Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde

Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde A. Vervuurt, P.F. de Haan, W.J. van Krieken Begeleider: Prof. dr. J.P. Hogendijk juni 010 Samenvatting We trekken een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde. Hiervoor geven we een historisch overzicht van de ontwikkeling van beide meetkundes. Vervolgens behandelen we de Euclidische axioma s in relatie tot bolmeetkunde en hyperbolische meetkunde. We leiden vergelijkingen af die willekeurige driehoeken in beide meetkundes beschrijven. Daarna trekken we een vergelijking tussen deze driehoeksmeetkundes door een bol met imaginaire straal te beschouwen. We concluderen dat dit slechts een wiskundig trucje is wat we kunnen verklaren door de krommingen van beide vlakken te bestuderen. Dit werkstuk is geschreven voor eerstejaars studenten wiskunde in het kader van het wiskunde Bachelorvak Caleidoscoop 1, gedoceerd aan de Universiteit Utrecht. 1

Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 Niet-Euclidische meetkunde 4.1 De Axioma s van Euclides............................... 4. Het parallellenaxioma................................. 6.3 Gauss.......................................... 6.4 Lobachevsky en Bolyai................................. 6.5 Hyperbolische en Elliptische meetkunde....................... 7 3 Visualisatie van hyperbolische meetkunde 8 3.1 Het Beltrami-Klein model............................... 9 3. De schijf van Poincaré................................. 9 4 Boldriehoeksmeetkunde 10 4.1 Eigenschappen van een bol en het boloppervlak................... 10 4. Euclidische axioma s en het boloppervlak...................... 13 4.3 Boldriehoeken...................................... 15 4.4 Rechthoekige boldriehoeken.............................. 15 4.5 Willekeurige boldriehoeken.............................. 17 5 Hyperbolische meetkunde 0 5.1 Aannames........................................ 0 5. Bewijzen van benodigde stellingen.......................... 1 5.3 Toepassing van de bewezen stellingen......................... 8 6 Vergelijking: Bol met imaginaire straal 35 7 Conclusie 38 A Bronnenlijst 39

1 Inleiding In dit werkstuk vergelijken wij de bolmeetkunde met de hyperbolische meetkunde. Bolmeetkunde is de meetkunde op het oppervlak van een bol. De hoeken en zijden van driehoeken verhouden zich namelijk anders op een bol dan op het platte vlak. Deze wiskunde kent veel toepassingen, bijvoorbeeld in de lucht- en scheepvaart. De hyperbolische meetkunde is de meetkunde waarbij het vijfde axioma van Euclides is aangepast. Euclides stelde vijf axioma s op die een basis zou moeten leggen voor de meetkunde. Het vijfde axioma, het paralellenaxioma, bleek echter minder vanzelfsprekend te zijn dan de rest. Hyperbolische meetkunde is ontwikkeld door o.a. Gauss, Bolyai en Lobachevsky. Ook deze meetkunde bleek toepassing te krijgen. In de natuurkunde kan hyperbolische meetkunde gebruikt worden bij relativiteitstheorie en de beschrijving van massavelden. Bolmeetkunde en hyperbolische meetkunde lijken op het eerste gezicht twee hele verschillende vormen van meetkunde, maar er zijn toch aanwijzingen dat ze veel van elkaar weg hebben. Zo lijken de formules die de relaties tussen hoeken en zijden van bol- en hyperbolische driehoeken beschrijven erg op elkaar. Maar wat zijn deze overeenkomsten precies? Om deze vraag te kunnen beantwoorden zullen we eerst zowel de bolmeetkunde als de hyperbolische meetkunde uitwerken. We zullen ons hierbij voornamelijk richten op driehoeken. Ook zullen we kort vertellen over de geschiedenis van de hyperbolische meetkunde. Tenslotte zullen we de overeenkomsten en verschillen beschouwen. Hoofdstuk en 3 gaan over de de ontwikkeling van de hyperbolische meetkunde, en geven daarnaast een uitleg wat hyperbolische meetkunde is. Deze zijn door Wouter geschreven. In Hoofdstuk 4 werkt Pieter de bolmeetkunde uit, en in Hoofdstuk 5 doet Alexander hetzelfde met de hyperbolische meetkunde. Tenslotte wordt in Hoofdstuk 6 gekeken naar de verschillen en overeenkomsten. Het lezen van dit werkstuk vergt wel wat basiskennis van meetkunde. Bovendien kunnen de uitwerkingen van de bolmeetkunde en de hyperbolische meetkunde veel vragen van het voorstellingsvermogen; vooral de hyperbolische meetkunde gaat erg tegen de intuïtie in. We hebben dit werkstuk geschreven voor studenten Wiskunde. 3

Niet-Euclidische meetkunde De hyperbolische meetkunde bestaat nog niet heel lang en is ontwikkeld door veel belangrijke wiskundigen. De belangrijkste was Euclides, die met het opstellen van meetkundige axioma s veel vragen opriep..1 De Axioma s van Euclides Euclides was een Grieks wiskundige die leefde in de 3e eeuw voor Christus. Zijn belangrijkste werk was de Στ oιχɛια, wat meestal vertaald wordt als De Elementen (lett. vertaling: Aan het begin). Dit werk was een overzicht van kennis van eerdere wiskundigen. In De Elementen stonden verschillende definities en axioma s (postulaten). Een axioma is een bewering die niet bewezen, maar aangenomen wordt. Een axioma wordt dus geaccepteerd als de waarheid. Euclides bewees met deze definities en axioma s talloze stellingen. Voor de meetkunde stelde Euclides vijf axioma s op.[9][8] Dit zijn de vijf axioma s in vereenvoudigde vorm:[7][8] Axioma 1. Er kan een unieke rechte lijn worden getrokken tussen elke twee punten. Axioma. Elk lijnsegment kan steeds verder worden doorgetrokken. Axioma 3. Er kan een cirkel met elke mogelijke straal en elk mogelijk middelpunt worden getekend. Axioma 4. Elke twee rechte hoeken zijn congruent. Axioma 5. Als twee lijnen een derde lijn zo snijden dat de som van de binnenhoeken aan één kant kleiner is dan π, dan snijden deze twee lijnen elkaar aan deze kant van de derde lijn. De eerste drie axioma s spreken aardig voor zich. Het vierde axioma vraagt een definitie van een rechte hoek, en een definitie van congruent. Definitie 1. Een gestrekte hoek is een hoek waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. De twee benen kunnen dan samen dus als één lijn gezien worden. Een rechte hoek is de helft van een gestrekte hoek. Met congruent wordt bedoeld dat de hoeken even groot zijn als ze over elkaar heen gelegd worden. Hiervoor moet het dus wel mogelijk zijn om lijnen te draaien en schuiven in de ruimte. Het laatste axioma lijkt heel anders dan de eerste vier. Daarom zorgde het voor veel verwarring in de jaren na Euclides. Wel was het axioma nodig voor veel bewijzen. Bijvoorbeeld het bewijs dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken. Het axioma is beter te begrijpen met een plaatje (zie figuur.1).[10] 4

