet water in de loop van de tijd bijvoorbeeld om de minuut. Nadat je de meetpunten in een diagram hebt weergegeven, zie je dat je vrij goed een vloeiende lijn door de punten kunt trekken. M.b.v. dit diagram kun je daarna bijvoorbeeld nagaan hoe groot de temperatuurdaling was na bijvoorbeeld,5 minuut hoewel je een meting na én een meting na 3 minuten hebt verricht. Je hebt dan de temperatuurdaling bepaald tussen echte meetpunten in dus binnen het meetgebied. Etrapoleren : stel dat je bovenstaande metingen gedurende 1 minuten hebt verricht. Het verloop is waarschijnlijk zodanig dat je vrij goed kunt voorspellen hoe groot de temperatuurdaling was na bijv. 1 minuten. Je trekt daarvoor de vloeiende lijn zo goed mogelijk door in de richting van het verloop. Je hebt hier wel met een grotere onzekerheid te maken omdat je buiten het meetgebied zit. 11 Een tabel bestaat uit (of meer) kolommen; boven elke kolom komt de naam (of afkorting) van een grootheid te staan met de bijbehorende eenheid; in principe wordt in de eerste kolom de onafhankelijke grootheid vermeld; in de daarop volgende kolom wordt de afhankelijke grootheid vermeld en grootheden die van belang zijn en die niet veranderen worden naast de tabel vermeld. 1 Een diagram moet de meetresultaten zo nauwkeurig mogelijk weergeven; het moet duidelijk zijn welke grootheden (mét eenheid) tegen elkaar zijn uitgezet en het moet een goed beeld geven van het verband tussen de twee grootheden.
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 15 Oefenopgaven 13 Snelheid a De tijd t is de onafhankelijke grootheid omdat je vooraf kunt bepalen gedurende welke tijdsduur je metingen wilt verrichten en ook om de hoeveel seconden. b Zie diagram hiernaast. c Je moet een punt op de getekende grafiek gebruiken omdat je bij metingen altijd met meetonzekerheid te maken hebt. Door een punt op de lijn te gebruiken, heb je als het ware deze meetonzekerheid meer uitgeschakeld. v = s v = 3 = 5, m/s Afgerond: v = 5, m/s t 6 14 a b m d (g) T u ( o C) ΔT ( o C) 3, 71 6 4,5 51 4 6, 41 3 7,5 35 4 9, 31 c Bij 5, kg/min is ΔT = 39 C. Bij 1 kg/min is ΔT = 18 C. d Om de temperatuurstijging bij 1 kg/min te bepalen moet je de grafiek etrapoleren. Dit is altijd onnauwkeuriger dan interpoleren omdat je minder goed kunt voorspellen hoe de grafiek zal verlopen voorbij de gemeten waarden. 35 s 3 (m) 5 15 1 5 1 3 4 5 6 t (s) 8 ΔT 7 ( o C) 6 5 4 3 1 4 6 8 1 1 m d (kg/min) 15 a b Conclusie: de verschillen vallen nu meer op. 1 L 8 (db) 6 7 L 65 (db) 6 4 55 5 4 8 1 16 4 r (m) 16 a De punten liggen niet precies op één lijn. Toch kun je hier een rechte lijn tekenen die zo goed mogelijk tussen alle punten h door gaat. (cm) b Je kunt deze met behulp van de grafiek bepalen (interpoleren): T = 5 C h = 6,6 cm c h = 8, cm T = 7 C d Dit is een vorm van etrapoleren: teken de lijn links en rechts door. Het snijpunt, waarbij de hoogte h = cm, ligt op de negatieve T-as ligt bij - 47 C en bij 1 cm is T = 1 C. Dus T min = - 47 C en T ma = 1 C 1 1 8 6 4 4 8 1 16 4 r (m) 1 3 4 5 6 7 8 9 1 T ( o C)
