Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode
|
|
- Antoon Sanders
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Verslag Computational Physics Sietze van Buuren Begeleider: Prof.Dr. H. de Raedt 29 december 25 Samenvatting Gepoogd is de energie en de soortelijke warmte van een 2D atoomrooster, dat voor de helft of een kwart is gevuld met atomen, uit te rekenen. Bij kleine atoomroosters kan dit vrij gemakkelijk handmatig of met de computer exact worden uitgerek. Bij grote roosters wordt er gebruik gemaakt van de Metropolis Monte Carlo methode (MMC-methode), aangezien het aantal configuraties te groot is voor numerieke optelling. 1
2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Theorie 3 3 Handmatige bepaling 4 4 Geautomatiseerde numerieke optelling 5 5 Metropolis Monte Carlo methode 6 Conclusie 9 Dankwoord 9 A Numerieke optelling 1 B MMC-methode 11 C Additionele grafieken 13 C.1 Numerieke optelling C.2 MMC-methode
3 1 Inleiding Bij het vak computational physics krijgt iedere student een opdracht toegewezen m.b.t. tot dit vakgebied. In dit verslag is beschreven hoe van een tweedimensionaal atoomrooster de energie en de soortelijke warmte kunnen worden bepaald als functie van de temperatuur. Bij de exacte bepaling van deze waarden is het nodig om alle roosterconfiguraties te bepalen en door te rekenen. Voor een rooster van 2 2 atomen (dat voor de helft gevuld is met atomen) is het aantal configuraties (6) zo klein dat het mogelijk is om deze met de hand door te rekenen. Voor een rooster van 4 4 atomen moet het aantal configuraties (128) door worden gerek m.b.v. een computer. Bij een rooster van 8 8 atomen is het aantal configuraties (1, ) zo groot dat het praktisch onmogelijk is om met de computer al deze combinaties na te rekenen. Hiervoor wordt de MMC-methode gebruikt om de energie en soortelijke warmte te benaderen. 2 Theorie Het rooster wordt als volgt voorgesteld. Het gaat om een tweedimenstionaal rooster van L L atomen. We definiëren twee soorten atomen in dit rooster: Type A op plaats i: N i = 1 Type B op plaats i: N i = Voor het gemak zal worden aangenomen dat type A een atoom is en type B een lege plek. Elke atoom heeft vier buren: boven, rechts, onder en links. Als een atoom zich op de rand van het rooster bevindt dan is het misse buuratoom het atoom aan andere kant van het rooster. Dus N i±lêx = N i±lêy = N i (1) De energie van een roosterconfiguratie wordt bepaald door de som te nemen van N i N j over diens buuratomen (N j ). Vervolgens wordt er gesommeerd over de atomen in het rooster (N i ). De energie van één roosterconfiguratie k is dus: E k = J N i N j = J N i N j (2) i j i,j De letter J houdt verband met de constante van Boltzmann, welke voor het gemak in deze opdracht op één is gesteld. 3
4 Om nu de totale energie U uit te rekenen van een atoomrooster moeten alle E k worden bepaald en in gevuld worden in: U = 1 L 2 E k e βe k k e βe k Hier is β gedefiniëerd als β 1 T. De soortelijke warmte C wordt bepaald met: 3 Handmatige bepaling k k (3) Eke 2 βe k C = β2 k L 2 L 2 U 2 e βe k (4) Voor een 2 2 rooster kunnen betrekking (3) en (4) met de hand worden bepaald. Net zoals als bij het 4 4 en het 8 8 rooster zal dit worden gedaan voor i N i = L 2 /n, waarbij n = 2, 4. Bij een 2 2 zijn dit respectievelijk 1 en 2 voor n = 4 en n = 2. Met één plek bezet (dus n = 4) kunnen vier combinaties worden gemaakt: Voor elke configuratie als n = 4 is de energie nul, aangezien het enige atoom nooit een naburig atoom heeft. Daarom is U = en ook C =. Voor n = 2 is het echter wat interessanter:
