GOOCHELEN IN EEN WISKUNDELES

Transcriptie

1 GOOCHELEN IN EEN WISKUNDELES SYLLABUS DAG VAN DE WISKUNDE 24 NOVEMBER 2012 MICHEL ROELENS EN GILBERTE VERBEECK ABSTRACT Een goocheltruc trekt altijd de aandacht. Hé, hoe is dat mogelijk? Heel wat goocheltrucs steunen op wiskundige principes. Deze workshop wil een aanzet geven om te goochelen in de wiskundeles, als inleiding tot een wiskundig probleem of onderwerp van het leerplan. We bieden in deze workshop een aantal goocheltrucs aan en tonen hoe je ze kunt inzetten in een wiskundeles. Enerzijds zijn er heel wat trucs die aanzetten zijn om met leerlingen te werken rond probleemoplossend denken, anderzijds sluiten er een aantal rechtstreeks aan bij onderwerpen van de leerplannen. Het goochelen kan een teaser zijn voor de leerlingen, een motiverend element: hoe zit de truc in elkaar? hoe werkt hij? is er onderliggend een wiskundig model op te stellen dat de truc verklaart? Zonder een goochelaar te zijn, kan je met je leerlingen op zoek gaan, je leerlingen uitdagen en zo de magie breken die de goochelaar tot een bovenaards wezen verheft. We leren enkele goocheltrucs aan, zoomen in op de wiskundige achtergrondinformatie en bespreken aan welke leerinhoud de truc gekoppeld kan worden. Na deze workshop kan je de volgende dag de klas instappen en je leerlingen verrassen met een smaakmakertje! We starten met het samen belichten van één truc. Vervolgens splitsen we op in groepen die elk een verschillende truc inoefenen en onder de loep nemen. We eindigen met het actief uitwisselen van de verschillende trucs. INLEIDING De workshop vindt zijn ontstaan in een artikel dat we schreven in het tijdschrift Uitwiskeling (UW 28). Toen we de zoektocht startten naar goocheltrucs met een wiskundige invalshoek, stuitten we op eerdere artikels. In UW 26/1 lieten we Job van de Groep aan het woord die er de truc 1089 uit zijn boekje Gegoochel met getallen [1.1] voorstelt. In UW 22/2 werkten we een andere getallentruc uit. In UW 17/4 verklaart de driehoek van Pascal een kaarttruc. Het is verrassend hoeveel wiskunde er in heel wat trucs verborgen zit en hoe goed ze vaak bij de leerstof aansluiten. We geven hier geen opleiding tot goochelaar, maar behandelen een aantal trucs uit het aanbod waarmee je morgen de klas in kan. Waarmee je je leerlingen kan verbazen en motiveren. Een goochelaar maakt een onderscheid tussen wiskundige trucs en de magie waarbij er toch altijd weer iets gebeurt dat je niet verwacht, wat je moeilijk doorziet. Hij oefent op het misleiden, de show en het bespelen van het publiek. Dit vraagt handigheid en show. Om echt te goochelen moet je veel oefenen. Veel plezier er mee.

2 1 HET WONDERGETAL Voorbereiding Deze truc vereist geen enkele voorbereiding tenzij je de variant aanbiedt. Voor deze laatste moet je vooraf in een boek dat in je klas ligt een woord opzoeken. Uitvoering Laat een leerling een willekeurig getal van 3 cijfers bedenken, een andere leerling dit getal omdraaien en weer een andere leerling moet het kleinste van het grootste getal aftrekken. Laat dit laatste getal weer omdraaien en deze laatste twee getallen met elkaar optellen. Doe alsof je gedachten leest en onthul deze laatst bekomen som. Om de show nog wat completer te maken, kan je een variant doen. Je vraagt je publiek om in het boek dat je achteloos aan iemand geeft, het negende woord op de achtste regel van bladzijde tien te zoeken. Verrassend maar waar: dit bord staat op de achterkant van je bord geschreven. Uitleg Aan de hand van een willekeurig voorbeeld, merk je snel dat we steeds hetzelfde getal vinden. Bedenk een getal van drie cijfers: 782. Draai het om: 287. Trek het kleinste af van het grootste: 495. Draai het om: 594. Tel de laatste twee getallen op: Wiskunde achter de uitleg We stellen de cijfers van het getal voor door letters. Het getal wordt dan abc en kunnen we ook voorstellen door 100a + 10b + c. Als we dit getal omdraaien tot cba wordt dit 100c + 10b + a. Het verschil van beide getallen kunnen we nu voorstellen door 100(a c) + (c a) = 99(a c). Neem deze 99-vouden eens onder de loep: 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891. We bekijken enkel die getallen met drie cijfers en merken dat een getal met zijn omgedraaide getal voorkomt. Het tweede cijfer is altijd een 9. Bovendien is de som van het eerste en het laatste ook altijd 9. In de laatste stap moeten we twee 99-vouden optellen die elkaars omgedraaide zijn. De som van de eenheden en van de honderdtallen zal dus 9 zijn en de tientallen bij beide getallen is 9, met een som van 18. We krijgen = Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc past perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters. Door de truc voor verschillende getallen uit te voeren, merkt men al snel dat het resultaat altijd 1089 is. De basisvraag aan de leerlingen is: Kun jij een verklaring bedenken? De leerstof van de eerste graad volstaat, maar ook oudere leerlingen kunnen er zoekplezier aan beleven.

