Hoofdsk 2. Parallelschakelngen en geengde schakelngen n een wsselsrookrng. Algeeenheden In d hoofdsk worden wee of eer eleenen n parallel geplaas. TIP : o geakkeljk e werken s he aangeraden de spannng als referene e kezen, vers de spannng over elk eleen dezelfde s. TIP 2: werk seeds coplex, dan verjd je onnodge, oeljke probleen bj he opellen van snsvorge grooheden. 2 Ideale spoel n parallel e een deale weersand. We werken onddelljk coplex. We de gonoersche vor wens, kan deze de coplexe vor onddelljk afleden (ze vorge hoofdskken). Fgr :-parallelkrng. 2. Verband ssen de bassgrooheden. Gevraagd: Oplossng: We berekenen de sroen: 2.
0 90 j 90 0 j * ( ) j * ( ) j He verband ssen de sroo en de spannng: Yo d noe en de adane. Eenhed: [S= - ] seens. j o De adane s de wsselsroogeledbaarhed. 2.2 De fasordagraen. de bovensaande forles, haal en de volgende dagraen. Hoe? / / I / Y STI! / I * */ I* / Y I I Y Y Fgr 2: fasordagraen van een -parallelkrng. Beslen. De fase s negaef, bj de serekrng was posef voor een ndceve krng. Bj nader nzen bljk da de sroo ook her na s op de spannng. Her werd de spannng als referene gekozen en werd de sand van de sroo aan.o.v. deze spannng aangedd. O d verschl onddelljk ddeljk e aken voer k her een new sybool n: P. Me P (P van parallel) bedoel k da de spannng als referene gekozen werd, e S (S van sere) bedoel k da de sroo als referene gekozen werd. Merk op da P = - S. Alle nodge forles knnen de dagraen gehaald worden. Merk op: Y 0 S S Y P Y G jb G s de condcane (he reële deel van Y) B s de sscepane (he agnare deel van Y) 2.2
3 Ideale condensaor n parallel e een deale weersand. Ook her s he versandg de spannng als referene e kezen. Werk onddelljk coplex. ed de forles af, eken de fasordagraen en rek beslen. Fgr 3: -parallelkrng. 3. Verband ssen de bassgrooheden. Gevraagd: Oplossng: We berekenen de sroen: 0 /j / 90 0 /j * ( He verband ssen de sroo en de spannng: 90 j) * ( j) j Y Y Yo Eenhed: [S= - ] seens. o 3.2 De fasordagraen. Haal, de bovensaande forles, zelf de dagraen. 2.3
Fgr 4: zelfgeekende fasordagraen van een -parallelkrng. 3.3 Beslen. De fase P s posef. S s bjgevolg negaef. oals verwach reageer de krng capacef. De sroo jl voor op de spannng of de spannng jl na op de sroo, wa ypsch s voor een capaceve krng. Alle nodge forles knnen de dagraen gehaald worden. 2.4
2.5 4 De parallelkrng. We zllen onddelljk coplex werken Fgr 5: -parallelkrng. Verband ssen de bassgrooheden. Gevraagd: Oplossng: We berekenen de soen: ) j j * ( ) j j * ( /j j 0 90 90 / /j 90 90 j 0 He verband ssen de sroo en de spannng: o o Y Y Y Y j j Eenhed: [S= - ] seens.