Het axioma zegt dat als de som van α en β kleiner is dan twee rechte hoeken, en de twee lijnen oneindig lang naar rechts doorgetrokken worden, ze elkaar ergens rechts snijden. Het axioma is niet zo gemakkelijk te begrijpen als de andere vier axioma s. Ook doet het beroep op je verbeelding. Daarom zette vele wiskundigen vraagtekens bij deze axioma. [8] Figuur.1: N.B. Hier lijkt geïmpliceerd te worden dat uit deze vijf axioma s de gehele meetkunde volgt. Dit is absoluut niet waar. Er zijn nog veel meer axioma s nodig, die we buiten beschouwing laten (net als Euclides overigens). 5

. Het parallellenaxioma Het vijfde axioma, ook wel het parallellenaxioma genoemd, lijkt niet echt op de andere axioma s. Daarom probeerden vele wiskundigen het af te leiden uit de eerste vier axioma s. Men wilde dus aantonen dat het parallellenaxioma volgt uit de andere axioma s. Een van deze wiskundigen was Proclus Diadochus, die beweerde in de vijfde eeuw na Christus het vijfde axioma afgeleid te hebben, maar zijn bewijs bleek incorrect. In de eeuwen erna probeerden vele wiskundigen, o.a. Wallis, Legendre en Saccheri het vijfde axioma af te leiden, maar slaagden daar niet in. Vaak dacht iemand een afleiding gemaakt te hebben, maar die bleek dan toch een aanname te bevatten, waarvoor het parallellenaxioma nodig was. Men is er wel in geslaagd het axioma te herformuleren. Zo ontstonden er verschillende axioma s die equivalent zijn aan het paralellenaxioma.[7][][6] Voorbeelden: Er bestaat een paar rechte lijnen dat overal gelijke afstanden van elkaar heeft. Voor elke drie niet op een rechte lijn liggende punten bestaat er een cirkel door die drie punten. Als een rechte lijn een van twee parallelle lijnen snijdt, zal hij ook de andere snijden. Er is geen maximum limiet voor de oppervlakte van een driehoek. Maar de belangrijkste herformulering is die van Playfair in 1795[6]. Dit is het axioma zoals de meesten het vandaag kennen: Gegeven een lijn en een punt niet op die lijn, dan is er precies één lijn door dat punt parallel met de oorspronkelijke lijn. Definitie. Twee lijnen zijn parallel (evenwijdig) als ze elkaar niet snijden. Twee lijnsegmenten zijn parallel als ze elkaar niet snijden, wanneer ze steeds verder verlengd worden. Het is nu wel te begrijpen waarom het vijfde axioma van Euclides het parallellenaxioma genoemd wordt..3 Gauss Gauss ging in 1817 een hele nieuwe weg in. Hij zag in dat het vijfde axioma echt onafhankelijk was van de eerste vier. Hij begon uit te zoeken wat voor meetkunde ontstond als hij het vijfde axioma veranderde. Hij stelde dat er meer dan één parallelle lijn te trekken is door een punt buiten een lijn. Hij publiceerde zijn werk echter niet, uit angst voor boze reacties van de aanhangers van de Euclidische meetkunde.[][6].4 Lobachevsky en Bolyai Lobachevsky en Bolyai werkten de meetkunde zonder het parallellenaxioma verder uit in de 19 e eeuw. Bijzonder is dat ze onafhankelijk van elkaar de nieuwe meetkunde hebben uitgewerkt. 6

.5 Hyperbolische en Elliptische meetkunde Gauss, Lobachevsky en Bolyai construeerden dus een heel nieuw soort meetkunde. Merk op dat het axioma op twee manieren aangepast kan worden. Hierdoor ontstaan er twee nieuwe meetkundes:[6] 1. Gegeven een lijn en een punt niet op die lijn, dan is er meer dan één lijn door dat punt parallel met de oorspronkelijke lijn.. Gegeven een lijn en een punt niet op die lijn, dan is geen lijn door dat punt parallel met de oorspronkelijke lijn, dus alle lijnen snijden elkaar. Meetkunde met de eerste aanpassing noemt men tegenwoordig de hyperbolische meetkunde. Hiermee hebben Gauss, Lobachevsky en Bolyai zich bezig gehouden. De tweede aanpassing wordt ook wel de elliptische meetkunde genoemd. Merk op dat de bolmeetkunde hier een voorbeeld van is.[7][] Als men dus aanneemt dat er gegeven een lijn en een punt, meer dan één parallelle lijn door dat punt gaat, krijg je dus de hyperbolische meetkunde. Hier volgt al heel snel uit dat er oneindig veel parallelle lijnen door het punt gaan: Stelling 1. (zie figuur.) Zij l een lijn en P een punt niet op l. Als er twee lijnen door P gaan die parallel zijn aan l, dan zijn er oneindig veel lijnen door P die parallel aan l zijn. Bewijs. Zij A de loodrechte projectie van P op l. Stel er bestaan twee lijnen x en y door P die parallel zijn aan l. Zij θ x en θ y de hoek tussen AP en lijn x respectievelijk y. Met een hoek tussen twee lijnen bedoelen we de kleinst mogelijke hoek, dus een van tussen de 0 en 90 graden. Merk op dat θ x of θ y kleiner is dan een rechte hoek, omdat anders x en y gelijk zijn. Zij θ groter dan deze hoek, en kleiner dan een rechte hoek. Een lijn die hoek θ met AP maakt is ook parallel met l. Er bestaan oneindig veel θ, dus oneindig veel lijnen door P die parallel lopen aan l. Definitie 3. Een grenshoek θ g is de kleinste hoek θ zoals hierboven, opdat de bijbehorende lijn parallel is aan l. Die bijbehorende lijn heet een grensparallel. Stelling. Er bestaat altijd een grenshoek θ g in de hyperbolische meetkunde. Bewijs. Stel er bestaat geen grenshoek θ g. Zij V de verzameling hoeken θ zodat een lijn die hoek θ maakt met AP parallel is met l. Merk op dat deze in de hyperbolische meetkunde niet leeg is. Bovendien is V begrensd, V heeft dus een infimum. Zij θ i dat infimum. We hebben aangenomen dat de θ g niet bestaat, dus θ i is geen element van V. Anders zou θ g gelijk zijn aan θ i, en dus bestaan. Zij S het snijpunt van de lijn die hoek θ i met AP maakt en l. Kies nu een punt op l, verder van A dan S. Deze lijn is niet parallel aan l, maar heeft een grotere hoek dan θ i. θ i is dus geen infimum van V, tegenspraak. Er bestaat dus een grenshoek θ g. Figuur.: Het axioma van de hyperbolische meetkunde kan dus veranderd worden in oneindig veel i.p.v. meer dan één. De grenshoek kan zowel links als rechts zitten van AP. Er bestaan dus altijd twee grensparallellen, en daarnaast oneindig veel parallelle lijnen. Lobachevsky en Bolyai zijn al in staat geweest om aan te tonen dat niet-euclidische meetkunde consistent is. D.w.z. dat er nooit een tegenspraak gevonden gaat worden als het vijfde axioma wordt aangepast. 7