3 2 DE LAATSTE DRIE Voorbereiding Neem een standaard spel kaarten, maar haal hier de eventuele jokers en extra kaarten uit. Uitvoering Neem de kaarten in de hand en schud het pakje voldoende. De volgorde van de kaarten in de stapel moet willekeurig zijn om het effect bij de leerlingen te vergroten. Geef het pakje speelkaarten aan een van de leerlingen. Vraag hem om drie willekeurig gekozen kaarten uit het pak te halen en goed te bekijken. Hij mag ze jou echter niet tonen! De overige kaarten neem je terug in de hand. Tip: laat de leerling de kaarten op een blad papier noteren om discussie te voorkomen op het einde van de truc. Schema Terwijl de leerlingen de kaarten bekijken en memoriseren, K = kaarten in de stapel maak je drie stapeltjes: een stapeltje met tien kaarten en L = kaarten van de leerling twee stapeltjes met elk vijftien kaarten. Deze drie stapels Op tafel liggen naast elkaar: leg je gedekt op de tafel. De overige negen kaarten hou je in je hand. In eerste instantie kun je deze stapeltjes stiekem maken, zodat de leerlingen niet meteen weten hoeveel kaarten er in elk stapeltje zitten. Als ze dan later zelf op zoek gaan naar een verklaring, kun je ze best 10 K 15 K 15 K 9 K inlichten over deze verdeling. Laat de leerling een van zijn kaarten op het stapeltje van tien leggen. Vervolgens mag hij de tweede stapel (één van de stapels van vijftien kaarten) willekeurig snijden en het afgenomen deel op de stapel van tien (plus de eerste gekozen kaart) leggen. Vervolgens neemt de leerling zijn tweede kaart en plaatst die op de stapel die hij net gesneden heeft. Hij plaatst deze stapel zo op de eerste stapel. Hij snijdt de derde stapel en legt het afgenomen deel op de tweede stapel die bovenop de eerste ligt. Tot slot plaatst hij zijn derde kaart op de overgebleven kaarten. Deze stapel wordt op de andere geplaatst, waardoor er enkel een grote stapel overblijft met daarin de drie gekozen kaarten. Jij legt de negen kaarten uit jouw hand bovenop de stapel. Hierdoor, kun je nu vertellen, zijn de kaarten op willekeurige manier bedolven in de grote stapel. Ik zal ze nu tevoorschijn toveren, maar eerst moeten er drie kaarten van boven naar beneden. Die staan symbool voor jullie drie gekozen kaarten. Vervolgens moet er nog een vierde kaart van boven naar beneden, omdat er blijkbaar storing zit op de telepathische verbinding. Als je dat gedaan hebt, start de onthulling van de drie geselecteerde kaarten. Opstelling vóór het verplaatsen van de vier kaarten 9K 1L (15 j) K j K 1L (15 i) K i K 1 L 10 K Opstelling na het verplaatsen van de vier kaarten 5K 1L (15 j) K j K 1L (15 i) K i K 1 L 14 K Draai de bovenste kaart om. We zeggen dat je de kaart in de zogenaamde op-positie plaatst. Hierbij ziet iedereen de bedrukte kant van de kaart. De volgende kaart leg je gedekt neer naast de vorige kaart. De derde kaart draai je opnieuw in de op-positie en plaats je op de eerste kaart in deze positie. Dit blijf je herhalen. Zo draai je afwisselend kaarten in de op- en neer-positie en creëer je twee stapels: een op- en neer-stapel. Als je alle kaarten doorlopen hebt, schuif je de stapel kaarten in de op-positie aan de kant en herhaal je het proces met de kaarten in neer-positie. Let hierbij goed op

4 dat je telkens de bovenste kaart in de op-positie brengt. Na een tijdje hou je drie kaarten in de neerpositie over. Laat ze aan de leerlingen zien. Als alles goed is verlopen, zijn dat de gekozen kaarten van je leerling. Uitleg Vóór je de vier kaarten naar beneden verhuisde, bestond de stapel uit, van boven naar onder, 9 kaarten, de derde leerling kaart, 15 kaarten, de tweede leerling kaart, 15 kaarten, de eerste leerling kaart en tot slot 10 kaarten. Het snijden van de hoopjes maakt niets uit. Door de vier kaarten naar beneden te sturen, zorg je ervoor dat de gekozen kaarten op de, van boven gezien, zesde, tweeëntwintigste en achtendertigste plaats belanden. Er zullen steeds 15 kaarten tussen zowel gekozen kaart twee en drie, als tussen gekozen kaart twee en één zitten. De reden waarom we de kaarten net op die posities inbrengen, wordt in de volgende paragraaf duidelijk. Wiskunde achter de uitleg We kiezen hier niet zomaar voor het op-neer-proces. Tijdens de eerste uitvoering scheiden we de kaarten op even en oneven posities. De kaarten op een even positie komen in de neer-positie terecht. Tegelijk is de volgorde omgewisseld: kaart 2 ligt onderaan, daarop ligt kaart 4... en bovenaan ligt kaart 52. De kaarten in de op-positie schuif je aan de kant en je werkt dus verder met kaarten die op even posities zaten. Met deze kaarten herhalen we het proces. We verdelen de stapel dus opnieuw in twee. De kaarten op de viervoud-posities (52, 48, 44,..., 4) komen nu in de op-positie en worden geëlimineerd. De kaarten waar we mee verder werken (neer-positie) zijn nu, van boven naar onder: 2, 6, 10, 14, 18,...,50. De posities zijn de even getallen die geen viervoud zijn, anders gezegd, de getallen van de vorm 4k + 2 met k = 0, 1, 2,..., 12. Vervolgens worden de kaarten 2, 10, 18,..., 42, 50 geëlimineerd (achtvouden plus 2) en werken we verder met, van boven naar onder: 46, 38,..., 14, 6 (de achtvouden plus 6). Uiteindelijk elimineer je ook 46, 30 en 14 (de 16-vouden plus 14) en blijven de 16-vouden plus 6 over. Dit zijn precies de kaarten die oorspronkelijk op positie 6, 22 en 38 zaten. Dat zijn de kaarten die door de leerling gekozen werden. Bruikbaarheid in de wiskundelessen Deze truc kun je perfect gebruiken als opwarmer voor de lessen rond deelbaarheid of euclidische deling in de eerste graad (A-stroom). Het zal je les een zekere aantrekkelijkheid geven en, ondanks de moeilijkheidsgraad, kun je zelfs de leerlingen uitdagen om de truc zelf te verklaren. Hiertoe moet je ze misschien enkele tips geven, bv. dat ze moeten letten op het aantal kaarten tussen de gekozen kaarten. Een leuke aanvulling is de leerlingen varianten te laten bedenken. Zijn er misschien andere mogelijkheden, zoals bijvoorbeeld 13 kaarten tussen de gekozen kaarten? Heb je dan steeds 52 kaarten nodig?