4. De fasordagraen. de bovensaande forles, haal en de volgende dagraen. Hoe? * / * I / I Y / Y STI! / I * */ I* I / Y Y I Y Fgr 6: fasordagraen van een -parallelkrng. Op de beekens van de vecoren na, zjn bede ekenngen denek. Er kan probleeloos van de ene naar de andere worden overgesap. De sand van de sroodrehoek s denek aan deze van de adanedrehoek als en de spannng als referene kes (horzonaal op =0). De fasor van de weersand s onafhankeljk van de freqene. De fasor van de spoel daal bj sjgende freqene. Waaro? De fasor van de condensaor sjg bj sjgende freqene. Waaro? Herdoor kan de krng zch op dre verschllende aneren gedragen. Bj een welbepaalde freqene zllen de fasor van de condensaor en van de spoel elkaar volledg opheffen. Deze freqene noe en de resonanefreqene. De oale sroo en spannng zjn n fase, de krng gedraag zch als een zver ohse krng. (ze fgr 7 dden) Bj hogere freqenes dan de resonanefreqene zal de fasor van de condensaor de bovenhand krjgen. Verklaar. Ne als bj een sereschakelng van een condensaor en een weersand jl de spannng na op de oale sroo. De krng gedraag zch capacef. (ze fgr 7 rechs) Bj lagere freqenes s he de spoel de doneer. Verklaar. De spannng zal voorjlen op de sroo, ne alsof we e doen hebben e een sereschakelng van een spoel en een weersand. De krng gedraag zch ndcef. (ze fgr 7 lnks) 2.6
Heronder (n fgr 7) saan de fasordagraen geekend voor de dre gevallen. Vers de sroodrehoek en adanedrehoek nagenoeg denek zjn (ze vroeger), eken k enkel de adanedrehoek. f<f res. f res. f>f res. / /=Y o -/ Y o / /- Y o / / / Fgr 7: adanedrehoeken van een -parallelkrng. Alle nodge forles zjn, va drehoekseeknde, erg e vnden n de ekenngen. 4.2 Besprekng van he resonaneverschjnsel 4.2. esonane. Een krng s n resonane als de sroo en de spannng n fase zjn. De krng gedraag zch dan zver Ohs, neegensaande er reacanes ( of ) n de krng aanwezg zjn. 2.7
4.2.2 Beekens: 4.2.2. Voor de sroen. /= * Y o * 0 / = - of Fgr 8: sroen bj een -parallelkrng n resonane. De oale sroo de de bron lever vloe volledg door de weersand! Naar de parallelschakelng van de spoel en de condensaor vloe er geen sroo. 4.2.2.2 Voor de adane: Op de bovensaande fasordagraen (fgr 7) s de adane seeds e 2 2 vnden e de volgende forle: Y (/) ( ) (conroleer) Y s naal bj resonane. Verklaar d e de bovensaande fasordagraen. Hoeveel bedraag Y bj resonane? Verklaar. 4.2.2.3 Voor de pedane: Vers =/Y zal een ax bereken bj resonane. 4.2.2.4 Voor de sroo: I * Y I eff eff eff * Y Vers wjzg n fnce van de freqene zal, bj een consane aplde van de spannng, ook I wjzgen n fnce van de freqene. I s naal bj resonane. Verklaar. Hoeveel s de sroo bj resonane als je de aangelegde spannng ken? 2.8
4.2.2.5 Voor de fase: De fase p (sroo.o.v. spannng) wjzg van -90 bj f=0hz naar 0 bj resonane en vervolgens naar +90 bj een onendg groe freqene. s (spannng.o.v. sroo) vareer van +90 naar 90. Verklaar. 4.2.2.6 Grafeken. De ondersaande grafeken werden e ahcad geekend. 2.9
00 H F 00 V Y( ) j rad s rad s ( ) Y( ) y( ) Y( ) z( ) ( ) s ( ) arg( ( )) p ( ) arg( Y( )) I( ) z( ) 00 3 000 3 0. 00 y( ) 0.05 z( ) 0 0 5 0 4 0 5 0 0 5 0 4 0 5 0 I( ) 5 0 5 0 4 0 5 200 20 5 90 p ( ) deg s ( ) deg 0 90 0 0 5 2 0 5 2.0
4.2.3 Van waar ko de er resonane bj een parallelkrng? P bron =.I = P ; P = 0; Als W en I W Als W en I W eg en conroleer, vergeljk e de serekrng. 4.2.4 Hoe beko en resonane? Bj een zvere parallelkrng beko en resonane als = /. Her kan en dre aneren afleden o resonane e bekoen:. freqene aanpassen: wres f res * 2 * 2. aanpassen: 2 w res * 3. aanpassen: 2 w res * Merk op: da deze forles dezelfde zjn als bj de serekrng s loer oeval. Bj een geengde krng zal er wel degeljk een verschl zjn ssen de sere- en de parallelkrng. 4.2.5 Opslngerngs- of kwalesfacor Q P Bj resonane s de spannng over de krng, bj een consane srooaplde, axaal (waaro?). De sroo door de condensaor en de spoel zjn op elk ogenblk egengeseld aan elkaar. De scherpe van de kroen s afhankeljk van de adane van de condensaor en de spoel, bj resonane,.o.v. de adane van de weersand. Is de adane van de spoel of condensaor klen of verwaarloosbaar.o.v. de adane van de weersand, dan zal de freqene veel oeen wjzgen voor de ze enge nvloed krjg op de oale adane (ze fgr 9 lnks). Is he de adane van de weersand de klen of verwaarloosbaar s.o.v. de adane van de spoel en condensaor, dan zal de nse freqenewjzgng onddelljk nvloed hebben op de oale pedane (ze fgr 9 rechs). 2.