3 Visualisatie van hyperbolische meetkunde Wij kunnen ons de niet-euclidische meetkunde moeilijk voorstellen. Als men een punt tekent buiten een lijn, lukt het om maar één lijn door dat punt te trekken die parallel is (alhoewel nog niemand een lijn oneindig lang heeft doorgetrokken). Euclides definieerde zijn meetkunde waarschijnlijk op het platte vlak, maar nergens wordt dat expliciet vermeld. In een drie-dimensionale ruimte is de hyperbolische- en elliptische meetkunde wel te visualiseren.[6] Alvorens is het goed om te definiëren wat een rechte lijn is op een gekromd vlak is: Definitie 1. Een rechte lijn is de kortste verbinding tussen twee punten. Kies nu een gele lijn en een wit punt buiten de gele lijn. Figuur 3.1: 1. Euclidische meetkunde is gewoon voor te stellen op het platte vlak. Er is maar één blauwe lijn door het punt dat parallel is aan de gele lijn.. Elliptische meetkunde treedt bovenop een vlak dat naar binnen gevouwen wordt. Er is geen parallelle rechte lijn te construeren. Dit is bijvoorbeeld bij een bol aan de hand, er is geen grootcirkel parallel aan een andere grootcirkel, wat nader wordt behandeld in Hoofdstuk 4. 3. Hyperbolische meetkunde treedt op in een zadelvlak. Nu zijn er oneindig veel blauwe lijnen die de gele lijn niet snijden. Dit is echter moeilijker voor te stellen dan de vorige twee situaties. Men kan een zadelvorm beschouwen zoals in het plaatje. Dit model klopt alleen op een klein stuk oppervlak. Een hyperbolische ruimte blijkt dus moeilijk te visualiseren. Nog een nadeel van deze modellen is dat het moeilijk is om wiskunde toe te passen op driedimensionale ruimtes. Er zijn echter andere modellen ontwikkeld die gebruikt kunnen worden voor de niet-euclidische meetkunde. 8

3.1 Het Beltrami-Klein model Een simpel model is het Beltrami-Klein model. Het hyperbolische vlak is het binnenste van een cirkel. Hyperbolische lijnen zijn koorden van de cirkel. Afstanden zijn dichter bij de rand van de cirkel groter dan in het midden. Afstanden tussen punten die in de buurt van de cirkel liggen naderen naar oneindig. Een koorde stelt dus een oneindig lange lijn voor, en de rand van de cirkel een soort horizon. In dit model geldt het vijfde axioma van de hyperbolische meetkunde. Het is gemakkelijk na te gaan dat de andere vier axioma s ook gelden. Een nadeel is echter dat in dit model de hoeken vervormd worden.[7][3] Figuur 3.: 3. De schijf van Poincaré In 1906 ontwikkelde Henri Poincaré een model voor de Figuur 3.3: hyperbolische meetkunde. Men noemt deze de schijf van Poincaré, en deze heeft net als het Beltrami-Klein model de vorm van een cirkel. Alle punten zitten binnen die cirkel, waarvan de rand weer optreedt als horizon. Rechte lijnen zijn in dit model cirkelbogen die de horizon loodrecht snijden. Hoeken tussen cirkelbogen kunnen gemeten worden zoals dat gedaan wordt in een Euclidische ruimte. Net als bij het Beltrami-Klein model, worden afstanden dicht bij de rand van de cirkel steeds groter. Lijnstukken dichter bij het middelpunt van de cirkel zijn dus korter dan lijnstukken in de buurt van de horizon. Het mooie aan dit model is dat er in dit model echt meetkunde bedreven kan worden. Er kunnen hyperbolische driehoeken getekend worden, en opgemeten worden. Ook bestaat er een formule voor de lengte van lijnstukken. De schijf van Poincaré kan dus gebruikt worden voor driehoeksmeting. [7][3] 9

4 Boldriehoeksmeetkunde Boldriehoeksmeetkunde beslaat simpelweg de meetkunde van driehoeken op het oppervlak van een bol. Zoals men zou verwachten is het door de kromming van het boloppervlak niet mogelijk om Euclidische axioma s op boldriehoeken toe te passen. We beschouwen de axioma s van de Euclidische meetkunde in verband met de bolmeetkunde. Hiervoor is het belangrijk dat we eerst herhalen wat de definitie van een rechte lijn is: Definitie 1. Een rechte lijn is de kortste verbinding tussen twee punten. Nu is de vraag wat een rechte lijn op het boloppervlak precies inhoudt, zonder dit te weten zijn we niet in staat de Euclidische axioma s te bekijken in verband met bolmeetkunde. Daarvoor doen we eerst een intuïtieve beschouwing van een bol en het boloppervlak. Figuur 4.1: P 1 ρ M R O P 4.1 Eigenschappen van een bol en het boloppervlak Figuur 4.1 geeft een bol met middelpunt O en straal R weer. Door deze bol loopt een as die door O loopt en het boloppervlak doorkruist in de punten P 1 en P. Deze punten liggen dus per definitie diametraal tegenover elkaar. Deze as is de normaal van een verzameling vlakken die het boloppervlak snijden. Nu nemen we een willekeurig vlak V uit deze verzameling en noemen de doorsnijding van dit vlak en de normaal M. Omdat de normaal per definitie niet in het vlak ligt is M een punt. Voor een willekeurig punt in de doorsnijding van het vlak V en het boloppervlak geldt uiteraard dat het een afstand R van het middelpunt O ligt. Als we nu de afstand tussen ditzelfde willekeurige punt en M uitdrukken als ρ, dan kunnen we de stelling van Pythagoras gebruiken om ρ uit te 10

drukken in R en de lengte van het lijnstuk OM, aangezien de normaal per definitie loodrecht staat op het vlak waarin het willekeurige punt en M liggen. R = (OM) + ρ ρ = R (OM) Omdat R en OM constant zijn voor ieder willekeurig punt in de doorsnijding van het vlak V en het boloppervlak, geldt dat ook ρ constant is voor elk punt in de doorsnijding. De doorsnijding van V en het boloppervlak is daarom een cirkel met middelpunt M. Dit geldt voor iedere doorsnijding van een vlak en het boloppervlak. Er is maar één vlak in de verzameling van vlakken met normaal P 1 P die ook O snijdt, en de doorsnijding van dit vlak en het boloppervlak heet een grootcirkel. De doorsnijdingen van alle overige vlakken en het boloppervlak heten kleincirkels. In figuur 4.1 worden één grootcirkel en één kleincirkel weergegeven. Grootcirkels onderscheiden zich van kleincirkels door het feit dat ze een straal R hebben en doordat elk paar diametraal tegenover elkaar liggende punten altijd in dezelfde grootcirkel liggen. Figuur 4.: Stel er liggen twee willekeurige punten M en N niet diametraal tegenover elkaar op een boloppervlak. Dan bestaat er maar één grootcirkel die allebei de punten doorkruist: de doorsnijding van het boloppervlak en het vlak waarin O, M en N liggen. Nu we weten wat een grootcirkel is zijn we in staat om te bepalen wat een rechte lijn op een boloppervlak inhoudt, door middel van de volgende stelling. Stelling 1. Op het boloppervlak is een rechte lijn gelijk aan een grootcirkelboog waar voor de hoek θ van de boog geldt 0 < θ π. Vanuit Definitie 1 volgt dat om Stelling 1 te bewijzen we moeten aantonen dat voor twee willekeurige punten M en N op het boloppervlak geldt dat de kortste lijn tussen deze twee punten een grootcirkelboog is zoals beschreven in de stelling. Bewijs. We nemen twee willekeurige punten M en N op het boloppervlak, die niet diametraal tegenover elkaar liggen, en tekenen het koord MN. Nu voegen we een punt Q toe op dit koord zodat MQ en NQ even lang zijn, zoals weergegeven in figuur 4.. 11