5 3 SYMBOOL VOORSPELLEN Voorbereiding Voor je aan deze truc kunt beginnen, heb je het onderstaande schema nodig. Uitvoering Laat je leerling een getal kiezen dat uit twee cijfers bestaat. Laat hem de som van de cijfers nemen en van het gekozen getal aftrekken. Bijvoorbeeld: de leerling kiest 73. Dan berekent hij: 73 (7 + 3). Toon het schema en laat hem het symbool memoriseren dat bij zijn uitkomst hoort. Je kunt nu de show starten. Zeg de leerling goed te denken aan het symbool. Doe alsof je je concentreert om zijn gedachten te lezen. Neem een stukje krijt of een pen en teken het symbool. Uitleg De berekening levert altijd een negenvoud op. De leerling is zo gefocust op zijn getal en het bijbehorende symbool, dat hij in eerste instantie de tabel niet grondig zal bestuderen. Doet hij dit wel, dan zal het al snel opvallen dat bij de negenvouden behalve bij 90 telkens hetzelfde symbool getekend staat. Je moet dus, voor het uitvoeren, enkel kijken welk symbool er bij de negenvouden staat. Als je de truc meer dan één keer uitvoert, zorg je best voor verschillende versies van het schema om te vermijden dat hetzelfde symbool telkens weer uit de bus komt. Je kunt de schema s afdrukken van de website [3.1]. In een klas met internet kun je ook de versie van deze website gebruiken; het schema verandert dan automatisch. Wiskunde achter de uitleg De leerling kiest een willekeurig getal met twee cijfers; dit kunnen we voorstellen door 10a +b. Hiervan moet hij a + b aftrekken (de som van de cijfers) en dat levert het volgende op: 10a b a b 9a, een negenvoud. Bij alle negenvouden vind je in het bovenstaande schema een zeshoek. Bij 90 is dit niet nodig omdat de leerling nooit 90 als uitkomst zal krijgen.

6 Bruikbaarheid in de wiskundelessen De verklaring van deze truc laat de kracht zien van het rekenen met letters, een belangrijk onderwerp in de eerste graad. Door de cijfers voor te stellen door letters a en b, voer je de berekening in feite uit voor alle getallen van twee cijfers tegelijk. Het is ook belangrijk dat de leerlingen leren om het getal te schrijven als 10a + b en niet als ab (want dit stelt het product van de cijfers voor). Je kunt de leerlingen begeleiden met het aanbieden van verschillende tips. Je kunt bv. fiches uitdelen waarop je, aangepast aan het niveau van de leerlingen, meer of minder informatie prijsgeeft. Fiche 1 Fiche 2 Stel het getal voor m.b.v. letters. Stel de twee cijfers van het getal voor door twee verschillende letters. Schrijf dan het getal als een formule, rekening houdend met tientallen en eenheden. Fiche 3 Je kunt een getal met twee verschillende cijfers a en b als volgt voorstellen: 10a + b. Herhaal nu op deze voorstelling van je getal de bewerking die je moest uitvoeren. Fiche 4 Schrijf voor een vijftal getallen uit wat je doet en vergelijk de uitkomsten die je krijgt met elkaar. Zie je een verband tussen deze uitkomsten? Bekijk de tabel nauwkeurig. Welk symbool staat er bij alle vijf de uitkomsten? Tracht nu de truc te doorgronden en schrijf je bevinding uit in enkele verstaanbare zinnen. 4 REKENTRUCJES 4.1 IK LEES JE GEDACHTEN: OPTELSOM OF PRODUCT Voorbereiding Deze truc vereist geen enkele voorbereiding. Uitvoering Laat een leerling een willekeurig natuurlijk getal groter dan 2 in gedachten nemen. Laat hem zowel de voorganger van het getal als het volgende getal erbij optellen. Vraag hem de uitkomst. Doe alsof je zijn gedachten leest en onthul zijn gekozen getal. Meestal zullen de leerlingen vragen de truc te herhalen. Om de truc niet meteen te moeten verklaren, kun je terugvallen op een variant van deze truc. Laat één of alle leerlingen opnieuw een natuurlijk getal kiezen groter dan 2, maar ditmaal moeten ze de voorganger van het getal vermenigvuldigen met de opvolger van het getal. Laat enkele leerlingen hun uitkomst meedelen. Je kunt weer het oorspronkelijke getal raden. Uitleg 1. De uitkomst die de leerling verkrijgt, is het drievoud van het gekozen getal. Je moet dus enkel delen door drie om zo de gedachten te lezen. 2. Tel bij het antwoord van de leerling 1 op en neem dan de vierkantswortel. Dit zal het oorspronkelijke gekozen getal zijn. Wiskunde achter de uitleg De wiskunde achter deze truc is vrij eenvoudig te achterhalen. De leerling telt in feite driemaal hetzelfde getal op. De voorganger van het gekozen getal en de

