Uitwrkingn tra opgavn hoofdstuk 5 Functiondrzok: topassing van d diffrntiaalrkning. a. g( ) ( ) - 4 = Þ + - 6 ( + - 6) - ( - 4)( + ) ( + - 6) + - - ( - 8 + - 4) ( + - 6) g = = = = ( + )( - ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) - 4 + 4 = = = Of: g( ) ( - )( + ) ( )( ) - 4 + = = = + - 6 - + + n dan diffrntiërn. Of: g( ) diffrntiërn. b. g ( ) + + - + = = = - = - n dan + + + + + = 0 Þ = 0. Dz vrglijking hft gn oplossingn. ( + ) Voor all waardn van in ht domin van g gldt: g ( ) > 0. Dus gn tknwissling n dus ook gn maima n/of minima. - g = Þ g ( ) = + + c. ( ) ( ) ( ) g ( ) wisslt van tkn voor =-. Maar ( ) is dus gn buigpunt in d grafik van g aanwzig. g bstaat nit voor =-. Er. a. f ( ) = ( ln - ) Þ f ( ) = ( ln - ) + ( ln - ) = ( ln - ) + ( ln - ) = = ( ln - ) ( ln - ) + = ln - ln = ln - ln b. Erst lossn w op: f ( ) = 0 ( ) ( )( ) ( )
f ( ) = 0 Þ ln - ln = 0 Þ ln = Ú ln = 0 Þ = Ú = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) wisslt van tkn voor Ht domin van f n ook van f is = n voor =. +. f ( ) > 0 voor 0< < n voor >. f ( ) < 0voor < <. Dus is r n maimum f () = ( ln - ) = (- ) = 4 is voor = n En minimum ( ( ) ) ( ) f ( ) = ln - = - = 0 is voor = c. f ( ) = ( ln - ) ln Þ f ( ) = ln - ln + ln - ln ( ) ( ) ( ) = ln + ( ln - ) = ( ln - ) = ( ln - ) d. f ( ) 0 ln ln. Ht domin van f is +. f ( ) < 0 voor 0< <. f ( ) > 0 voor >. f () wisslt van tkn (van ngatif naar positif) voor =. Er is dus n hol-bol (concaaf-conv) buigpunt (, ( ) (, ) f =.. In n buigpunt gaat d grafik ovr van stds strkr stijgnd naar zwakkr stijgnd of andrsom. Of van stds zwakkr dalnd naar strkr dalnd of andrsom. In bovnstaand gval gaat d grafik in ht buigpunt (,) ovr van stds strkr dalnd naar zwakkr dalnd.. a y f ( ) cos cos sin cos sin f ( ) cos cos b W bpaln rst d nulpuntn van f : f ( ) 0 cos sin 0 0 cos sin 0 cos sin k, mt k domin:, 4 4 4 4 f ( ) > 0 voor 4 4 - < n f ( ) < 0 voor < 4 4
f is dus stijgnd op ht intrval, 4 4 n dalnd op, 4 4. c f is positif voor, wisslt van positif naar ngatif voor n is 4 4 ngatif voor 4. Dat gft d volgnd (rand-)trmn. 4 4 4 4 Randminimum f ( ) cos 0, voor ; 4 4 4 4 4 Lokaal maimum f ( ) cos, 55 voor. 4 4 4 4 4 Randminimum f ( ) cos 7, 460 voor d Erst bpaln w f : f ( ) cos sin. 4 cos sin sin cos sin f ( ) cos sin cos sin W bpaln d nulpuntn van f : 4 4 f ( ) 0 sin 0 0 sin 0 domin:, 0 f wisslt van tkn bij 0 n wl van ngatif naar positif. D grafik van f hft dus n concaaf-conv (hol-bol) buigpunt: ( 0, f ( 0 ) = ( 0,) Schts van d grafik van f.: 4. a Vanwg d logaritm is ht domin Voor ondrstaand hrschrijvn w f( ): f ( ) ln ln ln ln (positiv rël gtalln). En kandidaat voor n vrtical asymptoot is 0. W bpaln lim f( ) : 0