Figuur 4.3: We kijken nu naar de grootcirkel die de doorsnijding bedraagt van het boloppervlak en het vlak waar Q in ligt met lijnstuk M N als normaal. Dit is een grootcirkel omdat we vanuit symmetrieoverwegingen kunnen zien dat het lijnstuk vanuit het middelpunt van de bol O naar Q loodrecht staat op MN. We zoeken nu een punt P in de grootcirkel zodat de lengtes van de koorden MP en NP bij elkaar minimaal zijn. Hier geldt nu dat P Q loodrecht staat op MN en MQ = NQ = 1 MN, en hieruit volgt; MP + NP = (P Q) + (MQ) + (P Q) + (NQ) = (P Q) + (MN) Omdat MN constant is moeten we P zo kiezen dat P Q minimaal is. Dan moet gelden dat P in het verlengde ligt van het lijnstuk OQ. Door middel van figuur 4.3 tonen we aan dat dan voor elk ander punt P op het boloppervlak vanuit de driehoeksongelijkheid (deze is strikt omdat Q niet op het lijnstuk P O ligt) geldt; P Q > OP OQ = OP OQ = P Q Hieruit volgt dat P in hetzelfde vlak ligt als M, N en O, en daarom in de grootcirkelboog tussen M en N ligt. Vanuit symmetrieoverwegingen volgt dat P halverwege de grootcirkelboog ligt. Dit proces gaat op voor elke twee punten op het boloppervlak en kan daarom ook uitgevoerd worden op M en P en ook op N en P. We kunnen dit blijven herhalen zodat we na n iteraties een constructie hebben die uit n stuks koorden van gelijke lengte bestaat die M en N verbindt via n 1 aantal punten die zo gekozen zijn dat de totale lengte van deze koorden minimaal is. Elk van deze punten ligt op de grootcirkelboog tussen M en N. Nu tonen we aan dat deze constructie in de limiet na oneindig veel iteraties naar de grootcirkelboog tussen M en N convergeert. Dit doen we door te bewijzen dat de totale lengte van alle koorden convergeert naar de lengte van de grootcirkelboog, die we vanaf nu met c aanduiden. Figuur 4.4: 1

We definiëren de rij (l n ) n N waar l n de totale lengte is van alle koorden die na n iteraties gevormd zijn. De grootte van l n is te berekenen, dit doen we aan de hand van figuur 4.4. We zien dat l 0 en l 1 bedragen; ( c l 0 = MN = R sin R ) l 1 = R sin ( c R Hieruit is het niet moeilijk in te zien dat de formule voor l n bedraagt; ( l n = n+1 c ) R sin n+1 R Nu willen we aantonen dat (l n ) n N convergeert. Daarvoor passen we de volgende standaardlimieten toe. 1 lim sin (cx) = c x 0 x lim n 1 n+1 R = 0 Dan volgt vanuit de substitutiestelling dat lim n l n = c. Wat we ons hierbij kunnen voorstellen is dat de constructie van oneindig veel kleine koordjes van gelijke lengte met de kortste totale lengte tussen M en N dezelfde lengte heeft als de grootcirkelboog, en dat de oneindig veel punten die deze constructie opspannen allemaal in de grootcirkelboog liggen. Deze constructie is dus equivalent aan de grootcirkelboog. Nu is het ook makkelijk in te zien dat voor de hoek θ van deze grootcirkelboog geldt 0 < θ < π, omdat deze hoek gelijk is aan de hoek MON uit figuur 4.. Aan de hand van dit bewijs zien we in dat grootcirkelbogen moeten worden beschouwd als rechte lijnen op het boloppervlak. Afstanden tussen twee punten op het boloppervlak worden dan ook gegeven als hoek van de kortste grootcirkelboog die de twee punten verbindt. 4. Euclidische axioma s en het boloppervlak We weten nu wat een rechte lijn op een boldriehoek precies inhoudt, en met dit zijn we in staat om stuk voor stuk elk van de Euclidische axioma s zoals genoemd in paragraaf.1 te beschouwen in verband met het boloppervlak. Axioma 1. Er kan een unieke rechte lijn worden getrokken tussen twee punten. We hebben aangetoond dat als twee punten A en B niet diametraal tegen over elkaar liggen, dat er dan één unieke grootcirkelboog is die de twee punten verbindt. Tot hier is het axioma geldig. Als nu geldt dat A en B wel diametraal tegenover elkaar liggen, dan bestaan er oneindig veel grootcirkelbogen die de twee punten verbinden, de punten liggen immers altijd in dezelfde grootcirkels. Ofwel tenzij we een nieuwe definitie voor punten op een boloppervlak opstellen, is axioma 1 niet geldig voor het boloppervlak. Axioma. Elk recht lijnsegment kan steeds verder worden doorgetrokken. Vanuit stelling 1 zien we al dat ook axioma niet geldig is voor het boloppervlak. Een recht lijnsegment, ofwel een grootcirkelboog, kan maximaal doorgetrokken worden totdat de hoek hiervan π bedraagt, een grootcirkelboog met een hoek groter dan π is immers geen recht lijnsegment meer. ) 13

Axioma 3. Er kan een cirkel met elke mogelijk straal en elk mogelijk middelpunt worden getekend. Hiervoor moeten we eerst goed naar de definitie van een cirkel kijken, en deze toepassen op een boloppervlak. Definitie. Een cirkel is de verzameling van alle punten met afstand r (de straal) tot een middelpunt M. Alweer zien we vanuit stelling 1 dat ook axioma 3 niet geldig is voor het boloppervlak, omdat er een bovengrens is voor de mogelijke straal. Er bestaan immers geen punten op het boloppervlak waartussen de onderlinge afstand groter is dan πr. Los hiervan is het wel interessant om te bekijken welke cirkels wel getekend kunnen worden, en hoe deze eruit zien. We beschouwen een cirkel met middelpunt M en straal 0 < r < πr; ofwel elk willekeurig punt P in de cirkel kan worden verbonden door een grootcirkelboog met hoek θ waarvoor geldt 0 < θ < π. Nu geldt ook r = θr. Figuur 4.5 weergeeft dat er een punt N bestaat dat op dezelfde as ligt als M en O zodat geldt dat MN loodrecht staat op NP. Dan geldt ook P N = R sin θ. Vanuit symmetrieoverwegingen geldt dit voor elke willekeurige P in de cirkel, ofwel de cirkel beslaat een kleincirkel rond het punt N met straal R sin θ. In het bijzondere geval dat r = π R volgt de cirkel een grootcirkel, omdat zijn straal gelijk is aan R en ook geldt N = O. Axioma 4. Elke twee rechte hoeken zijn congruent. Vanuit de symmetrische eigenschappen van een bol zien we dat een hoek behouden zal blijven onder translatie. Dat wil zeggen dat een hoek na een verplaatsing naar een ander punt op het boloppervlak niet van grootte zal veranderen, dit geldt in het bijzonder voor rechte hoeken. Hieruit volgt dat axioma 4 opgaat. Axioma 5. Als twee lijnen een derde lijn zó snijden dat de som van de binnenhoeken aan één kant kleiner is dan π, dan snijden deze twee lijnen elkaar aan die kant van de derde lijn. r = θr P Figuur 4.5: M θ O N Het is niet moeilijk om in te zien dat axioma 5 opgaat voor het boloppervlak. Ter illustratie kiezen we twee niet diametraal tegenover elkaar liggende punten A en B. Nu beschouwen we twee willekeurige grootcirkels C A en C B, met als enige voorwaarden dat A in C A maar niet in C B ligt en dat B niet in C A en wel in C B ligt. Dit voorkomt dat de grootcirkels het verlengde vormen van het lijnstuk AB. Hiervanuit volgt dat de twee grootcirkels twee snijpunten S 1 en S hebben die diametraal tegen over elkaar liggen. Omdat A en B tussen S 1 en S liggen op C A en C B, geldt dat de grootcirkelbogen van elk A en B naar S 1 en S allemaal kleiner zijn dan π. Hieruit concluderen we dat in verwijzing naar axioma 5 het niet uitmaakt hoe twee lijnen een derde lijn snijden, ze zullen elkaar snijden aan ieder zijde van de lijn. Ook zijn de implicaties van axioma 5 anders voor het boloppervlak dan voor het Euclidische vlak omdat axioma s 1, en 3 niet opgaan er bestaat namelijk geen parallele lijn op het boloppervlak. We zien dus dat het grootste deel van de Euclidische axioma s niet opgaat voor bolmeetkunde. Hiervanuit concluderen dat Euclidische meetkunde niet toepasbaar is voor het boloppervlak, en dat wij daarom het boloppervlak op een andere manier moeten beschouwen. 14

