Praktische-opdracht door een scholier 2835 woorden 21 januari 2006 7 43 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Voor onze praktische opdracht van wiskunde hebben wij het onderwerp fractal en dimensie gekozen. We hebben dit onderwerp gekozen omdat de afbeeldingen die in het boek stonden ons erg aantrokken en ook omdat dit onderwerp overbleef. Fractal en dimensie komen overal voor in het leven. Overal om ons heen zijn fractals te vinden. Fractals zijn meetkundige figuren waarin een zelfde motief zich steeds op kleinere schaal herhaalt. In onze praktische opdracht willen wij dit onderwerp dieper uitwerken en toelichten met voorbeelden. Aan de hand van de volgende punten hebben wij ons onderzoek uitgevoerd: - Wat fractals zijn - Het ontstaan van fractals - Verschillende soorten fractals - Voorbeelden van fractals en dimensie uit onze omgeving - Sommen uit het boek - Formules - Zelfgemaakte sommen Hoofdstuk 1: Wat zijn fractals en dimensies? Wat is een fractal? Een fractal is in de wiskunde een figuur dat op verschillende grootteschaal gelijkvormig is. De Fransman Gaston Julia ontdekte de fractal als wiskundig object. Naar hem is de Julia-verzameling genoemd. De ontdekker van de wiskunde achter fractals is Benoît Mandelbrot, die ook de fractal beschreef die zijn naam draagt, de Mandelbrotverzameling. Dit zullen wij later in onze po nader uitleggen. Een fractal kun je beschouwen als een kleurengrafiek, vergelijkbaar met landkaarten in een atlas. Bijvoorbeeld een atlas krijgt gebergte de kleur bruin; des te hoger het gebergte des te donkerder de kleur. Ondiep zeewater wordt lichtblauw gekleurd, diepzee water wordt donkerblauw, enz. Bij een fractal geldt ook het volgende: Elk punt in het vlak wordt op een bepaalde eigenschap onderzocht. Op grond van dat onderzoek krijgt het punt een bepaalde kleur. Op die manier kun je heel veel verschillende voorstellingen creëren. Het soort onderzoek wordt bepaald door het type fractal. Fractals vertonen drie eigenschappen tegelijkertijd: iteratie, gebroken dimensie en zelfgelijkvormigheid. Zelfgelijkvormigheid: De zelfgelijkvormigheid is de eigenschap dat als men een stukje van een fractal vergroot men terug de oorspronkelijke figuur verkrijgt. Deze eigenschap heeft ook nog andere gevolgen: als men slechts een stukje kent van een fractal, kan men hieruit de volledige fractal terug verkrijgen Gebroken dimensie: De gebroken dimensie van een fractal is een andere rariteit van deze grafische https://www.scholieren.com/verslag/23455 Pagina 1 van 7
structuur. Alle ons bekende voorwerpen hebben drie dimensies. Als we deze voorwerpen vast leggen op film of foto worden ze tweedimensionaal. Wiskundig gezien kent men ook nog eendimensionale voorwerpen. In de analytische meetkunde goochelt men met n-dimensionale ruimten. De dimensie van fractals is echter een rationaal getal. Iteratie: Een fractal is het resultaat van een in principe oneindige iteratie. Men begint met een basispunt. Voert hier een doorgaans zeer simpele functie op uit, waarna men het verkregen getal terug als beginwaarde neemt enzovoort. Bekende voorbeelden hiervan zijn fractals die van een eenvoudige meetkundig figuur vertrekken en door herhaling tot bijvoorbeeld een varenblad komen. Wat is een dimensie? Een lijn heeft een dimensie 1, een vlak een dimensie 2 en in onze ruimte heeft 3 dimensies. Wat bedoelen we daarmee? Iedereen weet wel zo n beetje wat me daar mee bedoelen: bij een lijn kun je spreken over lengte, bij een