0 0 0 lim f ( ) lim ln ln lim ln ln Er is dus sprak van d vrtical asymptoot 0 (naar bndn). Om na t gaan of r sprak is van n horizontal asymptoot bpaln w lim f( ) : lim f ( ) lim ln ln lim ln ln Er is dus gn horizontal asymptoot aanwzig. b Erst bpaln w f : f ( ) ln ln ln ln ln f ( ) ln W brknn d nulpuntn van f : ln f ( ) 0 0 ln 0 ln ln ln ln ln 0, 56, 78 In bid brknd nulpuntn wisslt van f van tkn: bij 0, 56 van positif naar ngatif n bij, 78 van ngatif naar positif. Dit gft d volgnd trm waardn: Lokaal maimum : f ln ln 0, 85 9 voor 0, 56. Lokaal minimum: f ln ln 0, 85 9 voor, 78. c Erst bpaln w f :
ln f( ) f( ) ln ln ln 0 ln 6 ln ln ln 6 ln d Schts d grafik van f. Ht brik van f is 5. a Domin van f. Vanwg d logaritm: 0. Vanwg d nomr: Dus: Df \ 0 ; ln n dus Andr notati: Df 0,, 0.. Kandidatn voor vrtical asymptoot: 0 n Bijbhornd limitn: 0 lim f( ) lim 0 0 0 ln. lim ( ) lim f ln 0 lim ( ) lim f ln 0. Dus gn vrtical asymptoot bij 0. Er is dus n vrtical asymptoot ; van zowl links als rchts. b W bpaln d afglid van f.
f( ) ln ln 0 ln ln f( ) ln ln ln f ( ) bstaat ovral op ht domin van f. f( ) 0 als ln 0, dus als.. Tknvrloop van f ( ) : Voor 0 n voor gldt: f( ) 0 n voor gldt: f( ) 0. Er is n (lokaal) minimum f () ln voor. c W bpaln d twd afglid van f. ln ln f( ) f( ) 4 ln ln ln ln 0 ln ln ln ln ln ln 4 ln ln ln f ( ) bstaat ovral op ht domin van f. f( ) 0 als ln, dus als. Tknvrloop van f ( ) : Voor 0 gldt: f( ) 0 ; voor gldt: f( ) 0 n voor gldt: f( ) 0. Ht punt, (), d Schts d grafik van f. f is n bol-hol (conv-concaaf) buigpunt. Ht brik van f is \ 0,, 0, y y 0 y
6. 7. Voor d gnomd omtrk L van rchthok PQOR gldt: L PQ QO OR RP W kizn ht punt P: P ab,. Q op d X-as, dus y Q 0, PQ vnwijdig aan d Y-as, dus Q P a, dus Q is Q a,0. R op d Y-as, dus R 0, PR vnwijdig aan d Y-as, dus y R y P b, dus R is R 0,b. O is d oorsprong, dus O is O(0,0). Voor d omtrk L gldt dan: L PQ QO OR RP b a b a a b. Ht punt P ab, ligt op d grafik van f, dus: y f ( ) ligt, gldt: b. a Daarm gldt voor d omtrk L: La a a a a W bpaln d afglid van L. 4 La a L a a a 4 4 La 0 0 a 4 a a, 60 a a Voor dz waard van a wisslt L a van tkn; van ngatif naar positif. L hft dus n minimal waard voor a. Dz minimal waard is L, 780., y tot d oorsprong 0, 0 Voor d afstand d van n punt O gldt: Ht punt, y ligt op d grafik van d ggvn functi, dus r gldt: y. Daarm gldt voor d afstand d : W bpaln d afglid van d: 4 d d 4 4 5 6 4 5 d 4 d 6 0 6 6 6. 0 4 5 4. Er is ggvn: 0. Dus 6,5 Voor dz waard wisslt d Bij 6 is r dus sprak van n minimum. D minimal afstand is van tkn n wl van ngatif naar positif.. d y.