7 opvolger van dat gekozen getal vormen samen het tweevoud van het gekozen getal. Je vindt hiernaast een visualisatie. Je kunt er ook voor kiezen om dit probleempje door letters voor te stellen: n 1 n n 1 3n. De variant van deze truc is ook eenvoudig te verklaren. Stel dat de leerling het getal zeven kiest, hij zal dan krijgen. Door de bewerking krijg je steeds één minder dan het kwadraat van het gekozen getal. Hiernaast vind je weer een visualisatie. Het product van de voorganger en de opvolger kun je voorstellen als een rechthoek van stippen waarvan de lengte 2 meer is dan de breedte. Mits toevoeging van een eenheid kun je de rechthoek tot een vierkant herschikken. n 1 n 1 n 1. Algebraïsch is dit een mooie toepassing op een merkwaardig product: 2 Bruikbaarheid in de wiskundelessen Je kunt een les voor de eerste graad opbouwen met tips op verschillende niveaus. De leerlingen kunnen ervoor kiezen om het probleem zonder tips op te lossen of met een hulpfiche. Hierbij kunnen ze kiezen uit de volgende drie fiches. Fiche 1 Stel het getal voor door n. Fiche 2 Stel het getal voor door n. Stel vervolgens de voorganger en de opvolger voor. Maak voor truc 1 de som van de getallen, wat vind je? Maak voor truc 2 het product van de voorganger en de opvolger, wat vind je? Fiche 3 Vul de volgende tabel aan. Onderaan in de tabel probeer je te veralgemenen wat je vond. kies een getal voorganger opvolger som van de drie getallen product voorganger en opvolger verband met het getal dat je koos N 4.2 SNEL REKENEN MET DE RIJ VAN FIBONNACI Voorbereiding Geen voorbereiding nodig. Je hebt bord, krijt, papier en pen nodig. Uitvoering Vraag een leerling om op het bord onder elkaar twee willekeurige getallen kleiner dan 10 te schrijven. Ga met je rug naar het bord staan zodat je niet kunt zien wat je leerling noteert. Geef de volgende rekenopdrachten: Tel de twee getallen op en schrijf deze som onder de twee getallen. Tel nu het tweede en het derde getal op en schrijf dit onder de drie vorige. Blijf dit doen tot je dertien getallen onder elkaar hebt staan in een verticale kolom. Als je leerling klaar is draai je je om, trek een lijn onder de tien eerste getallen en vraag de leerling de som te maken van deze tien getallen.

8 Ondertussen schrijf jij op een andere plek van het bord of op een papiertje een getal en geef het aan een andere leerling. Wat blijkt het door jou genoteerde getal is de gevraagde som. Uitleg Je trekt van het voorlaatste getal (het twaalfde) het tweede getal af. Het dertiende getal laat je enkel opschrijven om de aandacht van de truc af te leiden. De wiskunde achter die uitleg De leerling creëert een rij van getallen die doet denken aan de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 waarbij telkens de som gemaakt wordt van de twee voorgaande getallen in de rij. We kunnen deze rij voorstellen als de rij { t i } met als recursief voorschrift: tn2 tn tn 1 waarbij t1 t 2 1. Bij een willekeurige rij van Fibonacci zijn de eerste twee termen niet noodzakelijk één of gelijk. De rij die de leerling hierboven vormt is dus een willekeurige rij van Fibonacci { f i } met als recursief voorschrift: f f f. Eén van de identiteiten voor getallen uit elke rij van Fibonacci is de volgende: n2 n n1 f f f f f (1) 1 2 n n2 2 De som van de eerste tien getallen is dus inderdaad het twaalfde getal min het tweede. Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc is geschikt als inleiding voor een les over rijen. Zo vindt hij een plaats in de tweede graad of als warmmaker bij een herhalingsles in de derde graad. De leerlingen moeten de volgende begrippen in de vorige lessen geleerd hebben: recursief voorschrift van een rij en de som van een eindig aantal termen van een meetkundige rij. Het is juist deze som die de verklaring levert voor de truc. De rij van Fibonacci komt in heel wat toepassingen voor en vormt een geschikte context om leerlingen te leren bewijzen (zie bv. [10.1]). De getallen uit de rij voldoen aan identiteiten zoals (1) waarvan de bewijzen toegankelijk zijn voor de leerlingen uit gemiddeld tot sterk wiskundige richtingen. Andere identiteiten leveren mogelijks input voor varianten van de truc. Wat denk je van t t t t t of t t t t t t t t t 2 als goochelinspiratie? n1 2n n1 2n 2n Een vraag die je aan leerlingen kunt stellen is precies om varianten te bedenken. De identiteit (1) levert er alvast een aantal. Je kunt immers eender welke eindige som laten maken en snel het resultaat vinden. Zo is de som van een rij van vijftien getallen, het zeventiende getal min het tweede (zie [1.1]). Een variant op bovenstaande truc die je in [1.1] vindt, is toegankelijk voor leerlingen van de eerste graad. Hierbij laat je de leerling stoppen na het tiende getal en de som maken van deze getallen. Om snel de som te vinden, onthoud je enkel het vierde getal geteld vanaf het onderste en vermenigvuldig je dat met elf. In een les rekenen met letters kun je de leerlingen de rij getallen laten veralgemenen als volgt: a en b zijn de willekeurige getallen van de leerling. De tien getallen die gevormd worden, zijn de volgende: a, b, a b, a 2 b, 2a 3 b, 3a 5 b, 5a 8 b, 8a 13 b,13a 21 b, 21a 34b. Nemen we de som van deze tien getallen dan vinden we inderdaad 11 maal het vierde laatste getal: a b a b a 2b 2a 3b 3a 5b 5a 8b 8a 13b 13a 21b 21a 34b b a 55a88b 11 5a8b

