Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Analyse De constructie bestaat uit een drie keer geknikte staaf die bij A is ingeklemd en bij B in verticale richting is gesteund. De staafdelen waarvan de assen door de werklijn van de kracht gaan worden op buiging en dwarskracht belast. De staafdelen waarvan de assen de werklijn van de kracht niet snijden worden ook op wringing belast. De staafdelen AB en DE worden niet op wringing belast. Voor staafdeel BC geldt: 10 2 20 knm, En voor staafdeel CD: 10 1 10 knm 1 Opdracht 2 Analyse Balk ABC is een ligger op drie steunpunten. De reactiekracht in B werkt excentrisch op de balk en veroorzaakt een wringend moment in de balk. Omdat de ligger symmetrisch is ten opzichte van B zal het wringend moment gelijk verdeeld worden over de twee delen. De reactiekracht B V 2 5 8 3 30 112,5 kn. Het moment van de reactiekracht ten opzichte van de liggeras: T 112,5 0, 5 knm Dit veroorzaakt in beide liggerdelen een wringend moment:, AB, BC 5 22,5 knm 2 Het minteken geeft aan dat het wringend moment in liggerdeel BC tegengesteld werkt aan wringend moment in deel AB.
2 Opdracht 3 Analyse Het betreft hier steeds een rond profiel met dezelfde uitwendige diameter. De bedoeling is om na te gaan wat het verschil is tussen een massieve staaf en een buisprofiel. a I W I P 2 R 2 50 981777 mm W R 100 106 50 509,2 N/mm 2 I W 981777 b I W I P 2 R r 2 50 25 920388 mm W R 100 106 50 53,2 N/mm 2 I W 920388 c De spanning wordt verdubbeld, dus het traagheidsmoment I W wordt gehalveerd. I W,buis 1 2 I W,massief 2 R r 1 2 2 R R r 2 1 R 1 2 r 2 1 R r R 0,809 R De wanddikte is dus: d R r R 0,8 R 0,16 R 0,16 50 8 mm Opdracht De exacte formule kan worden herschreven tot: I P,exact 2 R 3 d 6 R 2 d 2 R d 3 d De benaderingsformule bevat alleen de eerste term: I P,benaderd 2 R 3 d
Omdat R veel groter is dan d zal de som van de weggelaten termen negatief zijn. De benaderde waarde is dus groter dan de exacte waarde. De voorwaarde wordt nu: I P,benaderd 1,03 I P, exact 2 R 3 d 1,03 2 R 3 d 6 R 2 d 2 R d 3 d 1 1,03 R 3 d R 3 d 6 R 2 d 2 R d 3 d Met d R ontstaat de formule: 3 3,883 R R 6 2 R 3 R R 0,117 6 2 3 0 Met computeralgebra of een geavanceerde rekenmachine kan deze ongelijkheid worden opgelost. De uitkomst is: 0 0,02 Als de wanddikte meer is dan 2% van de straal van de buis is de afwijking van de benadering meer dan 3%. Alternatieve berekening Programmeer in een spreadsheet de exacte formule en de benaderingsformule en bereken de verhouding. Dit kan als volgt: Neem een vaste waarde voor R 100 mm. Plaats in kolom 1 de wanddikte dit is de variabele in de berekening. Programmeer in kolom 2 de exacte formule met kolom 1 als variabele. Programmeer in kolom 3 de benaderingsformule met kolom 1 als variabele. Programmeer in kolom de verhouding tussen benadering en exact, dus kolom 3 gedeeld door kolom 2. Kopieer deze formules een aantal rijen naar beneden. Vul in kolom 1 nu waarden in voor de wanddikte d, en ga na bij welke waarden van d de verhouding tussen exact en benadering tussen 0,97 en 1,03 blijft.