d 4 6 6 6 6 4 6, 747 Of (kortr) d 6 d,5,5, 747 4,5 8. 9. W nomn d lngt van d zijdn van d rchthok n y. Voor d opprvlakt A gldt dan: A y D omtrk is 0 cm, dus r gldt: y 0 y 0 y 0. A A 0 0 Dit invulln in A gft: W bpaln d afglid van A: A 0 A 0 0 A 0 0 5 van tkn; van positif naar ngatif. Voor 5 wisslt A A hft dus n maimum voor 5. D afmtingn van d rchthok zijn dan 5 bij 5 cm (ht is n virkant). D bijbhornd maimal opprvlakt is A5 5 5 5 cm. D bodm van d kist is virkant. D zijdn van d bodm nomn w. D hoogt van d kist nomn w y. Voor d inhoud V van d kist gldt: V y. D opprvlakt van d vir opstaand zijdn is in totaal 4y. D kostn daarvan zijn 4y 6 4y uro. D opprvlakt van d bodm is. D kostn rvan zijn 8 8 uro. D total kostn zijn dus 4y 8 uro. Er is ggvn dat d total kostn voor ht matriaal 96 uro mogn bdragn. 96 8 4 Er gldt dus: 4y 8 96 4y 96 8 y. 4 4 Dit invulln in V gft: V y 4. W bpaln d afglid van. V V V 4 V 4 V 0 4 0. Omdat lngtn positif zijn vrvalt. Dus blijft als nig oplossing ovr. Voor wisslt V van tkn; van positif naar ngatif. V hft dus n maimum voor. D gvraagd maimal waard voor d inhoud van d kist is
8 6 V 4 8 5. D bijbhornd afmtingn zijn: zijdn van d bodm: 4 4 4 zijd: y m, m. m n opstaand 0. W nomn d straal van ht grondvlak van ht blikj r. D opprvlakt van ht cirklvormig grondvlak is dan r. D hoogt nomn w h. D opprvlakt van d zijwand van ht blikj is:omtrk grondvlak hoogt r h. Voor d total opprvlakt A van ht blikj gldt dan: A r r h. D inhoud van ht blikj is r h. Ggvn is dat d inhoud 6 cl 60 cm is. 60 Er gldt dus r h 60 h. r 60 70 Dit invulln in A gft: A r r r r r. W bpaln d afglid van A A r : 70 70 A r r A r r. r r 70 70 60 60 A r 0 r 0 r r r 4, 857 r r Voor r 60 wisslt A van tkn; van ngatif naar positif. Ar hft dus n minimum voor r 60. D gvraagd straal is dus r 60 4, 857 cm. Voor d bijbhornd hoogt h gldt: 60 60 60 60 60 r h 60 60 D minimal opprvlakt is: A 60 60 60 60 70 60 60 4, 857 cm 60 60 60 60, 5 cm. Tr oriëntati rknn w tw voor d hand liggnd scnario s door.: Erst bij d cntral loodrcht d rivir ovrstkn n dan ovr land naar d fabrik (of andrsom) kost 00 50 000 40 5000 40000 55000 uro..
In n rcht lijn van d cntral naar d fabrik kost: 00 000 50 090000 50 5000 09 50, 5. D minimal kostn zulln lagr motn zijn. Nu op zok naar d gvraagd minimal kostn. W gaan r van uit dat d kabl vanaf d cntral rst 000 mtr ovr land gaat n dan schuin d rivir ovrstkt naar d fabrik. Voor d kostn K gldt dan: K 000 40 00 50 40000 40 50 90000 W zokn naar n minimum voor K. Daarom bpaln w d afglid van K. K 40000 40 50 90000 50 K 0 40 50 40 90000 90000 50 K 0 40 50 40 90000 5 4 90000 90000 W kwadratrn links n rchts n krijgn dan: 5 6 900000 9 6 9000 60000 400 (d oplossing 400 is onwaarschijnlijk) Bij 400 K van tkn: van ngatif naar positif. wisslt K gaat dus van dalnd naar stijgnd. Er is bij 400 dus sprak van n minimal waard van K. Dan loopt d kabl dus rst 000 400 600 m ovr land n daarna stkt d kabl schuin ovr naar d fabrik. D bijbhornd minimal waard voor d kostn is: K 400 40000 40 400 50 400 90000 49000 uro. Dit is indrdaad lagr dan d rdr tr oriëntati brknd kostn.. a. Schts van d grafikn van d y n y cos. Ht snijpunt ligt in d buurt van 0,5. Voor d startwaard van n itratif bnadringsprocs kan gkozn wordn voor 0,5. 0; 0,8. b. W kizn ht intrval c. W bnadrn via d mthod van biscti ht nulpunt van d functi f in één dcimaal nauwkurig uitgaand van ht gkozn intrval f (0) 0 f (0,8) cos 0,8 0,8 0,90 ligt tussn 0 n 0,8. Ht middn is 0,4.