9 Laten we de lesmogelijkheden van de goocheltruc voor de tweede graad verder bestuderen. We kunnen de identiteit f1 f2 fn fn2 f 2 op verschillende manieren bewijzen. Een eerste mogelijk bewijs steunt op een bewijstechniek waarbij identiteiten lid aan lid opgeteld worden om zo een nieuwe identiteit te creëren. f f f f f f f f f f f f n n2 n1 f f f f f f f f f f 1 n n2 n1 n1 n f f f f 1 n n2 2 Een tweede mogelijk bewijs steunt op het expliciete voorschrift van de rij van Fibonacci en de formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij. Het expliciete voorschrift is heel wat moelijker dan het recursieve en komt in de handboeken vaak niet aan bod. 1 n t 1 n n met hierin , de gulden snede. Dit tweede bewijs is enkel bedoeld voor leerlingen die deze expliciete formules al eens zijn tegengekomen. Voor de rij van Fibonacci wordt de identiteit (1): t 1 t 2 t t 2 1. n n 1 i t1 t2 tn ti 1 i1 i1 5 1 n1 n n 1 1 n i i i i i n n n n n n n2 n tn In de getallenrij f i komt de rij van Fibonacci als volgt bovendrijven: a, t b, t a t b, t a t b,, t a t b, of i i2 i1 voor 3 met 1 en 2 f t a t b i f a f b In de truc moet de leerling de getallen optellen. Laat nu s n de som van de eerste n Fibonaccitermen zijn. Dan vinden we voor de som die de leerling maakte de volgende veralgemening: f f f a t t t b t t t t a s b s 1 2 n 1 2 n2 1 2 n2 n1 n2 n1 a t b t a t b t b f f n n1 n n1 n2 2 Hiermee hebben we opnieuw de identiteit (1) aangetoond. De voorlaatste stap van het bewijs hierboven levert aan Fibonacci-specialisten een variant. Als je de termen van de rij van Fibonacci goed van buiten kent, dan kun je elke willekeurige som van een willekeurige Fibonacci-rij snel berekenen van zodra je leerling zijn eerste getallen gekozen heeft: f f f a t b t. 1 2 n n n1 1

10 5 DE ZES DOBBELSTENEN Voorbereiding Je hebt voor deze truc zes dobbelstenen nodig zoals op de foto hiernaast. Elke dobbelsteen heeft een welbepaalde kleur met op elk zijvlak een ander getal: Blauw Eigeel Rood Zwart Groen Uitvoering Familiebezoek bij een redactielid. Luc vertelt: Gisteren kwam mijn jongste nichtje, Lotte, op bezoek. Ze was geïnteresseerd in mijn oude goocheldoos, die uit de speelgoedkast gehaald werd. De meeste van de trucs kon ik nog uitleggen zonder in de handleiding te kijken. Maar de truc met de vijf dobbelstenen is niet voor de hand liggend. Je werpt ermee en je kunt meteen de som zeggen... sneller zelfs dan iemand de getallen kan intikken op een rekenmachine. Uitleg Om uit te leggen hoe het werkt, nemen we het voorbeeld van de foto. Tel de laatste cijfers op: Daarna trek je dit getal van 50 af: De gezochte som is Je gelooft het niet? Reken maar na. Wiskunde achter de uitleg Het eerste wat opvalt is dat het tweede cijfer, dat van de tientallen, enkel afhangt van de dobbelsteen en niet van welk zijvlak bovenaan ligt. De som van de tweede cijfers van de vijf dobbelstenen is 30. Dit geeft een vast aandeel van 300 in de som van de vijf getallen. Het volstaat dus te kijken naar de buitenste cijfers, die van de honderdtallen en de eenheden. De som van deze buitenste cijfers is ook weer enkel afhankelijk van de dobbelsteen. Bij blauw is de som 13, bij eigeel 10, bij rood 7, bij zwart 8 en bij groen 9. De volledige som zal bijgevolg enkel afhangen van de som van de laatste cijfers. Laten we dit eens in detail narekenen. Noem de laatste cijfers volgens de kleur van de dobbelsteen b, e, r, z en g. Dan is het eerste cijfer van blauw 13 b en analoog ken je nu alle cijfers voor de honderdtallen. De som van de vijf getallen is: b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g b e r z g Hiermee is de truc aangetoond: maak de som van de laatste cijfers, trek dit getal af van 50. Dit laatste getal vermenigvuldigd met 100 levert de eerste twee cijfers van de uitkomst. Tel hierbij de som van de eenheden op en dit geeft de totale som.

11 Bruikbaarheid in wiskundelessen Deze truc past weer perfect in een les rond modelleren en rekenen met letters. De basisvraag aan de leerlingen is: Kun jij een verklaring bedenken voor de werking van deze stenen? De leerstof van de eerste graad volstaat, maar ook oudere leerlingen kunnen er zoekplezier aan beleven. 6 DE KRACHTIGE DRIE Voorbereiding Neem een gewoon pak met 52 speelkaarten. Haal de koningen, dames en boeren uit het pakje. Uitvoering Overhandig de kaarten aan een van de leerlingen en laat hem de kaarten schudden. Vertel de leerling dat hij zo meteen drie kaarten uit het pakje moet trekken. Draai je om zo dat je niet ziet welke kaarten er getrokken worden. Stel dat hij, zoals op de figuur hiernaast, de kaarten drie, vijf en acht trekt. Vervolgens moet de leerling de waarde van elke kaart vermenigvuldigen met drie. Hierbij heeft de aas de waarde één. Vertrekken we van het voorbeeld, dan moet de leerling drie vermenigvuldigen met drie en verkrijgt hij negen. Laat de leerling een kaart met waarde negen uit het pak nemen en die op de volgende rij leggen. Als je vijf vermenigvuldigt met drie, krijg je vijftien. Helaas is hier geen speelkaart voor. In zulke gevallen moet de leerling de waarde vormen met meerdere kaarten. Dat doet hij als volgt: vijftien wordt gevormd door een aas en een vijf, vierentwintig door twee en vier. Laat de leerling de eerste drie kaarten terug in het hoopje kaarten steken. Daarna moet hij de kaarten die op tafel liggen, schudden en één voor één op de tafel leggen. Laat hem de vorige stap (het vermenigvuldigen met drie) herhalen. In de figuur hieronder zie je het resultaat na de tweede vermenigvuldiging. Mogelijk heb je voor deze bewerking meer azen nodig dan er voorzien zijn in het spel. Je mag twee azen dan vervangen door een twee of drie azen door een drie.