vlak over lengte en breedte en in onze ruimte hebben de dingen een lengte, breedte en hoogte. Het ontstaan van fractals Sinds wiskunde al bestaat strijden wiskundigen met complexe problemen en formules. Naar mate hun kennis toenam, groeide ook de complexiteit van hun problemen. De problemen die de wiskundigen hadden waren zoal niet-lineaire problemen, niet-evenwichtige systemen en dynamische systemen. Alles wat men verstond onder chaos werd onderzocht door wiskundigen. Een van de bekendste over deze verschijnselen was van de Belgische wiskundige Pierre Fracois Verhulst in verband met de dynamica van populaties in 1845. In Belgie evolueerde een bevolking naar verschillende stadia. Verhulst had een niet-lineair model ontwikkeld dat het dynamische gedrag kon voorstellen. Jaren later, in 1963 werd de theorie van Verhulst toepasbaar bewezen voor een groot domein fenomen: hydrodynamica (turbulente stromingen), laserfysica, kinetica van chemische reacties. Experimenten bevestigden het model van Verhulst. Verhulst legde hiermee dus de basis van de fractals, al wist hij dat zelf niet. Fractals zijn namelijk ook heel dynamisch en kunnen heel goed verbanden aantonen, dat was precies wat Verhulst ook wilde. Er gebeurde nog van alles op papier en in het hoofd van de wetenschappers. Later deed de computer zijn intrede. Voornamelijk de mogelijkheid om zeer snel en nauwkeurig grafieken te tekenen was iets dat de wetenschappers wisten te gebruiken. Het is een volwaardige onderzoekstak geworden. Namelijk de onderzoeksgroep onderzoekt de tekeningen van computers en probeert daar de verbanden uit te halen, zij doen dit met behulp van fractals. Verhulst had eigenlijk orde gebracht in chaos door de grens tussen chaos en orde in kaart te brengen. Maar ook dit had hij zelf weer niet door. Door hem was er wel ineens veel meer duidelijkheid over nietlineaire processen, zoals bevolkingsgroei. Het was dan ook in zekeren zin de oorsprong van de chaostheorie. In 1980 slaagde Bernoit Mandelbrot erin de principes achter de verschillende scenario s bloot te leggen. Deze verzameling wordt dan ook tegenwoordig de Mandelbrotverzameling genoemd. Voor de wiskundigen is de verzameling heel belangrijk: de Mandelbrot-verzameling belichaamd namelijk een principe van een overgang van orde naar chaos in een zeer algemene zin. De Peetvader van de fractals De peetvader van de fractals wordt toch meestal wel Benoit Mandelbrot genoemd. Hij was wel niet de eerste die de fractals echt ontdekt heeft, dat was immers Helge von Koch. Deze Helge von Koch heeft https://www.scholieren.com/verslag/23455 Pagina 2 van 7
namelijk het eerste figuur uitgevonden, dat een dimensie heeft tussen de 1 en de 2. Deze figuur, die de kromme van Koch genoemd wordt, is eigenlijk een lijn, maar de uiteinden komen zo dicht bij elkaar dat het bijna een vlak is. Door steeds dezelfde bewerking te herhalen, wordt een lijn bijna een vlak. Mandelbrot heeft er echter veel meer ermee gedaan, hij heeft ook een hele collectie Mandelbrot-figuren, de Mandelbrot-set. Hij is de grondlegger van een nieuwe tak van de wiskunde: de fractale geometrie. De Mandelbrot-set bestaat onder ander uit een fractal, die een rand heeft, die zo oneindig gedetailleerd is en daardoor een dimensie heeft die tussen de 1 en 2 ligt. In 1980 kwam Mandelbrot voor het eerst met een ontdekking, hij ontdekte toen namelijk de principes, waardoor de chaos theorie bloot kwam te liggen. Dit werd de basis voor de nieuwe tak van de wiskunde