f f middn (0,4) cos 0,4 0,4 0, 0 Dus ligt tussn 0,4 n 0,8. Ht middn is 0,6. f middn f (0,6) cos 0,6 0,6 0,7 0 Dus ligt tussn 0,4 n 0,6. Ht middn is 0,5. f middn f (0,5) cos 0,5 0,5 0, 0 Dus ligt tussn 0,4 n 0,5. Ht middn is 0,45. f middn f (0, 45) cos 0, 45 0, 45 0,00045 0 Dus ligt tussn 0,45 n 0,5. In één dcimaal gldt dus: 0,5 d. D itratifuncti g voor ht NR-procs is: f cos g f sin cos sin cos sin cos sin sin sin Ht bdold NR-procs is dan: 0 0,5 n sin n cos n n g n sin n Dit gft d volgnd bnadringn (in 6 dcimaln nauwkurig): 0 0,5 0 sin 0 cos 0 0,5sin 0,5cos 0,5 g 0 0, 45066 sin sin 0,5 0 cos sin g sin 0, 45084 g 0, 45084 D rst 5 dcimaln vrandrn nit. W concludrn: 0,45084.. a. Schts van d grafik van f. ligt tussn 0,8 n,0, dus zkr tussn 0 n,6. b. W bnadrn in één dcimaal nauwkurig via d mthod van biscti. f (0) 0 0 f (, 6) 5,9 0 Dus ligt tussn 0 n,6. Ht middn is 0,8.
f (0,8) 0, 0 f middn Dus ligt tussn 0,8 n,6. Ht middn is,. f middn f (,),98 0 Dus ligt tussn 0,8 n,. Ht middn is,0. f middn f (,0) 0,7 0 Dus ligt tussn 0,8 n,0. Ht middn is 0,9. f middn f. (0,9) 0, 0 Dus ligt tussn 0,8 n 0,9. Ht middn is 0,85. f middn f (0,85) 0,0 0 Dus ligt tussn 0,85 n 0,9. In één dcimaal nauwkurig is dus glijk aan 0,9 c. D itratifuncti g voor ht Nwton-Raphson-procs is: f g f Ht bdold Nwton-Raphson -procs is dan: 0 n n n g n n n Dit gft d volgnd bnadringn: 0. 0,86788 (afgrond op dcimaln: 0 0 g 0 0 0 0,868). g 0,8578 (afgrond op dcimaln: 0,85). g 0,856 (afgrond op dcimaln: 0,85) D afronding op dcimaln vrandrt nit. W concludrn: 0,85. 4. a. is oplossing van d vrglijking ; dus van d vrglijking 0. W zokn naar ht positiv nulpunt van d functi mt voorschrift D itratifuncti g voor ht Nwton-Raphson -procs is: f g f Ht bdold Nwton-Raphson -procs is dan: 0 n n g n n W bnadrn is 5 dcimaln n rondn d rsultatn af op 6 dcimaln 0 0 7 g 0,75 4 0 f.
,75 g,74,75 g,705 4 g,705 D rst 5 dcimaln vrandrn nit. W concludrn: 0,705. b. 5 400 is oplossing van d vrglijking 5 400 0. 5 400 ; dus van d vrglijking f W zokn naar ht nulpunt van d functi mt voorschrift 5 D itratifuncti g voor ht Nwton-Raphson -procs is: 5 4 5 5 f 400 5 400 4 400 g 4 4 4 f 5 5 5 Ht bdold Nwton-Raphson -procs is dan: 0 5 4 400 n g n 4 5 400. W bnadrn 5 400 is 5 dcimaln n rondn d rsultatn af op 6 dcimaln 0 4 400 4 400 7,87654 5 5 495 5 5 0 g 0 4 4 0 4 400,7550 5 g 4 5 g,4460 4 g,4454 5 g 4,4454 D rst 5 dcimaln vrandrn nit. W concludrn: 5 400,445.