5 Als we voor elke configuratie (2) uitrekenen, zien we dat E 1 = E 2 = E 3 = E 4 = 4J en E 5 = E 6 =. Worden deze waarden ingevuld in (3) en (4) dan krijgen we hiervoor respectievleijk de functies: en U = 2Je 4βJ 2e 4βJ + 1 ( 8e C = β 2 4βJ 2e 4βJ + 1 4J 2 e 4βJ ) (2e 4βJ + 1) 2 Rekenen we deze waardan uit als functie van de tijd, dan krijgen we de energie en de soortelijke warmte te zien. Zie figuur 1. (5) (6) Energie Figuur 1: De energie en de soortelijke warmte van een 2 2 rooster als n = 2. 4 Geautomatiseerde numerieke optelling Bij een 4 4 rooster is handmatig alle configuraties uitrekenen praktisch onmogelijk. Daarom is hier een computerprogramma voor geschreven. Dit computerprogramma bepaalt eerste alle mogelijke configuraties. Daarna rekent het programma per configuratie (2) uit voor een gegeven temperatuur 5
6 en kan zo (3) en (4) bepalen voor deze temperatuur. Het programma is geschreven in Matlab. Eerste genereert het programma alle mogelijk configuraties die er zijn: k = 1; for i = 1:2^(L^2) N = rem(floor(i * pow2(1-l^2:)),2); if sum(n) == L^2/no M(k,:) = N; k = k + 1; Dan rekent het van elke configuratie de energie (2) uit. for i = 1:L for j = 1:L U = U + N(i,j).* (N(mod(i, L) + 1, j) + N(mod(i - 2, L) + 1, j) + N(i, mod(j, L) + 1) + N(i, mod(j - 2, L) + 1)); Hierna bepaalt het programma betrekking (3) en (4). for i = 1:combs E = energ(m(i,:), L); U1 = U1 + E*exp(-E./T); U2 = U2 + exp(-e./t); U3 = U3 + E.^2*exp(-E./T); U = 1/L^2.*U1./U2; C = (1./(L*T)).^2.*(U3./U2 - L^2*U.^2); De volledige code van het programma valt te vinden in appix A. De energie en soortelijke warmte van een 4 4 rooster, en n = 2, staan in figuur 2. De uitkomst voor n = 4 is terug te vinden in appix C. Zoals te zien is, is figuur 2 redelijk analoog aan de gegevens van figuur 1 op pagina. 6
7 Energie Figuur 2: De energie en de soortelijke warmte van een 4 4 rooster als n = 2. 5 Metropolis Monte Carlo methode Omdat het aantal configuraties bij een 8 8 rooster te groot wordt, is de MMC-methode gebruikt om gunstige configuraties te kiezen. Dit gebeurt op de volge wijze. Eerst wordt een willekeurige configuratie gegenereerd, waarna deze met een willekeurig kleine gewijzigde configuratie wordt vergeleken. Is de energie van de nieuwe configuratie lager dan de oude, dan wordt de nieuwe configuratie onmiddelijk aangenomen en opgeteld bij de som E = 1 M k E k (waarbij M het aantal gegenereerde configuraties is). Als de energie hoger is dan wordt gekeken of er wordt voldaan aan e E/kT r, waarbij r een random getal is in het interval [, 1]. Is dit zo dan wordt alsnog de nieuwe configuratie meegenomen in de eerder genoemde som, maar als dit niet zo is dan wordt de oude configuratie meegenomen in deze som. Hierna begint het proces opnieuw en wordt het net zo vaak herhaald als is aangegeven. In Matlab ziet dit er ongeveer zo uit: for i = 1:p s = round((l^2-2)*rand(1) + 1); g = round(rand(1)*(s - 1) + 1);
