Logica 1 Joost J. Joosten Universiteit Utrecht (sub)faculteit der Wijsbegeerte Heidelberglaan 8 3584 CS Utrecht Kamer 158, 030-2535579 jjoosten@phil.uu.nl www.phil.uu.nl/ jjoosten (hier moet een tilde bij) Logica 1 p.1/15
Vandaag Recapitulatie vorig college. Logica 1 p.2/15
Vandaag Recapitulatie vorig college. Trek aan de rem als het te snel gaat. Logica 1 p.2/15
Vandaag Recapitulatie vorig college. Trek aan de rem als het te snel gaat. Correctheid natuurlijke deductie voorbereiden Logica 1 p.2/15
Vandaag Recapitulatie vorig college. Trek aan de rem als het te snel gaat. Correctheid natuurlijke deductie voorbereiden Inductieve bewijzen Logica 1 p.2/15
Tautologieën Definitie tautologie: overal in de waarheidstabel staan énen. Logica 1 p.3/15
Tautologieën Definitie tautologie: overal in de waarheidstabel staan énen. We gaan een iets beter vocabularium ontwikkelen om over waarheidstafels te spreken. Logica 1 p.3/15
Tautologieën Definitie tautologie: overal in de waarheidstabel staan énen. We gaan een iets beter vocabularium ontwikkelen om over waarheidstafels te spreken. We noemen een rij in het linker deel van een waarheidstabel een valuatie. Logica 1 p.3/15
Tautologieën Definitie tautologie: overal in de waarheidstabel staan énen. We gaan een iets beter vocabularium ontwikkelen om over waarheidstafels te spreken. We noemen een rij in het linker deel van een waarheidstabel een valuatie. In andere woorden, een valuatie zegt bij elke propositie letter of deze waar (1) is of niet (0). Logica 1 p.3/15
Valuaties Waarheidstafels zeggen ons hoe wij valuaties tot formules uit moeten breiden. Logica 1 p.4/15
Valuaties Waarheidstafels zeggen ons hoe wij valuaties tot formules uit moeten breiden. Bijvoorbeeld: v(ϕ ψ) = min{v(ϕ), v(ψ)} Logica 1 p.4/15
Valuaties Waarheidstafels zeggen ons hoe wij valuaties tot formules uit moeten breiden. Bijvoorbeeld: v(ϕ ψ) = min{v(ϕ),v(ψ)} = v(ϕ) v(ψ) Logica 1 p.4/15
Valuaties Waarheidstafels zeggen ons hoe wij valuaties tot formules uit moeten breiden. Bijvoorbeeld: v(ϕ ψ) = min{v(ϕ),v(ψ)} = v(ϕ) v(ψ) Een formule ψ is een tautologie als v(ψ) = 1 voor alle valuaties v. Logica 1 p.4/15
Valuaties Waarheidstafels zeggen ons hoe wij valuaties tot formules uit moeten breiden. Bijvoorbeeld: v(ϕ ψ) = min{v(ϕ),v(ψ)} = v(ϕ) v(ψ) Een formule ψ is een tautologie als v(ψ) = 1 voor alle valuaties v. Voorbeeld: (p q) (q p). Logica 1 p.4/15
Meer valuaties Definitie: ϕ = ψ Logica 1 p.5/15
Meer valuaties Definitie: ϕ = ψ Definitie: Γ = ψ Logica 1 p.5/15
Meer valuaties Definitie: ϕ = ψ Definitie: Γ = ψ Definitie: = ϕ. Logica 1 p.5/15
Falsum en Verum De waarheidstabel van ϕ en ϕ zijn dezelfde. Logica 1 p.6/15
Falsum en Verum De waarheidstabel van ϕ en ϕ zijn dezelfde. Van nu af aan zullen we ϕ schrijven en ϕ bedoelen: het is een verkorte schrijfwijze. Logica 1 p.6/15
Falsum en Verum De waarheidstabel van ϕ en ϕ zijn dezelfde. Van nu af aan zullen we ϕ schrijven en ϕ bedoelen: het is een verkorte schrijfwijze. Evenzo zal van nu af aan ϕ ψ verkorte schrijfwijze zijn voor (ϕ ψ) (ψ ϕ) Logica 1 p.6/15
Nogmaals deductie Nog één connectief: falsum Logica 1 p.7/15
Nogmaals deductie Nog één connectief: falsum Ex falso sequitur quidlibet Logica 1 p.7/15
Nogmaals deductie Nog één connectief: falsum Ex falso sequitur quidlibet Reductio ad absurdum Logica 1 p.7/15
Nogmaals deductie Nog één connectief: falsum Ex falso sequitur quidlibet Reductio ad absurdum Stel Piet heeft de afgelopen tien dagen niets gegeten en niets gedronken... Logica 1 p.7/15