f res. /=Y /=Y / / Fgr 9: nvloed van Q P op de adanedrehoeken. Heronder werden een aanal kroen (zelfde en, verschllende ) berekend e ahcad. 2.2
00 H F 00 V 2 0 Y( ) j rad s rad s ( ) Y( ) Y2( ) 2 j rad s rad s 2( ) Y2( ) y( ) Y( ) z( ) ( ) s ( ) arg( ( )) p ( ) arg( Y( )) I( ) z( ) y2( ) Y2( ) z2( ) 2( ) 2 s ( ) arg( 2( )) 2 p ( ) arg( Y2( )) I2( ) z2( ) 00 3 000 3 0.5 y( ) 0. y2( ) 0.05 z( ) z2( ) 00 0 0 5 0 4 0 5 0 0 5 0 4 0 5 20 I( ) I2( ) 0 0 5 0 4 0 5 200 20 5 90 p ( ) deg 2 p ( ) deg 0 90 0 0 5 2 0 5 2.3
Als sjg bj zelfde en, dan worden de kroen scherper. De scherpe van de kroen worden gerk e de kwalesfacor Q p. Qp s ook een aa voor de opgesapelde energe n de spoel of condensaor. Qp word berekend bj de resonanefreqene van de schakelng en s gedefneerd als de verhodng ssen de sroo door de condensaor of de spoel.o.v. de sroo door de weersand. Q p I I I I I(Y e(y I I I I oaal oaal o,res o,res / r / r / / r r r / / ) B r sscep an e ) G condc an e r 5 Oefenng. I I I =00H? =0k I = 0A I 4A 30 I=5A I De schakelng reageer ndcef. Fgr 0: oefenng. Gevraagd: I? I? I??? f? f? res (5A-6,86 ; 7A20 ; 0A-60 ; 40V30 ; 4,37nF; 6366Hz; 7609Hz) 2.4
6 Exra oefenngen op de deale -- parallelkrng os de ondersaande oefenngen op va coplexe geallen. os zo veel ogeljk oefenngen op. 6. Opgave =2; =50H; f=50hz; en saan n parallel. Gevraagd:. Y? (83,3-j63,75 S) 2.? (7,5748+j5,7896 ) 3. Waar zo een eqvalene serekrng oeen besaan? (=7,58; =8,4H) 6.2 Opgave 2 =00k; =00H; =00pF;, en saan n parallel. Gevraagd:. Wa s de resonanefreqene? (f res =,592MHz) 2. Wa s de kwalesfacor? (Q=00) 6.3 Opgave 3 =300k; =?; =00pF;, en saan n parallel; f resonane =500kHz Gevraagd:.? (,03H) 2. Q? (94,25) 3. Men plaas de bovenverelde en n sere e een weersand S. Wa oe de waarde van S zjn opda Q s =Q p? ( S =33,77) 4. Wa s de resonanepedane van de parallelkrng? (300k) 5. Wa s de resonanepedane van de n 3. Berekende serekrng? (33,77) 6.4 Opgave 4 resonane =0 7 rad/s; =500H; saa parallel e en ; Q=79,58. Gevraagd:.? (20pF) 2.? (397,9k) 3. Bj welke freqenes (f en f2) zal de oale pedane /0 zjn van? (f=,694mhz en f2=,495mhz) 2.5
7 Van sere naar parallel. Black box (=?) =2sn000 A =0sn(000+53,3 ) V Gevraagd: wa kan er n deze doos zen? Fgr : sere parallel. Oplossng: de gegevens kan je afleden da de spannng 53,3 voorjl op de sroo. De schakelng s bjgevolg ndcef De oale pedane vnd je e de we van Oh. 053,3 5k53,3 3k j4k 20 s s z Fgr 2: de pedanedrehoek. oplossng: deze pedane besaa een sereschakelng van een weersand en een spoel. He reële deel van (de ressane) s de weersandswaarde, he agnare deel van (reacane) s de pedane van de spoel (ze fgr 2). =3k en vers =000 rad/s, =4H. (ze fgr 3) 3k 4H Fgr 3: de sereoplossng. 2.6