4.3 Boldriehoeken Logischerwijs bestaat de mogelijkheid om drie willekeurige punten A, B en C op het boloppervlak (uiteraard niet diametraal tegenover elkaar geplaatst) onderling te verbinden door de kortste grootcirkelbogen, zoals afgebeeld in figuur 4.6. Deze constructie heet een boldriehoek. In de boldriehoeksmeetkunde is het de conventie om de overstaande zijde van de punten A, B en C respectievelijk a, b en c te noemen. De aanliggende hoeken tussen de grootcirkelbogen worden bij de punten A, B en C repectievelijk α, β en γ genoemd. Dit staat ook afgebeeld in figuur 4.6. Ook geldt voor de zijden dat 0 < a, b, c < π en voor de hoeken dat 0 < α, β, γ < π. Net als in de Euclidische meetkunde geldt voor boldriehoeken dat als drie van de elementen a, b, c, α, β en γ gedefiniëerd zijn dat dan de andere elementen bepaald zijn. Er gelden dus bepaalde afhankelijkheden tussen deze elementen en het is mogelijk om deze afhankelijkheden af te leiden. Dit doen we in de komende paragrafen volgens de methode die wordt weergegeven in [1] van Hogendijk (vermoedelijk door hem geplagieerd). Figuur 4.6: α c b β a γ 4.4 Rechthoekige boldriehoeken Een rechthoekige boldriehoek is gewoonweg een boldriehoek die een rechte hoek heeft, oftewel een hoek van grootte π. We beginnen met een rechthoekige boldriehoek waar γ = π en 0 < a, b, c < π zoals weergegeven in figuur 4.7. De afbeelding toont ook een lijn vanuit het middelpunt van de bol O naar elk hoekpunt. Op het lijnstuk OC is het punt C gekozen zodat het lijnstuk BC loodrecht staat op OC. Op lijnstuk OA is op dezelfde manier het punt A toegevoegd. Het is 15

belangrijk om in te zien dat omdat het fiet γ = π er toe leidt dat BC loodrecht op het vlak staat waarin A, C en O liggen en hierdoor ook A C loodrecht op BC staat. Het is ook van belang om op te merken dat A C loodrecht staat op OA, wat valt af te leiden uit het feit dat OA de normaal is op het vlak waarin A, B en C liggen (A B staat per definitie loodrecht op OA) en uit het feit dat BC de normaal is van het vlak waarin A, C en O liggen. Dit heeft als consequentie dat BA C gelijk is aan α. Figuur 4.7: C γ b C a A O α β B A α c Het toevoegen van de punten A en C heeft als nut dat de vier rechthoekige driehoeken OA B, OA C, OBC en A BC, gevormd worden. Deze rechthoekige driehoeken staan ons nu toe om iets te zeggen over sinus en cosinus van de hoeken a, b, c en α. Als we naar de verhoudingen tussen lijnstukken in figuur 4.7 kijken zijn we in staat om daarmee de volgende afhankelijkheden af te leiden voor de rechthoekige boldriehoek: cos c = OA OB = OC OA = cos a cos b OB OC cos c = cos a cos b Door middel van de rechthoekige driehoeken geldt ook het volgende: sin α = BC BC A B = OB A B cos α = A C A A B = OB C OA A B OA = sin a sin c = tan b tan c tan α = sin α cos α = sin a tan c sin c tan b = tan a sin b 16

Vanuit symmetrieoverwegingen zijn we in staat om aan te nemen dat in het geval van deze rechthoekige driehoek er een equivalentie is tussen de punten A en B, dus elke relatie die geldt voor a en α is toepasbaar op b en β en andersom. sin β = sin b sin c cos β = tan a tan c tan β = tan b sin a Met deze vergelijkingen is het mogelijk om voor elke rechthoekige driehoek vanuit twee bekende elementen uit a, b, c, α en β de overige drie te berekenen. 4.5 Willekeurige boldriehoeken In figuur 4.8 hebben we een willekeurige boldriehoek ABC waarvoor geldt 0 < α, β < π. We tekenen nu een punt M op zijde c zodat het lijnstuk CM, wat we voortaan h c noemen, loodrecht staat op c. We hebben nu de oorspronkelijke boldriehoek opgesplitst in twee rechthoekige driehoeken. Zijde c bestaat nu ook uit twee kortere zijdes m en n, zodat m + n = c, en de hoek γ uit twee kleinere hoeken µ en ν, zodat µ + ν = γ. Nu rekenen we cos c uit met behulp van de identiteiten voor de twee rechthoekige driehoeken. cos c = cos (m + n) = cos m cos n sin m sin n cos a cos b = cos sin a sin b sin µ sin ν h c = cos a cos b ( 1 + tan ) h c sin a sin b sin µ sin ν = cos a cos b (1 + (tan a cos µ) (tan b cos ν)) sin a sin b sin µ sin ν = cos a cos b + sin a sin b (cos µ cos ν sin µ sin ν) Hieruit volgt de zijde-cosinusregel, een veel gebruikte identiteit in de boldriehoeksmeetkunde: cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ (1) Figuur 4.8: C μ ν a b h c B β m M n α A 17