12 Tot slot mag de leerling de bovenste rij kaarten weer wegsteken en de laatste rij kaarten schudden zoveel hij wil. Hij kiest uit deze kaarten één kaart en legt deze gedekt op tafel (de grijze kaart hieronder). De overige kaarten blijven liggen. Jij bekijkt wat er op tafel ligt en voorspelt de waarde van de gedekte kaart! Uitleg Je moet enkel de zichtbare kaarten optellen en deze som aftrekken van het eerst volgende negenvoud. Het verschil zal automatisch de waarde van de gedekte kaart zijn. In het voorbeeld hierboven krijg je vierentwintig als je alle zichtbare kaarten optelt. Vierentwintig is geen negenvoud en het eerst volgende negenvoud is zevenentwintig. De gedekte kaart heeft dus waarde drie. De eerste drie gekozen kaarten zijn van geen belang. Je mag dus nooit zeggen dat je die kaarten zal voorspellen! Nee, zeg eerder: Kies drie willekeurige kaarten uit het pak. Ik zal de waarde van één kaart voorspellen. Maar iedereen heeft zijn lievelingskaarten, dus zou het niet eerlijk zijn om nu de drie kaarten in je hand te voorspellen. Dat is trouwens te eenvoudig voor mij, als goochelaar! Je gaat enkele bewerkingen moeten uitvoeren en de kaart die je dan uitkomt, zal ik voorspellen! Wiskunde achter de uitleg Zoals je in de uitleg kon lezen, zijn de eerste drie kaarten van geen belang. Wat echter wel belangrijk is, is dat de leerling op een verdoken manier vermenigvuldigt met negen. Door het opsplitsen van de truc in kleine stappen/onderdelen (er is twee keer met drie vermenigvuldigd), valt dit minder op. Laten we de eerste drie kaarten willekeurig voorstellen door a, b en c. De eerste stap van de truc is het vermenigvuldigen van elke waarde met drie. Dit geeft ons: 3a, 3b en 3c. Na deze stap heeft de leerling dan tussen de drie en de zes kaarten. De kaarten die na deze stap op tafel liggen, stellen de cijfers voor van de drievouden 3a, 3b en 3c. Als je deze allemaal optelt, krijg je een drievoud. Vervolgens mag de leerling de verkregen kaarten schudden, waardoor de volgorde van de kaarten willekeurig wordt. De leerling vermenigvuldigt elk cijfer met drie en legt kaarten die overeenstemmen met de cijfers van deze nieuwe drievouden. Er is nu geen directe relatie meer met de oorspronkelijke getallen a, b en c. Tellen we echter de waarden van de laatste rij kaarten op, dan vinden we een negenvoud. De kaart die bedekt is, moet bijgevolg de waarde hebben van de som van de zichtbare kaarten afgetrokken van het eerstvolgende negenvoud. Bruikbaarheid in de wiskundelessen Deze truc kan gebruikt worden tijdens de lessen rond veelvouden of de kenmerken van deelbaarheid in de eerste graad. Daarnaast wordt er ook gebruik gemaakt van het rekenen met letters. We geven hieronder twee mogelijkheden om in de klas rond wiskundige vaardigheden te werken, vertrekkend van deze truc. We werken eerst rond deelbaarheid en we gebruiken het concrete voorbeeld (zie hoger) om op te redeneren. De drievouden van de oorspronkelijke getallen 3, 5 en 8 zijn respectievelijk 9, 15 en 24. Als we van elk drievoud de cijfers optellen, krijgen we 9, 6 en 6. Dit zijn allemaal veelvouden van 3 en illustreert het deelbaarheidskenmerk Een getal is deelbaar door drie als en slechts als de som van de

13 cijfers deelbaar is door drie. Elke som kunnen we dus voorstellen als 3n met n een natuurlijk getal. Zo is 9 3 n, m en 2 4 3p. In het vervolg van de truc beschouwen we de cijfers waaruit deze getallen opgebouwd zijn: 9, 1, 5, 2 en 4. Als we deze cijfers optellen (niet nodig in de truc) krijgen we 21 en dit is uiteraard een veelvoud van 3. Met de notatie hierboven maken we dit mooi visueel: n 3m 3p 3n m p. In de volgende stap vermenigvuldigen we elk cijfer nogmaals met 3. Zo levert 9 levert het getal 27, de cijfers 1 en 5 geven de getallen 3 en 15 en de cijfers 2 en 4 worden vermenigvuldigd tot de getallen 6 en 12. De som van deze getallen is een veelvoud van 9: n m p 9 q. We kunnen naar aanleiding van deze truc ook het kenmerk van de deelbaarheid door 9 aantonen voor een getal met een vast aantal cijfers. Het veralgemenen van het voorstellen van getallen m.b.v. cijfers is een zinvolle techniek om in een wiskundeles te behandelen. Hieronder vind je een bewijs waarbij we vertrekken van een getal bestaande uit vier cijfers a, b, c en d. Merk op dat deze cijfers niets meer te maken hebben met de kaartengetallen hierboven. a b c.10 + d = a( ) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d = a + b + c + d + 999a + 99b + 9c = a + b + c + d + 9(111a + 11b + c) Als nu de som van de cijfers een negenvoud is, is het getal zelf de som van twee negenvouden en dus zelf ook een negenvoud. Omgekeerd, als het getal een negenvoud is, dan is de som van de cijfers een negenvoud (als verschil van twee negenvouden): a b c.10 + d 9(111a + 11b + c) = a + b + c + d. 7 MEETKUNDIG VERDWIJNEN Voorbereiding De hele truc is opgebouwd rond een doosje dat in totaal 7 eenheden lang, 6 eenheden breed en 1 eenheid hoog is zoals op de coverfoto. In het doosje zitten puzzelstukjes die het geheel opvullen. Verder heb je twee extra puzzelstukjes nodig: een balkje van 2 op 1 op 1 en kubusje van 1 op 1 op 1. In de figuur hiernaast tekenen we de tweedimensionale variant (het bovenaanzicht) waarop we in het vervolg van deze paragraaf verder redeneren. De puzzelstukjes hebben een welbepaalde vorm, zoals je op de afbeelding kunt zien. Leg het doosje zichtbaar voor de klas. Stop vooraf de twee extra blokjes in je jas- of broekzak. Goochelaars dragen vaak jassen met mouwen en zakken waar ze vooraf een en ander in verstoppen. Fig. 1 Uitvoering