2 oplossng: deze pedane onsaa een parallelschakelng van een weersand en een / p Y spoel. Bj een parallelschakelng oe en de adane opellen o de oale adane e berekenen. He / P reële deel van de adane (de condcane) s de Y=0,2S adane van de weersand, he agnare deel van de adane ( de sscepane) s de adane Y van de spoel (ze fgr4). Y Fgr 4: de adanedrehoek. De oale adane vnd je va de we van Oh. 20 Y 0,2S 53,3 0,2 j0,6 S 8,33k 053,3 De condcane (G) s 0,2S =/G=8,33k 6,25H De sscepane (B) s 0,6S X =/B=6,25k =6,25H (ze fgr 5) Fgr 5: de paralleloplossng. Bede schakelngen zjn eqvalen. Een bensaander ze geen verschl ssen bede schakelngen. Deze eqvalene s slechs geldg bj één welbepaalde 3k 4H 8,33k 6,25H freqene! Toon d aan. Fgr 6: 2 van de ogeljke oplossngen. Herboven vnd je he ddel o snel over e schakelen van een sere-eqvalen naar een paralleleqvalen en ogekeerd. 3k j4k 5k53,3 Y 53,3 0,2 j0,6 5k53,3 5k O vlo o e schakelen, oe je overgaan naar de poolcoördnaen van de pedane (sere) of adane (parallel). Hervan bereken je he ogekeerde en, nden nodg, keer je erg naar de rechhoekge coördnaen. 2.7
jn er andere oplossngen? Ja, alle ogeljke cobnaes van sere-, parallel-, of geengde schakelngen de dezelfde oale pedane hebben. Geef een voorbeeld? 8 Eqvalene schea s van een eche condensaor en spoel. 8. De echnsche spoel. weersand e een deale spoel. j spoel Een eche spoel word geaak door een koperdraad op e wnden op een kern. Vers koperdraad een ohse weersand heef (we van Polle), kan een spoel onogeljk deaal zjn. De sroo oe zowel door de spoel als door de draad. De eqvalene schakelng s bjgevolg een serekrng van een De spoel s deaal als =0. Me een -eer ee je de weersand van de spoel. Verklaar. Is d een groe waarde? Merk op: op A-gebed ko er ware vrj n de ferroagnesche kern van een spoel (.g.v. wervelsroo-, jzer- en joleverlezen). oals we laer zllen zen resleer d n een groer acef verogen n de spoel, ds een groer reëel deel van de pedane: de A s groer dan D. Naarae de freqene sjg, sjg de A (verklaar). Bj groe freqenes speel ook he capacef effec ssen de draden een rol. Vandaar da n hoogfreqene eqvalenen ook condensaoren voorkoen. 8.2 De echnsche condensaor. Fgr 7: de echnsche spoel. I+I V I V I V solae I Een condensaor besaa wee plaen e daarssen een dëlekrc (solaor). Van de oaal oegevoerde hoeveelhed ladng, zal een klene hoeveelhed ern slagen door he dëlekrc erg e keren na de andere plaa van de condensaor, en spreek van een verlessroo. He eqvalen schea besaa een deale condensaor n parallel e een weersand. Y P j Me een -eer ee je seeds de weersandswaarde van he dëlekrc. Verklaar. Is d een groe waarde? I+I V Fgr 8: de echnsche condensaor. Merk op: en beschk over zeer goede solaoren, een condensaor s bjgevolg zo goed als deaal e aken. Bj een elekrolysche condensaor rol en de plaen op. 2.8