de fractaal meetkunde. De figuren van Mandelbrot in de Mandelbrot-set zijn zo ontzettend gecompliceerd dat je ze zo niet begrijpt. Je moet elke keer inzoomen om er een verband in te zien. Dit verband is de scheidingslijn tussen chaos en orde. Deze collectie is voor wiskundigen dus heel belangrijk. De Mandelbrot-figuren zijn elke keer kopienen van zichzelf alleen in een groter vak. Op verschillende website kan je steeds verder inzoomen op een figuur, uit de Mandelbrot-set, en dan zie je pas dat het echt tot het oneindige doorgaat. Dit is ook de basis van alle fractals, steeds herhaling van dezelfde bewerking. De dimensie van een fractal Het concept van een fractale dimensie is in de twintigste eeuw bedacht door de bekende wiskundige Benoit Mandelbrot Dimensies meten Een fractal kan worden gekarakteriseerd door zijn dimensie: in tegenstelling tot niet-fractale objecten is de dimensie van een fractaal object geen geheel getal. De dimensie van een punt is 0, en van een lijn 1. Een fractal bestaande uit een oneindige verzameling punten langs een lijn heeft een dimensie tussen 0 en 1 in, bijvoorbeeld 0,5 De dimensionaliteit van sommige figuren is zo voor de hand liggend dat het niet nodig lijkt een methode bij de hand te hebben om de dimensie te bepalen. Zo is een rechte lijn 'duidelijk' eendimensionaal 1D en een plat vlak 2D. We zouden dat -zo er enige twijfel was- als volgt kunnen bepalen. Kies een punt op de rechte en construeer een bol met straal R. We kunnen het lijstuk binnen de bol beschouwen als een verzameling punten. Tel de punten op het lijnstuk binnen de bol. (Een oneindig aantal). Vergroot nu de bol met een schaal factor S, zodat de straal nu SR is. Tel opnieuw het aantal punten. Dit aantal is opnieuw oneindig maar aftelbaar S keer zo groot. Immers voor ieder punt binnen de oude bol zijn er S punten binnen de nieuwe. Als we hetzelfde spelletje spelen met een punten in een plat vlak neemt het aantal punten toe met een factor S2. In het algemeen kunnen we stellen dat deze factor Sd is waar d de dimensionaliteit van de verzameling is. Voor lijnen en vlakken lijkt dit een wat flauw spelletje, maar niet als de verzameling punten op bijvoorbeeld een wolk of een kustlijn lijkt. Dit dat geval is het mogelijk verzamelingen te definiëren waarbij het aantal punten toeneemt met een factor S2,324 of S1,324. Dit soort figuren waarvoor de dimensionaliteit d niet een geheel getal is heten fractals We zullen hieronder het concept van dimensie uitleggen, aan de hand van de eerste, tweede en derde dimensie uit de klassieke meetkunde. Uitleg Tekening Dimensie Merk op dat de lijn ook een fractaal kan zijn nl als je de lijn telkens in 4 gelijke delen https://www.scholieren.com/verslag/23455 Pagina 3 van 7
verdeelt. Elk stuk heeft dan een lengte van ¼. Elk klein stuk ziet er ook hetzelfde uit als je het met een factor 4 vergroot. 4 = 4¹ stukken dimensie = 1 Het vierkant kan in 16 stukken verdeeld worden en elk stuk is na uitvergroting met schaal 4 net hetzelfde als de originele figuur. Merk op dat we wel 16 = 4² kleine vierkantjes nodig hebben. 16 = 4² stukken dimensie = 2 De kubus kan ook in kleine kubussen verdeeld worden en elk van de 64 kleine kubussen is na vergroting met schaal 4 gelijk aan de originele kubus. 64 = 4³ stukken dimensie = 3 We kunnen dus concluderen dat het aantal kleine stukjes N als volgt beschreven wordt in functie van de dimensie en schaal: S is de schaal van uitvergroting en D de dimensie. Nu passen we deze formule toe op de driehoek van Sierpinsky. De schaal van de uitvergroting is 2 is en dat de driehoek komt telkens 2 keer voor in de oorpsronkelijke driehoek. 