Verbanden en functies
0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen. Het stelsel oplossen kan je door: 1. Elimineren door optellen en aftrekken.. Elimineren door substitutie Zie stelsels vergelijkingen voor voorbeelden. De afgeleide functie Je kent de volgende regels voor het berekenen van de afgeleide: f(x) = a geeft f (x) = 0 f(x) = a x geeft f (x) = a f(x) = ax n geeft f (x) = n ax n 1 voor elke n van R f(x) = c ( ax + b) n geeft f (x) = a n c ( ax + b) n 1 voor elke n van R. Kwadratische formules Je kent drie manieren om de formule van een parabool te noteren: y = ax + b x + c 1. Je kunt meteen het snijpunt met de y-as aflezen. Dat is (0 c). Voor 't bereken van de coördinaten van de top kan je de afgeleide op nul stellen. Je kunt ook de formule gebruiken:. 3. x top = b a y = a(x d)(x e) Uit deze formule kan je direct de coördinaten van de snijpunten met de x-as aflezen. Dat zijn de punten (d 0) en (e 0) d + e x top = y = a(x p) + q Uit deze formule kan je direct de coördinaten van de top aflezen. Dat is het punt (p ). Werkschema 1 Het algebraisch berekenen van extremen waarden: 1. Bereken f (x). Los algebraisch f (x) = 0 op. q 3. Kijk in een schets van de grafiek of je met een maximum, een minumum of een buigpunt te maken hebt. 4. Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm 'het maximum is f( ) = ' of 'het minimum is f( ) = '.
Voorbeelden f(x) = 3 g(x) = 3 x + h(x) = 6x 3 + x + 4 x + 1 j(x) = x k(x) = x 1 3x + l(x) = 3x + 1 Werkschema Met de afgeleide aantonen dat de functie f een extreme waarde heeft voor x = a 1. Bereken f (x). Laat met een berekening zien dat f (a) = 0 3. Schets de grafiek van f en laat zien dat de grafiek een top heeft voor x. = a Zie antwoorden
1. stelsels bij parabolen en wiskundige modellen Stelsels bij het opstellen van formules Stelsels bij wiskundige modellen De parabool y = ax + bx gaat door de punten (1 5) en ( 14). Oplossing Stel een formule op van de parabool Als je de coördinaten van de punten invult in de formule krijg je twee vergelijkingen met twee onbekenden. Dat stelsel kan je dan oplossen om de waarden van a en b te berekenen. Uitwerking 1 5 geeft a + b = 5 ( 14) geeft 4 a + b = 14 a + b = 5 4a + b = 14 a + b = 10 4a + b = 14 a = 4 a + b = 5 a = b = 3 y = x + 3x Bij het leeglopen van een bad loopt het water in het begin sneller weg dan aan het eind. Men gebruikt hierbij het model met een formule van de vorm: h = a(t p) Hierin in t de tijd in seconden en h de hoogte in cm van het water in het bad. In het begin staat het water 50 cm hoog en het duurt 00 seconden voordat het bad leeg is. Bereken algebraisch de snelheid waarmee de hoogte verandert op het moment dat het water 3 cm hoog staat. Zie uitwerking A13 Zie bladzijde 104 opgave A13 van je boek.
. evenredig en omgekeerd evenredig Recht evenredig y is (recht) evenredig met x: Vermenigvuldig je x met een getal dan moet je y met helzelfde getal vermenigvuldigen De bijbehorende tabel is een verhoudingstabel De formule heeft de vorm y = ax De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong Evenredig met een macht van x y is evenredig met x betekent dat er een getal a bestaat zo dat y = a x n Voorbeeld 3 Is y evenredig met x en hoort bij x = 3 de y-waarde 8 dan geldt: 8 = a 3 3 a = 8 0 639 3 3 3 y = 0 639x n Omgekeerd evenredig y is omgekeerd evenredig met x Vermenigvuldig je x met een getal dan moet je y door hetzelfde getal delen Het product x is constant. dus xy ofwel De grafiek is een hyperbool Omgekeerd evenredig met een macht van x y is omgekeerd evenredig met x betekent dat er een getal a bestaat zo dat y = a x n Voorbeeld y c = c y = x Als y omgekeerd evenredig is met x en voor x=6 is y=1 dan geldt: y = a 1 = a a = 43 x 36 43 y = x n Evenredigheid aantonen bij tabellen Als je wilt aantonen dat y evenredig is n met x bij een tabel met onderzoeksresultaten dan: 1. Bereken bij elk onderzoeksresultaat het quotiënt x n. Verschillende quotiënten weinig, n dan is y evenredig met x y Stelsels bij evenredigheid Neem aan dat y evenredig is met een macht van x waarbij niet bekend is welke macht dat is. In de formule y = ax n zijn zowel a als n onbekend. Je hebt dan twee gegevens nodig om a en x te berekenen. Zie opgave A3 en A33 in je boek.
Voorbeeld De benodigde hoeveelheid drinkwater W van een dier hangt af vande lichaamsmassa m. Onderzoek heeft uitgewezen dat W evenredig is met een macht van m. Hierbij is W in ml/uur en m in kg. Een geit van 30 kg heeft per uur 90 ml water nodig en een varken van 70 kg heeft per uur 190 ml water nodig. Een gazelle heeft per dag 1, liter water nodig. Wat volgt hieruit voor de massa van de gazelle? Rond af op gehele kg. Zie geit, varken en gazelle
3. standaardfuncties Machtsfuncties Een machtsfunctie heeft als functievoorschrift: f(x) = ax n. Machtsfuncties De bijbehorende grafieken zijn standaardgrafieken die je zonder toelichting mag tekenen. Overzicht standaardfuncties Hieronder zie je overzicht van een aantal standaardfuncties. Het 'idee' is dat je deze functies goed kent, op de hoogte bent van de eigenschappen van deze functies en bij gegeven functievoorschriften kan herkennen welke transformaties zijn toegepast op de bijbehorende standaardfunctie en hoe dat allemaal zit...
