Herhalingsoefeningen Willekeurige driehoeken Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. cos α = 0,25 2. sin α = -0,75 3. tan α = -0,5 Oef 2 Teken in de goniometrische cirkel een hoek α die aan de gegevens voldoet. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. sin α <0 en cos α < 0 2. sin α >0 en cos α > 0 3. tan α <0 en cos α < 0 Oef 3 Gegeven de hoek α met 0 α 360. Welke waarden kan de hoek α aannemen als 1. cos α = 1 2. sin α = -1 3. tan α = 0 Oef 4 Toon aan dat sin²10 + sin²30 + sin²40 + sin²50 + sin²60 + sin²80 = 3 Oef 5 Bereken. 1. sin α en tan α als cos α = -0,8 en als α in het tweede kwadrant ligt. 2. cos α en tan α als sin α = -0,2 en als α in het derde kwadrant ligt. Oef 6 Los ΔABC op. 1. a = 5 ; c = 7 ; α = 120 2. c = 10 ; α = 80 ; 50 3. a = 16 ; c = 27 ; β = 45 4. b = 30 ; c = 40 ; α = 50 5. a = 30 ; b = 30 ; α = 35 12 30 WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 1
Oef 7 Op de Duinweg is de afstand van het punt A tot het punt B is gelijk aan 12 km. In A wordt de weg gekruist door de Biezenstraat onder een hoek van 115 en in het punt B door de Grasdreef onder een hoek van 120). Op hoeveel kilometer van A en B snijden de Biezenstraat en de Grasdreef elkaar? Oef 8 De lengte van de grote wijzer van een torenuurwerk is 86 cm en de kleine wijzer 49 cm. Bereken de afstand tussen de eindpunten K en G van de kleine en de grote wijzer: 1. om 11 uur 2. om 14 uur Oef 9 Bereken de hoeken van de gegeven driehoek. WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 2
Oef 10 Bereken de oppervlakte van ΔABC. 1. ΔABC is gelijkbenig met tophoek = 38 25 en AC = 25 cm. 2. ΔABC is gelijkzijdig met AB = 9 cm. Oef 11 Bepaal de oppervlakte van de gelijkbenige driehoek in functie van de zijde b en de basishoek β. Oef 12 Bereken 1. 3sin²α + cos²α met sin α = 0,8 2. 2sin²α - 4cos²α met cos α = Oef 13 In ΔABC is a = 2, b = en c = 1. 1. Bepaal de hoeken van de driehoek. 2. Bepaal zonder te berekenen de hoeken van ΔDEF als d = 4, e = en c = 2. Verklaar. WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 3
Oef 14 In 1993 was bij de toren van Pisa voor de grote restauratie- en stabilisatiewerken: AB = 47,77 m; = 60 en AC = 31,93 m. 1. De helling van de toren wordt bepaald door de hoek. Bepaal de hoek. 2. Als B de loodrechte projectie is van het punt B op de rechte AC, dan zie je met de afstand AB hoe ver het punt B vooruitstak over het punt A. Bereken AB. Oef 15 Een bewakingscamera wordt in de hoek A van een kamer geplaast. Men wil de camera zo afstellen dat het bewakingsveld zich uitstrekt tot beide muren (dus van punt E tot punt C). Onder welke hoek moet de camera worden afgesteld? Oef 16 Toon aan dat. WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 4
Oef 17 Toon aan dat elke uitdrukking een reëel getal is. 1. (sin α cos α)² + (sin α + cos α)² 2. (tan² α + 1).cos² α 3. -tan² α. Oef 18 Toon aan. 1. cos² α + cos²β = 1 2. tan α. tan β = 1 Wiskunde olympiade 1. Een parallellogram bestaat uit vier congruente gelijkzijdige driehoeken met zijde 1 (zie figuur). Bepaal de lengte van de diagonaal [AC] A B C D E 3 WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 5
Enkele oplossingen Oef 2 Teken in de goniometrische cirkel een hoek α die aan de gegevens voldoet. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. 1. sin α <0 en cos α < 0 2. sin α >0 en cos α > 0 3. tan α <0 en cos α < 0 Oef 5 Bereken. 1. sin α en tan α als cos α = -0,8 en als α in het tweede kwadrant ligt. sin² α + cos² α = 1 sin² α = 1 - cos² α = 1 (-0,8)² = 0,36 sin α = 0,6 (positief want in kwadrant II) tan α = = = 0,75 WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 6
Oef 6 Los ΔABC op. 1. a = 5 ; c = 7 ; α = 120 = = 1,4 2. c = 10 ; α = 80 ; 50 β = 180 - α γ = 180-80 - 50 = 50 = = 10 = = 12,86 Oef 8 De lengte van de grote wijzer van een torenuurwerk is 86 cm en de kleine wijzer 49 cm. Bereken de afstand tussen de eindpunten K en G van de kleine en de grote wijzer: 1. om 11 uur Om 11 uur: = = 30 KG ² = KO ² + GO ² - 2. KO. GO.cos = 49² + 86² - 2.49.86.cos30 = 2498,14 KG = 49,98 cm WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 7
Oef 10 Bereken de oppervlakte van ΔABC. 1. ΔABC is gelijkbenig met tophoek = 38 25 en AC = 25 cm. A ΔABC = = = 194,2 cm² Oef 15 Een bewakingscamera wordt in de hoek A van een kamer geplaast. Men wil de camera zo afstellen dat het bewakingsveld zich uitstrekt tot beide muren (dus van punt E tot punt C). Onder welke hoek moet de camera worden afgesteld? In ΔAED: AE ² = AD ² + ED ² = 2,8² + 4,6² = 29 AE = = 5,39 m In ΔADC: AC ² = AD ² + DC ² = 2,8² + 6,3² = 47,53 AC = = 6,89 m In ΔDEC: EC ² = DC ² + ED ² = 6,3² + 4,6² = 60,85 EC = = 7,80 m In ΔAEC: EC ² = AE ² + AC ² - 2. AE. AC.COS 2. AE. AC.COS = AE ² + AC ² - EC ² COS = = = 0,21117 = 77 48 33 WP 4.2 Herhalingsoefeningen blz. 39-44 8