8 h = round((l^2 - s - 1)*rand(1) + s + 1); [Nj, Ej] = intenerg(n, E, g, h, L, s); if Ej < E U1 = U1 + Ej; U2 = U2 + Ej^2; E = Ej; N = Nj; elseif exp(-(ej - E)/T) >= rand(1) U1 = U1 + Ej; U2 = U2 + Ej^2; E = Ej; N = Nj; else U1 = U1 + E; U2 = U2 + E^2; U = U1/(p*L^2); C = (1./(L*T)).^2.*(U2/p - L.^2.*U.^2); De volledige code van het MMC-algoritme valt terug te vinden in appix B Exact MMC.25 Exact MMC.35.2 Energie Figuur 3: De MMC-methode vergeleken met de exacte resultaten bij een 2 2 rooster als n = 2. De resultaten van de MMC-methode worden met eerdere data van het 2 2 en het 4 4 rooster vergeleken. Dit is te zien in figuur 3 en 4. In beide 8
9 figuren is n = 2, de grafiek voor n = 4 is terug te vinden in appix C..9.8 Exact MMC Exact MMC. 3 Energie Figuur 4: De MMC-methode vergeleken met de exacte resultaten bij een 4 4 rooster als n = 2. In figuur 3 en 4 benaderen de laagste temperaturen de uitkomsten van de MMC-methode slecht. Dit is altijd het geval en dit heeft waarschijnlijk te maken met de acceptatiefactor e E/kT, welke temperatuurafhankelijk is. Hetzelfde effect doet zich voor bij het 8 8 rooster, zoals te zien is in figuur 5 op pagina 1. Voor de overige temperaturen komen de benaderingen in figuur 3 en 4 van de MMC-methode redelijk tot goed overeen met de exacte waarden. 6 Conclusie De conclusie die kan worden getrokken is dat de MMC-methode een goede methode is om de energie en de soortelijk warmte van atoomroosters te bepalen. Echter voor erg lage temperaturen, werkt de methode niet goed. Dankwoord Graag zou ik Prof.Dr. H. De Raedt willen bedanken voor de assistentie bij dit vak. 9
10 Energie Figuur 5: De resultaten van de MMC-methode bij een 8 8 rooster als n = 2. Appices A Numerieke optelling function [U, C] = enercon(l, no, T) % Matlab functie Computational Physics % Functie voor het exact bepalen van de energie en soortelijke warmte van % een rooster met een gegeven aantal atomen. % U Energie van alle roosterconfiguraties % C van alle roosterconfiguraties % N Roostersamenstelling (matrix) % L Formaat rooster % T % no bepaalt hoeveelheid atomen, hoeveelheid = L^2/no, no = 2, 4 %Initialisatie U1 = ; U2 = ; U3 = ; k = 1; %Hoeveelheid configuraties combs = nchoosek(l^2,l^2/no); %Genereer matrix (veel te langzaam) for i = 1:2^(L^2) N = rem(floor(i * pow2(1-l^2:)),2); if sum(n) == L^2/no M(k,:) = N; k = k + 1; 1
11 %Reken energien uit for i = 1:combs E = energ(m(i,:), L); U1 = U1 + E*exp(-E./T); U2 = U2 + exp(-e./t); U3 = U3 + E.^2*exp(-E./T); %Bepaling Energie en U = 1/L^2.*U1./U2; C = (1./(L*T)).^2.*(U3./U2 - L^2*U.^2); %. function U = energ(n, L) % % Matlab functie Computational Physics % Metropolis Monte Carlo: Energie van een 2D-kristalrooster % Functie voor de energie van n roostercombinatie % % U Energie v/e rooster % N Roostersamenstelling (matrix) % L Formaat rooster % beta 1/ % % Declaratie U = ; N = sparse(mod([1:l^2]-1,l) + 1, floor(1:1/l:l+1-1/l), N, L, L); %Bepaling energie for i = 1:L for j = 1:L U = U + N(i,j).* (N(mod(i, L) + 1, j) + N(mod(i - 2, L) + 1, j) + N(i, mod(j, L) + 1) + N(i, mod(j - 2, L) + 1)); B MMC-methode function [U, C] = moncar(l, no, T, p) % Matlab functie Computational Physics % Metropolis Monte Carlo: Energie van een 2D-kristalrooster % Functie voor het bepalen van een schatting van de energie en soortelijke % warmte van een rooster met een gegeven aantal atomen. % U Energie van alle roosterconfiguraties % C van alle roosterconfiguraties % L Formaat rooster % no bepaalt hoeveelheid atomen, hoeveelheid = L^2/no, no = 2, 4 % T % p Aantal iteraties % s Snijpunt roosterverdeling s = L^2/no; %Initialisatie N = floor(((1-1/(l^2)):-1/(l^2):)/(1-1/no)); E = energ(n, L); U1 = E; U2 = E^2; 11