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 16 17 a De remkracht en de massa. 1 b Naarmate je meer metingen doet, kun je een nauwkeuriger gemiddelde bepalen. Je krijgt zo een meer nauwkeurige eindwaarde. c Om de invloed van de meetonnauwkeurigheden zo klein mogelijk te maken, kun je eerst de gemiddelde remweg bij elke beginsnelheid uitrekenen: 1,3 + 1,5 + 1,1 s rem, gem. = = 1,3 m 3 Op dezelfde manier vind je: 3, m; 5,1 m; 8,1 m Bedenk dat bij v b = de remweg s rem = m. De grafiek heeft een zogenaamde parabolische vorm en zou dus wel eens een echte parabool kunnen zijn. Dit moet nog wel nader gecontroleerd worden. s rem (m) 8 6 4 5 1 15 5 v b (km/h) 18 a Zie de figuur hiernaast. N.B. De verticale as heeft een indeling waarbij rekening gehouden is met vraag b! b Om een schatting te geven moet je de grafieklijn etrapoleren. Omdat je dit nogal ver moet doen en de lijn enigszins gebogen verloopt is dit niet zo heel erg nauwkeurig. Schatting: bij r = 5 cm I = 75 à 85 W/m² 8 I 7 (W/m ) 6 5 4 3 1,,4,6,8 1, 1, 1,4 1,6 r (m) 19 a Zie de figuur hiernaast. b Als je een hele korte slinger neemt, krijg je een heel kleine slingertijd: je kunt aannemen dat T = s als l = cm. De lijn moet dan door de oorsprong van de grafiek gaan. Als je zoveel mogelijk tussen de meetpunten door een rechte lijn zou tekenen, gaat deze nooit door de oorsprong van de grafiek. Om door het punt (T = s en l = cm) te gaan moet de lijn dus naar beneden worden afgebogen. c Voorbeeld berekening:, T = π T = π =.897 s g 9,81 1,6 (s) 1,4 1, 1,,8 Afgerond: T =,9 s T 1,8 1 3 4 5 6 7 8 (cm) l (cm) T (s) (berekend) T (s) (gemeten),9,9 3 1,1 1,11 4 1,7 1,4 5 1,4 1,43 6 1,55 1,56 7 1,68 1,65 Uit de tabel blijkt dat er kleine verschillen optreden, die waarschijnlijk te maken hebben met meetonnauwkeurigheden.
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 17 1.4 Meetonzekerheid Kennisvragen a Met de meetonzekerheid in een meetwaarde wordt bedoeld dat je nooit precies te weten kunt komen hoe groot de werkelijke waarde van een gemeten grootheid is. b De oorzaak van de meetonzekerheid kan het gevolg zijn van het gebruikte meetinstrument, de gevolgde meetmethode en de meetomstandigheden tijdens de meting. c De meetonzekerheid kun je in een diagram weergeven met een vierkantje: de lengte van de horizontale zijde en de verticale zijde wordt daarbij bepaald door de grootte van de geschatte meetonzekerheid. d Bij het rekenen met gemeten waarden houd je rekening met de vuistregel voor het afronden van de uitkomst: je bepaalt eerst het aantal significante cijfers van de gebruikte meetgegevens, dan ga je na welk meetgegeven het kleinste aantal significante cijfers heeft. Je geeft vervolgens een einduitkomst met dit kleinste aantal significante cijfers. e Met significante cijfers worden de getallen in een meetwaarde bedoeld waarbij je er vrijwel zeker van bent dat ze de juiste betekenis (of waarde) weergeven. De getallen waarvan je niet meer zeker bent, schrijf je dus niet op. Hoe meer getallen je kunt geven, hoe nauwkeuriger je gewerkt hebt. 1 Het verschil in de drie metingen zit in de nauwkeurigheid waarmee gewerkt is: I = 6, A geeft 3 significante cijfers terwijl I = 6 A slechts één significant cijfer te zien geeft. In het eerste geval is er mogelijk gewerkt met een meetinstrument met een kleiner meetbereik. Meetmethode A geeft de kleinste meetonzekerheid omdat een uiterste stand van een slinger veel gemakkelijker waar te nemen is dan de evenwichtsstand. Doordat je vrij nauwkeurig kunt zien wanneer de slinger van de heengaande beweging over gaat in de weergaande beweging, kun je nauwkeuriger de stopwatch op tijd indrukken. 