Opdracht 5 a De schuifstroom is onafhankelijk van de wanddikte: Opdracht 6 S 2.A i W S d 100 106 2 250 1018,6 N/mm 1018,6 135 N/mm 2 d 7,5 mm d a Met l 100 kan de inwendige oppervlakte worden benaderd met: A i 100 2 100 200 5116 mm 2 De schuifstroom wordt dan: S 200 106 195 N/mm 2 A i 2 5116 De schuifspanning in de buis wordt: W,buis S 195 d buis 5 389 N/mm2. Deze waarde wordt niet beïnvloed door de dikte van de plaat. De maximale schuifspanning kan dus niet worden verlaagd door de plaat dikker te maken. b Met een plaatdikte van 10 mm zal de schuifspanning in het ronde deel maatgevend zijn. A i 200 106 133333 mm2 2 d W 2 5 150 A i 100 2 l 200 133333 l 510 mm Opdracht 7 a A i 130 280 3600 mm 2 10 106 W 6,87 N/mm2 2 d A i i 2 20 3600 b A i 190 160 3000 mm 2 W 10 106 16,5 N/mm2 2 d A i 2 10 3000
Opdracht 7a a A i 000 7000 28 10 6 mm 2 d min 200 mm 100 00 knm 00 10 6 W, max 0,036 N/mm2 6 2 d min A i 2 200 28 10 b Deze vraag kan pas na bestudering van hoofdstuk 3 worden beantwoord. Het wringingstraagheidsmoment kan worden berekend met: I W b h 3 uitw. b h 3 inw. 0,217 3 6,2 3,5 3 38,99 m waarbij gevonden kan worden in tabel 8.1. Voor de verdraaiing geldt de formule: l G I W Voor de wringstijfheid geldt dus: Wringstijfheid l l G I W 50 38,99 l 1 1950 knm 5 Opdracht 8 a h 200 b 10 20 0,333 W W 0,333 10 3 200 66600 mm 3 5 106 W 75,1 N/mm2 66600 b h 100 b 20 5 0,291 W W 0,291 20 3 100 232800 mm 3 5 106 W 21,5 N/mm2 232800 c h 50 b 0 1,25 0,221 W W 0,221 0 3 50 707200 mm 3 5 106 W 7,07 N/mm2 707200
6 Opdracht 9 De figuren a, b en c zijn samengestelde profielen. De berekening van het toelaatbare moment luidt als volgt: Figuur a: I W b 3 h,toelaatbaar W,toelaatbaar I W b max I W 0,291 0 3 200 0,320 20 3 260 39000 mm 100 39000,toelaatbaar 10 6 10,97 knm 0 Figuur b: I W 2 0,312 20 3 200 0,320 20 3 260 166000 mm 100 166000,toelaatbaar 10 6 8,32 knm 20 Figuur c: I W 2 0,312 20 3 200 0,333 10 3 260 2 0,320 10 3 130 1168180 mm 100 1168180,toelaatbaar 10 6 5,82 knm 20 Figuur d is een kokerprofiel. Opdracht 10 W 2 d A i 100 2 10 190 280 10 6 106, knm a Nabij de oplegging is het buigende moment nul, en werken er een dwarskracht en een wringend moment in de doorsnede. De wringspanning is overal in de doorsnede gelijk, omdat de schuifstroom en de wanddikte overal gelijk zijn. De dwarskracht veroorzaakt de maximale schuifspanning ter plaatse van de y-as. Daar waar de spanningen in dezelfde richting werken ontstaat de maximale spanning. Met Huber-Hencky kan daar de ideële spanning worden berekend.
V V S b I 15 103 176000 9,8 N/mm2 6 2 10 138 10 W 15 10 6 59,5 N/mm2 2 d A i 2 10 10 90 Maximale schuifspanning: W V 59,5 9,8 69,3 N/mm 2 Ideële spanning: i 2 3 2 0 3 69,3 2 120 N/mm 2 b Nabij de middendoorsnede zijn de dwarskracht en het wringende moment hetzelfde als bij de oplegging. Nu werkt er echter ook een moment in de doorsnede. De maatgevende combinatie van buig- en schuifspanning zal optreden in twee diagonaal gelegen hoekpunten Ga dit na door de spanningsfiguren voor dwarskracht, wringing en buiging te tekenen. Omdat het schuifspanningverloop door dwarskracht in de hoeken een onduidelijk verloop heeft wordt de berekening uitgevoerd in een punt langs de bovenrand op 10 mm vanaf de zijkant. Het statisch moment van het afgeschoven deel is dan: 7 S 80 10 95 76000 mm 3 De afzonderlijke spanningen zijn daar: V V S b I 15 103 76000,23 N/mm2 6 2 10 138 10 W 15 10 6 59,5 N/mm2 2 d A i 2 10 10 90 M y z 5 106 75 250, N/mm2 I y 138 10 i 2 3 2 250, 3 59,5,2 2 273,6 N/mm 2