Vanuit de zijde-cosinusregel leiden we vervolgens weer af: cos γ = cos c cos a cos b sin a sin b = cos h c cos m cos n + ( cos h c + sin ) h c cos c sin a sin b = cos h c (cos m cos n cos c) + sin h c cos c ( ) sin ( a sin b cos hc sin m cos hc sin n = sin a sin b ) + ( sin hc sin a ) ( ) sin hc cos c sin b Dit geeft uiteindelijk de hoek-cosinusregel, ook een veel gebruikte identiteit in de boldriehoeksmeetkunde: cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos c () Figuur 4.9: α α β β γ γ β β α α γ γ Vanuit de rechthoekige driehoeken kunnen we ook nog het volgende afleiden. Hieruit volgt: sin α sin b = sinh c = sin β sin a sin a sin α = sin b sin β Aangezien in een willekeurige boldriehoek alle hoeken en zijden equivalent behandeld worden, zijn we in staat om vanuit symmetrieoverwegingen te zeggen dat deze verhouding ook geldt voor 18

c en γ zoals voor a, b, α en β. Dit staat bekend als de sinusregel en deze bedraagt: sin a sin α = sin b sin β = sin c sin γ (3) Vanuit de rechthoekige driehoeken kunnen we ook nog het volgende afleiden. Hieruit volgt: tan α sin n = tan h c = tan β sin m tan α tan β = sin n sin (c m) sin c cos m sin m cos c = = sin m sin m sin m sin α sin c cos α = cos c cos α tan β tan m Dit geeft uiteindelijk de tangensregel, ook een veel gebruikte identiteit in de boldriehoeksmeetkunde: sin α tan β = sin c cos c cos α (4) tan b Ondanks dat we de sinus-, cosinus- en tangensregels net hebben afgeleid door middel van een boldriehoek waarvoor geldt 0 < α, β < π, zijn deze regels toepasbaar op alle boldriehoeken. De oppervlakte van een boldriehoek ( ) kan worden afgeleid door de zijdes van de boldriehoek door te trekken tot volledige grootcirkels. Hierdoor onstaan boltweehoeken, waarvan de hoekpunten diametraal tegen over elkaar liggen. De oppervlakte van een boltweehoek met hoek α is gelijk aan α π de oppervlakte van de bol en wordt zo gegeven door α π 4πR = α R. In figuur 4.9 zien we dat de zes boltweehoeken met hoeken α, β en γ die de grootcirkels vormen het hele boloppervlak vullen terwijl ze overlappen in de oorspronkelijke boldriehoek en een congruente boldriehoek diametraal tegenover de oorspronkelijke. Hierdoor zijn we in staat de volgende vergelijking op te stellen en daaruit een formule voor het oppervlak van de boldriehoek af te leiden. 4πR = ( α R + β R + γ R ) 4πR = 4R (α + β + γ) 4 Opmerkelijk genoeg zien we dus dat het oppervlak van een boldriehoek afhankelijk is van de som van zijn hoeken: = (α + β + γ π) R (5) Aan de hand van vergelijkingen 1 tot en met 5 is het mogelijk om elke willekeurige boldriehoek te beschrijven. Daarmee bedoelen we dat als we drie willekeurge elementen uit de verzameling {α, β, γ, a, b, c} bekend zijn, dat we dan door middel van het toepassen van vergelijkingen 1-5 we de overige drie elementen kunnen bepalen. 19

5 Hyperbolische meetkunde In dit hoofdstuk volgen we de methode van Bolyai om relevante stellingen in de hyperbolische meetkunde en de bijbehorende driehoeksmeetkunde af te leiden.[4][5] Zoals eerder duidelijk gemaakt is (zie paragraaf.1), vermelden wij niet alle veertien axioma s die hierbij in feite worden aangenomen. Dit is analoog aan het originele werk van Bolyai [5], die zich van deze stilzwijgende aannames waarschijnlijk niet bewust was. Deze axioma s zijn wel te vinden in [3]. 5.1 Aannames Om relevante stellingen te kunnen bewijzen, bespreken we eerst welke axioma s we aannemen en geven we een definitie van speciale parallelle lijnen in de hyperbolische meetkunde. We nemen de axioma s van de neutrale meetkunde aan (d.w.z. de axioma s van de Euclidische meetkunde zonder parallellenaxioma): Axioma 1. Er kan een unieke rechte lijn worden getrokken tussen elke twee punten. Axioma. Elk recht lijnsegment kan steeds verder worden doorgetrokken. Axioma 3. Er kan een cirkel met elke mogelijke straal en elk mogelijk middelpunt worden getekend. Axioma 4. Elke twee rechte hoeken zijn congruent. Hier voegen wij nu het volgende axioma aan toe: Axioma 5. Gegeven een willekeurige lijn l en een willekeurig punt P niet op l, dan bestaan er minstens twee verschillende lijnen l 1 en l door P die l niet snijden. We geven de definitie van parallelle lijnen, die geldig is in alle soorten meetkunde. Definitie 1. Twee lijnen AB en CD in hetzelfde vlak heten parallel als er geen punt E bestaat zó dat E op zowel AB als CD ligt. Als we de voorwaarde dat deze lijnen in hetzelfde vlak liggen weghalen, dan zeggen we dat AB en CD elkaar kruisen als ze elkaar niet snijden. We hebben in paragraaf.5 al een aantal interessante eigenschappen van de hyperbolische meetkunde bewezen. Voordat we beginnen met het bewijzen van de benodigde stellingen, bewijzen we een belangrijke eigenschap van parallelle lijnen in de hyperbolische meetkunde. Eigenschap 1. Gegeven een lijn l en een punt P niet op l. Er bestaan twee lijnen door P parallel aan l, met de eigenschap dat als ze rond P weg van de normaal op l door P worden geroteerd over een willekeurige hoek φ > 0, ze de lijn l snijden. Bewijs. Zij ϑ de hoek die een lijn m door P maakt met de normaal aan l die door P gaat. Als we deze hoek laten toenemen vanaf π, zal voor bepaalde hoeken gelden dat de lijn m niet meer parallel is aan l en dus een snijpunt Q heeft met l. Zij A de verzameling hoeken waarvoor geldt dat m en l niet snijden, met inf A = ϑ 0. 1 Stel ϑ 0 / A; dan geldt als ϑ = ϑ 0, dat er een snijpunt Q van m met l bestaat. Verschuiven we dit snijpunt over l weg van de normaal, dan neemt ϑ toe, terwijl nog steeds geldt dat m en l elkaar snijden. Dus ϑ 0 inf A. Tegenspraak. Dus ϑ 0 A en er volgt ϑ 0 = min A. Zodoende bestaan er twee lijnen parallel aan l met de speciale eigenschap dat als de hoek die ze met de normaal op l door P maken toeneemt met φ > 0, er geldt dat deze lijnen l snijden. Definitie. Een lijn met bovenstaande eigenschap 1 noemen we grensparallel. 1 Met inf A bedoelen we het infimum van A; d.w.z. de grootste ondergrens van A. Deze bestaat, want A. 0