3 A : B : 4 C : D : 3 E : 3 Oefenopgaven 4 Meetmethode A l = 9,3 m. Met een lat van 1 m zonder verdere schaalverdeling zul je waarschijnlijk wel de decimeters kunnen schatten, maar niet de centimeters. B l = 9,3 m. Als de lat een centimetersverdeling kent, dan kun je op de centimeter nauwkeurig weergeven. Misschien is het iets meer of iets minder maar 'op de millimeter nauwkeurig' schatten is dan waarschijnlijk niet mogelijk. C l = 9 m. Het is een beetje de vraag hoe goed je oog getraind is. Als je een timmerman bent of een landmeter dan mag je aannemen dat je wel op de meter (of halve meter) nauwkeurig kunt schatten. D l = 9 m. Bij het nemen van een aantal passen van ongeveer 1 m zal het al snel onmogelijk zijn om op de decimeter nauwkeurig te schatten. Zeker als je een aantal stappen neemt die iets meer of iets minder zijn dan die 1 m. 5 Meetinstrumenten figuur 13: t = 4,57 ±, s (reactietijd) t = 4,6 s figuur 14: U = 35 1 = 5 V U = 5 V figuur 15: het gemiddelde van de getallen ligt op ca. 3 T = 3 C 18,8 +,8 figuur 16: l = =,8 cm (dit is ongeveer het midden van de massa). l =,8 cm 6 Rekenen aan meetwaarden s 51, a v = v = =,6947 m/s Afgerond: v =,69 m/s t 19, b c m ρ = ρ = V 9,81,1 = 817,5 kg/m 3 Afgerond: ρ = 8, 1 kg/m 3 9,75 R = ρ R = 17 1 =,13 Ω Afgerond: R =,1 Ω of R = 1, 1 - Ω A 6 1, 1,5 d T = π T = π = 1,419 s g 9,81 Afgerond: T = 1,4 s
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 18 7 Schaatsen a De eindtijd 1 min 57,3 s = 117,3 s. b De eindtijd wordt bepaald in 5 significante cijfers aangezien 1 min 57,3 s = 117,3 s. De op het eind telt ook mee! c Je kunt op twee manieren een schatting maken - door een diagram te tekenen van de afstand tegen de tijd en dan te interpoleren of - door een berekening uit te voeren. In dit laatste geval moet je dan eerst nagaan in hoeverre hier sprake is van een constante snelheid: s 3 v = v = = 1,55 m/s bij de eerste meting. t 3,9 7 11 De tweede meting geeft v = = 1,65 m/s geeft en de derde meting v = = 1,73 m/s. 55,3 86,4 15 De eindmeting levert: v = = 1,78 m/s. Zo te zien de snelheid redelijk constant. 117,3 Dan kun je de schatting als volgt maken: s s 5 Uit v = t = = = 39,37 s. De tussentijd wordt dan geschat op 39,4 s. t v 1,7 N.B. Je geeft hier hooguit 3 significante cijfers omdat de snelheid slechts constant is binnen de grenzen van à 3 cijfers nauwkeurig. 1.5 Evenredige verbanden Kennisvragen 8 Bij een kwalitatief verband geef je in woorden een beschrijving van een verband. Bijvoorbeeld: als de grootheid groter wordt dan wordt de grootheid y ook groter. Bij een kwantitatief verband zoek je naar een wiskundige formule die het verband tussen de grootheden beschrijft. 9 soort verband te herkennen met: tabel grafiek formule Recht evenredig Als in één kolom twee getallen rechte lijn door O verband een bepaalde factor verschillen, y = c dan verschillen in de volgende kolom de vergelijkbare getallen ook met dezelfde factor van elkaar. Omgekeerd Als in één kolom twee getallen dalende kromme evenredig verband een bepaalde factor verschillen, lijn = c dan verschillen in de volgende kolom de vergelijkbare getallen met het omgekeerde van die factor. 3 a Bij een omgekeerd evenredig verband neem je een punt op de lijn en bepaal je ook hoe groot de waarde van de grootheid y en van de bijbehorende grootheid is. Vervolgens vermenigvuldig je de waarde van y met de waarde van. c Dit levert de waarde voor de constante c: y = c (of y = ) y of = c y of y = b Bij een kwadratisch verband neem je ook een punt op de lijn en bepaal je ook hoe groot de waarde van de grootheid y en van de bijbehorende grootheid is. Vervolgens deel je de waarde van y door het y kwadraat van de waarde van. Dit levert de waarde voor de constante c: c = (of y = c ). c Bij een omgekeerd kwadratisch verband neem je ook een punt op de lijn en bepaal je ook hoe groot de waarde van de grootheid y en van de bijbehorende grootheid is. Vervolgens vermenigvuldig je de waarde van y met het kwadraat van de waarde van. Dit levert de waarde voor de constante c: y c = c (of y = ). y 31 Formule D geeft een rechtevenredig verband weer: uit = 1 volgt y = 1. De evenredigheidsconstante c = 1. c