Herdoor onsaa een spoeleffec, da n hoogfreqene eqvalenen led o he bjplaasen van een spoel n sere e de deale condensaor. 9 Geengde schakelngen. Vers een spoel eesal ne deaal s en een condensaor sos ne deaal s, s een krng eesal een geengde krng. O de sroen en spannngen e berekenen van geengde schakelngen, pas je dezelfde regels oe als bj geljksrooheore. He enge verschl s da je seeds coplex oe werken. Bj sereschakelngen el je de pedanes op, bj parallelschakelngen el je de adanes op. Sos kan he noodzakeljk zjn de serdrehoek-ransforaes oe e passen (coplex). 0 Oefenngen op geengde krngen. 0. Oefenng =00; 00 j0, ; f res =38,3Hz spoel Gevraagd:. Bepaal o deze resonanefreqene e bekoen. 2. Q p? 3. bj resonane? (2F; /3; 83,33) Fgr 9: oefenng op een schakelng e eche coponenen. 0.2 Oefenng 2: A? 5V 50Hz 0V 0V?? Gevraagd:??? en f res? (20,65; 36,38H; 38,3F; 54,66Hz) Fgr 20: oefenng 2. 2.9
0.3 Oefenng 3:??? 0V 5A =0k 8V 5V =0000rad/s Fgr 2: oefenng 3. Gevraagd:??? en f res? (68,9; 60,3H; 50nF;,99kHz) Geaake berekenngen e de TI-Nspre: Fgr 22: oplossng van 0.3 Oefenng 3 e de TI-Nspre. (e vnden op Toledo) Waaro s he ag( res ) 0? 2.20
0.4 Oefenng 4? 0V 5A? =68,9? 8V 5V =0000rad/s Gevraagd:?? en? f res? (0k; 60,3H; 50nF;,99kHz) Fgr 23: oefenng 3. 0.5 Oefenng 5 Een ne deale spoel, een weersand en een ne deale condensaor saan n sere. =8V; =5V; =0V; =7V; =0V; f=khz. Bepaal de ne deale eleenen als je wee da =k. Hoeveel bedraag de oale spannng? eageer de krng ndcef of capacef? Bepaal de resonanefreqene? p s ( =8,85<9,3 als I =ref; s =223; =0,25H; p =3,77k; =05nF; res =563rad/s) 2.2
Exra oefenngen op geengde krngen.. Opgave os de ondersaande oefenngen op va coplexe geallen. os zo veel ogeljk oefenngen op. =60= eff ; =20F; =00; =20H; f=50hz. Gevraagd:. o? (0,3932+j6,099 ) 2. I c? (0,98-86,3 A) 3. I? (0,98-89,9 A).2 Opgave 2 2 2 3 =k; 2=0; =0H; 3=M; =0nF Gevraagd: Bepaal de resonanefreqene? (5,96kHz) 2.22
.3 Opgave 3 e 2 3 =0; 2 =5 3 =j0 E =00= E eff Gevraagd:. I? (7,07-8,3 ) 2. I 2? (6,325+8,435 ) 3. I 3? (3,62-7,565 ).4 Opgave 4 2 2 3 4 4 4 Gevraagd:. Bepaal de oale pedane? ( o =3,258-j,09 ) 2.? (-8,52 ) =2; =0,03H; 2=4; 2=5F; 3=6F 4=3; 4=80H 4=2F =00rad/s 2.23