Meer deductie Onze kaart is nu af! Logica 1 p.8/15
Meer deductie Onze kaart is nu af! Hoe veel regels? Welke regels? Welke notatie? Logica 1 p.8/15
Meer deductie Definitie: ϕ ψ Logica 1 p.9/15
Meer deductie Definitie: ϕ ψ Definitie: Γ ψ Logica 1 p.9/15
Meer deductie Definitie: ϕ ψ Definitie: Γ ψ Definitie: ϕ. Logica 1 p.9/15
Correctheid redeneren Is alles wat wij kunnen bewijzen ook waar? Logica 1 p.10/15
Correctheid redeneren Is alles wat wij kunnen bewijzen ook waar? ϕ = ϕ? Logica 1 p.10/15
Correctheid redeneren Is alles wat wij kunnen bewijzen ook waar? ϕ = ϕ? We zullen bewijzen dat voor elk bewijs Γ ϕ ook geldt Γ = ϕ. Logica 1 p.10/15
Correctheid redeneren Is alles wat wij kunnen bewijzen ook waar? ϕ = ϕ? We zullen bewijzen dat voor elk bewijs Γ ϕ ook geldt Γ = ϕ. Hoe kunnen wij universele uitspraken bewijzen? Logica 1 p.10/15
Universele uitspraken Hoe kunnen wij universele uitspraken bewijzen? Generalisatie Logica 1 p.11/15
Universele uitspraken Hoe kunnen wij universele uitspraken bewijzen? Generalisatie Eindig domein Logica 1 p.11/15
Universele uitspraken Hoe kunnen wij universele uitspraken bewijzen? Generalisatie Eindig domein Reductie Logica 1 p.11/15
Universele uitspraken Hoe kunnen wij universele uitspraken bewijzen? Generalisatie Eindig domein Reductie Inductie Logica 1 p.11/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Een inductieve definitie heeft altijd twee componenten Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Een inductieve definitie heeft altijd twee componenten Basis Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Een inductieve definitie heeft altijd twee componenten Basis Inductiestap Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Een inductieve definitie heeft altijd twee componenten Basis Inductiestap Voorbeeld: formules Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Een inductieve definitie heeft altijd twee componenten Basis Inductiestap Voorbeeld: formules Voorbeeld: bewijzen Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Een inductieve definitie heeft altijd twee componenten Basis Inductiestap Voorbeeld: formules Voorbeeld: bewijzen Makkelijkste voorbeeld: Logica 1 p.12/15
Inductie Thema/techniek van deze week: inductie Natuurlijke getallen zijn inductief gedefinieerd Een inductieve definitie heeft altijd twee componenten Basis Inductiestap Voorbeeld: formules Voorbeeld: bewijzen Makkelijkste voorbeeld: natuurlijke getallen Logica 1 p.12/15
Getallen Logica 1 p.13/15
Getallen Wees niet bang voor wiskunde Logica 1 p.13/15
Getallen Wees niet bang voor wiskunde Voorbeeld: Gauss Logica 1 p.13/15
Getallen Wees niet bang voor wiskunde Voorbeeld: Gauss Voorbeeld: Torens van Hanoi Logica 1 p.13/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes Slogan: iedere inductief gedefinieerde verzameling heeft zijn eigen inductie principe. Voorbeeld: formule inductie Als alle atomaire formules eigenschap P hebben Als P behouden blijft onder het samenstellen met connectieven Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ϕ) en P(ψ), dan P((ϕ ψ)) Als P(ψ), dan P( ψ) Dan hebben alle formules eigenschap P. Logica 1 p.14/15
Inductieprincipes We kunnen nu de indrukwekkende stelling bewijzen dat elke formule een even aantal haakjes heeft. Logica 1 p.15/15
Technieken Week 1: natuurlijke deductie Logica 1 p.16/15
Technieken Week 1: natuurlijke deductie Week 2: waarheidstabellen Logica 1 p.16/15
Technieken Week 1: natuurlijke deductie Week 2: waarheidstabellen Week 3: inductie Logica 1 p.16/15