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 19 3 Formule A geeft een omgekeerd evenredig verband weer: uit 1 y = volgt dat y = 1. Het constante getal c = 1. Oefenopgaven 39 Benzineverbruik verbruik V a Zie figuur hiernaast. b en c In beide gevallen (5 km/h en 14 km/h) gaat het om (L) 1 8 een schatting buiten het meetgebied. Dit betekent dat de grafieklijn naar beide zijden geëtrapoleerd moet worden: op basis van het drietal metingen is het moeilijk te zeggen of hier sprake is van een rechtevenredig verband. verbruik V Om dit na te gaan, rekenen we de verhouding snelheidv 6 4? 8,6 voor de drie gegeven waarden uit: =,13 L per km/h ; 6 8 1 7 v (km/h) 9,,18 L per km/h 85 9,8 =,98 L per 1 km/h. Deze getallen laten een (lichte) afname zien. Het is echter bekend dat bij hogere snelheden de luchtwrijving etra hard gaat meespelen. En bij snelheden onder de 7 km/h moet je meestal overschakelen naar een lagere versnelling. Beide gegevens leiden er waarschijnlijk toe dat het verbruik relatief gaat toenemen bij lagere en hogere snelheden. Als je op basis van die conclusie een etrapolatie maakt, levert dit de volgende schatting op: bij 5 km/h: 7, V 7,5 L en bij 14 km/h: 11,5 V 1,5 L. 4 Snelheid a Het diagram geeft een rechte lijn te zien die door de oorsprong gaat. b 1 e s 5 meting: = = 5, m/s ; e s 1 meting: = = 5, m/s ; t 1 t s 3 e s 156 meting: = = 5, m/s ; 4 e s 4 meting: = = 5,1 m/s ; (m) t 3 t 4 5 e s 5 meting: = = 5, m/s en 6 e meting: t 5 c Deze constante stelt de snelheid v voor, want d Zie het diagram hiernaast: de doorgetrokken lijn. s t 3 = = 5,3 m/s. 6 s v =. t 41 Geiser a De grafieklijn laat zien dat de temperatuurstijging ΔT afneemt naarmate de hoeveelheid water m d toeneemt. 4 1 14 b In dit geval moet je bij de metingen nagaan of ΔT m d = constant. 1 e meting: 6 3, = 18 Ckg/min ; e meting: 4 4,5 = 18 Ckg/min ; 3 e meting: 3 6, = 18 Ckg/min ; 4 e meting: 4 7,5 = 18 Ckg/min. 5 e meting: 9, = 18 Ckg/min. Conclusie: De waarden stemmen zeer goed met elkaar overeen. Het verband tussen de temperatuurstijging ΔT en de hoeveelheid water m d is dus een omgekeerd evenredig verband. 14 1 35 3 5 15 1 5 1 3 4 5 6 t (s)? 4 Botsproef a Het gemakkelijkste is om eerst een grafiek te maken van de spanning U tegen de kracht F (zie de figuur hiernaast). Uit de grafiek is te concluderen dat hier sprake is van een recht evenredig verband tussen de spanning U en de kracht F want de grafieklijn is een schuine rechte lijn die door de oorsprong gaat. Wel valt op dat het eerste meetpunt wat afwijkt van de rechte lijn (meetfout?). Vervolg op volgende bladzijde. U (V) 5 4 3 1? 1 3 4 5 6 F (kn)
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken Vervolg van opgave 4. b Voor een recht evenredig verband geldt in het algemeen: y = c of y = c Om de waarde van de constante te bepalen moet je de helling bepalen. Je neem dan punten van de lijn: bijvoorbeeld (;) en (6, 1 3 ΔU 4,6 3 ; 4,6): c = = =,77 1 V/N Δ F 3 6, 1 U 3 3 De formule is dus te schrijven als =,77 1 of U =,77 1 F Hierbij is U in V en F in N. F 43 Remmen a Kwalitatief gezien geldt dat de remweg s rem kleiner is naarmate de remkracht F rem groter is. b De massa m van de auto én de