2^D = 3 log(2^d) = log(3) D*log(2) = log(3) D = log(3)/log(2) D = 1,585 We kunnen dus stellen dat de dimensie van een fractaal gelijk is aan: D= log N / log S De driehoek van Sierpinsky heeft dus een fractale dimensie van 1,585. Soorten Fractals Er zijn verschillende soorten fractals, deze kunnen op verschillende manieren geconstrueerd worden. We bespreken de belangrijkste: Julia set: Julia sets zijn fractals die gemaakt worden via berekeningen met complexe getallen. Complexe getallen zijn getallenparen van twee reële getallen. Hieronder is een plaatje te zien van een Julia set. L-System fractalen: Een L-system bestaat uit een axioma (bijvoorbeeld F) en één of meer productieregels (bijvoorbeeld F -> F+F-F). Een axioma of productieregel bestaat uit een reeks van symbolen die eventueel een grafische betekenis hebben (bijvoorbeeld F = teken een lijn). Na enkele iteraties krijgt men meestal complexe fractalen. Iteraties zijn herhalingen. Herhaaldelijke systeem van functies Iterated Function Systems (IFS) starten vanuit een bestaande figuur. Op deze figuur wordt een draaiing, https://www.scholieren.com/verslag/23455 Pagina 4 van 7
verplaatsing toegepast. Door dit proces verschillende malen te herhalen zal er een fractal ontstaan. Deze figuren kunnen ook op een chaotische manier gecreëerd worden. Landschappen, muziek, kunst etc. vb van Fractals. Kromme van Koch: In 1904 ontdekte de Zweedse wiskundige Helge von Koch een kromme. Tot vandaag staat het bekend als de Kromme Van Koch. Haar ontdekking was van grote aard: ze had een kromme ontdekt die in geen enkel punt afleidbaar is. Deze kromme behoort tot een grote familie: de familie van Koch. Bij de Kromme Van Koch is de zogenaamde basis, een lijnstuk. Hier begint de kromme van Koch mee. Die basis wordt dan verdeeld in 3 gelijke stukken, het middelste wordt weggelaten en vervangen door een gelijkzijdige driehoek zonder basis. Men beschouwt elk lijnstuk als een nieuwe basis en verdeelt die dan weer als voorheen. basis: generator: We laten hieronder zien in stappen hoe de kromme van Koch ontstaat: Stap 1 Stap 2 Stap 3 Stap 4 Stap 5 Er zijn nog veel meer verschillende soorten Fractals. We hebben nu wel de belangrijkste besproken. Toch willen we hieronder nog meer verschillende soorten fractals laten zien. Deze fractal is van het type Newton. Een stukje uit de Mandelbrot-set. Een fractal type lambda. Een Lyapunov fractal Overige Fractals: Meest voorkomende toepassingen van fractals in de natuur Hoewel je het op het eerste zicht niet zou zeggen, toch zijn er veel zaken uit de natuur voorstelbaar via fractals. We zullen hier enkele voorbeelden geven en kort toelichten: Landschappen kunnen door fractals zeer goed worden voorgesteld. Fractals kunnen ook gebruikt worden om eigenschappen van landschappen te berekenen. Zoals de kustlijn van Groot-Brittannië. Bepaalde slakkenhuizen van dieren kunnen ook door fractals worden voorgesteld. Meestal gaat het dan om de logaritmische spiraal. Dit is wel geen echte fractal, maar het is wel een wiskundige benadering van de werkelijkheid. Ook bepaalde fenomenen uit de natuur zijn zeer goed voorstelbaar door fractals, bijvoorbeeld de bliksem. Ook In de muziek kom je fractals tegen door bijvoorbeeld een notenschrift, ruizen zoals witte en bruine https://www.scholieren.com/verslag/23455 Pagina 5 van 7
