R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 1
1 EEN MEETKUNDEPROBLEEM: OPPERVLAKTES BEREKENEN Gegeven is een convexe vierhoek ABCD. A, B, C en D zijn de middens van de zijden van deze vierhoek. v, w, x, y en z stellen de oppervlaktes voor van de stukjes waarin AA, BB, CC en DD de vierhoek verdelen. Bewijs dat v = w + x + y + z (probleem 78 uit Kun je deze oplossen vierkant voor wiskunde: L. Barendregt, W.R.Oudshoorn en ZS. Ruttkay) We controleren eerst met GeoGebra of dit klopt. Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina
Hoe kunnen we dit nu aantonen? Aanwijzing: Geef aan de vier nog niet benoemde vierhoeken een naam. Merk op dat bepaalde driehoeken dezelfde oppervlakte hebben. Zie je dergelijke driehoeken? Werk dit probleem verder op papier uit. Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 3
EEN ANALYTISCHE EN EEN MEETKUNDIGE ZOEKTOCHT Bewijs analytisch en meetkundig dat het lijnstuk dat de middens van overstaande zijden van een willekeurige vierhoek verbindt en het lijnstuk dat de middens van de diagonalen verbindt, hetzelfde midden hebben. Analytisch bewijs: Kies het assenstelsel zo voordelig mogelijk. Werk dit verder af op papier. Meetkundig bewijs We kijken eerst na met GeoGebra of dit klopt. Hoe kunnen we nu bewijzen dat lijnstukken hetzelfde midden hebben? Geef het bewijs op papier. Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 4
3 MINIMALE LENGTE VAN EEN LADDER BEPALEN Naast een huis staat een 4 m hoge schutting op 1 m afstand van dit huis. Hoe lang moet een ladder tenminste zijn om tegen de muur van het huis te kunnen komen? Uitwerking met GeoGebra Meetkundige benadering: Herken je gelijkvormige driehoeken? BAE ACF want Dus: BE 1 = of 4 FC y 4 = 1 x Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 5
Dus: z (lengte ladder) = ( x + 1) + + 4 x 4 De lengte van de ladder is dus afhankelijk van hoe ver de ladder van de schutting staat. We tekenen nu met een ICT-pakket (GeoGebra of de GRM) de functie f(x) = ( x + 1) + + 4 x 4 Analytische benadering: BC is een rechte met veranderlijke richtingscoëfficiënt en gaande door het punt A. Dus: BC y 4 = m( x 1) Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 6
Merk dan op dat we de coördinaat van B en C kunnen bepalen: B(0, - m + 4) 4 C + 1,0 m 4 BC = ( m 4) + + 1 m De lengte van de ladder is dus afhankelijk van de rico van BC. We tekenen nu met een ICT-pakket (GeoGebra of de GRM ) de functie f(x) = 4 ( x 4) + + 1 x Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 7
4 EEN OUD ZOEKERTJE UIT WISKUNDE EN ONDERWIJS In de gelijkzijdige driehoek ABC zijn een aantal afmetingen gegeven (zie tekening). Zoek x. Uitwerking 1: x benaderen met GeoGebra Enig idee hoe deze figuur met GeoGebra kan getekend worden en x dus benaderend kan weergegeven worden? Teken een lijnstuk [NM] met gegeven beginpunt en lengte 1 Teken een cirkel met middelpunt N en als straal 7 Teken een cirkel met middelpunt M en als straal 7 Zoek A Teken de middelloodlijn van [MN]. Wie kan dit verder aanvullen? Hoeveel oplossingen zijn er? Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 8
Uitwerking : werken met afstanden Probeer nu x te zoeken door vooral in driehoek MBF te werken Uitwerking 3: werken met hoeken In driehoek AMN zijn de drie zijden gekend. We kunnen dus met de cosinusregel de hoek NAM berekenen. We noemen deze hoek α. 1 = 7 + 7 7 7 cosα en dus 13 cosα = 14 13 Hieruit volgt dat α = arcos = 0.38051067 14 We kunnen de hoek CAN berekenen. CAN 1 π = β = 0.38051067 = 0.33347317 3 We passen nu de cosinusregel toe in driehoek ANC en vinden: 4 = x² + 7 x 7 cos β of x² 7 cos β x + 3 = 0 of x² - 5x + 3 = 0 We vinden als oplossingen: 5 ± 13 x = Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 9
5 DRIEHOEKSGETALLEN We weten dat 1, 3, 6, 10, driehoeksgetallen zijn. D = 1 1. 3 D = 1+ = 3. 4 D3 = 1+ + 3 =... D n = n( n + 1) Bewijs nu het volgende: R is een driehoeksgetal 8R + 1 is een volkomen kwadraat (Bronvermelding: getalfiguren van Gerrit-Jan Ridderbos (vierkant voor wiskunde)) Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 10
Uitwerking met de GRM We schrijven programma s om de uitspraak te ondersteunen: Uitwerking met GeoGebra Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 11
Uitwerking op papier: De pijl van links naar rechts is vrij gemakkelijk te bewijzen. Bewijs dit zelf. We bewijzen nu de pijl van rechts naar links: Gegeven 8R + 1 is een volkomen kwadraat Te bewijzen R is een driehoeksgetal Bewijs 8R + 1 is een volkomen kwadraat m N : 8R + 1 = m² m N : 8 R = ( m + 1)( m 1) ( m + 1)( m 1) m N : R = 8 Daar R een geheel getal is moet (m + 1)(m 1) dus een veelvoud van 8 zijn en dus zeker even. Hieruit volgt dat m + 1 en m 1 beiden even moeten zijn. Dus m is oneven of van de vorm: k + 1. R = ( k + ). k k ( k + 1) = 8 Dus is R een driehoeksgetal. Opdracht: Als A en B twee opeenvolgende driehoeksgetallen zijn dan is 3A + B een driehoeksgetal. Bewijs dit zelf. Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 1
INHOUD 1 een Meetkundeprobleem: oppervlaktes berekenen... Een analytische en een meetkundige zoektocht... 4 3 MINimale lengte van een ladder bepalen... 5 4 Een oud zoekertje uit wiskunde en onderwijs... 8 5 Driehoeksgetallen... 10 Welke kennis komt aan bod doorheen de opdrachten? 1 Formules om de oppervlaktes van driehoeken en vierhoeken te berekenen toepassen (herhaling van formules uit vroegere geziene leerstof), GeoGebra gebruiken om een duidelijke tekening te maken en berekeningen uit te voeren. Coördinaat van het midden van een lijnstuk bepalen als de coördinaten van de eindpunten gegeven zijn, stelling van Thales, kenmerk van een parallellogram toepassen. 3 Gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken toepassen, vergelijking van een rechte opstellen, afstandsformule gebruiken, grafiek van een functie met ICT tekenen, minimale waarde van een functie bepalen aan de hand van de grafiek, snijpunten van een rechte met de assen bepalen, een dynamische tekening in GeoGebra kunnen uitvoeren. 4 Eigenschappen gebruiken die gelden in gelijkzijdige driehoeken, stelling van Pythagoras toepassen, cosinusregel in een driehoek gebruiken, een hoek zoeken als de cosinus van de hoek gegeven is, een vierkantsvergelijking oplossen, een complexe constructie in GeoGebra uitvoeren. 5 Een bewijs geven (duidelijk het gegeven en het te bewijzen noteren en het bewijs uitwerken), het begrip kenmerk kennen, deelbaarheidskenmerken toepassen, ontbinden in factoren, de GRM gebruiken om een eenvoudig programma te schrijven, werken met lijsten in GeoGebra. Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad Pagina 13