beginsnelheid v b zijn constant gehouden. Als je bijvoorbeeld de massa en/of de beginsnelheid van de auto groter maakt, dan krijg je bij dezelfde remkracht een grotere remweg. Als je deze grootheden dus tijdens het eperiment varieert, dan kun je nooit het verband tussen de remkracht en de remweg nauwkeurig onderzoeken. c Het beste is om eerst een grafiek te maken van de remweg s rem tegen de remkracht F rem 7 (Zie de figuur hiernaast). De grafiek lijkt een omgekeerd evenredig verband te laten zien. Je kunt dit controleren door voor een aantal meetpunten na te gaan of s rem F rem = constant 1 e meting: 6,5 4, 1 3 = 5, 1 3 m/n. e meting: 41,7 6, 1 3 = 5, 1 3 m/n. 3 e meting: 31,3 8, 1 3 = 5,4 1 3 m/n. 4 e meting: 5, 1, 1 3 = 5, 1 3 m/n. 5 e meting:,8 1, 1 3 = 49,6 1 3 m/n. Conclusie: De waarden stemmen heel goed met elkaar overeen. De kleine afwijkingen zijn niet significant. 1 Het is een omgekeerd evenredig verband. d In formulevorm luidt het verband: 4 6 8 1 1 5 F rem (kn) 5,5 1 srem Frem =,5 1 of srem =. Hierbij is s rem in m en F rem in N. Frem 44 Vloeistofthermometer a Bij een recht evenredig verband zou moeten gelden dat h = c. T 4, Reken je dit voor een aantal punten uit dan krijg je bij het eerste meetpunt: =,4. 1, De andere meetwaarden leveren achtereenvolgens de volgende waarden:,;,17;,15;,13;,1;,11 en,1. Conclusie: hier is duidelijk geen sprake van een constante waarde en dus is het verband niet recht evenredig. b Er is wel sprake van een rechte lijn, alleen deze gaat niet door de oorsprong. Het is daarmee wel een lineair verband. (1 3,) c b is het snijpunt met de verticale as: 3,; a is de richtingscoëfficiënt: a = =,68. 1 Dus de volledige formule luidt: h =,68 T + 3, 45 Remweg a De grafiek is een stijgende kromme lijn: het zou dus een kwadratisch evenredig verband kunnen zijn. b Controle: als het een kwadratisch evenredig verband is, geldt: s rem b v b = c of s = c v. 1,3 3, 5,1 8,1 Het eerste meetpunt levert op: =,13. En de volgende meetwaarden: = = =,13 1 15 5. Er is inderdaad sprake van een constante waarde voor c. Conclusie: de remweg s rem is kwadratisch evenredig met de beginsnelheid v b. s rem (m) 6 5 4 3 rem
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 1 46 Lichtintensiteit a De grafiek is een dalende kromme lijn: het zou dus een omgekeerd kwadratisch evenredig verband kunnen zijn. c b Controle: als het een omgekeerd kwadratisch evenredig verband is, geldt: I r = c of I =. r Het eerste meetpunt levert op: 31,8,5 = 7,95. De volgende meetwaarden leveren op: 1,4,8 = 7,936; 6,6 1,1 = 7,986 en 4,1 1,4 = 8,36. Als je bedenkt dat je volgens de vuistregel op cijfers moet afronden, dan zie je dat er een vrijwel constante waarde (van 8,) te voorschijn komt. Conclusie: de intensiteit I is omgekeerd kwadratisch evenredig met de straal r. 47 Slinger Bij een wortel verband zou moeten gelden dat T = c of T = c,9 Bij het eerste meetpunt levert dit op: =, 1. De andere meetpunten leveren voor de 'constante c' 1,11 1,4 1,43 1,56 de volgende waarden op: =, 3 1,65 ; =, 196 ; =, ; =, 1 en =, 197. 