ruis etc. Landschappen Landschappen kun je op verschillende manieren benaderen. In de eerste methode start je met een grote basisdriehoek. We starten met een grote basisdriehoek. Op elk hoekpunt kiezen we willekeurig een hoogte. We verdelen deze driehoek dan in vier deeldriehoeken. Hierdoor ontstaan drie nieuwe hoekpunten. Deze procedure herhalen we. Dit levert ons in een volgende stap 16 kleinere driehoeken en 9 nieuwe hoekpunten waarvan we de hoogte weer op dezelfde manier bepalen. Zo ontstaat er een landschap. In de onderstaande afbeelding is duidelijk zichtbaar, hoe zón procedure ontstaan is: Kustlijnen Als men de lengte een kustlijn wilt bereken doet je dat meestal via de Kromme van Koch, zoals hieronder te zien is. De kromme ontstaat door steeds elk lijnstuk in drie gelijke stukken te verdelen. Het middelste stuk wordt weggelaten en er worden twee evengrote lijnstukken toegevoegd. Daardoor word elke keer de lengte van elk lijnstuk 3 keer zo klein, maar de totale lengte van de kromme 4/3 keer zo groot. Misschien wat lastig te begrijpen, maar als je 3 keer zo nauwkeurig meet, wordt je antwoord 4 keer zo groot. De uitkomst is als je lang doorgaat oneindig, en dat kan natuurlijk niet als men kijkt naar kustlijnen. Daarom klopt het ook niet helemaal. Het zijn maar benaderingen. In de werkelijkheid bereken we via geografische kaarten die we hebben hoelang de kustlijn is. Hoe beter de kaart is hoe beter de benadering. Fractals uit de muziek. In de muziek kom je fractals tegen door bijvoorbeeld een notenschrift, ruizen zoals witte en bruine ruis etc. Een witte ruis is het beeld wat je ziet wanneer een televisie op een kanaal staat waarop er geen zender uitzendt. Witte ruis is volkomen willekeurige ruis. Er is totaal geen correlatie tussen de amplitude op een verschillende momenten. Je kan gemakkelijk zelf witte ruis maken door bijvoorbeeld een rekenblad willekeurige waarden te laten genereren en hiervan een grafiek te maken. Een voorbeeld van een witte ruis: Bij bruine ruis hangt elk punt af van de vorige punten. Elk punt is eigenlijk de som van positieve en negatieve willekeurige waarden. Dit kan je zien in de volgende afbeelding: Fractale muziek is vooral gebaseerd op roze ruis. Onderzoek heeft uitgewezen de meeste mensen roze ruis het aangenaamst vinden om te beluisteren. Waarom dit is weet men niet. Het schijnt zo te zijn dat witte ruis veelte willekeurig is en de bruine ruis veelte monotoon. Voorbeeld van een roze ruis: Nawoord We vonden het heel leuk om deze P.O. te maken. In het begin wisten we niet zo goed wat de bedoeling was. Nadat we een goede planning hadden gemaakt ging het beter omdat we toen allebei wisten wat we precies moesten doen. Het had ook te maken met ons onderwerp omdat we in het begin niet zo goed wisten wat fractal en dimensie inhield. Nadat we de sommen hadden gemaakt en informatie van ons onderwerp hadden gezocht, ging het beter. Toen begrepen we ook ons onderwerp. We kregen er ook plezier in om deze P.O. te maken. We vonden het uiteindelijk een leuke opdracht omdat we veel hebben geleerd. Je leert door deze P.O. te maken wiskunde toepassen in de praktijk. Het maken van onze P.O. heeft veel tijd gekost, dit komt ook omdat we vaak bij elkaar moesten komen om de P.O. te maken. We https://www.scholieren.com/verslag/23455 Pagina 6 van 7
vonden het ook een moeilijke opdracht. Maar we zijn uiteindelijk tevreden met onze uiteindelijke P.O. https://www.scholieren.com/verslag/23455 Pagina 7 van 7