12 %Metropolis Monte Carlo Methode for i = 1:p g = round(rand(1)*(s - 1) + 1); h = round((l^2 - s - 1)*rand(1) + s + 1); [Nj, Ej] = intenerg(n, E, g, h, L, s); if Ej < E U1 = U1 + Ej; U2 = U2 + Ej^2; E = Ej; N = Nj; elseif exp(-(ej - E)/T) >= rand(1) U1 = U1 + Ej; U2 = U2 + Ej^2; E = Ej; N = Nj; else U1 = U1 + E; U2 = U2 + E^2; U = U1/(p*L^2); C = (1./(L*T)).^2.*(U2/p - L.^2.*U.^2); function [Nj, Ej] = intenerg(n, E, i, j, L, s) % Matlab functie Computational Physics % Metropolis Monte Carlo: Energie van een 2D-kristalrooster % Functie voor het random omwisselen van twee atomen in een atoomrooster. % Het het bereken van de energie adhv van de vorige configuratie % N Roostersamenstelling (matrix) % E Energie rooster N % Nj Gewijzigde rooster % Ej Energie van het gewijzigde rooster % L Lengte array %Bepaling trivialiteiten k = L^2; %Omwisseling Nj = N; Nj(i) = N(j); Nj(j) = N(i); %Bepaling Ej M = sparse(mod([1:l^2]-1,l) + 1, floor(1:1/l:l+1-1/l), N, L, L); Mj = sparse(mod([1:l^2]-1,l) + 1, floor(1:1/l:l+1-1/l), Nj, L, L); p = mod(i - 1, L) + 1; q = floor((i - 1)/L + 1); v = mod(j - 1, L) + 1; w = floor((j - 1)/L + 1); Ej = E + 2*( (Nj(i) - Nj(j))*(M(mod(p, L) + 1, q) + M(mod(p - 2, L) + 1, q) + M(p, mod(q, L) + 1) + M(p, mod(q - 2, L) + 1)) + (Nj(j) - Nj(i))*(Mj(mod(v, L) + 1, w) + Mj(mod(v - 2, L) + 1, w) + Mj(v, mod(w, L) + 1) + Mj(v, mod(w - 2, L) + 1))); 12
13 C Additionele grafieken C.1 Numerieke optelling Energie Figuur 6: De energie en de soortelijke warmte van een 4 4 rooster als n = 4. 13
14 C.2 MMC-methode Exact MMC.12.1 Exact MMC.12 Energie Figuur : De MMC-methode vergeleken met de exacte resultaten bij een 4 4 rooster als n = 4. Energie Figuur 8: De resultaten van de MMC-methode bij een 8 8 rooster als n = 4. 14
Inleiding MATLAB (2) november 2001
Inleiding MATLAB (2) Stefan Becuwe Johan Vervloet november 2 Octave gratis MATLAB kloon Min of meer MATLAB compatibel http://www.octave.org/ % Script PlotVb % % Plot regelmatige driehoek t/m tienhoek PlotVb.m
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatieInformatica: C# WPO 10
Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10)
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) Tentamen Inleiding Experimentele Fysica (3AA10) d.d. 30 oktober 2009 van 9:00 12:00 uur Vul de presentiekaart
Nadere informatiePROS1E1 Gestructureerd programmeren in C Dd/Kf/Bd
Inhoudsopgave 1 Inleiding... 1 2 Toekenning- en herhalingsopdrachten (for loop)... 2 2.1 De wet van Ohm... 3 2.2 De spaarrekening... 3 2.3 De transformator... 3 3 Keuze- en herhalingsopdrachten (if, switch,
Nadere informatieMonte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2
1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatieInformatica: C# WPO 13
Informatica: C# WPO 13 1. Inhoud Bestanden uitlezen, bestanden schrijven en data toevoegen aan een bestand, csv-bestanden 2. Oefeningen Demo 1: Notepad Demo 2: Read CSV-file Demo 3: Write CSV-file A: Plot
Nadere informatieextra oefening algoritmiek - antwoorden
extra oefening algoritmiek - antwoorden opgave "Formule 1" Maak een programma dat de gebruiker drie getal A, B en C in laat voeren. De gebruiker zorgt ervoor dat er positieve gehele getallen worden ingevoerd.
Nadere informatieBij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?