3 4 5 6 7 Als je bedenkt dat je volgens de vuistregel op cijfers moet afronden, dan zie je dat er een constante waarde (van,) te voorschijn komt. Conclusie: de slingertijd T is evenredig met de wortel uit de lengte l. 48 Valbeweging a Zie de figuur hiernaast. b De grafiek is een stijgende kromme lijn: het zou dus een kwadratisch evenredig verband kunnen zijn. c Controle: bij een kwadratisch evenredig verband s geldt: = c of s = c t. t,6 Het eerste meetpunt levert op: 6,,1 =. De andere meetwaarden leveren voor c de volgende waarden,3,515,91 1,45 op: = 5,75 ; = 5,7 ; = 5,69 en = 5, 7.,,3,4,5 Als je bedenkt dat je volgens de vuistregel op cijfers moet afronden, dan zie je dat er een vrijwel constante waarde (van 5,7) te voorschijn komt. Conclusie: de valafstand s is kwadratisch evenredig met de tijd t. 1,6 s(t) 1,4 (m) 1, 1,,8,6,4,,1,,3,4,5,6 t (s) 1.7 Afsluiting Oefenopgaven 59 Dichtheid a m en V zijn recht evenredig voor een stof, want beide gegeven V,m-diagrammen geven een grafieklijn die recht is en door de oorsprong gaat: m = c V. b Neem een punt van de grafieklijn en bereken met de gegevens van dit punt de dichtheid. m,7 3 Voor aluminium: ρ = ρ = =,7 g/cm =,7 1 3 kg/m³ V 1, 1, 3 Voor water: ρ = = 1, g/cm = 1, 1 3 kg/m 3 1,
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 6 Veerconstante a De uitrekking u en de veerkracht F zijn recht evenredig, want beide gegeven (u,f)-diagrammen geven een grafieklijn die recht is en door de oorsprong gaat: u = c F. F 1, b Veer 1: C = C = = 55,6 N/m Afgerond: C = 56 N/m u,18 Veer : C = = 1,67 1 3 N/m Afgerond: C = 1,7 1 3 N/m,1 c Hoe stugger de veer, des te groter de kracht per meter uitrekking, dus des te groter de veerconstante C. 61 Weerstand en temperatuur a Maak eerst een tabel van ΔT en ΔR: ΔT ( C) ΔR (Ω),15 4,3 6,45 8,65 1,8 ΔR (Ω),8,7,6,5,4,3 Het diagram staat in de figuur hiernaast., b De grafiek laat een recht evenredig verband zien tussen ΔR en ΔT. Dit betekent dat de bijbehorende formule,1 te schrijven is als: R = c T of R = c T Om de waarde van de constante te bepalen neem je een punt van de lijn, bijvoorbeeld:,78 o c = = 7,8 1 3 Ω/ C Dit betekent dat de formule te schrijven is als: ΔR = 7,8 1-3 ΔT. 1 4 6 8 1 T ( o C) c De weerstand bij C is R = R + ΔR, waarbij ΔR = 7,8 1-3 ( - ) = 1,44 Ω. Dus R = 1,6 + 1,44 = 3,4 Ω Afgerond: R = 3, Ω In principe is dit een redelijk betrouwbaar resultaat omdat een evenredig verband heel goed te etrapoleren is. Het blijft echter de vraag of de weerstandstoename ook bij hoge temperaturen recht evenredig blijft met de temperatuurtoename. Je weet dat nooit helemaal zeker als je niet echt in dat temperatuurgebied metingen verricht. 6 Warmteontwikkeling Het omgekeerd evenredige verband tussen R en Q kun je op twee manieren aantonen: A Indien het een omgekeerd evenredig verband is dan moet gelden dat Q R = constant We kunnen dit controleren door voor een aantal meetpunten na te gaan of dit klopt. 1 e meting: 4 6, = 144 Ω J e meting: 14 1 = 14 Ω J 3 e meting: 96 15 = 144 Ω J 4 e meting: 6 4 = 144 Ω J Conclusie: De waarden stemmen heel goed met elkaar overeen, alleen de tweede meting wijkt wat af. Maar als je bedenkt dat je het eindantwoord in cijfers significant moet geven dan blijkt de afwijking in de tweede meting duidelijk het gevolg van meetonzekerheid. Dus er geldt: Q R = 14 1 Ω J Het is een omgekeerd evenredig verband. B Je kunt het omgekeerd evenredige verband ook nagaan door een diagram te tekenen: Zie de figuur hiernaast. Q Het diagram laat duidelijk een dalende kromme (J) grafieklijn zien. Om echter zeker te weten of het een omgekeerd evenredig verband is, moet je toch nog steeds m.b.v. een aantal meetpunten door berekening (zie A) nagaan of Q R = constant wel echt constant is. 5 15 1 5 Er is nog een derde manier: zie volgende bladzijde. 5 1 15 5 R (Ω)