14 Je vertelt dat je op de zolder van een oud huis in een houten doosje-met-schuifdeksel een bijzondere houten legpuzzel gevonden hebt. Er zat een briefje bij waarop stond dat de puzzel eigenlijk onoplosbaar is en dat hij moeilijk weer in elkaar gelegd kan worden. Uiteraard ben je uitgedaagd en heb jij de puzzel gevonden. Benieuwd of de leerlingen even snugger zijn. Om na te gaan of dat inderdaad zo is, keer je het doosje om, zodat de stukjes op tafel vallen en roer je ze door elkaar. Roep de hulp van een leerling in en daag hem uit om met de stukjes weer een rechthoek te maken die in het doosje past. Laat de leerling zijn gang gaan. Wellicht vindt hij na een tijdje de puzzel. Maar je voelt in je broek-, vest- of jaszak en wat merk je? Je vindt nog een balkvormig puzzelstukje. Dat zou er nog bij moeten. De leerling bekijkt alles en vermoedt wellicht dat het stukje er niet bij zal kunnen het doosje is immers vol. Kieper het doosje terug om, begin aan de puzzel en tot grote verbazing maak jij opnieuw een rechthoek in het doosje met het extra puzzelstukje er bij. Je voelt opnieuw in je zakken en wat vind je? Inderdaad, nog een stukje en wel een kubusje. Je maakt de puzzel nogmaals en krijgt hem na wat proberen netjes terug in het doosje. Hoe kan dat? Uitleg Het doosje in de beginsituatie ziet eruit als figuur 1 hierboven. Het is goed gevuld met 9 puzzelstukjes. Als je de eerste maal de stukjes op de tafel gooit, neem je onopvallend een stukje (a) weg. Dit is een stukje van 3 op 1. Je vult dus het doosje met slechts 8 stukjes. De oppervlakte verkleint van 42 (oppervlakte)eenheden naar 39 eenheden. De leerling of jij maakt de puzzel zoals in figuur 2 van de volgende bladzijde. De blokjes zullen nu iets losser in de doos zitten door het kleine verschil in gevulde oppervlakte. Vervolgens is het verhaal dat de twee puzzelstukjes (b) en (c) netjes de ruimte van (a) kunnen opvullen. De puzzel is zo gemaakt dat dit op twee manieren kan gebeuren. Het maakt niet uit welk blokje je eerst uit je broekzak tovert. In figuur 3 hieronder zie je de puzzel als eerst blokje (b) bijgevoegd wordt, in figuur 4 is blokje (c) eerst uit de broekzak getoverd. Wanneer we beide blokjes toevoegen, krijgen we terug de situatie uit figuur 1. De wiskunde achter die uitleg Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Het geheel is gebaseerd op gezichtsbedrog. De doos blijft natuurlijk even groot, maar de rechthoek gevormd door de puzzelstukken verandert (lichtjes) van oppervlakte. De rechthoek in figuur 2 heeft de kleinste oppervlakte, gevolgd door de rechthoeken in figuur 4 en figuur 3. Wanneer zowel (b) als (c) zijn toegevoegd, heeft de rechthoek terug de oorspronkelijke oppervlakte als in figuur 1.

15 Bruikbaarheid in de wiskundelessen Deze puzzel kan gebruikt worden in de eerste graad om de leerlingen te laten nadenken over de verdwenen oppervlakte. Enkele vragen die je kan stellen bij figuur 2. Hoeveel kleiner is de oppervlakte van de totale rechthoek als rechthoek (a) is weggenomen? Wat is de oppervlakte van rechthoek (a)? Welke breedte heeft een rechthoek met lengte 7 en dezelfde oppervlakte als rechthoek (a)? Bij figuren 3 en 4 kun je analoge vragen stellen. De puzzel is nauw verwant met Curry s Paradox [12.2], waarop we nu ingaan. Hij is genoemd naar Paul Curry, een amateurgoochelaar uit New York die de paradox verzon. De puzzel is inzetbaar bij lessen in alle graden. Hij biedt concreet materiaal voor leerstofonderdelen van de tweede graad en uitbreiding in de derde graad. We zien in elke figuur hieronder drie driehoeken A, B en C. In figuur 2 zijn driehoeken B en C van plaats verwisseld t.o.v. in figuur 1. In figuur 2 zijn er echter 16 gearceerde vierkantjes en in figuur 1 slechts 15. Fig. 1 Fig. 2 Bekijken we de figuren hieronder, dan merk je dat de twee gearceerde rechthoeken van figuren 1 en 2 in 2 stukken D en E verdeeld zijn. Het maakt het geheel tot iets merkwaardigs. Als we de driehoeken B en C en de stukken D en E herschikken, krijgen we een figuur met een gat in, zoals in figuur 4. Fig. 3 Fig. 4 De paradox vindt zijn verklaring bij het leerstofonderdeel vergelijkingen van rechten. We bekijken figuren 1 en 2 grondiger en definiëren een assenstelsel zodat het punt X als coördinaat 5,2 heeft en Y als coördinaat 8,3. Het lijkt alsof X en Y beide op de diagonaal van de rechthoek liggen. In werkelijkheid is dat echter niet het geval. Fig. 5 Fig. 6