4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren
Nadere informatieBatch factureren Auteur : Reint Endendijk Versie : 1.0 Datum : 1 December 2012
Batch factureren Auteur : Reint Endendijk Versie : 1.0 Datum : 1 December 2012 2 Methode 2: Batch factureren Er zijn twee methodes om facturen te maken. De eerste is via Facturering > Facturen > Stap voor
Nadere informatieBepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert
Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld
Nadere informatieHoofdstuk 21: Gegevens samenvatten
Hoofdstuk 21: Gegevens samenvatten 21.0 Inleiding In Excel kunnen grote (en zelfs ook niet zo grote) tabellen met getallen en tekst er nogal intimiderend uitzien. Echter, Excel komt helemaal tot haar recht
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2006-II
Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een smmetrische goot, een voorkant en een achterkant
Nadere informatieAlgoritmen en programmeren: deel 2 - basis
Algoritmen en programmeren: deel 2 - basis Ruud van Damme Creation date: 25 april 2005 Update: 16 november 2006, 9 september 2007 Overzicht 1 Basisbenodigdheden voor alle problemen 2 Alles in stukjes op
Nadere informatieDe bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld
De Bisectie methode De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De bisectie methode is een recursieve methode om punten van een functie te gaan afschatten. Hierbij gaat men de functiewaarde
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatieZoemzinnen. Algemene info. Functies met een variabel aantal argumenten
Zoemzinnen Functies met een variabel aantal argumenten Bij het definiëren van een functie leg je in principe vast hoeveel argumenten er aan de functie moeten doorgegeven worden. Dit aantal correspondeert
Nadere informatie10 Materie en warmte. Onderwerpen. 3.2 Temperatuur en warmte.
1 Materie en warmte Onderwerpen - Temperatuur en warmte. - Verschillende temperatuurschalen - Berekening hoeveelheid warmte t.o.v. bepaalde temperatuur. - Thermische geleidbaarheid van een stof. - Warmteweerstand
Nadere informatieModelleren van roosterwensen
Modelleren van roosterwensen Samenvatting Dit document biedt een model waarmee gestructureerde roosters kunnen worden opgesteld. Voor de roosters die aan de hand van dit model zijn opgezet is het technisch
Nadere informatieInformatica: C# WPO 12
Informatica: C# WPO 12 1. Inhoud Datacontainers, bestanden uitlezen, bestanden schrijven en data toevoegen aan en bestand, csv-bestanden 2. Oefeningen Demo 1: Point2D Demo 2: Notepad Demo 3: Read CSV-file
Nadere informatieOpdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur.
Opdracht 2. Deadline maandag 28 september 2015, 24:00 uur. Deze opdracht bestaat uit vier onderdelen; in elk onderdeel wordt gevraagd een Matlabprogramma te schrijven. De vier bijbehore bestanden stuur
Nadere informatieOpdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem
PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,
Nadere informatieIVF temperatuurregeling incubator
IVF temperatuurregeling incubator Les 3 Ontwerp automatische regeling Dossier Je hebt je dossier meegenomen en dit bestaat nu uit: 1. Het stencil van les 1, volledig ingevuld 2. Samenvatting van les 1
Nadere informatieJava Les 3 Theorie Herhaal structuren
Java Les 3 Theorie Herhaal structuren Algemeen Een herhaal structuur een is programmeertechniek waarbij bepaalde Java instructies worden herhaald net zo lang tot een bepaalde voorwaarde is bereikt. Een
Nadere informatieVakgroep CW KAHO Sint-Lieven
Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven Objecten Programmeren voor de Sport: Een inleiding tot JAVA objecten Wetenschapsweek 20 November 2012 Tony Wauters en Tim Vermeulen tony.wauters@kahosl.be en tim.vermeulen@kahosl.be
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieVBA voor Doe het Zelvers deel 20
VBA voor Doe het Zelvers deel 20 Handleiding van Auteur: leofact Augustus 2015 handleiding: VBA voor Doe het Zelvers deel 20 Vorige aflevering In het vorige deel werd besproken hoe je de structuur en vensteropbouw
Nadere informatieFunctie beschrijving: Het automatisch aanmaken van een raai-volgende contour
Modelit Rotterdamse Rijweg 126 3042 AS Rotterdam Telefoon +31 10 4623621 info@modelit.nl www.modelit.nl Functie beschrijving: Het automatisch aanmaken van een raai-volgende contour Datum 8 Mei 2004 Modelit
Nadere informatieHet opstellen van een lineaire formule.
Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1
wiskunde B Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag juni 3.30 6.30 uur 0 06 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieDe statespace van Small World Networks
De statespace van Small World Networks Emiel Suilen, Daan van den Berg, Frank van Harmelen epsuilen@few.vu.nl, daanvandenberg1976@gmail.com, Frank.van.Harmelen@cs.vu.nl VRIJE UNIVERSITEIT AMSTERDAM 2 juli
Nadere informatieDeel 1. Basiskennis wiskunde
& Geomatica 2 juli 2018 - reeks 1 - p. Deel 1. Basiskennis wiskunde Oefening 1 et gemiddelde van de getallen 1 2, 1 en 1 4 is (A) 1 27 (B) 1 4 (C) 1 (D) 1 6 Juist beantwoord: 81 %. Blanco: 0 %. Oefening
Nadere informatieProef Natuurkunde Warmteafgifte weerstand
Proef Natuurkunde Warmteafgifte weerstand Proef door een scholier 1229 woorden 12 december 2003 5,7 31 keer beoordeeld Vak Natuurkunde Inleiding Wij hebben ervoor gekozen om ons met onze natuurkunde EXO
Nadere informatiePropositielogica Het maken van een waarheidstabel
Informatiekunde naam datum Propositielogica Het maken van een waarheidstabel Eindhoven, 4 juni 2011 De propositielogica Zoekopdrachten met de operatoren AND, OR en zijn zogenaamde Booleaanse expressies.
Nadere informatieVBA voor doe het Zelvers deel 22. Handleiding van Helpmij.nl. Auteur: leofact
VBA voor doe het Zelvers deel 22 Handleiding van Helpmij.nl Auteur: leofact december 2015 Vorige aflevering In de vorige aflevering werden de regular expressions behandeld. Voor VBA zijn deze beschikbaar
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2006-II
Drinkbak In figuur staat een tekening van een drinkbak voor dieren. De bak bestaat uit drie delen: een rechthoekige, metalen plaat die gebogen is tot een symmetrische goot, een voorkant en een achterkant
Nadere informatieHoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix
Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een
Nadere informatieInformatica: C# WPO 5
Informatica: C# WPO 5 1. Inhoud While-loop, do while, debuggen, graphics 2. Oefeningen Demo 1: Power of 2 Demo 2: Tel totdat... Demo 3: Debug oplossing demo s 1 en 2 A: Count down A: Random counting A:
Nadere informatieOnafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms
Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie
Nadere informatieStatistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
Nadere informatieII. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES
II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual
Nadere informatieNegende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren
Negende college algoritmiek 15 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 algemeen Uit college 8: DP: - nuttig bij problemen met overlappende deelproblemen - druk een oplossing van het probleem uit in oplossingen
Nadere informatieScore. Zelfevaluatie. Beoordeling door de leerkracht. Datum: Klas: Nr: Naam:
Datum: Klas: Nr: Naam: Score G1 /5 /5 Opgave 1 G2 / / Opgave 2 G3 /10 /10 Opgave 3 G4 /5 /5 Opgave 4 G5 /4 /4 Opgave 5 G6 /5 /5 G7 /5 /5 G8 /10 /10 G9 /10 /10 G10 /7 /7 G11 /10 /10 Totaal Zelfevaluatie
Nadere informatieEindexamen wiskunde B 1 havo 2009 - I
Vetpercentage Al heel lang onderzoekt men het verband tussen enerzijds het gewicht en de lengte van volwassen mensen en anderzijds hun gezondheid. Hierbij gebruikt men vaak de Body Mass Index (BMI). De
Nadere informatieHet leek ons wel een interessante opdracht, een uitdaging en een leuke aanvulling bij het hoofdstuk.
Praktische-opdracht door een scholier 2910 woorden 3 mei 2000 5,2 46 keer beoordeeld Vak Wiskunde Wiskunde A1 - Praktische Opdracht Hoofdstuk 2 1. Inleiding We hebben de opdracht gekregen een praktische
Nadere informatieOpgave 1 - Uitwerking
Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies
Nadere informatieUitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli :00 13:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli 0 0:00 :00. (N,M)-game a. Toestanden: Een geheel getal g, waarvoor geldt g N én wie er aan de beurt is (Tristan of Isolde) b. c. Acties: Het noemen van een geheel
Nadere informatieNu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor
Nadere informatieMoleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004
Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004 1 Inhoudsopgave 1 Thermaliseren 2 2 Waarde van λ max 2 3 Integreren
Nadere informatieProject: Kennisdocument Onderwerp: p90 Datum: 23 november 2009 Referentie: p90 onzekerheid Wat betekent de p90 (on)zekerheid?