5. Bewijzen van benodigde stellingen Ons doel in deze paragraaf is om verbanden te vinden tussen de hoeken en zijden van een hyperbolische driehoek dit valt te vergelijken met de goniometrische regels die we hebben opgesteld voor boldriehoeken. We gebruiken hierbij de methode van Janos Bolyai. [5] Hiervoor voeren we allereerst wat notatie in: de symbolen en. Definitie 1. Zij AB en CD twee halve lijnen (zie figuur 5.1) en CAB = ACD. Dan schrijven we: AB CD. Figuur 5.1: Definitie. Met x a bedoelen we x gaat naar de limiet a. Daarnaast herhalen we wat het symbool = betekent. Definitie 3. Het symbool = staat voor congruentie tussen twee objecten. Dus als ABC = EDF, dan zijn de twee driehoeken ABC en EDF congruent. Dit betekent dat de ene driehoek d.m.v. beweging precies op de andere kan komen te vallen. We gebruiken hier uiteraard de definitie uit de voorgaande paragraaf van parallelle lijnen (zie definitie 1 uit paragraaf 5.1) en grensparallelle lijnen (zie eigenschap 1 en definitie op de vorige pagina). Definitie 4. Als een lijn BN grensparallel is aan AM schrijven we BN AM. Als voor twee lijnen GH en KL zowel geldt dat GH KL en GH KL, dan zullen we noteren: GH KL. Verder definiëren we een halve lijn als volgt: de halve lijn AB begint in het punt A en wordt willekeurig lang in de richting van B voortgezet. Figuur 5.: We gaan een aantal bewijzen opstellen, waarmee we uiteindelijk verbanden tussen de hoeken en zijden van een hyperbolische driehoek zullen afleiden. Stelling 1. (zie figuur 5.) Als BN AM, dan bestaat er op de rechte AM precies één punt F zó dat F M BN. Bewijs. Kies punten E en C op AM zó dat BCM > CBN en BEM < EBN. Laat punt P over EC van E naar C bewegen; dan geldt eerst BP M < P BN en later BP M > P BN. We zien dat BP M continu toeneemt van BEM naar BCM. Deze hoek zal dus ook één punt passeren waarop geldt BP M = P BN. Er is daarom precies één punt F op EC zó dat BF M = F BN en dus F M BN. Met behulp van stelling 1 kunnen we nu een definitie geven van Υ-vormen en L-lijnen. Definitie 5. (zie figuur 5.3) Gegeven het punt A en de halve lijn AM. Beschouw alle punten B waarvoor geldt dat er een punt N bestaat zó dat geldt zowel BN AM als BN AM. We noemen dit de Υ-vorm van AM. De doorsnijding van Υ met een vlak bevattende lijnstuk AM noemen we de L-lijn van AM; we noemen AM de as van L. In deze uitspraak zit een continuïteitsaxioma verstopt; intuïtief is het bestaan van een dergelijk punt duidelijk. 1

Stelling. (zie figuur 5.4) Twee L-lijnen AP en BD in dezelfde Υ-vorm, snijdende met een derde L-lijn AB, snijden als BAP + ABD < π. Bewijs. Stel AM en BN zijn assen van dezelfde Υ. Er geldt dat de vlakken MAP en NBD snijden; met definitie 5 volgt daarnaast dat Υ deze intersectie bevat. We concluderen dat AP en BD snijden. Het moge duidelijk zijn dat de Υ-vorm van AM precies één punt gemeenschappelijk heeft met een willekeurige lijn parallel aan AM; zie stelling 1. Dit toont aan dat L door de halve lijn AM in twee congruente stukken wordt verdeeld. Ook valt in te zien dat als we L om zijn as AM te roteren, de Υ van AM wordt verkregen. Uit bovenstaande stelling volgt dat de Euclidische axioma s en eigenschappen van rechte lijnen even goed gelden voor L-lijnen in de hyperbolische ruimte. Dit is analoog aan het Poincaré schijfmodel (zie paragraaf 3.), waarin binnen cirkelbogen de axioma s van de hyperbolische meetkunde gelden. We mogen dus ook alle stellingen die binnen de Euclidische meetkunde gelden (zoals de sinusregel) toepassen op objecten in de hyperbolische ruimte bestaande uit L-lijnen. Dit zal van groot belang zijn zie stelling 9 en paragraaf 5.3. Tenslotte merken we op dat we de L-vorm kunnen interpreteren als de limietfiguur van een hyperbolische bol met oneindige straal ; d.w.z. als we een cirkel hebben met straal R en we laten R, dan wordt deze cirkel een L-lijn. Grensparallelle lijnen snijden elkaar immers in het oneindige (ze zijn een limietgeval) en een grensparallel staat loodrecht op de bijbehorende L-lijn. Figuur 5.3: Stelling 3. (zie figuur 5.5) Als BN CP en AM BC, dan BN AM. Bewijs. Als BN de halve lijn AM zou snijden, dan zou CP AM op hetzelfde punt snijden; want MABN = MACP. Dan zouden BN en CP elkaar dus ook snijden, terwijl BN CP ; tegenspraak. Dus AM en BN snijden elkaar niet, waaruit volgt dat AM BN. Figuur 5.4:

Figuur 5.5: Uit de zojuist bewezen stelling 3 kunnen we iets concluderen dat erg bruikbaar zal blijken bij volgende bewijzen. Stelling 4. Als B ligt op de L van de halve lijn AM en BN AM, dan is de L van AM ook de L van BN. Bewijs. Stel L de L van BN. Laat het punt C ergens op L liggen, en een halve lijn CP bestaan beginnend in C, zó dat CP BN (dit kan volgens definitie 5). Aangezien BN AM volgt uit stelling 5 dat ook CP AM. Dus C valt ook op L. C is hier willekeurig op L gekozen, dus volgt dat L en L hetzelfde zijn. Stelling 5. (zie figuur 5.5) Als zowel BN AM als CP AM, dan ook BN CP. Bewijs. We kunnen de lijnen AB en AC trekken; uit stelling 1 volgt dan dat het lijnstuk BC een segment van één L is, namelijk die van AM. Er volgt nu met stelling 4 dat BN CP. Stelling 6. (zie figuur 5.6) Laat AB de L van de halve lijn AM zijn en C op AM. Als CAB over AB wordt bewogen dan zal het pad dat C beschrijft de L van CM zijn. Bewijs. Kies D op BN zó dat C op D terechtkomt na de translatie van CAB over AB de lijn CD noemen we L. Dan DN CM en B het snijpunt tussen de L-lijn van AM en DN. Omdat BN AM en AC = BD (de lengte AC blijft onveranderd onder translatie), volgt dat DN CM, en dus ligt D op de L-lijn van CM. Echter, dit geldt voor alle translaties van CAB over AB met AB willekeurig; voor elk punt D op BN met bovenstaande eigenschap geldt dan steeds dat D op de L-lijn van CM ligt. Hieruit volgt dat L, bestaande uit al deze punten D, de L-lijn van CM is. Een dergelijke relatie tussen twee L-vormen zullen we vanaf nu als volgt noteren: L L. Een meetkundig interessante grootheid is de verhouding tussen de lengtes AB en CD; we geven deze verhouding een naam. Definitie 6. De verhouding AB : CD (zie figuur 5.6) geven we weer met een hoofdletter (zoals X) corresponderend met de kleine letter (zoals x) waarmee we het lijnstuk AC bedoelen. Het moge duidelijk zijn dat X onafhankelijk is van de lengte van AB, en compleet wordt vastgelegd door AC; het gaat immers om de verhouding tussen AB en CD. (Wederom geldt dat hier een stilzwijgende aanname achter zit; het begrip afstand is nog niet gedefinieerd in de hyperbolische ruimte en wordt in Bolyai s methode intuïtief gebruikt.) Figuur 5.6: 3