.5 Opgave 5 c l c=4; =20F; =6; =H; Gevraagd: 2. res? ( 2 =4537,4rad/s) Sel ook de hervoor verelde forle op. ( c ) 2. Men laa c oeneen. Wa geber er e res? (sjg) Vanaf welke c kan en de krng ne eer n resonane brengen? (vanaf c=7,07, vers bj groere c-waarden de noeer van de worel negaef word, bjgevolg besaa de worel ne eer vanaf deze c-waarde.) 3. Bepaal c en l, opda er bj elke freqene resonane zo opreden. onroleer d acheraf voor een aanal freqenes, vb. f=0hz, 00Hz, khz, enz. (als c=l=7,07, dan s res = 0 0 =onbepaald. Voor elke plsae zal.6 Opgave 6 Y o =0,44+0j, of o =7,072+0j ds s he geheel seeds n resonane) =20; =00F =0 =2,5sn500 Gevraagd:.? (80H) 2.? (00sn500 (V) ) Merk op: deze oefenng kan ook opgelos worden voor andere s of p, vb. s =+45 2.24
.7 Opgave 7 2 =8 =2H 2=8,33 Gevraagd: Bepaal opda de krng n resonane reed bj 855Hz. (=23,97F of =20,83µF).8 Opgave 8 2 o = sn =0,3 =H =50pF Gevraagd: sel de heoresche forles op voor:.? (./(+jl) ) 2. 2? (=.j=.sn(+90 ) ) j 3.? (=. 2 2 2 j =.Y o ) j 4. Y o? (. 2 2 2 j = j ) 2 2 2 2 2 2 2 5. res? ( 2 =4,472.0 6 rad/s). j 6. o? (... ) 2 j Yo 2 2 2 o =? ( ) 2 2 2 ( ) ( ) o =? ( Bgg Bgg 2 ) 7. Y res? ( 5. 0 9 S ) 8. res? ( 66, 6M ) 2.25
Merk op: In de rado- of TV-wereld gebrk en deze sperkrng o sorende sgnalen of ne gewense zendersgnalen e onderdrkken. Plaas en zo n krng n de collecorkrng van een ranssor, dan heef de collecor spannngsverserkng hezelfde verloop van de pedane. Av. (ze E ook elekronca) 2.26
Hoofdsk 2 Parallelkrngen Algeeenheden 2. 2 Ideale spoel n parallel e een deale weersand. 2. 2. Verband ssen de bassgrooheden. 2. 2.2 De fasordagraen. 2.2 3 Ideale condensaor n parallel e een deale weersand. 2.3 3. Verband ssen de bassgrooheden. 2.3 3.2 De fasordagraen. 2.3 3.3 Beslen. 2.4 4 De parallelkrng. 2.5 4. De fasordagraen. 2.6 4.2 Besprekng van he resonaneverschjnsel 2.7 4.2. esonane. 2.7 4.2.2 Beekens: 2.8 4.2.3 Van waar ko de er resonane bj een parallelkrng? 2. 4.2.4 Hoe beko en resonane? 2. 4.2.5 Opslngerngs- of kwalesfacor Q P 2. 5 Oefenng. 2.4 6 Exra oefenngen op de deale -- parallelkrng 2.5 6. Opgave 2.5 6.2 Opgave 2 2.5 6.3 Opgave 3 2.5 6.4 Opgave 4 2.5 7 Van sere naar parallel. 2.6 8 Eqvalene schea s van een eche condensaor en spoel. 2.8 8. De echnsche spoel. 2.8 8.2 De echnsche condensaor. 2.8 9 Geengde schakelngen. 2.9 0 Oefenngen op geengde krngen. 2.9 0. Oefenng 2.9 0.2 Oefenng 2: 2.9 0.3 Oefenng 3: 2.20 0.4 Oefenng 4 2.2 0.5 Oefenng 5 2.2 Exra oefenngen op geengde krngen. 2.22. Opgave 2.22.2 Opgave 2 2.22.3 Opgave 3 2.23.4 Opgave 4 2.23.5 Opgave 5 2.24.6 Opgave 6 2.24.7 Opgave 7 2.25.8 Opgave 8 2.25 2.27