Project: Kennisdocument Onderwerp: p90 Datum: 23 november 2009 Referentie: p90 onzekerheid Wat betekent de p90 (on)zekerheid? De p90 onzekerheid staat in het kader van de garantieregeling voor aardwarmte
Nadere informatieleeftijd kwelder (in jaren)
Kwelders De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders
Nadere informatieKosten. Computationale Intelligentie. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route. Zoeken met kosten.
Kosten omputationale Intelligentie Zoeken met kosten Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd;... Voorbeelden van dergelijke problemen zijn: het
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatiewiskunde A pilot havo 2016-II
wiskunde A pilot havo 06-II BMI, hoger dan je denkt maximumscore In 9 jaar is de gemiddelde lengte met, (cm) toegenomen In 50 jaar neemt de gemiddelde lengte toe met, 50 ( 8, ) 9 Het antwoord: 80,4 + 8,
Nadere informatieAntwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8
Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen
Nadere informatieAfbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6.
Hoofdstuk 12 Cartesische coördinaten 157 Hoofdstuk 12 CARTESISCHE COÖRDINATEN In dit hoofdstuk behandelen we: Het Cartesisch coördinatenstelsel De X-as en de Y-as De commutatieve eigenschap van optellen
Nadere informatieWiskunde D assignment problem. Hier stonden ooit namen
Wiskunde D assignment problem Hier stonden ooit namen Inhoud Wat? Pagina Het probleem 2 Probleem analyse 3 4 Oplossing adjacency assignment 5 6 Oplossing gerneral assignment via hungarian algorithm Oplossing
Nadere informatieHet modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel
Het modelleren van een onvolkomen put met een meerlagenmodel Mark Bakker i Een onvolkomen put kan gemodelleerd worden met een meerlagenmodel door het watervoerend pakket op te delen in drie lagen gescheiden
Nadere informatie10. Controleopdrachten
Computeralgebra met Maxima 10. Controleopdrachten 10.1. Functies en operatoren voor lijsten/vectoren/arrays Een van de eenvoudigste maar belangrijkste lusachtige functies is de makelist opdracht. Voor
Nadere informatieTentamen numerieke analyse van continua I
Tentamen numerieke analyse van continua I Donderdag 13 november 2008; 14.00-17.00 Code: 8W030, BMT 3.1 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Het eamen is een volledig open
Nadere informatieKansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten
Nadere informatie1.3 Rekenen met pijlen
14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij
Nadere informatieKunstrijden op de schaats
Eindexamen havo wiskunde A pilot 204-II Kunstrijden op de schaats maximumscore 4 De Zweedse kunstrijders kunnen op 3! manieren geplaatst worden De overige kunnen op 4! manieren geplaatst worden Er zijn
Nadere informatieEen eenvoudig algoritme om permutaties te genereren
Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden
Nadere informatieUITWERKING. Thermodynamica en Statistische Fysica (TN ) 3 april 2007
UITWERKIG Thermodynamica en Statistische Fysica T - 400) 3 april 007 Opgave. Thermodynamica van een ideaal gas 0 punten) a Proces ) is een irreversibel proces tegen een constante buitendruk, waarvoor geldt
Nadere informatieFeedback proefexamen Statistiek I 2009 2010
Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is
Nadere informatieMaak zelf een algoritme wanneer je een auto kunt winnen en welke auto je wint.