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 3 Vervolg opgave 6: de derde manier. C In het geval van een omgekeerd evenredig verband zou hier moeten gelden: Q R = c c 1 Dit kun je ook schrijven als Q = = c. Hierin kun je een recht evenredig verband herkennen R R 1 als je langs de horizontale as niet de waarde van R vermeldt, maar de waarde van. R In een diagram moet er dan een stijgende rechte lijn uitkomen die door de oorsprong gaat. 63 Kracht tussen twee stroomdraden a Bij een omgekeerd evenredig verband tussen F en r moet er gelden dat F r = constant. 1 e meting: 6,4 5, = 3, μn mm 4 e meting: 4, 8, = 3, μn mm Conclusie: De waarden stemmen heel goed met elkaar overeen. F b Bij een kwadratisch evenredig verband tussen F en I moet er gelden dat: = c ( of F = c I ). I 1 e 3,1 meting: = 5,36 μn/a,35 4 e 39,1 meting: = 5,4 μn/a 1,5 Conclusie: De waarden stemmen goed met elkaar overeen als je weet dat je de eindwaarde F op cijfers nauwkeurig moet afronden: dus = 5 μn/a. I 64 Veerkracht van spaken Diagram A: Constant gehouden grootheden: de lengte l en de dikte d. Kwantitatieve verband: de doorbuiging u is recht evenredig met de uitgeoefende kracht F, want de grafieklijn in het diagram is recht en gaat door de oorsprong. Diagram B: Constant gehouden grootheden: de doorbuiging u en de dikte d. Kwantitatieve verband: de uitgeoefende kracht F is omgekeerd evenredig met de lengte l, want de grafieklijn in het diagram laat een dalende kromme lijn zien. Bovendien kun je gemakkelijk inzien dat de kracht F zo klein (van 4 naar N) wordt als de lengte l zo groot wordt (van 76 naar 15 mm). Diagram C: Constant gehouden grootheden: de doorbuiging u en de lengte l. Kwantitatieve verband: de uitgeoefende kracht F is kwadratisch evenredig met de dikte d, want de grafieklijn in het diagram laat een stijgende lijn zien waarvan de helling steeds toeneemt. Bovendien kun je gemakkelijk inzien dat de kracht F 3 = 9 zo groot wordt (van naar 18 N) als de lengte 3 zo groot wordt (van 1 naar 3 mm). 65 Massa/veersysteem Voorbeeld berekening met m =,5 kg en C = 17 N/m: m,5 T = π T = π =,41s. De tabel vermeldt een gemeten trillingstijd T =,4 s. C 17 Dit stemt goed overeen. Voor de andere metingen: zie tabel hiernaast. m meting m T berekend = π T gemeten nr. (kg) 17 (s) (s) 1,5,41,4,5,341,33 3,75,417,43 4,1,48,48 Conclusie: Als je weer bedenkt dat ook de kolom met T berekend op getallen afgerond moet worden, zie je dat er een goede overeenstemming is tussen de berekende en gemeten waarde van de trillingstijd T.
Newton havo deel 1 Uitwerkingen Hoofdstuk 1 Onderzoeken 4 66 De g-factor a Zie diagram hiernaast. b Het diagram laat een grafieklijn zien die dalend én enigszins krom is. Dit zou erop kunnen duiden dat het een omgekeerd kwadratisch evenredig verband is. Om dit beter te kunnen concluderen kun je het beste een paar berekeningen uitvoeren aan de gemeten waarden: bij een omgekeerd kwadratisch evenredig c verband geldt: g r = c ( of g = ). r We kunnen dit controleren met de gegevens van de e en 3 e kolom (= r ): voor het eerste meetpunt geldt g r = 9,8 41, 1 6 = 41,8 1 6 N km /kg. De andere meetpunten leveren voor c de volgende waarden op: g (N/kg) 6 7 8 9 1 r (1 3 km) e meetpunt: 8,43 54,8 1 6 = 41,8 1 6 N km /kg; 3 e meetpunt: 6,43 6,4 1 6 = 41, 1 6 N km /kg; 4 e meetpunt: 5,69 7,6 1 6 = 41,7 1 6 N km /kg en 5 e meetpunt: 5,7 79, 1 6 = 41,5 1 6 N km /kg Als je bedenkt dat je hier volgens de vuistregel op 3 cijfers moet afronden, dan zie je dat er een vrijwel constante waarde (c = 4 1 6 N km /kg) te voorschijn komt. Conclusie: het verband tussen de grootheden g en r is omgekeerd kwadratisch evenredig. 1 9 8 7 6