8 Opdracht 11 a De doorsnede wordt genomen in het deel AB waarbij de afstand tot B nihil is. Er werken in die doorsnede: Een normaalkracht van 5 kn Een dwarskracht van 10 kn Een buigend moment van 5 knm Een wringend moment van 10 knm Voor het berekenen van de spanningen zijn de volgende doorsnedengrootheden nodig: Oppervlakte van de doorsnede: A R 2 r 2 75 2 67 2 3569 mm 2 Traagheidsmoment: I y I z R r 75 67 902 10 mm Wringingstraagheidsmoment: I W I P I y I z 2 902 10 180 10 mm Statisch moment van de halve doorsnede ten opzichte van de middellijn: S 32 R 3 r 3 32 75 3 67 3 8071 mm 3 Oppervlakte van de doorsnede binnen de hartlijn: A i R r 2 2 75 67 2 2 15837 mm 2 De maximale spanningen ten gevolge van de verschillende belastingen zijn: Dwarskracht: V V S b I 10000 8071 5,59 N/mm2 16 902 10 10 106 Wringend moment: W 39,6 N/mm2 2 d A i 2 8 15837 Normaalkracht: N N A 5000 1,0 N/mm2 3569 Buigend moment: B M y 5 106 75 1,57 N/mm2 I z 902 10
In onderstaand schema zijn de spanningen op de verschillende plaatsen gecombineerd: Links rechts boven onder Dwarskracht 5,59 5,59 0 0 Wringing 39,6 39,6 39,6 39,6 Normaalkracht 1,0 1,0 1,0 1,0 Buiging 1,57 1,57 0 0 Schuifspanning 33,87,95 39,6 39,6 Normaalspanning 0,07 2,97 1,0 1,0 Ideële spanning 71,0 88,9 68, 68, b Gezien de spanningsverdeling is de ideële spanning rechts de maximale spanning. c Nabij punt A werken dezelfde inwendige krachten op de doorsnede. De kracht van 10 kn veroorzaakt nu ook een moment van 30 knm. De maximale spanning ten gevolge van dit moment bedraagt: 29,2N/mm_ in de uiterste vezels op de verticale as. Het schema ziet er dan als volgt uit: 9 Links rechts boven onder Dwarskracht 5,59 5,59 0 0 Wringing 39,6 39,6 39,6 39,6 Normaalkracht 1,0 1,0 1,0 1,0 Buiging 1,57 1,57 29,2 29,2 Schuifspanning 33,87,95 39,6 39,6 Normaalspanning 0,07 2,97 28,02 250,82 Ideële spanning 71,0 88,9 257,3 260,0 d De doorsnede wordt nu op dubbele buiging belast. Voor het berekenen van de maximale buigspanning dienen de momenten te worden samengesteld: M max M y 2 M z 2 30 2 5 2 30,1 knm De maximale buigspanning wordt dan: b,max 30,1 29,2 252,86 N/mm2 30 Omdat de buigingsas nu niet precies overeenkomt met de y-as zal er ter plaatse van de maximale buigspanning ook een dwarskrachtspanning heersen, schat deze waarden op 1 N/mm 2. De schuifspanning is dan: 0,5 N/mm 2, de normaalspanning 25,3 N/mm 2.De maximale ideële spanning wordt dan: i,max 25,3 2 3 0,5 2 263,8 N/mm 2
10 Opdracht 12 De formule voor de verdraaiing ten gevolge van wringing luidt: l G I W I W 2 R r 2 150 10 19178 10 mm a l 60 106 6000 0,0232 rad G I W 81000 19178 10 b Nu neemt het wringend moment af met de afstand tot de inklemming. De verdraaiing is recht evenredig met het moment, dus kan de torsiehoek worden bepaald met het gemiddelde moment.,gemiddeld l 30 106 6000 0,0116 rad G I W 81000 19178 10 c Het wringingstraagheidsmoment van het dikke deel is: I W 8631 10 mm l G I W 60 106 3000 81000 19178 10 60 106 3000 81000 8631 10 0,012 rad d De verdraaiing is lineair afhankelijk van het torsiemoment. De invloeden van de verschillende momenten kunnen dus gesuperponeerd worden. l G I W 60 106 6000 81000 19178 10 120 106 2000 81000 19178 10 0,0077 rad