16 Je kunt dit behandelen in een les over de richtingscoëfficiënt van een rechte. We beschouwen enkel figuur 5. Door ruitjes te tellen, kun je de richtingscoëfficiënt van de diagonaal aflezen. Die is 5 0,3846. Door de rechten OX en XP door X te beschouwen, kunnen we nagaan dat deze niet in 13 elkaars verlengde liggen en dus niet samenvallen met de diagonaal. De richtingscoëfficiënt van de rechte OX is gelijk aan 2 0,4 5 en de rechte XP heeft richtingscoëfficiënt 3 0,375. We merken 8 onmiddellijk dat de richtingscoëfficiënten verschillend zijn. Je kunt evengoed in een les over de vergelijkingen van rechten, alle vergelijkingen laten opstellen en de leerlingen de opdracht geven op deze figuur een goed gekozen assenstelsel te plaatsen. De O 0,0 en P 13,5 en de andere zonder naam hoekpunten van de rechthoek krijgen de coördinaten 5 13,0 en 0,5. De vergelijking van de diagonaal is y x. Het punt X 5,2 ligt niet op de diagonaal omdat 2 1,92. Aangezien 2 1,92 weet je bovendien dat X boven de diagonaal 13 ligt. De puzzelstukjes overlappen dus. Het verschil is echter minimaal, net zoals de oppervlaktes die verdwijnen of bijkomen in het doosje hierboven. Het knelt een beetje. De redenering op figuur 6 is analoog. Het hoekpunt Y van de gearceerde rechthoek zal er onder de diagonaal liggen. Waar in figuur 2 of 5 het gezichtsbedrog zit in een hoekpunt dat eigenlijk boven de diagonaal uitkomt en er dus oppervlakte te veel is om een rechthoek van 5 op 13 te vullen, is er in figuur 1 of 6 oppervlakte te weinig.. In figuur 5 overlappen de puzzelstukken elkaar over een bepaalde oppervlakte net boven de diagonaal. In figuur 6 is er een langgerekte opening over een bepaalde oppervlakte net onder de diagonaal. Beide oppervlaktes zijn omwille van de symmetrie even groot en vormen samen het mysterieuze verdwenen extra vierkantje. Het ligt als het ware uitgespreid over de diagonaal. Je vindt hiervan een mooie illustratie op [12.6]. Via formules uit de analytische meetkunde kun je in de klas de leerlingen laten berekenen dat de oppervlakte van de OPX 0,5 (oppervlakte)eenheid is. 2 2 OP opp OXP d X, OP Op een analoge manier vind je dat de oppervlakte van OPY gelijk is aan 0,5. TOT SLOT Goocheltrucjes kunnen leuk zijn, als afwisseling in de les, maar het is niet meer dan een hulpmiddel, en dus op zichzelf even onbelangrijk als andere hulpmiddelen (bijvoorbeeld computers). De wiskundige inhoud van de les en de keuze van de opgaven vinden we belangrijker dan de gebruikte media. Afwisseling is de beste saus om leerlingen gemotiveerd en aandachtig te houden: denk dus niet dat we ervoor pleiten om dagelijks of wekelijks te gaan goochelen.

17 Bibliografie De bibliografie is ingedeeld per paragraaf. Het getal vóór het punt is het paragraafnummer. [1.1] J. van de Groep, Gegoochel met getallen, PrePressMediaPartners, Wolvega, 2006 [1.2] G. Verbeeck, L. Van den Broeck, Hoeveel planeten van ons zonnestelsel hebben een maan?, Uitwiskeling 22/2 (2006) [2.1] The Final 3 - Amazing Math Card Trick (2009), geraadpleegd op 21 februari 2012 [3.1] Mindreader Nine (2009), geraadpleegd op 30 januari 2012 [4.1] Themanummer Begründen, Mathematik Lehren 110 (2002) [6.1] R. E. Neale. Tricks of the imagination, Hermetic Press, Inc., Seattle, Washington, 1991 [7.1] M. Tomatis, La magia dei numeri. Come scoprire con la matematica tutti i segreti del paranormale, Kowalski, Milano, 2010 [8.1] zie [7.1] [9.1] Power of three Mathematical Card Trick (2009), geraadpleegd 21 februari 2012 [10.1] albrecht-durer.org (2002), geraadpleegd op 20 februari 2012 [11.1] W. Kleijne, T. Konings, De gulden snede, Zebraboekje nr. 4, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 5de druk 2010 [11.2] Zie [1.1]. [11.3] M. Gardner, Mathematics Magic and Mystery, Dover Publications, New York, 1956 [12.1] J. van de Groep, Gegoochel met getallen, Nascholing CNO, Universiteit Antwerpen. [12.2] Geometrical vanishes, geraadpleegd op 3 december 2011 [12.3] Curry s paradox: how is it possible, geraadpleegd op 3 december 2011 [12.4] Missing square puzzle solution, geraadpleegd op 3 december 2011 [12.5] Triangle paradox solution, geraadpleegd op 3 december 2011 [12. 6] Curry s paradox: solution, geraadpleegd op 3 december 2011 [14.1] J. Aerts, De stelling van Jordan, Pythagoras 44/2 (2004), 4-7 [15.1] M. Kindt, J. de Lange, Hewet wiskunde: kansverdelingen, Educaboek, Culemborg, 1985 [15.2] (vanaf p. 50), geraadpleegd op 24 februari 2012 [15.3] geraadpleegd op 24 februari 2012