Programmeeropdracht Versie 1 We spelen een soort Rad van fortuin : De computer kiest een getal van 1.. 50 Maak 3 tabellen: Tabel : Auto is gevuld met 5 auto s Tabel : Reizen is gevuld met 5 reizen, Tabel
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatieT.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009
T.A. Horsmeier Hoeken en kromming In genormeerde ruimten zonder inprodukt Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 Scriptiebegeleider: Dr. O.W. van Gaans Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave
Nadere informatieEen spoedcursus python
Een spoedcursus python Zoals je in de titel misschien al gezien hebt, geven wij een spoedcursus Python. Door deze cursus leer je alle basics, zoals het rekenen met Python en het gebruik van strings. Het
Nadere informatieNormering en schaallengte
Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieOpgave 1 Vervormd vierkant kristal en elektronische structuur (totaal 24 punten)
3NC2 Gecondenseerde materie 215 Extra tentamen, 1 april 215 Algemeen: Beargumenteer je antwoorden. Vermeld zowel de gebruikte basisformules als de tussenstappen in de afleiding. Mogelijk te gebruiken formules:
Nadere informatie13 Zonnestelsel en heelal
13 Zonnestelsel en heelal Astrofysica vwo Werkblad 53 PLANCKKROMMEN In deze opdracht ontdek je met een computermodel hoe de formule achter de planckkrommen eruit ziet. De theoretische planckkrommen zijn
Nadere informatieModelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3
Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................
Nadere informatiehttp://www.playgarden.com/ Inleiding 8
http://www.playgarden.com/ Inleiding 8. Inleiding.. Wat is zippen? Regelmatig moet je grote bestanden van de ene computer naar de andere doorgegeven. Dit doe je dan via het internet, via een netwerk, met
Nadere informatieNetwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.
Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van
Nadere informatieLeren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4. Hoofdstuk 4 : De Selectie
Leren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4 Hoofdstuk 4 : De Selectie Visual Basic 6.0 1 Basisstructuren (herhaling) Sequentie (HK2) : Alle opdrachten gewoon na mekaar uitvoeren. Hier worden geen keuzes
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur
Examen HAVO 014 tijdvak 1 woensdag 14 mei 1.0-1.0 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatie3. Stelsels van vergelijkingen
. Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 22 augustus 213 1. Hoe zou je de vector x in de uitdrukking Q x = A n y op een computationeel slimme manier berekenen? Hierbij
Nadere informatieEfficientie in de ruimte - leerlingmateriaal
Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg
Nadere informatieAntwoordmodel - Kwadraten en wortels
Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.
Nadere informatieMaterialen in de elektronica Verslag Practicum 1
Materialen in de elektronica Verslag Practicum 1 Academiejaar 2014-2015 Groep 2 Sander Cornelis Stijn Cuyvers In dit practicum zullen we de diëlektrische eigenschappen van een vloeibaar kristal bepalen.
Nadere informatieINFORMATICA 1STE BACHELOR IN DE INGENIEURSWETENSCAPPEN
INFORMATICA 1STE BACHELOR IN DE INGENIEURSWETENSCAPPEN voorbeeldexamen NAAM :... OPMERKINGEN VOORAF Je krijgt 3 uur de tijd om de opdrachten voor dit examen uit te voeren. Verder werken aan je oplossing
Nadere informatieNATUURKUNDE OLYMPIADE EINDRONDE 2013 PRAKTIKUMTOETS
NATUURKUNDE OLYMPIADE EINDRONDE 13 PRAKTIKUMTOETS Opmerkingen 1. Schrijf bovenaan elk papier je naam.. Nummer elke bladzijde. 3. Schrijf op de eerste pagina het totale aantal bladen dat je inlevert. 4.
Nadere informatieUitleg van de Hough transformatie
Uitleg van de Hough transformatie Maarten M. Fokkinga, Joeri van Ruth Database groep, Fac. EWI, Universiteit Twente Versie van 17 mei 2005, 10:59 De Hough transformatie is een wiskundige techniek om een
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 compex vwo I
Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 29 - I Tijdens dit examen werk je in Excel. Door in het openingsscherm op Excel werkbladen te klikken start Excel automatisch op. Je komt dan meteen in het eerste werkblad
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen
Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen Praktische-opdracht door een scholier 918 woorden 17 maart 2002 4,9 60 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding Wij hebben gekozen voor
Nadere informatieFoutenberekeningen. Inhoudsopgave
Inhoudsopgave Leerdoelen :... 3 1. Inleiding.... 4 2. De absolute fout... 5 3. De KOW-methode... 7 4. Grootheden optellen of aftrekken.... 8 5. De relatieve fout...10 6. grootheden vermenigvuldigen en
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatieSum of Us 2014: Topologische oppervlakken
Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst
Nadere informatie