11 Opdracht 13 Lengte balk ABC: 3 m Lengte console BD: 1 m Uit tabel 8.1 blijkt dat voor deze balk geldt: 0,229 Het traagheidsmoment tegen wringing is: I W b 3 h 0,229 100 3 200 580 10 mm Het wringend moment in de balkdelen is: 0,3 5 0,75 knm 2 De verdraaiing van punt C is: C l 0,75 106 1500 0,0351 rad G I W 700 580 10 De zakking van punt d is dan: D C l 0,0351 1000 35,1 mm Opdracht 1 Voor het berekenen van het wringingstraagheidsmoment geldt de formule: I W, b 3 h Met uit tabel 8.3 en uit tabel 8.1 I W, 1,30 0,307 8 3 80 0,333 3 100 0,26 20 3 0 1215 mm De verdraaiing van de top is dan: l 5 106 3000 1,52 rad G I W, 81000 1215
12 Opdracht 15 Een ligger op twee steunpunten, aan de einden gesteund tegen torsie. De torsiestijfheid van een liggerdeel wordt berekend met: torsiestijfheid l G I W G I W l G I W G I W Voor deel AB is dit: en voor BC:. De torsiestijfheid 3 1 van deel BC is dus drie keer zo groot als die van AB. Deel BC zal dan ook drievierde deel van het wringende moment opnemen en AB éénvierde deel. Uit de V-, M- en T-lijnen blijkt dat de doorsnede direct rechts van B de zwaarst belaste is met V 7,5 kn, M 7,5 knm en M W 7,5 knm. Bij opgave 10 is berekend dat: I y 138 10 mm en S halve doorsn 176000 mm 3. De maximale spanningen ten gevolge van de afzonderlijke belastingen zijn: Dwarskracht: V V S b I 7500 176000,90 N/mm2 20 138 10 Wringend moment: W 7,5 10 6 29,76 N/mm2 2 d A i 2 10 90 10 Buigend moment: B M z 7,5 106 75 1,73 N/mm2 I y 138 10 Het punt waar de ideële spanning het grootst is, is een hoekpunt. Kies voor de berekening het punt op de bovenrand in het verlengde van de binnenzijkant. De wringspanning en buigspanning zijn hier maximaal. De dwarskrachtspanning is hier: V V S 7500 80 10 70 1,56 N/mm 2, b I 20 138 10 en de ideële spanning: i 2 3 2 1,73 2 3 1,56 29,76 2 68, N/mm 2
13 Opdracht 16 Voor de berekening zijn de volgende doorsnedengrootheden van belang: Koker: I y 1 12 100 200 3 80 180 3 5202 10 mm I W 0,229 100 3 200 80 3 180 270 10 mm IPE160: I y 869 10 mm Elasticiteitsmodulus van staal: E 210000 N/mm 2 a Als de verbindingen zijn uitgevoerd als scharnieren worden de consoles op buiging belast. De krachten van de balk op de consoles zijn 2,5 q kn. De zakking van de console is: c F l 3 3 EI 2500 q 20003 0,61 q 3 2,1 10 5 5202 10 De doorbuiging van de balk: 5 q l b 38 EI 5 q 5000,6 q 38 2,1 10 5 869 10 De totale zakking mag 15 mm zijn, dus: 0,61,6 q 15 q 15 2,96 N/mm 2,96 kn/m 5,07 b Als de verbindingen momentvast zijn uitgevoerd, worden de consoles ook op wringing belast. Het wringende moment in de consoles is ook het inklemmingsmoment voor de balk. De consoles zullen een torsievervorming ondergaan, dus de inklemming van de balk is niet volledig. De verdraaiing van de balkeinden zal gelijk zijn aan de torsiehoek van de consoles. Met deze aansluitvoorwaarde is het moment in de verbindingen te berekenen. Kies het inklemmingsmoment als onbekende M. De verdraaiing van de balkeinden is dan: rechts q l 3 M links l M rechts l 2 EI y 6 EI y 3 EI y q 5000 3 2 2,1 10 5 869 10 M 5000 2 2,1 10 5 869 10 2,85 10 3 q 1,370 10 9 M
1 De torsievervorming van de console is: l M 2000 G I W 81000 270 10 9,997 10 10 M Gelijkstellen levert: 9,997 10 10 M 2,85 10 3 q 1,370 10 9 M 2,370 10 9 M 2,85 10 3 q M 1,20 10 6 q N/mm 1,20 q knm De doorbuiging van de balk wordt: 5 q l b 38 EI M l 2 8 EI,6 q 1,20 106 q 5000 2 8 2,1 10 5 869 10,6 2,05 q 2,1 q mm De totale zakking: b c 2,1 0,61 q 3,02 q mm De toelaatbare belasting is: 3,02 q 15 q 5,0 N/mm 5,0 kn/m M W 1,20 q 1,20 5 6 knm M 2,5 q 2 5 5 25 knm V 2,5 q 2,5 5 12,5 kn Met deze gegevens is de maximale ideële spanning te berekenen als in opgave 15. De uitkomst is: i 61,3 N/mm 2