Transformaties op een standaardgrafiek Een overzicht van transformaties van grafieken Op een standaardgrafiek kun je de volgende transformaties toepassen: Vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met een factor Vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met een factor Horizontale verplaatsing Verticale verplaatsing Spiegelen in de x-as Spiegelen in de y-as overzicht transformaties van grafieken De wortelfunctie Uitleg over wortelfuncties, parameters en transformatie kan je vinden op: de standaardvorm Met oefeningen.
4. wortelfuncties en gebroken functies Wortelvergelijkingen en algemene vormen Algemene vormen bij het oplossen van vergelijkingen: A B = 0 geeft A = 0 of B = 0 A = B geeft A = B of A = B A B = A C geeft A = 0 B = C A B = A geeft A = 0 B = 1 Voorbeeld Functies van de vorm f(x) = a + b Als je de grafiek van een wortelfunctie wilt tekenen dan bepaal je eerst het domein en het beginpunt. De uitdrukking onder het wortelteken moet altijd groter of gelijk aan nul zijn. Voorbeeld y = x 4 + 5 cx + d (x ) x + 10 = (x ) (x ) x + 10 = ( x )(x ) x = 0 x + 10 = x x = x = 6 Zie ook vormen en nog meer vormen Zie twee grafieken
Functies van de vorm f(x) = a + x + b x + c Functies van de vorm ax + b f(x) = cx + d De grafiek van is een halve cirkel. Dat kan je aantonen door de formule anders te schrijven. Dat gaat zo: y = + x + 6 x + 7 y = x + 6 x + 7 Dat is een cirkel met middelpunt M(3 ) en de straal r = 4. Bij de oorspronkelijke formule is f(x) zodat alleen de bovenste helft van de cirkel bij de formule hoort. Voorbeeld Gegeven is de functie. 1. Schets de grafiek van f.. Los algebraisch op f(x) x + 3 3. Druk x uit in y. f(x) = + x + 6 x + 7 (y ) = x + 6 x + 7 x 6 x + (y ) = 7 (x 3) 9 + (y ) = 7 (x 3) + (y ) = 1 4x + 3 f(x) = x 3 3 Een gebroken lineaire functie is van de vorm: Elke gebroken lineaire functie kan je opvatten als het resultaat van transformaties van de standaardfunctie f(x) = x 1. De grafiek is een hyperbool en heeft een verticale en horizontale asymptoot. Asymptoten bij gebroken functies Afspraak ax + b f(x) = cx + d De verticale asymptoot kan je vinden door de noemer gelijk aan 0 te stellen. Beredeneer wat de functiewaarde wordt voor grote waarden van x. Bij het tekenen of schetsen van de grafiek van een gebroken functie stel je eerst de formules op van de asymptoten. Je tekent de asymptoten als stippellijnen in de figuur en zet de formules erbij. Pagina 131 van je boek.
5. optimaliseringsproblemen Verticale afstanden bij grafieken Gegeven zijn de functies f(x) = 6 3x + 6en 1 g(x) = x + 5. De lijn x = p met p 10 snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. Voor de lengte L van het lijstuk AB geldt de formule: L 1 = 3p + 6 p 1 Bereken algebraisch de maximale waarde van L. Minimaliseren van materiaal Een tuinder wil voor de uitbreiding van zijn bedrijf een kas laten bouwen met een grondoppervlakte van 1800m. Deze kas wordt rechthoekig. De tuinder moet echter nog grond (perceel) kopen van de gemeente. Dit perceel moet zo groot zijn dat voor de kas 9 meter ruimte is en aan de achterkant en de zijde 3 meter. De tuinder wil natuurljk zo min mogelijk m grond kopen om zijn kosten zo laag mogelijk te houden. 1 m kost 95 euro. a. Bij welke afmeting van het perceel zijn de kosten minimaal? b. Hoeveel gaat de aankoop van grond de tuiner kosten? c. Wat worden de afmetingen van de kas?
Uitwerking Bepaal de afgeleide van L, stel de afgeleide nul en bepaal mogelijke kandidaten voor een maximum. Uitwerking Maak eerst een tekening: 1. Bepaal de afgeleide: L 1 = 3p + 6 p 1 dl 1 = dp 3p + 6 3 1 dl 3 = dp 3p + 6 1. Stel de afgeleide nul en los op: 3 3p + 6 1 = 0 3 3p + 6 = 1 3p + 6 = 6 3p + 6 = 3 3p + 6 = 9 3p = 3 p = 1 3. Maar een schets: Vervolgens kun je de oppervlakte van het perceel uitdrukken in 'x' en op zoek gaan naar de kleinste oppervlakte. Operceel = l engte b reedte O perceel = Bepaal de afgeleide: 1800 + 6 x + 1 x Operceel = 1 800 + 6 x + 1600 + 7 x Operceel = 6 x + 1600 + 1 87 x Operceel = 6 x + 1600 x + 187 1600 O perceel = 6 x Neem de afgeleide nul en los op: Uit de schets van L volgt dat L maximaal is voor p = 1. 1 1 L max = 3 1 + 6 1 1 = 1 6 x = 0 6x 1600 = 0 x 3600 = x = 3600 x = 60 ( v n ) x = 60 Neem x = 60 Antwoorden: a. Bij 36 bij 7 meter zijn de kosten minimaal. b. Het perceel kost 46.40,- c. De kas is 30 bij 60.
Zie ook optimaliseren