Stelling 7. Voor alle x, y Q geldt dat Y = X y x (zie definitie 6). Bewijs. Óf één van de grootheden x en y is een geheel veelvoud van de ander, of dit is niet het geval. We beschouwen beide gevallen: I. Als één van de grootheden x en y een geheel veelvoud van de andere is, dan kunnen we schrijven y = nx voor zekere n N. Gebruikende figuur 5.6, stel x = AC = CG = GH enzovoorts, totdat geldt voor een zeker punt J AM dat AJ = y. Stel verder ook dat S het snijpunt tussen lijn BN en de L van JM is; dan CD GK HL... JS. Volgens definitie 6 geldt nu dat X = AB : CD = CD : GK = GK : HL; er volgt dus dat AB JS = AB ( ) n CD GK AB CD GK HL = CD oftewel: Y = X n = X y x. II. Als x en y veelvouden van een bepaald getal t Q zijn dus x = mi en y = ni voor zekere m, n Q dan volgt uit het voorgaande dat X = T m en Y = T n, oftewel: Y = X n m = X y x. Hetzelfde is waar voor alle x, y R. 3 Daarnaast kunnen we het volgende bewijzen: Stelling 8. Als q = y x, dan Q = Y : X. Bewijs. Dit volgt direct met uitschrijven. Er geldt namelijk in geval I. (zie het bewijs van stelling 7) dat q = (n 1)x en dus Q = X n 1 = X n : X = Y : X. In geval II. geldt dat q = (n m)t en dus Q = T n m = T n : T m = Y : X. Figuur 5.7: In de Euclidische meetkunde zal natuurlijk altijd gelden dat X = 1; als er geldt voor twee lijnen AB en CD dat AB CD, dan geldt ook gelijk dat CAB = ACD = π. In de hyperbolische meetkunde is dit echter niet in het algemeen waar. We gaan nu bewijzen opstellen die betrekking hebben tot hyperbolische driehoeken; driehoeken die zijn opgebouwd uit normale lijnen (géén L-lijnen) en zich begeven in een hyperbolische ruimte die is vastgelegd door de vijf axioma s gegeven in paragraaf 5.1. Voordat we hiermee aan de slag gaan, merken we op dat tussen elke twee punten op een Υ-vorm één unieke L-lijn kan worden getrokken. Aangezien ook geldt dat deze L-lijn loodrecht staat op een as van deze L, volgt dat de hoek tussen twee L-lijnen in Υ gelijk is aan de hoek tussen de vlakken waarin de betreffende L-lijnen bevat zijn, getekend loodrecht op de Υ-vorm. 3 Ook achter deze aanname zit een continuïteitsaxioma schuil. 4

Stelling 9. (zie figuur 5.7) In elke rechthoekige driehoek ABC met ABC = π sin BAC = BC AC. geldt dat Bewijs. Zij AM ABC, BN AM en CP AM. Dan CAB ABNM. Stel de Υ-vorm van CP snijdt de lijnen AM en BN respectievelijk in de punten E en D. Dan zijn ED, DC en CE L-lijnen. Met bovenstaande opmerking volgt nu dat CDE = ABC = π ; evenzo CED = CAB. Zoals opgemerkt na stelling gelden binnen objecten bestaande uit L-lijnen de axioma s van de Euclidische meetkunde, en dus ook de bekende relaties tussen de zijden en hoeken van een driehoek; er volgt dat in de (uit L-lijnen opgebouwde) CDE geldt: sin CED = DC EC = sin CAB. Ook geldt voor de oppervlaktes van cirkels in de Υ-vorm van CP dat 4 Zo volgt dat geldt DC EC = πdc πec = πbc πac. sin CAB = BC AC. Deze stelling gebruiken we voor de volgende belangrijke relatie tussen hoeken en zijden. Figuur 5.8: 4 We schrijven πec om te benadrukken dat we het hebben over de oppervlaktes van cirkels. 5

Stelling 10. (zie figuur 5.8) Als AC AB en BD AB, dan zal onder translatie van CAB over AB, waar CD staat voor het pad van C, gelden dat CD : AB = sin u : sin v, waarbij u en v de hoeken aangegeven in figuur 5.8 zijn. Bewijs. Stel DE AC; volgens stelling 9 geldt dat ED : AD : AB = sin u : 1 : sin v. Als we BACD om AC heen roteren, dan beschrijft B de cirkel met straal AB en D beschrijft de cirkel met straal ED. Er is ook een polygoon BF G... die de cirkel met straal AB van binnen omschrijft en een polygoon DHK... die de cirkel met straal ED omschrijft. Omdat alle lijnstukken CD, DH en KH in één vlak liggen, en hetzelfde geldt voor de lijnstukken AB, BF en F G, kunnen we beredeneren (evenals in definitie 6) dat CD : AB = DH : BF = HK : F G enzovoorts; en dus (DH + HK +...) : (BF + F G...) = CD : AB. Als we steeds meer en steeds kleinere stukjes DH, KH etc. van de polygoon DHK... binnen de cirkel met straal ED nemen, en hetzelfde doen met de polygoon BF G... binnen de cirkel met straal AB, dan geldt dat in de limiet geldt: DH + HK +... πed BF + F G +... πab. Hieruit volgt: πed πab = CD AB.5 Maar we hadden al ED AB = sin u sin v CD AB = sin u sin v., en dus volgt: We kunnen stelling 10 nu heel mooi gebruiken om de in definitie 6 gedefinieerde verhouding X uit te drukken in sinussen van hoeken binnen de linkerfiguur. Let wel: in stelling 11 zijn BN en AM gewone lijnen, d.w.z. géén L-lijnen. Figuur 5.9: Stelling 11. (zie figuur 5.9) Als BN AM, C op AM en AC = x, dan geldt X = sin u : sin v. Bewijs. Kies D en E op BN zó dat CD BN en AE BN. Kies verder F op AM zó dat BF AM; dan geldt volgens stelling 10 dat πbf : πcd = sin u : sin v. Maar ook geldt BF = AE en dus AE : CD = sin u : sin v. Echter, volgens definitie 6 geldt dat X = AB : CG. Voor de L-lijnen van AM en CM (AB en CG respectievelijk) volgt uit stelling 10 dat πae : πcd = AB : CG = X; hieruit volgt dat ook geldt X = sin u : sin v. Nu we stelling 11 hebben bewezen, kunnen we verschillende verhoudingen Z, V, Y uitdrukken in (goniometrische functies van) hoeken, waarmee we later verbanden tussen de zijden en hoeken van een hyperbolische driehoek zullen opstellen (zie paragraaf 5.3). 5 We schrijven het wellicht ongebruikelijk ogende πed πab = CD AB de cirkels hebben. omdat we het uitdrukkelijk over de omtrek van 6

Stelling 1. (zie figuur 5.10) Als BAM = π, QBN = u, AB = y en BN AM, dan geldt Y = cot u. Bewijs. Stel AB = AC en CP AM. Dan BCP = u en volgt met stelling 5 dat BN CP. Kies D op ST zó dat P CD = QCD. Dan volgt dat DS CD, zodat DS CP. Stel verder BE DS. Dan volgt, aangezien ook DS CP en CP BN, dat DS BN. Hieruit volgt weer BN ES en BQ ET, en dus EBN = EBQ. Figuur 5.10: Stel BCF een L-lijn van BN, en F M, DH, CK en EL L-vormen van F T, DT, CQ en ET respectievelijk. Dan volgt uit stelling 6 dat HG = DF = DK = HC, en dus: CG = CH = v. Evenzo zien we in dat BG = BL = z. Uit stelling 11 volgt dat Z = 1 : sin u ( π en V = 1 : sin u ), Maar ook BC = BG CG; ofwel y = z v, en dus volgt uit stelling 8 dat Y = Z : V. Hieruit concluderen we dat 6 Y = Z : V ( π = sin u ) : sin u = cos u : sin u = cot u. 6 De uitdrukking cot staat voor de cotangens; deze is gedefinieerd als cot x = 1 tan x. 7